Conf 21 Ajuste No Lineal QR 1s 2015 (2)

Recordatorio Ajuste exponencial Descomposición QR

Ajuste mínimo cuadrático de curvas

Métodos Numéricos

Prof. Juan Alfredo GómezConferencia 21

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Conferencia 21

1 RecordatorioMotivaciónAjuste linealAjuste polinomial

2 Ajuste exponencial

3 Descomposición QR

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Puntos de una función sujetos a perturbaciones

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Polinomio de interpolación de Lagrange

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Función linal con perturbaciones aleatorias

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Comparación de ambas metodologías

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Problema de mínimos cuadrados

De�nición en el caso de una recta

Dada una colección de datos {(xi , yi )}mi=1 encontrar los coe�cientes de larecta y = a0 + a1x que mejor aproxima esos datos de acuerdo a la normacuadrática:

min→ E2(a0, a1) =m∑i=1

[yi − (a0 + a1xi )]2

De las condiciones de optimalidad

2∑m

i=1(yi − (a0 + a1xi )(−1) = 0

2∑m

i=1(yi − (a0 + a1xi )(−xi ) = 0

obtenemos la ecuación normal ∑m

i=11

∑m

i=1xi∑m

i=1xi

∑m

i=1x2i

a0

a1

=

∑m

i=1yi∑m

i=1xiyi

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Problema de mínimos cuadrados

De�nición en el caso de una polinomios

Dada una colección de datos {(xi , yi )}mi=1 encontrar los coe�cientes de unafunción polinomial

Pn(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn

con grado n < m − 1 que mejor aproxima los datos de acuerdo a la normacuadrática:

min→ E2 =m∑i=1

[yi − Pn(xi )]2 =

m∑i=1

yi − 2

m∑i=1

Pn(xi )yi +m∑i=1

(Pn(xi ))2

Condiciones de optimalidad de primer orden:

0 =∂E2

∂aj= −2

∑m

i=1yix

ji + 2

∑n

k=0ak

∑m

i=1xj+ki , j = 0, . . . , n

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Ecuaciones Normales

Reescribiendo las condiciones de optimalidad

−2∑m

i=1yix

ji + 2

∑n

k=0ak

∑m

i=1xj+ki = 0, j = 0, . . . , n

obtenemos las Ecuaciones normales

∑m

i=1x0i

∑m

i=1x1i · · ·

∑m

i=1xni∑m

i=1x1i

∑m

i=1x2i · · ·

∑m

i=1xn+1

i

.

.

....

. . ....∑m

i=1xni

∑m

i=1xn+1

i · · ·∑m

i=1x2ni

a0

a1

.

.

.

an

=

∑m

i=1yix

0

i∑m

i=1yix

1

i

.

.

.∑m

i=1yix

ni

Observación

Las ecuaciones normales en el caso de ajuste polinomial tienen soluciónúnica siempre que los xi sean distintos.

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Aspectos generales

Motivación

En ciertos casos es apropiado asumir que los datos tienen una dependenciaexponencial del tipo y = beax o del tipo y = bxa.

El problema de mínimos cuadrados asociado

Se minimizan en cada caso las funciones

E =∑m

i=1[yi − beaxi ]2; E =

∑m

i=1[yi − bxai ]

2

Ecuaciones normales no lineales!

2∑m

i=1(yi − beaxi )(−eaxi ) = 0

2∑m

i=1(yi − beaxi )(−bxieaxi ) = 0

y en el otro caso:

2∑m

i=1(yi − bxai )(−xai ) = 0

2∑m

i=1(yi − bxai )(−b(ln xi )xai ) = 0

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Mínimos cuadrados logarítmicos

Idea alternativa

Si los datos son exponenciales, aplicar un ajuste de mínimos cuadradoslineal considerando el logaritmo de las ecuaciones aproximantes, o sea:

y = beax ! ln y = ln b + ax

y = bxa ! ln y = ln b + a ln x

Ecuaciones Normales (caso y = beax)

ln b =(∑m

i=1 x2i )(∑m

i=1 ln yi )−(∑m

i=1 xi (ln yi ))(∑m

i=1 xi )m(

∑mi=1

x2i )−(

∑mi=1

xi )2

a =m(

∑mi=1 xi (ln yi ))−(

∑mi=1 xi )(

∑mi=1 ln yi )

m(∑m

i=1x2i )−(

∑mi=1

xi )2

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Mínimos cuadrados logarítmicos

Idea alternativa

Si los datos son exponenciales, aplicar un ajuste de mínimos cuadradoslineal considerando el logaritmo de las ecuaciones aproximantes, o sea:

y = beax ! ln y = ln b + ax

y = bxa ! ln y = ln b + a ln x

Ecuaciones Normales (caso y = bxa)

ln b =(∑m

i=1(ln xi )2)(

∑mi=1 ln yi )−(

∑mi=1(ln xi )(ln yi ))(

∑mi=1 ln xi )

m(∑m

i=1(ln xi )

2)−(∑m

i=1ln xi )

2

a =m(

∑mi=1(ln xi )(ln yi ))−(

∑mi=1 ln xi )(

∑mi=1 ln yi )

m(∑m

i=1(ln xi )

2)−(∑m

i=1ln xi )

2

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Ejemplo de ajuste exponencial (caso y = beax)

Cálculos asociados

xi yi x2i ln yi xi ln yi r(xi ) = 3.071e0.5056xi

1.00 5.10 1.0000 1.629 1.629 5.0921.25 5.79 1.5625 1.756 2.195 5.7781.50 6.53 2.2500 1.876 2.815 6.5561.75 7.45 3.0625 2.008 3.514 7.4392.00 8.46 4.0000 2.135 4.271 8.4427.50 11.8750 9.405 14.424

a =m(

∑mi=1 xi (ln yi ))−(

∑mi=1 xi )(

∑mi=1 ln yi )

m(∑m

i=1x2i )−(

∑mi=1

xi )2 = 5(14.424)−7.5(9.405)

5(11.875)−(7.5)2= 0.5056

ln b =(∑m

i=1 x2i )(∑m

i=1 ln yi )−(∑m

i=1 xi (ln yi ))(∑m

i=1 xi )m(

∑mi=1

x2i )−(

∑mi=1

xi )2

ln b = 11.875(9.405)−14.424(7.5)5(11.875)−(7.5)2

= 1.122 =⇒ b = e1.122 = 3.071

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Ejemplo de ajuste exponencial

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Caso no Lineal

En general el problema a resolver

El problema consiste en encontrar el mínimo de la suma de los cuadradosde m funciones no lineales; es decir

Minimizar g(x) =1

2

m∑i=1

r2i (x) =1

2‖r(x)‖22

Donde ri (x) representa el error en la predicción que hace el modelo de laobservación i ,

ri (x) = yi − f (x , ti ), i = 1, . . . ,m

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Observaciones

Un sistema de ecuaciones lineales Ax = b, con A ∈ Mm×n, n < m, quetiene más ecuaciones que incógnitas, se dice que es superdeterminado osobredeterminado.

Los sistemas superdeterminados aparecen en problemas que utilizan datosexperimentales para aproximar una solución, debido a que es habitual tomarmás datos empíricos de los necesarios, para luego ajustarlos a una soluciónque no veri�can de modo exacto.

De�nición

Sea el sistema de ecuaciones lineales Ax = b, superdeterminado. Entonces,se dice que α ∈ Rn es una solución en mínimos cuadrados del sistemaAx = b, si se veri�ca

‖Aα− b‖22 = Mín{‖Ax − b‖22 : x ∈ R}

Además

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Continuación De�nición

1 Si Aα− b = 0, el sistema de ecuaciones Ax = b es compatible.

2 Si Aα− b 6= 0, el sistema Ax = b es incompatible y la norma‖Aα− b‖2 es llamada a veces error de la solución en mínimoscuadrados

Observación

Si resolvemos el problema de mínimos cuadrados tenemos que buscar elmínimo de

f (x) = (Ax − b)t(Ax − b) =⇒ f ′(x) = (AtA)x − Atb = 0

Obtenemos un sistema de ecuaciones llamados ecuaciones normales

AtAx = Atb

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Descomposición QR

Teorema

Sea V un espacio vectorial con producto interno y B = {v1, . . . , vn} unabase de V . Entonces existe B′ = {y1, . . . , yn} tal que B es una baseortonormal de V y [v1, . . . , vk ] = [y1, . . . , yk ], ∀k = 1, . . . , n.

Observaciones

Es claro que basta encontrar {u1, . . . , un} base ortogonal de V talque [v1, . . . , vk ] = [y1, . . . , yk ], ∀k = 1, . . . , n ya que basta de�nir

luego yi =ui

‖ui‖.

Para encontrar estos ui ortogonales se puede seguir el siguienteesquema:

u1 = v1; u2 = v2 − ut1v2

ut1u1u1

ui = vi −i−1∑k=1

ci,kuk , donde ci,j =v ti uj

utj uj

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Observaciones

El esquema anterior se conoce como el método de Gram-Schmidt.

Se puede construir la siguiente matriz:

B =

‖u1‖ c21‖u1‖ c31‖u1‖ · · · cm1‖u1‖

0 ‖u2‖ c32‖u2‖ · · · cm2‖u2‖0 0 ‖u3‖ · · · cm3‖u3‖...

......

. . ....

0 0 0 · · · ‖um‖

donde B es una matriz triangular superior con diagonal positiva.

Teorema

Sea A ∈ Mn×m(R) de rango m, entonces existe una matriz Q ∈Mn×m(R) que veri�ca QtQ = In×n y una matriz triangular superiorR ∈Mn×m(R) tal que A = QR

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Ejemplo

Hallar la descomposición QR de la matriz A =

1 0 10 2 11 1 0

Desarrollo

Sea B = {v1, v2, v3} = {(1, 0, 1), (0, 2, 1), (1, 1, 0)} las columnas de A.Aplicaremos el método de Gram-Schmidt a la base B. Entonces

u1 = v1 = (1, 0, 1)

u2 = v2 − v t2u1ut1u1

u1 =(− 1

2 , 2,12

)u3 = v3 − v t3u2

ut2u2u2 − v t3u1

ut1u1u1 =

(− 2

3 ,13 ,−

23

)normalizando se obtiene:

y1 =u1

‖u1‖=

1√2(1, 0, 1) y2 =

u2

‖u2‖=

√2

3

(−1

2, 2,

1

2

)

y3 =u3

‖u3‖=

1

1

(−2

3,1

3,−2

3

)20 / 26


Vectores ortonormales

y1 =1√2(1, 0, 1) y2 =

√2

3

(−1

2, 2,

1

2

)y3 =

u3

‖u3‖=

1

1

(−2

3,1

3,−2

3

)Finalmente

Q =

1/√2 − 1

3√2

2/3

0 2√2/3 1/3

1/√2 1/3

√2 −2/3

R =

√2 1/√2 1/

√2

0 3/√2 1/

√2

0 0 1

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Observación

Si A posee columnas l.i. y A = QR.

AtAx = Atb ⇐⇒ RtQtQRx = RtRx = RtQtb ⇐⇒ Rx = Qtb

La ultima equivalencia debido a que Rt es invertible por serlo R.

Resolver la ecuación Rx = Qtb, lo cual tiene dos ventajas, una esque R es triangular y la otra es que, en general, el error que secomete al resolver de esta manera mediante una computadora digitales menor que el que se comete empleando la ecuación normalAtAx = Atb.

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Ejemplo

Encuentre la solución del sistema de ecuaciones superdeterminado1 1 01 0 11 1 11 2 1

x

y

z

=

1024

Desarrollo

Primero calculemos el sistema normal AtA = Atb, 4 4 34 6 33 3 3

x

y

z

=

71116

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Calculando su descomposición QR tenemos que

Q =(

0, 62469 −0, 49975 0, 60, 62469 0, 78086 00, 46852 −0, 37481 −0, 8

)R =

(−6, 40312 −7, 65251 −5, 15373

0 −1, 56173 0, 281110 0 0, 6

)Reduzcamos el sistema a la forma Rx = Qtb 6, 40312 7, 65251 5, 15373

0 1, 56173 0, 281110 0 −0, 6

x

y

z

=

14.05562.8424−0.6

�nalmente al hacer la sustitución hacia atrás obtenemos que

x = −1, y = 2, z = 1, y el residuo es r(x) = Ax − b = 0

Con lo cual el sistema tiene solución.

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Ejercicios

Considere la siguiente tabla de valores:

xi −2 −1 0 1 2

f (xi ) 0.0338 0.4119 3.013 0.4240 0.0249

Realice ajuste los datos a la función m1(x) = a + bx2.

Realice un ajuste de datos a la función m2(x) = aebx2y compare con el inciso

anterior. ¾Cuál presenta menor error cuadrático?

La intensidad de la luz disminuye en razón inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia x desde la fuente al detector. En la experiencia de laboratorio, se coloca unsensor (light sensor de PASCO) a una distancia x de la fuente de luz que va cambiando.Se Obtiene la siguiente tabla:

Distancia x a0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

la fuente de luz (cm)Intensidad I (lux) 171 106 73 52 39 30.5 24.5

Queremos ajustar m pares de datos (xi , yi ) a la función m(x) = a + bx2

con a, b

contantes a determinar.

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Ejercicios

Considere las siguientes matrices

A =

1 2 00 1 01 −2 22 0 −1

, b =

−1−132

1 Determine el sistema normal asociado a Ax = b.

2 Obtenga la descomposición QR de A del sistema normal asociado.

3 Encuentre la solución del sistema(si es que existe) usando ladescomposición hallada en el inciso anterior.

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