Conferencia Fractales Fundación Universitaria Konrad Lorenz

8/14/2019 Conferencia Fractales Fundacin Universitaria Konrad Lorenz

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Teora del Caos, GeometraTeora del Caos, Geometra

Fractal y AplicacionesFractal y AplicacionesIng. Pervys Rengifo RengifoIng. Pervys Rengifo Rengifo

Ing. Carlos Alfonso VelascoIng. Carlos Alfonso Velasco

ForeroForero

FUNDACIN UNIVERSITARIA KONRADFUNDACIN UNIVERSITARIA KONRAD

LORENZLORENZ


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Aspectos a TratarAspectos a Tratar

s Teora del CaosTeora del Caoss Geometra tradicionalGeometra tradicionals Monstruos GeomtricosMonstruos Geomtricoss Concepto de DimensinConcepto de Dimensins FractalesFractaless Dimensin FractalDimensin Fractals Mtodos de GeneracinMtodos de Generacins Algunas AplicacionesAlgunas Aplicaciones


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Teora del CaosTeora del Caos

La Teora del Caos permite deducir el ordenLa Teora del Caos permite deducir el orden

subyacente que ocultan fenmenossubyacente que ocultan fenmenos

aparentemente aleatorios. Se sabe queaparentemente aleatorios. Se sabe que

ecuaciones totalmente deterministas (como elecuaciones totalmente deterministas (como el

set de Lorenz) presentan las siguientesset de Lorenz) presentan las siguientes

caractersticas que definen el Caos:caractersticas que definen el Caos:


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s Son deterministas, es decir:Son deterministas, es decir:

Existe una "ley" que gobierna la conductaExiste una "ley" que gobierna la conductadel sistema .del sistema .

s Tienen una extrema sensibilidad a las Tienen una extrema sensibilidad a lascondiciones iniciales, lo cual implica que elcondiciones iniciales, lo cual implica que elcomportamiento del sistema secomportamiento del sistema seindetermina a partir de cierto "Horizonteindetermina a partir de cierto "Horizontede Predicitibilidad"de Predicitibilidad"

s

A pesar de la impredictibilidad de unaA pesar de la impredictibilidad de unatrayectoria particular del Espacio de Fase,trayectoria particular del Espacio de Fase,se pueden encontrar "Atractores" o zonasse pueden encontrar "Atractores" o zonasdel Espacio de Fase que tienden a serdel Espacio de Fase que tienden a ser"visitadas" con mayor frecuencia que"visitadas" con mayor frecuencia que

otras.otras.


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EL EFECTO MARIPOSAEL EFECTO MARIPOSA

s El batir de las alas de una simpleEl batir de las alas de una simplemariposa hoy produce un minsculomariposa hoy produce un minsculocambio en el estado de la atmsfera.cambio en el estado de la atmsfera.

Durante un periodo de tiempo, laDurante un periodo de tiempo, laatmsfera en efecto divergira de lo queatmsfera en efecto divergira de lo quehabra hecho. Por tanto, en el tiempo dehabra hecho. Por tanto, en el tiempo deun mes, un tornado que habraun mes, un tornado que habradevastado la costa de Indonesia no tuvodevastado la costa de Indonesia no tuvolugar. O puede que si no fuese alugar. O puede que si no fuese asuceder, lo hiciera. (Ian Stewart, Juegasuceder, lo hiciera. (Ian Stewart, JuegaDios a los dados? Las Matemticas delDios a los dados? Las Matemticas delCaos, pgina 141)Caos, pgina 141)


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EL EFECTO MARIPOSAEL EFECTO MARIPOSA

s Por culpa de un clavo, se pierde laPor culpa de un clavo, se pierde laherradura,herradura,

Por culpa de la herradura se pierde elPor culpa de la herradura se pierde elcaballo,caballo,Por culpa del caballo, se pierde el jinete,Por culpa del caballo, se pierde el jinete,Por culpa del jinete, se pierde elPor culpa del jinete, se pierde el

mensaje,mensaje,Por culpa del mensaje, se pierde laPor culpa del mensaje, se pierde labatalla,batalla,Por culpa de la batalla, se pierde elPor culpa de la batalla, se pierde el

Reino.Reino.


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Ecuacin logstica:Ecuacin logstica:X(n+1)=K*X(n)*[1-X(n)]X(n+1)=K*X(n)*[1-X(n)]


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SISTEMAS DINMICOS YSISTEMAS DINMICOS YFRACTALESFRACTALES

La geometra fractal y la teora de los sistemas

dinmicos estn ntimamente ligados, ya que la regin

del espacio hacia la que tienden asintticamente unarbita catica tiene estructura fractal(conocidos como

atractores extraos). Por tanto, la geometra fractal

permite estudiar el soporte sobre el que se definen los

sistemas dinmicos caticosMoon, F.C Chaotic and Fractal Dynamics. John Wiley,

1992


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Geometra TradicionalGeometra Tradicionals Es la geometra utilizada normalmente.Es la geometra utilizada normalmente.s Tambin llamada Geometra Euclidiana.Tambin llamada Geometra Euclidiana.s Se basa en los axiomas presentados enSe basa en los axiomas presentados en

Los Elementos alrededor del ao 250Los Elementos alrededor del ao 250A.C.A.C.

s Agrupa a las figuras geomtricas msAgrupa a las figuras geomtricas ms

conocidas como lneas, tringulos,conocidas como lneas, tringulos,crculos, cuadrados, esferas, polgonos,crculos, cuadrados, esferas, polgonos,poliedros, etc.poliedros, etc.

s Estas figuras son realizadas con regla yEstas figuras son realizadas con regla ycomps.comps.


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Monstruos GeomtricosMonstruos Geomtricos

A fines del siglo XIX aparecen figurasA fines del siglo XIX aparecen figurasque no cumplen los fundamentosque no cumplen los fundamentos

de la geometra euclidiana.de la geometra euclidiana.s 1883, Conjunto de Cantor1883, Conjunto de Cantors 1890, Curva de Peano1890, Curva de Peanos 1904, Curva e Isla de Koch1904, Curva e Isla de Kochs 1916, Tringulo de Sierpinski1916, Tringulo de Sierpinski


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Conjunto de CantorConjunto de CantorGeorge Cantor (1845-1918)George Cantor (1845-1918)


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Curva de KochCurva de KochNiels Fabian Helge von Koch (1870-1924)Niels Fabian Helge von Koch (1870-1924)


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Curva de KochCurva de Koch


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s a e oc o opo es a e oc o opo eNieveNieve


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Tringulo de SierpinskiTringulo de SierpinskiWaclaw Sierpinski (1882-1962)Waclaw Sierpinski (1882-1962)


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QUE HACER AHORA?


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Concepto de DimensinConcepto de Dimensin

La idea convencional se refiere alLa idea convencional se refiere alnmero de coordenadasnmero de coordenadas

necesarias para definir un objeto:necesarias para definir un objeto:Lnea : una (Largo)Lnea : una (Largo)

Plano : dos (Largo y Ancho)Plano : dos (Largo y Ancho)

Volumen : tres (Largo, Ancho yVolumen : tres (Largo, Ancho yProfundo)Profundo)

P i P i


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PoincarPoincar


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Cmo determinar laCmo determinar la

Dimensin de cualquierDimensin de cualquierobjeto geomtrico?objeto geomtrico?


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N=L/r=(L/r)1

N=L2

/r2

=(L/r)2

N=L3/r3=(L/r)3


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Dimensin de SemejanzaDimensin de Semejanza

s Subdivisin de las figuras enSubdivisin de las figuras enobjetos ms pequeos peroobjetos ms pequeos perogeomtricamente similares algeomtricamente similares alinicial.inicial.

s

N=(L/r)N=(L/r)DD

sDDSS= Log (N) / Log (L/r)= Log (N) / Log (L/r)


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Conjunto de CantorConjunto de Cantor

D=Log(2)/Log(1/(1/3))=0.63093

L=1

N= 2

r=1/3


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Un Concepto AvanzadoUn Concepto Avanzadode Dimensinde Dimensin

La Dimensin de Hausdorff-La Dimensin de Hausdorff-BesicovitchBesicovitch

Felix Hausdorff (1868-1942)Felix Hausdorff (1868-1942)

s Permite la determinacin de laPermite la determinacin de la

dimensin de un objeto.dimensin de un objeto.

s Puede ser de tipo no entero.Puede ser de tipo no entero.s Es la definicin de dimensin msEs la definicin de dimensin ms

general.general.


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CONJUNTOSCONJUNTOSFRACTALESFRACTALES

Benoit B. MandelbrotBenoit B. Mandelbrot(1924 - )(1924 - )

(La Geometra Fractal de la(La Geometra Fractal de laNaturaleza, 1982)Naturaleza, 1982)


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FRACTALFRACTAL

s El trmino fue concebido porEl trmino fue concebido porMandelbrot, a partir del adjetivoMandelbrot, a partir del adjetivo

latino FRACTUS que significalatino FRACTUS que significafragmentado e irregular.fragmentado e irregular.

s Mandelbrot mostr las ventajas deMandelbrot mostr las ventajas de

utilizar los monstruosutilizar los monstruosgeomtricos para representargeomtricos para representarfenmenos naturales.fenmenos naturales.


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DEFINICIN DE FRACTALDEFINICIN DE FRACTAL

s ... un Conjunto cuya dimensin de... un Conjunto cuya dimensin deHausdorff-Besicovitch esHausdorff-Besicovitch esestrictamente mayor que suestrictamente mayor que su

dimensin tradicional. (1982)dimensin tradicional. (1982)s ... es una forma hecha de partes... es una forma hecha de partes

semejantes al todo de algunasemejantes al todo de alguna

manera. (1988)manera. (1988)s La Dimensin Fractal es laLa Dimensin Fractal es la

Dimensin de Hausdorff-Dimensin de Hausdorff-

Besicovitch.Besicovitch.


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Curva de KochCurva de Koch

D=Log(4)/Log(1/(1/3))

=1.26186


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Tringulo de SierpinskiTringulo de Sierpinski

D=Log(3)/Log(1/(1/2))=1.58D=Log(3)/Log(1/(1/2))=1.58

4949


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Curva de PeanoCurva de Peano

D=Log(9)/Log(1/(1/3))=2


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Mtodos de GeneracinMtodos de Generacin

s Sistemas de Funciones IteradasSistemas de Funciones Iteradas(IFS)(IFS)

s Sistemas LSistemas Ls Algoritmos por Tiempo de EscapeAlgoritmos por Tiempo de Escapes Autmatas CelularesAutmatas Celularess Redes NeuronalesRedes Neuronaless . . .. . .


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El Conjunto de


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El Conjunto deMandelbrot (M-Set)

Conjunto Nmeros Complejos Iteracin zz11 = z= z0022 + c+ c

IteracionesIteraciones

zz22 = z= z1122 + c+ c

zz33 = z= z2222 + c+ c

zz44 = z= z3322 + c+ c

zz55 = z= z4422 + c+ c

Todos los Z y C son nmeros complejos Z0 es el inicializador

La sucesin formada por Z0,Z1, Z2, Z3Zn

Se denomina la ORBITA deZ0 bajo la iteracin zz22 + c+ c

Las rbitas pueden converger o diverger.

Definicin del Conjunto de Mandelbrot

El conjunto Mandelbrot M, consiste de todos aquellos valores (complejos)de c cuyas rbitas de 0 bajo z2 + c correspondientes no escapan al infinito

M-Set= {c / rbita de 0 en ZM-Set= {c / rbita de 0 en Z22 + c converge}+ c converge}

Importante: En M-Set siempre interesa estudiar la rbita de Z0 = 0


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CONJUNTOS DE JULIA

En el plano complejo

Zn+1=Zn2+C

Cada valor de C determina un conjunto de

Julia, que est formado por los Zo cuyasrbitas convergen.


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CONJUNTOS DE JULIA

Diferentes Tipos de FractalesDiferentes Tipos de Fractales


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Diferentes Tipos de FractalesDiferentes Tipos de Fractales

FractalesFractales

LinealesLineales

Autosimilitud Perfecta

Dimensin Fractal fcil decalcular con: S =S = LLDD

Se crean a partir de:-Un generador

-Un algoritmo de repeticin

Ejemplo: Tringulo de Cantor y

Trigulo de Sierpinski

ComplejosComplejos

Autosimilitud Estadstica

Dimensin Fractal difcil decalcular. Se requiere software.Mtodo: Box Couting

Se crean a partir de:-Un Z

0

-Iteraciones en el Plano Complejo

Ejemplo: Conjunto deMandelbrot, Conjunto de Julia

CaticosCaticos

Poseen estructura Fractal.Autosimilitud Estadstica

Se requieren mtodos demedicin ms complejos que laDimensin Fractal.

Se generan a partir de sistemas de

Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo: Atractor de LorentzModela el Clima Meteorolgico

Son los objetos geomtricosde la Teora del Caos


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PARA QUEPARA QUESIRVESIRVE

TODOTODOESTO?ESTO?


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APLICACIONESAPLICACIONES

APLICACIONESAPLICACIONES


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APLICACIONESAPLICACIONESs SERIES DE TIEMPOSERIES DE TIEMPO

s INTERPOLACIN FRACTALINTERPOLACIN FRACTALs SIMULACIN DE SUPERFICIESSIMULACIN DE SUPERFICIESs ASTRONOMAASTRONOMA

s FRAGMENTACINFRAGMENTACINs SISMICIDADSISMICIDADs EN MEDIOS POROSOSEN MEDIOS POROSOSs

PROCESOS DE AGREGACINPROCESOS DE AGREGACINs CUENCAS HIDROGRFICASCUENCAS HIDROGRFICASs TURBULENCIATURBULENCIAs

OTRAS ...OTRAS ...


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INTERPOLACIN FRACTALINTERPOLACIN FRACTAL

s Aprovecha las capacidades deAprovecha las capacidades deanlisis de lneas irregulares.anlisis de lneas irregulares.

s Puede caracterizar series de datosPuede caracterizar series de datospor medio de la dimensin fractal.por medio de la dimensin fractal.

s Aplicable a series de precipitacin,Aplicable a series de precipitacin,

series de caudales, propiedadesseries de caudales, propiedadesmecnicas de los suelos ymecnicas de los suelos ymateriales.materiales.


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0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7

0

5

10

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20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7


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S fi iS fi i


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SuperficiesSuperficies

s Ampliacin de la interpolacinAmpliacin de la interpolacinfractal.fractal.

s Modelar terrenos y camposModelar terrenos y campos

bidimensionales de diferentesbidimensionales de diferentesmedidas como velocidad,medidas como velocidad,porosidad, etc.porosidad, etc.

s Se puede variar la rugosidad de laSe puede variar la rugosidad de lasuperficie generada.superficie generada.

s Se pueden interpolar datos realesSe pueden interpolar datos reales

topogrficostopogrficos


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FRAGMENTACINFRAGMENTACIN

Estudio de patrones de fracturamientoEstudio de patrones de fracturamientode los materiales en todas lasde los materiales en todas lasescalas:escalas:

s Microfisuras en el concreto.Microfisuras en el concreto.s Fracturas en materiales a tensin.Fracturas en materiales a tensin.s Fisuramiento del pavimento.Fisuramiento del pavimento.s Grandes fracturas geolgicas.Grandes fracturas geolgicas.

Elaboracin de modelos deElaboracin de modelos de


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SISMICIDADSISMICIDAD

s Conexin matemtica entre laConexin matemtica entre laRelacin de Guttemberg-Ritcher yRelacin de Guttemberg-Ritcher y

las distribuciones fractales.las distribuciones fractales.s Distribucin Frecuencia-MagnitudDistribucin Frecuencia-Magnitud

de los sismos mundiales D=2de los sismos mundiales D=2

s Para Colombia con Sismos de 1998Para Colombia con Sismos de 1998se comprob que D=1.9592se comprob que D=1.9592


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EN MEDIOS POROSOSEN MEDIOS POROSOS

s Anlisis y Simulacin de procesosde percolacin, invasin-

percolacin y digitacin viscosa.s La dimensin fractal es un

parmetro que caracteriza estos

fenmenos.s Aplicable en estudios de flujo de

agua subterranea, explotacin de

petrleo y contaminacin de


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AGREGACIN FRACTALAGREGACIN FRACTAL

s Anlisis de fenmenos deagregacin de partculas tiles en

los procesos de coagulacin,floculacin y sedimentacin para laobtencin de agua potable.

s

Modelos de Difusin porAgregacin Limitada (DLA)

CUENCASCUENCAS


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HIDROGRFICASHIDROGRFICAS

s Simular geomtricamentediferentes patrones de drenaje.

Cuencas de Peano.s Relaciones entre los sistemas de

ordenamiento de corrientes

tradicionales (de Horton y deStrahler) y la dimensin fractal delas redes de drenaje.


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TURBULENCIATURBULENCIA

Los torbellinos grandes tienenLos torbellinos grandes tienen

torbellinitostorbellinitosQue se nutren de su velocidad,Que se nutren de su velocidad,

Y los torbellinos tienen torbellinosY los torbellinos tienen torbellinos

menoresmenoresY as en adelante hasta la viscosidad.Y as en adelante hasta la viscosidad.


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OTROSOTROSs Compresin Fractal de Imgenes.Compresin Fractal de Imgenes.s Anlisis de Trfico Vehicular.Anlisis de Trfico Vehicular.s Estudio de Lneas Costeras.Estudio de Lneas Costeras.s Patologa de Estructuras.Patologa de Estructuras.s Anlisis de Olas Martimas.Anlisis de Olas Martimas.s

Aparicin de Sismos.Aparicin de Sismos.s MULTIFRACTALES.MULTIFRACTALES.s . . .. . .


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AGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOS

s FUNDACIN UNIVERSITARIAFUNDACIN UNIVERSITARIAKONRAD LORENZKONRAD LORENZ


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INFORMACIN ADICIONALINFORMACIN ADICIONAL

s Pervys Rengifo y Carlos VelascoPervys Rengifo y Carlos Velasco

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