Ecuacin de SchrdingerLaecuacin de Schrdinger, desarrollada por el fsico austracoErwin Schrdingeren 1925, describe la evolucin temporal de una partcula masiva no relativista. Es de importancia central en la teora de lamecnica cuntica, donde representa para las partculas microscpicas un papel anlogo a lasegunda ley de Newtonen lamecnica clsica. Las partculas microscpicas incluyen a las partculas elementales, tales como electrones, as como sistemas de partculas, tales como ncleos atmicos.ndice[ocultar] 1Nacimiento de la ecuacin 1.1Contexto histrico 1.2La derivacin histrica 2Interpretacin estadstica de la funcin de onda 3Formulacin moderna de la ecuacin 3.1Limitaciones de la ecuacin 4Resolucin de la ecuacin 4.1Bsqueda de los estados propios 4.2Rareza de una solucin analtica exacta 5Lmite clsico de la ecuacin de Schrdinger 6Formulacin matricial 7Vase tambin 8Notas y referencias 8.1BibliografaNacimiento de la ecuacin[editar]Contexto histrico[editar]Al comienzo delsiglo XXse haba comprobado que la luz presentaba unadualidad onda corpsculo, es decir, la luz se poda manifestar (segn las circunstancias) como partcula (fotnen elefecto fotoelctrico), o comoonda electromagnticaen la interferencia luminosa. En 1923Louis-Victor de Brogliepropuso generalizar esta dualidad a todas las partculas conocidas. Propuso la hiptesis, paradjica en su momento, de que a toda partcula clsica microscpica se le puede asignar una onda, lo cual se comprob experimentalmente en1927cuando se observ ladifraccin de electrones. Por analoga con los fotones, De Broglie asocia a cadapartcula librecon energaycantidad de movimientouna frecuenciay una longitud de onda:

La comprobacin experimental hecha porClinton DavissonyLester Germermostr que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la difraccin segn lafrmula de Braggse corresponda con la longitud de onda predicha por la frmula deDe Broglie.Esa prediccin llev a Schrdinger a tratar de escribir una ecuacin para la onda asociada de De Broglie que para escalas macroscpicas se redujera a la ecuacin de la mecnica clsica de la partcula. La energa mecnica total clsica es:

El xito de la ecuacin, deducida de esta expresin utilizando elprincipio de correspondencia, fue inmediato por la evaluacin de los niveles cuantificados de energa delelectrnen eltomodehidrgeno, pues ello permita explicar elespectro de emisindel hidrgeno:series de Lyman,Balmer,Bracket,Paschen,Pfund, etc.La interpretacin fsica correcta de la funcin de onda de Schrdinger fue dada en1926porMax Born. En razn del carcter probabilista que se introduca, la mecnica ondulatoria de Schrdinger suscit inicialmente la desconfianza de algunos fsicos de renombre comoAlbert Einstein, para quien Dios no juega a los dados y del propio Schrdinger.La derivacin histrica[editar]El esquema conceptual utilizado por Schrdinger para derivar su ecuacin reposa sobre una analoga formal entre la ptica y la mecnica: En laptica ondulatoria, la ecuacin de propagacin en un medio transparente de ndice realnvariando lentamente a la escala de la longitud de onda conduce mientras se busca una solucin monocromtica donde la amplitud vara muy lentamente ante la fase a una ecuacin aproximada denominadaeikonal. Es la aproximacin de laptica geomtrica, a la cual est asociada elprincipio variacional de Fermat. En laformulacin hamiltonianade la mecnica clsica, existe una ecuacin de Hamilton-Jacobi (que en ltima instancia es equivalente a las leyes de Newton). Para una partcula masiva no relativista sometida a una fuerza que deriva de unaenerga potencial, la energa mecnica total es constante y la ecuacin de Hamilton-Jacobi para la funcin caracterstica de Hamilton se parece formalmente a la ecuacin de la eikonal (el principio variacional asociado es elprincipio de mnima accin.)Este paralelismo lo haba notado yaHamiltonen 1834, pero el no tena una razn para dudar de la validez de la mecnica clsica. Despus de lahiptesis de De Brogliede 1923, Schrdinger dice:1la ecuacin de la eikonal siendo una aproximacin a la ecuacin de onda de la ptica ondulatoria, buscamos la ecuacin de onda de la "mecnica ondulatoria" (a realizar) donde la aproximacin ser la ecuacin de Hamilton-Jacobi. Lo que falta, primero para una onda estacionaria (E= cte), despus para una onda de cualquier tipo.2Schrdinger haba en efecto comenzado por tratar el caso de una partcularelativistacomo de Broglie antes que l.3Entonces haba obtenido la ecuacin conocida hoy da con el nombre deKlein-Gordon, pero su aplicacin al caso del potencial elctrico del tomo de hidrgeno daba unos niveles de energa incompatibles con los resultados experimentales.4Ello har que se concentre sobre el caso no-relativista, con el xito conocido.[mostrar]Derivacin elemental

Interpretacin estadstica de la funcin de onda[editar]A principios de la dcada de1930Max Bornque haba trabajado junto conWerner HeisenbergyPascual Jordanen una versin de la mecnica cuntica basada en el formalismo matricial alternativa a la de Heisenberg apreci que la ecuacin de Schrdinger compleja tiene una integral de movimiento dada porque poda ser interpretada como unadensidad de probabilidad. Born le dio a la funcin de onda una interpretacin probabilstica diferente de la que De Broglie y Schrdinger le haban dado, y por ese trabajo recibi elpremio Nobelen1954. Born ya haba apreciado en su trabajo mediante el formalismo matricial de la mecnica cuntica que el conjunto de estados cunticos llevaba de manera natural a construirespacios de Hilbertpara representar losestados fsicosde un sistema cuntico.De ese modo se abandon el enfoque de la funcin de onda como una onda material, y pas a interpretarse de modo ms abstracto como unaamplitud de probabilidad. En la moderna mecnica cuntica, elconjuntode todos los estados posibles en un sistema se describe por un espacio de Hilbertcomplejoyseparable, y cualquier estado instantneo de un sistema se describe por un "vector unitario" en ese espacio (o ms bien una clase de equivalencia de vectores unitarios). Este "vector unitario" codifica las probabilidades de los resultados de todas las posibles medidas hechas al sistema. Como el estado del sistema generalmente cambia con el tiempo, el vector estado es una funcin del tiempo. Sin embargo, debe recordarse que los valores de un vector de estado son diferentes para distintas localizaciones, en otras palabras, tambin es una funcin dex(o, tridimensionalmente, der). La ecuacin de Schrdinger da una descripcin cuantitativa de la tasa de cambio en el vector estado.Formulacin moderna de la ecuacin[editar]Enmecnica cuntica, el estado en el instantetde un sistema se describe por un elementodelespacio complejo de Hilbert usando lanotacin bra-ketdePaul Dirac. Las probabilidades de resultados de todas las medidas posibles de un sistema pueden obtenerse a partir de. La evolucin temporal dese describe por la ecuacin de Schrdinger:

donde : es launidad imaginaria; : es laconstante de Plancknormalizada(h/2); : es elhamiltoniano, dependiente del tiempo en general, elobservablecorresponde a la energa total del sistema; : es el observable posicin; : es el observableimpulso. : es la energa potencialComo con lafuerzaen la segunda ley de Newton, su forma exacta no da la ecuacin de Schrdinger, y ha de ser determinada independientemente, a partir de las propiedades fsicas del sistema cuntico.Debe notarse que, contrariamente a lasecuaciones de Maxwellque describen la evolucin de las ondas electromagnticas, la ecuacin de Schrdinger es norelativista. Ntese tambin que esta ecuacin no se demuestra: es un postulado. Se supone correcta despus de que Davisson y Germer confirmaron experimentalmente la hiptesis deLouis de Broglie.Para ms informacin del papel de los operadores en mecnica cuntica, vase laformulacin matemtica de la mecnica cuntica.Limitaciones de la ecuacin[editar] La ecuacin de Schrdinger es una ecuacin no relativista que slo puede describir partculas cuyomomento linealsea pequeo comparado con la energa en reposo dividida por la velocidad de la luz (de no cumplirse esta condicin debe acudirse a una ecuacin relativista como la deecuacin de Diraco la deKlein-Gordon). Adems, la ecuacin de Schrdinger no incorpora el espn de las partculas adecuadamente. Pauli generaliz ligeramente la ecuacin de Schrdinger al introducir en ella trminos que predecan correctamente el efecto del espn; la ecuacin resultante es laecuacin de Pauli. Ms tarde,Paul Dirac, proporcion la ahora llamadaecuacin de Diracque no slo incorporaba el espn para fermiones de espn 1/2, sino que introduca los efectos relativistas.Resolucin de la ecuacin[editar]La ecuacin de Schrdinger, al ser una ecuacin vectorial, se puede reescribir de manera equivalente en unabaseparticular del espacio de estados. Si se elige por ejemplo la base generalizadacorrespondiente a larepresentacin de posicindefinida por:

Entonces la funcin de ondasatisface la ecuacin siguiente:

Dondees ellaplaciano. De esta forma se ve que la ecuacin de Schrdinger es unaecuacin en derivadas parcialesen la que intervienen operadoreslineales, lo cual permite escribir la solucin genrica como suma de soluciones particulares. La ecuacin es ,en la gran mayora de los casos, demasiado complicada para admitir una solucin analtica de forma que su resolucin se hace de manera aproximada y/o numrica.Ntese que lafuncin de ondadefinida as, para estados ligados siempre puede interpretarse como un elemento delespacio de Hilbertcomplejo yseparable, aunque paraestados de colisinono ligadoses necesario acudir aespacios de Hilbert equipadospara un tratamiento riguroso.Bsqueda de los estados propios[editar]Los operadores que aparecen en la ecuacin de Schrdinger son lineales; de lo que se deduce que toda combinacin lineal de soluciones es solucin de la ecuacin. Esto lleva a favorecer la bsqueda de soluciones que tengan un gran inters terico y prctico: al saber los estados que son propios del operador hamiltoniano. Estos estados, denominadosestados estacionarios, son las soluciones de la ecuacin de estados y valores propios,

denominada habitualmenteecuacin de Schrdinger independiente del tiempo. El estado propioest asociado al valor propio, escalar real que corresponde con la energa de la partcula en dicho estado.Los valores de la energa pueden serdiscretoscomo las soluciones ligadas a un pozo de potencial (por ejemplo nivel del tomo de hidrgeno); resultando unacuantizacinde los niveles de energa. Estas pueden corresponder tambin a un espectro continuo como las soluciones libres de un pozo de potencial (por ejemplo un electrn que tenga la suficiente energa para alejarse al infinito del ncleo de tomo de hidrgeno).A menudo se obtiene que numerosos estadoscorresponden a un mismo valor de la energa: hablamos entonces de niveles de energa degenerados.De manera general, la determinacin de cada uno de los estados propios del hamiltoniano,, y de la energa asociada, da el estado estacionario correspondiente, solucin de la ecuacin de Schrdinger:

Una solucin de la ecuacin de Schrdinger puede entonces escribirse generalmente como una combinacin lineal de tales estados:

Segn lospostulados de la mecnica cuntica, el escalar complejoes la amplitud del estadosobre el estado; el reales la probabilidad (en el caso de un espectro discreto) de encontrar la energamientras se hace una medida de la energa sobre el sistema.Rareza de una solucin analtica exacta[editar]La bsqueda de estados propios del hamiltoniano es en general compleja. Incluso en el caso resoluble analticamente del tomo de hidrgeno solo es rigurosamente resoluble de forma simple si se descarta elacoplamiento con el campo electromagnticoque permite el paso a los estados excitados, soluciones de la ecuacin de Schrdinger del tomo, desde el nivel fundamental.Algunos modelos simples, aunque no del todo conformes con la realidad, pueden ser resueltos analticamente y son muy tiles. Estas soluciones sirven para entender mejor la naturaleza de los fenmenos cunticos, y en ocasiones son una aproximacin razonable al comportamiento de sistemas ms complejos (enmecnica estadsticase aproximan las vibraciones moleculares comoosciladores armnicos). Ejemplos de modelos: Lapartcula libre(potencial nulo); Lapartcula en una caja Un haz de partcula incidiendo sobre unabarrera de potencial Lapartcula en un anillo Lapartcula en un potencial de simetra esfrica Eloscilador armnico cuntico(potencial cuadrtico) Eltomo de hidrgeno(potencial de simetra esfrica) Lapartcula en una red monodimensional(potencial peridico)En los otros casos, hay que usar tcnicas de aproximacin: Lateora perturbacionalda expresiones analticas en la forma dedesarrollos asintticosalrededor de un problema sin-perturbaciones que sea resoluble exactamente. Elanlisis numricopermite explorar casos inaccesibles a la teora de perturbaciones. Elmtodo variacional Las soluciones deHartree-Fock Los mtodos cunticos deMontecarloLmite clsico de la ecuacin de Schrdinger[editar]Inicialmente la ecuacin de Schrdinger se consider simplemente como laecuacin de movimientode un campo material que se propagaba en forma de onda. De hecho puede verse que en ellmite clsico, cuandola ecuacin de Schrdinger se reduce a la ecuacin clsica de movimiento en trminos de accin oecuacin de Hamilton-Jacobi. Para ver esto, trabajaremos con la funcin de onda tpica que satisfaga la ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo que tenga la forma:

Dondees lafase de la ondasi se substituye esta solucin en la ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo, tras reordenar los trminos convenientemente, se llega a que:(4)Si se toma el lmiteel segundo miembro desaparece y tenemos que la fase de la funcin de onda coincide con lamagnitud de acciny esta magnitud puede tomarse como real. Igualmente puesto que la magnitud de accin es proporcional a la masa de una partculapuede verse que para partculas de masa grande el segundo miembro es mucho ms pequeo que el primero:(5)Y por tanto para partculas macroscpicas, dada la pequeez de la constante de Planck, los efectos cunticos resumidos en el segundo miembro se anulan, lo cual explica porqu los efectos cunticos slo son apreciables a escalas subatmicas.De acuerdo con el principio de correspondencia las partculas clsicas de gran masa, comparada con la escala cuntica, son partculas localizadas describibles mediante unpaquete de ondasaltamente localizado que se desplaza por el espacio. La longitud de onda de las ondas que conformaban dicho paquete material estn en torno a la longitud de De Broglie para la partcula, y lavelocidad de grupodel paquete coincide con la velocidad del movimiento de la partcula lo que reconcilia la naturaleza corpuscular observada en ciertos experimentos con la naturaleza ondulatoria observada para partculas subatmicas.Formulacin matricial[editar]Existe una formulacin matricial de la mecnica cuntica, en dicha formulacin existe una ecuacin cuya forma es esencialmente la misma que la de las ecuaciones clsicas del movimiento, dicha ecuacin es(6)De esta ecuacin es posible deducir la segunda ley de Newton, resolviendo para el operador. En efecto se tiene(7)evaluando el conmutador se deduce(8)No es difcil demostrar quey, por tanto, se obtiene:(9)donde se ha usado. Este resultado es anlogo al de la mecnica clsica, para una ecuacin parecida que involucra loscorchetes de Poisson, ms an, esta ecuacin es justamente la formulacin Newtoniana de la mecnica.Vase tambin[editar] Gato de SchrdingerNotas y referencias[editar]1. Volver arribaSchrdinger discute en detalle las relaciones entre la mecnica hamiltoniana y la ptica en 1926 (vase bibliografa). Walter Moore;Schrdinger - Life & Thought, Cambridge University Press (1989).2. Volver arribaEsta derivacin se detalla en: Herbert Goldstein;Classical mechanics, Addison-Wesley (2.da edicin-1980), prrafo 10.8, pp. 484-492.3. Volver arribaAbraham Pas;Inward Bound, Oxford University Press (1986).4. Volver arribaLa frmula de Balmer obtenida es correcta, pero la estructura fina es incorrecta.Bibliografa[editar] Erwin Schrdinger;Mmoires sur la mcanique ondulatoire, Flix-Alcan (Pars-1933). Reedicin Jacques Gabay (1988),ISBN 2-87647-048-9. Contiene la traduccin al francs de Alexandre Proca de las memorias histricas de 1926: Cuantificacin y valores propios (I) y (II), Annalen der Physik (4)79(1926) [[1]] y [[2]] (en alemn); Sobre la comparacin entre la mecnica cuntica de Heisenberg-Born-Jordan y la ma, Annalen der Physik (4)79(1926) [[3]] (en alemn); Cuantificacin y valores propios (III) - Teora de las perturbaciones con aplicacin del efecto Stark a las rayas de Balmer, Annalen der Physik (4)80(1926) [[4]] (en alemn); Cuantificacin y valores propios (IV), Annalen der Physik (4)81(1926) [[5]] (en alemn); Sobre el efecto Compton, Annalen der Physik (4)82(1927) [[6]] (en alemn); El teorema de la conservacin de la energa y la cantidad de movimiento para las ondas materiales, Annalen der Physik (4)82(1927) [[7]] (en alemn); Intercambios de energa segn la mecnica ondulatoria, Annalen der Physik (4)83(1927)[[8]] (en alemn). Erwin Schrdinger, An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules, Phys. Rev.28,1049(1926) [[9]] (en ingls)Categoras: Ecuaciones en derivadas parciales Mecnica cuntica Qumica cuntica Ecuaciones de la fsica Ecuaciones epnimas de la fsica Ciencia de los aos 1920 1925Men de navegacin Crear una cuenta Acceder Artculo Discusin Leer Editar Ver historialPrincipio del formulario

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