Computación CientíficaAlgebra lineal numérica

Profesora: Dra. Nélida Beatriz Brignole

Matriz Es un arreglo de m x n números

• Dimensión de A: m x n• m: número de filas• n: número de columnas• Casos particulares:• m=n => A es cuadrada (dim A = orden A)• n=1 => A es un vector (Notación: a)

mnmm

n

A

21

11211

mxnA

Vectores

0

iposicion 1

0

0

e

Versores

exterior Producto

a

product)(dot interior escalar/ Producto

i

T

Aba

b

T

Traspuesta

Dada la traspuesta es

donde

Nótese: la traspuesta de un vector columna es un vector fila

mxnA nxmB

jiijT abAB

Ejemplo

34

62

21

362

421

TA

A

Identidad

La identidad es donde

Nótese: AI=IA=A

nxnI

jiI

jiI

ij

ij

1

0

Ejemplo

10000

01000

00100

00010

00001

5I

Inversa

• Dada la inversa de ella es

donde

Nótese: NO TODAS las matrices admiten inversa

mxnA nxmAB 1

IBAAB

Ejemplo

3

1

3

13

1

3

2

12

0

02

1

10

01

21

11

21

11 1

R

wz

wz

yx

yx

Iwy

zxAR

wy

zxRAA

MATRICES ESPECIALES

Problemas Generales

Matrices Triangulares

nia

atriangularesASi

IAgeneralEn

ii

n

iii

,1

0)(

0)det(,

1

Problemas lineales más comunes

• Resolución de sistemas lineales

• Resolución problema de autovalores

bxA

kkkk xxA

Matriz Diagonal

X

X

X

X

D

jiaij

000

000

000

000

0

Matriz Triangular Superior

X

XX

XXX

XXXX

U

jiaij

000

00

0

0

Matriz Triangular Inferior

XXXX

XXX

XX

X

L

jiaij

0

00

000

0

Nomenclatura

Matrices Tipo Tipo

reales Simétrica Ortogonal

complejas Hermítica Unitaria

TAA

*AA

1AAT

1* AA

Ejemplos

*

** 632

34

62

21

632

34

62

21

6

32

362

421

BBAA

BiBAA

iBA

iBA

T

TT

TT

hermítica es NO B simétrica es NOA

Matrices Unitarias y Ortogonales

1222

12

*2

11

*121

21

ortogonal es

unitariasson y

11

11

2

2

11

11

2

1

PPP

PPPPPP

Pii

iiP

T

Matriz Definida Positiva

Ade columnas k y filas k primeras la por formado

A de principal menor el es donde

ssi d.p. es simétrica matriz Una

Sylvester de Criterio

k

k

T

A

nkA

xAxx

,10)(det

00

Particionamiento de matrices

rxsij

qpq

p

A

AA

AA

A

donde

1

111

Ejemplo

))))(((())(()(

dimdim

2211

2

1

21

xnlplpmxlxnmxlmxn

BABAAB

pxnBmxpA

B

B

BAAA

lpl

Permutaciones

231p

Ejemplo

pp b)

np1 que talentero numeroun es p a)

n tq`p dim de pun vector es

n grado den permutació deUn vector

T

jisiji

ii

Matrices de permutación

• Es cualquier matriz que resulta de reordenar (permutar) las filas de I

• PA permuta filas de A

• AP permuta columnas de A

Matrices de permutación

231

010

100

001

Ejemplo

,1

231132

T

Tk

Ti

iki

pP

ePeePeePe

ePe

pkniePe

Propiedades

T

ijT

ij

ij

ij

PP

PP

IP

PP

1

2

Propiedad

• Si P es matriz de permutación, entonces– P tiene inversa

– P es ortogonal

)4(0

)3(,11

)2(0

)1(,11

`

jijiPePe

niiPePeIPP

jijiePPe

niiePPeIPP

qpq

jTT

i

iTT

iT

jTT

i

iTT

iT

Demostración

)2(0

)1(1

pT

kjTT

i

kT

kiTT

i

Tk

TTi

Tk

Ti

pjki

eePePe

eePePe

ePe

ePe

kpijePeePe

Operaciones

Igualdad

A=B si tienen igual dimensión y

34

21

43

21

BA

jiba ijij

Suma

Dadas dimA=dimB=dimC C=A+B =>

81

9

64

2

23-

2x9A

Ejemplo

xyABBA

yB

jibac ijijij

Producto

Dadas

el producto es C=AB tal que:

mxpA pxnB

nj

mi

bac kj

p

kikij

,...1

,...11

Ejemplo

dycx

byax

y

x

dc

ba

1458

484

210

634

12

51

Producto por un escalar

Dados

el producto es

mxpA

mxpC

ijij acAC

Ejemplo

28244

8121684

76

2342

x

iE

x

iE

Propiedades del producto

Dadas:

1. No conmutativa

2. Asociativa A(BC)=(AB)C

3. Distributiva A(B+C)=AB+AC

4.

5.

6.

mxmmxmmxm CBA BAAB

TTT ABAB

AATT

11 TTAA

Demostración:

TTT ABAB

p

kkijkjiij

T baABAB1

ijTT

p

kkj

Tik

Tp

kjkki ABABab

11

cqd.

Demostración:

cqd.

AATT

ijjiT

ij

TT AAA

Demostración:

cqd.

11 TTAA

11

1

1

TT

TT

T

T

AA

IAA

IAA

II

FIN PRIMERA PARTE

Autovalores

Espectro de A

niA i ,1)(

Radio espectral

Radio Espectral de la Inversa

ini

ini

A

A

xAx

xAAxA

xAx

1

1

1

1

1

11

min

1)(

1max)(

1

Lema 1

Sea A cuadrada, entonces para cualquier norma consistente y subordinada a una norma de vectores :

AA )(

Demostración

)(

max

maxmaxmax

11

111

AA

uA

uAuAvA

xAxx

xu

iini

iini

iniv

i

ii

Matriz definida positiva

Teorema 2

Si A es simétrica, entonces todos sus autovalores son reales

Teorema 3

Si A es simétrica y definida positiva, entonces todos sus autovalores son reales y positivos

Demostracion

0

0

00 :que sabemos2

2

2

2

x

xAxx

xxxxxAxx

xAx

T

TTT

Definición

veces

0lim

si econvergent matrizuna es

m

m

m

m

AAAAA

A

A

Lema 2

xx

x:Demostr

xxdecir es ,1mpara valeque Asumo

1m:Base

x qpq`

mla a elevados A de sautovalore los

son A de sautovalore Los

111

11

m

kk

kkk-

kk-

mm

A

xAxAA

Ak

xAλxAx

Teorema 4

Las siguientes proposiciones son equivalentes:

1(A) c)

normaalguna para 0Alimb)

econvergent es A )m

m

a

Lema 3

econvergent es A 1

matrices deicativa submultiplnorma alguna para Si

A

Lectura obligatoria

• Libro: Kincaid

• Cap. 4 : págs 116-123