INTRODUCCIÓN fe1&2

• Física Estadística• Microestado. Macroestado: degeneración.• Colectividad de Gibbs. Postulado sobre promedios.Igual probabilidad a priori.

• Hipótesis ergódica. Alternativas de fundamentación.• Temas complementarios: Teoría de probabilidades.Teoremas de Liouville. Teoría ergódica.

Concepto de Física Estadística. fe1

Objetivo curso: entender la Física Estadística y dominar algunas de sustécnicas, imprescindible para comprender los sistemas complejos y, en par-ticular, las propiedades de materia (incluso plasmas) y radiación.1

La Física Estadística se pregunta:Cadamolécula del fluido tiene–generalmente–una dinámica (microscópica)casi trivial: interacciona con las restantes según las ecuaciones del movimientode Newton. Pero, a nivel macroscópico, se observa un comportamientohidrodinámico que no comprendemos bien.

Esta paradoja es dramática cuando, por alguna causa, esos movimientos mi-croscópicos se organizan para producir tornados o turbulencia. Parece lógicopernsar que la extraodinaria complejidad de un flujo turbulento sea una man-ifestación más de la dinámica colectiva emergente.

→ ¿Cómo es esto posible? ¿Cómo se produce esa complejidad? ¡La natu-raleza tiene estructura jerárquica en capas (posibles niveles de descrip-ción)!

→ ¿Cómo ha de ser de “grande” un sistema –ee, qué número de gradosde libertad ha de contener– para que, en un nivel alto de descripciónpueda considerarse un medio continuo que satisface las leyes físicas(macroscópicas)?

1No copia de transparencias en esta primera parte del curso, más conceptual

1

→ ¿Por qué se parecen tanto entre sí fenémenos (macroscópicos) aparente-mente tan dispares como ferromagnetismo, condensación, superconduc-tividad, turbulencia?

→ ¿Cuál es el origen último de los principios de la termodinámica odel comportamiento irreversible de muschos cambios naturales con eltiempo?

En definitiva, comprender profundamente –con rigor científico y estructuramatemática– los mecanismos que producen organización y complejidad apartir de sencillez.2

En este camino aparecen conceptos que han percolado otras ciencias:

• “caos” (divergencia trayectorias al variar infinitesimalmente condicionesiniciales)=⇒ impredictibilidad (versus predictibilidad en fenomenologíamás convencional)

• invariancia de escala espacial (“fractales”) y temporal (“criticalidadauto-organizada”)

Interesan sistemas con muchos grados de libertad, especialmente grandescolecciones de objetos relativamente sencillos como, por ejemplo:

muestra de gas, líquido o sólido como conjunto de moléculas –o de plasmacomo conjunto de iones y electrones–, en cuyo caso interesan las con-secuencias de los grados de libertad de éstas y del conjunto, incluyendocalores específicos, magnetización, viscosidad, susceptibilidades, y susfluctuaciones, al modificar los parametros del sistema;

molécula compleja (polímeros, DNA,...) como conjunto de átomos;

átomos–y núcleos–muy pesados, como conjunto de e, p, n y otras partícu-las elementales;

rayo láser y semejantes como conjunto de fotones;

galaxia como conjunto de estrellas;

comunidad como conjunto de indivíduos, etc (ver luego)

2Para conseguir hacerlo con rigor, en el contexto de la física, hemos de limitar drásti-camente el rango de sistemas a considerar. Si ampliamos este rango, menor profundidad:“ciencia de la complejidad”.

2

En el contexto de la Física, el objetivo de la FE es el de tratar de com-prender mejor las propiedades mecánicas, térmicas, eléctricas, magnéticas, ycualesquiera otras macroscópicas,

esto es, las “físicas macroscópicas”, como magnetismo, hidrod-inámica, termodinámica, materiales, elasticidad, acústica, etc,

de la materia (en sus 4 estados) y de la radiación a partir del conocimientode las leyes microscópicas que rigen el comportamiento de sus elementosconstituyentes.

Éstas se suponen dadas:

• dinámica hamiltoniana y electromagnetismo• teoría de procesos estocásticos: cuando la dinámica microscópica esdesconocida o muy complicada, se hace la hipótesis de que los sistemasgrandes realizan sus movimientos elementales al azar.

La misma filosofía permiten el estudio de otras situaciones, incluso fuerade la física, donde hay que hacer hipótesis plausibles acerca de la ‘dinámicamicroscópica’ que rige a los elementos: propagación de ideas, informacióno enfermedades en una comunidad, tráfico, redes de neuronas, fuegos fore-stales,... El método es entonces el mismo, pero quizás su aplicación resultamenos rigurosa en estos casos.

Generalmente, siguiendo este procedimiento, se obtiene información nocontenida en las leyes individuales microscópicas,

esto es, el comportamiento global del conjunto no es una merasuperposición del comportamiento de sus parte, sino que cadauna de éstas es influida (interacción u otro condicionamientomás o menos local) por la presencia de las demás, siguéndosepropiedades emergentes.

Estas influencias son acumulativas =⇒ desaparecen simetrías de los elemen-tos, esto es, de sus leyes:

• cambios de fase: desarrollo espóntáneo de orden, como en solidificacióny tornados;

• irreversibilidad: desaparece la inversión temporal microscópica.33Es necesario puntualizar en este contexto que ciertos experimentos, como la violación

CPT en el decaimiento de mesones K0 (que valió el premio Nobel a V. Fitch y J. Cronin),podrían llegar a forzarnos a admitir irreversibilidad en estos procesos entre partículaselementales a nivel muy básico.

3

Concretando la observación anterior de que la naturaleza tiene una estructurajerárquica en capas de posibles niveles de descripción, notamos que, de hecho,la física ha consagrado dos esquemas teóricos bien diferenciados:

Descrición dinámica, fina o microscópica, como la de las mecánicas.

Hipótesis: los objetos están constituidos por moléculas –desde compli-cadísimas moléculas poliatómicas hasta partículas elementales o cuasi-partículas.

Interesa descripción “completa” del estado de cada molécula. Muchainformación, pero sencilla.

Descripción observable, semifina o macroscópica, como la de las físi-cas macroscópicas.

Interesan propiedades globales del objeto: forma, color, temperatura,viscosidad, etc. Menos parámetros (caso límite es la termodinámica),pero comportamiento complejo.

Sospecha: estos dos modelos de la misma realidad, incluso del mismo objetofísico, han de estar relacionados4 =⇒ nace la FE. Esta sospecha fue confir-mándose poco a poco gracias a los sondeos de la antigua “teoría cinética delos gases”, como luego clarificamos.

Nota: Antes de profundizar en la naturaleza y método de la FE, repasociertas propiedades de las descricpciones microscópica y macroscópica; lohago con mucha brevedad, puesto que las han de conocer bien, pero he deinsistir en su importancia para lo que sigue. ¡ Han de saber mecánica!

4Esta sospecha se demuestra en FE, esto es, para un cierto rango de sistemas. Laciencia de la complejidad generaliza su validez, algo que algunos colegas llaman, con ligeromatiz despectivo, reduccionismo.

4

Descripción microscópica clásica.

Hipótesis básica: los ‘objetos’ de interés, constituidos por muchas molécu-las, cada una bajo la influencia de fuerzas conservativas ejercidas por lasotras y, eventualmente, por objetos exteriores (ej., el recipiente); situaciónno-relativista, salvo que indiquemos lo contrario.5

El objeto tiene ν grados de libertad; de momento, ν es finito; luego nosinteresa ν infinito numerable (alternativamente, se introduce el concepto decampo como variable dinámica básica).

Microestado, α ≡ estado dinámico del sistema que queda determinadopor completo conociendo –en el instante en cuestión– ν parejas decoordenadas y momentos generalizados:

qs, ps; s = 1, 2, ..., ν,

esto es:

α ≡ (q, p) ≡ (q1, q2, ..., qν, p1, p2, ..., pv)Espacio de las fases, Γ ≡ espacio métrico de 2ν dimensiones determinado

por un sistema cartesiano de 2ν ejes mutuamente ortogonales corre-spondientes a las variables (q, p)

Todo microestado del sistema puede representarse mediante un puntoen Γ; todo punto en Γ representa un α, pero no necesariamente realiz-able en el sistema.

Funciones dinámicas, b (q, p) : representan magnitudes físicas que –como la energía, los momentos lineal y angular, etc– tienen valor biendefinido en cada α

Ej., el hamiltoniano H (q, p) . Si representa la energía total de un sis-tema conservativo, no es función del tiempo y H (q, p) = E es lasuperficie de energía en Γ, en realidad una “hipersuperficie” de di-mensión 2ν − 1.

5Balescu, páginas 3 a 8, por ejemplo, para el rápido repaso que sigue de dinámicahamiltoniana. El alumno ha de completarlo con sus libros de mecánica clásica y cuántica.

5

H es una función dinámica privilegiada en el sentido de que lasecuaciones de Hamilton,

qs =∂H (q, p)

∂ps, ps = −∂H (q, p)

∂qs,

determinan las posibles trayectorias de α en Γ

esto es, α se mueve con t (“movimiento natural”) y su trayectoriaqueda determinada por estas ecuacioes y la condición inicial α0.

Esta trayectoria tiene las propiedades:

• queda confinada a una parte de Γ, accesible.Ej., si el sistema es conservativo, no puede salir de H (q, p) =E = const y, si está en un recipiente de volumen V, las q0s quedantambién limitadas por esta condición;

• no se corta a sí misma, pues las ecs. de H. son diferenciales de 1erorden.

Por la misma razón (como reflejo del determinismo clásico):

— dos sistemas con mismo H y αo, mismo αt.

— dos sistemas con mismo H pero α00 y α000, diferente αt.

Haced muchos problemas acerca de trayectorias en Γ.

Puesto que (q, p) se mueve, es posible que b (q, p) cambie con el tiempo,aunque no tenga dependencia explícita en t. En efecto,

b (q, p, t) ≡ d bd t=

νXs=1

∙∂b

∂qsqs +

∂b

∂psps

¸+

∂b

∂t

=νX

s=1

∙∂b

∂qs

∂H

∂ps− ∂b

∂ps

∂H

∂qs

¸+

∂b

∂t≡ b,H| z

Poisson

+∂b

∂t, (1)

Casos particulares de (1):

qs = qs, H , ps = ps,H ≡ ecs. de Ham.

H = H,H = 0 ⇐⇒ H (q, p) = E = const .

6

Consecuencias de (1):

• b 6= 0 en general, aun cuando (como suele ser el caso en lo que sigue)∂b/∂t = 0,

• luegob (α0) →

con el tiempob (αt) ,

evolución que está controlada por

b = b,H ≡ Lb,

donde indico una notación alternativa compacta.

Esto suele expresarse formalmente (simplificando notación):

b (t) = U (t) b

Para obtener una expresión del propagador de Green U (t) , suponemosque la correspondencia b (t)↔ b es continua y hacemos un desarrollo formalen potencias de t :

b (t) = b+ t b+ 12t2 b+ ...,

donde b, b, b, .. se entienden en t = 0. Puesto que

b =nb, H

o= b,H , H = L2b, b(n) = Lnb,

el desarrollo puede escribirse:

b (t) =∞Xn=0

1

n!tn Ln b ≡ etL b ≡ U (t) b. (2)

Más explícitamente, es

b (αt) = etL b (α0) , b (α0) = e

−tL b (αt)

7

El conjunto de todas las transformaciones U (t) , correspondientes a todos losposibles valores del parámetro t, constituye el grupo de transformacionescanónicas.

Casos particulares de (2):

qs (t) = etL qs = qs (q1, ..., qν, p1, ..., pv; t) , (3)

solución formal de qs = ∂H/∂ps, y

ps (t) = etL ps = ps (q1, ..., qν , p1, ..., pv; t) , (4)

solución formal de ps = −∂H/∂qs, s = 1, 2, ..., ν, que pasan de t0 a t0+ t cont0 arbitrario.

Por último, notamos que cualquier función dinámica b, si es analítica,puede construirse a partir de la base (q, p) combinando sumas y multiplica-ciones, esto es,

b =∞X

n1=0

...∞X

nν=0

∞Xm1=0

...∞X

mν=0

αn1,...nν ,m1,...,mv qn11 ...qnvν pm1

1 ...pmνv

≡Xn,m

αnm qn11 ...pmνν (simplificando notación).

Puesto que estas operaciones algebraicas se conservan bajo U (t) , la funcióntransformada es del tipo:

b (t) =Xn,m

αnm q1 (t)n1 ...pν (t)

mν ,

con los mismos coeficientes αnm. Pero, usando aquí (3) y (4) para sustituirq1 (t) , ..., pν (t) por sus valores iniciales y el t, se tiene:

b (t) =Xn,m

αnm (t) qn11 ...pmν

ν ,

esto es, una nueva función (pues tiene distintos coeficientes) de las variablesoriginales.

8

Resumiendo: la física proporciona una detallada descripción microscópicaclásica (luego revisamos la cuántica) que, sin embargo, tiene serias limita-ciones en relación con el objeto y la necesidad de la FE:

nos da una clase infinita de movimientos, pero no determina cuál ha deesperarse en una situación determinada

¡hay que combinar esa descripción con otra información!

Pero no podemos determinar experimentalmente una condición inicial:dado que los objetos macroscópicos tienen ∼ 1024 moléculas, sillevase 1s la detrminación de su estado, nos llevaría ∼ 1016 añosdeterminar el α de un mol de materia

Aun conociendo una condición inicial, es un trabajo imposible la soluciónde 6 × 1024 ecuaciones de Hamilton, ni con el ordenador más rápidoque podemos imaginar.

En todo caso, ¡es el camino más penoso para obtener propiedades emer-gentes!

9

Descripción observable o macroscópica.

La física dispone de otro modelo para la naturaleza, en el que interesa elMACROESTADO que (a diferencia de α) queda determinado conociendounas pocas magnitudes físicas:

• Ejemplo más familiar: estado de equilibrio termodinámico:

el del sist. más sencillo, caracterizado por energía interna y volumen

+ nos. molares, si varios componentes químicos

+ momento de dipolo eléctrico, si no eléctricamente neutro, etc

• En general (ej, hidrodinámica), más complejo: nesarios camposB (r, t) ,ee, funciones cont. (o cont. a trozos) con dependencia espacial y tem-poral gobernados por ecs en derivadas parciales o integrodiferenciales;B (r, t) = B = const . es el caso particular de la Termo del equilibrio.

• El macroestado no determina por completo al α:

dos sists. en mismo macroestado pueden encontrarse en distintos α :existe degeneración

llamaremos imagen dinámica de A:Ω (A) = conjunto de α0s compatibles con macroestado A

• Sin embargo, supondremos que, en general, el α determina por com-pleto el A en el sentido de que dos sistemas en el mismo α han deencontrarse en el mismo A

• A, como α, puede cambiar con t, pero su evolución NO es determinista:

dos sists. en mismo A en t0 (trivial: mujeres gestantes) pueden estar endistintos α y conducir a distintos A en t > t0 (mujer+niño/a)

ejemplo sist. no conservativo:

— en t0, sistema 1 en macroestado energía E y microestado α0— en t0, sistema 2 en macroestado E pero microestado α00— t0 → t : α se sale de superficie de energía E,

α0→ αt ⇒ H (αt)= E0

α00→ α0t ⇒ H (α0t)= E00 6= E0

10

• luego NO puede predecirse con confianza el A futuro,

pero pueden hacerse predicciones estadísticas acerca de gran colecciónde sists. en mismo A,

con mayor confianza cuanto mayor sea la muestra,

y puede que sea ésto lo que interesa al observador,

ej, usar métodos estadísticos para predecir la superficie de energíaen t, H (αt) = Et, si interesa la distribución p (E) dE

Propugnamos:

reemplazar nuestro desconocimiento de condiciones ini-ciales –imposible y dudosamente conveniente–

por estrategia consistente en mezclar teoría de proba-bilidades con el conocimiento de la forma genérica delas ecs. de Hamilton para el problema

La FE enseña cómo hacerlo

11

Descripción microscópica cuántica.

¿Hasta qué punto se modifican argumentos anteriores si parti-mos de una descripción microscópica cuántica, más realista?

• Conclusión: no diferencias formales notables, pero sí conceptuales.• En particular, principio de incertidumbre de Heisenberg ⇒ Γ pierdesu sentido riguroso

— podemos entoces hacer celdas, ∆qs ·∆ps ∼ ~,de modo que ptos. dentro sean indistinguibles entre sí, pero

— MQ proporciona descripción más eficaz de microestados:

∗ microestado reprsentado por elemento en un espacio de Hilbertabstracto (en lugar de pto en Γ),∗ función de onda |αi , ej, α ≡ q1, ...qν u otro conjunto quecaracteriza microestado, juega papel conjunto (q, p)∗ el espacio de Hilbert es ahora el espacio dinámico.

• En definitiva:clásica cuántica

microestado (q, p) |αiesp. dinámico Γ Hobservables funciones dinámicas ope lin. hermít. en Hley mov.natur. ecs. Hamilton ec. Schroedinger

• los operadores lineales hermíticos actuando en H que (en lugar de func.dinámicas en Γ) representan ahora a los observables son tq:

— dado un ope, ∃ (generalmente) un cierto node elementos (estados)de H q quedan ‘casi’ invariantes bajo su acción, ee, transformadosen sí mismos salvo factor numérico

b |ni = bn |ni

— el conjunto de todos los valores propios bn posibles–correspondientesa todos los estados propios |ni– se interpreta como conjunto devalores que puede tomar el observable asociado a b en cualquierexperimento

12

— un subconjunto de estos ope hermíticos juega papel esencial: losqs, ps, asociados a las variables clásicas qs, ps, s = 1, ..., ν

— se supone que tienen la propiedad fundamental de no conmutar,

[qs, ps] ≡ qsps − psqs = i~1 ≡ i~.

Comparando con la propiedad clásica

qs, ps = 1

se concluye la analogía

·, · → 1

i~[·, ·]

que sugiere que la ley de movimiento para operadores es

bb = 1

i~

hbb, bHi (5)

con bH el ope hamilt, que también juega aquí papel privilegiado.6

6De hecho (Problema), esta ley es consecuencia de la ec. de Scrodinger,

i~ ∂∂t|αi = bH |αi → |αti = e−it bH/~ |α0i ,

de donde, dada la hermiticidad de bH :DbbEt≡Dαt | bbαtE = De−it bH/~ α0 | bb e−it bH/~ α0

E=Dα0 | eit bH/~ bb e−it bH/~ α0

E=Dα0 | bbtα0E ≡ DbbtE

0

(igualdad de los dos ptos de vista en la evolución, como en clásica), donde

bbt = eit bH/~ bb e−it bH/~

establece la forma de evolucionar los operadores. Derivando, suponiendo bb sin dependenciaexplícita en t :

·bbt ≡ dbbtd t

=i

~He+ b e− + e+

∂b

∂t|z=0

e−− i

~e+ b e−H

=i

~Hbt − i

~btH =

i

~[H, bt] =

1

i~[bt,H]

Q.E.D.

13

Para obtener la mejor analogía formal con el caso clásico, la sol formal de(5) se escribe bbt = exp³tL´ bb ≡ bU (t) bb,donde Lbb ≡ hbb, bHi y el ope exponencial se define por su desarrollo. Compara-ndo con la expresión más familiar (ver nota anterior), bbt = eit bH/~ bb e−it bH/~,

y escribiendo u (t) ≡ eit bH/~, se tiene la relación entre el propagador de Green,bU, y la transformación unitaria usual en cuántica, u :bb = bU (t) bb = u (t) bb u (t)−1 .

Por otra parte, la descripción microscópica cuántica es también deter-minista en el sentido de que la ec de Schrodinger, dado |α0i , determina porcompleto |αti

⇒ existe analogía formal completa entre las dos mecánicasbásicas

⇒ no hay diferencias formales en FE; su estructura formal esla misma, tanto si se parte de descripción clásica como cuántica.

14

El método de la Física Estadística. fe2

Resumiendo: trata de relacionar descripciones micro y macro, combinandola micro con teoría de prob para llegar a la macro.

⇒ Hay que determinar la muestra, conjunto de elementos o soporte sobreel que hacer teoría de prob, cuyos elementos han de ser:

• independientes entre sí, sin interacciones ni inclinaciones o tendencias• idénticos en sentido relevante para el problema en cuestión• un nosuficiente para que las predicciones estadísticas sean fiables.

Caben dos posibilidades:

1. Aplicar t. prob. a conjuntos de elementos con existencia real, ee,moléculas, electrones, osc. armónicos u otros grados de libertad cuyoconjunto sea un buen modelo para el sist en consideración.

• Problemas:aplicación restringida a gases muy diluidos o similares; pero lasinteracciones no son despreciables, en general;

los constituyentes no son idénticos a veces: ej, mezclas

• Método de Maxwell y Boltzmann; pionera “teoría cinética de losgases”; rara vez en FE

Para evitar estas limitaciones, Gibbs y Einstein fundaron la mecánicao física estadística propiamente dicha; proponen

2. Aplicar t. prob. a conjunto infinito de sistemas imaginarios, ee,

• colectividad de Gibbs:— copias macroscópicas –imaginarias– del sist dado, en mismomacro, en particular, ej, con el mismo hamiltoniano

— obedeciendo las mismas leyes dinámicas

— en distintos micro compatibles con el macro dado; ej, corre-spondientes a gran número de condiciones iniciales para lasecs. de H (ee, nube de puntos en Γ en t determinado).

15

• Ventajas:— Miembros cumplen sin dificultad condiciones para aplicaciónmás eficaz de t. prob.:

∗ son idénticos en sentido microscópico∗ son independientes, sin interacciones, por definición∗ precisión estadística resultados no depende de no con-stituyentes sist, sino de no miembros colectividad, quetomaremos ∞.

— Miembros son macroscópicos, luego siempre distinguibles=⇒ al contrario que TC, FE es insensible por completo altipo de mecánica que requieren los constituyentes

— Consideraciones estadísticas son más fundamentales=⇒ menor necesidad de detalle microscópico (generalmenteinaccesible); ej, comparar cálculo P en TC y FE.

— Colectividad es imaginaria –no necesariamente realizable–luego gran libertad;

en principio, es un truco matemático aunque (luego profun-dizaremos en esta interpretación física) trata de reproducirgran no experimentos realizados en condiciones idénticas:

∗ dada situación experimental (ej, gas en vasija, y nos in-teresa medir E), el experimentador no conoce el microes-tado∗ si hacemos varias medidas (instantáneas) de E, encon-traremos al sist en distintos microestados –pues Ω (A) esenorme–, luego medimos Ei ≡ E (αi)

∗ pero al observador le interesa el valor medio de Ei y,quizás, p (Ei) –propiedades estadísticas de las fluctua-ciones de Ei–, correlaciones estadísticas entre fluctua-ciones de distintas magnitudes, etc.∗ FE supone q esta información puede obtenerse –sin re-alizar el experimento– aplicando t. prob. a colectividad(de Gibbs) cuyos miembros distribuidos adecuadamenteentre los micro accesibles.

16

Postulados:

FE tiene estructura de ciencia, pudiendo desarrollarse a partir (por ejemplo)del siguiente conjunto de postulados:

Previo:

Todavía se menciona como p. previo la ‘hipótesis atomística’ (admitida comohecho desde Einstein y Perrin), esto es,Los sistemas físicos, constituidos por “moléculas” (en el sentido más amplioque convenga) que satisfacen las leyes de la Física.

Primero:

Por conveniencia, lo enunciamos en dos partes:

I.A:

A toda magnitud física mecánica del sist –que denotamos B (x, t)– le aso-ciaremos función de las variables que integran Γ u ope hermítico en H –quedenotamos b (α; x, t) (donde se indica dependencia paramétrica en x y t)

Por ejemplo, a la densidad de “moléculas” alrededor de x le asociamos unafunción suma de deltas:

d xNXi=1

δ (ri − x)

con r1 = q1,x (t) , q1,y (t) , q1,z (t) , etc., las posiciones de lasN “molécu-las”.

Notad que las energías y momentos son magnitudes físicas mecánicas, mien-tras que lo afirmado en I.A falla, ej, para la T –a la que se le asociauna velocidad cuadrática media, característica de todo el conjunto–y para la S, pues S 6= S (α) sino que S = S (Ω (A)).

17

I.B:

Los valores de las magnitudes físicas son promedios de esas funciones o valoresesperados de esos ope.

Esta segunda parte contiene el método:

B (x, t) = hb (α; x, t)i ≡ hbi .

La naturaleza de este promedio queda determinada al adoptar la propuestade Gibbs, que ha de suponerse implícita en I.B:

• unmacro, compatible con muchísimos micros, ej, en el caso clásico,caben infinitos puntos en el Γ accesible al sistema

• podemos suponer los miembros de la colectividad repartidos dealguna forma entre todos ellos, de modo que ese promedio es

hbi = limη→∞

1

η

ηXi=1

b(i),

con η = no miembros colectividad y

— b(i) = resultado de medir b en el miembro i; ej,∗ b(i) = b (αi) , con αi el micro del miembro i, en clásica

∗ b(i) =Dαi | bαi

E, en el caso cuántico

• Falta por determinar cómo se reparten los miembros entre los mi-cro accesibles; esto puede precisarse introduciendo, ej, la funcióndensidad (de la mecánica clásica), ρ (α) definida en Γ, que deter-mina el peso de α en la colectividad, sujeta a la condición:Z

Γ

dα ρ (α) = 1.

• Se sigue que, en el caso clásico, es

hbi =ZΓ

dα b (α;x, t) ρ (α)

y, en el cuántico:hbi = Tr

³bρ´

con ρ el operador densidad, análogo cuántico de la función den-sidad, Tr (ρ) = 1.

18

Han quedado pendientes dos importantes cuestiones en lo anterior:

• ¿Qué significado físico tiene I.B?• ¿Cómo han de ser ρ (α) y ρ?

Vamos a tratar de aclararlas, y empezamos por la segunda pues, hasta noresolverla, no podemos aplicar de hecho lo anterior.

Postulado de igual probabilidad a priori:

Ehrenfest, Ornstein, Uhlenbeck y, en parte, Gibbs: colectividad = trucoútil.

Einstein y Gibbs (1902), tímidamente: es un buen modelo de la realidad.

Tolman (1938): argumentos convincentes, sin prueba rigurosa todavía:

• Además de I, es necesario un postulado no mecánico, como con-secuencia de limitaciones en nuestras medidas

ee, puesto que las medidas no pueden determinar por completoel micro de sists macroscópicos, un tratamiento teórico hade representarlos mediante colectividad con microestados dis-tribuidos de acuerdo con criterios a priori (caso ϕ en MQ)

• Estos criterios, necesarios para construir otro postulado, puedentomarse acordes con “principio de la razón indificiente” (ode indiferencia), ya usado por Keynes 1921, Laplace y Bernouilli1723 en otros contextos:

en ausencia otra info acerca de prob q hay q atribuir a situaciones,todas consistentes con el conocimiento limitado que tenemossobre el sist, debemos atribuirles igual prob a priori

ej, atribuimos 16a cada cara de un dado, a menos que sepamos

que está trucado.

• Aplicándolo a la FE:si los experimentos muestran que, en un t dado, α ∈ M , unaparte de Γ, pero no dicen en qué parte de la región M,

Prob [α /∈M ] = 0

Prob [α ∈ m ⊂M ] ∝ medida (ej,vol.) de m

19

Dicho de otro modo, proponemos como segundo postulado:

II:

Todos los microestados que realizan un macroestado de equilibrio de unsistema aislado tienen a priori la misma probabilidad de ser realizados.

Ejemplo frecuente: sólo sabemos del macro de un sist en equilibrio que

E ≤ energía ≤ E +∆E, ∆E << E

por aplicación de II, se sigue la llamada colectividad microcanónica:

ρ (α) =

½const . si E ≤ H (α) ≤ E +∆E0 en otro caso,

donde const . se sigue de la normalización.

Un caso especial es ∆E → 0 (que a veces se llama ‘colectividad su-perficial’).7

En cuántica II es: Todos los estados cuánticos no degenerados compatiblescon el macroestado tienen a priori igual probabilidad y fases distribuidasal azar.

En definitiva, hemos establecido equivalencia entre realizar medida de magnfísica en sist dado y promediar func dinámica en su Γ, ee, en colectividadapropiada, y hemos construido colectividad correspondiente a un caso deinterés. Procedimiento válido tanto en clásica como en cuántica, y notar quela naturaleza est. de la ME8 difiere –distinto origen físico– de la de la MQ,donde también se predicen valores medios de observables.

7Tiene gran interés teórico pues representa sistemas conservativos, con un valor per-fectamente bien definido de la energía, que, aunque suponen el caso más ideal, se usan amenudo para ilustrar con rigor y sencillez la teoría.

8ME ' teoría de colectividades de Gibbs; se trata de una verdadera mecánica deátomos o ‘moléculas’ en interacción que se ocupa de movimientos de los grados de libertaddel sistema tales como calor específico o resistividad magnética. La FE implicaría laextensión de conceptos y métodos de la ME a situaciones de interés a toda la física, dondegeneralmente no se pueden aplicar con rigor, ej, estados estacionarios fuera del equilibrio.

20

Así, al estudiar sist cuántico en ME involucramos dos promedios:

hbi = limη→∞

ηXi=1

Dαi | bαi

E| z

(1)| z (2)

(1) cuántico, con origen en principio de incertidumbre de Heisenberg: dadauna muestra la caracterizamos microscópicamente por ψ solución de laec de Schrodinger, q permite hacer promedio mecanicocuántico de laE, por ejemplo. Pero hay muchas ψ compatibles con el macroestadoobservado, (T, P, etc.)

(2) macanicoestadístico, debido a la incertidumbre q tenemos acerca del estinicial del sist de muchos cuerpos. Se calcula la E como el promedioen la colect. de los promedios cuánticos de la E microscópica.9

Nos preguntamos ahora si es justificable este procedimiento; en particular,por el significado físico de I.B, que dice B = hbi Razonamos:

• ‘mov. natural’ e interacciones =⇒ sist salta continuamente de microes-tado;

• nuestras observaciones y medidas, muy lentas comparadas con tiempocaracterístico;10 luego

• en el laboratorio se promedia sobre gran cantidad de microestados,• que suponemos distribuidos de acuerdo con II u otro criterio válido.

9Es como si en cuántica sólo se tratara con colectividades puras, con todos sus miembrosen el mismo microestado.10En casos típicos, los átomos de un sólido (gas) realizan unas 1013 vibraciones (coli-

siones) por segundo.

21

Resumiendo:11

• el método ME de la FE sugiere calcular (nos referimos ahora, por sen-cillez, al caso clásico)

hbi =ZΓ

dα ρ (α) b (α) ,

ZΓ

dα ρ (α) = 1,

con ρ (α) la función (densidad) q determina cómo se distribuyen losmiembros de la colect entre los micro posibles,

• mientras que las medidas proporcionan

b = limT→∞

1

T

Z T

0

d t b (αt) .

• En consecuencia, la validez de los postulados parece que requiere

hbi = b (6)

en determinadas condiciones (ej, salvo para un conjunto de estadosiniciales α0 q tiene medida nula)

A (6) se le conoce como hipótesis ergódica; el estudio de si los sists deinterés tienen esta propiedad ha dado lugar a la teoría ergódica.Recomiendo fuertemente:

• haced muchos problemas acerca de trayectorias de sistemas dinámicosen Γ, analizando cuándo pueden llenar densamente Γ y cuándo esto esimposible;

• lectura y discusión de textos de teoría ergódica como, por ejemplo,J.L. Lebowitz y O. Penrose, “Modern Ergodic Theory”, Physics Today,Febrero 1973, páginas 1 a 7.

11Este es el método propuesto explícitamente, por primera vez, en J.W. Gibbs, “El-ementary Principles in Statistical Mechanics”, Yale Univ. Press, 1902. Gibbs lo llamómecánica estadística puesto que su propuesta consistía en una mecánica generalizadaen la que las condiciones iniciales eran representadas mediante una ley de distribución.Einstein, que propuso por los mismo años una alternativa menos rigurosa, acabó adhirién-dose a la de Gibbs. Ver L. Navarro, “Gibbs, Einstein and the Foundations of StatisticalMechanics”, Arch. Hist. Exact Sci. (Springer Verlag) 53, 147-180 (1998)

22

Función densidad:

Los mismos fundamentos de la FE descansan en la mecánica ordinaria (clásica,de momento; luego vemos el caso cuántico), por ejemplo, es esencial el con-cepto de movimiento natural en Γ, luego conviene repasar lo q nos dice lamecánica clásica acerca del concepto de colectividad. Más concretamente,una colectividad puede caracterizarse por una ρ (α) . Se trata de repasar laspropiedades que implica la mecánica ordinaria para ρ (α) .

Por definición, una colect es, en cada instante, un conjunto de microestados,

α1, α2, ..., αη,

que puede visualizarse como una nube de puntos en el Γ accesible.

Cuando η → ∞, excluyendo casos patológicos, esta nube transforma enmedio continuo cuya densidad es función continua de la posición en Γ;de hecho, exigimos η suficientemente grande para que esto sea cierto.

Para caracterizar esta densidad, hay q definir el volumen o medida V enΓ : dado M ⊂ Γ :

VM =

ZΓ

dα =

ZΓ

d q1...d qν

Entonces, dado α ∈ ∆α ⊂ Γ, se define función densidad:

ρ (α) = lim∆α→∞

fracción de colect. conestado dinámico en ∆α

V∆α

Resalto las condiciones implícitas:

• primero η →∞, luego ∆α→ 0

• ρ (α) valor finito bien definido en todo Γ, lo q excluye casos difí-ciles, patológicos, como ρ (α) ∝ δ (α− α0) (a pesar de q son po-tencialmente interesantes)

La ρ (α) así definida es única (coincide la func. dens. de teoría de colectivi-dades con la más familiar de la mec. clásica) y satisface:

ρ (α) ≥ 0 ∀α;ZΓ

dα ρ (α) = 1

23

Toda función de α con estas propiedades es la función densidad de unacolectividad imaginable, aunque puede no tener interés físico en la práctica.

También se sigue q imaginar colectividad no es otra cosa que asociar unconjunto de condiciones iniciales, α1, α2, ..., αη, a ecs. de Hamilton del sist.

Puesto que cada α se mueve, toda la nube tiene mov natural en Γ gener-ado por H, lo q implica cambio temporal de ρ (α) . Este cambio es bastantepeculiar:

• ρ (α) es definida en Γ con la estructura de las ‘funciones dinámicas’,12

luego satisface:d ρ

d t= ρ,H+ ∂ρ

∂t

Esto es, la variación total de ρ es consecuencia de dos mecanismos:

— el cambio implícito ρ,H , consecuencia de que α se mueveen Γ

— el cambio explícito ∂ρ/∂t, alrededor de α

Así, la nube se comporta como un fluido, para el q la derivada total(llamada derivada material o hidrodinámica en dinámica de flui-dos) tiene contribución debida al movimiento de sus partículas yotra debida a los cambios en el entorno de la partícula observadora

• Sea una región infinitesimal M ⊂ Γ formada por miembros en la fron-tera y otros en el interior:

12Su peculiaridad radica en que, a pesar de parecer una función dinámica, no lo es enel sentido estricto que aquí se dió a este término ya que no se corresponde con magnitudfísica observable alguna.

24

1. Con el tiempo, frontera se deforma, pero ptos interiores no puedensalir, pues coincidirían para algún t con uno de la frontera y ten-drían q seguir su camino (de hecho, habrían tenido q coincidir ∀tanterior) debido al determinismo ecs de H. Por la misma razón,no pueden entrar nuevos puntos en M durante su evolución.

2. Medida de esta región también cte., pues cambio es consecuenciade tranformación canónica, q tiene tal propiedad,13Z

Mt

dαt =

ZM0

∂ (αt)

∂ (α0)dα0 =

ZM0

dα0

Pero, si cte. el node puntos en M, d η, y su medida, dV, tambiéndensidad ρ = d η/dV, luego

d ρ

d t= 0,

“teorema de Liouville” o, equivalentemente,

∂ρ

∂t= − ρ,H ≡ −iLρ,

“ecuación de Liouville”.

Esta propiedad tiene la forma integral:

ρt (Utα) = ρ0 (α) ∀α, t,ee, ρ = const . en las proximidades de todo pto q se mueva con elfluido (luego éste es incompresible).14

13Problema: Demostrad que esta transformación tiene jacoviano unidad,

∂ (αt) /∂ (α0) = 1.

14Notad que esta prop es característica de ρ, para la q, en general:

d ρ

d t= 0 y

∂ρ

∂t6= 0

mientras q se tiene, en general, cualquier otra func dinámica:

d b

d t6= 0 y

∂b

∂t= 0

25

Colectividad estacionaria es la q:

∂ρt∂t

= 0.

En forma integral:

ρt (α) = ρ0 (α) ≡ ρ (α) ∀α, t,q, combinado con Liouville:

ρt (Utα) = ρ (Utα) = ρ0 (α) = ρ (α)

ee,ρ (Utα) = ρ (α) ∀α, t.

Puesto q α y Utα son dos ptos de la misma trayectoria, la ρ de una colectivi-dad estacionaria es cte. a lo largo de cualquier trayectoria que pueda recorrerel sist en su mov. natural.

De otra manera: el node miembros de la colect en un micro dado es cte. enel t. Se dice q la colect está en equilibrio estadístico.

Por otra parte, se dice grossomodo (detalles en otra lec.) q un sist aisladoestá en equilibrio macroscópico cuando no varía con t toda magnitud(macroscópica) necesaria para caracterizar su macroestado.

Puesto q éstas son hbi = RΓdα ρ (α) b (α) , se sigue (para funciones b sin

dependencia explícita en t) que la condición (¡ver poblemas!) para q sea

hbit = hbi0 =⇒ZΓ

dαt ρ (αt) b (αt) =

ZΓ

dα0 ρ (α0) b (α0)

es qρ (αt) ≡ ρ (Utα) = ρ (α0) ,

ee, q la colectividad representativa esté en equilibrio estadístico.

Se sigue de arriba que los sist en equilibrio han de modelarse mediantefunciones densidad con la propiedad

ρ,H = 0,de modo que ρ ha de ser función de las constantes de mov del sist, q noinvolucran explícitamente al tiempo. En particular, para un sistema conser-vativo, ρ puede ser una función cualquiera de la energía, ρ = f [H (α)] . Loscasos más sencillos son:

26

• colectividad uniforme, ρ (α) = const .• microcanónica (y su variante superficial), antes discutida;• también

ρ (α) ∝ exp∙ϕ−H (α)

θ

¸, (7)

con ϕ y θ parámetros independientes de α para q sea ρ = f [H (α)] .

También se consigue ρ,H = 0 en sistemas con dos o más invariantesdel mov, H (α) , L (α) , ..., si

ρ = f [H (α) , L (α) , ...] ,

donde L (α) , ... puede ser el m. angular, etc.

La más interesante de la familia (7) es la colectividad canónica:

ρ (α) ∝ exp∙−H (α)

kT

¸con T un parámetro (de hecho, la temperatura).

Nota: lo anterior sólo establece condiciones necesariassobre la ρpara que represente una colect estacionaria.Pero hemos de exigir q la colectividad tenga tambiénrelevancia física, ee, que describa situaciones con interésen física. Esto lo haremos luego, y determinará la formade la función f [H (α)] .

27

Teorema cuántico de Liouville:

Estado de colect se describe en cuántica mediante el operador densidad(o estadístico) introducido por von Neumann (1927) como análogo de la ρen Γ. Matriz densidad: cualquiera de sus representaciones (matriciales).

Sea una colectividad pura: todos los miembros en el mismo estado, |αiSea ψ (q) la f de o correspondiente, con q = (q1, ..., qν) la configuración delsist con ν gdl.

Sea b el ope asociado a la magn física B. Su valor esperado en |αi es:

hα| b |αi =Zd q ψ∗ (q) b ψ (q) (8)

(d q =elem. vol. en espacio config.; ψ∗ complejo conj.;Rextendida a todas

las posibles config.)

Interesa calcular el promedio en la colect:

hbi = limη→∞

1

η

ηXi=1

b(i). (9)

Resuelto con el postulado estadístico de la MQ (ej, Dirac, sec. 12): simedimos la magn B gran número de veces en sist en estado |αi , el promediode esas medidad coincide con el ve (8), luego

hbi = hα| b |αi para una colectividad pura (10)

Una colectividad mezcla puede, en principio, imaginarse constituidapor nofinito de puras, ee, η1 miembros en el estado normalizado |α1i , η2 enel estado |α2i , ..., y ηn en el estado |αni ,15 con η =

Pnk=1 ηk.

La última parte de (9) puede entonces escribirse:

1

η

ηXi=1

b(i) =nX

k=1

ηkη

"1

ηk

Xik

b(ik)

#,

15Nota: |α1i , |α2i , ... no son necesariamente ortogonales.

28

donde ik se refiere a los miembros de la (sub)colectividad pura k.

En el límite η →∞. el promedio en cuestión, para una colect mezcla infinita,es

hbi =Xk

fk hbik , (11)

dondehbik =

1

ηk

Xik

b(ik) = hαk| b |αki (12)

es el promedio en la (sub)colectividad pura k, y

fk ≡ limη→∞

ηkη

(13)

es la fracción de miembros en esa (sub)colectividad.16

Para mejorar analogía con caso clásico, podemos escribir este resultadoen tnos de la función de onda. Sea ψk (q) la fdo del estado |αki y bψk (q) lade b |αki de modo que, si b se expresa en espacio de config mediante la matrizb (q; q0) ≡ hq| b |q0i , se sigue:

bψk (q) =

Zd q0 b (q; q0) ψk (q0)

y el ve (12) es

hαk| b |αki =Z Z

d q0 d q£ψk (q)

¤∗b (q; q0) ψk (q0) .

Llevando esto a (11)

hbi =Xk

fk

Z Zd q0 d q

£ψk (q)

¤∗b (q; q0) ψk (q0)

=

Z Zd q0 d q b (q; q0) ρ (q0; q) (14)

donde se ha definido la matriz densidad (en esp. config.):

ρ (q0; q) ≡Xk

£ψk (q)

¤∗fk ψ

k (q0) . (15)

16Al hacer η → ∞, omitimos la restricción a colect. mezcla formadas por un nofinito,de modo que

Pk puede interpretarse en lo sucesivo como suma infinita (o integral) en el

espacio de Hilbert.

29

Notemos la analogía de (14) con el caso clásico, ee, hbi aparece como elproducto de dos funciones de 2ν variables: la b (q; q0) determina la variabledinámica en cuestión, mientras que ρ (q0; q) determina la colect. Por supuesto,(15) no es la única representación posible para la MD.17

Puesto que fk son nos. reales, la MD es hermítica,

ρ (q0; q)∗ = ρ (q; q0)

y puede considerarse la representación hq0| ρ |qi en espacio de configuraciónde un ope lineal hermítico, ρ, el operador densidad de von Neumann.

En notación de Dirac, la fdo es ψk (q) = hq | αki , luego (15) conduce a

hq0| ρ |qi = ρ (q0; q) ≡Xk

hq0 | αki fk hαk | qi

que, por ser válida para todo q y q0, implica

ρ =Xk

|αki fk hαk| = limη→∞

1

η

Xk

|αki ηk hαk| .

Ee, el ope densidad es la suma de operadores de proyección |αki hαk| , cadauno con su peso fk, correspondientes a los distintos microestados represen-tados en la colect.18

Sea un conjunto completo cualquiera de estados ortonormales, |β1i , |β2i ,...Se tiene que19 X

j

|βji hβj| = 1.

17No profundizo en estos aspectos que debería repasar el alumno por su cuenta.18En el caso, poco interesante aquí, de una colect. pura, ρ es el proyector |αi hα| .19Esto es consecuencia de ser completo, puesto que ortonormalidad implica hβ0 | β00i =

δβ0,β00 , de donde Xβ0|β0i hβ0 | β00i =

Xβ0|β0i δβ0,β00 = |β00i ∀ |β00i

con la suma extendida a todo el conjunto. Puesto que esta relación es válida ∀ |β00i , sesigue lo indicado si el conjunto es completo.

30

Se sigue sucesivamente:

hbi =Xk

fk hαk| b |αki

=Xk

Xj

fk hαk| βji hβj| b|αkiρ

=Xj

hβj| bρ |βji ≡ traza³bρ´

Ee, hbi se calcula sumando los elementos diagonales de la matriz correspon-diente al producto bρ en la representación de la base |β1i , |β2i ,...

A esta operación se le llama traza del ope.

En consecuencia, la traza es el análogo cuántico de la integración en Γ,

y los promedios en Γ se calculan ahora: hbi = traza³bρ´.

El ope densidad satisface dos condiciones análogas a las clásicas de nor-malización y no—negatividad.

Ee, haciendo b = 1, se tiene

traza (ρ) = 1

o, en términos de la MDhb = 1 → b (q0; q) = δ (q0 − q)

i,Z

d q ρ (q; q) = 1.

Esta condición expresa el hecho de queP

k fk = 1.

La no—negatividad se corresponde con fk ≥ 0 ∀k, y puede expresarse:Z Zd q0 d q ψ∗ (q0) ρ (q0; q) ψ (q) ≥ 0 ∀ψ (q) .

31

Tratamos ahora de determinar la evolución temporal del ope densidad y,por tanto, de la colect. que representa.

Con este objeto, como en el caso clásico, hemos de conocer cómo evolu-cionan los estados. Éstos satisfacen la ec. de Schrodinger,20

d

d t|αi = ∂

∂t|αi = − i

~H |αi .

Sea ut tal que|αit = ut |αi0 .

Sustituyendo en Schr.:d

d tut = − i

~H ut. (16)

cuya hermítica conjugada es

d

d tu+t = +

i

~u+t H

+ =i

~u+t H

³pues H+ = H

´

Este ope es unitario, ee, u+t ut = 1, y esta condición es el análogocuántico de la conservación de volumen en Γ (ee, la condición–consecuencia de que se trata de transf canónicas– de que losjacobianos = 1).

En efecto, notemos que la hermítica conjugada de dd tut =

− i~H ut es

d

d tu+t = +

i

~u+t H

+ =i

~u+t H,

pues H+ = H. Entonces, derivando, se tiene sucesivamente que

d

d t

¡u+t ut

¢= u+t

d utd t

+d u+td t

ut

= − i

~

³u+t Hut − u+t Hut

´= 0,

luego u+t ut = cte, de donde u+t ut = 1 si tomamos u0 = 1.

20 |αi no contiene otras dependencias funcionales, mientras que ψ (q) ≡ hq | αi dependedel espacio en cuestión.

32

Si H es independiente del tiempo (sist aislado), suponiendo u0 = 1 e inte-grando:

ut = exp³−iHt / ~

´

Por otra parte, es por definición:

ρ =Xk

|αki fk hαk|

luego, en tiempo t,

ρt =Xk

ut |αki fk hαk| u+t = ut ρ0 u+t

y para un sist aislado:

ρt = exp³−iHt /~

´ρ0 exp

³iHt /~

´.

Estas ecuaciones establecen cómo evoluciona ρt, luego son análogo cuánticode la ecuación de Liouville (en forma integrada). Por supuesto, este resultadopuede expresarse en forma matricial.21

Derivando la ec integrada:

·ρt =

·utρ0 u

+t + ut ρ0

·u+t

de donde, sustituyendo·ut = − i

~ H ut y·u+t =

i~ u

+t H :

d ρtd t

= − i

~H utρ0 u

+t| z

ρt

+i

~utρ0 u

+t| z

ρt

H

= − i

~

³Hρt − ρtH

´= − i

~

hH, ρt

i21Por ejemplo, en representación de energía. Sea H |mi = Em |mi , m = 1, 2, ...

Entonces,|mit ≡ ut |mi = exp (−iEmt /~) |mi

y se tiene sucesivamente

hm | ρt | ni =­m | ut ρ0 u+t | n

®= t hm | ρ0 | nit

= exp [−i (En − Em) t /~] hm | ρ0 | ni

33

Colectividades invariantes

Papel semejante a estacionarias clásicas, ee, en equilibrio estadístico, puescaracterizadas mediante operadores densidad independientes del tiempo:

d ρtd t

= 0 =⇒hH, ρt

i= 0.

Si la energía constituye por sí sola el “conjunto completo de observables queconmutan” que describe el estado del sistema, se sigue que

ρ = f³H´

En otro caso, H tiene vp degenerados (descripción completa estado requierenos cuánticos adicionales). Todavía pueden diagonalizarse simult. ρ y H,pero no garantizado que ρ sea también diagonal en los otros nos cuánticos, y

ρ = f³H, L, ...

´,

donde L, ... conmutan con H y representan otros invariantes del mov.

En estas condiciones, interesante llegar a expresión de la MD en repre-sentación de E.Aplicamos la ec. de Liouville:

0 =

µd

d t+

i

~

hH, ...

i¶hm | ρt | ni

=

µd

d t+

i

~

hH, ...

i¶exp

∙−iµEn − Em

~

¶t

¸hm | ρ0 | ni

Pero,hH, ρ0

i= 0 si la colectividad es estacionaria, y se sigue:

=i

~(En −Em) exp

∙−iµEn −Em

~

¶t

¸hm | ρ0 | ni = 0,

donde ρ0 es para un tiempo inicial arbitrario. Ee, para colect. estacionaria:

hm | ρ | ni = 0 si Em 6= En :

los elementos de matriz que conectan estados de E diferente han de ser nulos,luego:

en ausencia de niveles energéticos degenerados, un ρ estacionarioha de ser diagonal en la representación de energía, de acuerdocon el resultado general arriba.

34

En definitiva:ρmn ≡ hm | ρ | ni = pmδmn

donde pm es la probabilidad de que el sist esté en |mi que vamos a escribirpm ≡ am /Ω.

Ejemplo: E < energía < E +∆E, ∆E << E.

Postulado: todos los niveles E < Em < E +∆E son igualmente probables.Esto implica:

am =

½1 si E < Em < E +∆E0 en otro caso

ES LA COLECTIVIDAD MICROCANÓNICA!

Ω queda determinada por normalización:

traza ρ =Xm

amΩ= 1 =⇒ Ω =

Xm

am =X

E<Em<E+∆E

1

Ee, Ω = node microestados (accesibles) cuyo vp de energía está en(E,E +∆E) ≡‘imagen dinámica’ del macroestado E < Em <E +∆E (sistema –cuasi– aislado)

Otra forma interesante:ρ = cte . e−β(H−µN)

con β, µ parámetros, y N el ope número de valores propios Nm = 0, 1, 2, ...

ES LA MACROCANÓNICA!

35