Concepto de matr iz

Se denomina matr iz a t odo con jun to de números o expres iones

d i spues tos en fo rma rec tangu la r , f o rmando f i l a s y co lumnas .

Cada uno de l os números de que cons ta l a matr iz se denomina

elemento . Un e l emento se d i s t i ngue de o t ro po r l a pos ic i ón que ocupa , e s

dec i r , l a f i la y l a co lumna a l a que pe r tenece .

E l número de f i l a s y co lumnas de una mat r i z se denomina dimensión de

una mat r i z . As í , una mat r i z se rá de d imens ión : 2x4 , 3x2 , 2x5 , . . . S í l a mat r i z

t i ene e l m i smo número de f i l a s que de co lumna, se d i ce que es de o rden: 2 , 3 ,

. . .

E l con jun to de matr ices de m f i las y n co lumnas se deno ta po r A m x n o

(a i j ) , y un elemento cua lqu ie ra de l a m i sma, que se encuen t ra en l a f i l a i y

en l a co lumna j , po r a i j .

Dos matr ices son iguales cuando t i enen l a m isma d imens ión y lo s

e l ementos que ocupan e l m ismo lugar en ambas , son i gua le s .

Tipos de matrices

Matr iz f i la

Una matr iz f i la es tá cons t i tu ida po r una so la f i l a .

Matr iz co lumna

La matr iz co lumna t i ene una so la co lumna

Matr iz rectangular

La matr iz rectangular t i ene d i s t i n to número de f i l a s que de co lumnas ,

s i endo su dimensión mxn .

Matr iz cuadrada

La matr iz cuadrada t i ene e l m ismo número de f i l a s que de co lumnas .

Los e l ementos de l a f o rma a i i cons t i t uyen l a diagonal pr inc ipa l .

La diagonal secundar ia l a f o rman lo s e lementos con i+j = n+1 .

Matr iz nu la

En una matr iz nu la t odos lo s e lementos son ce ros .

Matr iz t r iangular super ior

En una matr iz t r iangular super ior l o s e l ementos s i t uados po r deba jo

de l a d i agona l p r in c ipa l son ce ros .

Matr iz t r iangular in fer ior

En una matr iz t r iangular in fer ior l o s e l ementos s i t uados po r enc ima de

l a d i agona l p r i nc ipa l son ce ros .

Matr iz d iagonal

En una matr iz d iagonal todos l os e l ementos s i t uados po r enc ima y po r

deba jo de l a d i agona l p r i n c ipa l son nu lo s .

Matr iz esca lar

Una matr iz esca lar es una mat r i z d i agona l en l a que lo s e lementos de l a

d i agona l p r in c ipa l son i gua le s .

Matr iz ident idad o un idad

Una matr iz ident idad es una mat r i z d i agona l en l a que l os e lementos de

l a d i agona l p r i nc ipa l son i gua le s a 1 .

Matr iz t raspuesta

Dada una mat r i z A , se l l ama matr iz t raspuesta de A a l a mat r i z que se

ob t iene camb iando o rdenadamente l as f i l as po r l a s co lumnas

(A t ) t = A

(A + B) t = A t + B t

(α ·A) t = α · A t

(A · B) t = B t · A t

Matr iz regular

Una matr iz regular e s una mat r i z cuadrada que t iene inve rsa .

Matr iz s ingular

Una matr iz s ingular no t i ene mat r i z i nve rsa .

Matr iz idempotente

Una mat r i z , A , es i dempo tente s i :

A 2 = A .

Matr iz invo lut iva

Una mat r i z , A , es i nvo lu t i va s i :

A 2 = I .

Matr iz s imétr ica

Una matr iz s imétr ica es una mat r i z cuadrada que ve r i f i c a :

A = A t .

Matr iz ant is imétr i ca o hemis imétr ica

Una matr iz ant is imétr ica o hemis imétr ica es una mat r i z cuadrada que

ve r i f i c a :

A = -A t .

Matr iz or togonal

Una mat r i z es o r togona l s i ve r i f i c a que:

A·A t = I .

Suma de matrices

Dadas dos mat r i ces de l a m isma d imens ión ,

A=(a i j ) y B=(b i j ) , se de f ine l a mat r i z suma como: A+B=(a i j +b i j ) . Es dec i r ,

aque l l a mat r i z cuyos e l ementos se ob t ienen: sumando l os e l ementos de l as dos

mat r i ces que ocupan l a mi sma m isma pos ic i ón .

Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matr ices de orden m x n es otra matr iz d imensión

m x n .

Asoc iat iva:

A + (B + C) = (A + B) + C

E lemento neutro :

A + 0 = A

Donde O e s l a mat r i z nu la de l a m i sma d imens ión que l a mat r i z A .

E l emento opuesto :

A + ( -A ) = O

La mat r i z opues ta es aque l l a en que t odos l o s e l ementos es tán

camb iados de s i gno .

Conmutat i va :

A + B = B + A

Problemas resueltos de fluidos

Consideremos el movimiento de un objeto de volumen V y masa M que cae a través de un fluido con viscosidad cero (sin rozamiento).

• Dibuja las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.• ¿La aceleración del objeto en caída es independiente de su masa?, ¿y de su volumen?

Disponemos de una plancha de corcho de 1 dm de espesor. Calcular la superficie mínima que se debe emplear para que flote en agua, sosteniendo a un naúfrago de 70 kg. La densidad del corcho es de 0.24 g/cm2.

Nota: entendemos por superficie mínima la que permite mantener al hombre completamente fuera del agua aunque la tabla esté totalmente inmersa en ella.

Un cable anclado en el fondo de un lago sostiene una esfera hueca de plástico bajo su superficie.

El volumen de la esfera es de 0.3 m3 y la tensión del cable 900 N.

• ¿Qué masa tiene la esfera?• El cable se rompe y la esfera sube a la superficie. Cuando está en equilibrio, ¿qué fracción

del volumen de la esfera estará sumergida?.

Densidad del agua de mar 1.03 g/cm3

Un depósito de agua está cerrado por encima con una placa deslizante de 12 m2 y 1200 kg de peso. El nivel del agua en el depósito es de 3.5 m de altura. Calcular la presión en el fondo. Si se abre un orificio circular de 5 cm de radio a medio metro por encima del fondo, calcúlese el volumen de agua que sale por segundo por este orificio. (Se considera que el área del orificio es muy pequeño frente al área del depósito).

Dato: la presión atmosférica es de 105 Pa

La prensa hidráulica de la figura está formada por dos depósitos cilíndricos, de diámetros 10 y 40 cm respectivamente, conectados por la parte inferior mediante un tubo, tal como se indica en la figura. Contienen dos líquidos inmiscibles: agua, de densidad 1 g/cm3 y aceite 0.68 g/cm3.

Determinar el valor de la masa m para que el sistema esté en equilibrio.

Tomar g=9.8 m/s2.

Presión atmosférica = 101293 Pa.

El depósito de la figura contiene agua.

a) Si abrimos la llave de paso, ¿qué altura tendrá el agua en cada lado del depósito cuando se alcance el equilibrio?

b) ¿qué cantidad de agua pasará de un recipiente al otro hasta que se alcance el equilibrio?

De un gran depósito de agua, cuyo nivel se mantiene constante fluye agua que circula por los conductos de la figura hasta salir por la abertura D, que está abierta al aire. La diferencia de presión entre los puntos A y B es PB - PA = 500 Pa.

Sabiendo que las secciones de los diferentes tramos de la conducción son SA= SC = 10 cm2 y SB=20 cm2, calcular las velocidades y las presiones del agua en los puntos A, B, C, de la conducción.

La presión en C es la atmosférica, igual a 105 Pa.

Para saber la velocidad del agua en una tubería empalmamos en ella un tubo en forma de T de menor sección, colocamos tubos manométricos A y B, como indica la figura y medimos la diferencia de altura (5 cm) entre los niveles superiores del líquido en tales tubos.

• Sabiendo que la sección del tubo estrecho es 10 veces menor que la tubería, calcular la velocidad del líquido en ésta.

• Calcúlese el gasto, si el área de la sección mayor es 40 cm2

El gasto en una tubería por la que circula agua es 208 l/s. En la tubería hay instalado un medidor de Venturi con mercurio como líquido manométrico. Si las secciones de las tuberías son 800 y 400 cm2,

Calcular el desnivel h que se produce en el mercurio. Dato: densidad del mercurio 13.6 gr/cm3

Dos depósitos abiertos muy grandes A y F, véase la figura, contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal BCD que tiene un estrechamiento en C, descarga agua del fondo del depósito A, y un tubo vertical E se abre en C en el estrechamiento y se introduce en el líquido del depósito F. Si la sección transversal en C es la mitad que en D, y si D se encuentra a una distancia h1 por debajo del nivel del líquido en A.

¿A qué altura h2 alcanzará el líquido en el tubo E?. Expresar la respuesta en función de h1.

Del depósito A de la figura sale agua continuamente pasando través de depósito cilíndrico B por el orificio C. El nivel de agua en A se supone constante, a una altura de 12 m sobre el suelo. La altura del orificio C es de 1.2 m. El radio del depósito cilíndrico B es 10 cm y la del orificio C, 4 cm.

Calcular:

La velocidad del agua que sale por el orificio C.

La presión del agua en el punto P depósito pequeño B

La altura h del agua en el manómetro abierto vertical.

Dato: la presión atmosférica es 101293 Pa.