Conceptos Matematicos Para Electricidad

7/25/2019 Conceptos Matematicos Para Electricidad

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ELECTRICIDADPREFORMACINACADEMICA

Preparado por: Miguel Villalobos

INTRODUCCION

Lo que se presenta a continuacin, permitir al futuro alumno de la asignatura de

Electricidad llegar en mejor forma en la comprensin matemtica aplicada a la

resolucin de muchos de los problemas que se le presentarn durante su estudio.

Esto ha quedado resumido en los conceptos matemticos que debera dominar el

alumno para facilitar posteriormente la resolucin de dichos problemas.

CONCEPTOS MATEMATICOS

Los siguientes conceptos y operaciones se tratarn a continuacin:

1. OPERACIN DE POTENCIAS

Las propiedades ms utilizadas en electricidad son aquellas de igual base, es

decir:

363101010 Si es una multiplicacin se suman los exponentes

9

6

3

1010

10 Si es una divisin se restan los exponentes del

numerador y del denominador

422

1010 Si es una potencia elevada a otra potencia, entonces

Se multiplican ambos exponentes.


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2. OPERACIN DE UNIDADES

La correcta aplicacin de las unidades permitir obtener el resultado deseado

en muchas de las operaciones matemticas.

Las unidades estn directamente relacionadas con las potencias ya vistas en

el punto anterior.

A continuacin se detallan estas:

UNIDAD POTENCIA SIMBOLOBase 10 Exp

Mega 106 E6 M

Kilo 103 E3 K

- - - 100

mili 10-3 E-3 m

micro 10-6 E-6

nano 10-9 E-9 n

pico 10-12 E-12 p

As, si se tiene la siguiente expresin:

5,234105,23435,234445,23 3EE Kilo[*]

6233023,0000023,0 EE

[*] : Smbolo de la magnitud fsica

Valor obtenido

Valor en milim

Valor en micro


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Ejemplo

Se requiere determinar el flujo de corriente por un elemento en el cual est

presente una tensin de 10 V, si el elemento tiene una resistencia de 200 K.

El flujo de corriente se determina dividiendo la tensin por la resistencia, as:

AAAVV

K

V

R

VI 50105010005,0

10

10

200

1

10200

101

200

10 623

1

3

1

3. OPERACIN DE LOGARITMOS

Sea la potencia: cab

Entonces, el logaritmo es la operacin para determinar el exponente si se

conocen el resultado de la potencia c y su base a. As, se obtienen los

logaritmos comunes (log) con base 10 y naturales (ln) con base e

(e=2,7182818).

Si quisiramos saber el exponente aplicando:

a.- Logaritmo comn: cb 10log 10a

b.- Logaritmo natural: cb eln 7182818,2ea


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Ejemplo

La carga de un condensador a los 3 segundos es de 10 volts, si la fuente de

alimentacin es de 12 volts, determinar la constante de tiempo de

condensador T.

La carga de un condensador est relacionada con la siguiente expresin:

Tt

FC eVV

Reemplazando valores, se tiene que: Te3

1210

Despejando:Te

3

12

10

Para eliminar la exponencial, se aplica logaritmo natural, as:

T

3

12

10ln , luego despejando se tiene que:

12

10ln

3T

Como el valor de la fraccin es menor que el valor de e, el logaritmo es

negativo con lo cual el valor final es positivo, es decir: segT 45,16


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4. OPERACIN DE FRACCIONES

La operacin de fracciones permite el obtener en forma correcta el mnimo

comn divisor, de la siguiente forma:

ec

dcbcae

e

d

c

bca

e

d

c

ba

5. GEOMETRIA

Lo ms aplicado en el rea elctrica es la obtencin de reas, distancias,

volmenes y permetros.

La siguiente figura muestra una parte de un conductor elctrico:

El rea (seccin) transversal de la figura es:4

22 drA

El volumen de la figura es: LAV

Conversin deentero y fraccin

en fraccin

Suma de lasfracciones aplicando elmnimo comn divisor

ResultadoFinal


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El permetro circundante de la figura es: rdP 2

Donde:

A : rea transversal

L : Longitud del conductor

V : volumen del conductor

P : permetro del conductor

D : dimetro del conductor ( rd 2 )

: constante ( 3,1416 )

En la siguiente figura:

La representacin compleja es:


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jBACC

Donde C representa la longitud del lado C

Segn el Teorema de Pitgoras para cualquier tringulo rectngulo se debe

cumplir que:

222 BAC

Por despejes se puede obtener lo siguiente:

Hipotenusa:2 22 BAC

Cateto Adyacente: cos2 2

2CBCA

Cateto Opuesto: senCACB 2 22

En electricidad el teorema de Pitgoras se puede aplicar tanto a:

a. Impedancias

b. Potencias

c. Fuerza entre cargas

d. Potenciales


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Ejemplos

a) La resistencia de un conductor est definida por:S

LR

Donde, R : resistencia del conductor ()

: resistividad del material conductor (m

mm2)

L : longitud del conductor ( m)

S : rea transversal del conductor ( m2)

Si el conductor es de cobre (=0,018), tiene un dimetro de 1,2 mm y su

resistencia es de 0,5 . La longitud del conductor se determina como

sigue:

ComoS

LR , despejando se tiene que:

SRL

Reemplazando, se tiene: mL 416,31018,0

4

2,15,0

2

b) Se tienen dos cargas puntuales Qa y Qb, se sabe que la distancia

entre Qay Qbes de 15 metros, y de la carga Qba un punto P es de 20

metros. Si los tres puntos forman un tringulo rectngulo, entonces la

distancia de la carga Qaal punto P es :


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mddd bPabaP 256252015 22 222 22

6. DESPEJES

Para realizar el despeje de variables hay que tener en cuanta bsicamente

que se debe de realizar la operacin contraria a la variable involucrada de

acuerdo a prioridad de operaciones, es decir:

Si es una suma/resta, se realiza una resta/suma

Si es una multiplicacin/divisin, se realiza una divisin/multiplicacin

Si es una potencia/raz, se realiza una raz/potencia

Ejemplo

Se tiene la siguiente expresin,

Como los 25se estn sumando, entonces se restan 25

5,3

30

325

2

x


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255,3

3025325 2x 25

5,3

303 2x

El 3est multiplicando, entonces divide

3

255,3

30

3

3 2x

3

255,3

30

2x

Luego por operacin de fracciones, se tiene:

5,33

255,330

1

3

5,3

255,330

3

5,3

255,330

3

255,3

30

2x

Si aplicamos raz cuadrada debido al exponente de x:

22 2

5,33

255,330x 2

5,33

255,330x ; si x >0

se considera el valor de = 180y reemplazando se tiene que el valor dex

es:

4156,366,115,10

5.122

5,10

5,87210

5,33

255,3301802

222x

As, se tiene como resultado final el valor:

4156,3x


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7. SISTEMA DE ECUACIONES

La solucin de un sistema de ecuaciones se puede obtener a travs de los

siguientes mtodos:

a) Por eliminacin: Tambin denominado de reduccin, consiste en

reducir las ecuaciones para dejarla en una sola, a travs de la

multiplicacin de ambas para que al sumarlas de elimine una de las

incgnitas.

b) Por sustitucin:Se despeja una de las incgnitas de una ecuacin

para proceder a reemplazarla en la otra ecuacin, de donde se

determina la otra incgnita.

c) Por igualacin: Se despeja la misma incgnita en ambas

ecuaciones para luego proceder a igualarlas para determinar la otra

incgnita.

d) Por determinantes:Se ordenan las constantes de cada ecuacin

en filas y columnas, luego una de las incgnitas se determina a

travs de la divisin del determinante de la incgnita y el

determinante general.


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Ejemplo

El anlisis de un determinado circuito arroja dos ecuaciones:

24515 BA II ecuacin (1)

12255 BA II ecuacin (2)

Por eliminacin:

524515 BA II 1202575 BA II

112255 BA II 12255 BA II

10870 AI

Dicho valor se reemplaza en una de las dos ecuaciones, as:

AII BB 17143,025

54286,1512122554286,15

AIA 54286,170

108


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Por sustitucin:

De la ecuacin (1) despejamosIB

24515 BA II 51524 A

BII , luego se reemplaza en la ecuacin

(2), as:

12255 BA II 125

1524255 AA

II

12152455AA

II 12751205AA

II

1270120 AI 1201270 AI

El valor anterior se reemplaza en la ecuacin (2), as:

AII BB 17143,025

54286,1512122554286,15

Por igualacin:

De la ecuacin (1):5

1524 AB

II

De la ecuacin (2): 25

512AB

II

Igualando:25

512

5

1524 AA II

AIA 54286,170

108


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AA II 5125152425

AA II 2560375600 AA II 2537560600

A,II AA 542861350

540350540

Este valor se reemplaza en una de los dos despejes (ecuacin (2):

AIB 171428,0252857,4

257143,712

2554286,1512

Por determinantes:

Determinante general: 35025375552515255

515

Determinante incgnitaA

I :

5406060051225242512

524

Determinante incgnitaB

I :

601201802451215125

2415

Luego se determina cada intensidad de corriente dividiendo la determinanteincgnita por la determinante general para cada incgnita respectivamente:

AIA 54286,1350

540AIB 171428,0

350

60


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