La Geometría (Euclidiana)

Axiomas Entes geométricos

No son demostrables No se definen

Punto Recta Plano

.

�́�

π

A

ℝCon ellos demostramos los teoremas

Con ellos definimos nuestras figuras geométricas

Con ambos estudiaremos las formas y tamaños

Resolución de problemas

LA GEOMETRÍA EN EL CURRÍCULO DE SECUNDARIA

Geometría Euclidiana

• Séptimo• Unidad VI : Construcción de figuras

geométricas • Unidad VII : Área y perímetro de

triángulos y cuadriláteros• Octavo• Unidad VI : Construcción de figuras

geométricas • Unidad VII : Área y Perímetro de

Polígonos Regulares y circulo • Noveno• Unidad VI : Congruencia y Semejanza• Décimo• Sólidos

Geometría Analítica

• Undécimo grado• VI : Geometría Analítica• Distancia entre dos puntos.• División de un segmento en una razón dada.• Coordenadas del punto medio.• Pendiente.• La recta.• Rectas paralelas y perpendiculares.• Cónicas: Circunferencia, Parábola, Elipse e

Hipérbola.• Centro en el origen.

A

En Geometría moderna se asumen como términos primitivos:

Entre puntos, rectas y planos, se da la pertenencia (Entre los planos la inclusión.

Espacio (S)

Axiomas y definiciones básicas:

𝑝↔

T

R

Todas las rectas y planos son conjuntos de puntos

Dos puntos determinan una recta𝑹 ,𝑻 ∈𝑺 ,𝑹≠𝑻⇒∃𝒑

↔

⊂𝑺𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 {𝑹 ,𝑻 }⊂𝒑↔

Plano o ABC

Algunos Axioma

En el plano : B,D,C son colineales A,D,C no son colineales A,B,C,D serán coplanares si los contiene un plano

Espacio (S)

Axiomas y definiciones básicas:

Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está contenida en el mismo plano

Algunos Axioma

𝝅A

C

B

𝝅

𝜶

Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es una recta

𝒎↔

𝑩 ,𝑪∈𝑩𝑪↔

𝒚 𝑩 ,𝑪∈𝝅⇒𝑩𝑪↔

⊂𝝅𝝅 ≠𝜶 ,𝝅∩𝜶≠∅⇒ 𝝅∩𝜶=𝒎

↔

Algunos teoremas básicos:

La intersección entre dos rectas diferentes es un punto

𝑨𝑩↔

𝑪𝑫↔

𝑨𝑩↔

≠𝑪 𝑫↔

, 𝑨𝑩↔

∩𝑪 𝑫↔

≠∅⇒𝑨𝑩↔

∩𝑪𝑫↔

= {𝑬 }

Si una recta interseca a un plano que no la contiene, entonces la intersección contiene un solo punto

𝒎↔

⊄𝝅 ,𝒎↔

∩𝝅≠∅⇒𝒎↔

= {𝒁 }

Distancia, segmentos y rayos:

A cada par de puntos podemos asociarle llamado la distancia de P a Q, denotado por d(P,Q) o PQ.

Diremos que B está “entre” A y C, si:1. A,B y C son puntos distintos de una misma recta2. AB + BC = AC

¿Qué es segmento?

R Q𝒅(𝑹 ,𝑸)=𝒎(𝑹𝑸 )=𝑹𝑸𝑿

Distancia, segmentos y rayos:

R

Q

P

OM

N

S

CUBO

Dos segmentos que tengan la misma medida serán congruentes.

¿Cómo lo debo de escribir?

𝑹𝑸 ≅𝑹𝑺⇔𝑹𝑸=𝑹𝑺

Distancia, segmentos y rayos:

R

Q

P

OM

N

S

CUBO

Para segmentos, la relación de congruencia es una relación de equivalencia.

1) Si

Distancia, segmentos y rayos:

R XP

Si R y P son dos puntos de la recta . El rayo denotado por , es el conjunto de los puntos del segmento y el conjunto de todos los puntos X tales que P está entre R y X.

�⃗�𝑷=𝑹𝑷∪ {𝑿 /𝑹−𝑷−𝑿 } Ubicada en el infinito

En general; I.

R P

�́�

Punto medio

O P R

Si P está entre O y R (O – P – R) y Todo segmento tiene exactamente un punto

medio. Si O – P – R, entonces OP + PR OR

Biseca al segmento

Distancia, segmentos y rayos:

Semirrectas:

Un punto P separa a una recta en tres conjuntos distintos:

A P B1. PA

2. PB

¿⃗𝑷𝑨− {𝑷 }La semirrecta, es el rayo sin el punto inicial

Ángulos: Unión de dos rayos NO colineales que tienen el origen en común (desde la geometría plana, en trigonometría si existe el ángulo llano)

OB

A

S

P

R

Si S,P y R no son puntos colineales, la unión de los segmentos formarán un triángulo, denotado por .

Triángulos:

Todo triángulo divide al plano entres conjuntos disjuntos; el triángulo mismo, su interior, y el exterior.

En geometría, “no existen” ángulos con medidas de y , porque:

1) La figura que se formaría con es un rayo2) Y con , una recta (tampoco consideramos ángulos negativos)

Si C

Par lineal, son suplementarios

∡𝑨𝑶𝑩+∡𝑪𝑶𝑩=𝟏𝟖𝟎𝒐 ∡𝜷<𝟗𝟎𝒐 ∡𝜷>𝟗𝟎𝒐

C

OA

B

∠𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑣é 𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒

Ángulos:

Paralelismo en el plano:

�́��́�

Dos rectas diferentes son paralelas si: Están en mismo plano No se intersectan Si ambas son perpendiculares a

misma recta𝝅 �́� ∥�́�

�́�

P Por un punto externo a una recta, pasa exactamente una recta paralela a la recta dada.

Teoremas sobre paralelismo: �́�

�́�𝟐

�́�𝟏∠𝟏∠𝟐

∠𝟖∠𝟕∠𝟔 ∠𝟓

∠𝟒∠𝟑Ángulos correspondientes

son :

Ángulos alternos internos son :

Ángulos alternos externos son :

Ángulos internos a un mismo lado son suplementarios:

Ángulos externos a un mismo lado son suplementarios:

∡𝝋∡𝜶 ∡𝜷

∡𝜷

∡𝝋

∡𝜶

La sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es 180o

A

B

C