Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

Conceptos de figuras geométricas.

Un triángulo es una de las figuras básicas en geometría; es un polígono con tres puntos no coliniales que forman sus vértices y tres segmentos de recta que definen sus lados y determinan un plano. 

Una propiedad de todos los triángulos es que la suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado. La suma de todos los ángulos de sus vértices, en un plano, es igual a 180°. 

El teorema de Pitágoras Para cualquier triángulo rectángulo cuyos catetos midan a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras: 

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos:

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»: 

Un triángulo se compone de: 

Base: uno cualquiera de sus lados (lado opuesto al vértice). Vértice: la intersección de los lados congruentes (que conforman el ángulo) Altura: es elemento perpendicular a una bases o a su prolongación, trazada desde el vértice opuesto. Lados: son tres y conjuntamente con los ángulos definen las clases o tipos de ángulos. 

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

Características: 

Son figuras planas Tienen área pero no volumen. Los triángulos son polígonos La suma de los ángulos de cualquier triángulo es de 180º

Un cuadrado es una figura geométrica, del tipo

paralelógramo que tiene cuatro lados iguales y todos sus

ángulos interiores miden 90°.

Un rectángulo es un tipo de paralelógramo que tiene cuatro

lados al igual que el cuadrado, pero a diferencia de éste dos

de sus lados son equivalentes entre si y sus otros dos lados

también son equivalentes entre si. cada uno de los cuatro

ángulos internos de un rectángulo miden 90°.

Al igual que en el caso de otros paralelógramos, la suma de

los ángulos internos del cuadrado y del rectángulo dan 360°.

La unión o intersección de dos de sus lados se conoce como

vértice.

Un lado unido a otro por un vértice, se conoce como lados

adyacentes.

Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al

término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y

encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del

griego clásico πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys),

"muchas" y de έδρα (edra), "base", "asiento", "cara".

Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales,

pero hay semejantes topológicos del concepto en

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante

topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o

segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2

dimensiones; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas

estas formas son conocidas como politopos, por lo que

podemos definir un poliedro como un polítopo

tridimensional.

Criterios de clasificación de los poliedros

Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos

según la familia de donde provienen o de las características

que los diferencian; según sus características, se distinguen:

Convexos, como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par

de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un

segmento de recta también interno. En el caso de que dicho

segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros

cóncavos, como es el caso del toroide facetado y los sólidos

de karim.

Poliedro de caras regulares, cuando todas las caras del

poliedro son polígonas regulares.

Poliedro de caras uniformes, cuando todas las caras son

iguales.

Se dice poliedro de aristas uniformes cuando los pares

de caras que se reúnen en cada arista son iguales.

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

Se dice poliedro de vértices uniformes cuando en todos

los vértices del poliedro convergen el mismo número de

caras y en el mismo orden.

Se dice poliedro regular o regular y uniforme, como el

tetraedro o el icosaedro, cuando es de caras regulares,

de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas

uniformes.

Estos grupos no son excluyentes entre sí; es decir, un poliedro

puede estar incluido en más de uno de ellos.

En geometría, un prisma es un poliedro con una

base poligonal de n lados, una copia de traslación (no en el

mismo plano que la primera), y otras n caras (todas

necesariamente deben ser paralelogramos) que une los lados

correspondientes de las dos bases. Todas las secciones

transversales paralelas a las caras de la base son iguales. Los

prismas se nombran para su base, por lo que un prisma de

base pentagonal se llama un prisma pentagonal. Los prismas

son una subclase de los prismatoides.

En geometría, un cilindro es una superficie de las

denominadas cuádricas formada por el desplazamiento

paralelo de una recta llamada generatriza lo largo de una

curva plana, que puede ser cerrada o abierta,

denominada directriz del cilindro.

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a

él, entonces la superficie obtenida, llamada cilindro circular

recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos sus

puntos situados a una distancia fija de una línea recta,

el eje del cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por

dos planos perpendiculares al eje también es llamado cilindro.

Este sólido es utilizado como una superficie Gausiana.

En geometría diferencial, un cilindro se define de forma

general como cualquier superficie reglada generada por una

familia uniparamétrica de líneas paralelas.

Las superficies cilíndricas pueden ser

superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella,

superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de las generatrices.

En geometría, una superficie esférica es una superficie de

revolución formada por el conjunto de los puntos del espacio

cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro. Los

puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio

forman el interior de la superficie esférica. La unión del

interior y la superficie esférica se llama bola cerrada.

La esfera, como superficie de revolución, se genera haciendo

girar una superficie semicircular alrededor de

su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14).

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que

significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablando, se

emplea la palabrabola, para describir al cuerpo delimitado por

una esfera.

DEFINICIÓN DE CUADRILÁTERO: Los polígonos limitados

por cuatro lados y que además forman entre sí cuatro

ángulos, se denominan “Cuadriláteros”.

NOTACIÓN: Todo cuadrilátero se indica por las letras

mayúsculas de sus vértices.

Ejemplos:

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS:

1. Los “LADOS OPUESTOS” son iguales y que no tienen

ningún vértice en común.

2. Los “LADOS CONSECUTIVOS” son los que tienen un

vértice en común.

3. Los “VÉRTICES Y ÁNGULOS OPUESTOS” son los que

no pertenecen a un mismo lado, siendo los ángulos

iguales.

4. La “SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES” es igual a

cuatro rectos (360°).

<br<

5. Los “ÁNGULOS ADYACENTES” a un mismo lado son

suplementarios, es decir, suman 180°.

</br<>

6. Las “DIAGONALES” se cortan en su punto medio.

7. El “NÚMERO TOTAL DE DIAGONALES” que pueden

trazarse siempre son dos y que se cortan en un punto

interior.

8. Desde un Vértice solo puede trazarse una “DIAGONAL”.

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS:

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

1. Si los lados opuestos son paralelos entre sí, se les

denomina “PARALELOGRAMOS”.

CUADRADOS: Es un polígono regular que

tiene sus ángulos y lados iguales.

RECTÁNGULOS: Es un paralelogramo que

tiene sus lados contiguos desiguales, es decir,

solamente sus lados opuestos son iguales; sus

cuatro ángulos son rectos.

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

ROMBOS: Paralelogramos que tiene sus lados

iguales y sus ángulos son oblicuos, es decir,

sus ángulos no son rectos.

ROMBOIDES: Paralelogramo que tiene sus

lados contiguos desiguales, es decir,

solamente sus lados opuestos son iguales y

sus ángulos son oblicuos.

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

2. Si únicamente dos de sus lados opuestos son

paralelos, es decir, los que se llaman “Bases” y los

otros dos no, se denominan “TRAPECIOS”

TRAPECIO ESCALENO: Es aquel que tiene los

lados no paralelos desiguales.

TRAPECIO ISOSCELES: Es aquel que tiene los

lados no paralelos de igual longitud, formando

con las bases ángulos adyacentes iguales.

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

TRAPECIO RECTÁNGULO: Es aquel que tiene

un lado perpendicular a las bases, formando

un ángulo recto con cada base.

3. Los cuadriláteros cuyos lados opuestos no son

paralelos entre sí, se denominan “TRAPEZOIDES”.

TRAPEZOIDES SIMÉTRICOS: Son los que

tienen dos pares de lados consecutivos iguales

pero el primer par de lados consecutivos

iguales es diferente del segundo.

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

TRAPEZOIDES ASIMÉTRICOS: Son aquellos

que no ofrecen ninguna de las características

de un trpezoide simétrico.

Un paralelogramo es un tipo particular

de cuadrilátero (polígono formado por solo cuatro lados)

cuyos lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos.

Clasificación[editar]

Los paralelogramos se clasifican en:

Paralelogramos rectángulos, son aquellos cuyos ángulos internos son todos ángulos rectos. En esta clasificación se incluyen: El cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud. El rectángulo, que tiene sus lados opuestos de igual

longitud.

Paralelogramos no rectángulos, son aquellos que tienen dos ángulos internos agudos y dos ángulos internos obtusos. En esta clasificación se incluyen: El rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y

dos pares de ángulos iguales.

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

El romboide, que tiene los lados opuestos de igual longitud y dos pares de ángulos iguales.

Por otra parte podemos clasificar a los paralelogramos

en polígonos equiláteros y no equiláteros, con lo que tenemos:

Paralelogramos equiláteros, con sus cuatro lados iguales: El cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud

(y todos sus ángulos rectos). El rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud

(pero sus ángulos no son rectos).

Paralelogramos no equiláteros, si sus cuatro lados no son iguales: El rectángulo, en el que solo sus lados opuestos tienen

igual longitud (y todos sus ángulos son rectos). El romboide, en el que solo los lados opuestos son

iguales (y sus ángulos no son rectos).

Propiedades:

Conjunto y subconjuntos de la familia de los paralelogramos.Todo lo que no sea cuadrado, rectángulo o rombo es denominado romboide (zona gris).

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

El conjunto de los paralelogramos reúne en sí a varios

subconjuntos de figuras geométricas, todas ellas con lados

opuestos iguales y paralelos, por ejemplo los romboides,

los rombos, los cuadrados y los rectángulos son todos

subconjuntos pertenecientes al conjunto de los

paralelogramos. El hecho de que varias figuras con algunas

características distintas sean parte de los paralelogramos

hace un poco más complejo el mencionar sus propiedades,

puesto que existen propiedades que son comunes a toda la

familia de paralelogramos, por ejemplo «lados opuestos

iguales y paralelos», pero otras propiedades como ser «ejes

de simetría de reflexión» pueden ser diferentes para cada

subfamilia de paralelogramos.

Por el motivo anterior se mencionarán en primer término, las

propiedades comunes a todos los paralelogramos (de

cualquier subclase), luego algunas de las propiedades

particulares que diferencian a las distintas clases o figuras de

la familia, y finalmente algunas propiedades métricas.

Propiedades comunes a todo paralelogramo[editar]

Todo paralelogramo tiene cuatro vértices y cuatro lados (es un subconjunto de los cuadriláteros).

Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos (por definición), por lo cual nunca se intersectan.

Los lados opuestos de un paralelogramo son de igual longitud, (congruentes).

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales en medida.

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

Los ángulos de dos vértices contiguos cualesquiera son suplementarios (suman 180°).

La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es siempre igual a 360°.

El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo formado por cualquiera de sus diagonales y los lados contiguos de la figura.

El área de un paralelogramo es igual a la magnitud (módulo) del producto vectorial 1  de dos lados contiguos, considerados como vectores.2

Todos los paralelogramos son convexos.3

Cualquier recta secante coplanar corta al paralelogramos en dos y solo dos de sus lados.

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. El llamado «centro» del paralelogramo se encuentra en el

punto en que se bisecan sus dos diagonales. El «centro» del paralelogramo es también el baricentro del

mismo.4

Cualquier recta coplanar que pase por el «centro» de un paralelogramo divide a su área en dos partes iguales, o en dos trapecios congruentes.5

Cualquier recta coplanar que pase por el «baricentro»4 de un paralelogramo es también «transversal de gravedad» del mismo.

Cualquier transformación afín no degenerada transforma un paralelogramo en otro paralelogramo.

Existe un número infinito de transformaciones afines que transforman a un paralelogramo dado en un cuadrado.

Propiedades particulares de distintos paralelogramos[editar]

El paralelogramo «cuadrado», tiene simetría de rotación de orden 4 (90°) grupo D4.

Los paralelogramos «romboide», «rombo» y «rectángulo», tiene simetría de rotación de orden 2 (180°) grupo D2.

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

Si no tiene ningún eje de simetría de reflexión, entonces es un paralelogramo «romboide».

Si tiene 2 ejes de simetría de reflexión diagonales, entonces es un paralelogramo «rombo».

Si tiene 2 ejes de simetría de reflexión perpendiculares a sus lados, entonces es un paralelogramo «rectángulo».

Si tiene 4 ejes de simetría de reflexión, entonces es un paralelogramo «cuadrado».

Algunas propiedades métricas comunes[editar]

El perímetro de un paralelogramo es 2 (a + b), donde a y b son las longitudes de dos lados contiguos cualquiera.

La suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales (véase la ley del paralelogramo).

Para calcular el área de un paralelogramo, se puede considerar como una figura compuesta por dos triángulos congruentes y un rectángulo, trazando alturas de los vértices de los ángulos obtusos.

El rombo es un cuadrilátero paralelogramo cuyos cuatro lados son de igual longitud.

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

El rombo definido por los vértices A, B, C y D, cumple las siguientes propiedades:

Sus cuatro lados: l, son iguales

Sus dos diagonales son de distinta longitud:

siendo:

Las diagonales son ejes de simetría.

El punto de intersección O de las diagonales es el incentro del rombo.

Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí, y satisfacen la relación:

Las dos alturas: h, de un rombo tienen la misma longitud que el diámetro: d, de su circunferencia inscrita:

Laura Itzel Segura Cruz 2do. Semestre “A”

Si se observan los puntos de contacto de dicha circunferencia sobre dos lados opuestos cualesquiera de rombo se notará que los dos diámetros que unen a dichos puntos son cada uno de ellos paralelo a la respectiva altura y tienen medida exactamente igual a las mismas. Diámetro y alturas son la medida de la separación entre lados paralelos opuestos.

Un círculo, en geometría euclíd

ea, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida. En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, y se utiliza indistintamente círculo por circunferencia, que es la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud (es decir, el perímetro del círculo).2 "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie).