Concentración de Portadores

8/18/2019 Concentración de Portadores

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Concentración dePortadoresMarco Antonio Criollo Arellano


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Concentración de Portadores

Al igual que al calcular la posición de un electrón dentro de un nivel de energía, el quelectrones en un material semiconductor recae en lo probabilístico.

Al ser tan grande la cantidad de estados y la cantidad de electrones que interactúan

mas fácil interpretarlos como una densidad de electrones por unidad de volumen.

Para resolver este problema ay que tomar en cuenta dos factores!

• "ensidad de estados

• Probabilidad de que cierto estado sea ocupado por un electrón.


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"ensidad de #stadosConcentración de Portadores


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Cálculo de la "ensidad de #stados

#l problema se va a resolver en $ dimensiones. Al estar nuestro semiconductor distribuido en

encerrados en ca%as, consideremos la constante de &attice 'i.e. , , ( y la distancia interatómica

uno de los e%es. #l modelo de Kroning-Penney dice que el número de valores en cada

equivale al número de átomos en el cristal en esa dirección.

#l anco de la primer )ona de *rillouin en la dirección de es 'e igual para cada una de las re

direcciones(. #ste solo nivel, entonces, requiere un tama+o en la )ona en la dirección de de!


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"e%ando que el volumen en un solo nivel sea! . "ebido que dos estados conspin opuesto pueden tener el mismo nivel de energía, un solo estadorequiere la mitad del volumen anterior.

*uscamos el número de estados permitidos en el espacio dentro de unaesfera de radio y grosor . #sto será encontrado dividiendo los volúmenes!

-a que es el volumen del cristal queda lo siguiente!


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omando en cuenta la apro/imación parabólica de las bandas de conducción!

0eempla)ando por su relación con y por la ecuación queda como sigue!

Para lo cual, es llamada la densidad de estados en la banda de conducción en el rang

de a .

&o mismo pude ser aplicado para encontrar la densidad en la banda de conducción.


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"ensidad de #stados en *anda de Conducción y 1alencia


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2unción de "istribuciónConcentración de portadores


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eniendo conocimiento de la densidad de estados, aora es necesario calcular la probabil

estado de energía sea ocupado. #ste problema, al igual que la posición del electrón, solo p

apro/imado por medios probabilísticos.

&a distribución de 2ermi "irac nos ayuda a saber la probabilidad de que un electrón o

determinado nivel de energía!

"onde es el nivel de energía, el nivel de 2ermi, la constante de *olt)mann '( y la tempe

grados 3elvin. #n grandes rasgos, para un nivel de energía igual a , la probabilidad de ser

una partícula es de 4.5.


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Distribución de Fermi Dirac

en función de diferentes T

Distribución de Fermi Dirac y las bandas

valencia.


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Cálculo de la densidad

portadoresConcentración de portadores


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&a función de distribución de 2ermi "irac puede ser usada para calcular la concentración d

electrones en ciertos niveles de energía 'i.e. siempre y cuando se cono)can la densidad

estados(. Por e%emplo, para calcular la densidad de electrones en la banda de conducción ten

"onde es la densidad de estados y la distribución de 2ermi "irac. 6ustituyendo cada función

"ebido al valor de '4.478 e1 a temperatura ambiente(, y que lo anterior se puede rescribir c

6ubstituyendo y aciendo el límite inferior queda


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&a integral de9nida puede ser apro/imada al valor de dando

"onde es una notación reducida para el coefciente denominado densidad eectiva de

#l mismo procedimiento puede ser aplicado para calcular los uecos , ya que la probabilid

haya un hueco es igual a la probabilidad de que el estado no sea ocupado por un


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Planteando de la misma manera!

"ando al 9nal!

"onde es llamado coefciente de estados eectivos en la banda de valencia.

Para encontrar el nivel de 2ermi en base a lo anterior, se igualan con respecto a de acuerd

condición de neutralidad!


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"ado que la masa efectiva tanto de

los uecos como de los electrones

es casi la misma 'del mismo orden(

en un material intrínseco, el nivel

de 2ermi se encuentra casi a la

mitad de .

#l producto de y se apro/ima a

gracias a la ley de acción y masa!


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Para el caso de un material e/trínseco los cálculos no cambian, e/cepto por el nivel de 2er

de las condiciones de neutralidad 'i.e. será despla)ado(. #n el caso e/trínseco!

Por lo tanto!

6iguiendo la Ley de acción masa se obtiene!

0esultando en el mismo caso que para un material intrínseco.


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Para encontrar aora el valor de 'el cual desaparece en la ley de acción masa( se recurre a l

de neutralidad descrita a continuación!

':ntrinseco(

'#/trinseco(

"onde y son donadores y aceptadores ioni)ados de las impure)as.

Para e/presar se divide y , aplicando logaritmo y sacando de la ecuación!

"onde es el nivel de ermi para el material en el caso intrínseco. ;racias a esta relac

observar como el nivel es despla)ado según la cantidad de donadores y aceptadores.


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#n condiciones normales de temperatura prácticamente todas las impure)as están ioni)ad

semiconductor de tipo


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6emiconductor degenerad

2 i t l d 2 i "i


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2orma integral de 2ermi "irac

0etomando la forma integral de a concentración de portadores!

Acomodando t>rminos!

- sustituyendo !

"onde es la densidad efectiva de estados y


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es tambi>n como un caso especi9co de la forma general de la integral de 2ermi "irac cuando .

&a forma general de la integral de 2ermi "irac, como se abía mencionado no tiene una solució

conforme crece la diferencia de se puede apro/imar su solución. #sto ocurre solo cuando el niv

con9nado dentro del bandgap!


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Para apro/imar la forma integral de 2ermi

"irac '( se tienen tres alternativas

dependiendo de valor de !

• Apro/imación de *olt)mann

• Apro/imación de #renberg

• Apro/imación de ?oyce@"y/on


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:ntroduciendo las apro/imaciones anteriores para , la concentración de portadores puede ser ca

sigue!

na manera útil de estimar el nivel de 2ermi en base a la concentración de portadores en un se

degenerado en un material tipo n es la siguiente!

- para el tipo p!

Boltzmann Ehrenberg J

Electrones

Huecos

Boltzmann Ehrenberg J

Electrones

Huecos

*ibliografía consultada!


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*ibliografía consultada!

*en ;. 6treetman, 6an%ay *aner%ee, !olid !tate "lectronic #evices, Pearson Prentice

Adir *ar@&ev, !emiconductor and electronic devices, Prentice@Ball, DD$

Marius ;rundmann, $he Physics o !emiconductors% &n 'ntroduction 'ncluding (

&pplications, 6pringer 6cience E *usiness Media, 744.

6imon M. 6)e, 3FoG 3.


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;racias por su atención

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