La Federación Española de Sociedades de Pro-fesores de Matemáticas, ha considerado oportunala organización de un Seminario sobre Estadísticay Probabilidad en la Educación Matemática, que secelebró en Castro Urdiales durante los días 21,22 y 23 de noviembre de 2014, con la colabora-ción del CIEM (Centro Internacional de En-cuentros Matemáticos de la Universidad de Can-tabria).

Se abordó esta temática, clave en la educaciónmatemática, considerando que el Informe PISA2012 (centrado en la evaluación de la competen-cia matemática) ha sido publicado y la LOMCEcomenzaba su implementación. Ambas cuestio-nes aportaron información fundamental para elanálisis y la reflexión sobre el nuevo papel otor-gado a la Estadística y la Probabilidad en la en-señanza y aprendizaje de las matemáticas. Ade-más del seminario se obtiene este documento,que refleja las opiniones que los miembros de laFESPM sostienen a este respecto, así como lasrecomendaciones que se han de formular tantoa las Administraciones Educativas como a losprofesores y a otros estamentos sociales involu-crados en la educación. También contiene laspropuestas de actuación futura a los órganos degobierno de la Federación con respecto al temadel seminario.

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Conclusiones del SeminarioFederal La Estadística

y la Probabilidaden la Educación Matemática

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Los objetivos que pretendía esta actividaderan analizar el carácter fundamental de la edu-cación matemática como objetivo docente, pro-fundizar en los resultados en las pruebas PISArelacionados con la Estadística y Probabilidad,reflexionar sobre el papel que se le otorga en losnuevos currículos, desarrollar estrategias paramejorar su enseñanza y aprendizaje y revelar laEstadística y la Probabilidad como parte funda-mental de la educación matemática.

Comité organizador

— Agustín Carrillo de Albornoz Torres, se-cretario general de la Federación Españolade Sociedades de Profesores de Matemá-ticas (FESPM).

— Juana Mª Navas Pleguezuelos, secretariade formación de la FESPM.

— Claudia Lázaro del Pozo, tesorera y secre-taria de relaciones internacionales de laFESPM (Sociedad Matemática de Profe-sores de Cantabria-SMPC).

Conferencias

La conferencia inaugural, a cargo de D. AntonioMoreno, con el título Panorama de la situación de laeducación estadística y de la probabili-dad en España, comenzó por ladefinición de las necesidades dela educación estadística y proba-bilística, y de la caracterizaciónde la situación en la que se en-cuentra.

Luego enumeró algunos delos motivos para educar en y con estadística yprobabilidad:

— Adquirir la capacidad de lectura de gráficosy datos estadísticos como parte del len-guaje de los sistemas de comunicación.

— Utilidad de los conocimientos de estadís-tica en muchas profesiones.

— Ayuda al desarrollo del pensamiento crí-tico.

— Se trata de un conocimiento de aplicacióntransversal en el desarrollo curricular.

— Supone enseñar una visión no determi-nista, complementaria a la visión habitualdel currículo.

Se planteó si mañana la sociedad necesitarálo mismo que hoy y posteriormente se analizaronlos factores que influyen en el diseño de la ense-ñanza de la estadística y la probabilidad: socio-culturales —la sociedad posmoderna—, políticos—estadística y toma de decisiones—, tecnológi-cos —estadística y tecnología— y profesionales—influencia de los profesionales en la educaciónestadística—, aludiendo a la importancia de laformación de profesores noveles.

La conferencia de D.ª Carmen Nieto: Algunasexperiencias y reflexiones sobre la enseñanza de la Esta-dística en España, nos presentó la situación de launiversidad, que no es ajena a la situación de laenseñanza de la Estadística en los estudios preu-niversitarios. En las conferencias interuniversi-tarias anuales se recoge el análisis y se planteaniniciativas para la mejora de esta enseñanza.

A pesar de que los grados universitarios deEstadística tienen buena inserción laboral, tienenuna baja demanda. Los contenidos de Estadísticay Probabilidad en los niveles preuniversitarios,¿son suficientes?

Se plantea una hipótesis: este perfil profesionales desconocido en la sociedad.

Para combatir este descono-cimiento se plantean una seriede actuaciones, como la Incu-badora de sondeos, cursos deFormación del profesorado, laOlimpiada estadística, las acti-vidades en la Semana de la Cien-cia, la encuesta online a profeso-

res de matemáticas en la Comunidad de Madrid,la Mesa redonda por el Año Internacional de laEstadística y otras.

En la parte de Experiencias de aula: Incuba-dora de sondeos, D.ª Mª Jesús Casado nos expusosu doble experiencia dentro de este certamen,como profesora participante con un grupo dealumnos y alumnas en algunas ediciones, y comojurado en la fase gallega de este concurso, enotra edición.

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pretendía […] revelar laEstadística y la Probabilidadcomo parte fundamental de la

educación matemática

Grupos de trabajo:

En un mundo inmerso en datos, la necesidad deformación estadística del ciudadano medio ya noes discutible. Todos estamos de acuerdo en suinfluencia en nuestras vidas: la subida de salariosy de los impuestos, la aplicación o modificaciónde normas y leyes, la construcción de escuelas yhospitales…, la simple lectura de un periódicorequiere de conocimientos de estadística para en-tender el significado de las tablas de datos, índicesy gráficos que aparecen en él, y sin embargo, muyfrecuentemente, banalizamos su enseñanza, la re-ducimos a unas clases de cálculo de parámetroso simplemente la dejamos olvidada al final del te-mario al que nunca llegamos.

Es necesario un cambio deactitud, un planteamiento firmeen cuanto a los tiempos y lasformas, en cuanto a lo que es yno es necesario conocer, y loque al final todos debemosaprender; un cambio en los ob-jetivos de aprendizaje y en la me-todología, que unidos a los recursos, llevarán alresultado esperado, un ciudadano crítico y res-ponsable que interpreta de forma correcta losdatos que rodean su vida.

El trabajo de los grupos se articuló en tornoa los siguientes tópicos:

— Grupo I. Análisis del papel de la Estadís-tica y la Probabilidad en el currículum,cuya coordinadora fue Maite Navarro.

— Grupo II. Estrategias para la mejora de laeducación en Estadística y Probabilidad,donde ejerció de coordinadora M.ª JesúsCasado.

— Grupo III. Recursos y materiales para tra-bajar en el aula la Estadística y la Probabi-lidad, que coordinó Juan A. Espinosa.

El grupo I, Análisis del papel de la Estadística yla Probabilidad en el currículum, ha partido del aná-lisis de la estadística y la probabilidad en el cu-rrículo vigente de primaria, con el fin de hacersugerencias hacia los de secundaria, teniendo encuenta las conclusiones de los grupos de trabajode la Federación sobre los diferentes currículos.

Se observa que el currículo no especifica cómotrabajar en al aula los estándares de aprendizaje eva-luables. Se considera que sería importante quelos currículos incorporaran unas orientacionesmetodológicas para abordar dichos estándares deaprendizaje evaluables, que son los que determinanlo que deben saber hacer los alumnos. Sería de-seable que dichas orientaciones se presentaranacompañadas de ejemplificaciones.

Las orientaciones del bloque de Estadística yProbabilidad, deberían ir enfocadas a describir,comparar, interrelacionar, interpretar, convivircon la incertidumbre, comunicar y potenciar elpensamiento crítico del alumno.

Las matemáticas en general, y la estadística yla probabilidad en particular, tie-nen unas características que lashacen imprescindibles en la mo-delización de la realidad. Es porello importante que la probabili-dad y la estadística, se iniciara,con una metodología adecuadaque potencie la reflexión, desdeinfantil hasta culminar el proceso

en 2.º de bachillerato.Las programaciones, como herramientas de

los desarrollos curriculares, evitan que se desa-tiendan la estadística y la probabilidad. Para abor-dar el aprendizaje de estos contenidos, debemosplantear tareas con datos y situaciones reales encontextos diferentes.

El proceso de enseñanza aprendizaje, nopuede ni debe estar condicionado por la existen-cia de unas pruebas de evaluación externa. Porello es necesario que dichas pruebas evalúen lasdiferentes tipologías de estándares de aprendizajeevaluables (analizar, calcular, interpretar,…), y eneste sentido, para no repetir errores pasados, lasTIC no pueden quedar excluidas de las pruebasde evaluación.

En el grupo II, Estrategias para la mejora de laeducación en Estadística y Probabilidad, se partió delas cuestiones: ¿Cómo contribuir a mejorar la si-tuación de la educación en Estadística y Probabi-lidad? ¿De qué manera enseñar en nuestras clasesprobabilidad y estadística? Se analizaron y revisa-ron distintas rutinas empleadas en las aulas y ac-tividades que a nuestro juicio pueden servir de

CONCLUSIONES DEL SEMINARIO FEDERAL La Estadística y La ProbabiLidad En La Educación MatEMática

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El proceso de enseñanzaaprendizaje, no puede ni debeestar condiconado por la

existencia de unas pruebas deevaluación externa

modelo para el profesorado. A partir de ellas seelaboraron una serie de recomendaciones y es-trategias que se desarrollan a continuación.

En cuanto a estrategias generales, la metodo-logía en primaria y secundaria se enfoca hacia laconsecución del objetivo primordial, formar ciu-dadanos estadísticamente competentes según ladefinición expuesta con anterioridad. En el casodel Bachillerato se incorpora la necesidad de unaformación adecuada para poder continuar estu-dios posteriores en cualquier ámbito, ya que seencontrarán con esta materia en la mayoría delas titulaciones universitarias y porque se enfren-tarán en algún momento de suposterior desempeño profesionala la recolección y/o análisis dedatos para la toma de decisioneso para el modelado y compren-sión de fenómenos sometidos aincertidumbre o variabilidad.

Las estrategias generales quese proponen:

— Cuidar la base desde Primaria.— Explorar las experiencias/intuiciones/co-

nocimientos previos del alumnado.— Avanzar sobre los contenidos anteriores.— Trabajar a partir de situaciones reales y

cercanas.— Conectar la Estadística y Probabilidad con

otras materias y con elementos históricos.— Relacionar el bloque de estadística y de

probabilidad con otros contenidos mate-máticos.

— Desglosar los bloques en procesos y noen contenidos.

— Utilizar distintas técnicas de aprendizajesegún el objetivo a conseguir.

En cuanto a las estrategias en actividades deaula:

— Aprovechar el potencial de las tecnologíaspara enriquecer el aprendizaje con ejem-plos dinámicos.

— Primar la interpretación sobre el cálculo.— No renunciar a la realización de actividades

prácticas por la complejidad teórica.— Formular buenas preguntas.— Trabajar a partir de proyectos.

— Difundir las buenas prácticas en estadísticay probabilidad.

— Utilizar la participación en concursos comorecurso docente.

— Predicar con el ejemplo.Ambos grupos de estrategias se pueden con-

sultar más ampliamente en el Anexo I. Estegrupo también realizó algunas sugerencias sobrela evaluación, volviendo al objetivo inicial quenos marca una guía para los ítems de evaluación,que deberían responder a las habilidades y pro-cesos relacionados con esta competencia. Sinahondar en la materia, cualquier análisis que se

haga sobre la evaluación pasapor delimitar las tareas que sehan ido realizando durante elproceso de aprendizaje, y losmateriales empleados, hacer yhacernos preguntas en cada unade estas fases y valorar el gradode aprendizaje conseguido por

nuestro alumnado en cada una de ellas. En defi-nitiva, la evaluación también es una actividad es-tadística en sí misma, con recogida de datos yanálisis posterior.

Expertos en didáctica abogan por buscar lacoherencia entre los métodos de enseñanza y losde evaluación. Según el NCTM, la evaluación deconceptos matemáticos se basa en una serie deestándares que abarcan, desde la resolución deproblemas hasta la actitud hacia la materia, pa-sando por la formulación y comunicación entreotros. La evaluación debe incluir procesos cog-nitivos como pensar y razonar, argumentar, co-municar y modelar, plantear y resolver problemas,representar, etc. Previamente debemos explicara nuestro alumnado cuáles son los ítems a evaluary también cuáles serán los instrumentos de eva-luación.

Se relacionan algunos de los instrumentos deevaluación que Garfield (1995) propone para elcaso de la estadística (Anexo II).

El grupo III, Recursos y materiales para trabajaren el aula la Estadística y la Probabilidad, parte de laidea de que los contenidos de la Estadística y laProbabilidad necesitan unas buenas tareas paratrabajar en el aula. Para ello se precisaron las ca-racterísticas que deben tener las buenas tareas.

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la metodología en primaria ysecundaria se enfoca hacia laconsecución del objetivo

primordial, formar ciudadanosestadísticamente competentes

Este bloque se presta especialmente a este tipode trabajo en el aula.

Hay acuerdo unánime en que en la enseñanzade la Estadística y la Probabilidad se hace im-prescindible el uso de materiales y recursos.

En este grupo de trabajo se han intentadoidentificar asimismo algunos de los aspectos quecaracterizan los buenos recursos y materiales parausar en el aula, dado que el principal objetivo esayudar al profesorado en la búsqueda de esosmateriales, herramientas y recursos, y se señalaronlos siguientes:

— Uso de materiales variados con especialimportancia de los manipulativos y tecno-lógicos, así como los materiales lúdicos yde tipo sorpresivo.

— Materiales y recursos que permitan la mo-delización de los fenóme-nos estudiados y que ayu-den a la identificación delas ideas preconcebidaserróneas.

— Actividades contextuali-zadas adecuadamente,abiertas y participativas yque ayuden a desarrollar el espíritu crítico,plantear y resolver preguntas.

— Para los contenidos de Estadística, activi-dades completas que involucren todo elproceso de un estudio estadístico, dondeel análisis de los resultados y el diseño delestudio tengan más peso que el cálculo deparámetros.

Uno de los aspectos más conflictivos relati-vos a la enseñanza de las matemáticas es el re-ferido a los materiales y los recursos; y tantoque, en ocasiones, suscita reacciones emocio-nales y posturas radicalmente encontradas. Nosreferimos al nivel concreto del aula, porque anivel teórico hay gran acuerdo hoy en que eluso de materiales y recursos es necesario. Pero,¿qué materiales?, ¿qué recursos?, ¿cuándo ycómo usarlos?

Para aprender hay que hacer, y los materialesy recursos permiten que el alumno haga. Tantopara recordar como para comprender, identificar,etc., es importante que el que aprenda haga.

Así mismo, sería conveniente distinguir entrerecurso y material: Se entiende por recurso cual-quier material, no diseñado específicamente parael aprendizaje de un concepto o procedimientodeterminado, que el profesor decide incorporaren sus enseñanzas. Mientras que los materialesse distinguen de los recursos porque, inicialmente,se diseñan con fines educativos, aunque no hayun criterio unificado que delimite ambos con-ceptos.

Se establece un catálogo de materiales y re-cursos variados (Anexo III).

La consideración previa a la elección de losmateriales y recursos debe ser una profunda re-flexión sobre el aprendizaje que pretendemosdesarrollar en el alumnado.

En el Anexo IV, se puede encontrar una pe-queña selección de materiales, re-cursos y herramientas con unabreve descripción de ellas paraorientar la búsqueda.

El carácter transversal de laEstadística y la Probabilidad nosha permitido mostrar una ampliavariedad de recursos y materialesque pueden ser utilizados desde

diversos enfoques o propósitos para:

— Desarrollar el pensamiento crítico.— Fomentar el espíritu científico.— Detectar ideas preconcebidas erróneas.— Potenciar la experimentación a pequeña

escala, favoreciendo así que el alumnadoaprenda de forma activa.

— Estudiar la funcionalidad de las herramien-tas utilizadas y sus limitaciones.

Propuestas

Desde los diferentes grupos se han hecho las si-guientes propuestas a la Administración:

— Mejorar la formación inicial y continua delprofesorado es fundamental para el desa-rrollo de sus competencias profesionalesdocentes, en particular, en Estadística yProbabilidad, para lo cual el profesoradodebería conocer diferentes materiales y re-

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Hay acuerdo unánime en quela enseñanza de la Estadísticay la Probabilidad se haceimprescindible el uso demateriales y recursos

cursos, junto a las estrategias para llevarlosal aula y poder optimizar su uso. Ademásdebería ser capaz de reflexionar sobre losresultados obtenidos y valorar la idoneidaddel recurso elegido, para mejorar nuestraactuación de cara al futuro.

— Desde la FESPM articular con el MEC,un proyecto para la realización de las orien-taciones metodológicas, mencionadas enlas conclusiones del grupo I.

Las propuestas a la Federación:

— Desde la FESPM publicar una colecciónde tareas ricas, de estadística y probabilidadpara el aula, generada, por ejemplo, porun grupo de trabajo que tenga en cuentalas investigaciones de los expertos en di-dáctica de estadística y probabilidad y delas experiencias positivas del profesorado.Dichas tareas deben abarcar desde infantilhasta bachillerato y los tipos de propuestasdeben incluir la resolución de problemas,las pequeñas investigaciones, los proyectos,las conexiones con otros bloques de lasmatemáticas y organizarseen los puntos señalados enla primera parte del docu-mento.

— Desde la FESPM se pro-mueva la formación delprofesorado en estadísticay probabilidad y su didác-tica.

— Proponer que el comité de programas delas JAEM, tengan presente la estadística yla probabilidad en su confección.

— Proponer a los diferentes comités de lasOlimpiadas que incorporen, al menos enun problema, que en su resolución se re-quiera el uso de la estadística y/o la pro-babilidad.

— Proponer la creación de una asignatura op-tativa en 2.º de bachillerato «Estadística apli-cada», dirigida especialmente al alumnadoque desee cursar estudios superiores querequieran conocimientos de estadística.

— Se considera necesaria la creación de ungrupo de trabajo para la elaboración de

un banco de recursos y materiales, conpropuestas para trabajar en el aula, ya queeste seminario no ha sido más que un pri-mer paso en la mejora de la enseñanza yel aprendizaje de la Estadística y Probabi-lidad.

Anexo I

Estrategias generales

— Cuidar la base desde Primaria, donde se re-comienda trabajar la probabilidad con si-tuaciones de incertidumbre, recuento y re-presentación. Es aconsejable la lectura demateriales específicos para la docencia aeste nivel, como el capítulo referido a estebloque del proyecto Edumat-Maestros(Batanero y Díaz).

— Explorar las experiencias/intuiciones/co-nocimientos previos del alumnado. Puestoque algunos conceptos de probabilidad noson evidentes y en ocasiones son contra-

rios a la intuición, debemos ha-cer hincapié en contrastar estetipo de situaciones con activi-dades preparadas ex profesopara reformular correctamenteestos errores. Ejemplos de acier-tos y errores basados en lasideas preconcebidas a distintasedades y experiencias relaciona-

das pueden consultarse en el artículo Di-dáctica de la estadística (Batanero).

— Avanzar sobre los contenidos anteriores. Cons-tantemente se repiten los contenidos ini-ciales del bloque de Estadística y Probabi-lidad impidiendo su avance en los cursossuperiores, lo que acrecienta el número deestudiantes que acceden a las facultadescon escaso o ningún conocimiento sobreestos temas.

— Trabajar a partir de situaciones reales y cercanasque ayuden a interpretar el entorno delalumno y le sirvan para tomar decisiones,por ejemplo datos extraídos de los mediosde comunicación, prensa, etc., analizando

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Se considera necesaria lacreación de un grupo de

trabajo para la elaboración deun banco de recursos y

materiales

los errores que estos pudiesen contener ylos enfoques alternativos que pudieran ad-mitir.

— Conectar la estadística y probabilidad con otrasmaterias y con elementos históricos. La estadísticaes una ciencia transversal, que ayuda a laconstrucción de modelos y extracción dedatos de cualquier área, es una «ciencia deservicio» (Cuevas) cuyas técnicas de inves-tigación están sujetas a las demandas delos usuarios, y su presentación debe in-corporar situaciones reales en las que laestadística aporta modelos y soluciones aproblemas de economía, biología, cienciassociales, etc.

— Relacionar el bloque de Estadística y de Probabi-lidad con otros contenidos matemáticos; por ejem-plo, se puede trabajar la probabilidad con-juntamente con las fracciones y lasproporciones, o las distribuciones en uncontexto funcional.

— Desglosar los bloques en procesos y no en conteni-dos. La secuencia y las actividades a realizarpueden variar notable-mente si se estructura enfunción del primero y nodel segundo. Se busca queel estudiante explore,compare, sistematice, or-dene, clasifique, argu-mente, modelice, etc. Unejemplo de secuencia por niveles de de-sempeño puede verse en el Mapa de Pro-greso elaborado por el Ministerio de Edu-cación Peruano (IPEBA)

— Utilizar distintas técnicas de aprendizaje segúnel objetivo a conseguir. Las tareas deben estarrepartidas de forma equilibrada entre lacomprensión e interiorización de concep-tos, la ejecución de algoritmos (no nece-sariamente manuales), la modelización desituaciones y la interpretación de resulta-dos, desarrollándose de forma individualo grupal según el caso:• individual, para conceptos y técnicas de

cálculo.• en equipo, para la recogida de datos, in-

terpretación y toma de decisiones.

Estrategias en actividades de aula

— Aprovechar el potencial de las tecnologías paraenriquecer el aprendizaje con ejemplos dinámicos.Existe una corriente didáctica que apuestafuertemente por un enfoque dinámico enla enseñanza de la geometría; en este con-texto planteamos algo similar, la «Estadís-tica dinámica», entendida como un com-pendio de actividades que permitan alalumnado el análisis de un conjunto de ca-sos mediante la modificación de datos/pa-rámetros dentro de un mismo problema.Esto es relativamente sencillo de realizarutilizando un paquete estadístico, una hojade cálculo, o una calculadora (Alpizar). Lasimulación entra dentro de este apartado,ya que permite obtener múltiples casos deun experimento para un análisis conjunto.En la web de Manuel Sada, Estadística yprobabilidad, hay nutridos ejemplos de si-tuaciones dinámicas en este bloque.

— Primar la interpretación sobre el cálculo. Ínti-mamente relacionado con elapartado anterior, es posiblepriorizar la comprensión de loscálculos frente a su realización,disponemos de herramientasque lo permiten y le dan sentido.La propuesta es maximizar eltiempo dedicado a la interpreta-

ción de datos y a las características de losparámetros y minimizar el dedicado al re-cuento y al cálculo.

— No renunciar a la realización de actividades prác-ticas por la complejidad teórica. En las estrate-gias globales se analizaba la posibilidad deldesglose por procesos y no por contenidos,este enfoque enlaza con la posibilidad detrabajar situaciones interesantes por suprocedimiento: recuentos, representacio-nes gráficas, etc., aunque el contenido teó-rico que subyace se postergue por ser com-plicado para el nivel del alumnado.

— Formular buenas preguntas. Las preguntas definenlas tareas, expresan problemas y delimitan asuntos(Elder). Esta afirmación no se refiere soloal bloque que nos atañe, sino a cualquier

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Se busca que el estudianteexplore, compare, sistematice,ordene, clasifique, argumente,modelice, etc.

contexto de aprendizaje,pero en el caso de la esta-dística y la probabilidadson vitales para la elabo-ración de estudios queden lugar a la obtenciónde buenos resultados.Ante una situación sus-ceptible de modelizaciónestadística las preguntas nos llevan a lasvariables, estas al tipo de análisis y su in-terpretación a las respuestas. La formula-ción de buenas preguntas pasa por un aná-lisis del problema con una informacióninicial y una requerida; se puede aprender,enseñar, practicar, y se puede evaluar.

— Trabajar a partir de proyectos. Esto lleva consigoenseñar a formularse preguntas, tal comose indicó en el punto anterior, y a buscarrespuestas, a través de la obtención y explo-tación de datos, la elaboración de informesestadísticos, y la exposición de resultados,tanto de forma escrita como oral, adaptán-dose a la edad y el contexto del alumno. Laestadística es idónea para el trabajo por pro-yectos. El enfoque puede hacerse a travésde dos vías: crear proyectos cuyo elementoprincipal sea un estudio estadístico o bienque este estudio sea parte de un proyectomás amplio. Somos conscientes de que elaprendizaje por proyectos tiene sus dificul-tades, una de ellas es el tiempo, pero pensa-mos que merece la pena ya que existen ha-bilidades y competencias que son inherentesa esta metodología y que no surgirán conotro tipo de actividades.

— Difundir las buenas prácticas en estadística y pro-babilidad. Existen portales específicos dedifusión de buenas prácticas en el aula,uno de ellos es Eduteka, que desde haceaños aporta al profesorado enfoques mul-tidisciplinares y tecnológicos de actividadesinnovadoras. Cabe destacar una herra-mienta para la realización de proyectos,que permite a los no iniciados su creacióna partir de un modelo estándar; y la partededicada al currículo, Matemática Interac-tiva, que presenta la introducción de con-

tenidos en el aula con este enfo-que, entre ellos el de probabili-dad y estadística. Otros portalesde asociaciones de profesorado,universidades, y colectivos rela-cionados con la enseñanza de laestadística, la probabilidad y lainvestigación operativa, como laSEIO, o con organismos oficia-

les como el INE, publican enlaces intere-santes con recursos para la docencia. Aunasí, se echan en falta más actividades deeste bloque con un enfoque como el quevenimos relatando hacia la adquisición decompetencias.

— Utilizar la participación en concursos como recursodocente. En el punto anterior se mencionanorganizaciones de profesores que, preocu-padas por la enseñanza de la estadística,promueven actividades para su difusión.Entre ellas están los concursos, que sinduda se han convertido en una muestra debuenas prácticas. Por todo ello es deseableque haya una participación cada vez mayor,y que las actividades que se presenten sehayan desarrollado en el contexto escolar,en el aula, dando a todos los alumnos laoportunidad de crear, experimentar, y au-mentar su motivación con estos trabajos.

— Predicar con el ejemplo. En ocasiones las reu-niones de profesionales que debaten un de-terminado problema se convierten en unreporte de quejas cuyas soluciones no setransmiten a su finalización a la poblaciónen general. Es deseable adquirir el compro-miso de llevar a nuestras clases los consejosque ponemos en este informe, aportar connuestro quehacer diario una muestra de laviabilidad del cambio propugnado.

Anexo II

Instrumentos de evaluación que Garfield (1995)propone para el caso de la estadística:

— Observación sistemática de las interven-ciones de los alumnos en clase a lo largo

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La formulación de buenaspreguntas pasa por un análisisdel problema con unainformación inicial y unarequerida; se puede aprender,enseñar, practicar, y se puedeevaluar

del curso, revisión periódica de los cua-dernos y apuntes de los alumnos.

— Pruebas específicas escritas tipo examen.— Preguntas realizadas en clase a alumnos

particulares o a toda la clase.— Encuestas breves sobre lo que han apren-

dido o lo que han encontrado confuso enuna clase particular, sobre la actitud de losestudiantes, el contenido del curso o suvisión de la estadística.

— Trabajos de síntesis sobre un tema o unacolección de lecturas que muestren la com-prensión y capacidad de síntesis.

— Proyectos de análisis de datos individualeso colectivos.

— Test de opciones múltiples.— Problemas para realizar en la clase o como

trabajo de casa.— Dosieres donde el profesor va recogiendo

información diversa acerca del alumno.— Diarios elaborados por los alumnos con

resúmenes de lo aprendido en clase.

Desde el grupo se añaden además, exposi-ciones orales de los trabajos anteriores, simu-laciones con análisis posterior de resultados,elaboración de webs o entradas en blogs, pro-blemas de análisis de datos reales realizadoscon calculadora o un software estadístico, queincluyan interpretación de resultados, proble-mas de estadística dinámica hechos con orde-nador, etc.

Anexo III

Materiales y recursos

— Manipulativos: dados, fichas de colores,barajas, monedas, chinchetas, ruletas, ca-ramelos, legumbres, etc.

— Audiovisuales: películas, series, vídeos, fo-tografía, concursos televisivos, etc.

— Herramientas informáticas: hojas decálculo, infographics, GeoGebra, Scratch, R,etc.

— Calculadoras.— Juegos: didácticos, tradicionales, etc.

— Contextos reales: medios de comunicación,datos del entorno del alumnado, institutosde estadística, etc.

— Visitas a museos de ciencias, institutos deestadística, etc.

— Textos: libros de texto, boletines de proble-mas, artículos de revista especializada, pu-blicaciones, etc.

— Recursos en red: Proyecto Gauss, ProyectoDescartes, etc.

— Concursos de estadística.

Anexo IV

A continuación se ofrece una pequeña selecciónde materiales, recursos y herramientas con unabreve descripción de ellas para orientar la bús-queda.

Ejemplo 1 ¿Podemos utilizarun sacapuntas de dado?

— Objetivo: Entender cómo se puede utilizarla frecuencia relativa de los resultados deun experimento aleatorio para asignar pro-babilidades.

— Contenidos curriculares: Recogida de datos,tablas y representaciones gráficas, proba-bilidad, frecuencia absoluta y relativa.

— Recursos y materiales: Scratch, formulariosde Google…

— Cómo utilizarlo: Ir al enlace (en catalán)<http://apliense.xtec.cat/arc/node/2219>.

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Ejemplo 2. Visualizaciónde los parámetros de centralización

— Objetivo: Reflexionar sobre las ventajas einconvenientes de la utilización de los di-ferentes parámetros estadísticos de cen-tralización.

— Contenidos curriculares: Distribuciones esta-dísticas unidimensionales.

— Recursos y materiales: Hoja de cálculo (Excelo GeoGebra). Las aplicaciones ya prepa-radas del Proyecto Gauss:<http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/estadistica_recuento.htm><http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/estadistica_y_probabilidad/medidas/media_aritmetica/actividad.html>

— Cómo utilizarlo: Desde una tabla de datossignificativa para el alumno, establecer va-riaciones en los datos y reflexionar sobrecómo afecta esta variación a los diferentesparámetros de centralización.

— Cómo utilizarlo: Se motiva la actividad plan-teando la pregunta de cómo contar, porejemplo, poblaciones de animales. Seofrece como posible procedimiento el si-guiente.

Se muestra un conjunto de garbanzos yse pregunta cómo podemos saber cuántoshay. Para ello, se recogen unos cuantos, sepintan con un rotulador y se mezclan conlos demás. Se vuelven a recoger unos cuan-tos y usando técnicas de captura/recaptura<https://es.wikipedia.org/wiki/Técnica_de_marcaje_y_recaptura> se estima cuántoshabía en un principio. En esta conferencia,<http://www.uv.mx/eib/curso_pre/video-conferencia/documents/PecesTaxis.pdf>,Pere Grima explica con detalle esta técnica.

Ejemplo 4. Juego del Hipódromo

— Objetivo: Acercamiento intuitivo a la pro-babilidad.

— Contenidos curriculares: Concepto de proba-bilidad. Frecuencia. Sucesos no equipro-bables.

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Ejemplo 3. ¿cuántos peces hayen el lago?

— Objetivo: Potenciar la experimentación enel aula introduciendo las técnicas de cap-tura/recaptura.

— Contenidos curriculares: Técnicas de conteo.Proporcionalidad. Frecuencia relativa.

— Recursos y materiales: garbanzos, recipiente/bolsa y rotulador.

— Recursos y materiales: Tablero, fichas y da-dos.

— Cómo utilizarlo: (12 jugadores/equipos) Encada turno un jugador tira los dos dados yel jugador cuyo número sea la suma de losdados avanza una casilla hacia la meta.Gana el caballo que llega antes a meta.

Antes de empezar la partida se les dicea los alumnos que elijan un caballo, al azar.Después se les dice las reglas. Al juego leseguirá el análisis del experimento aleatoriosuma de las puntuaciones obtenidas en dos dados.

Ejemplo 5. Fichas sobre una cuadrícula

— Objetivo: La frecuencia relativa como me-dida de probabilidad. Importancia de lamodelización en la resolución y análisis deproblemas de azar.

— Contenidos curriculares: Concepto de pro-babilidad. Asignación de probabilidades.Frecuencia y probabilidad. Modelización.

— Recursos y materiales: Proyecto Gauss.<http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/estadistica_y_probabilidad/estimacion/fichas_cuadricula/actividad.html>

— Cómo utilizarlo: Applet de GeoGebra, in-cluido en el Proyecto Gauss. Se trata decalcular la probabilidad de que una fichalanzada sobre una cuadrícula toque o nouna línea de la cuadrícula. Permite la posi-bilidad de explorar el experimento, simu-larlo y finalmente buscar y visualizar la so-lución.

Ejemplo 6. La lotería con granos de arroz

— Objetivo: Visualizar fenómenos aleatoriosde probabilidad muy pequeña como la lo-tería, utilizando materiales cotidianoscomo los granos de arroz.

— Contenidos curriculares: Concepto de proba-bilidad. Probabilidades. Proporciones. In-troducción al concepto de esperanza ma-temática.

— Recursos y materiales: Tres kilos de arroz, unabalanza de cocina, un recipiente para con-tenerlos. El documento de Ven x + mate-máticas con esta actividad. Una presenta-ción para introducir el tema.

— Como utilizarlo: Investigamos cuántos nú-meros hay en la lotería de navidad. Paratener tantos granos como números, pesa-mos un pequeño puñado de arroz y con-tamos cuántos granos hay en él. Con uncálculo proporcional, deducimos que100 000 granos son aproximadamente2,6kg. Pintamos un grano con un rotula-dor rojo y lo mezclamos con los 2,6kg.Que toque el gordo es equivalente a extraerprecisamente el grano rojo sin mirar.

CONCLUSIONES DEL SEMINARIO FEDERAL La Estadística y La ProbabiLidad En La Educación MatEMática

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Ejemplo 7. El problema de las tres fichas

— Objetivo: Potenciar la experimentación enel aula. Elaboración de hipótesis. Practicarsituaciones de no equiprobabilidad.

— Contenidos curriculares: Concepto de proba-bilidad. Probabilidades. Proporciones. In-troducción al concepto de esperanza ma-temática.

— Recursos y materiales: Cartulinas roja y blanca.Tres sobres.

— Cómo utilizarlo: El profesor lleva a clase trescartulinas del tamaño de tarjetas postalesy tres sobres indistinguibles para meterlas.Una tarjeta tiene dos caras rojas, otra lasdos blancas y la tercera tiene una cara rojay otra blanca. Las muestra a los alumnos,las mete en los sobres, los mezcla y loscoloca en la mesa. A continuación unalumno elige uno de los sobres, el profesorsaca con cuidado la tarjeta, enseña unasola de las caras y pide al mismo alumnoque trate de acertar el color de la otra cara.

Una vez explicado el experimento, elprofesor debe preguntar cuál es la proba-bilidad de acertar. Los alumnos opinarány parece que, como hay igual número decaras de cada color, decidirán posiblementeque la probabilidad es 1/2. Pueden razonarerróneamente diciendo que si la tarjeta quevemos es roja, no se puede tratar de la tar-jeta blanca-blanca, luego puede ser la Roja-Roja o la Roja-Blanca, por lo que la otracara tiene dos posibilidades. Es muy posi-ble que algún alumno diga que esas posi-bilidades no son iguales ya que el rojo tienedoble posibilidades porque hay dos carasrojas en una misma tarjeta. Para compro-bar si tiene razón se realiza el experimento.

Se pide ahora a los alumnos que parti-cipen en el experimento y se pone en lapizarra una tabla para rellenar con sus opi-niones, R y B de la forma:

Ejemplo 8. El problema de Monty Hall

— Objetivo: Poner de manifiesto la delicadarelación entre intuición y probabilidad.

— Contenidos curriculares: Concepto de proba-bilidad. Asignación de probabilidades. Mo-delización.

— Recursos y materiales: Proyecto Gauss.<http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/estadistica_y_probabilidad/estimacion/monty_hall/actividad.html>

— Cómo utilizarlo: Applet de GeoGebra, in-cluido en el Proyecto Gauss que permitemodelizar el famoso problema de las trespuertas o de Monty Hall, que se describea continuación.

En un programa de televisión el con-cursante que ha llegado a la final debe jugarcontra el presentador el juego de las trespuertas, que consiste en que el presentadorenseña tres puertas cerradas y dice que de-trás de una de ellas está el premio, que esun coche. El concursante debe elegir unade las tres puertas, numeradas 1, 2 y 3, acontinuación el presentador enseña una delas otras dos y todos ven que el coche noestá ahí, ofreciendo al concursante la posi-bilidad de cambiar la elección que hizo.

¿Qué es mejor para el concursante,cambiar de puerta o mantenerse con laque escogió?

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Vediceera

A la vista de la tabla rellena se deduciráque la mejor táctica es: predecir que es delmismo color que vemos. Si vemos R, es claroque no es la tarjeta BB, puede ser la RB ola RR, esta con doble probabilidad que laotra.

Ejemplo 9. correlación y regresión

— Objetivo: Deducir el tipo de relación exis-tente entre dos cosas que varían, adquirirel concepto de regresión y conseguir efec-

tuar estimaciones con las rectas de regre-sión conociendo la fiabilidad de las mis-mas.

— Contenido curricular: Estadística bidimensio-nal. Correlación y regresión.

— Materiales y recursos:<http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/e3regresion.htm>

— Cómo utilizarlo: El alumno abre el docu-mento de GeoGebra y trabaja con el com-pletando las cuestiones que se plantean oproponiendo otras según el grupo dealumnos que lo trabajan

Referencias bibliográficas

BATANERO, C. (2001), Didáctica de la Estadística, Uni-versidad de Granada, Granada.

BATANERO, C., y J. DÍAZ (2002), Estocástica y su didácticapara maestros, Departamento de Didáctica de laMatemática, Universidad de Granada, Granada.

CUEVAS, A. (2004), «El análisis estadístico de grandesmasas de datos: algunas tendencias recientes», Dela aritmética al análisis: historia y desarrollos recientes enmatemáticas.

«EDUTEKA-Matemática Interactiva-Lecciones.»2007. 8 Dec. 2014<http://www.eduteka.org/MI/>[8 de diciembre de 2014]

ELDER, L., y otros (2002), «El arte de formular pre-guntas esenciales», Basado en conceptos de pensamientocrítico y principios socráticos, Fundación para pensa-miento crítico, 1-39.

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GARFIELD, J. B. (1995) «La evaluación del aprendizajede la estadística», Uno: Revista de Didáctica de lasMatemáticas, n.º5, 5-14.

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«Plantas aleatorias», Geometría Dinámica.<http://www.geometriadinamica.cl/2014/01/plantas-aleatorias/>[8 de diciembre de 2014. Este blog fue uno de losimpulsores en su día de la geometría dinámica.Este artículo muestra el modelado geométrico deplantas basado en técnicas fractales mejorado conla introducción de la aleatoriedad en su creci-miento.

«Proyectos Clase - > pág.: 1 - Eduteka» (2011)<http://www.eduteka.org/proyecto/>[8 de diciembre de 2014]

VARGAS, M. A. (2008), «Herramientas tecnológicasen el proceso de enseñanza y aprendizaje de laestadística», Cuadernos de investigación y formación eneducación matemática, n.º 3.

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