¿Que son las ecuaciones diferenciales?

• Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial.

Libro de consulta: Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado.

¿Que es orden?

• El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación. Por ejemplo:

d2y + 5 dy 3 – 4y = x Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

dx2 dx

x2 dy + y = 0 Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

dx

a2 Ɋ4u + Ɋ4u = 0 Es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden.

Ɋx4 Ɋt4

Libro de consulta: ecuaciones diferenciales con aplicaciones.

¿A que se le llama grado?• Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden.

La ecuación debe tener una forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

• Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:

• Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.

• En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.

• Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Clasificación y tipos de orden y grado.

Orden d2y + 5 dy 3 – 4y = x Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

dx2 dx

x2 dy + y = 0 Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

dx

a2 Ɋ4u + Ɋ4u = 0 Es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden.

Ɋx4 Ɋt4

Grado

t3/2 √(x3 + y3) Grado de 3/2

t (x – 3 √ x y + 5y) Grado de 1

Solución• Cualquier función €, definida en un intervalo I y con al menos n derivadas

continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n- ésimo orden reduce la ecuación a una entidad, se considera solución de la ecuación en el intervalo.

Solución particular• Si asignamos valores a toda o a cada una de las constantes se obtiene una

solución particular.

Ejemplo:

dy = x2 + 2 ; y(1) = 7

dx y

Su solución particular seria la siguiente:

y2 = x3 + 2x + 22.16

2 3

Solución general• Si la solución de una ecuación diferencial tiene diferentes constantes,

diremos que dicha solución es una solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo:

dy = x2 + 2 ; y(1) = 7

dx y

Su solución general es la siguiente:

y2 = x3 + 2x + C

2 3

Interpretación geométricaCaso 1º : Los tres planos se cortan a la vez en un único punto :

Caso 2º : Los tres planos no tienen ningún punto en común a la vez :

Interpretación geométrica• Caso 3º : Los tres planos tienen infinitos puntos en común (1 parámetro) :

• Caso 4º : Los tres planos son paralelos :

Interpretación geométrica• Caso 5º : Las 3 ecuaciones son el mismo plano (2 parámetros) :

http://www.terra.es/personal/ijic0000/interpretacion.htm

Trayectorias ortogonales

Las soluciones de una ecuación diferencial forman un haz de curvas.

En azul las curvas originales y en rojo las ortogonales, veremos que son respectivamente curvas parabólicas de orden 3 y elipses.

http://html.rincondelvago.com/ecuaciones-diferenciales-de-orden-uno_1.html

Campo direccional• Defínase una función: , y su derivada , de modo que: .

Esta función describe el comportamiento de la pendiente de la curva solución . Vale decir, la dirección que tiene una solución de la ecuación en cada punto.

• En este sentido, el campo de direcciones, es un bosquejo con pequeños segmentos de recta trazados en un sistema de coordenadas cartesianas xy (o simplemente plano xy), donde se muestra el comportamiento de la pendiente (derivada) que le corresponde a la curva solución.

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones

Fuentes de referencia

• http://www.terra.es/personal/ijic0000/interpretacion.htm• http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones• http://html.rincondelvago.com/ecuaciones-diferenciales-de-o

rden-uno_1.html• Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Dennis G.

Zill, CETI, pagina 3.• Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado,

Dennis G. Zill, CETI, Octava edición pagina 2.