Conocimientos previos Transformadas...
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Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 1 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Objetivo general: Proporcionar los conocimientos fundamentales •Variable Compleja •Transformadas Integrales •Fourier •Laplace y •Zeta que dan las bases sólidas que en cursos de especialidad le permita abordar problemas para distintas áreas de la Computación e Ingeniería tales como Control Digital, Teoría de Control, Análisis y diseño de señales.
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Departamento de Matemáticas
Campus MONTERREY 1
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
Objetivo general:
Proporcionar los conocimientos fundamentales
•Variable Compleja
•Transformadas Integrales
•Fourier
•Laplace y
•Zeta
que dan las bases sólidas que en cursos de especialidad le
permita abordar problemas para distintas áreas de la
Computación e Ingeniería tales como Control Digital, Teoría de
Control, Análisis y diseño de señales.
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
Conocimientos previos
Variable Compleja
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Historia del Análisis Complejo
http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_compleja
Resultados
http://licmat.izt.uam.mx/notas_de_clase/vcmplx09c1.pdf
Otros
Variable
Compleja
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En varias áreas de la ingeniería
Se utiliza variable compleja para el análisis y diseño de sistemas por
ejemplo:
Señales
Teoría de control
Óptica – laser
http://licmat.izt.uam.mx/notas_de_clase/vcmplx09c1.pdf
Las herramientas matemáticas como
la transformada de Laplace,
la transformada de Fourier y la
transformada z , permiten pasar
funciones del dominio del tiempo a
otros dominios donde las operaciones
matemáticas resultan más simples
Variable
Compleja
Resultados
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En esos dominios se utilizan variables complejas y es conveniente estar familiarizado con conceptos básicos
Por ejemplo :
1. Las transformada s de Laplace, y de
Fourier permiten transformar
Ecuaciones diferenciales lineales en
Ecuaciones algebraicas , una vez que
se han resuelto en el dominio
correspondiente se encuentra la solución
de las ecuaciones originales aplicando la
transformada inversa .
2. En resolución de integrales en
variable real para predecir magnitudes
en contextos ingenieriles, de arte y de
diseño.
Variable
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En esos dominios se utilizan variables complejas y es conveniente estar familiarizado con conceptos básicos como los son :
Números complejos,
conceptos generales de funciones de variable compleja,
funciones analíticas y series de potencias
integración en el plano complejo.
Variable
Compleja
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El análisis complejo es la rama de las matemáticas que en parte investiga las funciones holomorfas, también llamadas funciones analíticas.
Una función es holomorfa en una región abierta del plano complejo si está definida en esta región, toma valores complejos y por último es diferenciable en cada punto de esta región abierta con derivadas continuas.
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Variable
Compleja
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El que una función compleja, sea diferenciable en el sentido complejo tiene consecuencias mucho más fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales.
En particular, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, un hecho que es marcadamente diferente de lo que ocurre en las funciones reales diferenciables. La mayoría de las funciones elementales como lo son, por ejemplo, algunos
polinomios, la función exponencial y las funciones trigonométricas, son holomorfas.
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Variable
Compleja
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Gráfico de la función
f(z)=(z2-1)(z-2-i)2 / (z2+2+2i).
La coloración representa el argumento
de la función, mientras que el brillo
representa el módulo.
http://www.ima.umn.edu/~arnold/comple
x-maps/index.html
Douglas N. Arnold
Variable
Compleja
Transformaciones conformes Otros
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Transformadas Integrales
Transformada de Fourier
Transformada de Laplace
Transformada Z
http://www.falstad.com/fourier/
http://www.falstad.com/mathphysics.html
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
La mayoría de las señales se distorsionan cuando
pasan a través de un dispositivo lineal e invariante en
el tiempo, y la única señal que no sufre distorsión es
una señal sinusoidal pura.
Sumando las primeras 40
componentes de
frecuencia de la señal periódica.
Las primeras componentes de
frecuencia son: Sumando las primeras 3
componentes de
frecuencia de la señal periódica.
Un ejemplo de una señal periódica y
sus componentes de frecuencia.
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Una señal sinusoidal pura no cambia su forma
pero si cambian:
– Su amplitud.
– Su fase.
• En general, el cambio en la amplitud y en la
fase dependen:
– del sistema.
– de la frecuencia de la señal sinusoidal.
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Para entender las causas que originan esta distorsión es
necesario analizar el contenido de frecuencias de las señales
utilizadas en ingeniería, el análisis de Fourier permite conocer el
contenido de frecuencias de las señales y entender las razones
para las cuales existe distorsión lineal.
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Las funciones periódicas son ampliamente utilizadas en los
sistemas de comunicación y su contenido de frecuencias se
puede estudiar mediante las series de Fourier.
Para el caso de funciones no periódicas la herramienta que se
utiliza es la transformada de Fourier la cual es una extensión a
las series de Fourier para poder analizar el contenido de
frecuencias de este tipo de señales.
Espectro de Fourier de una
abertura circular
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Las vibraciones en una membrana o un tambor o las
oscilaciones inducidas en una cuerda de guitarra o violín son
explicadas por una ecuación diferencial parcial llamada
ecuación de onda .
Esta situaciones junto con condiciones iniciales y de frontera
constituyen información para encontrar la solución única de
la ecuación parcial. Pues bien la solución es una suma
infinita de funciones seno, una forma de expresión de series
de Fourier.
Imágenes en 3D de un glóbulo rojo
invadido por el parásito de la malaria.
(Foto: YongKeun Park, Michael Feld y
Subra Suresh)
Las imágenes obtenidas por los investigadores revelan que las membranas
de los glóbulos rojos pierden flexibilidad, lo cual acaba conduciendo a la
aglomeración de las células, cuando éstas tratan de navegar por los
diminutos vasos sanguíneos. Asimismo, se evidencia la destrucción de la
hemoglobina, la molécula fundamental que los glóbulos rojos usan para el
transporte de oxígeno
http://www.falstad.com/me
mbrane/
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http://www.youtube.com/watch?v=Cb
3HpOf2V1g&feature=fvwrel
http://www.youtube.com/watch?v=fzX
nww4om80&feature=relmfu
http://www.youtube.com/watch?v=gQ
FHlslQBkA&annotation_id=DrChrisTis
dell_annotation_24355&src_vid=nXE
qrOt-nB8&feature=iv#t=8s
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Introducción a Series de
Fourier.
http://es.wikiversity.org/wiki/Transformad
a_de_Fourier
http://www.sangakoo.com/blog/analisis-
armonico-transformada-de-fourier/
http://www.iiisci.org/journal/CV$/risci/pdf
s/C145TI.pdf
http://www.escet.urjc.es/~matemati/mm_
iq/tema3.pdf
http://www.uam.es/otros/germn/images/0
1Historia_RMN.pdf
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La transformada de Fourier posee propiedades que
facilitan la solución de Ecuaciones Dierenciales
ordinarias y parciales
http://personal.us.es/contreras/t04fourier.pdf
http://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/DM/v5/art6.pdf
http://cybertesis.urp.edu.pe/ponencias/LACCEI_2010/Papers/Papers_pdf/IT161_Guardado.pdf
http://www.slideshare.net/Telecomunefasenales/peresentacion-transformada-y-serie-de-fourier-
e-transformada-de-laplace
http://personales.unican.es/vallep/TIO/tema5-6p.pdf
https://www.cfa.harvard.edu/~cbarrien/tesis_magister_final.
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
La transformada de Laplace posee propiedades que
facilitan la solución de Ecuaciones Dierenciales
conociendo condiciones iniciales
Transformadas Integrales
La transformada de Fourier posee propiedades que
facilitan la solución de Ecuaciones Dierenciales
ordinarias y parciales
http://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf
http://cybertesis.urp.edu.pe/ponencias/LACCEI_2010/P
apers/Papers_pdf/IT161_Guardado.pdf
http://www.slideshare.net/Telecomunefasenales/perese
ntacion-transformada-y-serie-de-fourier-e-
transformada-de-laplace
La transformada Z posee propiedades que facilitan la
solución de Ecuaciones en diferencias.
Sistemas Mecánicos y eléctricos Ley de
Newton
Ley de
Kircchof
2
2
dt
xdmxmF
)(tEV
)(2
2tfkx
dt
dx
dt
xdm
)(2
2tEkq
dt
dq
dt
qdL
Transformadas Integrales
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f(t)
x(t)
k b
m
Fuerza de
entrada
2
)(2)()()(
dt
txdm
dt
tdxbtkxtf
maF
Desplazamiento,
salida del
sistema
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kbsmssF
sX
kbsmssXsF
sXmssbsXskXsF
dt
txdm
dt
tdxbtkxtf
2
1
)(
)(
2)()(
)(2)()()(
cero) a igual iniciales scondicione ndo(considera
términocada a Laplace de ada transformla Aplicando
2
)(2)()()(
Suspensión de un automóvil
Función de
transferencia
Transformadas Integrales
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)()(1
)(1
)()(
)(
toedttiC
dttiC
tRidt
tdiLtie
MODELACIÓN MATEMÁTICA
Circuito eléctrico
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La transformada Z posee propiedades que facilitan la
solución de ecuaciones en diferencias
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La TZ es un ejemplo más de Transformadas
Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por computadoras.
Procesamiento de Señales Digitales, como son el diseño y análisis de Circuitos Digitales, los Sistemas de Radar o
La Transformada Zeta (TZ) es un modelo matemático que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del
Señales en Tiempo Discreto Transformadas Integrales
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La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que
permite reducir Ecuaciones en Diferencias o
ecuaciones recursivas con coeficientes constantes a Ecuaciones
Algebraicas lineales.
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Señales en Tiempo Discreto
Señales en Tiempo Discreto
Transformadas Integrales
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z
convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo
discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.
El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual
que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace.
Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada
de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent.
La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las
señales de tiempo continuo.
Señales en Tiempo Discreto
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“ La mejor manera de predecir el futuro es inventarlo” Alan Kay
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