CONJUNTOS ACOTADOS

Definicin 1

Un conjunto A, no vaco de nmeros reales se dice acotado superiormente si existe un nmero real a talque todos los elementos de A son menores o iguales que a:

A acotado superiormente si y solo si existe IRa talque ))(( axAx .

a se llama una cota superior de A.

Si un elemento M del conjunto A es cota superior de A, entonces se dice que M es el elemento mximo de A y se denota por:

)max(AM = . Definicin 2

Un conjunto A, no vaco de nmeros reales se dice acotado inferiormente si existe un nmero real b talque todos los elementos de A son mayores o iguales que b:

A acotado inferiormente si y solo si existe IRb talque ))(( xbAx .

b se llama una cota inferior de A.

Si un elemento m del conjunto A es cota inferior de A, entonces se dice que m es el elemento mnimo de A y se denota por:

)min(Am = .

Definicin 3

Un conjunto A, no vaco de nmeros reales se dice Acotado si es acotado superiormente e inferiormente.

Teorema 1

Un conjunto A, no vaco de nmeros reales es acotado si y solo si existe un nmero real 0>M tal que

)||)(( MxAx . Demostracin

Si A es un conjunto acotado entonces existen IRs cota superior de A e IRi cota inferior de A. Para todo Ax se satisface xi y sx .

Sea { }|||,|max isM = , note que MSxIM para todo Ax lo cual implica que )||)(( MxAx .

Se ha demostrado que si A es un conjunto acotado entonces existe 0>M talque )||)(( MxAx .

La demostracin de la otra implicacin se deja como ejercicio para el lector.

Definicin 4

Sea A un conjunto, no vaco de nmeros reales. Un nmero real S, se denomina extremo superior de A ( supremo de A o sup de A), si S satisface las siguientes propiedades:

a) S es una cota superior de A y b) S es la menor cota superior de A

Equivalentemente:

Un nmero real S, se denomina extremo superior de A si S satisface las siguientes propiedades:

a) S es cota superior de A, es decir: ))(( SxAx b) Si a es cualquier otra cota superior de A entonces aS

Definicin 5

Sea A un conjunto, no vaco de nmeros reales. Un nmero real I, se denomina extremo inferior de A (nfimo de A inf de A) , si I satisface las siguientes propiedades:

a) I es una cota inferior de A b) I es la mayor cota inferior de A

Equivalentemente:

Un nmero real I, se denomina extremo inferior de A si I satisface las siguientes propiedades:

a) I es cota inferior de A, esto es: ))(( xIAx b) Si b es cualquier otra cota inferior de A entonces Ib

Ejercicio 1

Sea { }IRxxxA ++= |132 . A es un conjunto acotado?

Solucin:

Si Ay entonces 132 ++= xxy para algn IRx .

4

52

32

2 13

+=++= xxxy

para todo IRx se tiene:

4

54

52

32

322

0

+

+ xx .

Por tanto A est acotado inferiormente por 4

5 .

Note que A45

, ya que si 23

=x , se tiene 4

52

32

3 13132

2=+

+

=++ xx .

Por tanto ).inf()min(4

5 AA = =

A es un conjunto acotado superiormente?

Supongamos que A est acotado superiormente y sea IRM una cota superior de A

entonces, para todo IRx se tiene Mxx ++ 132 . Note que 45

M puesto que

)min(4

5 A= .

++ Mxx 132

+ Mx

4

52

32

+

+

4

52

32

Mx ++4

52

3 Mx

4

52

34

52

3++ + MxM

desigualdad que es valida para todo IRx . En particular si 4

5+= Mx se tiene

4

52

34

5++ + MM , lo cual implica un absurdo:

230 .

Por tanto A no es un conjunto acotado superiormente y por tanto no es acotado.

Ejercicio 2.

Sea

= INnn

B |1 . B es un conjunto acotado?

Solucin:

Para todo INn se tiene que 1n , lo cual implica que 11 n

. Por tanto B es un

conjunto acotado superiormente (1 es una cota superior de B), adems B1 y

)sup()max(1 BB == .

Por otro lado, se tiene que 01 >n

para cada INn , entonces B es un conjunto acotado inferiormente (0 es una cota inferior de B). Veamos que )inf(0 B= .

Sea IRb otra cota inferior de B. Si 0>b se tiene que n

b 1 para todo nmero

natural n ( por ser b cota inferior de B), lo cual implica que b

n1 para todo INn ,

por tanto existe un nmero real b

c1

= que es cota superior de IN , lo cual es absurdo ya

que IN no es un conjunto acotado superiormente.

De este modo, si b es cota inferior de B, se tiene que 0b , es decir 0)inf( =B .

Como B es un conjunto acotado superior e inferiormente se tiene que B es un conjunto acotado. Observe que si 1=M se satisface que: )1||)(( xBx .

Teorema 2

El extremo superior de un conjunto no vaco A (si existe) es nico.

Demostracin

Supongamos que existen M y N extremos superiores para un conjunto A, la propiedad b) implica que MN ya que M es extremo superior de A; anlogamente NM ya que N es extremo superior de A. Luego MN = .

Observacin 1

El teorema anterior nos dice que si existe extremo superior para un conjunto A, este es nico, por tanto es valido hablar de el extremo superior de A y notarlo por:

)sup(A .

Teorema 3

El extremo inferior de un conjunto no vaco A (si existe) es nico.

Demostracin: (Ejercicio para el lector)

Observacin 2

El teorema anterior nos dice que si existe extremo inferior para un conjunto A, este es nico, por tanto es valido hablar de el extremo inferior de A y notarlo por:

)inf(A .

Axioma del extremo superior

Todo conjunto no vaco A de nmeros reales acotado superiormente tiene extremo superior.

Observacin 3

El extremo superior de un conjunto no vaco A cuando existe, no pertenece necesariamente al conjunto A. En realidad:

)sup(A pertenece al conjunto A si y solo si A posee elemento mximo.

En tal caso se tiene: )max()sup( AA = .

Anlogamente, se tiene:

)inf(A pertenece al conjunto A si y solo si A posee elemento mnimo.

En tal caso se tiene: )min()inf( AA = .

Teorema 4

Todo conjunto no vaco A acotado inferiormente posee extremo inferior; esto es, existe un nmero real l talque )inf(Al =

Demostracin

Sea A el conjunto de los inversos aditivos de los elementos de A; { }AxxA = | . Entonces A es no vaci y acotado superiormente. Por el axioma de completitud, existe un elemento IRl que es el extremo superior de A. Adems )inf(Al = (ejercicio para el lector)

Teorema 5

Si A es un conjunto acotado superiormente y )sup(As = entonces,

))()(0( xsAx . Demostracin

Si existe )sup(Ax para todo Ax , entonces )sup(A sera una cota superior de A menor que el extremo superior. Por consiguiente => sAx )sup( por lo menos para un Ax .

Teorema 6

Si A es un conjunto acotado inferiormente y )inf(AI = entonces,

))()(0( + IxAx . Demostracin: (Ejercicio para el lector).

Teorema 7

El conjunto IN de nmeros naturales no est acotado superiormente.

Demostracin

Supongamos que IN est acotado superiormente. Como IN no es vaco, el axioma de completitud dice que IN tiene extremo superior, sea este b. El nmero 1b siendo menor que b, no puede ser cota superior de IN . Luego existe un mnimo entero positivo n tal que 1> bn . Para este n se tiene bn >+1 . Como n + 1 pertenece a IN , b no puede ser cota superior de IN .

Teorema 8

Para cualquier IRx , existe un INn talque xn > .

Demostracin

Si no fuera as, x sera una cota superior de IN , contradiciendo el teorema anterior.

Teorema 9 (Propiedad arquimediana del sistema de nmeros reales)

Si 0>x e IRy arbitrario, existe un INn tal que ynx > .

Demostracin

Como 0x , IRxyz = / , por el teorema anterior existe INn tal que xyzn /=> , lo cual implica ynx > ya que 0>x .

Teorema 10

Si tres nmeros reales arbitrarios a, x e y verifican la proposicin

)()(n

yaxaINn +

entonces ax = .

Demostracin

Si ax > el teorema 10 dice que existe un entero positivo n que satisface yaxn > )( en contradiccin con la hiptesis. Luego no puede ser ax > , y por tanto ax = .

Teorema 11 (Propiedad aditiva)

Dados dos subconjuntos no vacos A y B de IR, sea C el conjunto definido por:

{ }BbAabaC += | .

a) Si A y B estn acotados superiormente, entonces C est acotado superiormente y

)sup()sup()sup( BAC += .

b) Si A y B estn acotados inferiormente, entonces C est acotado inferiormente y

)inf()inf()inf( BAC +=

Demostracin: (Ejercicio para el lector).

EJERCICIOS

1. Dado

+

= INnn

nA |1

.

a) Es A un conjunto acotado? b) Existe el elemento mximo de A? c) Existe el elemento mnimo de A? d) Existe el sup (A)? e) Existe el inf (A)?

2. Dado ( ]5,3=A .

a) Es A un conjunto acotado? b) Existe el elemento mximo de A? c) Existe el elemento mnimo de A? d) Existe el sup (A)? e) Existe el inf (A)?

3. Sea { }2| 2

e) Existe el inf (A)?

4. Si x es un nmero real arbitrario, probar que existen enteros m y n tales que .nxm x , demostrar que existe un entero positivo n tal que xn c . Pruebe que el conjunto { }| cA cx x A= es acotado superiormente y que

)sup()sup( AccA = . Qu podra decirse si 0c . Pruebe que el conjunto { }A | = xcxcA es acotado inferiormente y que )inf()inf( AccA = . Qu podra decirse si 0

14. Dados A y B conjuntos no vacos de nmeros reales tales que ba para todo a en A y b en B. Demuestre o refute: a) Si B es acotado superiormente entonces A es acotado superiormente y

)sup()sup( BA . b) Si A es acotado inferiormente entonces B es acotado inferiormente y

)inf()inf( BA . c) Si A tiene extremo superior y B tiene extremo inferior entonces

)inf()sup( BA . d) Si A y B son conjuntos acotados )inf()inf()sup( BABA ++ e) Si A y B son conjuntos acotados 0)sup( BA