Encuentro Nacional de Jovenes Investigadores en MatematicasInstituto de Matematicas, Ciudad Universitaria, UNAM

Configuraciones y polinomios:estabilidad y conteos asintoticos

Rita Jimenez Rolland

Centro de Ciencias Matematicas, UNAM-Morelia

3 de Diciembre de 2015, Mexico D.F.

Aritmetica Topologıa

conteos/ estadısticas de cohomologıa depolinomios sobre Fq espacios de configuraciones

conteos asintoticos estabilidad de homologicasobre Fq y de representaciones

(terminos de error) (rango estable)

Objetivos:Describir los fenomenos de estabilidad

Ilustrar este “puente”

Espacios de configuraciones

El espacio de configuraciones de n puntos ordenados en C:

PConfn(C) = {(z1, . . . , zn) : zi ∈ C, zi 6= zj}

El espacio tiene simetrıas:

Sn actua permutando los puntos.¡La accion es libre!

El espacio de configuraciones de n puntos no ordenados en C:

Confn(C) := PConfn(C)/Sn = {{z1, . . . , zn} : zi ∈ C, zi 6= zj}

Configuraciones y polinomios

Vladimir Arnol’d estudio Confn(C) 1968

{z1, z2, . . . , zn} ∈ Confn(C)

m

p(z) = (z − z1)(z − z2) · · · (z − zn)

Conf1(C) ={

z + c : c ∈ C}

Conf2(C) ={

z2 + bz + c : b, c ∈ C y b2 − 4c 6= 0}

Confn(C) '

polinomios monicos de grado n

con coeficientes en Csin raıces repetidas

Configuraciones y polinomios

Vladimir Arnol’d estudio Confn(C) 1968

{z1, z2, . . . , zn} ∈ Confn(C)

m

p(z) = (z − z1)(z − z2) · · · (z − zn)

Conf1(C) ={

z + c : c ∈ C}

Conf2(C) ={

z2 + bz + c : b, c ∈ C y b2 − 4c 6= 0}

Confn(C) '

polinomios monicos de grado n

con coeficientes en Csin raıces repetidas

Trenzas y configuraciones

Joan Birman 1968

Familia de configuraciones en Confn(C)traza n cuerdas entrelazadas entre sı:

una TRENZA

El grupo fundamental

π1(Confn(C)

)es el grupo de trenzas Bn

H1(Confn(C);Z

)Dado un espacio topologico X

H1(X ;Z) :={

homomorfismos π1(X )→ Z}

H1(Confn(C);Z) := Hom(π1(Confn(C)

),Z) = Hom(Bn,Z)

A cada trenza en Bn queremos asignarle demanera natural un numero entero

f : Bn → Z

f(trenza

):= ındice total de la trenza

H1(Confn(C);Z) ≈ 〈f 〉 ≈ Z

Grupos de cohomologıa del grupo de trenzas

H0(Confn(C);Q) ≈ 〈 componentes conexas〉 ≈ Q

cuando n ≥ 1

H1(Confn(C);Q) ≈ H1(Confn(C);Z)⊗Q ≈ Q

cuando n ≥ 2Para i ≥ 2, H i(Confn(C);Q) ≈ 0

cuando n ≥ 1

Pregunta: ¿Como cambia H i(Confn(C);Q) cuando n crece?La dimension del espacio vectorial es eventualmente constante

¡NO depende de n!

El fenomeno de estabilidad homologica

DefinicionUna sucesion de espacios o grupos {Xn} satisface estabilidad homologica(sobre un anillo R) si para cada i ≥ 0

Hi(Xn;R) ≈ Hi(Xn+1;R)

cuando n >> i .

Ejemplos:

(Nakaoka 1961) Grupos Simetricos Sn

(Arnold 1968, Cohen 1972) Grupos de trenzas Bn = π1(Confn(C))(McDuff 1975, Segal 1979)Espacios de configuraciones en variedades abiertas

(Charney 1979, Maazen 1979, van der Kallen 1980)Grupos Lineales, Grupos Aritmeticos (como SLn(Z))(Harer 1985) “Mapping class groups” de superficies con frontera

(Hatcher 1995) Automorfismos de grupos libres Aut(Fn)

Configuraciones Ordenadas / Grupo de Trenzas Puras

H1(PConfn(C);Z) := Hom(π1(PConfn(C)

),Z) = Hom(Pn,Z)

Pn es el grupo de trenzas puras

ωi,j : (trenza pura) 7→ (# veces que la hebra i enrolla la hebra j

)ωi,j = ωj,i para 1 ≤ i 6= j ≤ n

Hay(n

2

)homomorfismos distintos que generan H1(PConfn(C);Z):

H1(PConfn(C);Q) = Q(n2)

Pregunta: ¿Como cambia H1(PConfn(C);Q) cuando n crece?

dim H1(PConfn(C);Q)→∞ cuando n→∞

¡¡NO hay estabilida (co)homologica!!

Alternativa: considerar las simetrıas del espacio

La accion de Sn en PConfn(C)induce una accion de Sn en H1(PConfn(C);Q).

Tenemos,{H1(PConfn(C);Q)

}n

es una sucesion de representaciones de Sn

Representaciones de Sn

representacion: Q-espacio vectorial con una accion lineal de Sn

subrepresentacion: subespacio invariante

irreducible: no tiene subrepresentaciones

Hecho: Cualquier representacion de Sn de dimension finita se descomponesobre Q en suma directa de representaciones irreducibles.

Dada una representacion V , queremos entendercomo se descompone en irreducibles.

Notacion

Las representaciones irreducibles de Snestan clasificadas por particiones de n.

Representaciones Particiones Notacionirreducibles de Sn de n uniforme

Representacion trivial Q n = n + 0 V (·)

Rep estandar Qn/Q n = (n − 1) + 1 V ( )∧ 2(Rep estandar) n = (n − 2) + 1 + 1 V ( )

∧ 3(Rep estandar) n = (n − 3) + 1 + 1 + 1 V ( )

¿Como se ve H1(PConfn(C);Q)?

H1(PConf2(C);Q) =V (·)

H1(PConf3(C);Q) =V (·)⊕V ( )

H1(PConf4(C);Q) =V (·)⊕V ( )⊕V ( )

H1(PConf5(C);Q) =V (·)⊕V ( )⊕V ( )

H1(PConf6(C);Q) =V (·)⊕V ( )⊕V ( )

H1(PConf7(C);Q) =V (·)⊕V ( )⊕V ( )

Pregunta: ¿Como cambia H1(PConfn(C);Q) cuando n crece?

H1(PConfn(C);Q) =V (·)⊕V ( )⊕V ( ) para n = 4, 5, 6, . . .

Estabilidad de representaciones

Definicion: Grosso modo...

Una sucesion de representaciones racionales {Vn} satisfaceestabilidad de representaciones uniforme

si la multiplicidad de las representaciones irreducibles en Vn eseventualmente constante e independiente de n.

Pregunta: ¿Como cambia H i(PConfn(C);Q) cuando n crece?

Teorema[Church-Farb, 2010] Para cada i ≥ 0, la sucesionH i(PConfn(C);Q

)satisface estabilidad de representaciones uniforme.

Otros ejemplos:

(Church 2011) Configuraciones ordenadas en cualquier variedad M

(Jimenez Rolland 2013) Espacios modulares, “mapping class group” puros

(Wilson 2014) Grupo de automorfismos simetricos puros, arreglos dehiperplanos y variedades bandera de tipo B

Polinomios con “otros”’ coeficientes

Hecho clasico:Confn es una variedad algebraica definida sobre Z.

Polyn :={

polinomios monicos de grado n} ∼= An

Confn = subvariedad de Polyn definido por los puntosdonde el discriminante no se anula

Para un campo K, los K-puntos

Confn(K) = polinomios monicos, de grado n, en K[T ]sin raıces repetidas

K = Fq v.s. K = C

Confn(Fq) v.s. Confn(C)

El “puente” entre topologıa y artimetica: ejemplo

La formula del punto fijo de Grothendieck-Lefschetz:

∑f∈Confn(Fq)

1 =n∑

k=0

(−1)kqn−k dimC Hk (Confn(C);C)

|Confn(Fq)| = qnPConfn(C)(−q−1)

Topologıa: (Arnol’d, F.Cohen)

Hk (Confn(C)) =

Q k = 0Q k = 10 k ≥ 2

Conteos sobre campos finitos: #Confn(Fq) = qn − qn−1

estabilidad homologica = “misma” formula para todo n

El “puente” entre topologıa y artimetica: ejemplo

X1(f ) := Numero de raıces en Fq de f ∈ Confn(Fq)

∑f∈Confn(Fq)

X1(f ) =∑k=0

(−1)kqn−k[ mult de Vn en Hk (PConfn(C);C)]

Vn := Cn con la accion de Sn que permuta las coordenadas.

Estabilidad de representaciones⇒ podemos tomar lımite

limn→∞ q−n∑f∈Confn(Fq)

X1(f ) =∑∞

k=0(−1)kq−k[ mult estable de Vn]

Topologıa:(Lehrer-Solomon)

〈X1,Hk (PConfn(C))〉Sn =

0 n ≤ k1 n = k + 12 n ≥ k + 2

Conteos sobre campos finitos:

limn→∞

∑f∈Confn(Fq ) X1(f )

|Confn(Fq)| = 1− 1q + 1

q2 − 1q3 + . . . =

( 12

)( q−1q+1

)

El “puente” entre topologıa y artimetica: ejemplo

X1(f ) := Numero de raıces en Fq de f ∈ Confn(Fq)

∑f∈Confn(Fq)

X1(f ) =∑k=0

(−1)kqn−k[ mult de Vn en Hk (PConfn(C);C)]

Vn := Cn con la accion de Sn que permuta las coordenadas.

Estabilidad de representaciones⇒ podemos tomar lımite

limn→∞ q−n∑f∈Confn(Fq)

X1(f ) =∑∞

k=0(−1)kq−k[ mult estable de Vn]

Topologıa:(Lehrer-Solomon)

〈X1,Hk (PConfn(C))〉Sn =

0 n ≤ k1 n = k + 12 n ≥ k + 2

Conteos sobre campos finitos:

limn→∞

∑f∈Confn(Fq ) X1(f )

|Confn(Fq)| = 1− 1q + 1

q2 − 1q3 + . . . =

( 12

)( q−1q+1

)

Estabilidad de representaciones y conteos asintoticos

Teorema (Grothendieck-Lefschetz, Artin, Lehrer, Kim,...)Sea q la potencia de un primo impar y χ una funcion de clase deWn,entonces

∑f∈YWn (Fq)

χ(f ) =n∑

k=0

(−1)kqn−k⟨χ,Hk (MWn(C);C)⟩Wn.

Theorem (Church–Ellenberg–Farb, J. R.–Wilson)Sea q la potencia de un primo impar y P polinomio de caracteres deWn, entonces

limn→∞

q−n∑

f∈YWn (Fq)

P(f ) =∞∑

k=0

(−1)kq−k limn→∞

⟨P,Hk (MWn(C);C

)⟩Wn.

y la serie converge.

Estabilidad de representaciones y conteos asintoticos

Teorema (Grothendieck-Lefschetz, Artin, Lehrer, Kim,...)Sea q la potencia de un primo impar y χ una funcion de clase deWn,entonces

∑f∈YWn (Fq)

χ(f ) =n∑

k=0

(−1)kqn−k⟨χ,Hk (MWn(C);C)⟩Wn.

Theorem (Church–Ellenberg–Farb, J. R.–Wilson)Sea q la potencia de un primo impar y P polinomio de caracteres deWn, entonces

limn→∞

q−n∑

f∈YWn (Fq)

P(f ) =∞∑

k=0

(−1)kq−k limn→∞

⟨P,Hk (MWn(C);C

)⟩Wn.

y la serie converge.

Gracias