· consideraciones sobre la abilidad del pron ostico ni ningun tipo de optimizaci on estoc astica....

Modelos y algoritmos de optimización combinatoria para

planificación de rutas en regatas de barcos de vela

Diciembre de 2010

Tesis de Licenciatura

Dr. Javier [email protected]

Director

Dr. Tomás [email protected]

Co‒director

Federico E. Martí[email protected]

lu 17/06

Gonzalo Sainz‒Trá[email protected]

lu 454/06

Tesistas

Departamento de ComputaciónFacultad de Ciencias Exactas y NaturalesUniversidad de Buenos Aires

Resumen

Los barcos de vela compiten en eventos denominados “regatas”, cuyo objetivo consistegeneralmente en recorrer un circuito determinado en el menor tiempo posible. Aunque existenregatas de duraciones que van desde menos de una hora hasta varios meses, en todos locasos interviene fuertemente el planeamiento estrategico: la velocidad de las embarcacionesesta determinada en gran medida por las condiciones meteorologicas.

Las herramientas computacionales existentes para toma de decisiones de estrategia en re-gatas estan fuertemente orientadas a las regatas de larga distancia. Basandose en un pronosticometeorologico y en una prediccion numerica del comportamiento de un barco, pueden indicara los navegantes las rutas mas veloces para la situacion pronosticada. Sin embargo, no hacenconsideraciones sobre la fiabilidad del pronostico ni ningun tipo de optimizacion estocastica.

Las regatas de corta distancia, por su parte, transcurren en extensiones de tiempo y espacioque estan fuera del alcance de los pronosticos; los fenomenos dominantes que condicionan laestrategia se originan en las turbulencias atmosfericas. En este contexto, las herramientasexistentes no tienen utilidad practica.

En esta tesis se abordo el problema de las regatas de corta distancia, buscando desarrollarherramientas que ayuden a los regatistas a tomar decisiones en funcion de mediciones realizadasen tiempo real por instrumentos de navegacion instalados en el barco.

Con este fin, desarrollamos un modelo de optimizacion combinatoria teniendo en cuenta lascaracterısticas propias de las regatas de corta distancia que se desprecian en los modelos de granescala. Propusimos a su vez un algoritmo eficiente para la optimizacion de rutas en este modelocon informacion completa, y una serie de heurısticas inspiradas en conocimiento experto deldominio del problema. A partir de un modelo de simulacion de condiciones meteorologicasimplementado para tal fin, contrastamos el rendimiento de las heurısticas.

Estas logran, en condiciones favorables y bajo informacion incompleta, ubicarse a menosde 2 % de las rutas optimas realizando solo procesamiento en tiempo real.

Abstract

In sailboat racing, boats try to go over a circuit in the shortest possible amount of time.Although sailboat race durations can be as short as half an hour or as long as half a year, inall cases strategic planning is of the upmost importance: the speed of the boats over the wateris mostly determined by the weather conditions they find along their path.

Existing computer tools for strategic decision–making are highly biased towards long dis-tance races. Based on weather forecasts and an accurate prediction of sailboat performance,these tools help sailors find the fastest routes for the expected conditions. However, not muchis done in the way of dealing with the inherent imperfections that are present in forecasts.There are no stochastic optimization tools in the market.

On the other hand, short distance racing takes place in short spans of time and space thatforecasting tools cannot predict; the phenomenons that have the highest amount of influenceon strategic decisions are caused by atmospheric turbulence, which no available weather modeltakes into account. In this context, existing tools have no practical application.

In this thesis we focus on short distance racing, in an attemt to develop tools for decision–making that take advantage of real–time weather data made available by on–board weathersensors and electronics.

For this purpose, we developed a combinatorial optimization model that accounts for thespecific characteristics of short distance racing that large–scale models disregard. At the sametime, we propose an efficient algorithm for route optimization under complete information, aswell as heuristic methods inspired in the knowledge of experts in the field of sailboat references.Using a weather simulation model that we created for this purpose, we can analyze the resultsobtained by our heuristic methods in realistic setups.

In favorable conditions, the routes generated in real-time by our algorithms are less than2 % away from the optimal ones.

Indice

1 Introduccion 3

1.1 El mundo de la vela 3

1.1.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Embarcaciones de vela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2.1 ¿Como hace un velero para navegar contra el viento? . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2.2 Predicciones de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Regatas de vela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3.1 ¿Como se gana una regata? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Estado del arte 11

1.2.1 La ventaja estrategica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 Herramientas existentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3 Limitaciones caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3.1 Distintas escalas de optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3.2 El agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Resumen del trabajo 18

2 El modelo 20

2.1 La prediccion de velocidad 20

2.1.1 Velocidad bajo corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Modelado de la cancha 25

2.2.1 El area de interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2 El grafo de rutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2.1 Las maniobras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2.2 Calculo de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Algoritmo Exacto 35

3.1 Computo de la ruta optima 35

3.1.1 Camino mınimo en grafos independientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1.1 Algoritmo A∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.2 Camino mınimo en grafos dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.2.1 Camino mınimo en grafos FIFO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.3 Heurısticas propuestas para A∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.3.1 Heurıstica basada en distancia cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.3.2 Heurıstica basada en VMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.4 Algoritmo final para rutas optimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Implementacion 41

4 Heurısticas 44

4.1 ¿Por que desarrollar heurısticas? 44

4.2 Framework para heurısticas 45

4.3 Criterios de decision 46

4.3.1 Criterio de mayor VMG ponderado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3.2 Criterio de mayor VMG ponderado y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.3 Criterios asimetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.4 Criterios de viento promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 Experimentacion 53

5.1 El modelo experimental 53

5.1.1 Calidad de los escenarios a utilizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.2 Obtencion de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.1.3 El modelo de simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.4 La corriente y el barco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Heurısticas para A* 60

5.3 Comportamiento del modelo 63

5.3.1 Cantidad de nodos por lado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3.2 Cantidad de cuadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.3 Cantidad de tiempos de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4 Heurısticas 68

5.4.1 Modelo para experimentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4.1.1 Optimizacion de los parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4.1.2 Comparacion de las heurısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Conclusiones 79

6.1 Balance del trabajo 79

6.2 Trabajos futuros 79

Martınez, Sainz–Trapaga Pagina 1 de 82

Agradecimientos

A Javier Marenco, que acepto con ganas dirigir esta tesis sobre un tema bastante extrano, ysiempre estuvo disponible para asistirnos (y tranquilizarnos) en todo lo que necesitamos.

A Alberto Enguix, que nos abrio las puertas de su casa para enterarse de que estabamoshaciendo, y nos ayudo con la mejor onda para que avanzaramos con nuestro trabajo en la zonagris de la meteorologıa a pequena escala.

A Andrew Philpott, cuya investigacion y publicaciones nos permitieron no empezar de cero conesta historia de ruteo de veleros.

A Pablo Jacovkis, que nos dijo que sı, que seguramente podıamos hacer una tesis sobre esto. ATomas Tetzlaff, por su colaboracion con el trabajo. A Tate de empopado.com, que se intereso pornuestro trabajo y nos facilito cantidades de datos que finalmente no pudimos usar. A Marıa EugeniaDillon y a Estela Collini, que corrieron simulaciones meteorologicas de alta resolucion para nosotros.

A nuestros companeros: Checho, Metegol, Gonza Rubio, Victoria, Page, Marta, Emilio, Santi,que hicieron de estos 5 anos un perıodo inolvidable, aun en los momentos mas asperos en quevivıamos en los laboratorios y dormıamos tan poco.

A todos los profesores y ayudantes extraordinarios que conocimos a lo largo de todos estosanos, que con su trabajo y dedicacion nos inspiran dıa a dıa.

A los que nos olvidamos de nombrar, que seguramente son varios.

Y finalmente a 40 millones de argentinos que sostienen esta Universidad, y que nos permiten aunos pocos afortunados acceder a una educacion superior publica, gratuita y de primer nivel.

Agradecimientos de Gonzalo

A mi Mama (a la que no le gusta que le diga “vieja”), que me llevo a una colonia de vacacionesdonde me subı por primera vez a un Optimist, que me tuvo paciencia todos estos anos y sepreocupo por cada detalle1.

A mi viejo, por su incondicionalidad. Por su interes en lo que sea en que ando metido, y porunos 300 desayunos antes de entrar a clase que nos valieron el “¿Lo de siempre?” no en una, sinoen varias cafeterıas.

A mi hermana Mariana, que me explico las fracciones cortando un alfajor de chocolate, y medijo que en el Pabellon 1 habıa gente como yo. Y a mi cunado, que aunque lo niegue encajarıa bienen el Pabellon 1.

A Natalı, que me enseno a pedir disculpas y a reirme de mı mismo, y me amanso a lo largo deestos anos. Gracias de parte mıa y de todos los que tienen que tratar conmigo.

1¡Solo 3 minutos atras acabo de recibir un mail de ella con un link a la pagina de una imprenta donde me puedenimprimir la tesis!


A mi familia. Y a mis amigos, que ya son familia, por su amistad.

A Fede, por una leccion de 5 anos sobre la humildad, la dedicacion y el esfuerzo.

A los que se fueron, por sus ensenanzas.

A los que intentan superarse, por ser una fuente de inspiracion.

Agradecimientos de Federico

Afortunadamente son muchas las personas a las que tengo que agradecer, ya que son muchoslos que de una u otra forma hicieron cosas por mı.

Primero y antes que nada, dar gracias a Dios, por estar conmigo en cada paso que doy y porhaber puesto en mi camino a aquellas personas que han sido mi soporte y companıa durante todami carrera.

Agradecer a mis viejos, que me apoyaron, me bancaron, estuvieron siempre, sobre todo en losmomentos difıciles, que los tuvimos que pasar. Sin duda, no podrıa haber llegado a donde llegue sino fuera por ellos, y por su esfuerzo constante. Son un ejemplo y un orgullo para mı.

No puedo dejar de agradecerle a mi hermana Estafanıa (o Rudy) porque ella tambien mebanco mucho durante toda la carrera, ¡¿en cuantos parciales la habre vuelto loca con mis nervios?!

A mis abuelos tambien debo dedicarles un parrafo. Su constante apoyo y consejo fueron funda-mentales para que hoy sea lo que soy.

Sabri se gano el cielo con la paciencia que me tuvo todo este tiempo. ¡Peluca gracias por tuamor, tu compania y tu comprension!

Le agradezco a GomoX por su amistad, sin duda una de las mejores cosas que me llevo de lafacultad. Sos una excelente persona, y un mejor amigo.

A Emi por ser tan buen amigo, a mi madrina que hace mucho por mı, y a muchos mas que elespacio me impide nombrar, ¡Gracias!


Capıtulo 1

Introduccion

1.1. El mundo de la vela

1.1.1. Historia

Figura 1.1: La Copa America

En 1848 la companıa de joyerıa londinense Garrard & Coforjo una enorme jarra de plata que fue bautizada entonces como“la copa de las 100 guineas”, haciendo referencia a su valor mone-tario. Tres anos mas tarde, Henry William Paget, primer marquesde Anglesey, compro la jarra y la dono al Royal Yacht Squadron co-mo premio para su regata alrededor de la isla de Wight que tendrıalugar en 1851.

A mediados del siglo XIX, Inglaterra era la nacion mas indus-trializada del mundo y la Royal Navy era poco menos que la joyade la corona. Sin embargo, la flota inglesa fue derrotada por launica embarcacion norteamericana que participo en la regata: lagoleta America. En un evento de caracter profetico, el pequeno,moderno y liviano barco americano se impuso a la pesada flota in-glesa hiriendo ası el orgullo de la primera potencia mundial. Trasesta victoria el trofeo fue rebautizado “Copa America”, en honoral barco triunfador.

Hoy, mas de 160 anos despues de que la jarra fuera forjada,la Copa America se sigue disputando: se trata del trofeo deportivomas antiguo que aun se compite en la actualidad. Ya no con goletasy bergantines de madera portando velas de algodon egipcio, sinocon disenos ultramodernos construidos con laminados compuestos,verdaderas obras de ingenierıa comparables a las de la industriaaeroespacial.

Sin embargo, el espıritu del deporte se mantiene intacto. Equipos de todo el mundo compiten,impulsados unicamente por el viento, en carrera hacia el historico trofeo.

1.1.2. Embarcaciones de vela

La caracterıstica primordial de los vehıculos a vela es que obtienen la energıa necesaria parasu movimiento a partir del viento. Si bien este trabajo se enfoca mayormente en embarcaciones, lagran mayorıa de los conceptos se transfieren de forma analoga a otro tipo de vehıculos eolicos comolos iceboats o karts a vela. Estos ultimos tienen la ventaja de desplazarse sobre superficies solidas,que por ofrecer en general una menor resistencia al avance que el agua sobre la que navegan losveleros, permiten que desarrollen velocidades bastante superiores.


(a) La goleta America (b) El trimaran Oracle BMW

Figura 1.2: Los ganadores de la Copa America en 1851 y 2010

Numerosos avances tecnologicos desde la epoca de las fragatas permiten a las embarcacionesmodernas navegar en circunstancias que antes se consideraban imposibles con un rendimientosorprendente. Tanto vehıculos terrestres como marinos logran con la tecnologıa actual dos hitosfundamentales:

Pueden avanzar en direccion opuesta al viento, y

Pueden navegar mas rapido que el viento que los propulsa.

Figura 1.3: Un velero moderno

Estas dos cualidades provienen de las propiedadesaerodinamicas de las velas modernas. Intuitivamente,la idea basica que viene a la mente es que las velas deun barco se comportan como un paracaıdas: al retenerel viento y frenarlo, producen una fuerza de arrastreque la embarcacion puede utilizar para desplazarse.

Sin embargo resulta bastante claro que, a partir deesta idea, serıa imposible que una embarcacion se de-splace en direccion opuesta al viento, ya que cualquierempuje que se obtenga de frenar una corriente de airesolo puede estar orientado en la direccion de dichacorriente.

En efecto, las velas modernas tienen la capacidadde adquirir un comportamiento aerodinamico com-parable al del ala de un avion. Ası, desarrollan unafuerza de succion que permite a los vehıculos a veladesplazarse en contra del viento. Sin embargo, al igualque el ala de un avion, deben mantener un angulo deincidencia apropiado respecto de la corriente de airepara evitar que se desarrollen turbulencias (situacionque en la jerga aeronautica se denomina “entrar enperdida”).


(a) Velero vs. ala de avion F-22 (b) Velero vs. misil Tomahawk

Figura 1.4: Comparacion entre apendices de veleros y aeronaves

La situacion que se produce bajo el agua es similar a la de las velas. La parte sumergida de unvelero tiene tambien apendices hidrodinamicos que son una parte vital de sus cualidades nauticas.Como se observa en la Figura 1.4, las similitudes entre los perfiles aero e hidrodinamicos de unvelero y las alas de un avion son innegables.

1.1.2.1. ¿Como hace un velero para navegar contra el viento?

Las velas de una embarcacion moderna, a diferencia de las alas de un avion, pueden funcionaren 2 regımenes. El primero es el que corresponde al paracaıdas ya mencionado, donde las velasno hacen sino intentar “detener” el viento, tomando ası parte de su energıa. Este regimen seconoce como regimen turbulento. El segundo corresponde al comportamiento propio de un ala, yse denomina regimen laminar. Es precisamente este ultimo el que le permite a un velero desplazarsecontra el viento, ası como le permite a un avion vencer la gravedad.

(a) Regimen Turbulento (b) Regimen Laminar (c) “Proa al viento”

Figura 1.5: Distintos modos de funcionamiento del plano velico

Para mantener un regimen laminar, que es el de mayor eficiencia, es necesario que el angulo deincidencia del viento sobre las velas sea suficientemente chico. Si las velas se colocan perpendiculares


al viento, como se observa en la Figura 1.5a, es inevitable que las mismas entren en perdida y seproduzca una turbulencia ya que el flujo de aire no puede mantenerse adherido a las mismas.Por otra parte, si el angulo de incidencia del viento sobre las velas es demasiado chico, la succionproducida sera demasiado pequena para sostener su forma y estas flamearan como una bandera(Figura 1.5c).

En razon de estas limitaciones, un velero moderno puede navegar contra el viento hasta unangulo de incidencia de unos 40o. Si el timonel de una embarcacion intenta navegar a un angulo deincidencia menor, sus velas flamearan y la embarcacion se detendra por completo. Por el contrario,si bien el regimen turbulento no es optimo desde un punto de vista aerodinamico, es posible navegardirectamente a favor del viento sin problemas 2.

Figura 1.6: Velero bordejeando

Sin embargo, estos 40o de aproximacion al viento sonsuficientes para alcanzar cualquier destino mediante latecnica que se denomina bordejeada (o, mas coloquial-mente, tirar bordes). La misma consiste en describir unrecorrido de zig-zag con la embarcacion, avanzando pro-gresivamente en contra del viento. Ası, colocando las ve-las alternativamente de un lado y de otro de la embar-cacion se navega en direcciones simetricas respecto delviento. La maniobra que consiste en reorientar el barcode una direccion (“borde”) a la otra en este zig-zag sedenomina virar, y sera de particular interes para nuestrotrabajo.

Las situaciones ilustradas anteriormente son es-tereotıpicas: hay una buena parte de los regımenes queson mixtos (es decir, parcialmente turbulentos y parcial-mente laminares). Estos corresponden a los angulos deincidencia intermedios que se encuentran entre los 180o

y los 40o exhibidos en la Figura 1.5. Estas situacionesintermedias son en general las que permiten obtener unamayor velocidad, lo que redunda en algunas situacionescuriosas. Por ejemplo, en muchos barcos resulta mas rapi-do hacer una suerte de bordejeada para navegar no solocontra el viento ¡Sino tambien a favor!

1.1.2.2. Predicciones de velocidad

A pesar de los rasgos comunes que comenzamos a discutir, hay muchas diferencias entre unaembarcacion y otra. En el contexto de las carreras de barcos (regatas), sin duda una cuestionesencial es la velocidad. Con la tecnificacion progresiva del diseno naval, se desarrollaron modelosnumericos complejos de prediccion de velocidad para veleros que se conocen en el ambiente comovpps (Velocity Prediction Programs).

2Este tipo de navegacion es en general lenta e inestable. La expresion comun que dice que algo va “viento enpopa” no esta bien fundada desde el punto de vista nautico.


Los mismos intentan responder una pregunta aparentemente sencilla: ¿Que velocidad desarrol-lara una embarcacion? Para esto, se valen de algunos datos esenciales, en particular:

Las caracterısticas fısicas del barco (peso, longitud, superficie velica, etc.),

Las condiciones meteorologicas (intensidad, direccion del viento, tamano de las olas, etc.), y

La direccion en la que se desea navegar,

Es evidente que esta pregunta es muy relevante para el disenador de una embarcacion deregata. Sin embargo, resulta muy difıcil de responder. En primer lugar, la mecanica de fluidoscomputacional, herramienta primordial en el estudio de estos procesos, es un problema complejoen todas sus escalas. En segunda instancia, la cantidad de variables que afectan significativamenteel comportamiento de una embarcacion de vela es inmensa, lo que dificulta aun mas la simulacionnumerica. Por ultimo, las embarcaciones a vela funcionan a merced del viento y las olas, variablesque son practicamente imposibles de controlar en la escala necesaria. En particular, tuneles deviento y tanques de prueba nunca funcionan de manera combinada.

Sin ir muy lejos, recien con el advenimiento del gps fue posible hacer una medicion medi-anamente fiable de la velocidad de un barco en aguas abiertas. Antes resultaba esencialmenteimposible. Tengamos en cuenta que las velocidades en tierra se pueden medir con precision ¡Desdela invencion del cronometro!

A pesar de la inmensa dificultad, con el correr de los anos se desarrollaron varios sistemas deprediccion de velocidad que se comportan razonablemente bien. En gran medida, la motivaciondetras de estos desarrollos esta en la creacion de sistemas de handicap para permitir que compitanentre sı veleros distintos. En base a la prediccion de un vpp se puede establecer una serie decompensaciones que permita, hasta un punto, nivelar barcos mas lentos con otros mas rapidos.

Sin embargo, dada la gran complejidad del problema a atacar, estas formulas de medicionparecen estar condenadas al fracaso: una vez que una regla de handicap se torna popular, losingenieros navales comienzan a descubrir y explotar sus falencias, disenando barcos especıficamentepara tal fin. Por lo tanto, muchas veces se recurre a handicaps asignados “a ojo” (en general apuertas cerradas): “La Santa Marıa recorre la misma distancia que La Nina en 10 % menos detiempo”. Es el caso de las formulas phrf y irc.

La primera formula de medicion popular con fundamentos cientıficos fue el International Mea-surement System (ims) que surgio en 1985 a partir de la investigacion realizada en el mit porKerwin y Newman [21]. La misma consta de un vpp, que entrega una prediccion completa dela velocidad de cada barco en condiciones predefinidas, a partir de una serie de mediciones delmismo. Si bien ims tambien fue vıctima de la ingenierıa, por sus solidos fundamentos cientıficos sereedito en los ultimos anos (con actualizaciones varias) como la renovada formula Offshore RacingCongress (orc).

Sin lugar a dudas un gran aporte de la formula ims fue poner a disposicion del navegante comunla salida de un vpp de primera lınea, informacion que por lo general estaba reservada a los grandesestudios de diseno. Dicha informacion son las llamadas curvas polares caracterısticas de unaembarcacion.


0º

45º

90º

135º

180º

225º

270º

315º

2 4 6 8 10 12

Figura 1.7: Curva polar de un velero clase Farr 36 con 18 nudos de viento

La Figura 1.7 exhibe la curva polar caracterıstica de un velero de regata de 36 pies que navegacon un viento de 18 nudos de intensidad3. La velocidad del barco se representa en forma radial,mientras que el angulo de incidencia del viento sobre el barco esta representado en la coordenadaangular. Como era de esperarse, este barco no puede navegar directamente en contra del viento:con un angulo de incidencia de 0o, su prediccion de velocidad es de 0 kts. Mas aun, todos losangulos entre 0o y 28o (y los angulos simetricos, entre 0o y 332o) le estan “vedados”. Esta es lazona en que las velas del velero flamean.

Sin embargo, si el timonel orienta el barco de forma tal que el viento incida sobre el mismocon un angulo de 45o, podra desarrollar casi 8 kts de velocidad. Lo mismo ocurre con un angulode incidencia de 315o: este es el borde complementario en la situacion de bordejeada de la Figura1.6. En general, las curvas polares de las embarcaciones simetricas son simetricas dado que paraun mismo angulo de incidencia, el lado por el que incida el viento resulta indistinto.

Este barco ademas tiene la posibilidad de mejorar su velocidad en la direccion del viento (esdecir, con un angulo de incidencia de 180o) haciendo una nueva bordejeada. Como se observa en

31 nudo = 1 kt (knot) = 1 milla nautica por hora = 1.852 Km/h


la curva polar, navegando directamente con un angulo de 180o la velocidad sera de apenas 8 kts,mientras que si se realizan dos bordes con angulos de 155o y 205o respectivamente, la velocidadresultante en la direccion deseada sera bastante superior (alrededor de 11 kts). Esta velocidadresultante se conoce como Velocity Made Good (vmg), y es un concepto fundamental en navegaciona vela4. En efecto, la posibilidad que tienen los veleros de desplazarse mas rapido en la direcciondeseada haciendo una bordejeada en lugar de navegar en lınea recta es el punto de partida paranuestra investigacion.

Un vpp provee por lo general un conjunto de curvas, correspondiendo cada una de ellas a unaintensidad de viento particular. Cabe aclarar que si bien las consideraciones numericas efectuadascorresponden a un viento de 18 kts, las conclusiones se verifican para la mayorıa de los barcos enla mayorıa de las condiciones de viento, variando de forma cuantitativa pero no cualitativa.

1.1.3. Regatas de vela

Las competencias entre barcos de vela se agrupan esencialmente en dos categorıas.

El primer tipo de competencia es lo que se conoce como “regata de marcas fijas”. Como sunombre lo indica, el objetivo de los participantes es recorrer un circuito que se encuentra establecidopor puntos cuya ubicacion se conoce previamente a la largada de la regata. Por ejemplo, la regataCape Town - Rıo de Janeiro une las dos ciudades que le dan su nombre, y el objetivo de loscompetidores es llegar de una a la otra. Dentro de esta categorıa caen todas las regatas de largadistancia y muchas regatas costeras.

El segundo tipo se denomina “regata entre boyas” y se disputa en un circuito fijado expresa-mente para tal fin mediante la colocacion de boyas u otro tipo de marcas, por lo general flotantes.La diferencia principal es que dichas marcas se establecen en posiciones que varıan en funcion delas condiciones meteorologicas. La idea es que los barcos se vean obligados a navegar en rumbosparticulares respecto del viento reinante, en lugar de hacerlo en rumbos determinados por la posi-cion de marcas fijas. Dentro de esta categorıa estan todas las competencias olımpicas, y en generalla gran mayorıa de las de corta distancia. Algunos recorridos tıpicos que se plantean en este tipode regatas son:

Barlovento - Sotavento5: Las embarcaciones navegan primero en direccion opuesta alviento y luego en la direccion del mismo, por alguna cantidad de “vueltas” alrededor de lasboyas (por lo general 2 o 3 veces).

Triangulo Olımpico: Las embarcaciones navegan primero a barlovento, luego dos tramos(“piernas”) con el viento incidiendo sobre ellas a unos 135o, luego nuevamente a barlovento,sotavento y nuevamente barlovento para terminar.

La Figura 1.8 ejemplifica la disposicion de las marcas (boyas y lanchas) que determinan elrecorrido de una regata tipo Barlovento - Sotavento de 4 tramos en dos condiciones de vientodiferentes. Los organizadores de la regata son responsables de colocar las marcas de forma tanprecisa como les sea posible, aunque las condiciones meteorologicas adversas o cambiantes puedendificultar la tarea.

4El concepto de vmg se detalla en la Figura 2.25Se denomina barlovento a la direccion desde la que proviene el viento, y sotavento a la direccion en la que

este se dirige. El concepto es analogo al de “rıo arriba” y “rıo abajo”, solo que respecto de la corriente de aire.


N

(a) Con viento del Norte

N

(b) Con viento del Sudeste

Figura 1.8: Regata Barlovento - Sotavento de 4 piernas en distintas condiciones de viento

1.1.3.1. ¿Como se gana una regata?

En una regata de primer nivel, los participantes necesitan combinar una serie de cualidadespara poder lograr buenos resultados.

En primer lugar, el requisito mas evidente es tener un barco rapido. Sin embargo, en que con-siste un barco rapido depende fuertemente de la competencia. En una regata con un sistema dehandicap (como se describio en 1.1.2.2), es vital que la formula de calculo no sobrestime la ve-locidad del barco, ya que esto implicarıa una penalizacion. En una regata de monotipos (barcosidenticos), es importante que dentro de los lımites del reglamento la embarcacion sea tan rapidacomo sea posible. A su vez, las velas deberıan tener formas muy eficientes, y el conjunto deberıa sertan liviano como se permita. Este es trabajo del disenador y del armador del barco. Por otro lado,la tripulacion debe utilizar los ajustes disponibles a bordo para obtener la configuracion optima delas velas y del aparejo para lograr la mayor velocidad.

En segunda instancia, la tripulacion debe ser capaz de maniobrar eficientemente, realizan-do tareas tales como viradas, giros alrededor de boyas y cambios de velas en el menor tiempoposible y minimizando la perdida de rendimiento del barco durante las mismas. Para lograr estosera necesario un entrenamiento completo, puesto que la coordinacion resulta tan fundamentalcomo la aptitud fısica.

En tercer lugar, todas las situaciones problematicas en una regata son regidas por un ex-tenso reglamento de competencia, ası como por un reglamento naval basico (respectivamente, elReglamento de Regatas a Vela de la isaf y el Reglamento Internacional para la Prevencion deAbordajes). La aplicacion de este reglamento para obtener ventajas respecto de otros barcos den-tro de los lımites establecidos se denomina tactica, y es de particular importancia en las regatasde tipo match-race6.

6Regata en que solo participan dos embarcaciones


Por ultimo, la estrategia es fundamental. Se entiende por estrategia a la toma de decisionessobre el recorrido que debe realizar el barco para completar la regata en el menor tiempo posible.Como se advirtio anteriormente, en la gran mayorıa de las regatas las rutas directas entre lasmarcas no son optimas o no son factibles. Si a esto sumamos la naturaleza impredecible de losfenomenos meteorologicos que determinan el viento, se desprende que las decisiones estrategicasson sumamente complejas y probabilısticas. Involucran numerosas observaciones y estimacionesde variables muchas veces sutiles frente a condiciones cambiantes, ası como una buena habilidadpara cuantificar y evaluar riesgos. Las aptitudes necesarias para llevar a cabo todas estas tareasprovienen de ambitos sumamente disımiles. No en vano la navegacion a vela ha recibido los apodosmas llamativos, desde “ajedrez sobre agua” hasta, lisa y llanamente, “el deporte mas difıcil delmundo”7.

Nuestro trabajo se enfoca en el problema de la estrategia. Propondremos la aplicacion detecnicas de optimizacion combinatoria para asistir a los responsables de la toma de decisionessobre las rutas a seguir.

1.2. Estado del arte

1.2.1. La ventaja estrategica

En una embarcacion de regatas de tamano suficiente, un miembro de la tripulacion sera encar-gado de tomar las decisiones respecto de la ruta a seguir. Dependiendo del tipo de regata, deberanconsiderarse una serie de factores para realizar esta eleccion.

Por lo pronto, si las aguas a sortear presentan obstaculos, el estratega debera considerarlos ensu planteo. Estos obstaculos incluyen barcos hundidos, islas, piedras, zonas de escasa profundidadu otro tipo de escollos. En general, la informacion sobre los mismos se encuentra contenida en lascartas nauticas. Hoy por hoy, los dispositivos gps suelen incluir un plotter que puede mostrar unacarta digital al usuario, ası como notificarlo en caso de que su ruta se aproxime a un obstaculo.Alternativamente, se puede recurrir a una carta nautica tradicional de papel sobre la que se trazala ruta de la embarcacion.

Estos aspectos son relevantes tanto en la navegacion de regata como cuando se realiza unatravesıa. Sea cual sea el proposito de la navegacion, todo barco debe lograr sortear los obstaculosque encuentra en su camino sirviendose de la cartografıa y las boyas de senalizacion que pudieraencontrar. El manejo de este tipo de elementos es requisito para la obtencion de la habilitacionpertinente, ası como aprender a respetar las senales de transito es necesario para obtener un permisode conducir.

Sin embargo, un estratega que desea ganar una regata debe considerar cuestiones mucho massutiles. Como se menciono antes, la variabilidad propia del viento, en conjunto con la gran incidenciaque tiene este ultimo sobre la velocidad del barco, resulta de vital importancia al momento deplanear una ruta de navegacion.

Examinemos las situaciones presentadas en la Figura 1.9. En ambos casos se trata de dosembarcaciones identicas navegando en direccion contraria a la del viento, y teniendo que recurrir

7Seguramente el autor de esta caracterizacion era un eximio navegante.


(a) Con viento constante (b) Con viento “curvo”

Figura 1.9: Rutas alternativas en una navegacion hacia barlovento

por ende a una bordejeada. Como se observa en la Figura 1.9a, en condiciones de viento constante(tanto en el espacio como en el tiempo), dos embarcaciones que navegan en direcciones simetricasdesde la lınea de partida no logran ventajas entre sı a pesar de haber recorrido rutas sustancialmentedistintas. Por supuesto, esto esta supeditado a que ambas utilicen los rumbos de maximo vmg haciabarlovento como se describio en 1.1.2.2.

Por otra parte, en la Figura 1.9b se observa una situacion conocida como “viento curvo”, en laque la direccion del viento varıa segun la posicion dentro de la cancha de regatas. Esta situacionpuede producirse en una variedad de escenarios. El mas simple es la proximidad de la costa o dealgun otro obstaculo cuya presencia afecta la direccion del viento, pero vientos de origen termico8

suelen presentar tambien esta caracterıstica en proximidades de la costa. Dado que los velerosmantienen un angulo constante respecto del viento (el que les proporciona un mayor vmg), sustrayectorias resultan tambien curvas, y de esta curvatura una de las embarcaciones obtiene unbeneficio sustancial, posicionandose por delante de la otra.

Existe una tercera situacion9, que corresponde a una variacion del viento ya no en el espacio sinoen el tiempo. Si cuando los veleros se encuentran en la mitad de la navegacion el viento cambia sudireccion en toda la extension de la cancha de regatas, por el hecho de estar en posiciones diferentesuno de ellos se vera aventajado sobre el otro. Algo similar ocurre con la intensidad del viento, quepuede variar tanto en el tiempo como en el espacio.

1.2.2. Herramientas existentes

Como se vio en el apartado anterior, se puede obtener una ventaja (en muchos casos decisiva) sise logran predecir correctamente los cambios en las condiciones meteorologicas. En particular, paracada ubicacion dentro de una cancha de regatas durante el lapso en que transcurra la competencia,

8Los vientos termicos son los que se originan por la circulacion convectiva del aire causada por una diferencia detemperatura entre superficies contiguas, por lo general el mar y su costa lindante. La “brisa de mar” que se observaregularmente en las playas es de este tipo. Este fenomeno se explica con mayor detalle en 1.2.3.1.

9Esta situacion es posiblemente la mas comun de las tres, pero resulta la mas difıcil de representar en papel.


deben considerarse tres factores:

La intensidad y la direccion del viento

La intensidad y la direccion de la corriente

El tamano del oleaje

A partir de una prediccion fiable de estos tres parametros, con la ayuda de un vpp puedenobtenerse las velocidades de una embarcacion a lo largo de una ruta, y con ellas, el tiempo nece-sario para recorrerla. Mas aun, teniendo la forma de establecer el costo de una ruta (lo que ennuestra area de interes corresponde al tiempo necesario para recorrerla), con el tiempo de computosuficiente puede obtenerse una ruta optima para las condiciones previstas. Si bien esto presentauna utilidad evidente en regatas, el desarrollo de aplicaciones de ruteo meteorologico (“weatherrouting”) comenzo por el transporte de cargas.

Los buques de carga, a pesar de no ser propulsados por el viento, se ven afectados de todosmodos por las condiciones meteorologicas que encuentran en sus rutas. El impacto de las olas puede,en funcion de su tamano, disminuir la velocidad de los barcos o poner en juego su estabilidad. Laintegridad estructural de los sistemas de sujecion de carga tambien se exige mas en condiciones demar agitado. Estos factores tienen una incidencia medible sobre la duracion de los trayectos, losconsumos de combustible y las probabilidades de falla mecanica o estructural de los buques. Enel contexto de una flota grande, los costos se amplifican y realizar una optimizacion de rutas sevuelve conveniente, si no necesario para competir en un mercado global.

(a) Navegacion con marejada (b) Danos a la carga

Figura 1.10: Efectos de las condiciones meteorologicas sobre buques a motor

En los inicios de estas tecnologıas, las rutas se optimizaban en una oficina especialmente dis-puesta en tierra para tal fin, que tenıa acceso al poder de computo requerido y a la informacionmeteorologica pertinente. Stoter argumento que esta tarea debıa, en la medida de lo posible, re-alizarse a bordo puesto que los tradeoffs involucrados en las decisiones de ruteo solo podıan serevaluados adecuadamente por el comandante de la embarcacion [32]. Hoy por hoy, la tecnologıainformatica hizo de esta propuesta una realidad, y la herramienta se transfirio a las embarcacionesde vela en competencia, ası como mas adelante a las de placer.

Actualmente una embarcacion que compite en regatas de larga distancia de buen nivel utilizanecesariamente un software de optimizacion de rutas que se alimenta de modelos meteorologicosde diferentes escalas. El Global Forecast System (gfs) que ejecuta diariamente la National Oceanicand Atmospheric Administration (noaa) provee un pronostico de hasta 16 dıas de anticipacion.


El modelo que utiliza gfs subdivide la superficie del globo en una retıcula de 35 Km de lado, ysu atmosfera en 64 capas verticales, de las que predice la evolucion cada 3 horas para las primeras180 horas, y luego cada 12 horas hasta completar los 16 dıas. De toda esta informacion, las capasde menor altura son las que resultan de interes para un navegante.

El pronostico del que se sirve un software de optimizacion de rutas se carga generalmente deuna version resumida de la salida de gfs, en la que se consideran solamente las capas y zonas deinteres. Ası, se produce un archivo grib (Gridded Binary) que muestra la intensidad y direccion delviento para cada sector de una retıcula a intervalos de tiempo discretos. Esta retıcula correspondea una ubicacion geografica particular, ası como a un momento dado.

Figura 1.11: Datos de viento del modelo gfs para parte del Atlantico Sur

Armado de este pronostico y de una prediccion de performance del barco en cuestion, unsoftware de optimizacion de rutas puede calcular una ruta optima para la embarcacion. Productoscomerciales que realizan esta tarea y estan orientados a competencias de veleros son Expedition[33],Deckman[4] y Adrena[1], utilizados por numerosos competidores.

1.2.3. Limitaciones caracterısticas

Cualquier modelo meteorologico tiene una limitacion inherente: sus predicciones son, comomucho, una buena aproximacion. Por esta razon, la utilidad de las herramientas informaticas


esta relacionada directamente con la capacidad de las mismas de obtener resultados valiosos, quea su vez depende en gran medida de la calidad de los pronosticos.

El problema es grave en la medida en que los criterios de optimalidad utilizados para la seleccionde rutas, ası como los metodos utilizados, no tienen en cuenta ninguna nocion de riesgo frente acambios inesperados en el pronostico. La naturaleza discreta de las tecnicas empeora aun mas lasituacion. Ası, un cambio menor en las condiciones meteorologicas puede tener consecuencias muygraves sobre el costo total de la ruta utilizada.

Es posible realizar optimizaciones robustas frente a estas discrepancias entre las prediccionesy la realidad. La aplicacion de tecnicas de optimizacion estocastica a ruteo de embarcacionesfue abordada por Philpott y Mason en [25], pero no tenemos conocimiento de que este tipo dealgoritmos se utilice en ningun software comercial.

1.2.3.1. Distintas escalas de optimizacion

Sin embargo, existe una problematica fundamental con el ruteo basado en pronosticos. De losfactores meteorologicos de interes para el calculo de rutas, la intensidad y direccion del viento sonsin duda los mas importantes. Detengamonos un momento sobre este.

El viento se desarrolla a escala global por la existencia y desplazamiento de centros de alta ybaja presion (lo que se conoce como viento de escala sinoptica), y a escala local por fenomenostermicos costeros o bien por la formacion de nubes de tormenta localizadas. Si bien modelos decirculacion global como gfs pueden predecir de forma bastante certera los vientos sinopticos convarios dıas de anticipacion, los fenomenos costeros son mucho mas complejos y dependientes desutilezas geograficas.

(a) Conveccion en una ciudad costera (b) Brisa de mar resultante

Figura 1.12: Formacion de una brisa de mar

La “brisa de mar” caracterıstica de ciudades costeras se origina por el calentamiento de un suelode baja capacidad termica (como el hormigon) que alimenta un proceso convectivo. Este procesose ilustra en la Figura 1.12. Vientos de estas caracterısticas no se observan en las predicciones delos modelos globales como gfs ya que dependen de cuestiones muy especıficas de la zona (como


por ejemplo, la composicion de los suelos costeros y el nivel de radiacion solar recibido cada hora),que no son tenidas en cuenta.

Existen modelos mas detallados que pueden realizar este tipo de predicciones para algunasregiones del mundo. Algunas regatas de gran convocatoria producen una demanda suficiente parapronosticos de alta resolucion de las areas a recorrer. No obstante, la gran mayorıa de los modelosde circulacion atmosferica para prediccion de vientos consideran al viento de superficie como unacondicion de borde compleja y se abstienen de modelarlo.

Por supuesto, la dinamica compleja del aire en superficie resulta a su vez inmanejable computa-cionalmente incluso para modelos regionales o de menor escala. Mas aun, el viento superficial en elque los veleros se desplazan presenta caracterısticas como rafagas o pequenas variaciones de direc-cion, que se originan en fenomenos de turbulencia en la circulacion del aire. Aun si se dispusieradel poder de computo suficiente, los fenomenos turbulentos son inherentemente impredecibles.

Esto no invalida de ningun modo la utilizacion de modelos numericos de pronostico meteo-rologico como punto de partida para la optimizacion de rutas. No hay mas que observar el historialde resultados obtenidos por navegantes que utilizaron este tipo de herramientas en regatas delargo aliento para probar su efectividad practica. Sin embargo, la utilidad de este tipo de her-ramientas disminuye a medida que las competencias son de menor distancia, ya que los fenomenosmeteorologicos que las dominan seran de menor escala y por lo tanto, menos predecibles.

Ası, un software de optimizacion de rutas basado en pronosticos es indispensable para el nave-gante oceanico, util para quien compite en regatas costeras de media distancia, y no se utilizajamas en regatas entre boyas como las de la Figura 1.8. Esto no responde unicamente a problemasde capacidad de computo: las estrategias a utilizar para ganar una regata de 2 horas no son lasmismas que para una regata de 30 dıas.

En una regata de algunas horas, seran los navegantes que mejor reaccionen a los cambios deviento que perciban en su barco los que puedan tomar ventaja sobre el resto. En una regataoceanica, la mayorıa de las veces sera una decision de ruteo la que condicione el resultado (porejemplo, navegar por el sur o el norte de una isla a sortear). Es facil trazar un paralelismo conuna situacion mas estudiada de estrategias frente a incertidumbre: las inversiones en mercadosfinancieros.

Figura 1.13: Cotizacion accionaria

Las regatas de larga distancia funcionan como las in-versiones a largo plazo. En base a una estimacion mas omenos formal de las fluctuaciones que espera que se pro-duzcan, un inversor puede comprar acciones que esperaque tengan una tendencia alcista por un perıodo extenso.Por ejemplo, quien confıe en la polıtica de desarrollo in-dustrial de Brasil podra comprar un paquete accionariocon activos en industrias de ese paıs, con la intencion deconservarlas por varios anos.

Las regatas entre boyas funcionan como inversiones acorto plazo (lo que en finanzas se conoce como micro trad-ing). En estas situaciones, los inversores siguen muy decerca las tendencias de sus acciones, comprando cuandoconsideran que se alcanzo un mınimo, y vendiendo cuan-


do consideran que se alcanzo un maximo. El intervalo sobre el que se consideran estos maximos ymınimos dependera de cada inversor y de su aficion o aversion al riesgo. Este tipo de fluctuacion esinherentemente impredecible: los vencedores son los que reaccionan mas rapido, razon por la queeste tipo de trading se lleva a cabo generalmente de forma automatica.

Por ejemplo, si bien la cotizacion accionaria en la Figura 1.13 denota una tendencia global ala baja (flecha roja), hay varios intervalos de crecimiento a lo largo del perıodo. Quien compre yvenda durante el perıodo abarcado por la flecha verde podra obtener un beneficio de esa inversion.

Los dos tipos de inversion descriptos no se diferencian solo por su escala temporal: las estrategiasa utilizar son esencialmente distintas. Lo mismo ocurre con las rutas a utilizar en regatas. Esto nosignifica que una variacion de escala sinoptica no pueda inclinar la balanza en una regata de cortadistancia, ni que una competencia oceanica no pueda ganarse por pequenos borneos10: simplementeno es lo que ocurre en la enorme mayorıa de los casos.

En funcion de esta limitacion de los modelos tradicionales para optimizar estrategias en regatasde corta distancia, practicamente todos los modelos de optimizacion estan orientados a grandesdistancias. Por esta razon, desprecian sistematicamente el costo de las viradas, que en regatas decorta distancia puede ser significativo.

1.2.3.2. El agua

Nos enfocamos hasta aquı en como el viento afecta a las embarcaciones en su navegacion.La corriente que pueda existir en el agua navegada puede resultar del mismo modo un factordeterminante, ası como las olas que se produzcan.

Figura 1.14: Pronostico de corriente

En esencia, la corriente puede ser mod-elada de forma analoga al viento y contem-plada a su vez por los algoritmos de ruteo.En muchos casos la corriente tiene su origenen mareas meteorologicas o astronomicas.En general, ambos tipos de marea puedenpredecirse con mayor precision que el vien-to. Al igual que en el caso de este ultimo,existen pronosticos comerciales de alta res-olucion para zonas de interes particular.

Las olas, a su vez, pueden deducirse conbastante confiabilidad a partir de informa-cion de viento, corrientes y caracterısticasdel lugar a analizar (como por ejemplo, laprofundidad del espejo de agua).

Nos conformaremos en este punto con aclarar que la corriente debera necesariamente ser tenidaen cuenta para realizar un modelo apropiado de optimizacion de rutas. Veremos mas adelante comose encaro este problema.

10Borneo: variacion en la direccion del viento


1.3. Resumen del trabajo

El objetivo de nuestro trabajo es desarrollar tecnicas que ayuden al estratega a cargo de unaembarcacion a tomar decisiones apropiadas cuando las situaciones no son aptas para la optimizacionbasada en pronosticos, en particular regatas costeras de corta duracion. Ası, nos proponemos ayudara los regatistas a tomar decisiones mas informadas en cuanto a las rutas que deben utilizar, a partirdel analisis en tiempo real de la informacion de los instrumentos del barco.

Los metodos obtenidos seran necesariamente heurısticos: la informacion inherentemente incom-pleta que el navegante puede obtener proviene de los instrumentos de su embarcacion, y no incluyedatos meteorologicos mas que sobre el punto en que se encuentra el barco, tanto en el tiempo comoen el espacio.

Para ello, construimos en primer lugar un modelo como los incluidos en los paquetes comerciales,con la sofisticacion adicional de que permite contemplar los costos de las viradas (como fueraaclarado en su momento, en regatas de corta distancia estos no son despreciables). El mismo nossirve de benchmark para evaluar nuestras heurısticas.

A continuacion, desarrollamos una serie de heurısticas basadas en un relevamiento de la liter-atura no academica, un trabajo de campo en contacto con estrategas que compiten regularmenteen regatas de corta distancia y la experiencia previa con la que contamos. Las mismas pueden com-pararse contra los resultados optimos obtenidos por el modelo de optimizacion, con la salvedad deque estas ultimas no tienen a su disposicion la informacion completa sino unicamente la del lugardonde se encuentran.

Por ultimo, desarrollamos un generador de escenarios simulados para realizar las pruebas denuestras heurısticas en condiciones verosımiles, dada la imposibilidad practica de realizar medi-ciones en un entorno real. Para ello entrevistamos a un experto local en meteorologıa de pequenaescala aplicada a regatas.

Gracias a las simulaciones realizadas, pudimos optimizar los parametros de nuestras heurısticasy evaluar su rendimiento en comparacion con las rutas optimas. Logramos obtener resultados muyalentadores utilizando informacion incompleta.

Esta tesis se organiza de la siguiente manera:

El Capıtulo 1 es esta introduccion, que pretende establer los conceptos basicos de navegaciona vela y de la competencia en regatas, ası como las posibles ventajas de utilizar un sistemade estrategia computacional, y las limitaciones de los productos existentes.

El Capıtulo 2 ahonda en el modelo de grafos que planteamos para el problema de optimizacionde rutas de veleros, incluyendo particularidades como el calculo de los costos de navegacionen distintas condiciones de viento y corriente.

El Capıtulo 3 describe la construccion de un algoritmo eficiente de caminos mınimos parael calculo de rutas optimas en el modelo descripto previamente, bajo la hipotesis de que seconoce toda la informacion meteorologica de la situacion que se desea analizar.

El Capıtulo 4 motiva y describe una serie de heurısticas que propusimos a partir del analisisdel problema, el conocimiento del dominio y la discusion con navegantes experimentados.


El Capıtulo 5 detalla el modelo experimental de simulacion que construimos para generarescenarios donde ejecutar nuestros algoritmos, ası como los resultados de los experimentosrealizados a partir de estos ultimos.

El Capıtulo 6 corresponde a las conclusiones, donde se detallan ademas investigaciones quepodrıan realizarse en el futuro.


Capıtulo 2

El modelo

2.1. La prediccion de velocidad

Antes de plantear un modelo capaz de optimizar las rutas para una embarcacion, es necesarioestablecer de que manera se procedera para predecir la velocidad de un barco en condicionesdadas. Como se discutio en la Seccion 1.1.2.2, un vpp entrega la prediccion de performance de unaembarcacion en forma de un conjunto de curvas polares caracterısticas como la de la Figura 1.7.

Dichas curvas polares son a su vez resumidas en forma de una tabla con algunos valores sig-nificativos que deben ser interpolados en software para obtener datos completos. Como vimosanteriormente, de la lectura directa de la curva polar para una intensidad de viento determinada,se desprende la velocidad que se espera del barco en esa condicion. Ası, en la Figura 2.1a se observacomo se interpreta la curva polar: representa la isocrona 11 para un tiempo de una hora.

0º

45º

90º2 4 6 8 10 12

(a) Velocidad

0º

45º

90º2 4 6 8 10 12

(b) Velocity Made Good to Course

Figura 2.1: Metricas alternativas de velocidad

Asimismo, hay otras dos nociones de velocidad que resultan particularmente relevantes parala navegacion a vela y que se derivan de la caracterizacion anterior. La primera es el conceptoconocido como Velocity Made Good to Course (vmc) que corresponde a maximizar la proyecciondel vector velocidad del barco sobre la direccion deseada. Esta ultima metrica corresponde a laFigura 2.1b.

La segunda es la llamada Velocity Made Good (vmg) que mencionamos en la Seccion 1.1.2.2. El

11Curva que une todos los puntos alcanzables en un intervalo de tiempo dado. Corresponde a la curva de nivel dela funcion “mınimo tiempo necesario para alcanzar el punto P”.


vmg es la velocidad que puede desarrollar una embarcacion en una direccion dada, con la relajacionadicional de que no necesariamente debe navegar en lınea recta. Ası, el barco tiene la posibilidadde bordejear, y el vmg es la velocidad resultante de dicha bordejeada. El vmg esta dado por lafrontera de la capsula convexa del conjunto delimitado por la curva polar [26]. La Figura 2.2 ilustraeste concepto.

135º

180º

2 4 6 8 10

Figura 2.2: Velocity Made Good

En nuestra implementacion, utilizamos curvas po-lares de referencia producidas por el vpp de ims [21],que se encuentran disponibles en forma de tabla conlas velocidades esperadas para varios angulos de nave-gacion respecto del viento, y para varias intensidadesde este ultimo. Estos valores son interpolados lineal-mente para tener mayor precision en las predicciones.

2.1.1. Velocidad bajo corriente

Se denomina “corriente” al movimiento del aguaen que el barco se desplaza. Como se discutio has-ta el momento, la estimacion de la velocidad de unvelero bajo condiciones dadas de viento, incluso sincorriente, es un tema complejo. Sin embargo, resultaa priori muy simple estimar la velocidad de un veleroque es unicamente arrastrado por la corriente: su ve-locidad es precisamente la de esta ultima, tanto endireccion como en intensidad.

A

B

B'

Figura 2.3: Impacto de la corriente

Al igual que el viento, la corriente puede modelarseapropiadamente con un vector que la represente. Unasimple suma de vectores permite entonces aproximarla posicion esperada de una embarcacion tras un ciertoperıodo de tiempo sometida a una corriente.

El problema primordial con esta caracterizaciones que no responde a la pregunta que es pertinentepara nuestro modelo: ¿Dados un viento y una cor-riente constantes, que tiempo le insume a un barconavegar desde un punto A hasta un punto B? Efec-tivamente, la suma vectorial solo nos indica dondeestara un barco que en ausencia de corriente habrıaalcanzado un punto dado en cierta cantidad de tiem-po. Esto corresponde a la situacion de la Figura 2.3,donde la corriente desplaza a un barco que normal-mente hubiera llegado de A a B hacia un tercer punto B’.

Mas aun: este modelo no es mas que una aproximacion porque presupone que la velocidad queconfieren a la embarcacion el viento y la corriente son estrictamente independientes. Lamentable-mente, esta suposicion no es correcta. En todo nuestro trabajo, consideramos que tanto vientocomo corriente son medidos desde un punto de referencia fijo a la tierra o al fondo de un espejode agua de interes. Sin embargo, el viento que percibe una embarcacion que navega puede ser sus-


tancialmente distinto, ya que es necesario ademas tomar en cuenta la velocidad del propio barco.El viento medido por un anemometro12 de a bordo se denomina viento aparente (VA), y puedeser significativamente distinto de aquel que se mide desde un punto de referencia fijo (el llamadoviento real VR), tanto en direccion como en intensidad.

Figura 2.4: Viento aparente

La Figura 2.4 ilustra la diferencia que existeentre viento real (en verde) y viento aparente(en azul). El viento aparente VA es el que cap-turan los instrumentos del barco. A su vez, elangulo α es el angulo de incidencia del vientosobre el barco que debe utilizarse como entra-da para consultar la velocidad esperada en lascurvas polares caracterısticas.

Asimismo, dado que la corriente afecta lavelocidad de navegacion del barco, modifica asu vez la direccion e intensidad del viento en elque este navega. Ası, un barco que se encuen-tra en un dıa de ausencia total de viento sobreun canal cuya corriente es de 5 kt percibira unviento de velocidad igual a la de la corriente,y direccion exactamente opuesta13. Por lo tan-to, si se desea utilizar la prediccion polar develocidad de un barco, sera necesario antes deconsultar la curva corregir tanto la velocidadcomo la intensidad del viento que percibe este,ası como adicionar la velocidad que le imprimela corriente a la embarcacion de forma directa.

Figura 2.5: Viento de navegacion

Este nuevo viento corregido corresponde auna medicion hecha desde un punto de ref-erencia que se encuentra a la deriva (es ar-rastrado por la corriente), y es mencionado enpocas oportunidades por la literatura nautica.Suponemos que esta omision se debe al hechode que en contextos tıpicos, la informacion deviento que se utiliza a bordo proviene de losinstrumentos del barco, y por lo tanto ya in-cluye la modificacion que se produce por causade la corriente. Sin embargo, en el contexto deruteo optimo trabajaremos con un sistema dereferencia fijo en la superficie terrestre, y por lotanto nos resultara necesaria la diferenciacion.Rushall llama a este viento sailing wind [29],traduciremos esta nomenclatura como vientode navegacion (VN).

12Instrumento que mide la velocidad del viento.13Esto es una nueva simplificacion, puesto que presupone que la friccion entre el agua y el aire es despreciable,

pero es una aproximacion razonable.


La Figura 2.5 ilustra el viento de navegacion VN y su derivacion, a saber VN = VR − C. A suvez, este cambio de viento afecta el angulo de incidencia del viento sobre la embarcacion, y ahoradebe utilizarse α′ en lugar de α como dato de consulta para prediccion de velocidad de las curvaspolares.

Como mencionamos antes, la razon primordial de tener en cuenta la corriente es poder predecircon exactitud cual es el menor tiempo que insume el barco de interes para navegar entre dos puntosA y B de coordenadas conocidas bajo condiciones meteorologicas homogeneas. Esta prediccion esesencial para el modelo que presentaremos a continuacion.

Para proveer al modelo de una prediccion util, generamos un nuevo conjunto de curvas polaresque incluyen todas las variaciones introducidas por la corriente (la velocidad del barco, la velocidaddel viento y la direccion del viento). Para llevar a cabo esta tarea se calcula en primer lugar elviento de navegacion, se obtiene la curva polar caracterıstica para ese viento y luego se aplicauna traslacion en el plano por el vector de corriente. Esta transformacion refleja el incremento develocidad que la corriente proporciona al barco sobre el sistema de referencia terrestre.

La traslacion del polıgono polar introduce un problema. Como toda funcion polar continua, sucurva representativa debe contener a un conjunto star shaped y el origen debe estar contenido enel kernel del polıgono14.

Esto puede no ocurrir: bajo los efectos de la corriente, es posible que haya dos o mas manerasdiferentes de navegar en una misma direccion, lo cual introduce una ambiguedad. Afortunada-mente, las consultas a responder involucran la velocidad maxima que alcanza el barco en unadireccion dada, con lo cual en caso de haber varias opciones simplemente se considerara la demayor magnitud.

La Figura 2.6 exhibe la diferencia en la prediccion de velocidad. La curva rosa corresponde ala curva entregada por el vpp, que considera unicamente el viento (que en este caso sopla desdela direccion 0o a 10 kts), mientras que la de color azul claro corresponde a la curva modificadapor la corriente. Esta segunda curva corresponde a VN : un viento levemente mas intenso (10.45kts) y con una orientacion algo distinta (343o). Ademas, la curva sufre la traslacion producto de lavelocidad que la corriente imprime directamente al barco. En razon de ello, la curva polar celesteesta desplazada en la direccion de dicha corriente. Sin embargo, al no cumplir la curva celeste conel criterio geometrico descripto unas lıneas atras, debe ser ajustada logrando ası la curva azul final.

Notese que en presencia de corriente sustancial, la caracterizacion nos indica que la embarcaciones capaz de navegar directamente en la direccion opuesta a VR, sin necesidad de bordejear. Sinembargo, no podra hacerlo directamente en contra de VN , que es el que se percibe sobre el agua.

Provistos de esta caracterizacion adaptada, disponemos entonces de una prediccion apropiadade la velocidad del barco en cualquier direccion bajo condiciones homogeneas de viento y corriente,lo cual nos servira de punto de partida para nuestro modelo.

14Un conjunto S es star shaped si en el existe un punto P tal que para todo punto Q dentro del conjunto, elsegmento que une P y Q esta contenido en el conjunto. El kernel de S es el conjunto S∗ ⊆ S de todos los puntosP que verifican esto ultimo.


0°

45°

90°

135°

180°

225°

270°

315°

2

4

6

8

10

12

14

10 kts de viento, sin corriente

10 kts de viento, 3 kts de corriente (trasladado)

10 kts de viento, 3 kts de corriente (final)

Figura 2.6: Predicciones de velocidad de un Farr 36 con 10 nudos de viento


2.2. Modelado de la cancha

2.2.1. El area de interes

En base a lo discutido anteriormente, proponemos un modelo discreto de la navegacion de unvelero sobre un espacio de agua, con condiciones igualmente discretas de viento y corriente. Ası,considerando intervalos de condiciones uniformes, podemos utilizar las herramientas descriptas enla seccion anterior para computar las velocidades esperadas del barco en cada intervalo. Luego,a partir del conocimiento de cada intervalo podremos caracterizar la navegacion sobre cualquierruta.

Para modelar el problema dividimos la superficie navegable en una grilla cuadrada de A × Asectores. Cada sector de dicha grilla (de aquı en mas, “cuadrante”) tiene condiciones uniformesde viento y corriente: en cualquier punto del mismo, direccion e intensidad tanto del viento comode la corriente son constantes. Si suponemos que cada cuadrante tiene un lado de alrededor de 50metros, la suposicion resulta razonable para las velocidades e intervalos de tiempo a considerar.Discretizaciones del area a navegar son discutidas en la literatura [24, 26], y se utilizan por logeneral en los softwares de optimizacion de rutas a gran escala.

En particular, si consideramos que un velero similar al ilustrado en la Figura 1.7 se desplaza avelocidades que usualmente oscilan entre 5 y 15 kts, resulta que el tiempo esperado para recorreruna distancia de 50 metros es de entre 7 y 20 segundos. Dado que una pierna15 convencional puedeinsumir entre 15 y 25 minutos, y que la cuestion de mayor interes sera donde deberan realizarselas viradas, la discretizacion propuesta presenta numerosas oportunidades para llevar a cabo estasmaniobras, muchas mas de las que se suelen utilizar en la practica.

Identificaremos a los cuadrantes por un par ordenado (i, j), siendo el cuadrante inferior izquierdoel que corresponde al par (0, 0), incrementando el ındice i hacia la derecha y el ındice j hacia arriba,hasta asignar el par (A,A) a la esquina superior derecha. Una vez caracterizada ası la superficiede agua a modelar, se podran establecer puntos arbitrarios dentro de dicha area como origen ydestinos de la ruta.

Dado que la cancha no necesariamente tiene forma cuadrada, sino que puede presentar irreg-ularidades varias (islas, zonas de baja profundidad, costa, etc.), es posible establecer cuadrantesinvalidos que se ven excluidos del area de navegacion. Esto se ejemplifica en la Figura 2.7.

Si bien cada cuadrante presenta condiciones homogeneas de viento y corriente, ambos factorespodran cambiar a lo largo del tiempo. Para ello, consideraremos una discretizacion de esta terceradimension, por lo que consideraremos al viento como una funcion Viento: (N≤A ×N≤A ×R>0)→(R× R).

Consideraremos que tanto la intensidad como la direccion del viento cambian a intervalos dis-cretos, de modo que entre dos momentos de cambio dados, el viento en un cuadrante sera constante.Es decir, existe un conjunto T de tiempos {t0 = 0, t1, ...., tn, tn+1 = ∞}, tal que en el intervalo[ti, ti+1) el viento no varıa. Esto corresponde a decir que para cada t dentro del intervalo estudiado,el viento solo depende del cuadrante de la cancha. Mas formalmente:

∀t, i, j/tk ≤ t < tk+1, V iento(i, j, t) = V iento(i, j, tk)

15Pierna: tramo del recorrido de una regata


(a) Cancha de regatas (b) Cuadrantes asociados para A = 10

Figura 2.7: Discretizacion en cuadrantes para una regata en Punta del Este

La corriente se considerara de forma analoga al viento, ya que como se discutio en la Seccion2.1.1, puede ser modelada con un vector en R2. Si bien utilizaremos una discretizacion del planoidentica tanto para corrientes como para vientos, no es necesario que los intervalos temporalesde cambio de viento y de corriente sean compatibles. Esta situacion puede resolverse facilmentemodificando los intervalos y obteniendo ası funciones de viento y corriente identicas a las originalespero cuyos intervalos de cambio sı son compatibles entre sı.

2.2.2. El grafo de rutas

Dado que nuestro objetivo al modelar la cancha es evaluar los costos de navegacion de un velerosobre la misma para luego poder optimizar su ruta, asociaremos a la discretizacion descripta en laseccion anterior un grafo dirigido. Cada nodo del grafo tendra asociada una posicion en el planoconsiderado, y los costos de los arcos corresponderan al tiempo que le insume al velero navegarentre esas dos posiciones.

Ademas, se restringen las posiciones de los nodos a los contornos de los cuadrantes. En prin-cipio, dado que las condiciones dentro de cada cuadrante son homogeneas, esta restriccion resultarazonable. Ası, se considera un tercer parametro n para el modelo que establece cuantos nodos sedisponen sobre cada lado de cada cuadrante. Por las ubicaciones de los nodos sobre los bordes dedichos cuadrantes, resulta que un mismo nodo puede hallarse en contacto con mas de uno de ellos.Los nodos se identifican con un par ordenado (u, v), analogamente a lo descripto antes para loscuadrantes de la discretizacion del area navegable.

Es importante notar que el parametro establece la cantidad de nodos por lado de cada cuad-rante, pero no directamente la cantidad de nodos del grafo, ya que esta depende de la dis-cretizacion. Dada una discretizacion de la cancha en A × A cuadrantes, la cantidad de nodostotal es (A+ 1)(1 +A(n− 1)) + (n− 2)A(A+ 1)) ∈ O(A2n)


Utilizaremos ademas dos nodos distinguidos, inicial y final, que corresponden a los puntos departida y destino de la ruta que deseamos considerar en nuestro modelo. Los nodos del grafo hastaaquı descriptos se pueden observar en la Figura 2.8.

Nodo (0, 12)

Nodo (0, 0)

Nodo (9, 0)

Nodo (12, 6)

Nodo (12, 12)

Inicial

Final

Figura 2.8: Nodos sobre la discretizacion de un area para A = 4 y n = 4

2.2.2.1. Las maniobras

Consideramos en una primera aproximacion establecer un arco entre dos nodos del mismocuadrante si, segun la caracterizacion polar de la embarcacion, es posible navegar directamenteentre ellos teniendo en cuenta el viento y la corriente reinantes dentro del cuadrante en cuestion.Si bien esta idea es valida, un camino dentro de este grafo no modela correctamente las rutas deinteres para nuestro trabajo ya que no involucra ningun costo para las viradas. Como se habıaanticipado en la Seccion 1.2.3.1, para regatas de corta distancia el costo de las mismas no resultadespreciable, por lo que el modelo no es apropiado.

Recordemos: una virada es la maniobra en la que un barco de vela cambia su direccion denavegacion (y la orientacion de sus velas) para que el viento deje de incidir por uno de los ladosdel barco y pase a incidir sobre el otro. Esta maniobra es la base de la bordejeada que permite aun velero navegar contra el viento, y fue presentada en la Figura 1.6. Observemos esto con mayordetalle en la Figura 2.9a.


(a) Viradas (b) Trasluchadas

Figura 2.9: Distintos tipos de maniobras que realizan los veleros

En dicha figura los discos azules representan a la tripulacion de la embarcacion, y las lıneasnegras a sus velas. Como se observa, ambos deben cambiar su posicion en la embarcacion paraadecuarse al cambio en el angulo de incidencia del viento sobre la misma. Esta movilizacion depersonas, ası como el tiempo en que las velas no trabajan correctamente durante la maniobra afectanegativamente la velocidad del barco.

La virada ocurre cuando el velero gira de modo a presentar su parte delantera (proa) al vientoy seguir su camino hasta establecerse con el viento por su otro lateral. Una segunda maniobra, latrasluchada, ocurre cuando el velero gira de modo a presentar su parte trasera (popa) al viento.En funcion de si las velas pasan de izquierda a derecha o viceversa, tanto viradas como trasluchadasofrecen dos variantes simetricas que se observan en las figuras.

Amurasa estribor

Amurasa babor

Ceñida

Popa

Figura 2.10: Tipos de navegacion

En la jerga nautica, se dice que un barco que nave-ga con sus velas sobre el lado izquierdo de la embar-cacion navega con amuras a estribor, mientras quesi lo hace con sus velas sobre el lado derecho nave-ga con amuras a babor. Por ejemplo, en la Figura2.9a, el barco de la izquierda navega inicialmente conamuras a estribor, y luego de la virada continua conamuras a babor. Analogamente, en la Figura 2.9b, elbarco de la izquierda navega primero con amuras a es-tribor y luego de la trasluchada pasa a tener amuras ababor. En resumidas cuentas, viradas y trasluchadasson maniobras que permiten a un velero cambiar deamura.


(cenida,estribor) (cenida, babor) (popa, babor) (popa, estribor)

Figura 2.11: Ejemplo de arcos para un grupo de nodos hermanos segun su tipo de navegacion

Tanto viradas como trasluchadas tienen un costo temporal que se deduce de la perdida develocidad que provocan. Nuestro modelo debe considerar estos costos. Planteamos entonces unrefinamiento: consideramos que en cada posicion donde antes existıa un unico nodo, ahora existirancuatro, que representan cuatro tipos de navegacion. Un tipo de navegacion se define por su amura(babor o estribor) y su “rumbo”. El rumbo, que en este caso puede ser simplemente popa o cenida16,no es mas que una categorizacion de los angulos de incidencia del viento sobre el barco que denotasi este navega mayormente contra el viento o a favor de este, como se ejemplifica en la Figura 2.10.

Ası, en cada coordenada (x, y) habra en el nuevo modelo cuatro nodos en lugar de uno unico.Diremos que estos nodos que ocupan una misma coordenada en el plano son nodos hermanos. Eneste nuevo modelo, existira un arco entre nodos u y v si ese arco existıa en el anterior ambos nodoscomparten su tipo de navegacion. La Figura 2.11 ilustra la disposicion de los arcos para nodoshermanos de los distintos tipos de navegacion propuestos.

A su vez, se agregaran arcos entre nodos hermanos ilustrando las maniobras que el barco puederealizar para cambiar de un tipo de navegacion a otro. Esto se ilustra en la Figura 2.12.

Cabe destacar que se introducen aquı dos seudomaniobras llamadas “orzada” y “derivada” quesirven para garantizar la correctitud del modelo. Dichas maniobras tienen un costo artificial cuyoobjetivo es garantizar que el pasaje entre dos nodos vecinos se haga por el camino directo en elgrafo. Si miramos la Figura 2.10, observamos que se puede pasar de un rumbo de cenida al otro(es decir, es una cenida con amuras a estribor a una cenida con amuras a babor) realizando unavirada. Sin embargo, tambien es posible hacerlo mediante una trasluchada, pasando primero porel rumbo de popa con amuras a estribor, haciendo una trasluchada seguida del rumbo de popacon amuras a babor, y finalmente alcanzando la cenida con amuras a babor. Este camino indirectotiene en la practica un costo bastante superior a la de realizar la virada. Sin embargo, el costo deuna trasluchada es caracterısticamente inferior al de una virada. De darle un peso nulo a los arcosque se bautizaron “orzada” y “derivada”, serıa mas conveniente en el grafo realizar siempre unatrasluchada, lo cual no es fiel a la realidad. Se introducen entonces estas seudomaniobras que sedenominan segun su nombre nautico correspondiente.17

16Se denomina cenida a la configuracion de una embarcacion que le permite navegar contra el viento.17En la practica un pasaje de una popa a la cenida de la misma amura tiene efectivamente un costo, aunque por

lo general se considera despreciable. Sin embargo, una sucesion de cambios de rumbo sı tiene un costo considerable.En efecto, las penalizaciones en regatas por lo general consisten en giros de 360o o 720o.


(Ceñida, Estribor) (Ceñida, Babor)

(Popa, Babor)(Popa, Estribor)

Virada

Virada

Trasluchada

Trasluchada

Orzada Orzada

Derivada Derivada

Figura 2.12: Nodos asociados a cada tipo de navegacion y sus transiciones

Sea angulosamurap,rumboq = [αdesde, αhasta) el rango de angulos asignado al tipo de navegacion(amurap, rumboq), y sea vectorDeNavegacion(u, v) el vector correspondiente a la navegacion entreu y v: (u.x− v.x, u.y − v.y). Entonces, en un instante dado t, existira un arco entre dos nodos u yv de tipo de navegacion (amurap, rumboq) incluidos en el cuadrante (i, j) si y solo si:

anguloDeIncidencia(viento(i, j, t), vectorDeNavegacion(u, v)) ∈ angulosamurap,rumboq

Aquı anguloDeIncidencia es una funcion que calcula el angulo entre dos vectores, en este casoel vector que modela la direccion del viento y el que modela la direccion de navegacion del barco.Este angulo es el angulo α mencionado en la Seccion 2.1.1.

Establecimos posteriormente que la cantidad de rumbos distintos sea parametrizable, a finde permitir discretizaciones mas granulares del espacio de angulos de navegacion. Esto permiteen principio la reduccion de costos espurios causados por las seudomaniobras, ya que el costode cada una de ellas puede ser menor. Para ello, se divide cada amura uniformemente entre lacantidad de rumbos distintos. En la Figura 2.13 se aprecia un ejemplo con 4 rumbos por amura. Lasseudomaniobras deben extenderse consecuentemente para garantizar el comportamiento correctode las maniobras como se describio previamente.

Como se ilustra en la Figura 2.14, el grafo resultante puede razonarse de forma tridimensional.Ası, cada tipo de navegacion puede considerarse en un plano y las maniobras conectan los distintosplanos entre sı. Por ejemplo, una virada permite desplazarse en el grafo desde el plano asociado a(cenida, babor) al plano de (cenida, estribor). Dentro de cada plano, los arcos corresponden solo arumbos dentro del tipo de navegacion correspondiente.


Virada

Virada

Trasluchada

Trasluchada

Amuras a Estribor

Amuras a Babor

Figura 2.13: Nodos para 4 rumbos distintos por amura

(Ceñida, Estribor)

(Ceñida, Babor)

(Popa, Babor)

(Popa, Estribor)

Arcos de navegación

Arcos de maniobra

Figura 2.14: Vista tridimensional del grafo del modelo


2.2.2.2. Calculo de costos

Arcos de navegacion

Dado que tanto viento como corriente pueden cambiar a lo largo del tiempo, los arcos queinciden sobre un nodo tambien resultaran variables. No solo puede modificarse su costo, sino quearcos pueden aparecer o desaparecer en funcion de si el barco puede navegar de forma directa entrelos nodos involucrados para el viento que reina en ese instante.

En todo momento, el costo asociado a cada arco se corresponde con el tiempo necesario pararecorrer la distancia cartesiana que separa las coordenadas asociadas a los nodos, navegando conla velocidad que predicen las curvas polares caracterısticas del barco, con el viento y la corrienteasociados a ese cuadrante en ese instante.

Consideremos u, v nodos no hermanos de un cuadrante c en el tiempo t. Sea velocidad(u, v, c, t)la velocidad predicha por la curva polar del barco para navegar en la direccion que une u con v enlas condiciones que corresponden al cuadrante c en el instante t. Luego, el costo de navegar desdeu hasta v (y por lo tanto el costo asociado al arco) se obtiene como:

Costo(u, v, c, t) =

‖u−v‖

velocidad(u,v,c,t) velocidad(u, v, c, t) > 0

∞ velocidad(u, v, c, t) = 0

A B

Figura 2.15: Cuadrante compartido

Es de destacarse que el cuadrante es un parametrodel costo, ya que dos nodos no hermanos pueden com-partir mas de un cuadrante, lo que se ilustra en laFigura 2.15. En ella se observa que todos los nodosubicados sobre el borde de un cuadrante compartenentre sı los dos cuadrantes que divide dicho borde, ycon ellos dos condiciones de viento y marea que even-tualmente podrıan diferir.

El hecho de que dos nodos esten unidos por dos omas arcos, que por estar asociados a distintos cuad-

rantes tengan costos diferentes, es un problema causado por la discretizacion. Para salvar esteproblema podemos redefinir la funcion de costo para que reduzca esos arcos a uno unico, al que lecorrespondera el costo mınimo de navegacion. Ası, se definirıa de la siguiente manera:

Costo(u, v, t) = mınc:cuadrante/u∈c∧v∈c

Costo(u, v, c, t)

En el caso de dos nodos que no comparten ningun cuadrante se les asigna un costo infinito18,ya que no nos interesa navegar entre ellos. Si alguno de los dos es uno de los nodos distinguidos(inicial o final), el costo entre ellos sera 0 si el otro corresponde respectivamente a uno de losorıgenes o destinos de la ruta.

18Por el uso que se le va a dar al modelo, un arco de costo infinito es equivalente a la ausencia de un arco.


Arcos de maniobra

Consideremos ahora el caso de los nodos hermanos. Entre ellos, los arcos tienen un valor querepresenta el costo asociado a cada maniobra, que en principio es caracterıstico del barco y por lotanto es un parametro del modelo. Si bien nuestro modelo permite definir una cantidad arbitrariade tipos de navegacion como se comento en la Seccion 2.2.2.1, nosotros optamos por utilizar solo4, con lo que resulta necesario especificar los parametros costovirada, costotrasluchada, costoderivaday costoorzada.

Como se detallo oportunamente, los costos de las seudomaniobras deben ser tales que las man-iobras directas siempre resulten menos costosas que una secuencia alternativa de varias maniobras.Se parte siempre de la base de que costovirada > costotrasluchada. Ademas, para este caso se deberıacumplir que costoderivada+costotrasluchada+costoorzada > costovirada, ya que de lo contrario nuncaserıa conveniente realizar una virada.

Cuando se utilizan mas tipos de navegacion, dicha igualdad debe seguir siendo valida paraobtener un modelo correcto. Una forma sencilla de obtener una asignacion de costos de maniobravalida consiste en segmentar las seudomaniobras, distribuyendo uniformemente entre los nuevosarcos los costos originales asignados a orzada y derivada.

En cualquier caso, dados dos nodos hermanos u y v definimos el costo del arco que los unecomo el costo de la maniobra necesaria para pasar de uno al otro, o ∞ en caso de no haber unamaniobra que nos permita llegar directamente de uno al otro. Por ejemplo, no se puede pasar deun nodo de tipo (cenida,estribor) a uno de tipo (popa,babor) en una sola maniobra.

Costo(u, v) =

costomaniobrau,vExiste una maniobra para pasar de u a v

∞ En otro caso

Por ultimo, el nodo inicial que se exhibio en la Figura 2.8 se conecta con los nodos cuya posicioneste asociada al punto de partida de la ruta a considerar con arcos de costo nulo. Si bien en muchasinstancias se considerara un unico punto de partida, la mayorıa de las regatas cuentan con unalınea de partida. El nodo inicial permite modelar que un subconjunto cualquiera de nodos es unpunto de partida valido. Una situacion analoga ocurre con una eventual lınea de llegada y el nodofinal.

Resumen

Resumiendo, la funcion de costos dentro del grafo de nuestro modelo resultarıa:

Costo(u, v, t) = costomaniobrau,vsi u y v son dos nodos hermanos unidos por una maniobra

Costo(u, v, t) =∞ si u y v son hermanos pero no estan unidos por una maniobra.

Costo(u, v, t) = 0 si u es el nodo inicial y v esta en la lınea de salida.

Costo(u, v, t) = 0 si v es el nodo final y u esta en la lınea de llegada.

Costo(u, v, t) = mınc:cuadrante /u∈c∧v∈c Costo(u, v, c, t) si u y v no son hermanos y compartenpor lo menos un cuadrante.

Costo(u, v, t) =∞ en otro caso.


Utilizando esta definicion surge que un camino dirigido entre los nodos inicial y final representauna ruta posible entre un conjunto de puntos de partida y uno de puntos de llegada, cuyo costomodela el tiempo de navegacion esperado entre los mismos e incluyendo los costos insumidos enla realizacion de maniobras. Veremos en el proximo capıtulo como implementar un algoritmo queencuentre rutas optimas en este modelo.


Capıtulo 3

Algoritmo Exacto

3.1. Computo de la ruta optima

El modelo presentado nos permite representar todas las rutas posibles entre los puntos de origeny destino recorriendo un area navegable dada. Nos interesa entonces determinar la ruta de menorduracion, que corresponde al camino mınimo entre el nodo inicial y el nodo final.

Para ello debemos generalizar la definicion tradicional de camino en grafos para que tenga encuenta la variable temporal. Ası, dado un camino X = u1, ..., un, definimos su costo de la siguientemanera:

Si X = u1, u2, Costo(X) = Costo(u1, u2, 0)

Si X = u1, ....,︸︷︷︸X′

un n > 2, Costo(X) = Costo(X ′) + Costo(un−1, un,CostoX ′)).

A continuacion examinaremos los algoritmos utilizados para resolver este problema.

3.1.1. Camino mınimo en grafos independientes del tiempo

El problema de camino mınimo en grafos es un problema muy estudiado. Dado un grafo G(V,E),con una funcion de costo w : V × V → R, se desea hallar el camino P entre dos nodos u ∈ Vy v ∈ V que minimiza

∑(ui,uj)∈P W (ui, uj). Esta es la version single-source single-destination

(origen y destino unicos), pero existen otras variantes, como por ejemplo buscar los caminos mascortos entre todo par de nodos de G.

Si w es tal que w(ui, uj) ≥ 0 se puede resolver el problema mediante el algoritmo de Dijkstra [5].Dicho procedimiento se ilustra en el Algoritmo 3.1. Este algoritmo puede implementarse con unacomplejidad O(|E|+ |V | ∗ log(|V |)) utilizando una cola de prioridad implementada sobre FibonacciHeaps para obtener el nodo de menor costo en cada iteracion [14].

3.1.1.1. Algoritmo A∗

El algoritmo A∗ es una extension del algoritmo de Dijkstra. Fue planteado por Peter Hart, NilsNilsson, y Bertram Raphael en 1968 [17, 18]. Este algoritmo utiliza una funcion heurıstica h(v)que se suma al costo de llegar al nodo, para de esta manera guiar el orden de exploracion de losnodos en el algoritmo. Ası, en cada iteracion no se elige el nodo de menor costo sino el nodo queminimiza la suma de este y el valor de h.


Algoritmo 3.1 Calculo del camino mınimo entre nodos u y v en G(V,E) con funcion de peso w

1: ∀x ∈ V : costosx =∞2: ∀x ∈ V : predecesorx = null3: fijos = {u}4: costosu = 05: Mientras v 6∈ fijos hacer6: costoMinimo = mın({costosy /y ∈ V ∧ y 6∈ fijos})7: Sea x ∈ V/ costox = costoMinimo8: fijos = fijos∪{x}9: Para cada y adyacente a x/y 6∈ fijos hacer

10: Si costoy > costox +w(x, y) entonces11: costoy = costox +w(x, y)12: predecesory = x13: Fin si14: Fin para15: Fin mientras

En el contexto de A∗, decimos que la heurıstica h(v) es:

Admisible si no sobrestima la distancia hacia el objetivo

Consistente si ∀u, v ∈ V : h(v) ≤ w(v, u) + h(u)

Si h es admisible y consistente segun esas definiciones, A∗ es equivalente al algoritmo de Dijkstradado que ambos encuentran el camino mınimo. Sin embargo, y pesar de que ambos algoritmostienen el mismo orden de complejidad, A∗ suele tener un tiempo de ejecucion considerablementemenor ya que la heurıstica puede brindarle informacion adicional al procedimiento para guiar labusqueda de manera mas inteligente.

3.1.2. Camino mınimo en grafos dependientes del tiempo

En base a las definiciones antes planteadas debemos proponer un algoritmo que pueda deter-minar el camino mınimo en nuestro modelo, en el que tanto la existencia como el costo de los arcosestan condicionados por el tiempo.

Definamos en primer lugar la propiedad fifo para grafos dependientes del tiempo. SeaGt(V,E,wt)un grafo dependiente del tiempo, con V el conjunto de nodos de Gt, E los arcos y wt la funcion decosto dependiente del tiempo. Diremos que Gt cumple la propiedad fifo (First In, First Out) si ysolo si todos sus arcos (u, v) cumplen que: ∀t1, t2 ∈ R>0, t1 ≤ t2 ⇒ t1+wt(u, v, t1) ≤ t2+wt(u, v, t2)Informalmente, un grafo dependiente del tiempo es fifo si siempre resulta conveniente llegar mastemprano a un nodo que llegar mas tarde, o en el peor de los casos es equivalente.

El grafo de nuestro modelo no cumple la propiedad fifo, ya que al cambiar el viento con eltiempo nada impide que en un instante t0 sea imposible navegar entre dos nodos u y v (ya seaporque no hay viento, o porque el viento no es favorable) pero que mas tarde la situacion cambie.Esta situacion se ilustra en la Figura 3.1: un velero que llega en el instante t0 no puede navegarentre los nodos unidos por la flecha punteada ya que no hay ningun arco que se lo permita. Sinembargo, de haber llegado mas tarde podrıa haber encontrado un viento distinto que sı se lo hubierapermitido.


(a) t = t0 (b) t = t0 + ∆t

Figura 3.1: Cambio en los arcos del grafo segun el viento

Esto representa un problema para nuestro modelo: el algoritmo de Dijkstra (incluidas susvariantes como A∗) no es correcto sin la condicion fifo. Observemos el ejemplo de la Figura 3.2.Para desplazarse del nodo u al nodo v hay que pasar por el nodo w. Si se aplica el algoritmo deDijkstra, se intentara llegar lo antes posible a cada nodo. Llegamos entonces al nodo w en t = 10.Para abandonar el nodo w y llegar a v, debemos “pagar” un costo de 1000, para un total de 1010.Sin embargo, existıa un camino mas corto: ir hasta w pasando por z y pagando un costo de 50,para luego pasar a v con un costo de 1. Ası, el total serıa de 51.

1000

30

2010

v

u

w z

(a) t = 0

1

30

2010

v

u

w z

(b) t = 50

Figura 3.2: Grafo dependiente del tiempo no-fifo

Lo que ocurre es que el algoritmo de Dijkstra utiliza la subestructura optima del problema decamino mınimo, que aprovecha mediante programacion dinamica. Sin embargo, en grafos dependi-entes del tiempo no-fifo, el problema no presenta subestructura optima: un camino mınimo entredos nodos puede contener caminos suboptimos entre nodos intermedios. Por lo tanto, el algoritmono funciona correctamente.

En efecto, el problema de hallar un camino mınimo en un grafo no-fifo es np-hard [23, 30].Sin embargo, Orda y Rom probaron que introduciendo la posibilidad de esperas en los nodos,el grafo se puede transformar en fifo en tiempo polinomial [22]. La espera, como su nombre loindica, consiste en permanecer en un nodo por un tiempo arbitrario en lugar de estar obligado


a abandonarlo inmediatamente. Formalmente, se considera que para cada nodo v y todo tiempor ∈ R>0 se agrega un arco (v, v) con costo r.

Nuestro modelo inicial no contemplaba la posibilidad de esperar. Sin embargo, la opcion es lıcita:nada prohıbe que durante una regata, sus participantes se detengan (por lo general, anclando) ala espera de mejores condiciones de viento o corriente. En la practica no es algo que se realicecomunmente, pero puede ser de vital importancia si el viento calma completamente y la corrientealeja a los participantes de su destino. Dado que incluir la posibilidad de espera no solo redundaen un modelo mas completo, sino que ademas reduce la optimizacion a un problema polinomial,optamos por incluir la posibilidad de “arrojar el ancla” y esperar en los nodos.

Para transformar un grafo no-fifo en uno que sı cumpla con la propiedad, construimos unafuncion w′ para el costo de los arcos, que se define de la siguiente manera:

w′(u, v, t) = mın∆≥0

(w(t+ ∆, u, v) + ∆)

El nuevo costo en un tiempo dado es el menor de los costos de transicion sumado al costode esperar para realizar dicha transicion. Con esta nueva definicion, vuelve a ser cierto que esconveniente llegar lo mas rapido posible a cada nodo, ya que cualquier ventaja que se podıa tenerllegando despues, se puede lograr esperando.

Recordando la Figura 3.2, al llegar al nodo w el costo del arco que incide en v es:

mın(0 + 1000︸︷︷︸no esperar

, 40 + 1︸︷︷︸esperar

)

Esto nos deja un costo de 41, que sumado al costo de llegar a w (que era 10) nos permite obtenerun costo total de 51, que era el costo mınimo. Notemos que el camino es distinto: recorremos ahorau, w, v esperando en w, mientras que antes era necesario transitar por el nodo z. Es por esto que,para realizar la transformacion que hace del grafo uno fifo, es importante que en el contexto delproblema modelado la espera sea valida.

En nuestro caso, podemos definir Costo′(u, v, t), segun lo planteado anteriormente, como:

Costo′(u, v, t) = mınti∈T,ti≥t

(Costo(u, v, ti) + (ti − t))

Con esta nueva definicion, es posible resolver el problema utilizando una variante del algoritmode Dijkstra, que analizaremos a continuacion.

3.1.2.1. Camino mınimo en grafos FIFO

Como se mencionara antes, bajo la hipotesis fifo existe un algoritmo para hallar el caminomınimo en tiempo polinomial. El mismo fue propuesto por Dreyfus y es una generalizacion directapara el algoritmo de Dijkstra [7]. Curiosamente, Dreyfus lo propuso como una solucion general, sinnotar que solo funcionaba para grafos con la propiedad fifo. Sus resultados fueron luego discutidosen otros estudios [16, 20, 22].


A su vez, se puede generalizar el algoritmo A∗ de la misma manera. La extension es inmediatasi se utiliza una heurıstica h(v) consistente y admisible. Un ejemplo de esto puede verse en eltrabajo de Kanoulas et al [19]. Mas aun, tambien es posible considerar una heurıstica dependientedel tiempo h(v, t) [36].

3.1.3. Heurısticas propuestas para A∗

Necesitamos para nuestro uso heurısticas que permitan estimar el costo necesario para llegardesde un nodo u cualquiera al nodo final en el grafo de nuestro modelo. Propondremos a contin-uacion dos heurısticas que fueron utilizadas en nuestra implementacion de A∗.

3.1.3.1. Heurıstica basada en distancia cartesiana

La primera heurıstica que consideramos utiliza la distancia euclidiana entre u y alguno de losnodos adyacentes al nodo final19. Llamemos v al nodo vecino al nodo final.

Para obtener el tiempo, se divide la distancia ‖v−u‖ por la mayor velocidad que el barco puedelograr en cualquier direccion, para cualquiera de los vientos que se puedan producir en la cancha.Si se tomara la velocidad caracterıstica en la direccion entre u y v, la heurıstica no serıa admisibleya que podrıa subestimar la distancia total. Esto se debe a que los tiempos de navegacion en elplano no cumplen la desigualdad triangular, puesto que las velocidades de los barcos estan muylejos de ser uniformes dependiendo de su direccion.

Formalmente, definimos:

he(v) =‖v − u‖maxVel

Siendo maxVel la velocidad maxima que puede desarrollar el velero en cualquier direccion,cuadrante y tiempo.

Intuitivamente, esta heurıstica resulta muy susceptible a outliers de viento, ya que alcanzarıacon que en algun cuadrante haya un viento muy alto para que el valor de maxVel aumente brusca-mente y la heurıstica subestime demasiado el tiempo total, reduciendo su efectividad. Por otro lado,el valor de la velocidad efectiva de navegacion suele ser mucho menor al de la maxima velocidadposible, en funcion de la gran disparidad que existe entre las velocidades de un rumbo y otro. Dadoque la efectividad de la heurıstica utilizada por A∗ aumenta mientras mejor sea la aproximacion dela misma al costo real, no deberıan esperarse grandes mejoras con una cota tan gruesa. Por estasrazones, no confiabamos en que esta heurıstica nos permitiera obtener muy buenos resultados enla practica.

Heurısticas de este tipo se utilizan en otros trabajos para problemas de ruteo [19], pero lascaracterısticas particulares de nuestro problema (mas precisamente, la gran variacion de velocidadque existe entre una direccion y otra) dificultan su funcionamiento.

19Recordemos que tanto el nodo inicial como el final no tienen asociadas coordenadas en el plano, son utilessimplemente para la construccion del modelo.


3.1.3.2. Heurıstica basada en VMC

Como dijimos, la heurıstica anterior es bastante generica y utiliza muy poca informacion deldominio del problema a tratar. En principio, si volvemos sobre una curva polar como la de la Figura1.7, salta a la vista el origen del problema: algunos angulos respecto del viento tienen velocidadesmuy superiores a otros. Ası, tomar la velocidad maxima como estimacion de la velocidad del barco(en la cuenta anterior referida a maxVel introduce un error muy sustancial. Lo deseable serıaentonces tener en cuenta la direccion en la que la embarcacion desea desplazarse en lugar de tomarel maximo para todas las direcciones.

El problema con esto ya fue anunciado antes: la desigualdad triangular no es valida en lanavegacion a vela, puesto que es usual que rutas mas largas en distancia necesiten menos tiempopara ser recorridas. Buscamos entonces relajar la nocion detras de la desigualdad triangular paraobtener una cota mas fina, pero manteniendo la admisibilidad de la misma.

Ası, partimos de la idea de que para avanzar desde un punto a otro del grafo necesariamentehabra que atravesar una cierta cantidad de filas de la grilla del modelo. Como cada cuadrante tienecondiciones homogeneas, podemos evaluar, sobre un intervalo de tiempo, cual es la manera masrapida de atravesar cualquiera de los cuadrantes que integran una fila a partir del vmc (introducidoen la Figura 2.1b). Ası obtendremos una cota inferior del tiempo necesario para atravesar cada filaentre el punto de origen y el de destino, que corresponde a los di en la Figura 3.3.

Inicial

Final

Figura 3.3: Explicacion de la heurıstica de VMC


Ademas, es cierto que D ≥∑n

i=0 di, con lo cual podemos deducir una cota admisible del tiemponecesario para realizar la ruta completa. Eso se debe a que independientemente de la ruta elegida,para pasar de una fila a otra necesariamente hay que atravesar uno de sus cuadrantes.

El tiempo necesario para cruzar un cuadrante de esta manera, se puede acotar dividiendo laaltura del cuadrante (en metros) por el vmc en la direccion perpendicular a la fila (que correspondea la maxima velocidad proyectada sobre esa direccion que puede alcanzar el velero). Recordemosque a los cuadrantes se les asignaba una tupla (fila, columna) que indicaba su posicion en la grilla.Si tomamos una grilla con A cuadrantes de altura, definimos entonces:

hVMC0o(v) =

A∑i=fila(v)

tiempoFila(i)

Donde:

tiempoFila(i) es el menor tiempo en el que se puede cruzar el cuadrante i (es decir, el altodel cuadrante divido por la mayor velocidad que se puede lograr hacia arriba, considerandotodos los cuadrantes de la fila en todos los instantes).

La fila de un nodo es el maximo de las filas de sus cuadrantes

La fila de un cuadrante es la fila que le corresponde en la grilla

Un razonamiento similar se puede hacer para las columnas de la grilla modelada, e incluso ambasopciones pueden combinarse. Sin embargo, la experimentacion mostro que el vmc horizontal solıasubestimar demasiado el tiempo y por lo tanto no presentaba ventajas sustanciales. Intentamosaprovechar las dos opciones utilizando la velocidad resultante de combinar el vmc vertical conel horizontal, pero nuevamente en la experimentacion no funciono muy bien. Suponemos que lasubestimacion propia del vmc horizontal es tan grande que desmejora el resultado obtenido por lavertical.

Finalmente decidimos aprovechar ambos calculos tomando la cota mas fina de las dos:

hVMC = max(hVMC0o , hVMC90o)

3.1.4. Algoritmo final para rutas optimas

Tras la presentacion de los distintos algoritmos para la obtencion de caminos mınimos, estamosen condiciones de introducir el seudocodigo del algoritmo que utilizamos para obtener el caminomınimo en el grafo del modelo, que se corresponde con la ruta optima para la regata. El codigocorrespondiente es el Algoritmo 3.2.

3.2. Implementacion

Las implementaciones relativas al modelo se realizaron en c++ ya que buscabamos lograr unbuen rendimiento. Todas las implementaciones de grafos y objetos de geometrıa computacionalfueron construidas por nosotros para adaptarlas al maximo a las necesidades particulares del prob-lema.


Algoritmo 3.2 Calculo del camino mınimo entre u y v usando A∗ con heurıstica h(v)

1: ∀x ∈ V : costosx =∞2: ∀x ∈ V : predecesorx = NULL3: fijos = {u}4: costosu = 05: tiempo = 06: Mientras v 6∈ fijos hacer7: costoMinimo = mın({costosy +h(y)/y ∈ V ∧ y 6∈ fijos})8: Sea x ∈ V/ costox +h(x) = costoMinimo9: fijos = fijos∪{x}

10: Para cada y adyacente a x/y 6∈ fijos hacer11: Si costoy > costox + Costo(x, y, costox) entonces12: costoy = costox + Costo(x, y, costox)13: predecesory = x14: Fin si15: Fin para16: Fin mientras

El primer inconveniente de implementacion fue la estructura de datos asociada al grafo. Unaprimera version construıa el grafo en memoria utilizando listas de adyacencia. Sin embargo, conel aumento de la resolucion y el consiguiente incremento en la cantidad de arcos, rapidamentetuvimos que descartar esta alternativa por limitaciones en la cantidad de memoria necesaria. Re-sultaba ademas bastante ineficiente construir un grafo completo en memoria dado que el buencomportamiento de nuestra implementacion de A∗ hacıa necesario recorrer solo una porcion muyreducida del mismo.

En ultima instancia optamos por generar las listas de adyacencia dinamicamente solo a medidaque se iba realizando la exploracion del grafo, eliminando posteriormente la informacion ya utilizadapara asegurar un uso reducido de recursos.

Para guardar informacion de los nodos se utilizo una propiedad: si n > 1 es la cantidad de nodospor lado y (x, y) las coordenadas de un nodo, entonces x ≡ 0 mod (n−1)∨y ≡ 0 mod (n−1). Enbase a esta se desarrollo una funcion de numeracion de los nodos que permite almacenar los mismosen vectores en memoria, sin necesidad de implementaciones mas costosas y lentas de diccionarios.

Finalmente se utilizaron intensivamente caches en memoria para reutilizar tantos calculos comofuera posible. En muchos casos, los escenarios presentan un alto grado de redundancia que permiteque las tecnicas de memorizacion brinden beneficios sustanciales.

La implementacion de curvas polares que se utiliza para calcular los pesos de los arcos tenıainicialmente una implementacion vectorial que ofrecıa una resolucion arbitraria para los angulos denavegacion en base a los puntos ingresados a partir de la prediccion del vpp. Mas adelante decidimoshacer un muestreo de dichas curvas con una resolucion de 1o que por las caracterısticas tıpicas de lasmismas resulto ser mas que suficiente, y nos permitio mejorar bastante el rendimiento del algoritmoen general. Dado que en la implementacion definitiva los arcos se computan dinamicamente, laevaluacion de sus costos se torna una operacion crıtica.

Al igual que en varias secciones del codigo del grafo, se utilizo un cache de polares. En la medidaen que los algoritmos de busqueda exploran el grafo de forma ordenada, es de esperarse que se reali-


cen numerosas consultas para unas mismas condiciones de viento y corriente (ya que todos los arcosde un mismo cuadrante comparten estas condiciones). Esta optimizacion resulto particularmenteefectiva.

Figura 3.4: Aplicacion para analisis de curvas polares

Utilizamos extensivamente Python para construir herramientas de visualizacion y evaluacionde los resultados. Realizamos tambien bindings para Python de la implementacion de las curvaspolares, y con ellas una aplicacion independiente para consultas y analisis de dichas curvas paracualquier viento y corriente, ası como de calculo de las curvas de vmc y vmg asociadas.


Capıtulo 4

Heurısticas

4.1. ¿Por que desarrollar heurısticas?

El modelo exacto descripto en el capıtulo anterior nos permite, dada una descripcion completade un escenario del problema, optimizar la ruta de navegacion de un velero a partir de su prediccionpolar de velocidad. La descripcion debe ser abarcativa: para poder calcular la ruta optima, senecesitan conocer tanto el viento como la corriente en toda la extension del area de interes, ası comosu evolucion a lo largo de un perıodo de tiempo apropiado.

Sin embargo, como se discutio en la Seccion 1.2.3, la presuncion de que un navegante disponede informacion tan detallada no es verosımil. Si bien se puede considerar que un pronostico agran escala como gfs es fiable y completo, su resolucion espaciotemporal solo permite su uso encomputos de rutas para regatas de larga distancia. Como habıamos anticipado, el centro de nuestraatencion son las regatas cortas, y para las mismas los pronosticos son casi siempre irrelevantes.

Figura 4.1: Instrumental de un vo70

En este contexto, la unica informacion que elregatista tiene a su alcance es la que le proveen losinstrumentos instalados a bordo de su barco. Al-gunas de las mediciones que una embarcacion deregatas adquiere en tiempo real son la direccion eintensidad del viento (mediante un anemometro yuna veleta), la direccion y velocidad del barco re-specto del agua (mediante un compas magnetico yuna corredera20), la direccion y velocidad del barcorespecto de la tierra (con un gps) y la temperatu-ra y profundidad del agua en que navega (con unasonda ecoica), entre otros.

La mayorıa de los instrumentos modernos uti-lizan el estandar de datos nmea 0183 (por las si-glas de National Marine Electronics Association) y por lo tanto pueden intercambiar informacionentre sı, o enviarla a un sistema informatico convencional. Esto permite que un software analiceestos datos en tiempo real. Sin embargo, esta informacion es claramente insuficiente para construirrutas optimas en nuestro modelo: todos los datos son lecturas en tiempo real (lo que implica undesconocimiento de su evolucion futura), y a su vez todos ellos conciernen a la ubicacion geograficadel barco (lo que redunda en el desconocimiento de las condiciones en otros lugares).

Aun ası, es posible utilizar la informacion que se adquiere durante la navegacion para tomar de-cisiones estrategicas, en particular para regatas de corta distancia. La evidencia de esto es empırica:los navegantes que obtienen buenos resultados en competencias de corta distancia solo disponende esta informacion, al igual que los demas competidores.

20Instrumento que mide la velocidad del agua bajo el casco del barco con una pequena helice sumergida.


Nuestro objetivo es desarrollar un algoritmo que pueda servirse de esta informacion acotadapara tomar decisiones heurısticas, permitiendole hacer una aproximacion razonable a las rutas opti-mas que podrıan computarse si la informacion completa estuviera disponible. Para ello, nos servi-mos del algoritmo exacto presentado en el capıtulo anterior como benchmark para el rendimientode los metodos aproximados.

Si bien es ambicioso suponer que las rutas resultantes de algoritmos heurısticos puedan serutilizadas en forma directa, sı es razonable esperar que sirvan como informacion para el tripulantea cargo de la estrategia, ofreciendole informacion adicional para ayudarlo en la toma de decisiones.

4.2. Framework para heurısticas

Decidimos centrarnos para el desarrollo de heurısticas en las condiciones de competencia masusuales para regatas de corta distancia: los recorridos entre boyas introducidos en la Seccion 1.1.3.Para esto, recurrimos a nuestro conocimiento del dominio, discusiones con expertos regatistas y ala literatura no academica que utilizan los mismos[2, 15, 29].

En este tipo de regatas, la cuestion mas desafiante desde el punto de vista estrategico es enque momento de una pierna deberan realizarse las maniobras (ya sean viradas o trasluchadas)para aprovechar mejor el viento disponible. Una primera aproximacion al problema revela quecomo regla general siempre debe navegarse en rumbos de vmg.

2 4 6 8

0º

45º

Figura 4.2: Rumbos de vmg

Si bien el concepto de vmg se discutio en la Sec-cion 2.1, ahondaremos un poco mas en el a partirde la Figura 4.2. En ella, un velero navega en unabordejeada contra el viento. Los rumbos de may-or vmg estan indicados en la figura con puntosazules. Se observa intuitivamente que son precisa-mente esos rumbos los que maximizan la velocidaden direccion opuesta al viento. Angulos mas abier-tos o mas cerrados para cada borde redundarıanen una velocidad resultante menor en la direccionen que se desea avanzar. La curva azul es la polarde vmg, que como se mencionara oportunamenteno es mas que la capsula convexa de la curva polarde velocidad.

La eleccion de navegar unicamente en rumbosde mayor vmg reduce significativamente el espa-cio de busqueda que deben considerar nuestrasheurısticas. A partir de esta suposicion, para to-do tipo de navegacion habra que decidir a lo sumoentre dos opciones, que corresponden a los bordes alternativos de las bordejeadas. Esto no es solouna simplificacion para nuestro modelo, sino que se condice muy bien con la realidad de una regata.En todo momento, una unica pregunta flota en la cabeza de un estratega: ¿viro o no viro?

Ası, proponemos un armazon general para la construccion de heurısticas que sera comun a todasnuestras propuestas. Recorriendo el grafo, se elegira en cada nodo hacia donde se desea avanzar en


el paso siguiente mediante un criterio. Sera este criterio lo que diferencie a una heurıstica de otra.Las opciones que se presenten a los criterios corresponderan unicamente a los rumbos de mayorvmg. El metodo general comun a todas las heurısticas se describe en el Algoritmo 4.1.

Cabe aclarar que en las navegaciones que no requieren de una bordejeada para ser recorridasen tiempo mınimo, el rumbo de mayor vmg sera unico y correspondera al rumbo directo.

Algoritmo 4.1 Eleccion del proximo movimiento en una heurıstica

1: dir = (xfinal, yfinal)− (xactual, yactual)2: Para cada cuadrante donde esta el nodo actual hacer3: calcular la velocidad actual en direccion dir con el viento y la marea del cuadrante4: hacer lo mismo pero obteniendo el vmg5: Si el vmg y la velocidad coinciden entonces6: obtener el nodo candidato intersecando la recta que pasa por el nodo con direccion=dir7: Si no8: obtener los rumbos de mayor vmg9: obtener los nodos candidatos intersecando los rumbos de mayor vmg con el cuadrante

10: Fin si11: Fin para12: aplicar el criterio propio de la heurıstica a los candidatos para elegir el proximo punto13: Si seguir desde el nodo elegido requiere hacer una maniobra entonces14: maniobrar y continuar desde este nodo15: Si no16: pasar al nodo candidato y continuar17: Fin si

La condicion de la lınea 5 modela la situacion en que el rumbo hacia el destino final no requiereuna bordejeada: en este caso vmg y velocidad coinciden, por lo que se puede navegar directamentehacia el objetivo final y no es necesario tomar ninguna decision.

Por otra parte, la condicion de la lınea 13 modela la posibilidad de que tras decidir llevar a cabouna maniobra, no resulte conveniente avanzar hacia otro nodo como se habıa planeado cuando sedecidio ejecutarla. Este “arrepentimiento” cobra sentido en la medida en que las maniobras insumenuna cantidad de tiempo: durante la ejecucion de una, las condiciones meteorologicas pueden cambiary hacer que lo mas conveniente sea realizar una nueva maniobra en lugar de apegarse a la ideaoriginal.

En base a este framework general, propondremos a continuacion varios criterios de decision.

4.3. Criterios de decision

4.3.1. Criterio de mayor VMG ponderado

A partir de lo establecido algunas lıneas atras, podemos plantear una primera idea: si partimosde la base de que siempre es deseable utilizar uno de los rumbos de mayor vmg para maximizaresta metrica, podemos ir aun mas alla y elegir, cuando haya opciones, aquella que se caractericepor tener un mayor vmg. Ası elegiremos entre dos bordes aquel cuya proyeccion sobre la direccion


deseada nos da una mayor velocidad hacia el destino. Se trata de lo representado en la Figura 4.3.Esta heurıstica es muy utilizada en la practica por los navegantes que cuentan con un gps con lacapacidad de computar el vmg hacia el destino.

0º

45º

2 4 6 8

Figura 4.3: Comparacion de vmg

La direccion en que se desea navegar corre-sponde a la flecha negra en la ilustracion. La curvapolar presenta en la region intersecada por esta di-reccion una concavidad, lo que redunda en la posi-bilidad de obtener la velocidad optima realizandouna bordejeada. Los bordes entre los que hay queoptar fueron representados en color celeste: son losrumbos de mayor vmg. La proyeccion de los mis-mos sobre la direccion deseada fue indicada con laslıneas rojas punteadas. En esta situacion, el bor-de mas conveniente parece ser el de la izquierda,puesto que se acerca mas a la direccion en que sedesea navegar.

Se deduce de aquı que si se desea navegar enforma exactamente opuesta a la direccion del vien-to, el vmg de ambos bordes sera identico. En esecaso se puede elegir de forma arbitraria o aleato-ria alguna de las opciones, puesto que el criterioplanteado no ofrece informacion.

Figura 4.4: Viradas excesivas

Sin embargo se presenta una situacion problematica. Analice-mos un caso bajo la hipotesis de que el viento es constante. La di-reccion en la que se desea navegar es por definicion la que conducedirectamente al objetivo final. Este ultimo a su vez se encuentrainmovil, a diferencia del velero, y por lo tanto la direccion deseadava variando en la medida en que el punto en que se encuentra elvelero se modifica.

Supongamos que resulta en este punto mas conveniente elegirel borde izquierdo. A medida que el velero avanza con ese borde,la diferencia de vmg a favor de esta decision disminuye paulati-namente, hasta llegar a un punto de indiferencia cuando el velerose encuentra exactamente a sotavento (“viento abajo”) del puntode destino. En este punto resulta conveniente virar, puesto que elvmg del borde opuesto sera ε mas grande. Sin embargo, al tomareste otro borde se produce el fenomeno inverso: el borde contrariocomienza paulatinamente a aumentar su valuacion. El problemaaparece si ε es muy chico: casi inmediatamente, volvera a ser con-veniente el borde izquierdo. Ası, el velero comenzara una rapidasucesion de viradas que si bien lo conducira al destino, lo obli-gara a pagar un costo muy grande por realizar tantas maniobras.Lo comentado se refleja en la Figura 4.4.

Para resolver esta situacion introducimos un coeficiente cv (co-eficiente de virada) de modo a condicionar la virada. Ahora no


sera suficiente que el otro borde sea mejor que el actual en terminos absolutos: deberıa superarloen una proporcion mayor que cv. Ası, el criterio resultante es el descripto en el Algoritmo 4.2, quellamamos Criterio de vmg ponderado (Criterio p).

Algoritmo 4.2 Criterio p

Parametros: candidatos: Conjunto de nodos candidatos a ser el siguiente nodo visitadoParametros: actual: nodo actual

1: sinVirar = elegir de entre los candidatos aquellos que no requieran virar2: maxSinVirar = elegir de entre los candidatos en sinVirar el que maximice el VMG3: virar = elegir de entre los candidatos aquellos que requieran virar4: maxVirando = elegir de entre los candidatos en virar el que maximice el VMG5: Si VMG(maxVirando) > VMG(maxSinVirar) ∗ cv entonces6: elegir maxVirando7: Si no8: elegir maxSinVirar9: Fin si

4.3.2. Criterio de mayor VMG ponderado y distancia

Figura 4.5: Bordes de largodecreciente

Si bien resolvimos un problema con el criterio de mayor vmgen el inciso anterior, el resultado de la introduccion del coefi-ciente cv acarrea otra debilidad. La relacion entre el vmg deun borde y el otro esta dada mayormente por el angulo entreel viento y la direccion al destino. Si mantenemos la hipotesisde viento constante, la sucesion de bordes que seleccionara laheurıstica producira tramos cada vez mas cortos entre las vi-radas a medida que la embarcacion se aproxima al destino, comose observa en la Figura 4.5.

Una vez mas, por la reduccion de la longitud de cada bordese cae en viradas innecesarias que implican un costo adicional.Si bien es razonable que a medida que el destino se aproximalos bordes se reduzcan paulatinamente, es necesario acotar estareduccion para no pagar costos extraordinarios.

Ası, introducimos un segundo coeficiente cd (coeficiente dedistancia) que penaliza la decision de virar segun el criterioestipulado anteriormente en funcion de la distancia al destino.De esta manera, mientras mas cerca este el barco de llegar asu objetivo, mayor resistencia tendra a tomar la decision devirar. Una opcion similar fue presentada por Stelzer y Proll en[31]. Este criterio se denomina Criterio de vmg ponderado ydistancia (Criterio pd) y se define en el Algoritmo 4.3.

En la lınea 6 se utiliza la operacion maximo para permitir que el cv sea menor que 1. Si no sehiciera esta salvedad, cuando la distancia al destino fuera muy grande el termino cd

distancia tomarıaun valor muy chico que redundarıa en un coeficiente global inferior a 1. La implicacion de estoserıa que el barco buscarıa virar constantemente, no logrando ningun progreso hacia su objetivo.


Algoritmo 4.3 Criterio pd


1: sinVirar = elegir de entre los candidatos aquellos que no requieran virar2: maxSinVirar = elegir de entre los candidatos en sinVirar el que maximice el VMG3: virar = elegir de entre los candidatos aquellos que requieran virar4: maxVirando = elegir de entre los candidatos en virar el que maximice el VMG5: distancia = ‖posllegada − posactual‖6: Si VMG(maxVirando) > VMG(maxSinVirar) ∗max(1, (cv + cd

distancia )) entonces7: elegir maxVirando8: Si no9: elegir maxSinVirar

10: Fin si

4.3.3. Criterios asimetricos

Tras reunirnos con expertos en meteorologıa para regatas[9] decidimos incorporar variantesasimetricas de las heurısticas propuestas hasta el momento. En ellas, los coeficientes cv y cd tomanvalores diferenciados segun la amura en que se encuentre navegando el barco. Estas variantesintentan permitir que las heurısticas tomen en cuenta la asimetrıa inherente a las variaciones deviento como rachas y borneos que tienen origen en la fuerza de Coriolis. Esta cuestion se examinaen profundidad en la Seccion 5.1.3.

A los efectos de implementar el criterio, la unica diferencia es que se desdobla cada parametroen dos variantes (estribor y babor) que corresponden a las amuras homonimas. Luego, en funcionde la situacion en que se encuentra el barco se toma uno u otro valor para cada parametro.

Los Algoritmos 4.4 y 4.5 corresponden a las versiones asimetricas de los presentados en lassecciones anteriores. Las mismas se denominan respectivamente Criterio pa y Criterio pda. Losnuevos parametros que resultan de la escision de cv y cd se nombran cvb, cve, cdb y cde.

4.3.4. Criterios de viento promedio

Si bien el vmg en direccion al destino parece una buena indicacion de la “calidad” de un borde,recordando la discusion de la Seccion 3.1.3.2 podemos considerar que la verdadera dificultad enuna bordejeada en contra del viento reside en avanzar en la direccion opuesta a la que este sedirige. Se puede formular una idea analoga para la navegacion en popa.

Ası, formulamos heurısticas que tengan en cuenta para su objetivo el avance respecto de ladireccion en que sopla el viento ademas del destino final al que se dirige la embarcacion. Enmuchos casos, aun cuando la competencia se realice entre boyas, errores en la colocacion de lasmismas pueden hacer que la navegacion que teoricamente es contra el viento presente en cambiodiferencias de varios grados en la practica.

La idea de que aun cuando se desee navegar hacia una boya ubicada incorrectamente lo impor-tante sera navegar contra el viento es relativamente popular. Tacktick, fabricante ingles de compasesmagneticos digitales para navegacion a vela, presenta en sus dispositivos una valoracion del rumbo


Algoritmo 4.4 Criterio pa


1: sinVirar = elegir de entre los candidatos aquellos que no requieran virar2: maxSinVirar = elegir de entre los candidatos en sinVirar el que maximice el VMG3: virar = elegir de entre los candidatos aquellos que requieran virar4: maxVirando = elegir de entre los candidatos en virar el que maximice el VMG5: Si la amura de navegacion actual es babor entonces6: cv = cvb7: Si no8: {la amura es estribor}9: cv = cve

10: Fin si11: Si VMG(maxVirando) > VMG(maxSinVirar) ∗ cv entonces12: elegir maxVirando13: Si no14: elegir maxSinVirar15: Fin si

Algoritmo 4.5 Criterio pda

Parametros: candidatos:Conjunto de nodos candidatos a ser el siguiente nodo visitadoParametros: actual: nodo actual

1: sinVirar = elegir de entre los candidatos aquellos que no requieran virar2: maxSinVirar = elegir de entre los candidatos en sinVirar el que maximice el VMG3: virar = elegir de entre los candidatos aquellos que requieran virar4: maxVirando = elegir de entre los candidatos en virar el que maximice el VMG5: Si la amura de navegacion actual es babor entonces6: cv = cvb7: cd = cdb8: Si no9: {la amura es estribor}

10: cv = cve11: cd = cde12: Fin si13: Si VMG(maxVirando) > VMG(maxSinVirar) ∗max(1, (cv + cd

distancia )) entonces14: elegir maxVirando15: Si no16: elegir maxSinVirar17: Fin si


actual del barco en funcion del rumbo promedio que se mantuvo en ese borde durante el ultimoperıodo. Este promedio incorpora las fluctuaciones del viento (ya que estas afectan directamenteel rumbo del barco). El compas sugiere virar cuando el rumbo actual del barco se encuentra pordebajo del promedio en este borde.

El libro de Rushall [29] presenta una idea similar para condiciones de viento oscilante: “The win-ning strategy in swinging conditions: tack when headed below the mean! 21”. En High PerformanceSailing, Frank Bethwaite propone una idea parecida [2].

Consideramos entonces criterios que tendran como entrada adicional la direccion promedio delviento. Si bien nosotros proporcionaremos manualmente a los criterios de esta informacion, esrelativamente trivial para un software ejecutandose con instrumentos de a bordo realizar el calculode forma autonoma a partir de las lecturas de la veleta electronica. En efecto, el compas Tacktickpropone a sus usuarios que ingresen dicha informacion mediante la observacion de las condicionesdurante un perıodo anterior a la regata.

F

S

D

(a) Boya Ficticia

S

D

(b) Distancia Infinita

Figura 4.6: Heurısticas de viento promedio

Proponemos dos interpretaciones. En primer lugar introduciremos una boya ficticia en nuestromodelo que esta colocada en la posicion ideal respecto del viento promedio observado. En estecriterio, la distancia al destino se considera respecto de la boya real, pero el vmg se calcula a partirdel rumbo hacia la boya ficticia. Este criterio se denomina “de viento promedio y boya ficticia”(Criterio vpbf). El mismo se ilustra en la Figura 4.6a.

Por ultimo, en lugar de considerar una boya ficticia a distancia similar al destino real, consider-aremos que la misma se encuentra a distancia infinita. Esto corresponde a evaluar el vmc de cadaborde como metrica del mismo, lo que equivale a la proyeccion de la velocidad de cada bordem, ya

21“La estrategia ganadora en condiciones de viento oscilante: cuando el rumbo de este borde este por debajo delpromedio, ¡vira!”


no en direccion al punto de destino, sino en la direccion opuesta al viento promedio. Este criterio“de viento promedio y boya infinita” (Criterio vpi) corresponde a la Figura 4.6b.

Decidimos implementar y evaluar ambos criterios. Notemos que son similares a los anteriores,con la diferencia de que se maximiza el vmg en otra direccion, modificando ası el objetivo de losbordes. Las consideraciones realizadas sobre los coeficientes de virada y distancia son identicas alas realizadas para las heurısticas anteriores, por lo que las implementaciones de estos criteriosutilizan parametros asimetricos como se describe en la Seccion 4.3.3.


Capıtulo 5

Experimentacion

5.1. El modelo experimental

Partiendo de la descripcion de las heurısticas introducidas en la seccion anterior, surge lanecesidad de evaluar su comportamiento. Estas heurısticas manejan un subconjunto de la infor-macion necesaria para el calculo de rutas optimas, que se corresponde con los datos que puedenser obtenidos por el instrumental instalable a bordo. Nuestra propuesta experimental consiste enproveer al algoritmo exacto de la Seccion 3.1.4 de toda la informacion acerca de una regata parapermitirle calcular una ruta optima, y a continuacion ejecutar las heurısticas con el subconjunto delos datos que podrıan haber medido en tiempo real en la cancha de regatas. Ası podremos analizarde forma contrastada las virtudes y defectos de las aproximaciones realizadas por estas ultimas.

Recordemos lo discutido en la Seccion 1.2.3.1 sobre las caracterısticas del viento a distintasescalas. El sistema circulatorio global de la atmosfera de la tierra se comporta de forma bastantepredecible a corto plazo: centros de alta y baja presion se desplazan produciendo vientos cuyadireccion e intensidad puede ser calculada por modelos numericos. A mediana escala, fenomenostermicos como el ejemplificado en la Figura 1.12a pueden introducir modificaciones importantessobre la prediccion de un modelo global. Finalmente, a pequena escala, la turbulencia producidapor los fenomenos de mayor tamano gobierna las fluctuaciones locales en la direccion e intensidaddel viento.

5.1.1. Calidad de los escenarios a utilizar

Por el enfoque elegido, las heurısticas se disenaron pensando en regatas gobernadas por situa-ciones que entran en esta ultima categorıa. Si bien nuestro modelo es independiente de la escala ala que se utilice, evaluar el comportamiento de las heurısticas frente a pronosticos de gran escala(como la Figura 1.11) carecerıa de sentido. Necesitamos por lo tanto escenarios de prueba de granresolucion, tanto espacial como temporal.

En general, una regata entre boyas para embarcaciones de quilla tiene piernas de entre 1 y3 Km, dependiendo del tamano de los barcos que compitan. A su vez, el tiempo necesario paraque los barcos naveguen estos tramos puede variar dependiendo del viento y de su performance,pero el orden de magnitud de los mismos es de unos 15 a 30 minutos. Dado que en una cenida esusual que los competidores realicen 5 o 6 viradas, nuestro modelo debera usar una discretizacionsuficientemente fina como para que la ubicacion en el tiempo y en el espacio de estas maniobrasno se vea restringida artificialmente por la baja resolucion del modelo. Asimismo, el parametro ndel modelo deberıa ser suficientemente grande para no acotar demasiado los angulos de navegacionque pueden elegir los barcos. Recordemos que el parametro n fue descripto en la Seccion 2.2.2,y corresponde a la cantidad de nodos que se emplazan sobre el lado de cada cuadrante de lagrilla. Recordemos ademas que cada uno de estos nodos se multiplica por la cantidad de tipos denavegacion que considera el modelo (ver Seccion 2.2.2.1) al construir el grafo.


En base a estimaciones de este tipo, decidimos utilizar las siguientes caracterısticas para nuestrosescenarios de prueba:

Tramos a navegar de 2500 metros

Parametro A = 50 (para un total de 50× 50 cuadrantes en la grilla)

Parametro n = 30

Intervalo de variacion del tiempo de 25 segundos

Una discretizacion de 50 × 50 cuadrantes, con n = 30 nodos sobre el lado de cada cuadrantepermite a los barcos elegir sus rumbos con una granularidad de poco mas de 1o, recorriendo arcosde menos de 70 metros de longitud. En base a la experiencia en regatas, ambas granularidadesson relativamente finas en comparacion a lo que puede controlarse en la practica. En particular, esmuy difıcil que el timonel de un barco pueda conducirlo con una precision de 1o.

5.1.2. Obtencion de los datos

Las resoluciones involucradas en nuestros escenarios eliminan la posibilidad de utilizar direc-tamente mediciones meteorologicas reales. Para ello, serıa necesario disponer de una grilla de 250anemometros y veletas electronicas capaces de registrar los datos, distribuidos uniformemente so-bre un espejo de agua de mas de 6Km2, y a distancia suficiente de la costa como para que lapresencia de la misma no interfiera con las mediciones. Por tratarse de instrumentos de medicioncaros y sensibles, nos es imposible acceder a datos de este tipo, y dudamos de la existencia dealguna instalacion de estas caracterısticas.

Resolvimos entonces recurrir a la generacion de escenarios de regata con las caracterısticasdeseadas, intentando aproximarnos lo mas posible a condiciones reales. Recordemos que los modelosmeteorologicos utilizados para pronostico no modelan las fluctuaciones que son de vital importanciapara nuestras simulaciones, sino que las desprecian[6]. Por lo tanto, nos vimos en la necesidad dedesarrollar un modelo propio de simulacion.

Realizamos una extensa busqueda de datos meteorologicos que pudieran servirnos de referenciapara hacer simulaciones. En todos los casos, los datos registrados por anemometros son de un unicopunto y serıa por lo tanto necesario realizar algun tipo de extrapolacion para tener datos espaciales.En un estudio realizado para el Team New Zealand que participo en la Copa America de 2000 [26]en el Golfo de Hauraki (Nueva Zelanda), Philpott et al realizaron mediciones de alta frecuenciaen un pilote meteorologico dispuesto expresamente para tal fin. Tras el analisis de la direccion eintensidad del viento, se concluyo que en ese lugar la correlacion entre estas dos metricas no erasignificativa y se simulo solo la direccion con un proceso de Markov, suponiendo que la intensidadera constante. Esto permitio a los autores generar condiciones de viento comparables a las sensadas.En correspondencia personal, Philpott amplio:

“The Markov chain assumed constant wind speed and random wind direction. Thedirection at any location varied as a Markov chain. This model was very crude andshould be improved. The difficulty is in representing the spatial and time correlation ofwind vectors realistically. A Markov chain is the simplest attempt to do this. We trieddifferent approaches and eventually settled on assuming a single constant wind directionon any line at right angles to the course. This wind varied as a Markov chain.”22

22“La cadena de Markov asumıa para el viento intensidad constante y direccion aleatoria. La direccion en cualquier


Figura 5.1: Modelo deviento de Philpott et al

Como bien aclara el autor, el problema de esta idea es que la cor-relacion espacial que existe en las variaciones de viento no es verosımil:las fluctuaciones en el viento no se propagan como olas rectas perpen-diculares a la cancha de regatas (Figura 5.1). Ademas, el objetivo deltrabajo de Philpott era diferente al nuestro, ya que intentaban com-parar disenos alternativos de barcos, y no calcular estrategias optimas.Nuestra aplicacion es mas sensible a las deformaciones de los escenar-ios generados puesto que los utilizamos para evaluar heurısticas.

Aun cuando hubieramos decidido reutilizar la tecnica aquı descrip-ta, nos fue imposible obtener datos de viento con la resolucion tempo-ral necesaria: todas las estaciones meteorologicas locales, incluso lasque son utilizadas como referencia por los regatistas [13, 27, 28, 34],presentan los datos a lo sumo en intervalos de 5 minutos, y por lo gen-eral de forma agregada (por ejemplo, promedio de intensidad sobreese lapso de tiempo). A partir de este tipo de datos es imposible recu-perar la informacion original de alta resolucion que incluye pequenasfluctuaciones vitales para nuestra aplicacion.

Los unicos datos que nos fue posible obtener provenientes de anemometros de alta resoluciontemporal fueron obtenidos del sitio winddata.com [35]. Esta companıa vende datos de este tipopara su utilizacion en el diseno de turbinas eolicas para generacion de energıa, y la calidad delos mismos es excelente. Sin embargo, al estar sensados en tierra y por lo general en la zona delos paıses Nordicos (con el desconocimiento que eso implica sobre las caracterısticas del lugar pornuestra parte) decidimos buscar otra alternativa.

5.1.3. El modelo de simulacion

Resolvimos entonces buscar expertos en meteorologıa y en regatas que pudieran darnos infor-macion sobre cuales son los factores mas significativos que gobiernan la evolucion del viento apequena escala. Ası podrıamos construir un modelo ad hoc de canchas de regata que estuviera enconsonancia con la experiencia de navegacion.

Tras una entrevista con Alberto Enguix23, resolvimos generar escenarios para regatas que tu-vieran una distribucion verosımil de rachas aleatorias, tanto en su intensidad como en su formay duracion. A continuacion reproducimos los conceptos esenciales que dieron origen a nuestromodelo[9].

El viento de escala sinoptica (el que se deriva de los centros de alta y baja presion que circulanpor la atmosfera) se caracteriza segun los modelos meteorologicos a alrededor de 1000 metros

punto variaba segun una cadena de Markov. Este modelo era muy rudimentario y deberıa mejorarse. La dificultadreside en representar la correlacion espacial y temporal de los vectores de viento de manera realista. Una cadena deMarkov es el intento mas simple de hacer esto. Intentamos varias opciones y finalmente decidimos asumir una unicadireccion de viento para cada lınea perpendicular a la direccion del recorrido.”

23Enguix es un experto local en meteorologıa aplicada a regatas y autor de varios libros sobre la materia [10, 11, 12].Fue profesor de Vela en el Yacht Club Centro Naval y en la Escuela Argentina de Nautica Deportiva. En 1986,la Universidad Nacional de Cordoba (Catedra de Navegacion a Vela) lo nombro Profesor Honoris Causa. Comoregatista, represento a la Argentina en 3 campeonatos mundiales de la clase 505. Ademas, fue responsable del disenoy superviso la construccion del casco del Lantia, un velero de la clase internacional Penguin con que Martın Costase consagro campeon mundial en 1972 en los Estados Unidos.


Viento Intensidad Direccion

Viento de gradiente 100 % -Viento de superficie sobre agua 65 % +15o

Viento de superficie sobre tierra 30 % +30o

Tabla 5.1: Resumen del modelo de la espiral de Ekman

de altura. Este viento se denomina tambien “viento de gradiente” ya que se desplaza segun losgradientes de presion atmosferica que lo producen. El viento de superficie esta condicionado poreste viento de altura, pero tambien esta sujeto a una importante friccion con la superficie terrestre.Por esta razon, el viento de superficie originado de esta forma tiene siempre una velocidad menorque la del viento sinoptico. La rotacion de la tierra (y la resultante fuerza de Coriolis) hacen queesta disminucion de velocidad redunde a su vez en un cambio de la direccion en la que sopla elviento, segun el modelo de la espiral que Ekman introdujo en un articulo clasico de 1905 [8]. Laespiral se ilustra en la Figura 5.2. Ası, en el hemisferio sur, el viento de superficie esta desfasadoen sentido horario respecto del viento de altura.

Figura 5.2: Espiral deEkman (hemisferio sur)

La Tabla 5.1 resume los valores mas significativos de la espiral deEkman. La diferencia entre las valuaciones sobre tierra y sobre aguacorresponde a la diferencia de friccion que existe cuando el viento cir-cula sobre uno u otra. Esta discordancia valido la decision comentadaen la Seccion 5.1.2 de no utilizar datos sensados en tierra a pesar deque las mediciones tuvieran buena calidad.

La condicion esencial que afecta la cantidad y calidad de las rafagases la estabilidad del aire en la capa mas baja de la atmosfera. Elconcepto de estabilidad se refiere a la cantidad de movimiento verticalque se produce entre las diferentes capas de aire atmosferico.

(a) Estabilidad (b) Inestabilidad

Figura 5.3: Corte de las capas atmosfericas segun el grado de estabilidad


En condiciones estables como las de la Figura 5.3a, los estratos se comportan de manera in-dependiente, con las capas mas bajas presentando intensidades de viento mas reducidas y unadireccion desfasada segun la espiral de Ekman. En este tipo de situacion, es muy difıcil que seproduzcan rafagas y variaciones aleatorias en la direccion e intensidad del viento de superficie.

En condiciones inestables, se producen movimientos convectivos que “mezclan” las capas entresı. Aquı, es mucho mas facil que una masa de aire de altura descienda de forma turbulenta haciala superficie arrastrada por una celda de conveccion. Este fenomeno causa las rafagas que losnavegantes experimentan en la superficie, y que son las que originan las fluctuaciones aleatorias dedireccion e intensidad en el viento durante las regatas.

Figura 5.4: Rafaga de viento en elembalse Exequiel Ramos Mejıa

(Neuquen, Argentina)

Estas rafagas, que son en esencia una tajada de vientode altura que se abre paso hacia la superficie, desciendende forma abrupta, chocan con el agua y se propagan porla superficie hasta que por efecto de la friccion pierdensu velocidad y direccion caracterıstica, mezclandose conel viento de superficie lindante. Dicha propagacion tieneforma de un frente de onda de mayor intensidad. En HighPerformance Sailing, Bethwaite describe una estructurasimilar [3]. Enguix hace lo propio en su libro [11]. A suvez, es posible encontrar evidencia de esta caracterizacionen fotos satelitales de alta resolucion tomadas sobre espe-jos de agua. La Figura 5.4 es un ejemplo, donde el vien-to de mayor intensidad “arruga” la superficie del aguaformando pequenas olas que reflejan la luz del sol y de-scriben la forma de la racha.

A partir de esta concepcion, Enguix nos transmitio varias ideas que nos sirvieron de base parala construccion de un modelo:

Las rafagas no pueden superar en intensidad al viento de gradiente, que es segun la espiralde Ekman un 50 % superior al de superficie sobre el agua.

Las rafagas tienen por lo general la direccion inicial del viento de gradiente, que esta desfasadounos 15o en sentido antihorario respecto del de superficie.

Las rafagas golpean la superficie y se propagan de forma expansiva con un angulo de aprox-imadamente 60o y un tamano que depende del grado de inestabilidad de la atmosfera.

Las rafagas se propagan por la superficie a la velocidad del viento que las compone.

Caracterıstica Inestabilidad baja Inestabilidad media Inestabilidad alta

Tiempo estimado entre rachas 8-10 minutos 2-3 minutos 1 minuto

Area abarcada por las rachas 50-100 metros 100-200 metros 400-500 metrosAumento sobre viento base 10 % 30 % 50 %

Angulo de desvıo sobre base 5o-10o 10o-15o 30o-40o

Tabla 5.2: Parametros estimativos para escenarios

Ademas, desde su condicion de experto del dominio nos proporciono informacion cuantitativabasada en su experiencia de algunos parametros relativos a las rafagas, que agrupamos en tresescenarios representativos de la meteorologıa caracterıstica del Rıo de la Plata (Tabla 5.2).


Figura 5.5: Secuencia de una racha impactando sobre el agua

Los parametros involucrados son:

El tiempo estimado entre rachas, que corresponde a la esperanza del tiempo que un naveganteespera entre el momento en que percibe una racha y percibe la siguiente.

El area abarcada por las rafagas, que corresponde a la expansion geografica en la que elviento de superfice se ve modificado por accion de una corriente de aire descendente de unacapa superior.

El aumento sobre el viento base, que es la variacion porcentual de intensidad que es esperableobservar cuando una racha de viento alcanza a un observador.

El angulo de desvıo sobre el viento base, que es la diferencia respecto de la direccion delviento de base (en sentido horario u antihorario) que puede causar una rafaga.

Con la colaboracion de Enguix construimos una secuencia de imagenes que describen la propa-gacion de una racha de modo cualitativo, de acuerdo a nuestra experiencia conjunta. La misma seexhibe en la Figura 5.5. En la figura, las zonas oscuras son las que perciben un incremento en laintensidad de viento, mientras que las zonas claras perciben una disminucion. Las zonas con el tonogris utilizado para el fondo no influyen de ninguna manera sobre el viento de base. La modificacionque la racha produce sobre la direccion del viento se establece en funcion de la distancia al centrode la racha, lo que resulta coherente con la expansion que se produce cuando esta golpea el agua.

La secuencia de la Figura 5.5 se parametriza segun los valores establecidos en la Tabla 5.2 paraajustarla al escenario que se desea modelar. Repitiendo este proceso e incorporando variacionesaleatorias en los parametros puede generarse una variedad de rachas que luego se combinan conun viento de base apropiado para generar canchas simuladas con condiciones realistas de viento.

Ası, proporcionando un viento de base y generando rafagas aleatorias segun los parametrosestipulados aquı, podemos construir una variedad de simulaciones de condiciones meteorologicascon rafagas de caracterısticas y distribucion apropiadas. Se presenta un ejemplo en la Figura 5.6.Esta propuesta es particularmente solida frente a la cuestion de la correlacion espacial entre losdatos que describio Philpott. Dado que las rachas se construyen a partir de su estructura global,las lecturas de viento en cuadrantes contiguos siempre seran consistentes frente al impacto de lasrafagas.

Con esta herramienta, estamos en condiciones de generar condiciones meteorologicas simuladas


para realizar optimizaciones con nuestros algoritmos. Gracias a la comprension del funcionamientode los fenomenos meteorologicos involucrados, logramos un modelo cuya simulacion coincide connuestra experiencia practica ası como con la de un experto del dominio del problema. En particular,nos interesaremos a continuacion por condiciones simuladas que se encuadren en las tipologıasdescriptas en la Tabla 5.2, ya que son representativas de las condiciones locales del Rıo de la Plata.Podemos con ellas realizar experimentos para evaluar el funcionamiento de nuestros algoritmos encondiciones realistas.

5.1.4. La corriente y el barco

Figura 5.6: Rafaga simulada de vientoen un escenario para optimizacion

Los escenarios descriptos hasta el momento involu-cran solo las caracterısticas referidas al viento. Las otrasdos variables de entrada al modelo son la corriente ylas caracterısticas propias de la embarcacion a considerar(sus curvas polares y sus costos tıpicos de maniobra).

Para todos los escenarios que se detallan en estecapıtulo, se trabajo sin ningun tipo de corriente. Si bienes importante que el modelo considere este factor (sobretodo en aras de no perder generalidad y ser utilizable enregatas de larga distancia tanto como de corta distancia),introducir esta variable extra complica sustancialmentela evaluacion de los resultados.

En la medida en que se evaluen regatas de corta distancia, la corriente sera por lo generaluniforme para todos los participantes, ya que los flujos de agua en rıos, lagos o mares son porlo general de una extension espacial significativa. Si ademas consideramos que las regatas sonsuficientemente breves como para que no pueda producirse un cambio de marea24 las condicionesseran constantes y homogeneas durante todo el perıodo analizado. En principio, no parece queuna condicion homogenea para todos los participantes pueda aventajar a uno sobre otro. Por estarazon, despreciamos el efecto de la corriente en todos los experimentos, relegando el analisis deeste factor para trabajos futuros.

Maniobra Costo (en segundos)

Virada 5.0Trasluchada 2.6Derivada 1.3Orzada 1.3

Tabla 5.3: Costos asignados a las maniobras

Respecto de la embarcacion a analizar, utilizamos las curvas polares caracterısticas de un veleroclase Farr 36, un barco moderno de regatas de 36 pies de eslora25 cuyas polares caracterısticas estandisponibles en Internet, y que ya se exhibieron parcialmente en la Figura 1.7. Los costos de lasmaniobras fueron asignados manualmente segun la Tabla 5.3 a partir de nuestra experiencia previaen barcos de caracterısticas similares.

24Las mareas astronomicas tienen un perıodo aproximado de 12 horas, por lo que esta presuncion resulta razonable.25Eslora: Longitud de un barco.


Si bien para realizar un analisis completo serıa necesario trabajar a partir de barcos distintos,decidimos limitarnos a analizar un unico barco para acotar la complejidad del trabajo. Por lascaracterısticas del modelo, es de esperarse que el comportamiento del mismo sea relativamenteuniforme cuando se consideran barcos comparables.

5.2. Heurısticas para A*

En primer lugar vamos a observar el rendimiento de las heurısticas utilizadas para guiar labusqueda del algoritmo exacto que utiliza informacion completa de los escenarios. Se presentan enprimer lugar las areas exploradas de la grilla del modelo, tanto por la implementacion basica delalgoritmo de Dijkstra ası como las dos heurısticas que se presentaron en la Seccion 3.1.3.

Se consideraron 4 casos:

Viento uniforme y constante de direccion 0o a 10kts (Figura 5.7)

Viento uniforme girando de 0o a 20o a lo largo de la navegacion (Figura 5.8)

Un escenario de inestabilidad media y viento base de 0o a 13 kts (Figura 5.9)

Viento uniforme y constante de direccion 0o a 10kts y navegacion directa (Figura 5.10)

En los tres primeros escenarios presentados los resultados obtenidos son muy similares. La imple-mentacion ingenua del algoritmo de Dijkstra explora el grafo en todas las direcciones, generandotodas las rutas optimas hacia todos los nodos con longitud inferior a un c0. Cuando encuentrauna ruta que termina en el nodo de destino, el algoritmo termina con la certeza de que la rutaes optima. Se observa en todos los graficos correspondientes al algoritmo de Dijkstra que el areaexplorada corresponde a la contenida por la isocrona de longitud c0: la forma descripta no es masque la de la curva polar de vmg para la intensidad de viento de interes.

La heurıstica de distancia cartesiana sesga la busqueda hacia la direccion en que se encuentrael destino. Si bien el area explorada mantiene la forma original de la curva polar de vmg, apareceuna protuberancia en la misma en la direccion de interes. Dado que la forma del area explorada esmas larga en la dimension deseada, el algoritmo encuentra el nodo de destino antes de que el areaaumente mucho de tamano, recorriendo ası una parte significativamente menor del grafo.

La heurıstica de vmc tiene un rendimiento superior, a pesar de recorrer un area nada despre-ciable del grafo. Si consideramos que por la simetrıa de las bordejeadas, existe una ruta igualmenteoptima que es simetrica en el sentido vertical a la propuesta por el algoritmo, se deduce que elarea a explorar no puede ser significativamente menor al romboide que se aprecia particularmentebien en la Figura 5.7c. En efecto, la superficie explorada se condice muy bien con lo que desdeel conocimiento del dominio de las regatas a vela se considera el area razonable para realizar unabordejeada. No se exploran zonas que desde la experiencia podrıan considerarse sin sentido, adiferencia de las otras implementaciones.

Ademas, a diferencia de las otras heurısticas que exploran areas de la misma forma paracualquier tipo de destino, manteniendo siempre la silueta aproximada de la curva, la heurısti-ca de vmc explora un camino particularmente angosto cuando la navegacion puede realizarse enforma directa y sin bordejeadas. Esta situacion se observa en la Figura 5.10.

Los graficos siguientes son comparaciones sistematicas de las heurısticas para vientos constantes


(a) Algoritmo de Dijkstra (b) A∗ con heuristica Cartesiana (c) A∗ con heuristica VMC

Figura 5.7: Area explorada para una cancha con viento constante 0o


Figura 5.8: Area explorada para una cancha con viento girando de 0o a 20o


Figura 5.9: Area explorada para una cancha inestable media

con todos los angulos posibles de navegacion respecto del viento. La Figura 5.12 corresponde aejecuciones de los algoritmos para una grilla de 100× 100 cuadrantes y n = 15 nodos por lado decuadrante, y exhibe la cantidad de arcos visitados en el grafo para obtener la solucion optima. LaFigura 5.11 muestra, para los mismos casos, el tiempo insumido por las variantes de A∗ expresadocomo porcentaje del tiempo utilizado por la implementacion ingenua del algoritmo de Dijkstra.



Figura 5.10: Area explorada para navegacion directa con viento constante

0 50 100 150 200 250 300 350

Ángulo de navegación

0

10

20

30

40

50

Porc

enta

je d

el ti

em

po d

e D

ijkst

ra

A* con cota cartesiana

A* con cota de VMC

Figura 5.11: Porcentaje del tiempo del algoritmo deDijkstra en funcion del angulo del viento

La Figura 5.12 muestra como las navega-ciones que involucran bordejeadas (las querodean a 0o y a 180o) son notablementemas costosas de resolver que aquellas en lasque la navegacion es directa. La heurısti-ca cartesiana presenta una mejora impor-tante aunque aproximadamente constantepara todos los rumbos de navegacion. Porel contrario, la heurıstica de vmc presentauna mejora que es superior en los rumbosde bordejeada, y excelente en los rumbos di-rectos. Si bien no se grafican los tiempos deejecucion, los mismos estan en correlacionperfecta con la cantidad de arcos visitadosen el grafo.

La Figura 5.11 muestra la mejora derendimiento de los algoritmos gracias a lasheurısticas. Como se deducıa de la figura an-terior, la mejora obtenida por la heurısticacartesiana es aproximadamente constante,insumiendo entre el 35 y el 50 % del tiem-po utilizado por el algoritmo de Dijkstra.La heurıstica de vmc, por su parte, insumea lo sumo el 13 % del tiempo del algoritmode Dijkstra en los escenarios de bordejeada,mientras que obtiene un rendimiento hasta 100 veces mayor en navegaciones directas.

En funcion de los resultados aquı presentados consideramos apropiado el rendimiento de losalgoritmos exactos como para proceder con el resto de la implementacion.


0°

45°

90°

135°

180°

225°

270°

315°

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Millones de arcos

Dijkstra

A* con cota cartesiana

A* con cota de VMC

Figura 5.12: Cantidad de arcos del grafo expresados en funcion del angulo del viento

5.3. Comportamiento del modelo

En segundo lugar examinaremos el comportamiento del modelo respecto de sus parametros.Evaluaremos como los cambios en los mismos afectan la precision de los resultados obtenidos, lacantidad de arcos que resulta necesario explorar en el modelo (utilizando A∗ con heurıstica devmc, que es la que presenta el mejor comportamiento) y el tiempo insumido para la obtencion dela ruta optima.

5.3.1. Cantidad de nodos por lado

Los graficos siguientes muestran el efecto que tiene el parametro n sobre las metricas men-cionadas. Recordemos que n era la cantidad de nodos que se consideraban por cada lado de cuad-rante. Las corridas se realizaron sobre una unica instancia de cada tipo. Los demas parametros sedejaron fijos para las corridas.


0 10 20 30 40 50

Puntos por lado de cuadrante

0

200

400

600

800

1000

Cost

o de

l cam

ino

0 10 20 30 40 50


992

994

996

998

1000

1002

1004

Cost

o de

l cam

ino

(zoo

m)

(a) Calidad del resultado

0 10 20 30 40 50


0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

Mill

on

es

de a

rcos

vis

itad

os

0 10 20 30 40 50


0

5

10

15

20

25

30

35

40

Tie

mp

o d

e e

jecu

ción

(s)

(b) Benchmarks de rendimiento

Figura 5.13: Influencia del parametro n para viento constante, A = 30


0 5 10 15 20 25 30


0

200

400

600

800

1000

Cost

o de

l cam

ino

0 5 10 15 20 25 30


865

870

875

880

885

890

895

900

905

910

Cost

o de

l cam

ino

(zoo

m)

(a) Calidad del resultado

0 5 10 15 20 25 30


0

2

4

6

8

10

12

14

Mill

on

es

de a

rcos

vis

itad

os

0 5 10 15 20 25 30


0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Tie

mp

o d

e e

jecu

ción

(s)

(b) Benchmarks de rendimiento

Figura 5.14: Influencia del parametro n para condiciones inestables, A = 30


Los experimentos para verificar la calidad de los resultados son relevantes en la medida enque por la complejidad del modelo resulta muy difıcil acotar los errores cometidos producto dediscretizar variables. Las Figuras 5.13a y 5.14a muestran que si bien el error cometido por usaruna discretizacion demasiado gruesa es pequeno en relacion con la solucion, a medida que aumentael valor de n el mismo se reduce hasta estabilizarse. En resumidas cuentas, el analisis pareceindicar que en condiciones verosımiles (como las de escenario inestable de la Figura 5.14a) un valorde n = 30 parece ser mas que suficiente. Si bien en una situacion hipotetica de viento constante seobservan mejoras al aumentar mas el valor, la magnitud de las mismas es muy pequena.

Respecto de los benchmarks de las Figuras 5.13b y 5.14b, observamos el impacto predicho porla complejidad teorica del algoritmo. Aumentar n aumenta linealmente la cantidad de nodos (comose explico en la Seccion 2.2.2). A su vez, cada cuadrante tiene una cantidad cuadratica de arcos,lo que ocasiona a su vez que el aumento de n tenga un impacto cuadratico en la cantidad de arcostotales del grafo, lo que redunda en la progresion observada en las figuras.

Una vez mas, y al igual que en el apartado anterior, se observa una correspondencia muy fuerteentre la cantidad de arcos visitados por el algoritmo de camino mınimo y el tiempo insumido. Sedesprende que el numero de arcos es el mayor condicionante del tiempo de ejecucion del algoritmo.

5.3.2. Cantidad de cuadrantes

En tercer lugar se analizo el impacto del aumento del parametro A, que gobierna el tamanototal de la grilla de discretizacion del modelo, y por lo tanto afecta directamente la cantidad decuadrantes. Este parametro fue descripto en la Seccion 2.2.1. Dado que el valor de A describeel lado de la grilla, afecta cuadraticamente la cantidad de nodos del grafo puesto que el modelosubdivide el area de interes en A× A cuadrantes. Los demas parametros se dejaron fijos para lascorridas.

No se analizaron en este caso escenarios que no fuesen constantes ya que al modificar la res-olucion de la grilla, se afecta significativamente el modelo a resolver, introduciendo ası variacionesdifıciles de controlar. Por otro lado, en general la resolucion de la grilla a utilizar no es realmenteuna variable libre para ajustar, sino que esta condicionada por la disponibilidad de datos meteo-rologicos o de pronostico.

Segun lo predicho por la complejidad algorıtmica, se observa en la Figura 5.15 una progresionpolinomial en la cantidad de arcos visitados, acompanada por otra identica en el tiempo de ejecucioninsumido. Al igual que para n, el valor de A tiene un fuerte impacto sobre el rendimiento de losalgoritmos.

5.3.3. Cantidad de tiempos de cambio

Por ultimo, evaluamos el impacto del aumento en la resolucion temporal de los datos meteo-rologicos que proporcionamos al modelo. Aquı se modifico la cantidad de muestras de vientos paratoda la superficie de interes por unidad de tiempo. La cantidad de tiempos de cambio se repartede forma uniforme en la duracion total del escenario que se somete a optimizacion, que abarcaun lapso de 2500 segundos. Durante ese perıodo, la direccion del viento rota a velocidad uniformedesde los 0o hasta los 20o.


0 10 20 30 40 50

Cuadrantes por lado de la cancha

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Mill

on

es

de a

rcos

vis

itad

os

0 10 20 30 40 50

Cuadrantes por lado de la cancha

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Tie

mp

o d

e e

jecu

ción

(s)

Figura 5.15: Benchmarks de rendimiento para viento constante, n = 10

0 10 20 30 40 50

Resolución temporal

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Mill

on

es

de a

rcos

vis

itad

os

0 10 20 30 40 50

Resolución temporal

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Tie

mp

o d

e e

jecu

ción

(s)

Figura 5.16: Benchmarks de rendimiento con viento girando, n = 10


Como se discutio en la Seccion 3.1.2, cada vez que en la busqueda realizada por el algoritmose desea evaluar el costo de un arco, por la conversion a grafo fifo se debe verificar una cantidadlineal de tiempos posibles en busca de un mınimo tiempo necesario para realizar la transicion. Estaminimizacion explora todas las combinaciones factibles de esperas y avances en tiempos futuros.En razon de esto es esperable la relacion lineal que se observa en la Figura 5.16 entre la cantidadde tiempos de cambio en los datos de entrada y el tiempo del algoritmo de optimizacion.

Resulta mas llamativa la brusca disparidad entre esta variable y la cantidad de arcos que visitala implementacion de A∗. La explicacion es sencilla: si bien la resolucion temporal aumenta, lalongitud esperada de un arco en el grafo no se ve afectada, ya que la condiciona esencialmente elvalor del parametro A. Pasado un cierto nivel de resolucıon, el algoritmo no percibe mejoras en laruta: una vez que la duracion de los intervalos de tiempo cae muy por debajo del tiempo necesariopara recorrer un arco, la ruta optima dejara de variar y por lo tanto la cantidad de ejes exploradosse estabilizara.

Estas observaciones son relevantes ya que demuestran que el aumento en la resolucion temporaltiene un costo apreciable respecto del tiempo de ejecucion de los algoritmos, pero sin embargo esteincremento no vendra necesariamente acompanado de una mejora en la precision de la ruta: lamisma puede verse limitada por el valor de A.

5.4. Heurısticas

5.4.1. Modelo para experimentacion

A partir de lo estipulado en la Seccion 5.1.3, decidimos construir una serie de escenarios queconsideramos representativos para la evaluacion de la calidad de las heurısticas que presentamosen 4. Recordemos las siglas que utilizaremos para referirnos a ellas:

P: vmg ponderado (simetrico)

PA: vmg ponderado (asimetrico)

PD: vmg y distancia ponderada (simetrico)

PDA: vmg y distancia ponderada (asimetrico)

VPBF: Viento promedio (boya ficticia)

VPI: Viento promedio (boya infinita)

Para los criterios que tienen dos versiones, consideraremos que el criterio es asimetrico cuandosus parametros son distintos para cada amura. De lo contrario lo consideraremos simetrico. Deesta forma separamos los criterios, ya que faltando esta consideracion los criterios simetricos sonun caso particular de un criterio asimetrico.

5.4.1.1. Optimizacion de los parametros

Una vez establecido el marco para la experimentacion, el primer paso consistio en buscar valoresapropiados de los parametros de cada heurıstica para obtener un buen rendimiento. Para esto,


Figura 5.17: Tiempo promedio para distintas configuraciones de parametros para el criterio pd

consideramos para cada criterio rangos razonables para los valores de sus parametros y probamoslas distintas combinaciones de los mismos en un procedimiento anidado.

Esta busqueda se realizo inicialmente con una granularidad baja, y posteriormente cuando se en-contro la combinacion de valores de mejor comportamiento, se realizaron refinamientos progresivosen intervalos mas pequenos. Para la evaluacion del comportamiento en funcion de los parametrosrecurrimos a un subconjunto de los escenarios descriptos anteriormente: utilizamos unicamente las200 canchas con condiciones inestables medias y viento promedio de 0o, por considerar que sonlas mas representativas y generales. Como metrica para la valuacion de los parametros, buscamosminimizar el tiempo promedio obtenido por las heurısticas en todas las simulaciones.

La Figura 5.17 ilustra los resultados de la optimizacion para la heurıstica pd. Cuanto mas oscuroes el color de un punto, mejor fue el resultado obtenido por la heurıstica en las simulaciones. Seobserva en la Figura que hay una franja diagonal de valores buenos (que aparecen de color negro),rodeados por valores de peor comportamiento. Esta franja se extiende mas alla de los valores decd mostrados. Sin embargo, a medida que el coeficiente cd aumenta, observamos que la franja seangosta. Esto implica que la calidad de la heurıstica es muy sensible a pequenas variaciones de losparametros. Tras hacer esta observacion, consideramos que estos valores tan ajustados podrıan noser apropiados en escenarios levemente distintos a los inestables medios que utilizamos para estecaso. Decidimos entonces conservar el optimo dentro del rango graficado.


Heurıstica cv cd cve cvb cde cdb

P 3.50 - - - - -PD -1.80 6900.00 - - - -PA - - 3.20 2.80 - -PDA - - -0.40 1.20 2900.00 2300.00VPBF - - 2.45 1.45 1600.00 1600.00VPI - - 0.40 1.30 1400.00 0.00

Tabla 5.4: Parametros optimos para las distintas heurısticas

El procedimiento descripto se realizo para todas las heurısticas presentadas, obteniendo losvalores que se exhiben en la Tabla 5.4.

5.4.1.2. Comparacion de las heurısticas

Una vez obtenidos valores apropiados para los parametros, procedimos a comparar las cuali-dades de los diferentes criterios. Una vez mas, realizamos las comparaciones en canchas de condi-ciones inestables medias, utilizando diversas metricas. La mayorıa de las mismas son sencillas decomprender, pero corresponde aclarar la metrica de puntos acumulados. En ella se utilizo el sis-tema de puntuacion que se utiliza en campeonatos de vela para asignar puntajes en un conjuntode regatas. La cantidad de puntos que le corresponden a cada participante por cada regata sonlos de la posicion que obtuvo en la misma: el ganador recibe 1 punto, el segundo 2, y ası sucesiva-mente. El ganador del campeonato sera el participante que acumule la menor cantidad de puntosal completarse todas las regatas.

Los resultados de estas comparaciones se observan en las Figuras 5.18, 5.19, 5.20 y 5.21. Laprimera constatacion es que en general los criterios se comportaron relativamente bien, alcanzandoerrores relativos promedio del orden de entre el 4 y el 7 %. Ademas, se desprende del analisis de losresultados que el criterio vpi tiene un comportamiento considerablemente mejor que los demas.

A partir de estos resultados, decidimos poner el mayor enfasis en la heurıstica vpi para continuarhaciendo experimentos mas extensivos en otros escenarios, por lograr esta resultados marcadamentesuperiores a los de las demas. A fin de poder contrastar sus resultados, conservamos a su vez paraexperimentos futuros a la heurıstica pd, por utilizarse variantes de la misma con mucha frecuenciaen el ambiente nautico.

Introdujimos a su vez una nueva heurıstica que llamamos pdd, correspondiente a la utilizacionde parametros malos de la heurıstica pd que la hacen comportarse de forma particularmenteingenua. La estrategia resultante de pdd corresponde a la actitud que tendrıa un navegante quese inicia: navegar en un mismo borde hasta tanto considere que el borde opuesto lograra llevarlodirectamente a su destino, y recien en ese momento realizar su primera (y posiblemente unica)virada.

La Figura 5.22 exhibe las rutas propuestas por las heurısticas para las 200 canchas inesta-bles medias, mientras que la Figura 5.23 presenta los puntos en que los algoritmos consideraronconveniente realizar viradas.

Es difıcil observar algun tipo de patron en las rutas optimas. Tanto los bordes como las viradas


Óptimo P PA PD PDA VPBF VPI

860

880

900

920

940

Tie

mpo p

rom

ed

io (

segundos)

Figura 5.18: Tiempo promedio de las rutas para condiciones de inestabilidad media

P PA PD PDA VPBF VPI0

1

2

3

4

5

6

7

Difere

nci

a c

on e

l ti

em

po ó

pti

mo (

%)

Figura 5.19: Diferencia relativa promedio con el tiempo optimo bajo inestabilidad media



10

20

30

40

50

60

Difere

nci

a c

on e

l ti

em

po ó

pti

mo

Figura 5.20: Diferencia absoluta promedio con el tiempo optimo bajo inestabilidad media


200

400

600

800

1000

Punto

s acu

mula

dos

Figura 5.21: Cantidad de puntos obtenidos compitiendo con inestabilidad media


(a) Optimos (b) VPI (c) PD (d) PDD

Figura 5.22: Recorridos para las 200 canchas de condicion inestable media

(a) Optimos (b) VPI (c) PD (d) PDD

Figura 5.23: Viradas para las 200 canchas de condicion inestable media


se distribuyen de forma relativamente uniforme en toda la cancha de regatas, en consonancia conla uniformidad de la distribucion de las rachas que se modelan. Dado que el algoritmo optimoutiliza un conocimiento completo de las condiciones de viento, es capaz de seleccionar rutas queuna heurıstica difıcilmente pueda adivinar: trabajan con conjuntos de informacion esencialmentedistintos.

La heurıstica pdd exhibe el comportamiento descripto antes, realizando por lo general unaunica virada. Esta es la estrategia trivial para este tipo de situacion, y es relevante solo comopunto de referencia para las demas.

Comparadas con el optimo, tanto vpi como pd realizan comparativamente pocas viradas, circu-lando mucho por la parte exterior de la cancha de regatas en lugar de hacerlo por su parte central.Desde un punto de vista nautico, estas estrategias son bastante riesgosas. Un barco que circula porel borde de la cancha como lo hace (en un caso extremo) pdd puede ver arruinada su regata por uncambio de viento repentino. Sin embargo, dado que nuestros escenarios de prueba no incorporancambios permanentes de viento sino que se centran en oscilaciones aleatorias, es razonable que losparametros de mejor comportamiento sean relativamente arriesgados, realizando pocas viradas ynavegando hasta los bordes: esta reduccion en la cantidad de viradas les permite ahorrar valiosossegundos de navegacion.

Vpi exhibe una preferencia superior por el lado izquierdo de la cancha. Esto se condice conque el viento base utilizado para generar los escenarios favorece levemente ese lado, ya que seencuentra unos grados por debajo del viento promedio. Ello se debe a que por lo descripto en 5.1.3,las rachas se encuentran por lo general algunos grados por encima del promedio. Es probablementeesta diferencia la que le permite vencer de forma sistematica a la heurıstica pd.

Los mismos experimentos realizados para canchas de condiciones inestables medias con vientobase 0o se realizaron para canchas inestables y estables con viento base 0o, e inestables mediaspero con viento base 20o. Para estos experimentos mantuvimos los parametros de los criterios conlos mismos valores que obtuvimos luego de optimizarlos con las canchas inestables medias.

En general, todos los resultados apuntan en la misma direccion: la heurıstica vpi se comportamuy bien, en general mucho mejor que los demas criterios y de forma muy consistente. Se mantieneademas muy cerca de los valores del optimo, una caracterıstica muy buena si tenemos en cuentaque trabaja con un subconjunto muy reducido de la informacion que utiliza este ultimo. En lascanchas estables (Figura 5.25) se ve como el criterio logra estar muy cerca del optimo, teniendo ungap de optimalidad promedio de menos del 2 %. En el caso de las canchas de condiciones inestablesmedias con viento base 20o (cuyos resultados se muestran en la Figura 5.26) se hace mas marcadala tendencia, logrando vpi estar a menos de un 4 % de la solucion optima, contra casi un 6 % delas otras heurısticas.

Por ultimo, es importante senalar la diferencia abismal que existe entre los tiempos de ejecucionde las heurısticas y los algoritmos exactos. En la Tabla 5.5 se resumen los tiempos26 de ejecucionpromedio, los tiempos de las rutas obtenidas, la diferencia promedio con el recorrido optimo, elporcentaje del tiempo optimo y el desvıo estandar de dicho porcentaje. Toda esta informacioncorresponde a corridas realizadas sobre canchas de condiciones inestables medias con viento base0o.

26Estas pruebas fueron realizadas en una configuracion de hardware diferente al resto de las pruebas, por lo quelos tiempos de ejecucion difieren a los presentados antes


Óptimo PDD PD VPI800

820

840

860

880

900

920

940

960

980

Tie

mpo p

rom

ed

io (

segundos)

(a) Tiempo promedio de las rutas para las canchas decondiciones inestables

PD PDD VPI0

2

4

6

8

10

12

Diferenciaconeltiempoóptimo(%

)

(b) Diferencia relativa promedio con el tiempo optimo( %) en condiciones inestables

PD PDD VPI0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Diferenciaconeltiempoóptimo

(c) Diferencia absoluta promedio con el tiempooptimo en condiciones inestables

PD PDD VPI0

100

200

300

400

500

600

Puntosacumulados

(d) Cantidad de puntos obtenidos por regatas encondiciones inestables

Figura 5.24: Condiciones inestables



820

840

860

880

900

920

940

960

980

Tie

mpo p

rom

ed

io (

segundos)

(a) Tiempo promedio de las rutas para las canchas decondiciones estables

PDD PD VPI0

2

4

6

8

10

12

Difere

nci

a c

on e

l ti

em

po ó

pti

mo (

%)

(b) Diferencia relativa promedio con el tiempo optimo( %) en condiciones estables

PDD PD VPI0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Difere

nci

a c

on e

l ti

em

po ó

pti

mo

(c) Diferencia absoluta promedio con el tiempooptimo en condiciones estables

PD PDD VPI0

100

200

300

400

500

600

Puntosacumulados

(d) Cantidad de puntos obtenidos por regatas encondiciones estables

Figura 5.25: Condiciones estables



820

840

860

880

900

920

940

960

980

Tie

mpo p

rom

ed

io (

segundos)

(a) Tiempo promedio de las rutas para las canchas decondiciones inestables medias 20o

PDD PD VPI0

2

4

6

8

10

12

Difere

nci

a c

on e

l ti

em

po ó

pti

mo (

%)

(b) Diferencia relativa promedio con el tiempo optimo( %) en condiciones inestables medias 20o

PDD PD VPI0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Difere

nci

a c

on e

l ti

em

po ó

pti

mo

(c) Diferencia absoluta promedio con el tiempooptimo en condiciones inestables medias 20o

PD PDD VPI0

100

200

300

400

500

600

Puntosacumulados

(d) Cantidad de puntos obtenidos por regatas encondiciones inestables medias 20o

Figura 5.26: Condiciones inestables medias 20o


Heurıstica T ejec T rec T − T ∗ %T ∗ σ%T∗

Algoritmo de Dijkstra 124.60 884.02 0.00 100.00 0.00A* euclidiana 93.40 884.02 0.00 100.00 0.00A* vmc 83.20 884.02 0.00 100.00 0.00PD 0.05 927.90 43.90 104.90 2.52PDD 0.04 938.00 54.26 106.17 2.74VPI 0.04 916.40 32.43 103.60 2.42

Tabla 5.5: Resumen de benchmarks de heurısticas y algoritmos exactos

Notemos que si bien la heurıstica vpi esta a alrededor de 4 % en promedio de la solucionoptima, su tiempo de ejecucion es mas de 3000 veces mas pequeno. Esta diferencia de rendimientola hace aplicable para su utilizacion en tiempo real, en conexion directa con los instrumentos deuna embarcacion que le proveen de toda la informacion que necesita. Estas caracterısticas hacenque pueda convertirse en una valiosa herramienta para un estratega embarcado.


Capıtulo 6

Conclusiones

6.1. Balance del trabajo

En este trabajo implementamos un modelo mas general que los utilizados en el software comer-cial, obteniendo ası la posibilidad de extender su uso para situaciones de regatas de corta distanciaen que el costo de las maniobras pueda resultar significativo.

La cota de vmc descripta para el algoritmo A∗ en la Seccion 3.1.3.2 exhibe un comportamientomuy interesante, explorando unicamente el area del grafo que es realmente pertinente a la nave-gacion que se espera del barco. Este resultado, ademas de habernos permitido realizar experimentosde forma muy rapida para el ajuste de las heurısticas, puede ser transferido a las aplicaciones deruteo de larga distancia convencional, a las que puede significarles una mejora significativa derendimiento.

Las heurısticas que desarrollamos para tomar decisiones de ruteo on-line reflejan en gran medidael conocimiento popular de los regatistas del medio local. Entre ellas, se destaca el comportamientode la heurıstica vpi de la Seccion 4.3.4, que logra por lo general resultados que se encuentran a un4 % del optimo utilizando solo la informacion accesible por los instrumentos del barco. A su vez,logran esto con cantidades mınimas de tiempo de computo, haciendo posible su implementacionpara su uso en tiempo real durante la navegacion.

Por ultimo, el modelo de simulacion de canchas que desarrollamos, si bien parte de conocimientoexperto y no del analisis de mediciones reales, es mas sofisticado que los presentados hasta el mo-mento en la literatura porque ataca directamente el problema de correlacion espacial enunciado porPhilpott. Ası, es un buen punto de partida para su ajuste con datos concretos y la experimentacionfutura.

6.2. Trabajos futuros

Sin duda la extension mas interesante al trabajo realizado hasta el momento es el pasaje a lapractica de las heurısticas que exhibieron buen comportamiento para poder ajustarlas y observarsu desempeno en condiciones reales de regata. Para ello, es necesario valerse de una interfaz simplecon instrumental nautico, lo que hace que el proyecto sea relativamente modesto en cuanto a sucomplejidad.

Otra alternativa posible es trabajar en la sofisticacion del modelo de simulacion de canchasde regata para ajustarlo a datos reales, realizando ası un analisis formal que permita validarempıricamente al modelo como fuente de escenarios para regatas.


En tercera instancia, si bien la corriente fue descartada de nuestro marco experimental, serıainteresante evaluar el impacto de la misma sobre el funcionamiento tanto de los algoritmos exactoscomo de las heurısticas. Si bien el factor de la corriente es mas relevante en ruteo de larga distancia,por las caracterısticas generales de nuestro modelo, esta lınea esta abierta a futuros desarrollos.

Desde el punto de vista teorico, hay algunas ideas que vale la pena explorar. Nuestro modelo secentra unicamente en navegaciones entre un origen y un destino. Por las caracterısticas habitualesde las regatas entre boyas, las distintas piernas son esencialmente independientes entre sı y elmodelo funciona perfectamente sobre ellas tratandolas de forma secuencial. Sin embargo, muchasregatas de marcas fijas tienen recorridos mas complejos en los que dependiendo de la navegacionque sea conveniente hacer, puede no resultar necesario pasar por una marca intermedia. El modelopuede generalizarse para contemplar estas situaciones realizando un grafo organizado por niveles.

Una opcion mas es la de revisar la discretizacion propuesta para el espacio navegable. La mismaesta bien adaptada al formato de los pronosticos de tipo grib, que por lo general utilizan una mallauniforme. Resulta ademas apropiada para la navegacion en extensiones de agua sin obstaculos. Sinembargo, en situaciones donde existieran obstaculos de morfologıa compleja (islas, bancos de arena,etc), para obtener una descripcion fiel de estos ultimos serıa necesario aumentar mucho la resolucionde la grilla, con el consiguiente costo computacional. Una grilla adaptativa (como por ejemplo, laresultante de una triangulacion de Delaunay) podrıa ofrecer caracterısticas mas adecuadas paraestas situaciones.


Referencias

[1] Adrena, 2010, Adrena, http://www.adrena.fr/

[2] F. Bethwaite, 1996, Sailing the Wind Patterns, High Performance Sailing, 12(119), AdlardColes Nautical.

[3] F. Bethwaite, 1996, Sailing the Wind Patterns, High Performance Sailing, 5(39), Adlard ColesNautical.

[4] b&g, 2008, Deckman 9.1 , http://www.bandg.com/

[5] E. W. Dijkstra, 1959, A note on two problems in connexion with graphs. Numerische Mathe-matik 1: 269–271.

[6] Lic. Maria Eugenia Dillon, meteorologa, Comunicacion personal.

[7] S.E. Dreyfus, 1969, An appraisal of some shortest-path algorithms, Operations Research 17(3),395–412.

[8] V. W. Ekman ,1905, On the Influence of the Earth’s Rotation on Ocean-Currents, Arkiv foermatematik. astronomi o. fysik., Vol. 11.

[9] A. Enguix, 2010, Comunicacion personal.

[10] A. Enguix, 2006, Curso de Vela, en tres tomos, Ediciones Granica.

[11] A. Enguix, 2010, El proximo role, NEW Visiones

[12] A. Enguix, 2003, Viento: Pronostico y estrategia para Regata y Crucero, Editorial puma.

[13] Empopado, http://www.empopado.com/

[14] M. L. Fredman, R.R. Tarjan, 1987, Fibonacci heaps and their uses in improved network opti-mization algorithms. Journal of the ACM 34(3), 596-615.

[15] B. Gladstone, 1983, Performance Racing Tactics, North U.

[16] H.J. Halpern, 1977, Shortest route with time dependent length of edges and limited delaypossibilities in nodes, Operations Research 21, 117–124.

[17] P. E. Hart, N.J. Nilsson, B. Raphael, 1968, A Formal Basis for the Heuristic Determinationof Minimum Cost Paths. IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics SSC4 4 (2):100–107.

[18] P.E. Hart, N.J. Nilsson, B. Raphael, 1972, Correction to “A Formal Basis for the HeuristicDetermination of Minimum Cost Paths”. SIGART Newsletter 37: 28–29.

[19] E. Kanoulas, Y. Du, T. Xia, D. Zhang, 2006, Finding fastest paths on a road network withspeed patterns, Proc. ICDE 06 10-19.

[20] D.E. Kaufman, R.L. Smith, 1993, Fastest paths in time-dependent networks for intelligentvehicle-highway systems application, J. Intelligent Transportation Systems 1(1), 1–11.

[21] J.E. Kerwin, J.N. Newman, 1979, A Summary of the H. Irving Pratt Ocean Race HandicappingProject, Proceedings of the Chesapeake Sailing Yacht Symposium.


[22] A. Orda, R. Rom, 1990, Shortest-path and minimum-delay algorithms in networks with timede-pendent edge-length, J. ACM 37(3), 607–625.

[23] A. Orda, R. Rom, 1989, Traveling without waiting in time-dependent networks is NP-hard,Manuscript, Dept. Electrical Engineering, Technion – Israel Institute of Technology, Haifa,Israel.

[24] C.P. Padhy, D Sen y P.H. Bhaskaran, 2008, Application of wave model for weather routing ofships in the North Indian Ocean, Natural Hazards 44:373-385.

[25] A. Philpott, A. Mason, Optimising Yacht Routes under Uncertainty, Proceedings of the 15thChesapeake Sailing Yacht Symposium.

[26] A. Philpott, 2005, Optimal Routing under Uncertainty, Applications of Stochastic. Program-ming 17, 315-335

[27] Pilote Norden, http://www.riovia.com/fotonor.php

[28] Pilote tiba, http://www.tiba.com/weather/index.php

[29] M. Rushall, 2007, Tactics , Royal Yachting Association, 1.1(18).

[30] H.D. Sherali, K. Ozbay, S. Subramanian, 1998, The time-dependent shortest pair of disjointpaths problem: Complexity, models, and algorithms, Networks 31(4), 259–272.

[31] R. Stelzer, T. Proll, 2007, Autonomous Sailboat Navigation for Shourt Course Racing, Roboticsand Autonomous Systems 56(7) 604-614.

[32] P.H. Stoter, 1992, Ship Weather Routeing, The Meteorologist’s Job?, Ship & Werf de Zee.8(92) 340-343.

[33] Tasman Bay Navigation Systems, 2010, Expedition 8, http://www.tasmanbaynav.co.nz/

[34] Yspots, http://www.yspots.com/

[35] WindData, http://www.winddata.com/

[36] L. Zhao, T. Ohshima, 2008, A* algorithm for the time-dependent shortest path problem. EnWAAC08: The 11th Japan-Korea Joint Workshop on Algorithms and Computation.

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