Variedades Invariantes y Realizaciones Finito...

Variedades Invariantes y Realizaciones Finito Dimensionales

Arturo Jaramillo Gil

Contenido

1 Estructura Temporal 41.0.1 Bonos de cupon cero y tasas de interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.0.2 Relaciones entre df(t, T ), dp(t, T ) y dR(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.0.3 Bonos con cupon fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.0.4 Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.0.5 Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Modelos para el proceso de precio de bonos 112.1 Modelo del proceso de precio de bonos basado en la tasa instantanea . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Ecuacion de la estructura temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Modelos para la tasa instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Estructura temporal afın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Metodologıa de Heath-Jarrow-Morton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1 Condicion de la deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Parametrizacion de Musiela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Realizaciones Lineales 203.0.3 Realizaciones lineales y sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.0.4 Realizaciones mınimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.0.5 Interpretacion del espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.1 Hull-White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2 Volatilidad xe−ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Variedades Invariantes 344.0.3 Calibracion de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.0.4 Variedad de curvas forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.0.5 Ecuacion de Musiela en terminos de integral de Stratonovich . . . . . . . . . . . . 364.0.6 Primer condicion de invarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.1 Familia de curvas Nelson-Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.2 Modelo de Ho-Lee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.3 Modelo de Hull-White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.4 Espacio de estados de Filipovic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Realizaciones no lineales 435.0.5 Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.0.6 Existencia de realizaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.0.7 Interpretacion de las variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.0.8 Sistemas no homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1 Construccion de realizaciones finito-dimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.1.1 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

i

5.1.2 Volatilidad determinista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.1.3 Volatilidad de direccion constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Realizaciones finito-dimensionales para volatilidad estocastica . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.1 Modelos de ruido ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.2 Condiciones necesarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2.3 Condiciones suficientes y necesarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A Apendice: Introduccion a la Teorıa del Arbitraje 73A.0.4 Dinamica de Portafolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.0.5 Oportunidades de arbitraje y valuacion de activos contingentes . . . . . . . . . . . 75A.0.6 Arbitraje y martingalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.0.7 Ausencia de arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1

Introduccion

Hoy en dıa para los inversionistas es de gran utilidad tener modelos que describan el comportamientoaleatorio del proceso de precio de los bonos. Este proceso puede ser determinado usando diferentesmetodologıas, y en esta tesis nos enfocaremos en la propuesta por Heath, Jarrow y Morton (una de-scripcion detallada de dicha metodologıa puede ser encontrada en [14]) en la cual, suponiendo la ausenciade oportunidades de arbitraje, se describe la evolucion de las tasas forward respecto al tiempo y a partirde ellas se determina el proceso de precio de los bonos.

Basado en la existencia de una medida martingala para el proceso de tasas forward, M. Musiela pro-pone una reparametrizacion de la fecha de expiracion en la tasa forward (conocida como reparametrizacionde Musiela), bajo la cual es posible demostrar que, fijada una funcion de volatilidad, la dinamica del pro-ceso de tasas forward bajo la medida martingala obedece una ecuacion diferencial parcial estocasticaconocida como la ecuacion de Musiela (vease [19] para mas detalles). Si logramos resolver esta ecuacionpara cierta curva forward inicial podremos describir el proceso de precio de los bonos por completo.

Debido a la dificultad de resolver ecuaciones diferenciales parciales estocasticas es de gran interesencontrar condiciones para la existencia de realizaciones finito-dimensionales, es decir, la existencia deun conjunto finito de factores que determinen por completo la dinamica de las tasas forward y cuyadinamica satisfaga alguna ecuacion diferencial estocastica. La existencia de dichos objetos ademas defacilitar considerablemente el calculo computacional del proceso de tasas forward, tiene sentido desde unpunto de vista economico.

Otro problema al llevar a la practica la metodologıa de Heath-Jarrow-Morton es que solo existe unnumero finito de datos en el mercado para determinar la curva forward inicial, por lo que se tiene queescoger de entre una familia de curvas una que se ajuste bien a los datos. Ya que repetiremos este algo-ritmo de calibracion cada dıa, debemos tener en cuenta que la familia de curvas y la volatilidad debencumplir ciertas condiciones de consistencia, con el fin de asegurarnos que la solucion a la ecuacion deMusiela pertenezca siempre a la familia de curvas con el paso del tiempo, de otra manera, el modelo queusamos podrıa contradecir al algoritmo de calibracion mediante el cual incorporamos la informacion nueva.

El objetivo de esta tesis es encontrar condiciones necesarias y suficientes tanto para la consistencia deuna familia de curvas con un modelo dado, como para la existencia de realizaciones finito-dimensionales,con el objetivo de describir de manera detallada un algoritmo lo mas general posible para el calculo delproceso de precio de los bonos. Como se vera mas adelante, los problemas de consistencia y existenciade realizaciones finito dimensionales estan fuertemente relacionados.

Dado que las familias de curvas que se usan para ajustar los datos del mercado tienen estructura devariedad diferenciable, es posible reformular el problema con un enfoque geometrico y aplicar algunosresultados de geometrıa diferencial; el teorema de Frobenius sera de vital importancia para encontrar lascondiciones de existencia de realizaciones finito-dimensionales.

La organizacion de esta tesis es la siguiente: en el Capıtulo 1 se dara una introduccion al mercadode bonos y se definiran las tasas de interes mas usadas. Posteriormente se analizara la relacion que

2

existe entre el proceso de precio de los bonos y los procesos correspondientes a las diferentes tasas de in-teres. Finalmente, se expondran algunos de los activos contingentes mas comunes en el mercado de bonos.

En el Capıtulo 2 se mencionaran los aspectos basicos de la metodologıa de Heath-Jarrow-Morton paradeterminar el proceso de precio de los bonos, ası como la reparametrizacion de Musiela y su correspondi-ente ecuacion diferencial estocastica, mencionaremos brevemente una metodologıa alternativa basada enla tasa instantanea y la ecuacion de la estructura temporal.

En el Capıtulo 3 estudiaremos la existencia de realizaciones lineales para volatilidades deterministas;bajo este supuesto podremos reformular la ecuacion de Musiela en terminos de un sistema de control,esto nos permitira usar las funciones de transferencia para dar condiciones de existencia de realizacioneslineales. Al final estudiaremos las realizaciones mınimas que nos permitiran describir la dinamica de lastasas forward con fecha de expiracion arbitraria en terminos de un conjunto finito de tasas forward dereferencia.

En el Capıtulo 4 abordaremos el problema de consistencia, definiremos formalmente nuestro problemaen terminos de variedades diferenciables y daremos condiciones necesarias y suficientes para la consis-tencia de un modelo con una familia de curvas dada; para esto haremos uso de la ecuacion de Musielareformulada en terminos de integral de Stratonovich. Posteriormente aplicaremos los resultados obtenidospara analizar la consistencia de la familia de Nelson-Siegel con algunos de los modelos mas usados.

En el Capıtulo 5 abordaremos el problema de existencia de realizaciones no lineales y veremos que suexistencia sera equivalente a la de una variedad de curvas forward invariante. Posteriormente daremosuna prueba del teorema de Frobenius que usaremos para encontrar las condiciones buscadas, y se dara unalgoritmo para construır la realizacion. Usaremos luego los resultados obtenidos para encontrar realiza-ciones finito dimensionales para algunas funciones de volatildad conocidas y, finalmente, se presentaranalgunos resultados numericos.

3

Capıtulo 1

Estructura Temporal

1.0.1 Bonos de cupon cero y tasas de interes

En esta seccion vamos a introducir algunos conceptos basicos del mercado de bonos y sus derivados asıcomo de las tasas de interes correspondientes y su relacion con la dinamica del proceso de precio de losbonos.

Definicion 1.0.1 Un bono de cupon cero con fecha de expiracion T (o T -bono) es un contrato entre dospartes, firmado al tiempo t; en el que el vendedor se compromete a pagar 1 peso en el tiempo T , a cambiode la cantidad p(t, T ) que debera pagarse al tiempo t, llamaremos a p(t, T ) el precio del T -bono al tiempot.

La cantidad que se paga a la fecha de expiracion (1 peso en este caso) se le conoce como face value ovalor nominal pero por conveniencia se toma como 1 peso. En lo sucesivo supondremos lo siguiente:

1. Existe un mercado de bonos para todos los tiempos T > t, es decir, para cualquier tiempo t y paracualquier fecha de expiracion T > t, podemos vender o comprar un bono de cupon cero con fechade expiracion T .

2. p(t, t) = 1 para cualquier t.

3. Para cada t fijo, p(t, T ) es infinitamente derivable como funcion de T .

Tasa forward

Dado el mercado de bonos definimos la tasa forward de la siguiente manera: supongamos que estamosen el tiempo t, y fijamos dos tiempos futuros T, S con t < S < T . Ahora, firmamos un contrato que nospermita hacer una inversion de 1 peso al tiempo S y nos de un rendimiento correspondiente a cierta tasade interes determinista, considerando la informacion disponible al tiempo t. Esto se puede hacer de lasiguiente manera:

1. Al tiempo t vendemos un S-bono y obtenemos p(t, S) pesos.

2. Usamos la ganancia para comprar p(t,S)p(t,T ) T-bonos (hasta ahora nuestra ganancia total es 0).

3. Al tiempo S pagamos nuestra deuda (1 peso correspondiente al S-bono).

4. Al tiempo T recibimos la cantidad que se nos debe p(t,S)p(t,T ) .

El resultado de haber hecho este contrato es invertir 1 peso al tiempo S y obtener un rendimiento dep(t,S)p(t,T ) al tiempo T . A la tasa de interes correspondiente, es decir, a la cantidad L(t, S, T ) que cumple

1 + (T − S)L(t, S, T ) =p(t, S)

p(t, T ), (1.1)

4

se le conoce como tasa forward o tasa LIBOR. La tasa correspondiente en tiempo continuo es la cantidadR(t, S, T ) que resuelve la ecuacion

expR(t, S, T )(T − S) =p(t, S)

p(t, T ). (1.2)

A partir de lo anterior definimos las siguientes cantidades:

• Spot rate simple o LIBOR spot rate que interpretaremos como la tasa forward simple cuandola inversion se hace en el tiempo t = S

L(S, T ) = − p(S, T )− 1

(T − S)p(S, T ). (1.3)

• Spot rate continua que interpretaremos como la version continua de la tasa foward simple cuandola inversion se hace en el tiempo t = S

X(S, T ) = − log(p(S, T ))

T − S. (1.4)

• Tasa forward instantanea que interpretaremos como la tasa LIBOR L(t, S, T ) cuando S tiendea T , i.e.

f(t, T ) = −∂ log(p(t, T ))

∂T. (1.5)

• Tasa instantanea

R(t) = f(t, t). (1.6)

• Cuenta bancaria

Bt = exp

∫ t

0

R(s)ds

. (1.7)

Integrando en ambos lados en la definicion de tasa instantanea forward (1.5) tenemos que

−∫ TSf(t, u)du = log(p(t, T ))− log(p(t, S))

y tomando la exponencial en ambos lados obtenemos

exp

−∫ T

S

f(t, u)du

= exp log p(t, T ))− log(p(t, S) =

p(t, T )

p(t, S).

Por lo tanto podemos concluır que para t ≤ S ≤ T se tiene:

p(t, T ) = p(t, S) exp

−∫ T

S

f(t, u)du

, (1.8)

y en particular,

p(t, T ) = exp

−∫ T

t

f(t, u)du

. (1.9)

5

1.0.2 Relaciones entre df(t, T ), dp(t, T ) y dR(t)

Sea (Ω,Σ,P) un espacio de probabilidad que represente al comportamiento aleatorio del mercado, sea Wun movimiento Browniano d-dimensional W (t) = W (t)1, · · · , W (t)d,Ft; 0 ≤ t < ∞ definido en dichoespacio que represente a las fuentes de aleatoriedad. Supongamos que las tasas instantanea y forward,ası como el precio de los bonos son procesos de Ito con las siguientes dinamicas:

dR(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t), (1.10)

dp(t, T ) = p(t, T )m(t, T )dt+ p(t, T )v(t, T )dW (t), (1.11)

df(t, T ) = α(t, T )dt+ σ(t, T )dW (t). (1.12)

Supondremos que para cada ω ∈ Ω y t ∈ R+, m(t, ·)(ω), v(t, ·)(ω), α(t, ·)(ω) y σ(t, ·)(ω) son elementosde C∞[t,∞) vistos como funcion de T y denotaremos sus derivadas por mT (t, ·), vT (t, ·), αT (t, ·) y σT (t, ·)respectivamente. Mas aun, supondremos que para cada T ∈ R+ mT (·, T ), vT (·, T ), αT (·, T ) y σT (·, T )son procesos estocasticos en la variable t adaptados a la filtracion e integrables respecto a W .

Imponemos dichas condiciones con el fin de poder usar el Teorema de Fubini estocastico en la prueba dela siguiente proposicion (estas suposiciones son razonables en el contexto bajo cual usaremos la proposicionpero en [14] pueden encontrarse condiciones menos restrictivas).

Proposicion 1.0.2 Si los procesos f(t, T ), p(t, T ) y r(t) satisfacen las condiciones antes mencionadas,con dinamicas dadas por (1.10),(1.11) y (1.12); los coeficientes de deriva y volatilidad de cada uno deestos procesos se relacionan de la siguiente manera

1. Los coeficientes de la dinamica de las tasa forward instantanea en terminos de los del proceso deprecio de los bonos estan dados por:

α(t, T ) = vT (t, T ) · v(t, T )−mT (t, T );σ(t, T ) = −vT (t, T ).

(1.13)

2. Los coeficientes de la dinamica de la tasa instantanea en terminos de los de la tasa forward instan-tanea estan dados por:

a(t) = fT (t, t) + α(t, t)b(t) = σ(t, t).

(1.14)

3. Los coeficientes de la dinamica del precio de los bonos en terminos de los de la tasa forwardinstantanea esta dada por

m(t, T ) = R(t) +A(t, T ) + ||S(t,T )||22

v(t, T ) = S(t, T )(1.15)

Donde A(t, T ) = −∫ Ttα(t, s)ds y S(t, T ) = −

∫ Ttσ(t, s)ds

Demostracion. Para demostrar la primera parte recordemos que la tasa forward instantanea en terminosdel precio de los bonos esta dada por:

f(t, T ) = −∂ log(p(t, T ))

∂T

Usando la formula de Ito tenemos que,

d log(p(t, T )) = (1

p(t, T )p(t, T )m(t, T ) +

−1

2p(t, T )2p(t, T )2v(t, T )2)dt

+ (1

p(t, T )p(t, T )v(t, T ))dW (t)

= (m(t, T )− v(t, T )2

2)dt+ v(t, T )dW .

6

Multiplicando por menos y derivando respecto a la variable T obtenemos lo que querıamos. Para de-mostrar la segunda parte consideramos:

R(t) = f(t, t) = f(0, t) +

∫ t

0

α(s, t)ds+

∫ t

0

σ(s, t)dW (s),

y escribimos α(s, t) = α(s, s) +

∫ tsαT (s, u)du

σ(s, t) = σ(s, s) +∫ tsσT (s, u)du.

Entonces,

R(t) = f(0, t) +

∫ t

0

α(s, s)ds+

∫ t

0

∫ t

s

αT (s, u)duds+∫ t

0

σ(s, s)dW (s) +

∫ t

0

∫ t

s

σT (s, u)dudW (s).

Usando Fubini estocastico (vease [13] para mas detalles) obtenemos

R(t) = f(0, 0) +

∫ t

0

fT (0, u)du+

∫ t

0

∫ u

0

αT (s, u)dsdu+

∫ t

0

∫ u

0

σT (s, u)dW (s)du+∫ t

0

α(s, s)ds+

∫ t

0

σ(s, s)dW (s)

= R(0) +

∫ t

0

fT (u, u)du+

∫ t

0

α(s, s)ds+

∫ t

0

σ(s, s)dW (s).

Para demostrar la ultima parte calculamos el diferencial de log(p(t, T )) =∫ Ttf(t, s)ds de la siguiente

manera:

log(p(t, T )) = −∫ T

t

f(t, s)ds

= −∫ T

t

(f(0, s) +

∫ t

0

α(u, s)du+

∫ t

0

σ(u, s)dW (u))ds

= −∫ T

t

f(0, s)ds−∫ T

t

(

∫ t

0

α(u, s)du)ds−∫ T

t

(

∫ t

0

σ(u, s)dW (u))ds

Usando Fubini estocastico obtenemos

log(p(t, T )) = −∫ T

t

f(0, s)ds−∫ t

0

(

∫ T

t

α(u, s)ds)du−∫ t

0

(

∫ T

t

σ(u, s)d(s))dW (u)

= −∫ T

0

f(0, s)ds−∫ t

0

(

∫ T

u

α(u, s)ds)du−∫ t

0

(

∫ T

u

σ(u, s)d(s))dW (u) +∫ t

0

f(0, s)ds+

∫ t

0

(

∫ t

u

α(u, s)ds)du+

∫ t

0

(

∫ t

u

σ(u, s)d(s))dW (u)

Usando nuevamente Fubini estocastico sobre los ultimos tres terminos tenemos

log(p(t, T )) = log(p(0, T )) +

∫ t

0

A(s, T )ds+

∫ t

0

S(s, T )dW (s) +∫ t

0

(f(0, s) +

∫ s

0

α(u, s)du+

∫ s

0

σ(u, s)dW (u))ds

= log(p(0, T )) +

∫ t

0

(A(s, T ) + r(s))ds+

∫ t

0

S(s, T )dW (s).

7

Finalmente aplicamos la formula de Ito para obtener la dinamica de p(t, T ) obteniendo

dp(t, T ) = p(t, T )(A(t, T ) + r(t) +p(t, T )||S(t, T )||2

2)dt+ p(t, T )dW (t)

1.0.3 Bonos con cupon fijo

Ademas de los bonos sin cupon, en el mercado se comercian contratos muy similares que ademas deasegurar al comprador 1 peso en la fecha de expiracion, pagan en ciertos tiempos intermedios ciertacantidad (posiblemente aleatoria) llamada cupon.

Definicion 1.0.3 Un bono con cupon fijo es un bono en el cual en ciertos tiempos intermedios se haranpagos predeterminados (cupones) al comprador del bono, es decir:

• Fijamos ciertos puntos T0, ..., Tn donde T0 es la fecha de emision del bono y T1, ..., Tn son las fechasde los bonos.

• Al tiempo Ti el comprador recibe una tasa (cupon) determinista ci.

• Al tiempo Tn el comprador recibe el valor nominal K.

Calcularemos ahora el precio de este tipo de bonos con cupon de la siguiente manera: al tiempo tcompramos ci bonos con fecha de expiracion Ti para i = 1, ..., n−1 y cn+K bonos con fecha de expiracionTn. El costo total del bono con cupon sera:

p(t) = K · p(t, Tn) +

n∑i=1

cip(t, Ti).

Usualmente los cupones estan determinados en terminos de una cantidad adimensional ri, interpretadacomo una tasa de interes actuando sobre el valor nominal K del bono en el intervalo de tiempo [Ti−1, Ti],es decir:

ci = ri(Ti − Ti−1)K.

Si los intervalos de pago estan equiespaciados, es decir:

Ti = T0 + iδ

y las tasas de cupon r1, ..., rn son iguales a una tasa cupon constante r; el precio del bono estara dadopor:

p(t) = K(p(t, Tn) + rδ

n∑i=1

p(t, Ti)).

Hay algunos bonos para los cuales el valor del cupon no esta fijado al tiempo en el que el contrato esfirmado sino que se renueva en cada tiempo Ti. La mayoria se renueva en funcion de alguna tasa deinteres de referencia. Por ejemplo, si suponemos que la tasa del cupon esta definida como la tasa LIBORL(Ti−1, Ti), entonces:

ci = (Ti − Ti−1)L(Ti−1, Ti)K.

Sin perdida de generalidad supongamos que K = 1 y que los intervalos estan equiespaciados. Sustituyendola tasa LIBOR en la ecuacion anterior obtenemos

ci = δ1− p(Ti−1, Ti)δp(Ti−1, Ti)

=1

p(Ti−1, Ti)− 1.

El precio al tiempo t de ci (visto como activo contingente) puede ser calculado de la siguiente manera: eltermino -1 corresponde a p(t, Ti) y el termino 1

p(Ti−1,Ti)corresponde a la siguiente estrategia de inversion

8

• compramos al tiempo t un Ti−1 bono, lo cual nos costara p(t, Ti−1);

• al tiempo Ti−1 recibimos 1 peso;

• invertimos dicho peso en Ti-bonos, y compraremos 1p(Ti−1,Ti)

Ti bonos;

• al tiempo Ti recibimos la cantidad 1p(Ti−1,Ti)

.

Entonces, el termino 1p(Ti−1,Ti)

costara p(t, Ti−1) y por lo tanto el precio de ci es p(t, Ti−1) − p(t, Ti);finalmente,

p(t) = p(t, Tn) +

n∑i=1

[p(t, Ti−1)− p(t, Ti)] = p(t, T0).

1.0.4 Swaps

Los derivados de las tasas de interes mas simples son los swaps, que basicamente intercambian en cadatiempo Ti una tasa fija por una flotante. Enseguida estudiaremos una clase particular de swaps llamadosswaps settled in arrears.

• Fijamos n fechas equiespaciadas en las cuales ocurriran los pagos.

• Al tiempo Ti recibiremos la cantidad KδL(Ti−1, Ti) = Kci donde ci es el i-esimo cupon de la tasaflotante.

• Al tiempo Ti pagamos la cantidad KδR para una tasa fija R.

La ganancia neta de esta operacion esta dada por:

Kδ(L(Ti−1, Ti)−R).

Usando los resultados de los bonos con cupon fijo, tenemos que el precio de la ganancia al tiempo Ti es

Kp(t, Ti−1)−K(1 + δR)p(t, Ti)

y el precio del swap al tiempo t

Π(t) = Kp(t, T0)−Kn∑i=1

dip(t, Ti)

donde di = Rδ, i = 1, ..., n− 1dn = 1 +Rδ.

La tasa swap R es determinada de manera que el valor del swap sea 0 en el momento en el que el contratoes firmado, por lo cual

R =p(0, T0)− p(0, Tn)

δ∑n

1 p(0, Ti).

1.0.5 Yield

Nos enfocaremos ahora en la tasa de interes “interna” correspondiente a cada bono. Supongamos que enlugar de comprar un T -bono con precio p(t, T ) se pueden invertir p(t, T ) pesos en la cuenta bancaria altiempo t y obtener al tiempo T una ganancia de 1 peso, esto es posible sı y solo sı la tasa spot continuay(t, T ) correspondiente cumple

p(t, T ) expy(t, T ) · (T − t) = 1.

Enseguida formalizamos la idea anterior.

9

Definicion 1.0.4 Definimos el yield de un bono cupon cero como

y(t, T ) = − log p(t, T )

T − t.

Dado un t fijo, a la funcion T −→ y(t, T ) se le llama Yield Curve.

Interpretamos al yield simplemente como la tasa spot en el interevalo [t, T ]. Ahora bien, si consideramosun bono con cupon fijo definimos el yield de la siguiente manera

Definicion 1.0.5 El yield de un bono de cupon fijo y pagos ci en el tiempo Ti es la solucion a la siguienteecuacion:

p(t) =

n∑i=1

ciey(t,T )(Ti−t).

10

Capıtulo 2

Modelos para el proceso de precio debonos

En el capıtulo anterior vimos la importancia de conocer el proceso de precio de los bonos para podervaluar activos contingentes; en este capıtulo nos enfocaremos en el problema de determinar su compor-tamiento a traves del tiempo.

Hay varias maneras de modelar este comportamiento, abordaremos dos de ellas, una es dar un mod-elo para la tasa instantanea y usar la ecuacion de la estructura temporal, la otra es la metodologıa deHeath-Jarrow-Morton donde especificamos un modelo para las tasas forward y usamos la ecuacion (1.9)para determinar el precio de los bonos. Mas aun, podemos encontrar la dinamica del precio de los bonosa partir de las tasas forward usando la Proposicion 1.0.2.

2.1 Modelo del proceso de precio de bonos basado en la tasainstantanea

Comenzaremos con la metodologıa basado en la tasa instantanea, lo cual nos llevara a la ecuacion de laestructura temporal y a algunos modelos para la dinamica de la tasa instantanea.

De manera analoga a la Seccion 1.0.2 consideremos (Ω,Σ,P) un espacio de probabilidad y W unmovimiento Browniano d-dimensional definido en dicho espacio. Supongamos que R(t) bajo P satisfacela siguiente ecuacion diferencial estocastica

dR(t) = µ(t, R(t))dt+ σ(t, R(t))dW (t),

para funciones µ y σ en C2(R+ × R+, R). Se puede ver que el proceso de la cuenta bancaria definidopor (1.7) tiene la siguiente dinamica

dB(t) = R(t)B(t)dt.

Veremos a continuacion que, bajo ciertos supuestos, la ausencia de arbitraje permite describir la formaque debe tener el proceso de precio de los bonos en terminos de la tasa instantanea mediante la solucionde una ecuacion diferencial parcial conocida como la ecuacion de la estructura temporal.

2.1.1 Ecuacion de la estructura temporal

Supongamos que el precio de los bonos para T > 0 fijo esta dado por

p(t, T ) = FT (t, R(t)),

11

donde FT es una funcion en C2(R+ × R+, R). Recordemos que la condicion de frontera

FT (T, y) = 1

se debe satisfacer para y > 0 arbitrario. Usando la formula de Ito tenemos que la dinamica de FT estadada por

dFT (t) = FT (t, R(t))αT (t, R(t))dt+ FT (t, R(t))σT (t, R(t))dW (t)

donde αT y σT son funciones en C2(R+ × R+, R) definidas porαT (t, y) := 1

FT (t,y)· (FTt (t, y) + µ(t, y)FTr (t, y) + 1

2σ2(t, y)FTrr(t, y))

σT (t, y) := 1FT (t,y)

· σ(t, y)FTr (t, y).

FTt y FTr denotan las derivadas de FT respecto a la primera y segunda variable respectivamente y FTrrdenota la segunda derivada de FT respecto a la segunda variable. A continuacion utilizaremos algunosconceptos y resultados basicos de la teorıa del arbitraje que pueden consultarse en el Apendice. Fijemosdos tiempos distintos S, T mayores a t y formemos un portafolio relativo (uT , uS) arbitrario, dondeinvertiremos el porcentaje uT en T -bonos y uS en S-bonos. Entonces, la dinamica del valor del portafolioesta dada por

dV = V

uT

dFT

FT+ uS

dFS

FS

.

Sustituyendo la dinamica de FT en la ecuacion anterior obtenemos

dV (t) = V (t) · uT (t)αT (t, R(t)) + uS(t)αS(t, R(t))dt+

V (t) · uT (t)σT (t, R(t)) + uS(t)σS(t, R(t))dW .

A continuacion imponemos condiciones sobre el portafolio relativo de manera que el termino de volatil-idad en la expresion anterior sea nulo: como solo estamos invirtiendo en T -bonos y S-bonos, nuestroportafolio relativo debe cumplir la ecuacion

uT (t) + uS(t) = 1.

Se tiene por lo tanto un grado de libertad para la eleccion de uT y uS por lo que se puede imponer lasiguiente condicion con el fin de eliminar el coeficiente correspondiente a dW en la dinamica del valor delportafolio

uT (t)σT (t, R(t)) + uS(t)σS(t, R(t)) = 0.

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos la solucionuT (t) = − σS(t,R(t))

σT (t,R(t))−σS(t,R(t))

uS(t) = σT (t,R(t))σT (t,R(t))−σS(t,R(t)) ,

y la dinamica del valor del portafolio estara dada por

dV (t) = V (t) · uT (t)αT (t, R(t)) + uS(t)αS(t, R(t))dt

= V (t) ·αS(t, R(t))σT (t, R(t))− αT (t, R(t))σS(t, R(t))

σT (t, R(t))− σS(t, R(t))

dt.

Entonces, por la condicion de no arbitraje (ver Apendice)

αS(t, R(t))σT (t, R(t))− αT (t, R(t))σS(t, R(t))

σT (t, R(t))− σS(t, R(t))= R(t),

12

que puede reescribirse de la forma

αS(t, R(t))−R(t)

σS(t, R(t))=αT (t, R(t))−R(t)

σT (t, R(t)). (2.1)

Como esta igualdad se cumple para S y T arbitrarios, se tiene que αT (t,R(t))−R(t)σT (t,R(t)) es un proceso que

no depende de T , por lo tanto, si definimos λ(t, y) := αT (t,y)−yσT (t,y)

podemos concluır lo siguiente

Proposicion 2.1.1 Suponga que el mercado de bonos es libre de arbitraje. Entonces, existe una funcionλ en C2(R+ × R+) tal que

αT (t)−R(t)

σT (t)= λ(t, R(t)). (2.2)

Podemos interpretar al numerador αT −R como el premio al riesgo local correspondiente al T -bono,que mide el exceso de retorno del T-bono respecto al retorno de la cuenta bancaria. Interpretamos a σcomo la volatilidad del bono, y por tanto λ es una medida del premio al riesgo respecto a la volatilidad.La Proposicion 2.1.1 establece que esta medida no depende de la fecha de expiracion. Si sustituımos lasdefiniciones de σT y αT en (2.2) obtenemos la siguiente proposicion

Proposicion 2.1.2 (Ecuacion de la estructura temporal):En un mercado de bonos libre de arbitraje se cumple la siguiente ecuacion:

FTt (t, y) + µ(t, y)− λ(t, y)σ(t, y)FTr (t, y) +1

2σ2(t, y)FTrr(t, y)− yFT (t, y) = 0 (2.3)

FT (T, y) = 1. (2.4)

Donde la funcion λ esta dada por la Proposicion 2.1.1.

La representacion de Feynman-Kac de la solucion esta dada en el siguiente resultado cuya pruebapuede encontrarse en [3]

Proposicion 2.1.3Sea Qt,r la medida dada por el teorema de Girsanov, bajo la cual R sigue la dinamica

dR(s) = µ(s,R(s))− λ(s,R(s))σ(s,R(s))ds+ σ(s,R(s))dW (s)R(t) = r,

donde W es un movimiento Browniano d-dimensional bajo Qt,r y r0 es una constante positiva. Entonces,el proceso de precio de los bonos esta dado por p(t, T ) = FT (t, R(t)) con

FT (t, R(t)) = EQt,r [e−

∫ TtR(s)ds], (2.5)

donde EQt,r denota a la esperanza bajo la medida Qt,r.

Puede encontrarse cierta similitud entre la ecuacion de la estructura temporal y la ecuacion de Black& Scholes, de hecho las pruebas son analogas. Sin embargo, hay una gran diferencia entre estos dosresultados, pues el termino λ en la ecuacion de la estructura temporal debe ser especificado en el modelo,por lo que diferentes elecciones de λ nos dan diferentes formas de la funcion FT (·, ·).

Esta diferencia entre la ecuacion de la estructura temporal y la de Black & Scholes se debe principal-mente al hecho de que la ecuacion de Black & Scholes funciona bajo el supuesto de que el mercado escompleto, por otro lado, en nuestro modelo para la estructura temporal el mercado no lo es, ası que elproceso de precios de los bonos queda determinado en parte por la dinamica de la tasa de interes y enparte por el mercado.

El siguiente resultado establece una metodologıa para valuar activos contingentes que dependen de latasa de interes, la prueba es analoga a la de las proposiciones anteriores.

13

Proposicion 2.1.4 Sea χ un activo contingente de la forma χ = Φ(R(T )). En un mercado libre dearbitraje, el proceso de precios Π(t; Φ) esta dado por

Π(t; Φ) = F (t, R(t)),

donde F resuelveFt(t, r) + µ(t, r)− λ(t, r)σ(t, r)Fr(t, r) + 1

2σ2(t, r)Frr(t, r)− rF (t, r) = 0

F (T, r) = Φ(r).

Mas aun, F tiene la representacion:

F (t, r) = EQt,r

[exp

−∫ T

t

R(s)ds

· Φ(R(T ))

],

donde Qt,r es la medida bajo la cual el comportamiento de r esta dado por

dr(s) = µ(t, r(t))− λ(t, r(t))σ(t, r(t))ds+ σ(t, r(t))dW (s)r(t) = r,

denotamos por EQt,r a la esperanza bajo la medida Qt,r

2.1.2 Modelos para la tasa instantanea

Notemos que si σ esta dada, para resolver la ecuacion de la estructura temporal no es necesario conocertanto a λ como a µ, basta conocer µ − λσ, que es precisamente el termino de la deriva de la dinamicade r bajo la medida Qt,r, mas aun, usando la Proposicion 2.1.3 basta conocer la dinamica de R bajo lamedida Qt,r para determinar a F . En la literatura hay numerosos modelos propuestos para especificardicha dinamica, entre los mas populares se encuentran:

1. VasicekdR(t) = (b− aR(t))dt+ σdW (t),

donde a, b y σ son constantes positivas

2. Cox-Ingersoll-Ross (CIR)

dR(t) = a(b−R(t))dt+ σ√R(t)dW (t),

donde a, b y σ son constantes positivas

3. DothandR(t) = aR(t)dt+ σR(t)dW,

donde a y σ son constantes positivas

4. Black-Derman-ToydR(t) = Θ(t)R(t)dt+ σ(t)R(t)dW (t),

donde Θ y σ son funciones positivas definidas en R+

5. Ho-LeedR(t) = Θ(t)dt+ σdW (t),

donde Θ(t) es una funcion positiva definida en R+

6. Hull-White(Vasicek extendido)

dR(t) = (Θ(t)− a(t)R(t))dt+ σ(t)dW (t),

donde Θ, a, σ son funciones positivas definidas en R+

14

7. Hull-White (CIR extendido)

dr = (Θ(t)− a(t)R(t))dt+ σ(t)√R(t)dW (t).

donde Θ, a, σ son funciones positivas definidas en R+.

Nos enfocaremos ahora en el problema de estimar los parametros involucrados en los modelos antesmencionados. Nuestro primer problema es que si escogemos un modelo y queremos calcular los parametrosa partir de datos reales, estarıamos calibrando datos provenientes de la medida P y ajustandolos al modelobajo la medida Qt,r. Sin embargo, como la transformacion de Girsanov solo afecta al termino de la deriva,podemos calcular la volatilidad a partir de datos reales. Otra manera de atacar el problema es usar elsiguiente algoritmo:

1. Escogemos un modelo particular con ciertos parametros por determinar. Denotamos a este vectorde parametros por α, y escribimos la dinamica de r bajo Qt,r

dR(t) = µ(t, R(t);α)dt+ σ(t, R(t);α)dW (t). (2.6)

2. Resolvemos para cada fecha de expiracion T la ecuacion:FTt (t, y) + µ(t, y)FTr (t, y) + 1

2σ2(t, y)FTrr(t, y)− yFT (t, y) = 0

FT (T, y) = 1.

De esta manera hemos calculado (en funcion de los parametros) el proceso de precios p(t, r;T ) =FT (t, r;α).

3. Obtenemos en el mercado informacion sobre los precios actuales de los bonos y denotamos a estacurva de precios por p∗(0, T ) para T ≥ 0.

4. Escogemos el vector de parametros α de manera que la curva p(t, T ;α) se ajuste bien a la curvap∗(0, T ) para T ≥ 0 de acuerdo a cierta funcion objetivo, con lo cual obtenemos una aproximaciondel vector α.

5. Por ultimo calculamos el precio del activo contingente χ = Γ(R(T )) de interes calculando su procesode precio Π(t; Γ) = G(t, R(t)) donde G resuelve la ecuacion

Gt(t, y) + µ(t, y)Gr(t, y) + 12σ

2(t, y)Grr(t, y)− yG(t, y) = 0G(T, y) = Γ(y).

Dada la gran importancia de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, se vuelvecomodo manejar modelos sencillos, tales como los modelos de estructura temporal afines que discutiremosenseguida.

2.2 Estructura temporal afın

Definicion 2.2.1 A una estructura temporal p(t, T )T>0 de la forma

p(t, T ) = FT (t, R(t)),

donde FT tiene la forma

FT (t, r) = expA(t, T )−B(t, T )r (2.7)

se le conoce como estructura temporal afın.

15

Supongamos que la dinamica de R bajo la medida Qt,r (definida en la Proposicion 2.1.3) esta dada por(2.6). Notemos que FT esta determinado por la ecuacion de la estructura temporal, por lo tanto, FT esde la forma (2.7) si y solo si existe una solucion de siguiente ecuacion para alguna eleccion de A,B enC1(R+ × R+,R)

At(t, T )− 1 +Btr − µ(t, r)B(t, T ) +1

2σ2(t, r)B2(t, T ) = 0, (2.8)

sustituyendo la condicion de frontera FT (T, r) = 0, se puede ver queA(T, T ) = 0B(T, T ) = 0.

De las ecuaciones anteriores se sigue que la existencia de una estructura temporal afın depende de laderiva y la volatilidad. De hecho, si podemos escribir a µ y σ2 como funciones afines de r aseguramos laexistencia de A y B como lo indica la siguiente proposicion.

Proposicion 2.2.2 Supongamos que µ y σ tienen la siguiente forma:µ(t, r) = α(t)r + β(t)

σ(t, r) =√γ(t)r + δ(t),

para α, β, γ, δ en C1(R+ × R+,R), entonces, el modelo admite una estructura temporal afın, donde A yB resuelven el siguiente sistema

Bt(t, T ) + α(t)B(t, T )− 12γ(t)B2(t, T ) = 1

B(T, T ) = 0,

At(t, T ) = β(t)B(t, T )− 1

2δ(t)B2(t, T )

A(T, T ) = 0.

Demostracion. Sustituyendo en la ecuacion (2.8) los valores de µ y σ como transformaciones afinesde r, obtenemos la siguiente ecuacion

At(t, T )− β(t)B(t, T ) +1

2δB2(t, T )−

1 +Bt(t, T ) + α(t)B(t, T )− 1

2γ(t)B2(t, T )

r = 0.

Como esta ecuacion se cumple para todo r, el termino entre llaves debe ser igual a cero, lo cual implica queel primer termino tambien debe ser igual a 0. Usando las condiciones de frontera para A y B obtenemosel resultado.

Por lo tanto, para obtener un estructura temporal afın para un modelo particular basta hacer la su-posicion de afinidad en la deriva y el cuadrado de la volatilidad, posteriormente se resuelve para A y Bel sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias dado por la Proposicion 2.2.2.

2.3 Metodologıa de Heath-Jarrow-Morton

Segun lo discutido en la seccion anterior, se puede encontrar la dinamica del proceso de precios de losbonos en terminos de la tasa de interes R. En esta seccion estudiaremos una metodologıa alternativapropuesta por Heath-Jarrow-Morton, que considera todas las tasas forward para especificar el modelo.Para esto, supongase que la dinamica de f bajo P esta dada por

df(t, T ) = α1(t, T )dt+ σ1(t, T )dW (t)f(0, T ) = f∗(0, T ).

16

Aquı W es un proceso de Wiener bajo P y f∗(0, T ) es la curva de tasas forward en el tiempo 0. De estamanera, si suponemos que α1, σ1 y f∗ estan determinados, podemos encontrar el proceso de precios delos bonos usando la formula

p(t, T ) = exp

−∫ T

t

f(t, s)ds

.

2.3.1 Condicion de la deriva

Para cualquier eleccion en los coeficientes α1 y σ1 de la dinamica de las tasas forward, existe una relacionentre ellos debido a la no existencia de oportunidades de arbitraje, dicha relacion esta dada por el siguienteteorema cuya prueba puede ser encontrada en [3]:

Teorema 2.3.1 (Condicion de la deriva del modelo de Heath-Jarrow-Morton) Si la dinamicade las tasas forward esta dada por

df(t, T ) = α1(t, T )dt+ σ1(t, T )dW (t)f(0, T ) = f∗(0, T ),

para un proceso de Wiener d-dimensional W . Entonces existe un vector columna d-dimensional λ(t) talque

α1(t, T ) = σ1(t, T )

∫ T

t

σ1(t, s)T ds− σ1(t, T )λ(t),

donde σ1(t, s)T denota a la transpuesta de σ1(t, s).

Notese que el Teorema anterior es valido bajo la medida P. Sin embargo, para propositos de valuacion deactivos contingentes es conveniente conocer la dinamica de f bajo Q, donde Q ∼ P es tal que el procesop(t,T )B(t) es una martingala para T > 0, a dicha medida se le conoce como medida martingala y su existencia

es equivalente a la no existencia de oportunidades de arbitraje (para mas detalles ver el Apendice). Enlo sucesivo supondremos que bajo la medida martingala la dinamica de las tasas forward esta dada por

df(t, T ) = α2(t, T )dt+ σ2(t, T )dW (t)f(0, T ) = f∗(0, T ).

Donde W es un proceso de Wiener bajo la medida Q. El Teorema 2.3.1 no es necesariamente valido bajola medida Q, sin embargo, podemos deducir otra relacion entre µ2 y σ2 basados en el hecho de que ahorahay dos maneras de valuar el precio de los bonos

p(0, T ) = exp

−∫ T

0

f(0, s)ds

,

y

p(0, T ) = EQ

[exp

−∫ T

0

r(s)ds

].

Proposicion 2.3.2 Bajo la medida martingala, los procesos α2 y σ2 cumplen

α2(t, T ) = σ2(t, T )

∫ T

t

σ2(t, s)T ds.

Demostracion. La dinamica del precio de los bonos en terminos de la de la tasa forward (de acuerdoa la Proposicion 1.0.2) esta dada por

dp(t, T ) = p(t, T )

R(t) +A(t, T ) +

1

2||S(t, T )||2

dt+ p(t, T )S(t, T )dW (t),

17

dondeA(t, T ) = −

∫ Ttα2(t, s)ds,

S(t, T ) = −∫ Ttσ2(t, s)ds.

Usando el teorema de representacion de martingalas (ver [23] para mas detalles) se tiene que existe unproceso H tal que

d(p(t, T )

B(t)) = H(t, T )dW (t),

se puede ver que dB(t) = B(t)R(t)dt, por lo que podemos usar integracion por partes para ver que

dp(t, T ) = d

(B(t) · p(t, T )

B(t)

)= r(t)p(t, T )dt+

H(t, T )p(t, T )

B(t)dW (t),

si comparamos el termino de la deriva de esta dinamica con el de la dinamica para p(t, T ) dada por laProposicion 1.0.2 tenemos que

R(t) +A(t, T ) +1

2||S(t, T )||2 = R(t).

Derivando esta expresion respecto a la segunda variable obtenemos el resultado

Teniendo estos resultados podemos calcular el precio de los bonos de la siguiente manera:

1. Especificamos de alguna manera la volatilidad σ2(t, T ).

2. Calculamos la deriva α2(t, T ) mediante la formula

α2(t, T ) = σ2(t, T )

∫ T

t

σ2(t, s)T ds.

3. Observamos en el mercado la curva forward del dıa de hoy f∗(0, T ).

4. Integramos para obtener la curva forward de los dıas futuros:

f(t, T ) = f∗(t, T ) +

∫ t

0

α2(s, T )ds+

∫ t

0

σ2(t, T )dW (s).

5. Calculamos el precio de los bonos mediante la formula

p(t, T ) = exp

−∫ t

0

f(t, s)ds

.

2.3.2 Parametrizacion de Musiela

En algunas aplicaciones es preferible hacer una reparametrizacion de las tasas forward en la que, en lu-gar de utilizar la fecha de expiracion T como parametro, se use el tiempo restante a la fecha de expiracion.

Esta reparametrizacion se conoce como parametrizacion de Musiela, y es de gran importancia pues nospermite escribir las tasas forward r(t, x) de manera que no dependan de t en la segunda entrada. De estaforma, podemos describir su evolucion en el tiempo como un proceso de curvas r(t, ·) con valores en unsubconjunto de C1(R+,R+), explicaremos esto a detalle mas adelante.

Definicion 2.3.3 Dado x ≥ 0 definimos la tasa forward reparametrizada r(t,x) como

r(t, x) = f(t, t+ x)

18

Si no hay ambiguedad, llamaremos a r simplemente tasa forward. Ahora, si suponemos que la dinamicade f bajo Q esta dada por

df(t, T ) = α2(t, T )dt+ σ2(t, T )dW (t)f(0, T ) = f∗(0, T ),

(2.9)

se puede obtener la dinamica de r usando el siguiente resultado

Proposicion 2.3.4 (Ecuacion de Musiela)Si la dinamica de las tasas forward bajo la medida martingala Q esta dada por (2.9), entonces r

satisface la siguiente ecuacion diferencial estocastica

dr(t, x) = Fr(t, x) +D(t, x)dt+ σ(t, x)dW (t), (2.10)

dondeσ(t, x) = σ2(t, t+ x),D(t, x) = σ(t, x)

∫ x0σ(t, s)T ds, y

F = ∂∂x .

Demostracion. Tenemos por la dınamica de f que

r(t, x) = f(t, t+ x)

= f(0, t+ x) +

∫ t

0

α2(s, t+ s)ds+

∫ t

0

σ2(s, t+ x)dW (s).

Luego, escribimos a α2 y σ2 de la siguiente manera

α2(s, t+ x) = α2(s, s+ x) +∫ t+xs+x

∂∂T α2(s, u)du,

σ2(s, t+ x) = σ2(s, s+ x) +∫ t+xs+x

∂∂T σ2(s, u)du.

Entonces

r(t, x) = f(0, t+ x) +

∫ t

0

α2(s, s+ x)ds+

∫ t

0

σ2(s, s+ x)dW (s) +∫ t

0

∫ t+x

s+x

∂

∂Tα2(s, u)duds+

∫ t

0

∫ t+x

s+x

∂

∂Tσ2(s, u)dudW (s).

Usando Fubini tenemos que los ultimos dos terminos de esta ecuacion pueden escribirse como∫ t+x

x

∫ u−x

0

∂

∂Tα2(s, u)dsdu+

∫ t+x

x

∫ u−x

0

∂

∂Tσ2(s, u)dW (s)du,

que es igual a∫ t+x

x

(∂

∂Tf(u− x)− ∂

∂Tf(0, u))du =

∫ t+x

x

∂

∂Tf(u− x, u)du− (f(0, t+ x) + f(0, x))).

Por lo tanto,

r(t, x) = r(0, x) +

∫ t

0

(α2(s, s+ x) +∂

∂Tr(s, x))ds+

∫ t

0

σ2(s, s+ x)dW (s).

Usando la condicion de la deriva obtenemos el resultado.

19

Capıtulo 3

Realizaciones Lineales

En lo sucesivo supondremos que la volatilidad σ reparametrizada de la Proposicion 2.3.4 esta dada, deesta manera, la dinamica de las tasas forward esta descrita por la ecuacion de Musiela

dr(t, x) = Fr(t, x) +D(t, x)dt+ σ(t, x)dW (t), (3.1)

donde D(t, x) = σ(t, x)

∫ x0σ(t, s)T ds,

F = ∂∂x .

Esta ecuacion es una ecuacion diferencial parcial estocastica debido al termino ∂∂x . Sin embargo, bajo

ciertas hipotesis es posible encontrar un espacio de estados finito-dimensional que determine por completoa r. Es decir, podemos encontrar una funcion G : U ⊂ Rn −→ H ⊂ C∞(R+,R+) y un proceso Z(t)t≥0con valores en Rn, tal que r tiene la forma

r(t, x) = G(Z(t))(x),dZ(t) = a(Z(t))dt+ b(Z(t))dW (t),

(3.2)

Donde el proceso Z(t)t≥0 tiene la interpretacion de un proceso de “factores” que determinan la dinamicade r. Intuitivamente se espera que si las tasas forward estan determinadas por un conjunto de factoresaleatorios, este conjunto sea finito. Por esta razon, son de gran interes las siguientes preguntas:

• ¿Cuando existe una realizacion finito-dimensional?

• ¿Cual es la mınima dimension posible?

• ¿Como construımos una realizacion de dimension mınima a partir de la volatilidad σ de la ecuacionde Musiela (3.1)?

Comenzaremos dandole respuesta a estas preguntas para el caso particular de realizaciones lineales,pero antes de dar la definicion formal de dichos objetos, encontraremos la solucion a la ecuacion deMusiela bajo el supuesto de que la volatilidad σ(t, x) = (σ1(t, x), ..., σm(t, x)) es una funcion determin-ista, independiente del tiempo σ(x) perteneciente a C∞(R+,R+) y que r(t, ·)(ω) ∈ C∞(R+,R+).

Primeramente, definimos el proceso r(t)(ω) := r(t, ·)(ω) para ω ∈ Ω, t ≥ 0, y escribimos la ecuacionde Musiela en la forma

dr(t) = Fr(t) +Ddt+ σdW (t)r(0) = r0,

(3.3)

20

donde

F = ∂∂x ,

σ(x) = (σ1(x), ..., σd(x)),

D(x) = σ(x)∫ x0σ(s)Tds,

r0 ∈ C∞(R+,R+).

Notese que la solucion de la ecuacion (3.3) es un proceso estocastico con valores en el espacio de BanachX = C∞(R+,R+). A continuacion presentaremos algunos conceptos que nos permitiran describir dichasolucion

Definicion 3.0.1 Una familia S(t)t≥0 de operadores lineales acotados en un espacio de Banach X esun semigrupo fuertemente continuo si

1. S(0) = Id,

2. S(t+ s) = S(t)S(s) para t, s ≥ 0

3. limt→0+ S(t)x = x para todo x ∈ X

Definicion 3.0.2 Sea S(t)t≥0 un semigrupo fuertemente continuo en un espacio de Banach X. Eloperador lineal A con dominio

D(A) =

x ∈ X | lim

t→0+

S(t)x− xt

existe

definido por

Ax = limt→0+

S(t)x− xt

se conoce como el generador infinitesimal de S(t)t≥0.

En [13] se da una solucion explıcita para ecuaciones diferenciales estocasticas en espacios de Banachdel tipo (3.3) (bajo ciertas condiciones de Lipschitz). El enunciado detallado del teorema que garantizala existencia de dicha solucion involucra una serie de conceptos y resultados que no enunciaremos en estatesis, pero que pueden encontrarse en [13]. A grandes rasgos, el teorema que aplicaremos dice los siguiente:

Sean H un espacio de Banach separable, W (t), 0 ≤ t ≤ T un proceso de Wiener d-dimensionaldefinido en un espacio de probabilidad (Ω,F , Ft≤T , P ), y sea A el generador infinitesimal del semigrupocontinuo S(t), t ≥ 0 definido en H. Supongase ademas que B es un proceso estocastico con valores enel espacio de operadores lineales acotados L(Rd, H), que f(·) es un proceso estocastico con valores en H,Ftt≤T -adaptado, e integrable (es decir, perteneciente a L1(Ω, H)), y que ξ0 es una variable aleatoriaen H medible respecto a F0. Entonces la ecuacion lineal

dX(t) = (AX(t) + f(t))dt+BdW (t),X(0) = ξ0,

(3.4)

tiene una unica solucion dada por

X(t) = S(t)ξ0 +

∫ t

0

S(t− s)f(s)ds+

∫ t

0

S(t− s)BdW (s). (3.5)

Para aplicar este resultado a la ecuacion (3.3) basta notar que el operador F es el generador infitesimaldel semigrupo de traslaciones S(t)t≥0 definido por

S(t) : C∞(R+,R+) −→ C∞(R+,R+)

f(·) 7−→ f(t+ ·).

21

Por lo tanto, tenemos que la solucion esta dada por:

r(t)(x) = r0(x+ t) +

∫ t

0

D(x+ t− s)ds+

∫ t

0

σ(x+ t− s)dW (s). (3.6)

A continuacion se simplificara el estudio de r(t) definiendo un nuevo proceso que, dada la informaciondisponible al tiempo inicial t = 0, determina por completo a r(t). Consideremos la siguiente ecuaciondiferencial estocastica definida en C∞(R+,R+):

dr0(t) = Fr0(t)dt+ σdW (t), r0(0) = 0 (3.7)

Esta ecuacion es del tipo (3.4), con generador infinitesimal F, por lo tanto su solucion esta dada por

r0(t, x) =

∫ t

0

σ(x+ t− s)dW (s), (3.8)

comparando (3.6) con (3.8) se puede ver que r0 satisface

r(t) = r0(t, x) + δ(t, x) (3.9)

donde δ esta dado por

δ(t, x) = r0(x+ t) +

∫ t

0

D(x+ t− s)ds (3.10)

Notese que si conocemos la curva forward inicial r0 podemos conocer δ(t, x), por lo que el proceso r(t)t≥0queda determinado por completo por el proceso r0(t)t≥0, por esta razon nos restringiremos al estudiode este ultimo. A continuacion definiremos el concepto de realizacion lineal para el proceso r0(t)t≥0.

Definicion 3.0.3 El conjunto de matrices A,B,C(x), donde A es una matriz n × n, B es una matrizn × d y C(x) es un vector n-dimensional, son un sistema de realizaciones lineales de grado n para r0(donde r0 esta definido como la solucion (3.8) de la ecuacion (3.7)) si

dZ(t) = AZ(t)dt+BdW (t), Z(0) = 0 (3.11)

r0(t)(x) = C(x)Z(t). (3.12)

La siguiente proposicion nos da una condicion suficiente y necesaria para la existencia de una real-izacion lineal.

Proposicion 3.0.4 El proceso de tasas forward tiene una realizacion lineal si y solo si σ puede escribirsede la forma:

σ(x) = C0eAxB, (3.13)

y una realizacion esta dada por

dZ(t) = AZ(t)dt+BdW (t) Z(0) = 0 (3.14)

r0(t)(x) = C(x)Z(t), (3.15)

dondeC(x) = C0e

AxB.

Demostracion⇐)Supongamos que existe una realizacion lineal dada por las matrices A,B y el vector C(x). Notemos que

22

el sistema (3.14),(3.15) es un caso particular del sistema (3.4) con generador infinitesimal A y semigrupoS(t)t≥0 definido por

S(t) = eAt =

∞∑k=0

(At)k

k!,

equivalentemente S(t) es el flujo al tiempo t generado por la solucion a la ecuacion diferencial linealordinaria:

x = Ax x(0) = 0.

Por lo tanto, la solucion de (3.14) es

Z(t) =

∫ t

0

eA(t−s)BdW (s), (3.16)

luego, usando (3.15) se tiene que

r0(t)(x) = C(x)Z(t) = C(x)

∫ t

0

eA(t−s)BdW (s)

y comparando esto con la solucion (3.8) de la ecuacion (3.7) se tiene que∫ t

0

σx(t− s)dW (s) =

∫ t

0

C(x)eA(t−s)BdW (s),

donde el subindice x denota la traslacion izquierda fx(t) := f(x+ t), de aquı se sigue que

σx(t) = C(x)eAtB,

y haciendo x = 0 obtenemos el resultado.

⇒)Si σ se puede factorizar como

σ(u) = C0eAuB,

se tiene queσx(t− s) = σ(x+ t− s) = C0e

A(x+t−s)B = C0eAxeA(t−s)B

por lo que definiendo C(x) := C0eAx se puede concluır que

σx(t− s) = C(x)eA(t−s)B

Lo cual implica que

∫ t

0

σx(t− s)dW (s) =

∫ t

0

C(x)eA(t−s)BdW (s) = C(x)

∫ t

0

eA(t−s)BdW (s) (3.17)

definimos luego Z como la solucion a

dZ(t) = AZ(t)dt+BdW (t) Z(0) = 0,

vimos que la solucion de esta ecuacion esta dada por (3.16), por lo cual se tiene que C(x)Z(t) cumple

C(x)Z(t) = C(x)

∫ t

0

eA(t−s)BdW (s).

Por otro lado vimos que la solucion de (3.7) esta dada por (3.8), es decir,

r0(t, x) =

∫ t

0

σx(t− s)dW (s)

Sustituyendo estas expresiones de r0(t, x) y C(x)Z(t) en (3.17) tenemos que la solucion de (3.14), (3.15)coincide con la de (3.7), por lo tanto A,B,C(x) son una realizacion lineal para r0

23

3.0.1 Realizaciones lineales y sistemas de control

Esta seccion esta dedicada a estudiar las propiedades de las matrices A,B y el vector C(x) correspon-dientes a una realizacion lineal de r0. Para ello, haremos corresponder a la ecuacion (3.14), (3.15) unsistema de control, y a partir de el deduciremos las propiedades de interes.

Dichas propiedades nos permitiran encontrar nuevas condiciones para la existencia de realizacioneslineales ası como la dimension minima del espacio de estados de Z(t), posteriormente demostraremosque podemos escoger al proceso de factores Z(t) como un conjunto de tasas forward de referenciar(t)(x1), ..., r(t)(xn). Comenzaremos enunciando algunos conceptos y resultados basicos de control lineal(vease [7] para una introduccion detallada de este tema).

Definicion 3.0.5 Un sistema de control lineal es un sistema de ecuaciones para y(·) de la forma:

x = Ax+Bu x(0) ∈ X (3.18)

y = Cx+Du, (3.19)

donde:

x(t) ∈ X se conoce como estado y X espacio de estados;

u(t) ∈ U se conoce como senal de entrada;

y(t) ∈ Y se conoce como senal de salida.

Los espacios X ,U ,Y son espacios de Hilbert y

A : X → X B : U → X C : X → Y D : U → Y.

son operadores lineales.

En [7] se demuestra que el sistema (3.18), (3.19), (bajo ciertas restricciones de regularidad sobre A,B,Cy D) tiene una solucion unica para y dada por:

y(t) = CeAtx0 +

∫ t

0

CeA(t−τ)Bu(τ)dτ +Du(t). (3.20)

Definicion 3.0.6 La funcion de transferencia k(s) del sistema (3.18), (3.19) esta definida como

k(s) = C(sI −A)−1B +D

Si el estado inicial x(0) es igual a cero, la funcion de transferencia relaciona de manera muy simple lasenal de entrada y la senal de salida de la siguiente manera:

Aplicando la transformada de Laplace a (3.18), (3.19) obtenemos

sx(s)− x0 = Ax(s) +Bu(s)

y(s) = Xx(s) +Du(s),

donde x, y, u son las transformadas de Laplace de x, y, u respectivamente. Resolviendo para y(s) enterminos de x0 y u tenemos

y(s) = C(sId−A)−1x0 + [C(sId−A)−1B +D]u.

Por lo tanto, si x0 = 0 tenemos la siguiente relacion entre la transformada de Laplace de la senal deentrada y la senal de salida

y(s) = k(s)u(s). (3.21)

24

Relacion entre ecuaciones diferenciales estocasticas y sistemas de controlA continuacion caracterizaremos la relacion que existe entre las ecuaciones (3.11), (3.12) y la ecuacion(3.7) en terminos de sistemas de control, procederemos de la siguiente manera: aplicamos integracion porpartes a la expresion de r0 dada por (3.8) y obtenemos

r0(t)(x) =

∫ t

0

σ(x+ t− s)dW (s)

= W (t)σ(x) +

∫ t

0

W (s)σ′(x+ t− s)ds.

Por lo tanto, r0 queda caracterizado por completo por el siguiente operador

r0(t)(x)(ω) = Φ[x,W (·, ω)](t),

con Φ definida por

Φ[x, ·] : C(R+,R) −→ C(R+,R+)

v(·) −→ Φ(v)(·)

donde

Φ(v)(t) = v(t)σ(x) +

∫ t

0

v(s)σ′(x+ t− s)ds. (3.22)

Notemos ahora que, para cada x > 0, la funcion Φ[x, ·] es continua en la topologıa de la convergenciauniforme en compactos, ası que esta completamente determinada por su valor en cualquier subconjuntodenso S ⊂ C[0,∞), en particular, podemos tomar S = C1(R,R+).

Caracterizamos a Φ por sus valores en este conjunto puesto que podemos escribir a la solucion (3.8) dela ecuacion (3.7), evaluada en puntos ω ∈ Ω tales que W (·, ω) ∈ C1(R+,R), como la solucion de unaecuacion diferencial ordinaria que depende de W (·, ω) (para ver esto basta derivar (3.8) respecto a t, locual es posible pues W (·, ω) ∈ C1(R+,R)).

Dicho de manera precisa, si v ∈ C1(R+,R), el valor de Φ[x, v] dado por (3.22) (que es por definicionla solucion (3.8) de la ecuacion (3.7) cuando W (·, ω) = v) tiene la forma Φ[x, v](t) = y(t, x), donde y estadefinido como la solucion al sistema

dy

dt(t, x) = Fy(t, x) + σ(x)u(t), y(0, x) = 0, (3.23)

con u(t) = dvdt (t).

Procediendo de manera analoga podemos ver, usando integracion por partes, que la solucion Z(t) de(3.11) puede ser caracterizada por el operador

Φ2 : C(R+,R) −→ C(R+,R+)

v(·) −→ Φ2(v)(·)

definido por

Φ2(v)(t) = v(t)(eA(t−s)B) +

∫ t

0

v(s)d

dt(eA(t−s)B)ds (3.24)

que a su vez puede ser caracterizado por sus valores en S = C1(R+,R), luego tenemos que parav ∈ S, Φ2[v] (que por construccion es la solucion (3.16) de la ecuacion (3.11) cuando W (·, ω) = v) puedeescribirse como Φ[v] = y(t) donde y(t) es la solucion a la ecuacion diferencial ordinaria

25

dy

dt(t) = Ay(t) +Bu(t), y(0) = 0, (3.25)

para u(t) = dvdt (t). Hemos visto que las soluciones de (3.7) y (3.11) pueden ser caracterizadas por los

operadores Φ,Φ2 que a su vez estan caracterizados por las soluciones de (3.23) y (3.25), lo cual pruebael siguiente lema

Lema 3.0.7 El sistema

dz(t) = Az(t)dt+BdW (t), z(0) = 0

r0(t, x) = C(x)z(t)

es una realizacion dedr0(t, x) = Fr0(t, x) + σ(x)dW (t), r0(0, x) = 0

si y solo si el sistema determinısta

dr0dt

(t, x) = Fr0(t, x) + σ(x)u(t), r0(0, x) = 0 (3.26)

coincide con la solucion del sistema

dzdt (t) = Az(t) +Bu(t) z(0) = 0

r0(t, x) = C(x)z(t).(3.27)

Abordemos ahora el papel de la funcion de transferencia.

Lema 3.0.8 Consideremos el sistema (3.26), definiendo la funcion K(s, x) por

K(s, x) = L[σx](s),

donde L denota la transformada de Laplace, y σx la traslacion izquierda se tiene que

r0(s, x) = L[σx](s)u(s)

.

Demostracion. Sabemos que

r0(t, x) =

∫ t

0

σ(x+ t− s)u(s)ds = [σx ? u](t).

Por lo tanto,r0(s, x) = L[σx](s)u(s).

Recordemos que si en un sistema de control la condicion inicial es cero (en nuestro caso r0(0, x) = 0), de

la ecuacion (3.21) se sigue, por la unicidad de la transformada de Laplace, que la funcion de transferenciadetermina por completo la funcion de entrada-salida de un sistema de control lineal. Notemos que lafuncion de transferencia del sistema (3.27) esta dado por

K(s, x) = C(x)[sI −A]−1B.

por lo que, usando los Lemas 3.0.12 y 3.0.11 podemos dar la siguiente condicion para la existencia derealizaciones lineales:

Lema 3.0.9 r0 admite una realizacion lineal si y solo si L[σx](s) tiene una factorizacion de la forma:

L[σx](s) = C(x)[sI −A]−1B.

En este caso, una realizacion para el sistema esta dada por las matrices A,B y C(x), mas aun, por elLema 3.0.13 se tiene que C(x) = C(0)eAxB

26

3.0.2 Realizaciones mınimas

Ya que conocemos condiciones para la existencia de realizaciones lineales investigaremos cual es la mınimadimension posible.

Una realizacion [A,B,C(x)] tiene grado mınimo si no hay otra realizacion de grado menor. El gradode McMillan D del sistema es la dimension de una realizacion mınima. Para encontrar el grado deMcMillan en nuestro problema necesitamos hacer uso de algunas herramientas de sistemas lineales ycontrol. Daremos a continuacion algunas definiciones y resultados cuyas pruebas pueden encontrarse en[7].

Definicion 3.0.10 El sistema (3.18), (3.19) es observable en el intervalo [0, t1] si dada la senal de entradau(t) y la senal de salida y(t) en este intervalo, es posible determinar a x(t).

Notemos que x(t) queda determinado por x0 y por lo tanto basta ver si podemos calcular x0 dadou(t), y(t). Ahora bien, si escribimos la solucion (3.20) para el sistema de control lineal (3.18), (3.19)tenemos que

CeAtx(0) = y(t)−∫ t

0

CeA(t−τ)Bu(τ)dτ −Du(t).

De donde se puede concluır que la observabilidad del sistema solo depende del hecho de que A y C seantales que CeAt sea inyectiva.

Definicion 3.0.11 El sistema (3.18), (3.19) es controlable en [t0, t1] si para cualquier par de estadosx0, x1 existe u ∈ L2([t0, t1],U) tal que la solucion de

x(t) = Ax(t) +Bu(t) con x(t0) = x0

satisface x(t1) = x1.

Definicion 3.0.12 Definimos la matriz de controlabilidad del sistema (3.18), (3.19) como

Mc = [B AB An−1B].

Es decir, la matriz Mc se obtiene “pegando” horizontalmente de izquierda a derecha las matrices B,AB, · · · , An−1B.

A su vez definimos T : L2([0, t1],U) → X como la solucion del sistema x = Ax(t) + Bu(t) conx(t0) = x0 de manera que, usando (3.20) se tiene

Tu =

∫ t1

0

eA(t1−τ)Bu(τ)dτ,

de donde se deduce que el sistema es controlable si y solo si x1 − eAt1x0 = Tu para alguna u, y porlo tanto el sistema es controlable si y solo si T tiene rango completo. Usaremos el siguiente lema cuyaprueba puede encontrarse en [7]

Lema 3.0.13 Consideremos el sistema (3.18), (3.19), y el operador T : L2[0, t1]→ X definido por

Tu =

∫ t1

0

eA(t1−τ)Bu(τ).

Entonces,ranT = spanAkBU |k = 0, 1, ..., n− 1 = ranMc.

Teniendo estos resultados podemos calcular el grado de Mc Millan de (3.27) como indica la siguienteproposicion

27

Proposicion 3.0.14 Consideremos la funcion de volatilidad

σ = [σ1, ..., σm]

Entonces, el grado de McMillan M esta dado por

M = dimR,

donde,R = spanσ,Fσ,F2σ, ....

Demostracion. Supongamos que dimR < ∞, y tomemos una base Fn1σ, · · · ,FnMσ de R,entonces se cumple lo siguiente

FnM+1σ =

M∑i=0

cnFniσ

de donde se concluye que σ satisface una ecuacion diferencial ordinaria lineal, esto ocurre si y solo si σ esde la forma σ(x) = CeAxB (este resultado puede encontrarse en [24]), lo cual ocurre siempre y cuandoexista una realizacion finito dimensional, de aquı podemos concluır que

dimR <∞⇔ dimM <∞,

por lo que dimR =∞⇔ dimM =∞, y por lo tanto la proposicion esta probada para el caso dimR =∞.

Si dimR < ∞ supongamos M = n y tomemos una realizacion lineal [A,B,C(x)] de dimension n,entonces A es una matriz de n × n, en [7] se demuestra que una realizacion mınima es observable ycontrolable, por lo que tenemos que [A,B,C(x)] es observable y controlable, por la Proposicion 3.0.8 setiene que, definiendo C := C(0), la volatilidad tiene la forma

σ(x) = CeAxB (3.28)

por lo tanto

Fkσ(x) = CeAxAkB, k = 0, 1, ... (3.29)

Consideremos ahora la funcion Λ : Rn → C[0,∞) definida por

[Λb](·) = CeA(·)b. (3.30)

Esta funcion lineal es inyectiva pues el sistema es observable y como el sistema es controlable, por elLema 3.0.17 la matriz de controlabilidad tiene rango completo, por lo cual se tiene que

span[B,AB,A2B, ..., An−1B] = Rn, (3.31)

aquı, el espacio del lado izquierda de la igualdad es el espacio de columnas de la matriz de controlabilidad,luego, de (3.29) y (3.30) se tiene que

R = span [σ,Fσ,F2σ, ...] = Λ(span [B,AB,A2B, ...]),

finalmente, como Λ es inyectiva, de (3.31) se concluye que

Λ(span [B,AB,A2B, ...]) = ImΛ

por lo que dimR = n =M

28

3.0.3 Interpretacion del espacio de estados

En general el espacio de estados de una realizacion mınima no tiene una interpretacion, pero en nue-stro caso, como veremos mas adelante, podremos interpretarlo como un conjunto de curvas forward dereferencia, para probar esto, es necesario verificar el siguiente resultado

Lema 3.0.15 Supongamos que el sistema (3.18), (3.19) es observable y controlable, donde A es una matrizn× n. Entonces en cualquier intervalo compacto I las matrices: CeAx1

...CeAxn

y [

eAx1B eAx2B eAxnB]

tienen rango n, para cualquier eleccion de x1, ...xn en I, excepto probablemente para un conjunto finito (laprimera matriz se obtiene “pegando” verticalmente de arriba hacia abajo las matrices CeAx1 , · · · , CeAxny la segunda se obtiene pegando horizontalmente de izquierda a derecha las matrices B,AB, · · · , An−1B).

Demostracion. La prueba para ambas matrices es analoga, considerese para cada k la matriz

Hk =

CeAx1

...CeAxk

.Se probara por induccion que ran [Hk] ≥ k. Para k = 1 es claro, pues C 6= 0 y eAx es invertible paracualquier eleccion de x.

Supongamos ahora que para cualquier 1 ≤ k ≤ n− 1, ran [Hk] ≥ k. Si ran Hn−1 > n− 1 acabamos,si ran Hn−1 = n− 1 consideremos la siguiente matriz

H(t) =

CeAx1

...CeAxk

CeAt

.Queremos probar que podemos escoger t tal que ran H(t) ≥ k + 1, para hacerlo veremos que no todoslos menores de tamano (k + 1)× (k + 1) son singulares. Consideremos la funcion

f(t) =∑j

[Dj(t)]2.

Donde los Dj son los determinantes de los menores de tamano (k + 1)× (k + 1) de la matriz H(t). Porlo tanto para probar que ran [H(t)] basta ver que f(t) 6= 0, notemos que f es un polinomio, por lo tantoen cualquier compacto f tiene un numero finito de ceros o es identicamente 0.

Si f tiene un numero finito de ceros terminamos. En caso contrario, f(t) es identicamente cero, locual implica que CeAt es combinacion lineal de los renglones de la matriz

M =

CeAx1

...CeAxk

.

29

Si denotamos por v1, ..., vk los renglones de esta matriz y expandimos y(t) en serie de Taylor tenemos que

∞∑i=1

CeAtAjtj

j!= CeAt = y(t) =

k∑j=1

αk(t)vk.

Expandiendo en serie de Taylor a αk obtenemos

∞∑i=1

CeAtAjtj

j!=

∞∑i=0

k∑j=1

αiktj

j!vk.

Si igualamos los terminos de estas series tenemos que CeAtAj es combinacion lineal de los renglones deM , y evaluando en t = 0 podemos ver que en particular CAj es combinacion lineal de los renglones deM cuyo rango es k, y por consiguiente el rango de la matriz de observabilidad

CCA

...CAn−1

.es menor o igual a k, lo cual es una contradiccion pues el sistema es observable.

Teniendo esto enunciaremos la proposicion que nos da la interpretacion buscada, en la que fijamos n

tiempos a la fecha expiracion x1, ..., xn distintos de manera que el lema anterior se cumpla, y recuperamosf(t, x) para cualquier x. Usaremos la notacion

r0(t, x) =

r0(t, x1)...

r0(t, xn)

.Proposicion 3.0.16 Supongase que [A,B,C(x) = CeA] es una realizacion mınima de dimension n de(3.27) y considerese un vector x = (x1, ..., xn) de fechas de expiracion tales que el Lema 3.0.19 es valido,de manera que la matriz T definida por

T (x) =

CeAx1

...CeAxn

tenga rango completo. Entonces el vector r(t, x) tiene una dinamica dada por

dr(t, x) =[T (x)AT−1(x)r(t, x) + Ψ(t, x)

]dt+ T (x)BdW (t) (3.32)

r(0, x) = r0(x), (3.33)

donde Ψ esta definida por

Ψ(t, x) =∂r0

∂x(te+ x) +D(te+ x)− T (x)AT−1(x)δ(t, x)

y e denota al vector

e =

11...1

.

30

El sistema de curvas forward de referencia determina por completo al sistema de curvas forward deacuerdo a

r(t, x) = CeAxT−1(x)r(t, x)− CeAxT−1(x)δ(t, x) + δ(t, x), (3.34)

donde δ esta definida por

δ(t, x) = r0(x+ t) +

∫ t

0

D(x+ t− s)ds

Demostracion. Ya que T (x) es invertible, usando la expresion para r0 dada por (3.27) tenemos

r0(t, x) = Tz(t)

lo cual implica que

z(t) = T−1r0(t, x), (3.35)

de donde se sigue que la dinamica de r0 satisface

dr0(t, x) = Tdz(t)

= TAzdt+ TBdW

= TAT−1r0(t, x)dt+ TBdW.

por lo que

dr0(t, x) = TAT−1r0(t, x)dt+ TBdW. (3.36)

y por (3.9) tenemosr(t, x) = r0(t, x) + δ(t, x),

por lo tanto

dr(t, x) = dr0(t, x) +∂

∂tδ(t, x)dt.

Sustituyendo la dinamica de r0 dada por (3.36), ası como la definicion de δ en la ecuacion anterior seobtiene la primera parte de la proposicion, para probar la segunda parte usamos la expresion de r0 dadapor (3.27) asi como (3.35) obteniendo

r(t, x) = r0(t, x) + δ(t, x)

= CeAxz(t) + δ(t, x)

= CeAxT−1(x)r0(t, x) + δ(t, x)

= CeAxT−1(x)[r(t, x)− δ(t, x)] + δ(t, x).

3.1 Aplicaciones

3.1.1 Hull-White

Consideremos la volatilidad de la forma

σ(x) = σe−ax

31

donde σ del lado derecho es una constante. Se determinara primeramente el grado de McMillanM. Noteque el espacio

R = span[dk

dxkσe−ax; k ≥ 0]

es unidimensional, generado por la funcion e−ax, por lo que el grado de McMillan es uno. Factorizandola volatilidad como en la Proposicion 3.0.8 se tiene que

dz(t) = −az(t)dt+ σdW (t)

r0(t, x) = e−axz(t)

r(t, x) = r0(t, x) + δ(t, x).

Como el espacio de estados de esta realizacion es de dimension uno la realizacion es mınima, fijemosahora una tasa forward de referencia para aplicar la Proposicion 3.0.20; si escogemos x1 = 0 (es decir, sitomamos la tasa instantanea como tasa forward de referencia) tenemos

T (x) = 1,

r(t, x) = R(t).

por lo tanto la dinamica de la tasa forward de referencia es

dR(t) = Ψ(t, 0)− aR(t)dt+ σdW (t),

que es precisamente el modelo de Hull-White para la tasa instantanea. Sin embargo, si tomamos x1arbitrario, la dinamica de la tasa forward de referencia esta dada por

dr(t, x1) = Ψ(t, x1)− ar(t, x1)dt+ e−axdW (t)

y la curva forward queda determinada por completo por (3.34).

3.1.2 Volatilidad xe−ax

Si la volatilidad esta dada por σ(x) = xe−ax es facil ver que R esta dado por

R = span[xe−ax, e−ax],

asi que en este caso M = 2. Podemos calcular L[σx](s) de la siguiente manera

L[σx](s) = L[(x+ ·)e−a(x+·)](s)

=e−ax

(a+ s)2+

xe−ax

(a+ s)

=sxe−ax + (1 + ax)e−ax

(a+ s)2,

y usando el Lema 3.0.13 podemos ver que una realizacion para esta funcion de volatilidad es

C(x) = [xe−ax, (1 + ax)e−ax]

A =

(−2a −a2

1 0

)B =

(10

).

32

Como M = 2 y esta realizacion es 2-dimensional concluımos que

dz1(t) = −2az1(t)dt− a2z2(t)dt+ dW (t)

dz2(t) = z1(t)dt

r0(t, x) = xe−axz1(t) + (1 + ax)e−axz2(t)

r(t, x) = r0(t, x) + δ(t, x),

es una realizacion mınima para esta volatilidad.

33

Capıtulo 4

Variedades Invariantes

4.0.1 Calibracion de parametros

Supongamos que tenemos cierto modelo para la dinamica de las tasas forward, y que dicha dinamicadepende de ciertos parametros. Lo mas natural es pensar que no conocemos dichos parametros de an-temano y debemos estimarlos, es decir, debemos calibrar el modelo de alguna manera cada dıa, de aquısurge el siguiente problema:

Para dar la dinamica de las tasas forward necesitamos conocer el valor de la curva forward inicialr(0, x) para todo x > 0, sin embargo solo contamos con un numero finito de bonos en el mercado, esdecir, solo conocemos r(0, x1), ..., r(0, xn) por lo que tenemos que ajustar cierta curva a los datos segunalguna funcion objetivo.

Actualmente hay ciertas familias de curvas que han dado buenos resultados, entre las cuales se encuen-tran las curvas Nelson-Siegel, Svensson y los splines suavizados. Ahora, supongamos que elegimos ciertomodelo para la dinamica de las tasas forward y una familia de curvas determinada, por ejemplo la familiaNelson-Siegel, de manera que en los tiempos futuros ajustaremos siempre la curva inicial con funcionesde la familia Nelson-Siegel. Si procedemos de esta manera, podrıa pasar que al calibrar al tiempo t0 elmodelo nos indique que al evolucionar el tiempo, la curva forward en t1 pueda no ser una curva de lafamilia Nelson-Siegel y a pesar de esto, estarıamos calibrando nuestro modelo como si lo fuera. Por lotanto, si queremos tomar en cuenta que nuestro modelo se recalibrara con el paso del tiempo buscaremosla propiedad de consistencia que describiremos enseguida

Definicion 4.0.1 Supongamos que las tasas forward obedecen la ecuacon de Musiela. Decimos que unafamilia de curvas G es localmente invariante bajo la accion de r si para cada curva incial r(0, ·) ∈ G setiene r(t, ·) ∈ G para cualquier tiempo t > 0 en una vecindad de 0. La familia es globalmente invariantesi r(t, ·) ∈ G para cualquier tiempo t > 0. Si se cumple la propiedad de invarianza decimos que el modeloy la familia de curvas G son consistentes.

Parafraseando lo anterior: un modelo M y una familia de curvas G son consistentes si al calibrar elmodelo con curvas de la familia G obtenemos curvas de la familia G.

Nota: Entendemos por una familia de curvas G en la definicion anterior a un subconjunto de C∞(R+,R+)tal que G es la imagen de un difeomorfismo G : U ⊂ Rn → G, por ejemplo la familia de curvas afinesdescrita por G = im(G) donde

G : R× R −→ C∞(R+,R+)(z1, z2) 7−→ f(·) = z1 + z2(·)

El primer problema en el que nos enfocaremos sera dar condiciones necesarias y suficientes para laconsistencia de un modelo M y una familia de curvas G. Estaremos constantemente suponiendo la

34

existencia de una solucion fuerte a la ecuacion de Musiela por lo que es necesario escoger el espacio decurvas forward de manera adecuada, Tomas Bjork en [2] propuso el siguiente espacio:

Definicion 4.0.2 Consideremos γ > 0 y β > 1. El espacio Hβ,γ es el espacio de todas las funcionesinfinitamente diferenciables

r : R+ → R

que satisfacen la condicion ||r||β,γ <∞ donde la norma esta definida por el producto interno

〈r1, r2〉2β,γ =

∞∑n=0

β−n∫ ∞0

(dnr1dxn

(x)

)(dnr2dxn

(x)

)e−γxdx,

donde x es interpretado como tiempo a la fecha de expiracion, los resultados que se presentaran secumplen para cualesquiera β, γ por lo que usaremos la notacion H en lugar de Hβ,γ . Este espacio es sim-ilar a un espacio de Sobolev salvo el factor β, este factor incluye a las funciones constantes en este espacio.

La principal razon por la cual tomamos este espacio como espacio de curvas forward es por lo siguienteproposicion, a partir de la cual podremos, bajo ciertas condiciones razonables, asegurar la existencia deuna solucion fuerte para la ecuacion de Musiela, la prueba puede encontrarse en [2].

Proposicion 4.0.3 El espacio H es un espacio de Hilbert, y si fn → f en H entonces f(m)n → f (m)

uniformemente en compactos para cualquier m ≥ 0, donde f (m) es la m-esima derivada de f respecto ax. En particular, para cualquier x ∈ R+, la evaluacion puntual r → r(x) es un funcional lineal acotado.Mas aun, cada funcion en H es real analıtica y puede ser extendida de manera unica a una funcionholomorfa en el plano complejo

4.0.2 Variedad de curvas forward

Ya que describimos el espacio de curvas forward en el que vamos a trabajar, definiremos formalmentenuestra familia de curvas; consideremos la funcion

G : Z → H.

Donde suponemos que G es un difeomorfismo en su imagen y que Z es un abierto conexo de Rd. Inter-pretaremos a Z como el espacio de parametros, el valor de esta curva en un punto x ∈ R+ sera denotadopor G(z, x) y la funcion G sera interpretada como una familia parametrizada de curvas.

Definicion 4.0.4 La variedad de curvas forward G ⊂ H esta definida como

G = Im(G).

Recordemos que la ecuacion de Musiela depende solo de la volatilidad, especificandola quedara determi-nado por completo el modelo, por lo tanto, teniendo en cuenta que el modelo se recalibra cada dıa conuna curva forward en H, supondremos que tenemos fija una funcion de volatilidad

σ : H× R+ → Rm.

Definiendo la volatilidad de esta manera, hacemos que sea homogenea en el tiempo (es decir, que nodependa explıcitamente del tiempo) y que dependa de la curva de calibracion y del tiempo a la fecha deexpiracion, el caso no homogeneo se discutira mas adelante.

Se puede verificar que la demostracion de la ecuacion de Musiela es valida pese a que la volatilidad seade esta forma, por lo que en lo sucesivo supondremos que lo es y que se cumplen las siguientes condiciones

• Las funciones σ1, · · · , σm son campos vectoriales suaves en H.

35

• La funcion r → σ(r)Hσ(r)T es un campo vectorial suave en H, donde H : H −→ H esta definidopor

(Hf)(x) =

∫ x

0

f(s)ds.

• Supondremos que z → G(z) es un difeomorfismo en su imagen, por lo tanto G es una variedaddiferenciable.

• Para cada punto r0 ∈ G existe una solucion fuerte en H para la ecuacion de Musiela con curvaforward inicial r0.

Siguiendo con la discusion del por que de la definicion H como espacio de curvas forward, el operadorF= ∂

∂x es acotado en este espacio. Esto junto con las primeras 2 condiciones mencionadas garantizan laexistencia de una solucion fuerte a la ecuacion de Musiela para cualquier curva inicial r0 ∈ H.

4.0.3 Ecuacion de Musiela en terminos de integral de Stratonovich

Para encontrar las condiciones necesarias para la invarianza es mas sencillo considerar la formulacion dela ecuacion de Musiela en terminos de integral de Stratonovich con el fin de que la regla de la cadenatenga una forma simple.

Nota: La integral de Stratonovich de un proceso X respecto a Y se puede obtener (analogo a laintegral de Ito) aproximando con sumas de Riemman sobre una particion a = t1 < ... < tn = b , pero adiferencia de la integral de Ito, dichas sumas son de la forma

n−1∑k=0

1

2(X(ti+1)−X(ti))(Y (ti+1)− Y (ti))

en lugar de las sumas de Riemann correspondientes a la integral de Ito que son de la forma

n−1∑k=0

X(ti)(Y (ti+1)− Y (ti)).

Daremos a continuacion la definicion y algunos resultados basicos de la integral de Stratonovich, laspruebas pueden encontrarse en [16]:

Definicion 4.0.5 Sean X,Y semimartingalas continuas con descomposicion:

X(t) = X0 +M(t) +B(t), Y (t) = T (0) +N(t) + C(t).

Donde M,N son martingalas locales y B,C son procesos continuos, adaptados y de variacion finita,definimos entonces la integral de Stratonovich de Y respecto a X como:∫ t

0

Y (s) dX(s) =

∫ t

0

Y (s)dM(s) +

∫ t

0

Y (s)dB(s) +1

2〈M,N〉(t).

La integral de Stratonovich se obtiene aproximando con sumas de Riemman evaluadas en el punto mediode cada intervalo de la particion, a diferencia de la integral de Ito que se obtiene evaluando en el extremoizquierdo. El analogo a la formula de Ito para la integral de Stratonovich (regla de la cadena) toma unaforma muy simple:

Teorema 4.0.6 Si F (t, y) es suave

dF (Y (t)) =∂F

∂t(t, Y (t))dt+

∂F

∂y dY (t).

36

Ahora, si ponemos la ecuacion de Musiela en terminos de integral de Stratonovich obtenemos:

dr(t, x) =

∂

∂xr(t, x) + σ(r(t), x)Hσ(r(t), x)T

dt− 1

2d〈σ(r(t), x),W (t)〉+ σ(r(t), x) dW (t),

donde

Hσ(r, x) =

∫ x

0

σ(r, s)ds.

Usando la formula de Ito infinito-dimensional (detalles de esta generalizacion en [8]) tenemos que eltermino de volatilidad de dσ(r(t), x) esta dado por

σTr (rt, x)σ(rt, x)dW (t).

Por lo tanto, la “nueva” ecuacion de Musiela es

dr(t, x) = µ(r(t), x)dt+ σ(r(t), x) dW (t), (4.1)

donde

µ(r(t), x) =∂

∂xr(t, x) + σ(r(t), x)Hσ(r(t), x)T − 1

2[σTr (r(t), x)σ(r(t), x)](x). (4.2)

Si no hay ambiguedad llamaremos a esta formulacion de la ecuacion de Musiela simplemente ecuacionde Musiela, ahora estamos en posicion de dar las condiciones de invarianza.

4.0.4 Primer condicion de invarianza

Teorema 4.0.7 La variedad de curvas forward G es localmente invariante para el proceso de tasas for-ward r(t, x) sii

∂

∂xr + σ(r)Hσ(r)T − 1

2σTr σ(r) ∈ Im[Gz(z)] (4.3)

σ(r) ∈ Im[Gz(z)] (4.4)

Para todo z ∈ Z con r = G(z), Gz denota la derivada de Frechet de G respecto a z, la condicionσ(r) ∈ Im[Gz(z)] significa que cada componente de σ(r) esta en Im[Gz(z)].

Demostracion⇒)Supongamos que la familia es consistente y tomemos r0 ∈ G, entonces r(t) ∈ G para t en una vecindadde 0, usaremos la notacion r(t, x) = r(t)(x), ∂

∂xr(t, x) = ( ∂∂xr(t))(x) y G(t, x) = G(t)(x).

Ya que el modelo es consistente con G se tiene que para todo ω ∈ Ω, existe z ∈ Z tal que r(t)(ω) = G(z)(ω),por lo cual, definiendo el proceso Z(t)(ω) = G−1r(t)(ω) podemos escribir a r(t, x) de la forma

r(t, x) = G(Z(t), x) (4.5)

Supongamos ahora que la dinamica de este proceso esta dada por

dZ(t) = γ(t, Z(t))dt+ ψ(t, Z(t)) dW (t).

Aplicando la regla de la cadena a (4.5) obtenemos

dr(t, x) = Gz(Z(t), x)γ(t, Z(t))dt+Gz(Z(t), x)ψ(t, Z(t)) dW (t). (4.6)

Usando la ecuacion de Musiela (4.1) y (4.6), tenemos las siguientes dinamicas para r

dr(t, x) = Gz(Z(t), x)γ(t, Z(t))dt+Gz(Z(t), x)ψ(t, Z(t)) dW (t),

dr(t, x) =∂∂xr(t, x) + σ(r(t), x)

∫ x0σ(r(t), u)Tdu− 1

2 [σ′rσ(r(t), x)]

dt+ σ(rt) dWt.

37

Igualando los terminos de la deriva y volatilidad obtenemos el resultado pero con Z(t) en lugar de z, sinembargo somos libres de escoger la condicion inicial, escogiendo Z(0) = z obtenemos el resultado.

⇐)Supongamos ahora que se cumplen (4.3) y (4.4). Entonces existen constantes γ y ψ tales que

∂


2σ′rσ(r) = Gz(x, z)γ(t, z),

σ(r) = Gz(x, z)ψ(t, z).

Tomamos ahora Z que satisfaga la dinamica:

dZ(t) = γ(t, Z(t))dt+ ψ(t, Z(t)) dW (t),

y definimos r(t, x) = G(Z(t), x), se tiene entonces que

dr(t, x) = Gz(Z(t), x)γ(t, Z(t))dt+Gz(Z(t), x)ψ(t, Z(t)) dW (t)

=

∂

∂xr(t, x) + σ(t, x)

∫ x

0

σ(t, s)Tds− 1

2[σTr σ(rt)]

dt+ σ(t, x)dW (t).

Notemos que en la demostracion de el resultado anterior escribimos a r de la forma r(t, x) = G(Z(t), x)

para un proceso Z. Podemos interpretar a Z en esta ecuacion como un conjunto de factores aleatoriosque afectan la dinamica de r.

Acorde con la intuicion economica, esperarıamos que esta dinamica dependiera solo de un numerofinito de factores, si sucede esto decimos que el sistema posee una realizacion finito dimensional. Lademostracion del resultado anterior sugiere que hay cierta relacion entre la existencia de realizacionesfinito dimensionales y la consistencia de un modelo con cierta variedad de curvas forward, explicaremosesto a detalle mas adelante.

4.1 Aplicaciones

4.1.1 Familia de curvas Nelson-Siegel

En esta seccion analizaremos la consistencia de algunos modelos conocidos con la familia de Curvas NelsonSiegel que definiremos a continuacion (usaremos nuevamente la notacion r(t, x) = r(t)(x), ∂

∂xr(t, x) =

( ∂∂xr(t))(x), G(z, x) = G(z)(x) y ∂

∂xG(t, x) = ( ∂∂xG(t))(x))

Definicion 4.1.1 La variedad de curvas forward Nelson-Siegel G es la variedad parametrizada por

G(z, x) = z1 + z2e−z4x + z3xe

−z4x

para z ∈ Z = R4

Calculamos las derivadas de Frechet de G y obtenemos

Gz(z, x) =[1, e−z4x,−(z2 + z3x)xe−z4x

](4.7)

∂

∂xG(z, x) = (z3 − z2z4 − z3z4)e−z4x. (4.8)

Para el caso degenerado z4 = 0 se tiene

G(z, x) = z1 + z2 + z3x,

38

por lo tanto podemos suponer sin perdida de generalidad z2 = 0. Asi que la parametrizacion de lavariedad degenerada es

G(z, x) = z1 + z3x

y sus derivadas de frechet son

Gz(z, x) = [1, x] (4.9)

∂

∂xG(z, x) = z3. (4.10)

Denotaremos por ZNS = (z1, · · · , z4) | z4 6= 0 al espacio de parametros de la variedad de Nelson-Siegel no degenerada y por GNS a G(ZNS), la notacion correspondiente para el caso degenerado seraZ0 = z ∈ Z | z2 = z4 = 0 y G0 = G(Z0)

4.1.2 Modelo de Ho-Lee

En esta seccion estudiaremos la consistencia de la familia de curvas Nelson-Siegel con el modelo de Ho-Lee.Para el modelo de Ho-Lee la tasa instantanea tiene la siguiente dinamica

dR(t) = Φ(t)dt+ σdW (t)

constante y la dinamica de las tasas forward correspondiente es

df(t, T ) = α(t, T )dt+ σdW (t).

para σ > 0 constante. La condicion de invarianza por lo tanto es

Gx(z, ·) + σ2(·) ∈ Im[Gz(z, ·)],σ ∈ Im[Gz(z, ·)].

La condicion σ ∈ Im[Gz(·, z)] se cumple siempre, por lo tanto basta verificar la primer condicion. Parael caso de la familia Nelson-Siegel no degenerada esta condicion se cumple si para cada eleccion dez = (z1, · · · , z4) existen constantes A,B,C,D tales que

[z3 − z2z4 − z3z4x]e−z4x + σ2x = A+Be−z4x + Cxe−z4x −D(z2 + z3x)xe−z4x.

El termino σ2x hace que esta igualdad no pueda cumplirse a menos que z4 = 0. Por lo tanto el modeloHo Lee no es consistente con la familia de curvas no degenerada de Nelson-Siegel GNS , por otro lado,para la consistencia con la familia Nelson-Siegel basta encontrar constantes A,B tales que

z3 + σ2x = A+Bx ∀x ≥ 0

lo cual se cumple si elegimos A = z3 y B = σ2 por lo tanto tenemos el siguiente resultado

Proposicion 4.1.2

• La familia Nelson-Siegel no degenerada no es consistente con el modelo de Ho Lee

• La familia Nelson-Siegel degenerada es consistente con el modelo de Ho Lee

39

4.1.3 Modelo de Hull-White

Estudiemos ahora la consistencia de la familia de Nelson-Siegel con el modelo de Hull-White que es unageneralizacion del modelo de Vasicec; la tasa instantanea en este caso tiene la dinamica

dR(t) = Φ(t)− aR(t)dt+ σdW (t)

donde a, σ > 0 son constantes positivas, la dinamica de la tasa forward es

df(t, T ) = α(t, T )dt+ σe−a(T−t)dW (t).

Por lo tanto tenemos que la volatilidad de la ecuacion de Musiela es σ0(t, x) = σe−ax, lo cual implica quelas condiciones para la consistencia con una variedad de curvas forward son

∂

∂xG(z, ·) +

σ2

a[e−a(·) − e−2a(·)] ∈ Im[Gz(z, ·)],

σe−a(·) ∈ Im[Gz(z, ·)].

La segunda condicion se cumple solo si z4 = a lo cual implica que el modelo de Hull-White no esconsistente con la familia Nelson-Siegel, sin embargo, aun podemos considerar la restriccion de la variedadde Nelson-Siegel definida por

G(z, x) = z1 + z2e−ax + z3xe

−ax.

En este caso las derivadas de Frechet son

Gz(z, x) = [1, e−ax, xe−ax]

Gx(z, x) = [z3 − az2 − az3x]e−ax.

Para esta subvariedad las condiciones de invarianza se traducen en la existencia de constantes A,B,Ctales que

[z3 − az2 − az3]e−ax +σ2

a[e−ax − e−2ax] = A+Be−ax + Cxe−ax ∀x ≥ 0.

Los terminos e−ax y e−2ax hacen que esta igualdad no pueda cumplirse a menos que a = 0, en este casoel modelo de Hull-White se convierte en el modelo de Ho Lee por lo tanto hemos probado lo siguiente

Proposicion 4.1.3 El modelo de Hull-white no es consistente con la familia de Nelson Siegel

La familia de curvas de Nelson-Siegel ha resultado ser demasiado pequena para el modelo de Hull-White, sin embargo, podemos extederla de manera que se vuelva consistente, primero debemos suponernuevamente que z4 = a y luego anadimos el termino e−2ax. La parametrizacion de la nueva familia decurvas forward Nelson-Siegel extendida es

G(z, x) = z1 + z2e−ax + z3xe

−ax + z4e−2ax

y obtenemos el siguiente resultado

Proposicion 4.1.4 La familia de Curvas Nelson-Siegel extendida es consistente con el modelo de Hull-White.

De este ultimo resultado surge una pregunta natural; dada una variedad de curvas forward (la familiaNelson-Siegel en este caso) existe un modelo consistente con dicha variedad? para responder esta preguntausaremos una metodologıa un tanto distinta a la que se ha estado usando.

40

4.1.4 Espacio de estados de Filipovic

Para la familia de Nelson-Siegel el problema de encontrar modelos consistentes ha sido estudiado porDamir Filipovic (vease [12]); a continuacion estudiaremos la metodologıa que usa para abordar esteproblema.

Definicion 4.1.5

• Un factor o estado d-dimensional es un proceso Z cuya dinamica bajo Q esta dada por

dZ(t) = a(Z(t))dt+ b(Z(t))dW (t)

donde W es un proceso de Wiener m-dimensional. Denotaremos por ai a la i-esima componentede a y por bi a la i-esima columna de la matriz b

• Una funcion de salidaG : Rd → H

es una funcion con valores en C∞ y su valor en un punto x sera denotado por G(z, x)

• El proceso de tasas forward esta definido por

r(t) = G(Z(t)). (4.11)

Al igual que la condicion de la deriva de Heath-Jarrow-Morton, la dinamica de Z debe cumplir ciertascondiciones de consistencia; la manera de encontrar estas condiciones es calcular la dinamica de r enterminos del proceso de estados y comparar el resultado con la forma general de la ecuacion de Musiela.Usando la formula de Ito en (4.11), obtenemos

dr(t) =∑d

i=1Gi(Z)(t))ai(Z(t)) + 12

∑di,j=1Gij(Z(t))bi(Z(t))bTi (Z(t))

dt+

∑di=1Gi(Z(t))bi(Z(t))dW(t),

(4.12)

donde deducimos que la volatilidad esta dada por

σ(t) =

d∑i=1

Gi(Z(t))bi(Z(t)). (4.13)

Sustituyendo esta expresion en la ecuacion de Musiela (2.6) y usando el hecho de que Fr(t) = Gx(Z(t)),comparamos la ecuacion de Musiela (2.6) con (4.12)

Proposicion 4.1.6 (Filipovic)

Bajo la medida martingala Q la siguiente relacion se cumple para cualesquiera (z, x)

∂

∂xG(z, x) +

d∑i,j=1

bi(z)bTj (z)Gi(z, x)

∫ x

0

Gj(z, s)ds =

d∑i=1

Gi(z, x)ai(z) +1

2

d∑i,j=1

Gij(z, x)bi(z)bTj (z).

Esta ecuacion nos permite estudiar el problema de consistencia de diferentes maneras

• Verificar consistencia dados G, a, b

41

• especificar a, b y usar la ecuacion de consistencia para determinar la funcion de salida G como lasolucion de una ecuacion diferencial parcial

• Especificar G y usar la ecuacion de consistencia para determinar a y b

La tercera puede ser usada para nuestro problema con la familia de Nelson-Siegel, las cuentas son unpoco complicadas pero Filipovic prueba que no hay modelos no triviales consistentes con la familia deNelson-Siegel, mas detalles en [12], por lo tanto los unicos modelos consistentes son los deterministas.

42

Capıtulo 5

Realizaciones no lineales

En el capıtulo anterior se menciono que la prueba del Teorema 4.0.7 inducıa cierta relacion entre la con-sistencia de un modelo con una familia de curvas y la existencia de realizaciones finito-dimensionales, esdecir, la existencia de un proceso finito-dimensional Z tal que r(t) = G(Z(t)).

La existencia de este proceso de factores Z, ademas de ser natural desde un punto de vista economico,puede simplificar significativamente el calculo numerico del proceso de tasas forward, lo cual es de granutilidad si queremos determinar el proceso de precio de bonos usando la metodologıa de Heath-Jarrow-Morton.

5.0.1 Teorema de Frobenius

Consideremos las condiciones del Teorema 4.0.7 para la consistencia de un modelo con una familia decurvas; se pide que ciertos campos vectoriales µ y σ = (σ1, ..., σd) pertenezcan a la imagen de Gz. Siinterpretamos a la imagen de G como una variedad parametrizada por G, la imagen de Gz en un punto z0se identifica con el plano tangente a dicha variedad en z0. Teniendo esto en cuenta, la existencia de unafamilia de curvas consistente con el modelo equivale a la existencia de una variedad cuyo plano tangenteen cada punto contenga a los vectores µ, σ1, ..., σd, este es un problema puede resolverse haciendo uso delTeorema de Frobenius.

Esta seccion esta dedicada a introducir los conceptos y resultados necesarios para formular dichoteorema, los resultados que presentaremos son validos en un espacio de Banach arbitrario, por lo quepodremos aplicarlo mas tarde al problema de invarianza.

Definicion 5.0.1Sea X un espacio de Banach arbitrario.

• Una distrubicion n-dimensional es una funcion F que a cada punto x en un abierto V ⊂ X leasocia un subespacio n-dimensional F (x) ⊂ X;

• Se dice que un campo vectorial f : U ⊂ X → X, donde U es un abierto de X, pertenece a F (enU) si f(x) ∈ F (x) ∀x ∈ U ;

• Una coleccion de campos vectoriales que pertenecen a F en U generan a F si spanf1(x), ..., fn(x) =F (x) ∀x ∈ U ;

• La distribucion es suave si para cada x ∈ V existe un abierto U tal que x ∈ U ∩ V y camposvectoriales suaves f1(x), ..., fn(x) que generan a F en U (con suave nos referimos a C∞);

• Si F y G son distribuciones y G(x) ⊂ F (x) para todo x ∈ X decimos que F contiene a G

• La dimension de una distribucion esta definida punto a punto como dimF (x).

43

Dados 2 campos vectoriales hay una manera de asociar un tercer campo vectorial que tiene la inter-pretacion de medida de no-conmutatividad. Este campo vectorial se conoce como corchete de Lie y enseguida daremos algunas definiciones asociadas a el.

Definicion 5.0.2

i) Dados dos campos vectoriales suaves f y g en U definimos el corchete de Lie como el campo vectorial

[f, g](x) = f ′g(x)− g′f(x),

donde f ′(x) denota la derivada de Frechet de f en x.

ii) Una distribucion F es involutiva si para cualesquiera f, g suaves pertenecientes a F en U , su corchetede Lie tambien pertenece a F , es decir

[f, g](x) ∈ F (x) ∀x ∈ U.

Ahora, supongamos que F es una distribucion involutiva y tomemos un difeomorfismo ϕ : V → Wentre los subconjuntos de X abiertos V y W . Entonces podemos definir una nueva distribucion como

(ϕ?F )(p) = ϕ′(ϕ−1(p))(F (ϕ−1(p)))

Es decir, a cada punto p ∈ W le asociamos el espacio asociado a su preimagen transformado bajo laderivada de ϕ evaluada en su preimagen, analogamente, para cualquier campo vectorial f ∈ C∞(U,X)definimos el campo ϕ?f como

ϕ?f = (ϕ′ ϕ−1)(f ϕ−1),

es decir, para w ∈W(ϕ?f)(w) = (ϕ′(ϕ−1(w)))(f(ϕ−1(w))).

Se puede ver que el corchete de Lie cumple lo siguiente

ϕ?[f, g] = [ϕ?f, ϕ?g]. (5.1)

A partir de este resultado, y de la definicion de ϕ?f se sigue que si F es generado por f1, · · · , fn.Entonces ϕ?F es generada por ϕ?f1, ..., ϕ?fn y usando (5.1) concluımos que F es involutivo si y solo siϕ?F es involutivo.

Ahora estamos en condiciones de demostrar el teorema principal de esta seccion, este resultado es unaextension a dimension infinita del teorema de Frobenius adaptada a nuestro problema de consistencia (ElTeorema de Frobenuis clasico se suele formular de una manera distinta, pero para nuestros propositos, esmas conveniente usar esta version).

Teorema 5.0.3 (Frobenius).Sean F una distribucion suave en un abierto V de un espacio de Banach X y x ∈ V . Entonces existe undifeomorfismo ϕ : U → X en alguna vecindad U ⊂ V de x, tal que ϕ?F es constante en ϕ(U) si y solosi F es involutivo.

Demostracion⇒)

Como ϕ?F es constante en ϕ(U) la imagen de cualesquiera campos vectoriales f, g en ϕ?F vive en elmismo subespacio, digamos ϕ?F (x0) con x0 ∈ ϕ(U), esto implica que las imagenes de f, g, f ′, g′ estancontenidas en ϕ?F (x0) por lo que [f, g] pertenece a ϕ?F , por lo tanto ϕ?F es involutiva.

⇐)

Usaremos induccion sobre la dimension de la distribucion. Para el caso n = 1 encontraremos nuestrodifeomorfismo a partir de la solucion de una ecuacion diferencial, para ello usaremos el siguiente resultadocuya prueba puede encontrarse en [18]:

44

Proposicion 5.0.4 Sean U, V abiertos en espacios de Banach E,F respectivamente. Sea J una vecindadabierta de 0, g : J × U × V → F de clase Cr y (x0, y0) un punto en U × V .

Entonces existen bolas abiertas J0 ⊂ J, U0 ⊂ U, V0 ⊂ V centradas en 0, x0, y0 y un unico β : J0×U0×V0 → V clase Cr con condicion inicial β(0, x, y) = y tal que

∂

∂tβ(t, x, y) = g(t, x, β(t, x, y)) ∀ (t, x, y) ∈ J0 × U0 × V0.

Supongamos que F esta generada por un campo vectorial suave f y que x = 0, definimos luego elvector e = f(0). Como spane es finito-dimensional, existe un subespacio Y tal que podemos escribir aX como la suma directa de spane y Y , consideremos ahora la solucion β : (−ε, ε)× Y de la ecuacion

∂

∂tβ(t, y) = f(β(t, y))

con condicion inicial β(0, y) = y y definimos ψ(te + y) = β(t, y), la Proposicion 5.0.10 nos asegura laexistencia y suavidad de dicha solucion. Por lo tanto ψ es suave y satisface

ψ′(te+ y)e = f(ψ(te+ y)) con ψ(y) = y,

ası como la ecuacion integral

ψ(te+ y) = y +

∫ t

0

f(ψ(se+ y))ds,

de donde se sigue que

ψ(te+ y) = y +

∫ t

0

(f(ψ(0)) +O(se+ y))ds

= y + tf(0) + o(te+ y)

= y + te+ o(te+ y).

Tenemos entonces que ψ′(0) es la identidad, y por el teorema de la funcion inversa existe entonces ϕ = ψ−1

definida en una vecindad U de ψ(0) = 0. Tomamos luego x = ψ(te+y) arbitrario, entonces ϕ(x) = te+y,por lo tanto

(ϕ?f)(te+ y) = ϕ′(x)f(x)

= ϕ′(ψ(te+ y))f(ψ(te+ y))

= ϕ′(ψ(te+ y))ψ′(te+ y)e

= (ϕ ψ)′(te+ y)e

= e.

Por lo tanto ϕ? es un campo vectorial constante.

Para el paso inductivo, consideremos n > 1 y supongamos que el teorema es valido para toda dis-tribucion m dimensional para m < n, nuevamente supongamos que x0 = 0. Tomemos luego camposvectoriales f1, ..., fn que generen a F en V y denotemos por ei a fi(0) para i = 1, ..., n, y por 〈ei〉 aspanei. Como el subespacio 〈e1〉 ⊕ ...⊕ 〈en〉 es de dimension finita, podemos asegurar la existencia deun subespacio Z tal que podemos descomponer a X como

X = 〈e1〉 ⊕ ...⊕ 〈en〉 ⊕ Z (5.2)

con(〈e1〉 ⊕ ...⊕ 〈en〉) ∩ Z = 0.

45

Definimos ahora el subespacio Y como

Y = 〈e2〉 ⊕ ...⊕ 〈en〉 ⊕ Z.

Por (5.2) tenemos que

f1(x) = ak1(x)e1 + · · · + akn(x)en + bk(x)z1(x)...

fn(x) = an1 (x)e1 + · · · + ann(x)en + bn(x)zn(x)

para algunos coeficientes aji (x) ∈ R y zj(x) ∈ Z, por lo tanto, usando eliminacion gaussiana podemosaplicar una composicion de operaciones elementales φ para llevar este sistema de ecuaciones a la forma

φf1(x) = e1 + g1(x)...

φfn(x) = en + gn(x)

con gj(x) ∈ Z.

Notemos que la distribucion F generada por φf1, ..., φfn es tal que ϕ?F es constante si y solo si(ϕ φ)?F es constante, ademas F es involutiva si y solo si φ?F es involutiva, por lo tanto, podemossuponer sin perdida de generalidad (salvo difeomorfismo) que los campos fj son de la forma

fj = ej + gj para algun gj ∈ C∞(V,Z).

Mas aun, como el teorema es valido para n = 1, podemos suponer (salvo difeomorfismo) que f1 = e1,luego, como F es involutiva, existen funciones escalares ajk ∈ C∞(V,R) tal que [f1, fj ] =

∑nk=1 αjkfk,

por lo tanto

αj1e1 + · · ·+ αjnen + αj2g2 + · · ·+ αjngn = [f1, fj ]

= f ′1fj − f ′jf1= 0− g′je1.

Como g′j : V → L(X,Z) se tiene que el lado derecho de la ecuacion anterior pertenece a Z, de dondese sigue que αj1 = · · · = αjn = 0 lo cual implica que g′je1 = 0, por lo tanto

gj(t1e1 + y) = gj(y). (5.3)

Consideremos ahora las restricciones de f2, ..., fn a Y , estos campos definen una distribucion (n− 1)-dimensional en Y , como f1 pertenece a 〈e1〉 se tiene que [fi|Y , fj |Y ] no depende de f1 para i, j = 2, ..., n,como la distribucion generada por f1, ..., fn es involutiva podemos concluır que la distribucion FY generadapor f2|Y , ..., fn|Y es involutiva, lo cual implica por la hipotesis de induccion que existe un difeomorfismoϕY definido en una vecindad de 0 tal que ϕY ?FY es constante. Luego extendemos ϕY a una funcion ϕdefinida en X mediante

ϕ(t1e1 + y) = t1e1 + ϕY (y),

definida de esta manera veremos que ϕ?F es constante localmente.

Sean u, v puntos arbitrarios en X con descomposiciones x0+y0 y x+y respectivamente para x, x0 ∈ 〈e〉y y, y0 ∈ Y , entonces el valor de la derivada de ϕ en el punto u aplicada a v esta dada por

46

Dϕ(u)(v) = Dϕ(x0 + y0)(x+ y) = x+DϕY (y0)y. (5.4)

Por lo tanto el valor de ϕ?fj en un punto v con descomposicion v = x+y y descomposicion de ϕ−1(v)dada por ϕ−1(v) = x0 + y0 es

ϕ?fj(v) = ϕ?fj(x+ y)

= Dϕ(x0 + y0)fj(x0 + y0)

= DϕY fj(x0 + y0)

= DϕY (y0)fj(y0).

La tercer igualdad se debe a que fj(x0 + y0) ∈ Y y a (5.4), la cuarta se debe a (5.3), teniendo esto elresultado es consecuencia de que ϕY ?FY es constante.

A partir del teorema de Frobenius podemos encontrar condiciones suficientes y necesarias para laexistencia de una variedad cuyo plano tangente en cada punto contenga a una distribucion dada, dichascondiciones seran una herramienta muy importante para resolver nuestro problema de existencia derealizaciones finito-dimensionales.

Definicion 5.0.5 Sea F una distribucion suave, y sea x0 un punto fijo en X. Una variedad G ⊂ X conx0 ∈ G es una variedad tangente a F si F (x) ⊂ TG(x) para cada x en una vecindad de x0 en G, dondeTG(x) denota el espacio tangente a G en x.

Condiciones necesarias para la existencia de una variedad tangente a una distribucion estan dadaspor el siguiente teorema.

Teorema 5.0.6 Sea F una distribucion n-dimensional, y x0 un punto de X. Entonces existe una var-iedad n-dimensional tangente a F en una vecindad de x0 si y solo si F es involutiva.

Demostracion⇒)Supongamos que la distribucion F esta generada por los campos f1, ..., fn. Si F es involutiva, por elteorema de Frobenius existe un difeomorfismo local ϕ bajo el cual ϕ?F es constante. Esto implicaque existe un difeomorfismo bajo el cual los campos ϕ?f1, ..., ϕ?fn son constantes. Para verificar estaafirmacion definimos e1 = ϕ?f1(0), ..., en = ϕ?fn(0), y escribimos los campos vectoriales de la forma

ϕ?f1(x) = a11(x)e1 + · · · + a1n(x)en,...

ϕ?fn(x) = an1 (x)e1 + · · · + ann(x)en.

Para cada x, la matriz A(x) = aji (x) transforma bases en bases por lo que es invertible y por elteorema de la funcion inversa A−1 es un difeomorfismo. Normalizando A−1ϕ?fj obtenemos el difeomor-fismo que buscamos y por lo tanto podemos suponer sin perdida de generalidad que ϕ?f1, ..., ϕ?fn sonconstantes. Definiendo luego ei = ϕ?fi se ve que en una vecindad de x0 el plano

Px = ϕ(x) + 〈e1〉 ⊕ ...⊕ 〈en〉 (5.5)

es una variedad tangente para la distribucion ϕ?F en ϕ(x) y por lo tanto ϕ−1(Px) es una variedad tan-gente a F en x.

47

⇐)Si existe una variedad invariante, la imagen de f ′1(x), ..., f ′n(x) esta contenida en el plano tangente,de donde se sigue que el corchete de Lie tambien, por otro lado, el plano tangente esta generado porf ′1(x), ..., f ′n(x) lo cual implica que F es involutiva.

Supongamos ahora que tenemos dada una distribucion involutiva n-dimensional F y un punto x0 ∈ X.

Por el resultado anterior sabemos que existe una variedad tangente a F en x0 pero no tenemos unaforma explıcita de la parametrizacion de dicha variedad. El siguiente resultado nos dice como podemosconstruırla. Dado un campo vectorial f suave en X, y x un punto en X. la solucion a la Ecuaciondiferencial ordinaria

dx(t)

dt= f(x(t))

x0 = x

la denotaremos por x(t) = eftx.

A partir de esta definicion tenemos un grupo de operadores eft : t ∈ R que son las curvas integrales delcampo de vectores y a partir de ellas podemos construır la parametrizacion de acuerdo con la siguienteproposicion

Proposicion 5.0.7 Dada una distribucion n-dimensional involutiva generada por f1, ..., fn y un puntox0 ∈ X, denotemos la variedad tangente en x0 por G y definamos la funcion G : Rn → X por

G(z1, ..., zn) = efnzn ...ef1z1x0.

Entonces G es una parametrizacion de G alrededor de x0.

Demostracion. En la prueba del Teorema 5.0.12 demostramos que el teorema de Frobenius nos asegurala existencia de un difeomorfismo ϕ bajo el cual (5.5) es una variedad tangente a ϕ?F en ϕ(x), por loque ϕ−1Px es una variedad tangente a F en x. Por lo tanto, si G es una parametrizacion de Px, tenemosque G = ϕ−1G es una parametrizacion de la variedad invariante. Notemos ahora que si x(t) es soluciona la ecuacion diferencial

dx(t)

dt= ϕ?f(x(t))

x0 = ϕ(x),

entonces y(t) = ϕ−1(x(t)) es solucion a la ecuacion diferencial

d(y(t))

dt= f(y(t))

y0 = x.

Es claro que G(z1, · · · , zn) = eϕ?fnzn , · · · , eϕ?f1z1ϕ(x) es una parametrizacion de Px y por la obser-vacion anterior podemos escribir a ϕ−1 G como ϕ−1 G(z1, · · · , zn) = efnzn , · · · , ef1z1x lo cual pruebael resultado.

5.0.2 Existencia de realizaciones no lineales

Teniendo estos resultados podemos proseguir con la formulacion de las condiciones necesarias para laexistencia de realizaciones finito dimensionales. Dada una funcion de volatilidad arbitraria σ para laecuacion de Musiela (2.10) y una curva forward inicial r0, buscaremos condiciones para la existencia deuna realizacion finito-dimensional, es decir, buscamos dos campos vectoriales a, b definidos en el espacio

48

de curvas forward, un punto inicial r0 ∈ Rd y una funcion G : Rd → H tal que r, localmente en el tiempo,tenga la representacion:

dZ(t) = a(Z(t))dt+ b(Z(t)) dW (t), Z0 = z0 (5.6)

r(t) = G(Z(t)). (5.7)

Podrıa pasar que dada la volatilidad σ el modelo tenga una realizacion finito-dimensional para ciertacurva inicial r0, pero no para cualquier curva forward inicial en una vecindad de r0 en cuyo caso diremosentonces que el modelo no es generico o es accidentalemente finito-dimensional. Por otro lado, si r tieneuna realizacion finito dimensional para cualquier curva forward inicial en una vecindad de r0 diremos queel modelo es genericamente finito-dimensional. Estamos interesados en este modelo.

En la seccion 4.0.6 cuando se discutio la consistencia de modelos con variedades de curvas forwardmencionamos que la demostracion del Teorema 4.0.7 inducıa cierta relacion entre variedades invariantesy realizaciones finito dimensionales; la siguiente proposicion describe formalmente esta relacion.

Proposicion 5.0.8 El proceso de curvas forward posee una realizacion finito-dimensional si y solo siexiste una variedad invariante finito-dimensional G en el espacio de curvas forward con r0 ∈ G.

Demostracion⇒)Si existe una realizacion finito-dimensional

dZ(t) = a(Z(t))dt+ b(Z(t)) dW (t), Z0 = z0

r(t) = G(Z(t)).

Entonces G = imG es una variedad invariante.

⇐)Supongamos que existe una variedad invariante finito-dimensional y repitamos las primeras lineas de lademostracion del Teorema 4.0.7. Dado r0 ∈ G se tiene r(t) ∈ G por lo tanto r(t) = G(z) para algunz ∈ Z. Podemos entonces escribir a Z(t) como una funcion de la forma Z(t) = G−1r(t). dado que σ eshomogenea en el tiempo, usando la regla de la cadena escribimos la dinamica de Z en la forma

dZ(t) = a(Z(t))dt+ b(Z(t))dW (t);

es decir, a y b tambien son homogeneos en el tiempo, lo cual implica el resultado.

Corolario 5.0.9 El proceso tasas forward posee una ralizacion finito-dimensional si y solo si existe unavariedad G, con r0 ∈ G ⊂ H, tal que para todo r ∈ G

µ(r) ∈ TG(r),

σ(r) ∈ TG(r),

donde TG(r) denota el espacio tangente G en el punto r, y µ esta definido como

µ(r) =∂


2σTr σ(r). (5.8)

Usando este corolario vemos que dado el campo de vectores σ, y por consiguiente el campo de vec-tores µ, la existencia de una realizacion finito dimensional es equivalente a la existencia de una variedadcuyo plano tangente en cada punto contenga a estos campos vectoriales. De los resultados de geometrıadiferencial que estudiamos anteriormente sabemos que dicha variedad existe si y solo si µ y σ pertenecena una distribucion involutiva, y por lo tanto podemos verificar la existencia de una realizacion finitodimensional procediendo de la siguiente manera

49

1. Si µ, σ es involutivo existe una 2-variedad tangente;

2. En caso contrario el corchete de Lie [µ, σ] no esta en el span de µ y σ, y consideramos ahora elsistema µ, σ, [µ, σ], en caso de que este sea involutivo hay una 3-variedad tangente;

3. Si µ, σ, [µ, σ] no es involutivo se tiene que [µ, [µ, σ]] o [σ, [µ, σ]] no esta en el span de µ, σ, [µ, σ],por lo que agregamos los corchetes que sean necesarios y verificamos si el nuevo sistema es involutivo,en caso de que lo sea tenemos una variedad tangente con dimension igual al numero de vectores delnuevo sistema;...

Si en un numero finito de pasos logramos que la operacion del corchete de Lie se vuelva cerrada habremosencontrado la distribucion involutiva que buscamos.

Definicion 5.0.10 Sean f1, ..., fk campos vectoriales suaves. El algebra de Lie generada por f1, ..., fk esel espacio mas pequeno que contiene a f1, ..., fk que es cerrado bajo el corchete de Lie. Denotaremos alalgebra de Lie por

L = f1, ..., fkLA

Por las observaciones que hicimos anteriormente y por la Proposicion 5.0.14, es inmediato el siguienteimportante resultado

Teorema 5.0.11 (Bjork, Svensson) Fijemos la funcion de volatilidad σ = (σ1, ..., σm). Entonces elmodelo de tasas forward admite una realizacion finito-dimensional si y solo si

dim µ, σ1, ..., σmLA <∞

en una vecindad de r0, donde µ esta definido por (5.8). Mas aun, si el algebra de Lie µ, σLA estagenerada por f1, ..., fd la variedad tangente G puede ser parametrizada por

G(z1, · · · , zd) = efdzd · · · ef1z1r0.

5.0.3 Interpretacion de las variables de estado

Cuando estudiamos realizaciones lineales mınimas vimos que podıamos escoger un conjunto de fechasde expiracion que determinaban un conjunto de curvas forward de referencia, y aplicandoles una trans-formacion afın podıamos recuperar por completo el proceso de tasas forward para cualquier fecha deexpiracion. Enunciaremos a continuacion un resultado analogo para realizaciones no lineales.

Teorema 5.0.12 Supongamos que existe una realizacion d-dimensional para las tasas forward. Entonces,existen numeros reales x1, ..., xd tales que

Z(t) = (r(t)(x1), ..., r(t)(xd))

Si el espacio de curvas forward es un espacio real de funciones analıticas los numeros x1, ..., xd, fuera deun conjunto finito, pueden ser escogidos libremente.

Demostracion Basta ver que podemos escoger (x1, ..., xd) tales que la funcion

x : G → Rd

r → (r(x1), ..., r(xd))

sea un sistema de cartas coordenadas y por el teorema de la funcion inversa basta ver que la derivada deFrechet de x es biyectiva.

50

Dado r ∈ G, notese que x vista como una funcion definida en H es lineal y continua por lo que suderivada en r, que denotaremos por x?r, cumple

x?r(q) = (q(x1), ..., q(xd)).

Como TrG puede ser identificado con un subespacio deH basta ver que la funcion x?r(q) = (q(x1), ..., q(xd))es biyectiva para alguna eleccion de x. Por lo tanto, tomando una base e1, ..., ed de TrG y definiendo parak ≤ d la matriz

Ek(x) =

e1(x1) · · · e1(xk)...

...ek(x1) · · · ek(xk)

.

Se debe probar que detEd(x) 6= 0 para algun x ∈ Rd, lo cual se verifica por induccion sobre k.

Para k = 1, como e1 no es la funcion constante igual a 0, existe un x1 tal que detE1(x) = e1(x1) 6= 0.

Ahora, supongamos que x1, ..., xk son tales que detEk(x) 6= 0 y consideremos

Ek(x) =

e1(x1) · · · e1(xk) e1(xk+1)...

......

ek(x1) · · · ek(xk) ek(xk+1)ek+1(x1) · · · ek+1(xk) ek+1(xk+1)

.

Supongamos que detEk+1(x) = 0 para cualquier eleccion de xk+1. Entonces, como detEk(x) 6= 0 elultimo renglon debe ser combinacion lineal de los otros renglones, y por lo tanto tenemos

rk+1 = λ1r1 + · · ·+ λkrk.

Luego, como detEk(x) 6= 0 podemos encontrar λ como la solucion unica del sistema

Ek(x) · λ =

ek+1(x1)...

ek+1(xk)

.

Este sistema no depende de xk+1 y por lo tanto tenemos que λ depende solo de x1, ..., xk por lo que

ek+1(xk+1) = λ1e1(xk+1) + · · ·+ λkek(xk+1) ∀xk+1.

Sin embargo esto es una contradiccion, pues e1, ..., ek son linealmente independientes. Si el espacio H esel espacio de funciones analıticas usamos el hecho de que una funcion distinta de cero tiene ceros aisladosy obtenemos la segunda parte del teorema.

5.0.4 Sistemas no homogeneos

Hasta el momento hemos supuesto que la funcion de volatilidad σ es homogenea en el tiempo y ahorarelajaremos esta condicion suponiendo que la ecuacion de Musiela en terminos de integral de Stratonoviches de la forma

drt = µ(r(t), t)dt+ σ(r(t), t) dW (t) (5.9)

r(s) = r0. (5.10)

Ademas de permitirle a σ depender del tiempo estamos iniciando nuestro sistema en cualquier tiempos a diferencia de antes que lo iniciabamos en 0. Haremos unas ligeras modificaciones a las definiciones devariedad de curvas forward invariante y realizacion no lineal para que el estado inicial sea s en lugar de0.

51

Definicion 5.0.13 Decimos que el sistema (5.9), (5.10) tiene una realizacion d-dimensional en (s, r0) siexiste un punto zs ∈ Rd, campos vectoriales a, b1, · · · , bm en un abierto Z de Rd y un encaje diferenciableG : Z → H tal que r tiene localmente la representacion

r(t) = G(Z(t)) t ≥ s.

Aqui Z es la solucion de la ecuacion diferencial de Stratonovich d-dimensional

dZ(t) = a(Z(t))dt+ b(Z(t)) dW (t) (5.11)

Z(s) = zs. (5.12)

Definicion 5.0.14 Una variedad G en H es localmente invariante bajo la accion de la dinamica de ranterior si para cada eleccion de (s, r0) ∈ R+ × G tenemos rt ∈ G localmente para s ≤ t.

Para estudiar este nuevo problema de existencia de realizaciones finito dimensionales agregaremos eltiempo como una nueva variable de estado. Definimos para cada s fijo, el proceso de Wiener W s comoW s(t) = W (t)−W (s), y ası podemos escribir la dinamica de r como

dr(u) = µ(r(u), t)du+ σ(r(u), t) dW s(u),

dt = 1 · du+ 0 · dW s(u),

r(0) = r0,

t(0) = s.

Usando la siguiente notacion

H = H× R (5.13)

r =

(rt

); (5.14)

µ(r) =

(µ(r, t)1

); (5.15)

σ(r) =

(σ(r, t)0

), (5.16)

podemos escribir la dinamica de r de la siguiente manera:

dr(u) = µ(r(u))du+ σ(r(u)) dW s(u), (5.17)

r(0) = r0, (5.18)

con

r0 =

(r0

s

).

Es facil ver que G es invariante si y solo si G × R es invariante para el sistema homogeneo, y es clarotambien que encontrar una realizacion finito dimensional para el sistema homogeneo en el nuevo espacioes equivalente a encontrar una para el sistema no homogeneo por lo tanto tenemos el siguiente resultado.

Teorema 5.0.15 El sistema no homogeneo tiene una realizacion finito dimensional si y solo si

dimµ, σLA <∞.

52

5.1 Construccion de realizaciones finito-dimensionales

5.1.1 Algoritmo

Ahora estamos en posicion de dar un metodo para encontrar una realizacion finito-dimensional para elcaso homogeneo, en la seccion anterior vimos que esto es suficiente para encontrar una para el caso nohomogeneo. Siguiendo este metodo, cuando la volatilidad en la ecuacion de Musiela sea adecuada, sepodran calcular explıcitamente la parametrizacion G de la variedad tangente del Teorema 5.0.17 y laecuacion diferencial estocastica que debe satisfacer la realizacion finito dimensional.

Los resultados de esta seccion podran ser aplicados cuando la volatilidad este dada por los modelosde Ho-Lee, Hull White (Vasicek generalizado) y Hull White (CIR generalizado). Posteriormente, en laseccion 5.2 se generalizaran dichos resultados para volatilidades estocasticas y se haran algunos calculosnumericos para la realizacion finito dimensional.

Dada una funcion de volatilidad σ : H × R+ → Rm tal que µ, σLA < ∞ podemos construir surealizacion de la siguiente manera:

1. Escogemos campos vectoriales f1, · · · , fd tales que spanf1, · · · , fd µ, σLA;

2. Calculamos la variedad invariante G(z1, · · · , zd) usando el Teorema 5.0.18;

3. Suponemos quedZ(t) = a(Z(t))dt+ b(Z(t)) dW (t),

por lo que se debe de cumplir

G′a = µ, G′b = σ, (5.19)

de aquı resolvemos para a y b.

El siguiente lema en ocasiones nos permite simplificar el algebra de Lie en el paso 1

Lema 5.1.1 Sean f1, · · · , fk campos vectoriales dados. El algebra de Lie f1, · · · , fkLA permaneceinvariante ante las siguientes operaciones

• El campo vectorial fi puede ser reemplazado por αfi, donde α es cualquier campo escalar distintode cero;

• El campo vectorial fi puede ser reemplazado por

fi +∑j 6=i

αjfj ;

donde α1, · · · , αk es cualquier campo escalar suave

Ahora aplicaremos los resultados vistos para calcular realizaciones finito-dimensionales para distintaselecciones de la volatilidad σ.

5.1.2 Volatilidad determinista

Supongamos queσ(r, x) = σ(x).

Denotaremos por σi a la i-esima columna de σ y por λi el vector de direccion correspondiente, es decir, elvector unitario tal que σi(x) = σiλi(x) para alguna constante σi, y finalmente denotamos por λ la matrizcuyas columas son λi. Como σ es constante el termino µ en la ecuacion de Musiela (4.1) dado por (4.2)es

µ(r) = Fr +D

53

donde D(x) = σ(x)∫ x0σ(u)du.

El primer paso es calcular el algebra de Lie correspondiente. Las derivadas de Frechet estan dadaspor

µ′ = F

σ′i = 0.

Ası, el corchete de Lie esta dado por [µ, σ] = Fσ. Calculamos enseguida [µ, [µ, σ]] = F2σ, y asısucesivamente obteniendo lo siguiente (recordemos que el espacio generado por una matriz se toma comoel espacio generado por sus columnas)

L = µ, σLA= spanµ,Fσ,F2σ, · · · .

Usando el Lema 5.1.1 cambiamos los generadores del algebra de Lie de la siguiente manera

L = spanµ,Fλ,F2λ, · · ·

Por lo tanto, cuando la dimension del algebra de Lie es finita, esta tiene la forma

L = spanµ, λ(k)i ; i = 1, · · · ,m; k = 0, 1, · · · , ni,

donde

λ(k)i (x) =

∂kλi∂xk

(x).

El siguiente paso es encontrar eµt y eFkλi para especificar la parametrizacion; notemos que el termino

D(x) =∑mi σi(x)

∫ x0σi(s)ds se puede reescribir como

D(x) =1

2

∂

∂x||S(x)||2,

donde S(x) =∫ x0σ(s)ds.

Recordemos que eµt esta definido como la solucion al sistema

dr

dt= Fr +D,

que es una ecuacion diferencial lineal, y por lo tanto su solucion esta dada por

r(t) = eFtr0 +

∫ t

0

eF(t−s)Dds.

Como el operador F es el generador infinitesimal de semigrupo de traslaciones, tenemos que

(eµtr0)(x) = r0(x+ t) +1

2(||S(x+ t)||2 − ||S(x)||2);

por otro lado, el campo vectorial λki es constante por lo que la ecuacion diferencial correspondiente tienepor solucion

eλ(k)i r0 = r0 + λ

(k)i t,

de donde se concluye lo siguiente

54

Proposicion 5.1.2 La variedad invariante generada con la curva forward inicial r0 puede ser parametrizadapor

G(z0, zki ; i = 1 · · · ,m; k = 0, · · · , ni)(x) = r0(x+ z0) +

1

2(||S(x+ t)||2 − ||S(x)||2) +

m∑i=1

ni∑k=0

λ(k)i (x)zki ,

o escrita de otra manera

G(z0, zki ; i = 1 · · · ,m; k = 0, · · · , ni)(x) = r0(x+ z0) +

1

2(||S(x+ t)||2 − ||S(x)||2) +

m∑i=1

ni∑k=0

Fkλi(x)zki .

Por ultimo, calcularemos la dinamica del espacio de estados, es decir, se resolvera el sistema

G?a = µ G?bi = σi.

Calculando la derivada de Frechet de G tenemos que

G′(z0, zik; i = 1, · · · ,m; k = 0, 1, · · · , ni)

h0h10h11...hmnm

(x)

=∂

∂xr0(x+ z0)h0 +D(x+ z0)h0 +

m∑j=1

nj∑k=0

Fkλj(x)hjk.

El campo D esta definido por

D(x) =

m∑j=1

σ2jσj(x)

∫ x

0

σj(u)du

y para resolver G?a = µ sustituımos µ(r) = Fr +D y r = G(z) obteniendo

∂∂xr0(x+ z0)a0 +D(x+ z0)a0 +

∑mj=1

∑njk=0 Fkλj(x)ajk =

∂∂xr0(x+ z0) +D(x+ z0) +

∑mj=1

∑njk=0 Fk+1λj(x)zjk

(5.20)

Recordemos que

L = spanµ, λ(k)i ; i = 1, · · · ,m; k = 0, 1, · · · , ni,lo cual implica que para cada j existe un ındice nj tal que

Fnj+1λj(x) =

nj∑k=0

cjkFkλj(x),

y entonces podemos escribir el termino∑njk=0 Fk+1λj(x)zjk de la ecuacion anterior como

nj∑k=0

Fk+1λj(x)zjk =

nj+1∑k=1

Fkλj(x)zjk−1 + Fnj+1λj(x)zjnj

=

nj∑k=1

Fkλj(x)zjk−1 +

nj∑k=0

cjkFkλj(x)zjnj .

55

Sustituyendo lo anterior en (5.20) e igualando coeficientes tenemos que

a0 = 1,

aj0 = cj0zjnj , j = 1, · · · ,m

ajk = cjkzjnj + zjk−1 j = 1, · · · ,m; k = 1, · · · , nj .

Para calcular b procedemos analogamente partiendo de la igualdad G?bi(z)(x) = σi(x) = σiλi(x), obte-

niendo∂

∂xr0(x+ z0)bi0 +D(x+ z0)bi0 +

m∑j=1

nj∑k=0

Fkλj(x)bijk = σiλi(x),

de donde concluımos

bijk = σi, j = i, k = 0

bijk = 0 otro caso.

Ası, hemos probado la siguiente proposicion.

Proposicion 5.1.3 Dada la curva forward inicial r0 el sistema dado por una volatilidad σ(r, x) = σ(x)tal que spanµ, σ,Fσ,F2, · · · tiene dimension finita, para cada i se tiene

Fni+1λi =

ni∑k=0

cikFkλi(x),

y una realizacion finito-dimensional concreta esta dada por

dZ0 = dt

dZj0 = cj0Zjnjdt+ σidW

j(t) j = 1, · · · ,m

dZjk = (cjkZjnj + Zjk−1)dt j = 1, · · · ,m; k = 1, · · · , nj .

Ejemplo (Ho-Lee)Calculemos la realizacion correspondiente a la volatilidad

σ(x) = σ,

donde σ en el lado derecho es una constante positiva. Esta es la volatilidad del modelo de Ho-Lee, yusando los resultados anteriores concluımos lo siguiente

Proposicion 5.1.4 Dada la curva inicial r0 la curva inicial r0 el sistema de curvas forward tiene unarealizacion finito-dimensional dada por

r(t) = G(Z(t)),

con parametrizacion

G(z0, z1)(x) = r(x+ z0) + σ2(xz0 +1

2z20) + z1,

y dinamica de parametros dada por

dZ0(t) = dt

dZ1(t) = σdW (t).

56

Hull-WhiteAnalicemos ahora la volatilidad correspondiente al modelo de Hull-White dada por

σ(x) = σe−cx

donde σ y c son constantes con dinamica dada por un proceso de Wiener unidimensional. Aplicando laproposicion obtenemos el siguiente resultado

Proposicion 5.1.5 Dada la curva inicial r0 el sistema de curvas forward tiene una realizacion finito-dimensional dada por

r(t) = G(Z(t)),

con parametrizacion dada por

G(z0, z1) = r(x+ z0) +σ2

c2(e−cx(1− e−cz0) +

e−2cx

2(e−2cz0 − 1)),

y dinamica de espacio de estados dada por

dZ0(t) = dt

dZ1(t) = −cZ1(t)dt+ σdW (t).

5.1.3 Volatilidad de direccion constante

Tomemos ahora una volatilidad con direccion constante de la forma

σi(r, x) = ϕi(r)λi(x) i = 1, · · · ,m. (5.21)

En este caso la direccion es constante pero la norma de la volatilidad puede variar de acuerdo a r.Supondremos que ϕi(r) 6= 0 para toda r ∈ H, i = 1, · · · ,m y que Φ(r) = ϕ2(r) es tal que ((Φ′(r)λ)′)(λ) 6=0 para cualesquiera r, λ ∈ H. Si calculamos el factor µ de la ecuacion de Musiela (5.1) obtenemos

µ(r) = Fr + ϕ2(r)D − 1

2(ϕ′(r))(λ)ϕ(r)λ,

donde D(x) = λ(x)∫ x0λ(s)ds. Enseguida se verificara bajo que condiciones el algebra de Lie generada

por

µ(r) = Fr + ϕ2(r)D − 1

2ϕ′,

σ(r) = ϕ(r)λ

es finito-dimensional, usando el Lema 5.1.1 obtenemos que el algebra de Lie puede ser generada por

f0(r) = Fr + Φ(r)D, (5.22)

f1(r) = λ, (5.23)

donde Φ(r) = ϕ2(r). Como el campo vectorial f1 es constante tiene derivada de Frechet nula, y por lotanto el primer corchete de Lie es

[f0, f1](r) = Fλ+ (Φ′(r))(λ)D. (5.24)

El segundo corchete [[f0, f1], f1] esta dado por

[[f0, f1], f1] = ((Φ′(r)λ)′)(λ)D. (5.25)

57

Aplicando el Lema 5.1.1 podemos cambiar los generadores (5.22), (5.23), (5.24), (5.25) del algebra de Liepor

f0(r) = Fr, f1(r) = λ,f2(r) = Fλ, f3(r) = D.

Todos estos campos, salvo f0, son constantes por lo que los corchetes de Lie pueden calcularse facilmente.Se puede deducir de este calculo que el algebra de Lie esta dada por

µ, σLA = spanFr,Fnλ,FnD;n = 0, 1, · · · .

Esto implica que para que el algebra de Lie tenga dimension finita es necesario que Fnλ;n ≥ 0 seafinito-dimensional, lo cual ocurre si y solo si λ es la solucion de una ecuacion diferencial (para ver estotomar un ındice n tal que Fj ; j = 0, · · · , n genera al espacio, entonces λ satisface Fn+1λ =

∑nj=0 cjF

jλ)

por lo tanto es una funcion cuasi-exponencial, es decir, es de la forma ceAxB para algunas matrices A,By algun vector c.

Por otro lado, si λ es cuasi-exponencial,∫ x0σ(u)du, σ(x)

∫ x0σ(u)du y consecuentemente D son cuasi-

exponenciales, de donde se sigue que el espacio FnD;n = 0, 1, · · · es de dimension finita, lo cual implicaque el algebra de Lie es de dimension finita. Ası, una condicion suficiente y necesaria para que existauna realizacion finito-dimensional es que λ sea quasi-exponencial, y para que esto se cumpla es suficiente(mas no necesario) que λ sea de la forma

λ(x) = p(x)eαx, (5.26)

donde p es un polinomio de grado n y α es una constante escalar. Supondremos en lo sucesivo que λes de esta forma con el fin de poder encontrar una forma explıcita para la realizacion. Notemos que psatisface la siguiente ecuacion diferencial

(Fn+1 − α)n+1λ(x) = 0

y usando el teorema del binomio tenemos que λ satisface la ecuacion diferencial

Fn+1λ(x) = −n∑i=0

(n+ 1i

)(−α)n+1−iFiλ(x). (5.27)

La antiderivada de uneau es ∫uneaudu =

1

auneau − n

a

∫un−1eaudu,

de donde se sigue que

D(x) = λ(x)

∫ x

0

λ(u)du = u(x)e2αx + γλ(x)

para algun polinomio u de grado q = 2n y una constante γ, por el Lema 5.1.1 podemos cambiar elgenerador D por

D(x) = u(x)e2αx.

Es facil ver que D satisface la ecuacion diferencial de orden q + 1

(F− 2α)q+1D(x) = 0,

la cual, usando el teorema del binomio puede escribirse de la forma

Fq+1D(x) = −q∑j=0

(q + 1j

)(−2α)q+1−jFjD(x) (5.28)

58

usando (5.27) y (5.28) podemos concluır que

µ, σ = spanFr,Fiλ,FjD; i = 0, · · · , n; j = 0, 1, · · · , q.

Ası mismo se puede encontrar la parametrizacion correspondiente, es decir, se pueden calcular eFrt, eFiλt

y eFjDt para i = 0, · · · , n y j = 0, 1 · · · , q. Para calcular el operador eFrt notamos que la ecuacion

dy(t)

dt= Fr

es lineal y tiene por soluciony(t) = eFty0,

de donde se sigue que(eFtr0)(x) = r0(x+ t).

Los campos vectoriales Fiλt y FjDt son constantes por lo que las ecuaciones correspondientes son trivialesy tienen por solucion

(eFiλtr0)(x) = r0(x) + Fiλt

(eFjDtr0)(x) = r0(x) + FjDt,

por lo que la variedad invariante esta dada por la parametrizacion

G(z0, z1i , z

2j ; i = 0, 1, · · · , n; j = 0, 1, · · · , q)(x) =

r(x+ z0) +∑ni=0 Fiλ(x)z1i +

∑qj=0 FjD(x)z2j .

(5.29)

Para obtener la dinamica del espacio de estados calculamos la derivada de Frechet de G obteniendo

G′(z0, z1i , z

2j ; i = 0, 1, · · · , n; j = 0, 1, · · · , q)

h0h10h11...h2q

(x) =

∂

∂xr0(x+ z0)h0 +

n∑i=0

Fiλ(x)h1i +

q∑j=0

FjD(x)h2j .

El termino µ en la ecuacion de Musiela (4.1) para esta volatilidad esta dado por

µ(r) = Fr + ϕ2(r)D − 1

2ϕ′(r)(λ)ϕ(r)λ;

sustituyendo r = G(z) escribimos la ecuacion G?a = µ como

∂∂xr0(x+ z0)a0 +

∑ni=0 Fiλ(x)a1i +

∑qj=0 FjD(x)a2j =

∂∂ r0(x+ z0) +

∑ni=0 Fi+1λ(x)z1i +

∑qj=0 Fj+1D(x)z2j+

ϕ2(G(z))D(x)− 12ϕ′(G(z))(λ)ϕ(G(z))λ(x).

(5.30)

recordemos que λ y D satisfacen (5.27) y (5.28) respectivamente, por lo que definiendo

ci = −(n+ 1i

)(−α)n+1−i, dj = −

(q + 1j

)(−2α)q+1−j , (5.31)

59

para i = 0, · · · , n, j = 0, · · · , q podemos escribir

n∑i=0

Fi+1λ(x)z1i =

n∑i=1

Fiλ(x)z1i−1 + Fn+1λ(x)z1n

=

n∑i=1

ci + Fiλ(x)z1i−1 + c0λ(x)

y

q∑j=0

Fj+1D(x)z2j =

q∑j=1

FiD(x)z2j−1 + Fn+1D(x)z2n

=

q∑j=1

dj + FjD(x)z2j−1 + d0G(x)

sustituyendo esto en (5.30) tenemos que

a0 = 1,

a10 = c0z1n + γϕ2(G(z))− 1

2ϕ′(G(z))(λ)ϕ(G(z)),

a1i = ciz1n + z1i−1,

a20 = d0z2q + ϕ2(G(z)),

a2j = djz2q + z2j−1.

Para encontrar b escribimos G?b = σ como

∂

∂xr0(x+ z0)b0 +

n∑i=0

Fiλ(x)b1i +

q∑j=0

FjD(x)b2j =

ϕ(G(z))λ(x)

y obtenemos

b0 = 0,

bij = ϕ(G(z)), i = 1, j = 0

bij = 0 en otro caso.

Por lo tanto Z10 tiene la siguiente dinamica en terminos de integral de Stratonovich

dZ10 =

(c0Z

1n + γϕ2(G(Z))− 1

2ϕ′(G(Z))(λ)ϕ(G(Z))

)dt+ ϕ(G(Z)) dW (t),

poniendo esta dinamica en terminos de integral de Ito obtenemos la siguiente proposicion

Proposicion 5.1.6 Dada la curva forward inicial r0 y una volatilidad de la forma (5.21), (5.26) el procesode tasas forward tiene una realizacion finito-dimensional dada por

r(t) = G(Z(t))

donde G esta definida por (5.29) con dinamica de espacio de estados dada por

dZ0 = dt,

dZ10 = [c0Z

1n + γϕ2(G(Z))]dt+ ϕ(G(Z))dW (t),

dZ1i = (ciZ

1n + Z1

i−1)dt i = 1, · · · , ndZ1

i = [d0Z2q + ϕ2(G(Z))]dt,

dZ2j = (djZ

2q + Z2

j−1)dt j = 1, · · · , q

donde ci y dj estan dados por (5.31).

60

Cox-Ingersoll-RossEl modelo de Cox-Ingersoll-Ross no cumple las condiciones de la seccion 5.1.3 por lo que en [2] y [5] seprueba de manera independiente el siguiente resultado

Proposicion 5.1.7 Si la volatilidad σ en la ecuacion de Musiela es de la forma

σ(r, x) =√αR+ β · λ(x),

y λ satisface la ecuacion integral

∂λ

∂x(x) + αλ(x)

∫ x

0

λ(u)du+ γλ(x) = 0.

Entonces el modelo tiene una realizacion finito dimensional de la forma

r(t) = G(Z(t)),

con parametrizacion G dada por

G(z0, z1)(x) = r(x+ z0) +

∫ z0

0

(αu(s) + β)D(x+ z0 − s)ds+ λ(x)z1,

donde u es la solucion a la ecuacion integral

u(t) = r0(t) +

∫ t

0

(αu(s) + β)D(t− s)ds.

Las componentes de la realizacion Z0, Z1 tienen las siguientes dinamicas

dZ0(t) = dt

dZ1(t) = (α

4− γZ1(t))dt+

√αG(Z0, Z1)(0) + β · dW (t).

5.2 Realizaciones finito-dimensionales para volatilidad estocastica

En esta ultima seccion estudiaremos la existencia y construccion de realizaciones finito-dimensionales paravolatilidades estocasticas dependientes de un proceso n-dimensional de parametros. En particular, losresultados podran aplicarse a volatilidades no-homogeneas en el tiempo de direccion constante, y a unageneralizacion del modelo de Hull-White. Los resultados de las secciones anteriores seran de gran utilidad,pero deberemos reformular las definiciones para esta nueva volatilidad; la deduccion de la nueva ecuacionde Musiela es analoga a la deduccion de la ecuacion de Musiela original y puede seguirse facilmente de laProposicion 2.3.4

Definicion 5.2.1 (Ecuacion de Musiela para volatilidad estocastica) Supondremos que el procesode tasas forward satisface la siguiente ecuacion diferencial estocastica

dr(t, x) =

∂

∂xr(t, x) + Hσ(r(t), y(t), x)

dt+ σ(r(t), y(t), x)dW (t)

dy(t) = a0(y(t)) + b(y(t))dW (t),

donde H esta definida por

Hσ(r, y, x) = σ(r, y, x)

∫ x

0

σT (r, y, s)ds.

Supondremos en lo sucesivo lo siguiente:

61

• La volatilidad es una funcionσ : H× Rk × R+ → Rm;

• La deriva a0 es una funciona0 : Rk → Rk;

• La volatilidad b es una funcionb : Rk →M(k,m)

donde M(k,m) denota el conjunto de matrices de k ×m.

Denotaremos por σi a la i-esima componente de σ, es decir

σ(r, y, x) = [σ1(r, y, x), · · · , σm(r, y, x)],

y por s0i a la i-esima componente de a0, es decir

a0(y) =

a01(y)...a0k(y)

.Supondremos tambien que la volatilidad b tiene la siguiente forma

b11(y) b12(y) · · · b1m(y)b21(y) b22(y) · · · b2m(y)

......

...bk1(y) bk2(y) · · · bkm(y)

.Notemos que en particular podemos ver cada componente de σ como una funcion de H× Rk a H

σi : H× Rk → H.

Finalmente supondremos que que las funciones σi : H× Rk → H, Hσ : H× Rk → H, a0 y b son suavespara i = 1, · · · ,m.

Definicion 5.2.2 Para cualquier valor de y ∈ Rk definimos el modelo de curvas forward parametrizadocomo la solucion a la ecuacion diferencial estocastica

dry(t, x) =

∂

∂xry(t, x) + Hσ(ry(t), y, x)

dt+ σ(ry(t), y, x)dW (t).

Ahora nos preguntamos por condiciones que aseguren la existencia de una realizacion finito-dimensionalpara el modelo con volatilidad estocastica, es decir, buscamos condiciones bajo las cuales el procesor(t) = (r(t), y(t)) posea una representacion local de la forma

r(t) = G(Z(t)) Q− c.s

donde para algun d, Z satisface la ecuacion diferencial estocastica

dZ(t) = A0(Z(t)) +B(Z(t))dW (t),

Z(0) = z0,

donde G es una funcion suave G : Rd → H×Rk. Suponemos que los terminos de la deriva y la difusion A0

y B son suaves. Como antes, nos enfocaremos unicamente en realizaciones finito-dimensionales genericas.

La principal finalidad de generalizar la teorıa de realizaciones para volatilidades estocasticas es constrır(si es posible) realizaciones finito-dimensionales para las siguientes generalizaciones de los modelos conlos que hemos trabajado:

62

Hull-White con parametro a estocastico:

σ(r, y, x) = σe−yx;

Hull-White con parametro σ estocastico:

σ(r, y, x) = ye−ax;

CIR con parametro σ estocastico;σ(r, y, x) = ye−ax;

CIR con parametro σ estocastico:σ(r, y, x) = y

√r(0) · λ(x, y, a);

CIR con parametro a estocastico:σ(r, y, x) = σ

√r(0) · λ(x, σ, y).

Para aplicar la teorıa que hemos desarrollado en los capıtulos anteriores procedemos (analogo con losresultado de la seccion (5.0.8)) de la siguiente manera

1. Definimos el espacio H como H = H× Rk,

2. Definimos el proceso R con valores en H como

r(t) =

[r(t)y(t)

],

3. Escribimos la dinamica de r en terminos de integral de Stratonovich

4. Usamos el teorema de Bjork y Svensson (5.0.18).

5.2.1 Modelos de ruido ortogonales

En la seccion 5 vimos que la existencia una realizacion finito-dimensional r es equivalente a la existenciade una variedad invariante finito-dimensional en H que pasa por r0.

Podemos conjeturar que bajo el supuesto de que existe una realizacion finito dimensional para elmodelo parametrizado, es decir, si suponemos que para cada y en una vecindad de y0 existe una variedadinvariante G en H que pasa por r0, la variedad G × Rk deberıa ser invariante para r. Sin embargo, lavariedad G depende de la eleccion de y, de manera que, si denotamos por Gy a la variedad invariantecorrespondiente a y, es facil ver que conforme r(t) se mueva en H, y(t) se movera en Rk, lo cual nosobligarıa a considerar a Gy(t); t ≥ 0 × Rk como variedad invariante. Ya que Gy(t); t ≥ 0 no necesari-amente tiene dimension finita, concluımos que la existencia de una realizacion finito dimensional para elmodelo parametrizado no es suficiente para su existencia en el modelo de volatilidad estocastica.

Recıprocamente, la existencia de una realizacion finito-dimensional para el modelo parametrizado noes una condicion necesaria para su existencia para el modelo de volatilidad estocastica. Podrıa pasar, porejemplo, que para ningun y exista una variedad invariante en el modelo parametrizado, y a pesar de ello,el proceso r puede vivir en una variedad diferenciable finito-dimensional si r y y estan correlacionadas demanera adecuada.

La discusion anterior nos permite conjeturar que el modelo podrıa simplificarse significativamente si ry y dependen de procesos de Wiener independientes, por lo que este sera el primer caso que estudiaremos,para esto supongase que el proceso de Wiener W (t) se puede escribir de la siguiente forma[

W r(t)W y(t)

]

63

donde W r y W y son procesos de Wiener independientes de dimensiones mr y my respectivamente.Entonces, si la dinamica de r(t) esta dada por

dr(t) = σ(r(t), y(t))dW (t),

dy(t) = a0y(t)dt+ b(y(t))dW y(t).

Bajo los supuestos de suavidad enunciados al inicio de la seccion tenemos el siguiente resultado

Lema 5.2.3 La formulacion de la ecuacion anterior en terminos de integral de Stratonovich para elmodelo con ruido ortognal es la siguiente:

dr(t) = µ(r(t), y(t))dt+ σ(r(t), y(t)) dW r(t), (5.32)

dy(t) = a(y(t))dt+ b(y(t)) dW y(t), (5.33)

(5.34)

donde

µ(r, y) = µ0(r, y)− 1

2σr(r, y)σ(r, y), (5.35)

a(y) = a0(y)− 1

2by(y)b(y). (5.36)

Demostracion Como en las secciones anteriores para calcular la dinamica de Stratonovich basta calcular

d〈σ,W r(t)〉 = dσ(r(t), y(t)).

Usando la formula de Ito infinito-dimensional obtenemos

dσ(r(t), y(t)) = · · · dt+ σr(r(t), y(t))σ(r(t), y(t))dW r(t) + σy(r(t), y(t))b(y(t))dW y(t),

por lo tanto tenemos que

d〈σ,W r(t)〉 = σr(r(t), y(t))σ(r(t), y(t))d〈W r,W r〉t + σy(r(t), y(t))b(r(t), y(t))d〈W y,W r〉(t),

como W r y W r son independientes obtenemos el resultado.

Notese que la ecuacion anterior puede reescribirse de la siguiente manera

d

[r(t)y(t)

]=

[σ(r(t), y(t))0

]dt+

[σ(r(t), y(t))0

] dW r(t) +

[0b(y(t))

] dW y(t). (5.37)

De aquı se puede ver que una condicion suficiente y necesaria para la existencia de una realizcion finito-dimensional es la siguiente

Proposicion 5.2.4 El modelo de ruido ortogonal admite una realizacion finito-dimensional sii el algebrade Lie generada por los campos vectoriales[

µ(r, y)a(y)

],

[σ1(r, t)0

], · · · ,

[σmr0

],

[0b1(y)

], · · · ,

[0bmy (y)

]es finita en r0.

5.2.2 Condiciones necesarias

A continuacion se enunciaran algunas condiciones necesarias para la existencia de una realizacion finito-dimensional, las pruebas podran encontrarse en [6]

64

Proposicion 5.2.5 Sib1, · · · , bmyLA = Rk

en una vecindad de y0. Una condicion necesaria para la existencia de una realizacion finito-dimensionales que el modelo parametrizado

dr(t) = µ(r(t), y)dt+ σ(r(t), y)dW r(t)

admita una realizacion finito-dimensional en y0.

De aquı podemos concluır que sib1 · · · , bmyLA = Rk,

independientemente de la forma de a, el modelo acepta una realizacion finito dimensional siempre ycuando localmente el modelo parametrizado lo haga, en particular podemos aplicar este resultado cuando

• my = k y la matriz b sea de tamano k × k e invertible cerca de y0;

• y es escalar y generado por un proceso de Wiener escalar y el campo b(y) es no-cero cerca de y0.

Para dar las condiciones necesarias mas generales usaremos la siguiente notacion

Definicion 5.2.6 Un multi ındice α ∈ Zk+ es cualquier vector k-dimensional con entradas enteras no

negativas. Para un multi ındice α definimos el operador ∂α

y como

∂αy =∂α1

∂yα21

∂α2

∂yα22

· · · ∂αk

∂yαkk.

Proposicion 5.2.7 Supongamos que dimbLA = l y que f1, · · · , fl son tales que

spanf1, · · · , fl = b1, · · · , bmyLA.

Definimos entonces, para y ∈ Rk y s ∈ Rl arbitrarios las funciones µ(r, s, x, y), σ(r, s, x, y) con i =1, · · · ,mr como

σi(r, s, x, y) = σi(r, ef1s1 · · · eflsly, x),

µi(r, s, x, y) = µi(r, ef1s1 · · · eflsly, x).

Entonces las siguientes condiciones son necesarias para la existencia de una realizacion finito dimensionalpara el modelo de volatilidad estocastica

• Para cada (r, y) cerca de (r0, y0) se cumple

dim span∂αs σi(r, s, y);α ∈ Zl+ <∞, i = 1, · · · ,mr

y

dim span∂αs mu(r, s, y); α ∈ Zl+

• Para (r, y) cerca de (r0, y0) los terminos la deriva y la volatilidad son de la forma

σi(r, s, x, y) =

ni∑j=1

cij(r, s, y)λij(r, x, y)

y

µ(r, s, x, y) =

n0∑j=1

c0j(r, s, y)λ0j(r, x, y).

65

Usando estos resultados se puede ver que las volatilidades

1. Hull-White con parametro a estocastico

σ(r, y, x) = σe−yx,

2. CIR con parametro σ estocastico

σ(r, y, x) = y√r(0) · λ(x, y, a),

3. CIR con parametro a estocastico

σ(r, y, x) = σ√r(0) · λ(x, σ, y)

no tienen una realizacion finito-dimensional.

5.2.3 Condiciones suficientes y necesarias

Definicion 5.2.8 Definimos, para cada y, el algebra de Lie parametrizada Ly en H como

Ly = ∂αy µy, ∂αy σy1 , · · · , ∂αy σymr ;α ∈ Zk+LA

Proposicion 5.2.9 Supongamos que

dimb1, · · · , bmyLA = k.

Bajo esta suposicion una condicion suficiente y necesaria para la existencia de una realizacion finitodimensional para el modelo de volatilidad estocastica es que, para cada y, tengamos

dimLy <∞

en una vecindad de r0.

una condicion mas sencilla de verificar es la siguiente

Proposicion 5.2.10 Suponiendo que dimb1, · · · , bmyLA = k y que para cada vector y ∈ H el modeloparametrizado posee una realizacion finito-dimensional de la forma

ry(t) = G(Zy(t)),

dZy(t) = A(Zy(t), y)dt+B(Zy(t), y) dW (t),

el modelo tiene una realizacion finito-dimensional dada por

r(t) = G(Z(t)), (5.38)

dZ(t) = A(Z(t), y(t))dt+B(Z(t), y(t)) dW (t). (5.39)

Proposicion 5.2.11 Si suponemos que dimb1, · · · , bmyLA = k y que la volatilidad es de la forma

σi(r, y, x) =

N∑j=1

ϕij(r, y)λj(x) i = 1, · · · ,m

una condicion suficiente para la existencia de una realizacion finito-dimensional es que λ1(x), · · · , λm(x)sean cuasi-exponenciales, mas aun, si suponemos que λi es de la forma

λi(x) = pi(x)eαix, i = 1, · · · ,m

66

una realizacion concreta esta dada porr(t) = G(Z(t)),

con G definida como

G(z0, z1ij , z

2il, z

3p) =

[G(z0, z

1ij , z

2il, z

3p)

y0 + z3

]y G definida como

G(z0, z1ij , z

2il, z

3p) = r0(x+ z0) +

m∑i=1

ni∑j=0

Fjλi(x)z1ij +

m∑i=1

2ni∑l=0

FlDi(x)z2il

dondeDi(x) = Di − γiλi(x), i = 1, · · · ,m,

el factor z3 denota al vector (z31 , · · · , z3k)T y los ındices recorren los siguientes dominios; i = 1, · · · ,m; j =0, · · · , ni; l = 0, 1, · · · , qi = 2ni y p = 1, · · · , k. La dinamica del espacio de estados estara dada por

dZ0 = dt,

dZ1i0 = [ci0Z

1ini + γiΦi(G(Z))]dt+ ϕi(G(Z))dW (t),

dZ1ij = (cijZ

1ini)dt,

dZ2i0 = (di0Z

2iqi) + Φi(G(Z)))dt,

dZ2il = (dilZ

2il + Z2

i,l−1)dt,

dZ3 = a0(Z3(t))dt+ b(Z3(t))dW (t),

con cij definida por

cij = −(ni + 1j

)(−αi)ni+1−j ,

dil por

dil = −(

2ni + 1l

)(−2αi)

2ni+1−l,

γi por

γi =

ni∑j=0

(−1

αi

j+1)Fjpi(0), i = 1, · · · ,m

y Φi, a0 por Φi = ϕ2i , a0(y) = a(y) + 1

2by(y)b(y).

Aplicando estos resultados al modelo de Hull-white con volatilidad estocastica de la forma

σ(r, y, x) = ye−αx

podemos asegurar la existencia de una realizacion finito-dimensional dada por

r(t) = G(Z(t))

donde G esta definida por

G(z0, z1, z2, z3) =

[G(z0, z1, z2, z3)y0 + z3

],

y G por

G(z0, z1, z2, z3) = r0(x+ z0) + e−αxz1 −e−2αx

αz2.

67

La dinamica del espacio de estados esta dada por

dZ0 = dt,

dZ1 = [−αZ1 +1

α(y0 + Z3)2]dt+ (y0 + Z3)dW (t),

dZ2 = [−2αZ2 + (y0 + Z3)2]dt,

dZ3 = a0(Z3)dt+ b(Z3)dW (t)

y a0 definido por a0(y) = a(y) + 12by(y)b(y).

En la siguiente pagina se muestran algunos resultados numericos correspondientes a la volatilidad dadapor el modelo de Hull-White (Vasicek extendido).

68

Usando los resultados de la seccion anterior podemos hacer los calculos numericos necesarios paradeterminar la distribucion de las tasas forward bajo la medida martingala. A continuacion se presentanalgunos resultados graficos correspondientes a la distribucion de las componentes de la realizacion finitodimensional para el modelo de Hull White (Vasicek extendido) cuya volatilidad esta dada por

σ(r, y, x) = ye−αx,

dy(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t),

y(0) = y0.

Se supuso por simplicidad que a(t) = 0, b(t) = 0.7. Se observo la curva forward en un periodo de tiempode 16.7 meses y se estimaron los paramatros minimizando la diferencia entre la variacion cuadraticaobservada y la variacion cuadratica esperada segun el modelo, dando como resultado y0 = 0.0006 yα = 0.1204. Luego de esto, se simularon 100000 trayectorias de las componentes de la realizacion a partirde las cuales se calculo la distribucion empırica, a continuacion se presenta la evolucion en el tiempo dela distribucion de los parametros:

Distribucion del parametro z1, (el eje horizontal representa el valor de z1)

69

Distribucion de z1 y trayectorias simuladas de z1

Distribucion del parametro z2

70

Distribucion de z2 y trayectorias simuladas

Distribucion del parametro z3

71

Distribucion de z3 trayectorias simuladas

Finalmente se muestra la imagen bajo G de una posible trayectoria de la realizacion, es decir, unaposible trayectoria de las tasas forward, el eje horizontal es el tiempo a la fecha de expiracion, el ejerestante representa la evolucion en el tiempo

72

Apendice A

Apendice: Introduccion a la Teorıadel Arbitraje

Hoy en dıa la nocion de arbitraje es fundamental en las matematicas financieras, la mayor parte de lateorıa desarrollada supone la no existencia de oportunidades de arbitraje, por ello, daremos una breveintroduccion de los resultados y conceptos mas importantes de esta area.

A grandes razgos, una oportunidad de arbitraje es una estrategia de inversion que permite tener unaganancia sin invertir ni arriesgar capital. Este tipo de estrategias son atractivas para los inversionistas, ydebido a ello, cuando se presentan comienzan a tener una alta demanda haciendo que su precio aumentehasta que la estrategia se vuelve poco rentable y su precio comienza a bajar. Este fenomeno ocasiona quelas oportunidades de arbitraje desaparezcan rapidamente, por lo cual es razonable suponer que no existen.

A.0.1 Dinamica de Portafolios

Considere un mercado financiero constituıdo por acciones, bonos y otros derivados financieros. Tratare-mos de deducir intuitivamente la dinamica de un portafolio constituıdo por estos instrumentos financieros,sin perdida de generalidad supondremos que los activos financieros son acciones. Comenzaremos dandoalgunas definiciones basicas.

Definicion A.0.1

N = Numero de diferentes tipos de acciones.

hi(t) = Numero de acciones tipo i que el inversionista tiene en el periodo de tiempo [t, t+ ∆t).

h(t) = Portafolio h(t) = (h1(t), ..., hN (t)) que el inversionista tiene en el tiempo t.

c(t) = Consumo del inversionista en el periodo de tiempo [t, t+ ∆t).

Si(t) = Precio de la i-esima accion durante el periodo [t, t+ ∆t).

V (t) = Valor del portafolio h al tiempo t.

Para modelar el comportamiento aleatorio de estos objetos, considere un espacio de probabilidad (Ω,Σ,P)que represente al comportamiento aleatorio del mercado y un movimiento Browniano d-dimensionalW (t) = W 1(t), · · · ,W d(t); 0 ≤ t < ∞ definido en dicho espacio y adaptado a una filtracion Ft querepresente a las fuentes de aleatoriedad, supondremos tambien que los Si(t) son procesos de Ito adaptadosa Ft. Bajo estos supuestos definimos lo siguiente

Definicion A.0.2

• Una estrategia de portafolio (que en ocasiones llamaremos simplemente portafolio) es cualquierproceso N -dimensional h(t); t ≥ 0 adaptado a la filtracion Ft.

73

• Un portafolio es Markoviano sih(t) = g(t, S(t)).

Donde g : R+ × RN −→ RN , es decir, el portafiolio depende unicamente del tiempo y del precio delas acciones a traves de una funcion determinista.

• Dado un portafolio h(t); t ≥ 0, definimos su valor como el proceso

V h(t) = h(t) · S(t).

• El proceso de consumo c(t) es cualquier proceso c(t); t ≥ 0 unidimensional adaptado a Ft.

• El par (h, c) es autofinanciero si el valor del portafolio V (t) satisface la ecuacion

dV h(t) = h(t) · dS(t)− c(t)dt. (A.1)

El portafolio h(t) en general puede depender del pasado de la trayectoria del proceso de precios, pero enlo sucesivo trabajaremos unicamente con portafolios Markovianos.

Definicion A.0.3 Dado un portafolio h(t), el portafolio relativo correspondiente esta definido como

ui(t) =hi(t)Si(t)

V h(t).

De donde se sigue queN∑i=1

ui(t) = 1.

En terminos de portafolio relativo, la condicion de portafolio autofinanciero (A.1) puede formularse de lasiguiente manera

Lema A.0.4 El par (h, c) es autofinanciero sii

dV h(t) = V h(t)

N∑i=1

ui(t)dSi(t)

Si(t)− c(t). (A.2)

El siguiente resultado afirma que si un proceso se ve como el valor de portafolio de una estrategia,entonces es precisamente el valor de portafolio de dicha estrategia, es decir, la expresion (A.2) caracterizapor completo a ui(t) y V (t)

Lema A.0.5 Sea c un proceso de consumo, y supongamos que existe un proceso escalar Z y un procesoq = (q1, ..., qN ) tal que

dZ(t) = Z(t)∑Ni=1 qi(t)

dSi(t)Si(t)

− c(t)dt,

∑Ni=1 qi(t) = 1.

Si definimos entonces

hi(t) =qi(t)Z(t)

Si(t),

tenemos que V h = Z, el par (h, c) es autofinanciero y el valor del portafolio relativo u = q.

A continuacion definimos el proceso de precios del activo libre de riesgo, que modela el rendimientoque se obtiene con la inversion de un peso al tiempo cero

74

Definicion A.0.6 El proceso B es el proceso de precios del activo libre de riesgo si tiene la dinamica:

dB(t) = r(t)B(t)dt.

Donde r es cualquier proceso adaptado a la filtracion

De la definicion de activo libre de riesgo se sigue facilmente que

B(t) = B(0) exp

∫ t

0

r(s)ds.

La interpretacion de activo libre de riesgo es por lo tanto la de proceso de cuenta bancaria con tasa deinteres r(t).

A.0.2 Oportunidades de arbitraje y valuacion de activos contingentes

Se abordara a continuacion el problema de valuar derivados de S(t), para ello, daremos las definicionesde oportunidad de arbitraje y activo contingente ası como algunos algoritmos para valuarlos.

Supondremos en lo sucesivo que el precio de las acciones S(t) sigue la dinamica:

dS(t) = S(t)α(t, S(t))dt+ S(t)σ(t, S(t))dW (t)

donde las funciones α y σ son procesos deterministas. La funcion σ se conoce como tasa de retorno localy σ se conoce como volatilidad.

Definicion A.0.7 Consideremos un mercado con proceso de precios S(t); t ≥ 0. Un activo contingentecon fecha de expiracion T es una variable aleatoria χ ∈ FT , decimos que χ es simple si es de la forma

χ = Φ(S(T )).

La funcion Φ se conoce como funcion de contrato. Denotaremos por Π(t, χ) al proceso de precios delactivo χ, es decir, el precio del activo χ al tiempo t.

Definicion A.0.8 Una oportunidad de arbitraje en un mercado financiero es un portafolio autofinancieroh tal que

V h(0) = 0,P[V h(T ) ≥ 0] = 1,P[V h > 0] > 0.

Diremos que el mercado es libre de arbitraje si no existen oportunidades de arbitraje.

Una consecuencia de la ausencia de arbitraje es que “esencialmente” solo existe una tasa de interes,es decir, si tuvieramos un portafolio autofinanciero cuya dinamica fuera localmente libre de riesgo (sitiene termino de difusion igual a 0) entonces la deriva de esta dinamica es exactamente la tasa de interes,siendo mas especificos; supongamos que existe un portafolio autofinanciero h(t) tal que

V h(t) = k(t)V (t)dt

donde k es un proceso adaptado a la filtracion. Entonces se debe cumplir

k(t) = r(t) ∀t.

En caso contrario, existe una oportunidad de arbitraje y podemos encontrarla de la siguiente manera:supongamos por simplicidad que k > r o k < r en el intervalo [0, t] para algun t > 0.

Si k > r:

75

1. Pedimos dinero prestado al banco con una tasa de interes r,

2. Invertimos este dinero en la estrategia h que tiene tasa de interes k > r. Hasta ahora (al tiempo 0)no hemos perdido ni ganado nada,

3. En cualquier tiempo 0 < s < t habremos obtenido una ganancia dada por la tasa de interes k − r.

Si k < r:

1. Seguimos la estrategia −h, es decir, vendemos el portafolio h,

2. Invertimos la ganancia en el banco,

3. En cualquier tiempo 0 < s < t habremos obtenido una ganancia dada por la tasa de interes k − r.

A.0.3 Arbitraje y martingalas

A continuacion se enunciaran algunas condiciones para que el mercado sea libre de arbitraje, esto nosllevara al teorema fundamental de valuacion de activos. Primeramente suponga que uno de los activossubyacentes es un activo libre de riesgo con tasa de retorno 0, es decir:

S0(t) = 1.

Hasta el momento se ha considerado una clase muy amplia de portafolios, en la practica es necesarioimponer restricciones adicionales al tipo de portafolios que podemos usar, por ejemplo:

Si al menos uno de los activos S1, ..., SN tiene termino de difusion distinto de cero para todo tiempo, yes valido cualquier tipo de portafolio, entonces el modelo tiene una oportunidad de arbitraje que puedeencontrarse de la siguiente manera:

• Suponga que existe q ∈ (0, 1) tal que ∀n ∈ N se tiene

P[S(1− 1

n+ 1) > S(1− 1

n) | F1− 1

n

]≥ q.

Esto implica que existe rn > 0 tal que, con problabilidad condicional mayor o igual a q se tiene∆Sn = S(1− 1

n )− S( 1n−1 ) > rn.

• Al tiempo 0 pedimos 1 peso al banco y lo invertimos en el activo con riesgo.

• Si ∆S2 ≥ r2 al tiempo 1 − 12 cerramos nuestra posicion (es decir, vendemos nuestro portafolio) e

invertimos en la cuenta bancaria.

• En caso contrario, pedimos prestado al banco

h2 =2

r3× Deuda que se tiene con el banco al tiempo 1− 1

2− 1

y lo invertimos en el activo con riesgo. (de esta manera si al siguiente tiempo ∆S3 ≥ r3 habremosobtenido una ganancia de ∆S3h2 asi que podremos pagar la deuda al banco y obtener una ganancia).

• ...

• Si ∆Sn ≥ rn al tiempo 1 − 1n cerramos nuestra posicion (es decir, vendemos nuestro portafolio) e

invertimos en la cuenta bancaria.

76

• En caso contrario, pedimos prestado al banco

hn =n

rn+1× Deuda que se tiene con el banco al tiempo 1− 1

n− 1

y lo invertimos en el activo con riesgo. (de esta manera si al siguiente tiempo ∆Sn+1 ≥ rn+1

habremos obtenido una ganancia de ∆Sn+1hn asi que podremos pagar la deuda al banco y obteneruna ganancia).

Si se sigue esta estrategia, haciendo tender n a infinito, tendremos con probabilidad 1 al tiempofinal un valor de portafolio mayor al valor inicial. El problema claramente es que en la practica no sepuede pedir al banco dinero ilimitado para doblar la inversion hasta el infinito. Para evitar este tipo deproblemas restringiremos los portafolios a una clase llamada portafolios admisibles:

Definicion A.0.9

1. Definimos el valor V (t) correspondiente a cualquier proceso h(t); t ≥ 0 como

V (t, h) = h0 · 1 + h(t) · S(t).

2. Un proceso hS(u) es admisible si existe una constante α (que puede depender de la eleccion de hS)tal que

dS(u) ≥ −α ∀t ∈ [0, T ].

El proceso h(t) = (h0(t), hS(t)) es un portafolio admisible si hS es admisible.

3. Un portafolio admisible es autofinanciero si

V (t, h) = V (0, h) +

∫ t

0

hS(u)dS(u),

es decir, si tiene la dinamicadV (t, h) = hS(t)dS(t).

A.0.4 Ausencia de arbitraje

Daremos ahora la definicion formal de medida martingala y veremos como la existencia de ella se relacionacon la no existencia de oportunidades de arbitraje, seguiremos suponiendo que el activo libre de riesgoS0 tiene tasa de interes igual a 0.

Definicion A.0.10 Una medida de probabilidad Q en FT es una medida martingala equivalente si cumplelas siguientes propiedades

• Q es equivalente a P en FT

• Los procesos de precios S0, ..., SN son martingalas bajo Q en el intervalo de tiempo [0, T ]

Normalmente a una medida martingala equivalente se le llama simplemente medida martingala o EMM.Si Q ∼ P y S0, ..., SN son martingalas locales bajo Q decimos que Q una medida martingala local

Como primer paso para enunciar el teorema que relaciona la medida martingala y la no-existencia dearbitraje definiremos lo siguiente:

Definicion A.0.11

• Denotaremos por K0 al espacio de todos los activos contingentes que pueden ser replicados por unportafolio autofinanciero con capital incial 0,

77

• K = K0∩L∞, es decir, K es el conjunto de todos los activos contingentes acotados se son alcanzablespor un portafolio autofinanciero con valor inicial 0,

• L∞+ = variables aleatorias no-negativas en L∞,

• C = K−L∞+ . Es decir, C es el conjunto de activos contingentes que son dominados por un elementode K, o visto de otra forma el conjunto de activos contingentes que pueden ser alcanzados por unaestrategia si permitieramos ’eliminar dinero’ del portafolio.

De esta manera la condicion de no-arbitraje se traduce en

C ∩ L∞+ = 0.

Definicion A.0.12 Diremos que nuestro portafolio es

libre de arbitraje siC ∩ L∞+ .

No free launch with vanishing risk (NFLVR) si

C ∩ L∞+ = 0.

Explicaremos ahora la condicion de NFLVR:Si NFLVR no se cumple existe un activo no cero X ∈ L∞ y una secuencia Xn en C tal que |Xn−X| < 1

nasi que en particular Xn > − 1

n , entonces, para cada n existe un portafolio autofinanciero generando unactivo contingente a una distancia menor a 1

n de la oportunidad de arbitraje arriesgando un capital demenos de 1

n , esto es casi una oporutunidad de arbitraje.Enunciaremos ahora uno de los teoremas mas importantes para el estudio de mercados libres de arbitraje:

Teorema A.0.13 Si el proceso de precios es acotado. Entonces existe una medida martingala equivalentea P sii el modelo satisface NFLVR.

Demostracion⇒):Usaremos el siguiente teorema cuya prueba puede encontrarse en [9]

Teorema A.0.14 Si S es una martingala local y H es un portafolio admisible para S, entonces H ·Mes una martingala local

Sea h ∈ C. Usando el teorema anterior tenemos que h · S es una semimartingala, luego, como h · Sesta acotado uniformemente por abajo por el lemma de Fatou tenemos que para todo s > 0:

E[(h · S)(t+ s) |Ft] = E[limn

(h · S)((t+ s) ∧ τn) |Ft]

≤ limn

E[(h · S)((t+ s) ∧ τn) |Ft]

≤ limn

(h · S)(t ∧ τn)

= (h · S)(t)

Por lo tanto tenemos

V (0, h) = h(t) · S(t) ≥ E[h(T ) · S(T )] = E[V (T, h)].

Usando la definicion de C en terminos de K concluımos que h ≤ 0 ∀h ∈ C, esto implica que h ≤ 0 ∀h ∈ CPor lo tanto ¯C ∩ L∞+ = 0.

⇐)Para esta parte de la prueba ocuparemos los siguientes teoremas cuya prueba puede encontrarse en [10]

78

Teorema A.0.15 (Teorema de separacion de Kreps-Yan)Si C es cerrado en la topologıa debil* y

C ∩ L∞+ = 0,

Entonces existe una variable L ∈ L1 tal que L es P-casi seguramente estrictamente positiva y

EP [L ·X] ≤ 0, ∀X ∈ C

Teorema A.0.16 Si el proceso de precios S es uniformemente acotado, entonces la condicion NFLVRimplica que C es cerrado en la topologıa debil*

Usando estos resultados aseguramos la existencia de una variable L ∈ L1 tal que L es P-casi segura-mente positivo y

EP [L ·X] ≤ 0, ∀X ∈ C. (A.3)

Reescalando podemos escoger L de tal manera que E[L] = 1 y usar a L como derivada de Radon-Nikodympara definir una nueva medida Q con dınamica dQ = LdP . Usando (1.3) y la definicion de C tenemosque EQ[X] = EP [LX] = 0 ∀X ∈ K.

Para probar que esta medida es en efecto una medida martingala fijemos un activo i, dos tiempos s ≤ ty un evento A ∈ Fs. Luego consideramos la estrategia (Si(t)−Si(s))1A ∈ C (esta estrategia esta en C puesS esta acotada), de aquı se sigue que: EQ[(Si(t)−Si(s))1A] = 0 lo cual implica que Si es martingala bajo Q

Generalizaremos ahora el resultado a mercados con activo sin riesgo con tasa de interes no necesariamentenula

Definicion A.0.17 La economıa normalizada (tambien conocida como Z-economıa) esta definida por elproceso de precios Z, donde

Z(t) =S(t)

S0(t)

En esta economıa si se cumple que el activo sin riesgo es identicamente igual a uno. Para distinguir losvalores de portafolio y las estrategias en las diferentes economıas usaremos la siguiente notacion:

Definicion A.0.18

• Una estrategia de portafolio es cualquier proceso (n+ 1)-dimensional adaptado h(t)

• El S-valor del portafolio h esta dado por:

V S(t, h) = h(t) · S(t)

• El Z-valor del portafolio esta dado por:

V Z(t, h) = h(t) · Z(t)

• Un portafolio es admisible si es admisible (sgun nuestra primer definicion) para el proceso de preciosZ(t)

• Un portafolio admisible es S-autofinanciero si

dV S(t, h) = h(t) · dS(t)

• Un portafolio admisible es Z-autofinanciero si

dV Z(t, h) = h(t) · dZ(t)

79

Por ultimo relacionaremos las propiedades de financiabilidad y no-existencia de arbitraje de ambosmercados mediante el siguiente lema:

Lema A.0.19

1. Un portafolio h es S-autofinanciero sii es Z-autofinanciero.

2. El valor de portafolio V S y V Z estan relacionados mediante.

V Z(t, h) =1

S0(t)· V S(t, h)

.

3. El activo Y es S-alcanzable sii el activoY

S0(T )

es Z-alcanzable.

4. EL modelo Z es libre de arbitraje sii el modelo S es libre de arbitraje.

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