Conceptos Básicos de Optimización

8/18/2019 Conceptos Básicos de Optimización

1/21

C ONC EP T OS BÁSIC OS DE OP T

IMIZ AC IÓN


2/21

CONTINUIDAD DE FUNCION• Una funcion de una sola variale x es con!inua en un

"un!o x 0 si#

• Si f$%& es con!inua en cada "un!o de la re'i(n )*en!onces se "uede decir +ue f$%& es con!inua a !rav,sde ) $Fi'- .-/ A&- A+u0 el 12%i1o ocurre le3os de la

discon!inuidad* el cual "odria ser o no encon!rado enla 4s+ueda del ("!i1o-• En la Fi'- .-5B la funci(n de % !iene un "lie'ue en el*

"ero f$%& sa!isface la "ro"iedad de con!inuidad "erono sa!isface f$%&6df$%&7d%* en!onces la funci(n escon!inua "ero no con!inua1en!e diferenciale-

• Si el 1,!odo de o"!i1i8aci(n no u!ili8a derivadas*en!onces el "lie'ue no "resen!a i1"o!ancia* "ero siel 1,!odo e1"lea derivadas "odr0a fallar* "or+ue laderivada lle'ar a ser inde9nida en la discon!inuidad :

!iene diferen!es si'nos en cada lado de ella-

• ;as funciones o3e!ivo +ue solodiscre!os de las variales inde"frecuen!e1en!e en "rocesos devariales de "roceso s(lo es"ec09cos en lu'ar de los con!


3/21

ENUNCIACION DE UN P)OB;EMA

• ;a for1a 'eneral de un "role1a de "ro'ra1aci(n no lineal es#Mini1i8ar f(x)Su3e!o "ara ai ≤ gi(x) ≤ bi i=1,…, m

: l j ≤ x j ≤ u j j=1,…, n• x es un vec!or de n variales de decisi(n• f es la funci(n o3e!ivo• gi es la funci(n de res!ricci(n• ai : bi son los valores de fron!era en las funciones de res!ricci(n con

• l j : u j son los valores de fron!era en las funciones de decisi(n con l j• En lo "role1as res!rin'idos lineal1en!e !odas las funciones de r

gi son lineales : la funci(n o3e!ivo f es no lineal-


4/21

ENUNCIACION DE UN P)OB;EMA

• Un vec!or x es fac!ile si sa!isface !odas las res!ricciones-• El con3un!o de !odos los "un!os fac!iles se lla1a re'i(n fac!ile F -• Si F es!2 vac0a* el "role1a no es fac!ile* : si e%is!en "un!os fac!iles e

o3e!ivo es ari!raria1en!e 'rande en un "role1a de 12%i1os o ari!"e+ue


5/21

?EOMET)IA N;P

Una re'i(n fac!ile !i"ica "araun "role1a con dos variales: res!ricciones#

es 1os!rado co1o la re'i(n

sin so1ra en la Fi'- .-.* susli1i!es son las lineas rec!as :curvas-


6/21

?EOMET)IA N;P

Considerando el "role1a#Mini1i8ar f=(x 1 – 3)2 + (x 2 - 4)2

Su3e!o a las res!ricciones lineales x 1 @

x 2 @

5 – x 1 –x 2 @

-2.5 + x 1 – x 2 > • ;a re'i(n fac!ile en la Fi'- .- es!2 de9nida "or res!ricciones

lineales con un n41ero 9ni!o de "un!os de v,r!ice-• ;a funci(n o3e!ivo* siendo no lineal* !iene con!ornos $los c0rculos

conc,n!ricos* con3un!os de nivel& de valor cons!an!e +ue no sonl0neas "aralelas* co1o ocurrir0a si fuera lineal-

• El valor 10ni1o de f corres"onde al con!orno del valor 12s a3o+ue !iene al 1enos un "un!o en co14n con la re'i(n fac!ile* esdecir* en x 1* = 2, x 2* = 3-

• Es!o no es un "un!o del con3un!o fac!ile e%!re1o* aun+ue es un"un!o l01i!e


7/21

?EOMET)IA N;P

Ca1iando la funci(n o3e!ivo "ara#f 1=(x 1 – 2)2 + (x 2 - 2)2

• El 1ini1o es a=ora en x 1 = 2, x 2 = 2, los cualesno son "un!os li1i!e de la re'i(n fac!ile* "ero esel 1ini1o no res!rin'ido de la funci(n no lineal :+ue sa!isface !odas las res!ricciones-

• Si la funci(n o3e!ivo f 1 !iene dos 10ni1os : al

1enos un era in!erior a la re'i(n fac!ile*en!onces el "role1a li1i!ado !endr0a dos10ni1os locales-

• Un "role1a con las li1i!aciones no lineales"uede !ener ("!i1os locales* incluso si la funci(no3e!ivo s(lo !iene un ("!i1o sin res!ricciones-


8/21

?EOMET)IA N;P

Considerando un "role1a con una funci(no3e!ivo cuadr2!ica : una re'i(n fac!ile1os!rada en la Fi'- .-* el "role1a !iene un("!i1o local en los "un!os a : "or+ue nin'4n"un!o de la re'i(n fac!ile en lasin1ediaciones de cual+uiera de los "un!oso!iene un valor 1enor de f -• El ("!i1o de un "role1a de "ro'ra1aci(n

no lineal no !iene +ue ser un "un!o de lare'i(n fac!ile e%!re1a : "uede no es!ar enel l01i!e-

• El "role1a "uede !ener ("!i1os localesdis!in!os del ("!i1o 'loal-

• Es!as "ro"iedades son consecuencia direc!ade la no linealidad-


9/21


10/21

CONEIDAD SUS AP;ICACIOFunci(n conve%a

Una funci(n f(x) de9nida en un con3un!o conve%o F se dice+ue es una funci(n conve%a si la si'uien!e relaci(n se1an!iene

H es un escalar con un ran'o de > >/-• Si s(lo el si'no de desi'ualdad se cu1"le* la funci(n se

dice +ue es conve%a "ero no s(lo es!ric!a1en!e conve%a-• Si f$%& es es!ric!a1en!e conve%a*• En!onces Jf $%& es es!ric!a1en!e c(ncava-•

Una funci(n conve%a no "uede !ener cual+uier valor1a:or +ue los valores de la funci(n o!enidos "orin!er"olaci(n lineal en!re %/ : %5-

• ;as funciones lineales son !an!o conve%as : c(ncavas*"ero no es!ric!a1en!e conve%a o c(ncava*res"ec!iva1en!e- Un resul!ado i1"or!an!e de laconve%idad es

Si f $%& es conve%a* en!onces el con3un!o es conve%o "ara !odos los escalares .El resul!ado se ilus!ra en la Fi'ura .-// en la +ue una

funci(n cuadr2!ica conve%a se cor!a "or el "lano de f $%& 6K-


11/21

CONEIDAD SUS AP;ICACIO

El "role1a de "ro'ra1aci(n conve%aPara el "role1a de "ro'ra1aci(n no lineal lla1ado "ro"ro'ra1aci(n conve%aMini1i8ar f(x)Su3e!o "ara gi(x) ≤ 0 i=1,…, m

En el +ue

a& f$%& es una funci(n conve%a*& Cada res!ricci(n de desi'ualdad es una funci(n conve%a $de

las li1i!aciones de un con3un!o conve%o&* des1os!r2ndose +ue!l m"nim# l#$al %& f (x) &' ambin &l m"nim# gl#bal.

An2lo'a1en!e* un 12%i1o local es el 12%i1o 'loal de f(x) sio3e!ivo es c(ncava : las li1i!aciones for1an un con3un!o conve%


12/21


13/21


De!er1inaci(n de la conve%idad : conca!ividadUn con3un!o de "un!os % +ue sa!isfacen la relaci(n

Es conve%o si la 1a!ri8 Lessiana L$%& es una 1a!ri8 se1"osi!iva si1,!rica* "or lo !an!o se !ienen los si'uien!es su"u

1. H es de9nidaJ"osi!iva si : solo si xT

Hx > 0 "ara !oda x ≠2. H es de9nidaJne'a!iva si : solo si xTHx < 0 "ara !oda x 3. H es se1ide9nidaJ"osi!iva si : solo si xTHx > 0 "ara !od4. H es se1ide9nidaJne'a!iva si : solo si xTHx < 0 "ara !o5. H es inde9nida si : solo si xTHx > 0 "ara al'una x > 0

%


14/21


De!er1inaci(n de la conve%idad : conca!ividadPara una funci(n 1ul!ivariale* la na!urale8a de la co"uede evaluarse 1e3or e%a1inando los valores "ro"ioco1o se 1ues!ra en la Tala .-/


15/21

INTE)P)ETACION DE ;A FUNCION OBEN TE)MINOS DE SU AP)OIMACIO

CUAD)ATICASi una funci(n de dos variales escuadr2!ica o a"ro%i1ada "or una funci(ncuadr2!ica

En!onces los ei'envalores de L$%& "uedenser calculados : usados "ara in!er"re!ar la

na!urale8a de f$%& : %-Por i1"licaci(n* el an2lisis de una funci(nde 1uc=as variales a !rav,s de une%a1en los ei'envalores "uede llevarse acao* 1ien!ras +ue 'r29cos de con!orno seli1i!an a funciones de s(lo dos o !resvariales-


16/21


CUAD)ATICA• ;os valores "ro"ios de la 1a!ri8 =essiana de f$%& indican la for1a de una funci(n-• Para una 1a!ri8 si1,!rica de9nida "osi!iva* los ei'envec!ores for1an un con3un!o• Por e3e1"lo* en dos di1ensiones* si los vec!ores "ro"ios son v1 : v2* v1Tv2 = 0

"ro"ios son "er"endiculares en!re s0&- ;os ei'envec!ores !a1i,n corres"direcciones de los e3es "rinci"ales de los con!ornos de f$%&-

• Uno de los re+uisi!os "rinci"ales de cual+uier !,cnica de o"!i1i8aci(n e%i!osa esde 1overse r2"ida1en!e en una re'i(n local a lo lar'o de un valle es!1ini1i8aci(n& =acia el 10ni1o de la funci(n o3e!ivo-

• En o!ras "alaras* un al'ori!1o e9cien!e selecciona una direcci(n de 'eneral1en!e si'ue el e3e del valle en lu'ar de sal!ar =acia a!r2s : adelan!e a !ra

• ;os valles son cres!as en la 1a%i1i8aci(n : "ueden ocurrir con as!an!e frecu1enos a nivel local* es!os !i"os de su"er9cies !ienen el "o!encial de reducir la 'ran 1edida la 4s+ueda de la ("!i1a-

• Un valle se encuen!ra en la direcci(n del ei'envec!or asociado con un "e+ue


17/21


CUAD)ATICA•

;os valores "ro"ios de la 1a!ri8 =essiana de f$%& indican la for1a de una funci(n-• Para una 1a!ri8 si1,!rica de9nida "osi!iva* los ei'envec!ores for1an un con3un!o• Por e3e1"lo* en dos di1ensiones* si los vec!ores "ro"ios son v1 : v2* v1Tv2 = 0

"ro"ios son "er"endiculares en!re s0&- ;os ei'envec!ores !a1i,n corres"direcciones de los e3es "rinci"ales de los con!ornos de f$%&-

• Uno de los re+uisi!os "rinci"ales de cual+uier !,cnica de o"!i1i8aci(n e%i!osa esde 1overse r2"ida1en!e en una re'i(n local a lo lar'o de un valle es!1ini1i8aci(n& =acia el 10ni1o de la funci(n o3e!ivo-

• En o!ras "alaras* un al'ori!1o e9cien!e selecciona una direcci(n de 'eneral1en!e si'ue el e3e del valle en lu'ar de sal!ar =acia a!r2s : adelan!e a !ra

• ;os valles son cres!as en la 1a%i1i8aci(n : "ueden ocurrir con as!an!e frecu1enos a nivel local* es!os !i"os de su"er9cies !ienen el "o!encial de reducir la 'ran 1edida la 4s+ueda de la ("!i1a-

• Un valle se encuen!ra en la direcci(n del ei'envec!or asociado con un "e+ue


18/21

CONDICIONES NECESA)IAS SUFICIENTESUN A;O) ET)EMO DE UNA FUNCIÓN

)EST)ICCIONES• ;a Fi'- .-/ ilus!ra el car2c!er de

f$%& si la funci(n o3e!ivo es unafunci(n de una sola variale-

• Por lo 'eneral* sie1"re se uscaencon!rar el 10ni1o o 12%i1o deuna funci(n 1ul!ivariale f$x&- El"role1a "uede in!er"re!arse'eo1,!rica1en!e co1o encon!rarel "un!o en un es"acio de nJdi1ensi(n en el +ue la funci(n!iene un valor e%!re1o-


19/21


)EST)ICCIONES• Un ("!i1o "un!o x* es!2 co1"le!a1en!e

es"eci9cado "or la sa!isfacci(n de lo +ue sella1an las condiciones necesarias : su9cien!es"ara o"!i1i8aci(n-

• Una condici(n N es necesaria "ara unresul!ado ) si ) "uede ser verdad solo si lacondici(n es verdadera $)N&-

• ;a inversa no es verdad* sin e1ar'o* si N esverdad* ) no es necesaria1en!e verdad-

• Una condici(n es su9cien!e "ara un resul!ado )si ) es verdad si la condici(n es verdad $S)&-

• Una condici(n T es necesaria : su9cien!e "araun resul!ado ) si ) es verdad si : solo si T esverdad $T )&-


20/21


)EST)ICCIONES• ;a for1a 12s f2cil de desarrollar las condiciones nec

su9cien!es "ara +ue un 12%i1o o 12%i1o de f$x& es co1una e%"ansi(n de series de Ta:lor sore los su"ues!os e%!re1

Donde# * la "eruraci(n de % de %

Se =a de9nido el 10ni1o local co1o un "un!o x* de !al 1anera +ue"un!o en la vecindad de x* da un valor de f$x& 1enor +ue $x*&* o fa+u0 x es le 1ini1o 'loal-

x* es un 12%i1o local si f$x&Jf$x*& Q es ari!raria : "uede !ener a1os valores de 12s : 1en

ele1en!os* "or lo +ue se dee insis!ir en +ue


21/21


)EST)ICCIONES

Una condici(n necesaria "ara un 10ni1o o 12%i1o de f$x& es +ue ede f$x& se anula en x** es decir* x* es un "un!o es!acionario-

Conceptos Básicos de Optimización

Documents

Transcript of Conceptos Básicos de Optimización