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Febrero 2010 Conceptos geométricos II – Diapositiva 1

Conceptos geométricos IIConceptos geomConceptos geoméétricos IItricos II

� Ángulo� Ángulos Consecutivos� Ángulos Alternos y Ángulos

Correspondientes� Polígono� Polígono Regular� Polígono Irregular� Triángulo� Cuadrilátero� Superficie� Círculo� Superficie reglada� Plano

� Superficie de curvatura simple� Superficie alabeada�� Superficie de curvatura doble Superficie de curvatura doble � Sólido� Poliedro� Clasificación de los Poliedros� Poliedro Irregular� Pirámide�� PrismaPrisma�� Cuerpo RedondoCuerpo Redondo�� CilindroCilindro�� ConoCono�� SSóólido de revolucilido de revolucióónn


ÁnguloÁngulo

� Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común.

� Clasificación de los Ángulos, según su Medida Ángular� Según su medida ángular en grados sexagesimales (un grado sexagesimal es la

90a. parte del ángulo recto), un ángulo se define como:


Ángulos ConsecutivosÁngulos Consecutivos

� Son dos ángulos ubicados uno a continuación del otro. Se denominan:

� ángulos complementarios: si suman 900,

� ángulos suplementarios: si suman 1800.

� ángulos consecutivos


Ángulos Alternos y Ángulos CorrespondientesÁngulos Alternos y Ángulos Correspondientes

� Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, se forman ocho ángulos, los cuales, considerados en pares de igual medida ángular, se denominan:

� ángulos alternos, clasificados a su vez en:

• ángulos alternos internos,

• ángulos alternos externos,

� ángulos correspondientes.


Ángulos Alternos y Ángulos CorrespondientesÁngulos Alternos y Ángulos Correspondientes

� Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, se forman ocho ángulos, loscuales, considerados en pares de igual medida ángular, se denominan:

� ángulos alternos, clasificados a su vez en:

• ángulos alternos internos,

• ángulos alternos externos,

� ángulos correspondientes.


PolígonoPolígono

� Figura geométrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se corta a si misma.

� Clasificación de los Polígonos

� Los polígonos se clasifican básicamente en:

• polígonos regulares

• polígonos irregulares


Polígono RegularPolígono Regular

� Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices estáncircunscritos en una circunferencia. Se clasifican en:

• triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados,

• cuadrado: polígono regular de 4 lados,

• pentágono regular: polígono regular de 5,

• hexágono regular: polígono regular de 6 lados,

• heptágono regular: polígono regular de 7 lados,

• octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.

• polígono regular


Polígono IrregularPolígono Irregular

� Polígono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidosen una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados, se denominan:

• triángulo: polígono de 3 lados,

• cuadrilátero: polígono de 4 lados,

• pentágono: polígono de 5 lados,

• hexágono: polígono de 6 lados,

• heptágono: polígono de 7 lados,

• octágono: polígono de 8 lados,... y así sucesivamente.

• poligono irregular


TriánguloTriángulo� Polígono de tres lados. De acuerdo a la magnitud de sus ángulos, los triángulos se

clasifican en:

• triángulo isósceles: 2 ángulos iguales,

• triángulo escaleno: 3 ángulos diferentes,

• triángulo rectángulo: 1 ángulo recto,

• triángulo obtusángulo: 1 ángulo obtuso,

• triángulo acutángulo: 3 ángulos agudos.

• triángulo: polígono de 3 lados


CuadriláteroCuadrilátero

� Polígono de 4 lados. Se clasifican en:� paralelogramo: cuadrilátero en el que los lados

opuestos son paralelos, se denominan a su vez:• rectángulo: paralelogramo en el cual los cuatro

ángulos son rectos, pero los lados adyacentes no son de igual longitud,

• rombo: paralelogramo que no tiene ángulos rectos, pero sus lados son de igual longitud,

• romboide: paralelogramo que no tiene ángulos rectos y sus lados adyacentes no son de igual longitud,

� trapecio: cuadrilátero que tiene solo dos ladosparalelos, se definen a su vez como:

• trapecio rectángulo: trapecio que tiene dos ángulosrectos,

• trapecio isósceles: trapecio en el que sus lados no paralelos son de igual longitud,

� trapezoide: cuadrilátero que no tiene ladosparalelos.

� cuadrilátero: polígono de 4 lados


SuperficieSuperficie

� Configuración geométrica que posee solo dos dimensiones.

� Clasificación de las Superficies� Entre las superficies principales se pueden mencionar:

• círculo• superficie reglada• superficie de curvatura doble


CírculoCírculo

� Superficie plana limitadapor una circunferencia.

� circunferencia, círculo y sus partes


� Superficie generada por el movimiento de una recta, denominada generatriz, manteniéndose en contacto con otra u otras líneas, denominadas directrices, cumpliendoademás en su desplazamiento ciertas condiciones particulares.

� Entre las superficies regladas se pueden mencionar:

• plano, • superficies de curvatura simple, • superficies alabeadas

superficie reglada

Superficie regladaSuperficie reglada


PlanoPlano

� Superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), que se mantiene en contacto con una directriz (d) recta, siendo paralelas todas las posiciones de la generatriz.

� plano


superficie de curvatura simple

Superficie de curvatura simpleSuperficie de curvatura simple

� Superficie de curvatura simple

� Superficie reglada en la cual cada dos posiciones adyacentes de la generatriz (g) son coplanares (son paralelas o se cortan).

� Las superficies de curvatura simple son superficies desarrollables, es decir, puedenextenderse sobre un plano. Ejemplos de estas superficies son:

• superficie cilindrica.

• superficie cónica.


Superficie de curvatura simpleSuperficie de curvatura simple

� Superficie cilindrica: superficie generada por el movimiento de una generatriz (g) quese mantiene en contacto con una directriz (d) curva, siendo además paralelas todas lasposiciones de la generatriz; se clasifican en:

• superficie cilindrica de revolución: superficie cilíndrica en la cual todas las posiciones de la generatriz (g) equidistan de un eje (e), paralelo a ella,

• superficie cilindrica de nó revolución: superficie cilíndrica en la cual no es posible definir un eje (e) que equidiste de todas las posiciones de la generatriz (g),

� Superficie cónica: superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), manteniéndose en contacto con una directriz (d) curva, teniendo, todas las posiciones de la generatriz (g), un punto común (V), denominado vértice; se clasifican en:

• superficie cónica de revolución: superficie cónica en la cual, todas las posiciones de la generatriz (g), forman el mismo ángulo con un eje (e), que pasa por el vértice (V),

• superficie cónica de nó revolución: superficie cónica en la cual no es posible definir un eje(e), que forme el mismo ángulo con todas las posiciones de la generatriz.


Superficie alabeada

Superficie alabeadaSuperficie alabeada

Es una superficie reglada nó desarrollable, esdecir, en la cual, dos posiciones sucesivasde la generatriz no son coplanares. Entreeste tipo de superficies, se puede citar:

� cilindroide: la generatriz (g) se desplazamanteniéndose paralela a un planodirector (d) y apoyada sobre dos directrices (d1 y d2) curvas,

� conoide: la generatriz (g) se desplazamanteniéndose paralela a un planodirector (d) y apoyada sobre dos directrices, siendo una de ellas recta (d1) y la otra curva (d2).

� Superficie doblemente reglada


superficie alabeada

Superficie alabeadaSuperficie alabeada

� Superficie doblemente reglada: Superficie alabeada en la cual por cada uno de suspuntos pasan dos generatrices (g1 y g2). Entre ellas se pueden citar:

• paraboloide hiperbólico: la generatriz (g) se desplaza manteniéndose paralela a un planodirector (d) y apoyada sobre dos directrices rectas (d1 y d2) que se cruzan,

• hiperboloide de revolución: la generatriz (g) se apoya sobre dos directrices (d1 y d2) circulares, paralelas, y se mueve manteniendo constante el ángulo (a0) que forma ellas.


superficie de curvatura doble

Superficie de curvatura dobleSuperficieSuperficie de de curvaturacurvatura dobledoble

� Superficie de curvatura doble� Son superficies generadas por el movimiento de una generatriz (g) curva. Estas

superficies no contienen líneas rectas y por lo tanto no son desarrollables. Entre ellas son muy conocidas las cuádricas, las cuales son superficies generadas por la rotación de unacurva cónica alrededor de uno de sus ejes. Las cuádricas son:

• esfera: la generatriz (g) es una circunferencia,

• elipsoide: la generatriz (g) es una elipse,

• paraboloide: la generatriz (g) es una parábola,

• hiperboloide: La generatriz (g) es una hipérbola.


poliedro y cuerpo redondo

SólidoSólido

� Espacio limitado por superficies.

� Clasificación de los Sólidos� Los seól idosc se clasifican basicamente en:

� poliedros� cuerpos redondos


PoliedroPoliedro

� Sólido limitado por superficies planas(polígonos). Sus partes se denominan:

� caras: polígonos que limitan al poliedro,

� aristas: lados de las caras del poliedro,

� vértices: puntos donde concurrenvarias aristas.


Clasificación de los PoliedrosClasificación de los Poliedros

� Los poliedros se clasifican básicamente en:

• poliedros regulares• poliedros irregulares


Clasificación de los PoliedrosClasificación de los Poliedros

� Poliedro Regular• Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual

longitud; en consecuencia, todos sus vértices están contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan:

� tetraedro regular: • poliedro regular definido por 4 triángulos equiláteros iguales,

� hexaedro regular (cubo): • poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales,

� octaedro regular: • poliedro regular definido por 8 triángulos equiláteros iguales,

� dodecaedro regular:• poliedro regular definido por 12 pentágonos regulares iguales,

� icosaedro regular: • poliedro regular definido por 20 triángulos equiláteros iguales.

� poliedros regulares


Poliedro IrregularPoliedro Irregular

� Poliedro definido por polígonos que no son todos iguales.

� Clasificación de los Poliedros Irregulares� Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en:

• tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro,• pirámide• prisma• denominación de los poliedros irregulares,

según el número de sus caras


PirámidePirámide

� Poliedro definido por un polígono base y cuyas caras laterales son triángulos que poseenun vértice común (V), denominado vértice de la pirámide, que no está contenido en el plano base. La recta que pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de la pirámide (e). Las pirámides se clasifican en:

� pirámide recta: el eje es perpendicular al polígono base,

� pirámide oblicua: el eje no es perpendicular al polígono base,

� pirámide regular: la base es un poligono regular,

• pirámide regular recta: la base es un poligono regular y el eje es perpendicular al polígonobase.

• pirámide regular oblicua: la base es un poligono regular y el eje no es perpendicular al polígono base.


PirámidePirámide


PrismaPrismaPrisma

� Poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases) y cuyas caraslaterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que une los centrosgeométricos de las bases se denomina eje del prisma (e). Los prismas se clasificanen:

� prisma recto: el eje es perpendicular a los polígonos base,

� prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los polígonos base,

� prisma regular: las bases son poligonos regulares,

• prisma regular recto: las bases son poligonos regulares y el eje es perpendicular a lospolígonos base.

• prisma regular oblicuo: las bases son poligonos regulares y el eje no es perpendicular a los polígonos base.

� paralelepipedo: prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vezrectos u oblicuos.


PrismaPrismaPrisma


Cuerpo RedondoCuerpoCuerpo RedondoRedondo

� Sólido que contiene superficies curvas.

� Clasificación de los Cuerpos Redondos

� Los cuerpos redondos se clasifican básicamente en:

• cilindro• cono• sólido de revolución


Cilindro

CilindroCilindroCilindro

� Cuerpo redondo limitado por una superficie cilíndrica y dos bases planas paralelas. La recta que pasapor los centros geométricos de las bases se denomina eje del cilindro (e), y es paralela a la generatriz(g) de la superficie cilíndrica. Los cilindros pueden ser:

� cilindro recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases,

� cilindro oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases,

� cilindro de revolución: si está limitado por una superficie cilíndrica de revolución.

� Pueden a su vez ser: • cilindro de revolución recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases,

• cilindro de revolución oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases.


cono

ConoConoCono� Cuerpo redondo limitado por una superficie cónica y por una base plana. La recta que pasa por el

vértice (V), de la superficie cónica y el centro geométrico de la base se denomina eje del cono (e). Los conos pueden ser:

� cono recto: si el eje (e), es perpendicular a la base,

� cono oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base,

� cono de revolución: si está limitado por una superficie cónica de revolución. Pueden a su vez ser:

• cono de revolución recto: si el eje (e), es perpendicular a la base,

• cono de revolución oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base.


Sólidos de revolución

Sólido de revoluciónSSóólidolido de de revolucirevolucióónn

� Cuerpo redondo limitado por una generatriz (g) curva, que rota alrededor de un eje (e). Entre ellos se pueden mencionar:

� sólidos limitdos por superficies cuadricas: • esfera: la generatriz es una circunferencia,

• elipsoide: la generatriz es una elipse,

• paraboloide: la generatriz es una parábola,

• hiperboloide: la generatriz es una hipérbola,

� toro (anillo). Su superficie la genera una circunferencia ó una elipse, que giraalrededor de un eje (e), coplanar con ella, y situado fuera de ella.

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