CONCEPCIONES DE DESVIACION ESTANDAR EN ESTUDIANTES

DE EDUCACION MEDIA

LUZ MERY DIAZ CAMACHO (dicamelu73@yahoo.es)MARÍA DEL CARMEN LANDÁZURI AGUIRRE (mclandaz4@yahoo.com)

FELIPE FERNANDEZ HERNANDEZ (fjfernandez@pedagogica.edu.co)

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

RESUMEN

Se identifican y caracterizan concepciones que exteriorizan un grupo de estudiantes de

educación media (grado once) sobre el concepto de desviación estándar, en situaciones de

análisis estadístico. Como marco de referencia se utilizó la teoría de campos conceptuales de

Vergnaud (1990) para establecer los aspectos conceptuales relativos a las concepciones de los

estudiantes. En consonancia con este marco teórico se diseñó un instrumento tipo cuestionario

en el que se plantean seis preguntas que respondieron un grupo de cuarenta estudiantes; además

del análisis de las respuestas de este grupo de estudiantes al cuestionario la metodología de

recolección de información fue complementada con la realización de entrevistas individuales

realizadas a cuatro estudiantes. Como resultado de la interpretación de la información recogida

se identifican cuatro concepciones denominadas algorítmica, de cambio en las frecuencias, de

distancia y de función.

Palabras claves: Concepciones, desviación estándar, variación, situaciones, análisis

conceptual, argumentos.

RELEVANCIA DEL ESTUDIO DE LAS CONCEPCIONES DE DESVIACIÓN ESTÁNDAR

En los últimos años algunas investigaciones en didáctica que se han interesado por estudiar

el aprendizaje de los estudiantes (Batanero, Godino y Navas, 1997; Canada, 2004; Delmas

y Yan Liu, 2005; Flores,1998; Meletiou, 2000), han enfocado su atención en las

concepciones de los estudiantes. Este interés radica en los resultados obtenidos en las

investigaciones sobre concepciones donde, según Confrey (1990, c.p. en Ruíz, 1993), se

concluye que:

Antes de comenzar la enseñanza formal sobre un núcleo conceptual, los estudiantes tienen

sistemas de creencias firmemente asumidos de los fenómenos científicos o conceptos lógicos

matemáticos; estos sistemas de creencias difieren en aspectos fundamentales de los sistemas

conceptuales propuestos en los currículos; estas concepciones son resistentes al cambio por

medio de la instrucción tradicional (p.49)

Los resultados sugieren que existen concepciones en los estudiantes que no pueden

desconocerse y que el docente debe tener en cuenta para entender como sus estudiantes

conciben un concepto y en consecuencia planear la instrucción en busca de un aprendizaje

más significativo.

Para investigadores como Vergnaud (1990, c.p. en Moreira, 2002) el estudio de las

concepciones es importante ya que las considera como “precursoras de conceptos

científicos a ser adquiridos” (p.16). Ellas son el referente conceptual fundamental para la

construcción de un concepto.

Así mismo, Fischbein (1987, c.p. en Meletiou, 2000) plantea que las concepciones

juegan un papel relevante en la adquisición del nuevo conocimiento, ya que son la clave

para la comprensión de la teoría. Según este autor, conocer las concepciones previas de los

estudiantes proporciona un referente importante en la construcción de nuevas concepciones

y permite determinar el estado de acercamiento al concepto científico.

En el campo específico de la didáctica de la estadística, conocer las concepciones de

los estudiantes acerca de la desviación estándar es importante por diferentes razones: En

primer lugar, DelMas y Yan Liu, (2004) aseguran que la comprensión de la variación

estadística y de las medidas de dispersión es un requisito esencial para la comprensión de

conceptos más complejos, así, una comprensión incompleta de la desviación estándar en

particular, puede limitar a los estudiantes en su comprensión de temas avanzados de la

inferencia estadística como el de las distribuciones de muestreo, los intervalos de confianza

y los test de hipótesis. En segundo lugar, Estepa y Ortega (2006), basados en un análisis

sobre el significado institucional de las medidas de dispersión, entre ellas la desviación

estándar, afirman que:

Aunque tradicionalmente en el sistema de enseñanza, las medidas de dispersión se han

considerado un tema sin dificultades para enseñarlo y aprenderlo, del análisis efectuado,

podemos destacar, su enorme complejidad, en cuanto al número y variedad de elementos que

concurren en este tema”. (p.198).

En particular, la desviación estándar es un concepto subyacente a varios conceptos

estadísticos como distribución, media aritmética y desviación media, cada uno de ellos

relacionado con otros conceptos más básicos como frecuencia y sistemas de datos; la

interrelación de todas estas nociones hace que la conceptualización de la desviación

estándar sea compleja. Además, Estepa y Ortega, reconocen que gran parte de las

definiciones de los conceptos estadísticos, entre ellos el de desviación estándar, se

introducen enfatizando en la presentación de fórmulas o expresiones matemáticas asociadas

a los mismos que hace que su comprensión suela desembocar en interpretaciones difíciles

de manejar para los estudiantes. Shaughnessy (2004, c.p. en DelMas, 2005) reafirma lo

anterior cuando asegura que la mayor parte de la enseñanza sobre la desviación estándar

tiende a hacer hincapié en una fórmula matemática. Este énfasis en los cálculos y

procedimientos limita la comprensión de la desviación estándar.

En tercer lugar, son pocas las investigaciones enfocadas en el estudio de las

concepciones de la desviación estándar. Al respecto Shaughnessey (1999, cp. en Meletiou

2000, p. 11) afirma que “hay un excesivo énfasis en la enseñanza, evaluación e

investigación de las concepciones de los estudiantes de medidas de tendencia central, en

detrimento o ausencia del desarrollo de las concepciones de dispersión o variabilidad”.

CLASES DE SITUACIONES UTILIZADAS EN EL ANÁLISIS DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

En la medida que los estudiantes se enfrenten a diferentes situaciones en las que se

involucre el concepto de desviación estándar, empezará a tener significado para ellos el

concepto. Se debe propiciar que los estudiantes, al solucionar una situación planteada, más

que hacer uso de procesos algorítmicos para determinar el valor de la desviación estándar,

analicen el resultado obtenido dentro del contexto de la situación. De hecho, situaciones en

donde sólo se calcule, se pida, o sea suficiente con encontrar el valor de la desviación

estándar, manifiestan o promueven una concepción algorítmica del concepto en cuestión.

Ahora bien, si se presentan situaciones que involucren el establecimiento de

relaciones entre dos conjuntos de datos donde se deba tomar una decisión, se hace

necesario, además de encontrar las desviaciones, identificar la relación de orden entre ellas

y con base en el contexto propuesto decidir en forma razonada lo más conveniente. En este

tipo de situaciones, llamadas de comparación, se pueden resolver y observar a través de

estimaciones, el comportamiento de los datos en una gráfica de distribución. De esta

manera, cuando los estudiantes se familiaricen con estas situaciones y reconozcan el

significado de la desviación estándar en una distribución, y lo que representa dentro del

contexto planteado, estarán preparados para realizar predicciones en situaciones más

complejas.

Figura 1. Situaciones que dan sentido al concepto de desviación estándar

Por último, las situaciones con mayor grado de dificultad son aquellas en las que se

plantean condiciones iniciales de la desviación estándar para generar los datos de una

distribución. Las situaciones con condiciones iniciales requieren para su solución

estimaciones, predicciones y cálculos algebraicos más complejos (Estepa, 2006). El hecho

de que esta clase de situaciones tenga más sentido a nivel universitario, puede ser la razón

de su poca presencia en textos escolares. En la Figura 1, se observa la relación jerárquica

existente entre las situaciones descritas en relación con el concepto de desviación estándar.

Estas situaciones. A partir de la operacionalidad del concepto, la cual se experimenta por

medio de diversas situaciones, del uso de significantes explícitos (representaciones) y

significados (invariantes), es como se desarrolla el proceso de conceptualización como lo

afirma Vergnaud(1990).

INTERPRETACIÓN DE LA INFORMACIÓN OBTENIDA EN LOS INSTRUMENTOS DE LA

INVESTIGACIÓN

Las argumentaciones de los estudiantes no fueron tan similares como se creía en principio,

más bien, se encontraron una buena variedad de las mismas. Las diferentes respuestas a las

preguntas propuestas se organizaron en categorías que relacionan aquellas con

características semejantes. En lo que sigue se exponen los resultados relativos a cada

pregunta.

Pregunta 1. ¿Qué significa para usted la desviación estándar? Dé una explicación

verbal y/o dé un ejemplo.

Dado el carácter abierto de la pregunta, es natural que las respuestas a ella sean variadas,

puesto que le dan libertad al estudiante para que exponga el significado que le atribuyen a

la desviación estándar. La proporción más grande de estudiantes (20%) no respondió con

claridad o dieron respuestas que no eran coherentes (Dncr). En una buena parte de los

estudiantes (17,50%) se identifica la idea de que la desviación estándar mide el cambio de

la dirección en una gráfica (Dcd), esta idea se evidencia en respuestas que aluden a cambios

en gráficos de rectas o segmentos de rectas que van variando en sus pendiente; por ejemplo,

un estudiante dijo: “es algo que se desvía de su dirección, ejemplo: una línea recta, que se

desvía de su dirección”. Otra de las categorías identificadas emerge de respuestas como “es

el promedio central que mantiene los valores en una gráfica”, en donde se tiene la idea de

la desviación estándar es como una especie de promedio que no varía (Dpc). Tres grupos de

igual porcentaje de estudiantes (12.5%) reflejan en sus explicaciones distintas

concepciones: el primero de ellos, considera la desviación estándar como una distancia

entre los datos y la media; esto se evidencia en respuestas como: “es la distancia en la cual

está separado el promedio de los datos” (Ddm), el segundo grupo manifiesta argumentos

como: “…es lo que crece o lo que decrece [en] cierta situación, o en las gráficas, lo que

tiene mayor índice, y lo que tiene menor índice”. Como este tipo de respuestas era poco

comprensible se entrevistó a uno de los estudiantes para que ampliara sus explicaciones. El

siguiente diálogo da cuenta de ello.

Entrevistador: ¿Dónde observa los índices?Estudiantes: acá en las graficasEntrevistador: ¿pero en que parte de la grafica?Estudiante: En las barras.Entrevistador:… las barras que tienen de especial para decir que tiene variabilidad.Estudiante:… la diferencia de la barra más alta a la barra más pequeña es mucha.

Esta explicación, sugiere que el estudiante concibe la desviación estándar como la variación

del número de datos, es decir, la variación de las frecuencias (Dvd). El tercer grupo de

estudiantes reconoce la desviación estándar como un proceso algorítmico que utiliza una

fórmula para calcularla (Dav). Finalmente el 10% de los estudiantes interpretan la

desviación estándar como la distancia de los datos a un punto de referencia, como muestra

se exponen respuestas como: “es la cantidad de espacio q` hay de un dato a otro dato de

referencia”, (Dddr). Un resumen de estas categorías se presenta en la figura 2.

A partir del análisis de las categorías encontradas se deduce que los estudiantes

tienen una concepción parcial de la desviación estándar, ya que, relacionan algunos

elementos de la construcción del concepto.

Figura 2. Resultados de categorías de definición

Los argumentos expuestos por los estudiantes a las preguntas dos a seis se analizan con

base en las respuestas dadas al primer ítem del cuestionario, con el propósito de

comprender los procedimientos realizados por los estudiantes en las situaciones en las que

se utiliza la desviación estándar.

Pregunta 2. En un colegio se comparan los resultados de una prueba de ortografía

aplicada a los grupos de once, para conocer qué grupo es mejor en ortografía. En los

gráficos se muestran los resultados de las calificaciones de cada grupo. Observa los

resultados de cada grupo y decide: ¿Los grupos tienen resultados iguales o a cuál grupo

le fue mejor? Justifica tu respuesta.

Figura 3.Resultados de calificaciones de la prueba de ortografía

En esta pregunta los estudiantes buscan estrategias para comparar la variación en las

distribuciones y con base en los resultados tomar una decisión. De las respuestas a esta

pregunta surge la categoría Ccf en la cual se encuentran la mayoría de los estudiantes con

argumentos como: “… el grupo 1102 tiene resultados muy altos pero además tiene también

resultados muy bajos. El grupo 1101 logra estabilizarse”, los estudiantes consideran que la

desviación estándar se determina por el cambio del tamaño de las barras, esto se evidencia

en la siguiente respuesta durante la entrevista:

Entrevistador: Bueno en la respuesta a la pregunta 2 usted dice que: el grupo de 1101intenta estabilizarse…, que quiere decir con ese “intenta estabilizarse”Estudiante: Que las barras son más, es un promedio, todos tienen un promedio másseguido, en cambio acá hay unos buenos estudiantes pero también hay unos que bajanel promedio de todos.Entrevistador: ¿cómo así?, ¿qué está observando?Estudiante: Este grupo tiene más estabilidad por que las barras tiene un promedio encambio acá no tiene promedio por que cada quien tiene distinto puntaje pues por lasbarras ¿no?, creo yo por que las barras varían mucho y que el otro no tiene casivariación.Entrevistador: ¿Ósea que para usted el promedio que es?Estudiante: Estabilidad

Otro grupo de estudiantes confunden la desviación estándar con el valor de la media

aritmética “son iguales, ya que las graficas tienen el mismo resultado“(Cma). Los

estudiantes con respuestas como: “En promedio les fue igual, pero la variación es distinta,

el grupo 11-02 tiene más variación”, se incluyeron en la categoría Rmv, estos reconocen la

variación y deciden sin dar razones para justificar. La categoría Rv, surge de respuestas

cortas en las que exponen argumentos como: “el promedio es igual, pero la variabilidad es

diferente”, los estudiantes que pertenecen a esta categoría reconocen diferencias en los

histogramas, pero sus criterios para comparar la desviación estándar en dos distribuciones

representadas en forma gráfica no son claros. Dos estudiantes relacionan la desviación

estándar con la cantidad de datos presentados en cada distribución: “al grupo 1101 tuvo

mejor resultado, pues sumando en total la cantidad de respuestas correctas de ambos

grupos por poco el grupo 1102 gana”. Finalmente un estudiante reconoce la desviación

estándar como un valor numérico que se calcula en forma algebraica. “

, el grupo 1102 varia más”. En la figura 4 se observa que el

60.0% (Ccf) de los estudiantes tienen en cuenta la frecuencia de los datos (tamaño de las

barras) como único elemento para comparar la desviación estándar en dos distribuciones.

De lo anterior, se infiere que durante el aprendizaje de este concepto, los

histogramas se usan como forma de representación de los datos, pero no se les da

relevancia para analizar y visualizar la variación teniendo como referente el concepto de la

desviación estándar. Además, en los histogramas presentados a los estudiantes, los valores

que toma la variable, la escala utilizada para medir el número de observaciones por cada

dato y la media aritmética son iguales, siendo así, evidente para ellos, el cambio en el

tamaño de las barras.

Figura 4. Resultados de categorías de comparación

Por otra parte, el 17.5% (Cma) de los estudiantes comparten la idea de la no variabilidad de

las distribuciones, porque, para ellos la media aritmética es una medida representativa para

compararlas. Una conjetura que puede explicar esta posición es: los estudiantes se

encuentran más familiarizados con la comparación de valores numéricos que con criterios

gráficos de comparación, ya que, su aprendizaje es en mayor parte de tipo algorítmico, por

ello, comparan los valores de las medias aritméticas presentes en los gráficos. Es de resaltar

que solo el 2.5% (Cde) de los estudiantes, utilizan la fórmula algebraica de la desviación

estándar para determinar su valor y con base a estos resultados decidir la mayor o menor

variabilidad.

El mayor porcentaje de los estudiantes 37,5% (15 estudiantes), toman decisiones

acertadas con respecto a la situación planteada (Cfa), aunque según sus criterios no utilicen

todos los elementos involucrados en el concepto de la desviación estándar, es decir,

escogen la distribución con menor desviación estándar para resolver la situación. El 27,5%

(11 estudiantes) no tienen en cuenta la variación para tomar su decisión porque analizan la

desviación estándar a partir del valor de la media aritmética (Csc). El 22,5% (9 estudiantes)

de los estudiantes, escogen una distribución sin tener en cuenta las condiciones planteadas

en la situación (Cfi). Y el 12,5% (5 estudiantes) no toma ninguna decisión (Nd).

Pregunta 3. Se realiza un estudio de la población infantil en dos comunidades, los datos

registrados se presentan en las gráficas.

COMUNIDADA COMUNIDAD

BCOMUNIDAD

B

��Figura 5. Estudio de lapoblación infantil en dos

comunidades

Figura 5. Estudio de la población infantil en dos comunidades

Señale ¿cuál de las distribuciones de edades tiene más desviación estándar?

A tiene más desviación estándar _______ B tiene más desviación estándar _______

Justifique su respuesta.

En las respuestas a esta pregunta se encontró que, gran parte de los estudiantes

seleccionan la distribución que cumple con las características requeridas en la situación, sus

argumentos hacen referencia a: “tiene más desviación estándar B porque muestra el

número de niños en todas las edades, en cambio en la A hace excepción de cuatro numero

de edades”, estas respuestas integran la categoría Cfc. Y la otra parte de estudiantes

escogen la distribución de menor variabilidad pero consideran que esta tiene mayor

desviación estándar porque: “tiene más desviación estándar A porque aunque hay menos

barras tienen un más alto nivel, y en cambio en la comunidad B hay muchas y son poco

variables” respuestas de esta clase se reúnen en la categoría Cfi.

Es de subrayar que aunque la mayoría de estudiantes 65% (26 estudiantes), deciden

de manera acertada (Cfc), algunos de los argumentos que exponen para justificar su

decisión no tienen en cuenta todos los elementos relacionados en el concepto de la

desviación estándar. Y el 35%(14 estudiantes) que escoge la distribución con menor

desviación estándar tienen en cuenta algunos elementos básicos necesarios para la

construcción del concepto, pero las relaciones que establecen entre ellos son inconexas

(Cfi).

De las justificaciones de los estudiantes se establece la categoría Crv teniendo en

cuenta argumentos como: “En la comunidad B hay más desviación estándar ya que hay

niños desde 0 a 11 años mientras que en la comunidad A hay de 3 a 9 años”, los

estudiantes que se ubican en esta categoría observan la dispersión de los datos en el

histograma puesto que los gráficos difieren en los valores que toma la variable y además, la

pregunta específica la variable que se compara. Se determina otra categoría Crvf a partir

de explicaciones tales como: “Tiene más desviación estándar la comunidad B ya que hay

11 tipos de edades y se puede notar que en cada tipo al menos hay un niño pero en la

comunidad A no presenta este fenómeno”, en complemento a la categoría Crv los

estudiantes observan la frecuencia de los datos representada en el tamaño de las barras.

De respuestas similares a las presentadas en la pregunta dos, surgen las categorías

Ccf, Cde, y Cma, además argumentos como: “…porque en la A las estadísticas se fijan

casi en un solo punto en cambio en la B los datos varían“, presentados por un grupo de

estudiantes no son claros para justificar su decisión. En la figura 6 se presenta en forma

grafica el resumen de la información recolectada en esta pregunta.

Figura 6. Resultados de categorías de comparación de desviación estándar

Pregunta 4. Dos estudiantes en las actividades de la clase de cálculo obtuvieron las

siguientes notas (sobre100):

Estudiante A - 60, 90, 80, 60, 80

Estudiante B - 40, 100, 100, 40, 90

Si usted tuviera la evaluación bimestral de cálculo en la próxima semana, teniendo en

cuenta los resultados de los dos estudiantes. ¿A quién escogería como compañero de

estudio? Justifique su respuesta.

En los argumentos presentados por los estudiantes se encuentran respuestas que se

integran en la categoría Cddr que fue identificada en las respuestas a la pregunta uno como

Dddr, las categorías Cma y Crv establecidas en la pregunta tres se siguen presentando con

argumentos similares a los expuestos en preguntas anteriores. Algunos estudiantes analizan

la desviación estándar con base a un punto de referencia que puede ser un valor especifico

(Cddr), algunos la asumen como 50 y otros como la nota mínima de aprobación 60, un

argumento, muestra de esta categoría es: “… aunque los dos tienen los mismos puntos, el

estudiante A tenía siempre sus notas por encima de 50, mientras que el estudiante B tuvo

notas por debajo de 50…”. En la categoría determinada como Cvm, los estudiantes se

refieren al mayor valor dentro de los datos presentados para realizar la comparación: “yo

escogería al estudiante B porque tiene mayor puntaje en los números”. Y por último

argumentos como:”…aunque tienen igual promedio la desviación estándar de A es menor

porque los resultados están más cercanos “se agrupan en la categoría Cdm. Este análisis se

resume en la figura 7.

Figura 7. Resultados de las categorías de comparación

Es de destacar, que de nuevo un porcentaje alto de estudiantes 47,5% (Crv, Cvm), compara

los datos con base en el rango de los valores, sin embargo, algunos se fijan en el mayor

valor, estos relacionan la presentación de los datos en forma numérica con el procedimiento

para determinar el rango que se presenta en los textos escolares, ellos utilizan el concepto

pero no lo nombran. El 25,0% de los estudiantes (Cddr, Cdm) observan el tamaño de la

desviación estándar comparando la distancia de los datos a un punto de referencia que es la

media aritmética o un valor determinado por ellos.

En cambio, el 20,0% de los estudiantes (Cma) no encuentran variabilidad en los datos

porque el valor de la media aritmética es igual. Sin embargo, el 72,5% de los estudiantes

(Crv, Cvm, Cddr, Cdm) considera que hay variación en las distribuciones, por ello, busca

herramientas para determinar el tamaño de la desviación estándar y tomar una decisión.

Un gran número de estudiantes exponen respuestas como: ”Me haría con los dos,

porqué su resultado final es el mismo …” en la cual no tienen en cuenta la desviación

estándar porque consideran que las distribuciones son iguales por los resultados de sus

promedios o en algunos casos reconocen la variación pero no la consideran como un factor

importante para tomar su decisión (Csc).Los otros estudiantes exponen: “escogería al

estudiante A porque su nivel está por encima de sesenta 60% dando a mantener un nivel, si

lo comparamos con el B el estudiante baja a 40 y vuelve a subir a 100 lo cual desequilibra

los cálculos” , ellos escogen la distribución que consideran con menor desviación estándar

y deciden de acuerdo a sus razonamientos de comparación y al contexto planteado en la

situación (Cfa).

Pregunta 5. Una empresa exportadora de café, tiene una reserva de sacos de café

arábica suave, de acuerdo al comportamiento del precio del café en los últimos 6 meses.

¿Cuántos centavos de dólar ha variado durante este tiempo? Justifique su respuesta.

Mes ValorNov 120,44Dic 116,97Ene 128,03Feb 128,51Mar 127,76Abr 134,58

Figura 7. Comportamiento del precio del café Arabica suave.

Los estudiantes emplean diferentes medidas para determinar la variación: el mayor número

de los estudiantes no realiza cálculos algorítmicos para medir la variación, sus respuestas se

limitan a describir los cambios de crecimiento y decrecimiento del precio del café durante

los meses, es decir explicar la gráfica, “En nov., dic., Ene, se mantuvo variando, en feb.,

mar., se mantuvo muy bueno y estable pero en abril, subió muy notablemente”, respuesta

como estas se organizan en la categoría An. Un grupo significativo de estudiantes realiza

procesos algebraicos en donde se involucra el rango Ar, “Ha variado 14,14 ya que es la

diferencia de noviembre a abril”. Una cantidad igual de estudiantes tienen respuestas que

se agrupan en categorías: Ardm, la cual resulta de justificaciones a procedimientos

algebraicos utilizados por los estudiantes como: “ha variado más o menos 9 centavos en el

mes de diciembre y abril”, el estudiante halla todas las desviaciones medias y da como

respuesta de la desviación estándar, la más alejada a la media por debajo y por encima de su

valor.

La categoría Asd, se origina de respuestas como: “25 dólares porque se sumaron la

variación de cada mes”, los estudiantes utilizan los valores de la tabla despreciando las

cifras decimales para realizar sus procedimientos; Ade, en la respuesta de los estudiantes se

evidencia el uso de la formula algebraica de la desviación estándar para determinar su

valor: “De acuerdo a la desviación estándar ha variado 6,0003967 dólares”

Un pequeño grupo de estudiantes hallan el valor de la media aritmética para

determinar la variación, Ama; en sus respuestas explican el procedimiento: “la variación

ha sido de 126,04 centavos de dólar. Este resultado la hallamos sumando todos los valores

y dividiéndolos en 6 que es el numero de datos”. Otro grupo igual de estudiantes expresan

la variación en términos de una función de la forma f(x)= 6x, donde 6 representa el numero

de meses y x el valor del café por mes Af. Y un estudiante calcula las desviaciones medias,

pero no da una respuesta concreta a la pregunta, Adm. Las categorías anteriores son el

resultado del uso parcial de la expresión algebraica de la desviación estándar, como

consecuencia de no tener acceso directo a la formula, para resolver la pregunta, pero en la

mayoría de los casos presentados, recuerdan con mayor facilidad otras medidas de

variación. En la figura 9 se muestra lo expuesto.

Figura 8. Resultados de los algoritmos para determinar la variación

Pregunta 6. En dos colegios de Bogotá se desea hacer un estudio acerca del estado de

nutrición de los estudiantes de grado sexto cuyas edades oscilan entre 10 y 13 años, con

el propósito de hacer un seguimiento nutricional. Para realizar dicho estudio se midieron

los pesos de una muestra representativa de cada colegio, ¿A cuál colegio se le debe hacer

el seguimiento nutricional? Para tomar su decisión tenga en cuenta que: índices de una

mala nutrición es tener bajo peso o sobrepeso. Justifique su respuesta.

Los resultados obtenidos fueron:Colegio A Colegio B

Figura 9. Resultados peso de estudiantes de grado sexto de dos colegios

Los estudiantes determinan la desviación estándar en dos distribuciones, teniendo en

cuenta sus respuestas se encuentra que un alto porcentaje mantiene la concepción que el

cambio en las frecuencias determina el tamaño de la desviación estándar, Ccf, al igual que

en las primeras preguntas. A sí mismo, un grupo de estudiantes continúan expresando la

desviación estándar como el valor central de la distribución, es decir que asumen que la

media aritmética mide la variación, Cma. Además, se establece una nueva categoría

Ccdmf, la cual emerge de respuestas como: “Al colegio A ya que en el B los estudiantes se

encuentran más cerca del promedio y los estudiantes con buen peso son más que los de

poco peso; en él A los estudiantes con bajo peso son mayores en cantidad”, esta categoría

se relaciona con la categoría Cdm de la pregunta cuatro en la cual los estudiantes observan

la distancia de los datos cercanos a la media aritmética, pero además complementan su

observación con la frecuencia de los datos. Un número considerable de estudiantes presenta

respuestas confusas, las cuales no pudieron ser interpretadas en forma coherente, Njc. La

figura 11 resume la interpretación anterior.

Figura 11. Resultados de la comparación de la desviación estándar

Se sigue evidenciando que un alto porcentaje (67,5%) de los estudiantes eligen la

distribución adecuada a la situación planteada, aunque en su mayoría los argumentos dados

indican que no se tiene en cuenta todos los elementos básicos y sus relaciones para

determinar la desviación estándar, esto se refleja en respuesta como “Al colegio A, ya que

como nos muestra la grafica, en este se muestra mayor número de estudiantes con menor

peso”. Aquí como en otras respuestas similares los estudiantes observan el tamaño de las

barras por debajo de la media aritmética. En contraste, los estudiantes 17,5%, que

comparan en forma incorrecta (Cfi) en la mayoría de los casos tienen en cuenta la media

aritmética para comparar la distribución, dado que las medias son distintas, seleccionan la

distribución con mayor valor. El 10% de los estudiantes que no tiene en cuenta la variación,

porque en sus explicaciones no dan razones sobre ella: “el colegio B, necesita más las

vitaminas”. O sus explicaciones son imprecisas: “Al colegio A porque algunos niños

muestran mayor desnutrición que los del colegio B…”

Figura 12. Resultados de categorías de formas de decisión

CONCEPCIONES IDENTIFICADAS EN LOS ESTUDIANTES

Del análisis anterior y al relacionar las diferentes categorías identificadas se establecen y

describen las concepciones de desviación estándar de los estudiantes. Un estudiante ostenta

una o varias concepciones dependiendo de las características de la situación que se le

presenta, esto se evidencia al analizar los argumentos expuestos en los cuestionarios. Las

concepciones se caracterizan así:

Concepción Algorítmica (CA)

En esta concepción se encuentran los estudiantes que consideran la desviación estándar

como una medida de variación calculada a través de una fórmula algebraica, además, para

realizar comparaciones entre dos distribuciones se basan en el valor numérico que obtienen.

Los estudiantes bajo esta concepción seleccionan la distribución que consideran adecuada

según la situación planteada.

Esta concepción se caracteriza por situaciones en las que es necesario determinar el

tamaño de la variación y la comparación de las distribuciones se realiza con base en los

cálculos. En las representaciones se utiliza la información de los histogramas para organizar

una tabla de frecuencias y a partir de ésta aplicar la expresión algebraica de la desviación

estándar. Como invariante, desde la perspectiva de Vergnaud, se encuentra que la

desviación estándar se determina por medio de una expresión algebraica y para determinar

la desviación estándar es necesario organizar los datos en tablas de frecuencia.

Concepción de cambio en las frecuencias (CCF)

Los estudiantes conciben la desviación estándar como una medida de variación del tamaño

de las barras que se observa en los histogramas; si las barras son de tamaños similares

argumentan que la desviación estándar es pequeña, en cambio, si los tamaños de las barras

son diferentes indican que hay mayor variación y la desviación estándar es grande. Bajo

esta concepción gran parte de los estudiantes en las situaciones de comparación consideran

que la variación no es relevante cuando el tamaño de las barras es similar porque

consideran que “tienden a estabilizarse”.

Las características de esta concepción con respecto a los componentes de Vergnaud

son: respecto a las situaciones se presenta en contextos que utilizan dos o más

distribuciones, en donde el estudiante compara el tamaño de las barras; la representación de

preferencia es el histograma, puesto que puede realizar la comparación de las distribuciones

con base en las frecuencias representadas en la altura de las barras; se encuentra como

invariantes que si las frecuencias de los valores en una distribución difieren de manera

notable, la desviación estándar es grande, de lo contrario, esta es pequeña porque hay poca

variabilidad. Además, si las frecuencias en dos distribuciones son iguales, el valor de la

desviación estándar es igual.

Concepción de distancia (CD)

Los estudiantes que tienen esta concepción interpretan la desviación estándar como una

medida de variación donde se mide la distancia entre los valores de la variable y un punto

de referencia o la suma de las distancias entre datos consecutivos. De hecho, el punto de

referencia para los estudiantes puede ser: la media aritmética o el valor mínimo según la

situación (nota mínima). Sin embargo, este punto de referencia puede variar en algunos

estudiantes, según la situación a resolver. Desde esta concepción un alto porcentaje de

estudiantes tienen en cuenta la desviación estándar en las situaciones de comparación para

decidir la respuesta pertinente al contexto.

Esta concepción se caracteriza teniendo en cuenta los elementos de Vergnaud por:

situaciones de variación en las que se comparan los datos en dos distribuciones o en las que

es necesario determinar el valor de la desviación estándar; en cuanto a las representaciones

utilizan las tablas de frecuencia, conjuntos de datos y los polígonos de frecuencia donde la

media aritmética está indicada por una recta horizontal; como invariante se deduce que la

desviación estándar es una distancia que mide la variación. Si la distancia es pequeña,

entonces, hay poca variación entre los datos y una desviación estándar grande indica una

mayor variación.

Concepción de función (CF)

Los estudiantes con esta concepción consideran la desviación estándar como una función,

donde la variable independiente son los datos. Además, esta función es a trozos y cada una

de sus partes son funciones afines. La variación se observa en “el cambio de dirección” en

las gráficas.

Esta concepción es caracterizada por: situaciones de clase algorítmica, en las cuales

se necesita hallar el valor de la desviación estándar para medir la variación, los estudiantes

hacen uso de funciones afines. De las representaciones tabulares y de los polígonos de

frecuencia se obtiene una notación de la desviación estándar en términos de una función de

la forma f(x) = ax. Como invariante se encuentra que la desviación estándar se representa

como una función ya que se relaciona con el concepto de función que se define en términos

de variables.

CONCLUSIONES

Para el estudio de las concepciones de los estudiantes se planteó un marco conceptual de la

desviación estándar como referente para analizar las respuestas de los estudiantes. El

análisis de los argumentos de los estudiantes dados en sus respuestas refleja cuatro clases

de concepciones: La concepción Algorítmica (CA), en la cual se identifica la desviación

estándar como una fórmula algebraica para calcular un número. La concepción de cambio

en las frecuencias (CCF), en la que se concibe la desviación estándar como la variación en

la frecuencia de los datos, esta característica se hace visible para los estudiantes en los

histogramas; cuanto más barras altas y cortas observen, mayor es la desviación estándar. La

concepción de Distancia (CD), de acuerdo al análisis conceptual, ésta concepción se acerca

al concepto, por que se tiene en cuenta la mayoría de los elementos del proceso de

conceptualización, relacionan los datos con las frecuencias y a su vez con la media

aritmética. Y la concepción de función (CF), en la cual se considera que la desviación

estándar está relacionada con el cambio en la pendiente de una recta, se representa como

una función afín de la forma f(x) = kx. Las concepciones emergen de la unificación de las

categorías de análisis que se relacionan. Algunos aspectos de las concepciones CCF, CD

han sido identificados por Delmas y Liu en diferentes investigaciones realizadas sobre el

concepto de desviación estándar.

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