confiabilidad

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http://opam.ing.uchile.cl Laboratorio de Gestión de Activos FísicosPhysical Asset Management Lab

IngenieríaMecánicaFACULTAD DE CIENCIASFISICAS Y MATEMATICASUNIVERSIDAD DE CHILE

© Rodrigo Pascual

Análisis de confiabilidad

25 de marzo de 2009

13 de agosto de 200827,31 de marzo de 2008, 7 de abril de 2008

16,17,22 de agosto de 2007

14 de marzo de 2007/23-25,30 de agosto de 2006/ 19-31 de agosto de 2005/1,6 de abril de 2005

1 de septiembre de 2004/5 de abril de 2004/ 4 de septiembre de 2003/16 de abril de 2003

PAM Labhttp://opam.ing.uchile.cl Laboratorio de Gestión de Activos FísicosPhysical Asset Management Lab


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Al terminar de leer este capitulo, podrás:

Conocer• Distribuciones usadas

en análisis de confiabilidad

Definir y calcular: • confiabilidad, • tasa de fallas

Evaluación

Síntesis

Análisis

Aplicación

Comprensión

Conocimiento



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Motivación

Diseño de un programa eficiente de mantenimiento comprensión de los fenómenos de falla

• Fallas– aleatorias,

Estudiaremos Ingeniería de la confiabilidad



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Objetivos

Reducir costo global• controlar y mejorar la confiabilidad,

Definir programas Preventivos predictivos

Reemplazo de equipos Agrupamiento de intervenciones

overhaul Indicadores …



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Dificultades

incertidumbre efectos de cambios en el

comportamiento Escasez de datos



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Tipos de intervenciones

Tipo Correctivas Preventivas

• M.P. Sistemático• centrado en la condición

Calidad Perfectas

• Como nuevo Mínimas

• Como antes Imperfectas

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Estimación no parámetrica de confiabilidad



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Confiabilidad

Edad

xx

xx

R(t)+F(t)=1

Un

idad



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Obs

Disponiendo de la tasa de fallas Numero esperado de fallas en un cierto

intervalo• Costos de falla asociados• Costos de intervención esperados

– presupuesto



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Observaciones

La probabilidad de que falle en un intervalo infinito es 1

F()=1



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Tasa de fallas

Edad

xx

xxU

nid

ad

t

(t) 2/4/t

t



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Densidad de probabilidad

Probabilidad condicional Sobrevivir hasta t Fallar en dt

f(t)dt R(t)dtP(Fallar durante dtdado que se sobrevivióhasta t)

P(sobrevivir hasta t)

P(Fallar durante dt)



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Observaciones

estimando (t)

confiabilidad del equipo

plazosde mantenimiento preventivo



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Métodos para estimar R a partir de historial de fallas

Estimar directamente de los

datos de falla, • R,

Sin censuras (suspensiones)

Tiempo calendario

(t)o

x

oo:preventivax:correctiva



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en el instante ti quedan n - i unidades

operando. i= 1 2 3 4

x x x x

tiempo

Edad



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Estimación inicial

Edad

x

xx

x

Edad

x

x

x

x

# in

divi

didu

o



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Por lo tanto,



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Obs

O sea, posibilidad nula de que

hayan unidades operando para t > tn.

poco probable que muestra incluya el

tiempo de supervivencia más largo,

• se subestima R



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Además,

Es razonable que las primeras y las

ultimas observaciones, • tengan la misma

distancia con respecto al 0% y 100% de posibilidad

– simetría

25% 100%

F=i/n



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Estimación de F (II)-rangos medios-

25% 100%

F=i/n

20% 80%

F=1/n

F=1/(n+1)



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III. rangos de la mediana

Importancia de las colas

t

25% 100%

20% 80%

F=i/n

F=i/(n+1)

16% 84%tablaF=(i-0.3)/(n+0.4)16% 84%

Rangos medianos aprox.



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MTTF

Edad (ut)

F

t

t

Integrando por partes,



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MTBF si estrategia correctiva

x x x xTBF1 TBF2 TBF3

R

tiempo calendarioTBF0



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MTBF si estrategia preventiva

Fuente: Barlow & Proschan, Matematical Theory of Reliability, SIAM, 1965.

xx

xx

xx

x

Tiempo calendario

N

Nuevo plan preventivo

1

MTBF(Ts)

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Distribuciones utilizadas en análisis de confiabilidad



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Distribuciones

1 parámetro Exponencial Poisson

2 parámetros Normal

3 parámetros Weibull

mas Bi-Weibull



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Distribución exponencial



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Tasa de fallas

tasa de fallas por unidad de tiempo

1/ tiempo medio entre fallas (MTBF)

• Para una pob. exponencial



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Distribución de Poisson

Describe numero de eventos aleatorios Parámetro

• promedio de eventos/intervalo de tiempo



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Poisson

probabilidad de que k eventos ocurran en el intervalo T:

m=T Valor esperado de x

tT

m



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En excel, POISSON(x;media;acumulado)

Probabilidad acumulada

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Ejemplo

Horas de seguimientoEquipo Stand-by Operación

1 2800 4002 300 25003 2700 7004 2500 8005 0 3100

total fallas 7 12



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Ejercicio

probabilidad de que una máquina no falle durante un día

si Promedio: 10 fallas/semana laboral (5

días)?

=10 fallas/semana laboral



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Solución

T:1 día

m=T



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Ejercicio

tasa de falla: 1/10000 fallas/ut; probabilidad de que falle entre las

200 y 300 ut?



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Solución

0,0001

=10-4 fallas/ut



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Ejemplo8

Calcule las tasa de fallas de los equipos.

total horas standby = 2800+300+2700+2500+0

= 8300

nro de fallas en modo standby = 7

tasa de fallas en modo standby =7

8300= 8:4E ¡ 4 fallas/ hora

total horas operación = 400+2500+700+800+3100

= 7500

nro de fallas en operación = 12

tasa de fallas en operación =12


tasa de falla global =7+12

8300+7500= 1:2E ¡ 3 fallas/ hora

tasa de falla promedio =8:4E ¡ 4+1:6E ¡ 3


Observación 2 Notese que la tasa de falla global y la tasa de falla promediono son necesariamente identicas. Si seestá interesado en usar un solo valor, latasa promedio es más usada.

Ejemplo 4 La tasa de falla puede ser calculada para cada tipo de falla si haydatos su…cientes.

Se recolectarion datos de falla de cuatro equipos similares en una plantaquimica, por 2500 horas c/ u. Se observaron 40 fallas. De ellas, 25 son fallasprimarias y 15 son fallas secundarias.

Calcule las tasas de falla.

Solution 6

total horas = 4£ 2500= 10000

nro total de fallas = 40

tasa de falla global =40

10000= 4E ¡ 3 fallas/ hora

nro de fallas primarias = 25

tasa de fallas primarias =25

10000= 2:5E ¡ 3fallas/ hora

nro de fallas secundarias = 15

tasa de fallas secundarias =15



1 2800 4002 300 25003 2700 7004 2500 8005 0 3100

total fallas 7 12

fallas/hora op.

Tiempo

Stand-byOp.



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Solución

8

Calcule las tasa de fallas de los equipos.

total horas standby = 2800+300+2700+2500+0

= 8300

nro de fallas en modo standby = 7

tasa de fallas en modo standby =7


total horas operación = 400+2500+700+800+3100

= 7500

nro de fallas en operación = 12

tasa de fallas en operación =12


tasa de falla global =7+12

8300+7500= 1:2E ¡ 3 fallas/ hora

tasa de falla promedio =8:4E ¡ 4+1:6E ¡ 3


Observación 2 Notese que la tasa de falla global y la tasa de falla promediono son necesariamente identicas. Si seestá interesado en usar un solo valor, latasa promedio es más usada.

Ejemplo 4 La tasa de falla puede ser calculada para cada tipo de falla si haydatos su…cientes.

Se recolectarion datos de falla de cuatro equipos similares en una plantaquimica, por 2500 horas c/ u. Se observaron 40 fallas. De ellas, 25 son fallasprimarias y 15 son fallas secundarias.

Calcule las tasas de falla.

Solution 6

total horas = 4£ 2500= 10000

nro total de fallas = 40

tasa de falla global =40

10000= 4E ¡ 3 fallas/ hora

nro de fallas primarias = 25

tasa de fallas primarias =25


nro de fallas secundarias = 15

tasa de fallas secundarias =15



1 2800 4002 300 25003 2700 7004 2500 8005 0 3100

total fallas 7 12

fallas/hora op.



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agregado



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Distribución Gaussiana

Densidad de probabilidad

m , media 2 , varianza



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Probabilidad acumulada



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Obs

F(x) se evalúa con cambio de variable



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Ejercicio

Decisión: ¿Que modelo de resistencia comprar?

Criterio: Duración de una resistencia

• P([420, 720])>= 95% Proveedor propone modelo:

MTTF• 600 horas

desviación standard• 120 horas

¿Recomienda el modelo?



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Solución



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tasa de falla definida por tramos

00

tiempo

(̧t)(̧t)

bt ub tt

a



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Confiabilidad



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Modelo de Dhillon

0 2 4 6 8 100.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

tiempo

(t)



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Ejemplo

componente confiabilidad

• linealmente decreciente

La confiabilidad es R(0)= 1 R(10000)=0

Calcule su MTBF.R

t

1

10000



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Ejemplo



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tasa de fallas constante-pob. exponencial-



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Ejemplo

Si = 2E-6 fallas/hora,

Calcule confiabilidad a las 500 horas de

operación MTBF



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a las 500 horas:• R(500) = exp(2E-6 * 500) = 0.999

MTBF = 1/2E-6 = 50000 horas



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Desgaste mecánico

Se evalúa numéricamente



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Ejemplo

Si b = 2E-6 fallas/h^2 a = 1E-7 fallas/h,

Calcule MTBF

edad



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en Maple: > MTBF:=int(exp(-(.5*1e-7*t^2+2e-6*t)),t=0..infinity);

MTBF = 3943 horas

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Mantenibilidad



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MantenibilidadTasa de reparación

Análogo Tasa de fallas:

Numero esperado de reparaciones por unidad de tiempo -reparaciones/unidad de tiempo-



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Ejemplo

Comp. A T TTRfalla 1 40.1 1.5falla 2 83 3.8

Comp. B T TTRfalla 1 41.4 1.3

Comp. C T TTRfalla 1 40.6 1.1falla 2 82 1.5

TTR time to repairT tiempo inicio fallaHorizonte 100unidades horas

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Confiabilidad de seres vivos



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Gompertz-Makeham

Fuente: L.A. Gavrilov, N.S. Gavrilova, Why We Fall Apart. Engineering'S Reliability Theory Explains Human Aging, IEEESpectrum, 41(9), 30-35, 2004.

Gompertz, B., On the nature of the function expressive of the law of human mortality and on a new mode of determininglife contingencies} Philos. Trans. Roy. Soc. London A 115, 513–585, 1825.

Makeham, W. M., On the law of mortality, J. Inst. Actuaries 13, 325-358, 1867.



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Fuente: L.A. Gavrilov, N.S. Gavrilova, Why We Fall Apart. Engineering'S Reliability Theory Explains Human Aging, IEEESpectrum, 41(9), 30-35, 2004.



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Gompertz-Makeham

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Weibull



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Distribución de Weibull

en estudios de confiabilidad sistemas mecánicos.

Ventajas muy flexible, adaptable a una variedad de

observaciones experimentales.



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Weibull de 3 parámetros

adimensionalut

ut

(t)=



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Tasa de fallas de Weibull

Edad del componente

t

=.5

=1

=3

=0=2



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Modelo de Weibull

3 parámetros

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

edad

=.5

=1

=3

=2



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Weibull



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Función Gamma



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Obs

caso = 0, = 1 exponencial

= 1/

Para > 3 distribución normal.



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Si =0



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Weibull Estimación grafica



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Estimación de F(t)

método de rangos medianos si la población es pequeña:

F(i) = (i – 0.3)/(n + 0.4) método de rangos medios: F(i) = i/(n + 1) i :indice de la observación (ti < ti+1).



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Aplicación practica

1. Obtener n observaciones, ordenar2. Estimar la función de distribución

F(t)3. Calcular pares (X,Y)4. Graficar5. Ajustar la mejor recta



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Weibull

Si 0 cambio de variable,

• t’=t-



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Curva de Weibull para > 0

ln t

Y

Zona imposible



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Ejemplo, población de componentes

Un grupo de rodamientos tuvieron las siguientes duraciones:

801 312 402 205 671 1150 940 495 570

Se desea conocer la confiabilidad para una vida de 600 horas y el MTTF.

Hace en excel



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5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

log t

ln(ln

(1/R

))



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En maple

>MTBF=716*GAMMA(1+1/1.79) Entonces MTTF = 636.9 horas



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Gamma negativoPredesgaste

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

ln t

ln(l

n(1

/R))

t

t'

t t' F,F' x x' y1 11 1 11% 2.4 0.0 -2.22 22 12 27% 3.1 2.5 -1.23 34 24 42% 3.5 3.2 -0.64 42 32 58% 3.7 3.5 -0.15 50 40 73% 3.9 3.7 0.36 61 51 89% 4.1 3.9 0.8

gamma-10



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Ejemplo 0 , vida de componentes0 . 1 1 . M O D E L O S D E C O N F I A B I L I D A D 2 1

i V i d a F ( i ) ( % )1 2 1 7 5 52 2 8 0 0 1 03 3 3 0 0 1 54 3 8 0 0 2 05 4 2 5 0 2 56 4 6 5 0 3 07 5 2 5 0 3 58 5 8 4 0 4 09 6 3 0 0 4 51 0 6 7 0 0 5 01 1 7 1 5 0 5 51 2 7 8 0 0 6 01 3 8 5 0 0 6 51 4 9 2 0 0 7 01 5 1 0 5 0 0 7 51 6 1 1 0 0 0 8 01 7 1 2 6 0 0 8 51 8 1 4 0 0 0 9 01 9 1 5 8 0 0 9 5

T a b l a 2 : D a t o s d e l e j e r c i c i o

7.5 8 8.5 9 9.5 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

log t

log(lo

g(1/(1

-F)))

=0

./me57a/datos/datos-conf1.xls4650,5250,5840,6300,6700,7150,2800,3300,3800,4250,11000,12600,14000,15800,9200,10500,2175,7800,8500



© Rodrigo Pascual

Ajuste para =0

7.5 8 8.5 9 9.5 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

log t

log(

log(

1/(1

-F))

)

=0



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Estudio

800 900 1000 1100 1200 1300 14000.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

norm

a de

l vec

tor r

esid

uo mínimo

|Ax-B|

·

Obs: gamma puedeSer negativo



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Ajuste óptimo

6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

log t

log(

log(

1/(1

-F)))

=1280

7.5 8 8.5 9 9.5 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

log t

log(

log(

1/(1

-F)))

=0

✔



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Verificación de modelos

al imponer una ley se incurre en algún error,

queremos que el riesgo sea menor: definimos el nivel de confianza

probabilidad de que el modelo sea erróneo.



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Test 2

Condición al menos n = 50 observaciones.



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Pasos

1. Se agrupan las observaciones. Debe haber al menos 5 observaciones

en cada grupo. Los intervalos para definir los grupos no

son necesariamente de la misma longitud.



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Test 2

El test se basa en diferencias entre

• nro de observaciones en cada grupo y • nro pronosticado

– por la ley seleccionada.



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Test 2

E tiene una distribución 2 con grados de libertad: = r - k - 1

donde k = 1 para la ley exponencial, k = 2 para la ley normal, k = 3 para la ley de Weibull



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Ejemplo

Supóngase que para un grupo de equipos similares se han observado los siguientes TBF:

24

i TBF (horas) ni

1 0-500 72 500-1000 83 1000-1500 94 1500-2000 105 2000-2500 126 2500-3000 8P

54

Tabla 3: Grupos de…nidos para el test

Observación 5 n ¢pi es el numero de onservaciones exceptuadas del i-esimo grupo, según la ley propuesta.

E tieneuna distribución Â2 con À grados de libertad:

À = r ¡ k ¡ 1

dondek = 1 para la ley exponencial,k = 2 para la ley normal,k = 3 para la ley deWeibullSe tieneentonces que

P (E ¸ Â2À;1¡ ® = 1¡ ®

y la hipotesis deque las observaciones siguen la ley propuesta es rechazada si

E > Â2À;1¡ ®

Ejemplo 16 Supongase que para un grupo de equipos similares se han obser-vado los siguentes TBF :

Hicimos la hipotesis de que la con…abilidad de los equipos sigue una ley ex-ponencial. El ajuste dió una tasa de fallas ¸ = 1=1600 fallas/ hora. Se desearealizar un test con nivel de signi…cancia ®= 0:05.

De acuerdo a la ley propuesta,

R(t) = e¡ t1600

La probabilidad de queuna observación caiga en los grupos de…nidos en la tabla3 es

pi = R(ti ) ¡ R(ti+1)

Según las observaciones

n = 54

n=



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Ejemplo

Hipótesis ley exponencial. tasa de fallas = 1/1600 fallas/hora.

Se desea realizar un test confianza 95%



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Ejemplo

n = 54 = 6 - 1 - 1 = 4 tabla 2 entrega

(4;0.95) = 9.49 en Matlab

>> chi2inv(0.95,4)

Ver tabla



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Test Kolmogorov-Smirnov (KS)

se puede aplicar para cualquier numero de observaciones n.

si n es grande mejor agrupar las observaciones y

• usar el test 2 .



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Test KS

compara la función de distribución experimental

con El modelo propuesto

se usan valores absolutos de las diferencias

entre punto y punto.



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Kolmogorov-Smirnov

Sea la distribución muestreada y F(t) la distribución propuesta.

La discrepancia para ti es:



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Kolmogorov-Smirnov

Puede demostrarse que la distribución de Dn = max(Dni ) depende solo de n; y se puede escribir



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Ejemplo

Evidencia TBF (días):

• 23,16,56,71,4,25,51,30

Modelo Gaussiana media 34 desviación standard 22,

Test con = 5%?



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Probabilidad según población hipotética

P(t < 4) = P ((4 - 34)/22)= 0.086

En Excel =DISTR.NORM.ESTAND((4-34)/22)



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Kolmogorov-Smirnov

Según la tabla Dn = 0.127

Dn, para n = 8, = 0.05 es D8,0.05 = 0.457

se acepta la hipótesis.



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Kolmogorov-Smirnov

0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Edad (ut)

Pro

ba

bili

da

d a

cum

ula

da

de

fa

lla



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Un viejo resistente

Frustrado derrumbe: el puente Huaquén resiste 800 cargas de amongelatina No se quiso desplomar ayer el puente Huaquén, El ministro de Obras Públicas, Sergio Bitar, viajó hasta el kilómetro 171,9 de la Ruta 5 Norte a presenciar el supuesto derrumbe, y admitió que se "subestimó" la fortaleza del viaducto Huaquén. Fuente: El Mercurio, 08/03/2009



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00.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Vida remanente esperadaConfiabilidad condicional

R

Edad

t0

t



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Vida remanente esperadaProbabilidad condicional

Dado 1

Dado 2 1 2 3 4 5 6

1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

Antes de lanzar el 1er dado,

Dado 1

Dado 2 1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 1/6 0 0

2 0 0 0 1/6 0 0

3 0 0 0 1/6 0 0

4 0 0 0 1/6 0 0

5 0 0 0 1/6 0 0

6 0 0 0 1/6 0 0

Después, si salió un 4

P(A)=1/36 P(A/B)=(1/36)/(1/6)=1/6

A:”Salen 2 cuatros” B:”Sale un 4 en el 2do dado”



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Vida remanente esperada

Confiabilidad condicional probabilidad que el

componente sobreviva t ut mas

dado que • ha sobrevivido t0 ut

desde que estaba como nuevo

ut:unidad de tiempo



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Maple

>beta:=0.5;eta:=100;t0:=1.5*eta*GAMMA(1+1/beta);> f0:=beta/eta*((t+t0)/eta)^(beta-1)*exp(-((t+t0)/eta)^beta)/exp(-(t0/eta)^beta);>MRL:=int(t*f0,t=0...infinity);

> plot(exp(-((t+t0)/eta)^beta)/exp(-t0/eta)^beta),t=0..2*t0);



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Aporte 2007-II

Gompertz-MakehamMaple

restart; t0:=15;lambda0:=.003;lambda1:=.075;alpha:=0.02; x:=t*(((lambda0+lambda1*exp(alpha*(t+t0)))...*exp(-

((lambda0*alpha*(t+t0)+lambda1*(exp(alpha*(t+t0))-1))/alpha)))/...(exp(-((lambda0*alpha*t0+lambda1*(exp(alpha*t0)-1))/alpha))));

MRL:=int(x,t=0..1e4);



© Rodrigo Pascual

Mantenimiento preventivo y confiabilidad condicional

Sistema reparable MP: cada T ut

0 5 10 15 20 25 300.8

0.85

0.9

0.95

1

Tiempo acumulado (ut)

Co

nfia

bili

da

d



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=2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Co

nfia

bili

da

d

Sin MPMP (solo ciclo actual)MP (ciclos acumulados)



© Rodrigo Pascual

=0.7

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Co

nfia

bili

da

d

Sin MPMP (solo ciclo actual)MP (ciclos acumulados)



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Comentarios

R(t) MTBF (t) MTTR , Weibull vida asegurada/

predesgaste vida remanente

esperada confiabilidad

condicional

Datos históricos (sin suspensiones)

Análisis deconfiabilidad

Edad

✔



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Bibliografía

R. Pascual. El Arte de Mantener (draft). Universidad de Chile, 2009

P. Lyonnet. Maintenance Planning, Methods and Mathematics. Chapman & Hall, 1991.

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