Computación Científica

Resolución de una ecuación no lineal

Parte 1

Profesora: Dra. Nélida Beatriz Brignole

Resolución de ecuaciones

0)(

limxsucesión

0f(x) solucionar

*

*k

xf

xxkk

Algoritmo general

• Inicialización

• k=0

• Test de convergencia

• Obtención de nuevo valor de solución (método de resolución de ENL)

• k=k+1

Test de convergencia

it

xxxo

xx

xf

kkk

kk

k

max)3

)2

)()1

1

1

Situaciones con dificultades numéricas

Método de Sustitución Sucesiva (de punto fijo – de orden p)

)()(1

),...,(

*1*11

111

xxxxp

xxx

kk

pkkpk

Representación gráfica: búsqueda del punto fijo

1)( kk xxg

Interpretación geométrica del Método de sustitución sucesiva

baxx ,1)(

Sucesión convergente

Interpretación geométrica del Método de sustitución sucesiva

baenx ,1)(

Sucesión divergente

Armado de métodos de sustitución sucesiva

2)(

)(

)(

0

1

3

ln1

2

1

1

1

x

x

x

x

exxx

xx

exx

ex

2

1

3

22

2

1

1

12

1)(

ln

1)(

)(

x

ex

xxx

x

ex

x

x

2163.0)(

7642.1)(

5673.0)(

763.1

3

2

1

Teorema del valor medio para derivadas

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] que tiene derivada en cada punto del intervalo abierto (a,b) , entonces existe al menos un punto interior c , interior a (a,b), tq’

))(()()(

))(()()(

*1*1 xxxx

Entonces

abcfafbf

kk

Interpretación geométrica del TVM

Teorema del valor intermedio

*: enderivada admite )( Si xxxx

xxx )( de solución es Si * xmx 1)( , algunpara Si

en )( de soluciónúnica la es )

lim)

)

:)(:sucesiónla '

*

*

10

xxxc

xxb

kxa

queverificaxxxxsiqpq

kk

k

kkk

Demostración

• a) por inducción

pp

ppp

pp

pkk

xxx

xxxxxx

xx

xx

xpkxxx

x

),(1)( donde

)()()(

)(

)(

qpq' :que supongamos

:hipótesis

*1

*1*1*

**

1

*

0

kxk

Demostración

b) El límite tiende a la solución

**0

**

*22

*2*1*

*1*1*1*

01

)()(

)()()(

xxxxmmk

xxmxx

xxmxxmxxmxx

xxmxxxxxx

kk

kkk

k

kkkk

kkkk

Demostraciónc) El punto fijo es la única solución en ese entorno.

Por el absurdo

Absurdo 1)(

)(-

)()(-)(

1)( :suponiendo y medio valor del teorema con

)( tq` que Asumo

)( tq` que Asumo

Teorema del Valor Intermedio (otro)

),( intervalo el en una vez menos lopor

)( y )( entre oscomprendid

valoreslos s toma todo funciónla , )()( que tales

, dera cualesquie puntos dos son Si

, de puntocada encontinua Sea

21

21

21

21

xx

xfxf

fxfxf

baxx

baf

Teorema del Valor Intermedio (para funciones continuas)

)( que tal

, punto unhay entonces

,)( y )( entreencuentra se gy

, encontinua es Si

xfg

ba

bfaf

baf

Orden de Convergencia de un método iterativo

xxCCn

xxCCn

xx

xxCC

xx

kx

xx

kkk

kkk

k

knkk

k

k

kk

para 0 decir, es 2 si CUADRÁTICA

para 0 decir, es 1 si LINEAL

:denomina se a deia convergencla ,particular En

para 0

:si n orden dedenomina se a deia convergencLa

,...2,1,0para deerror el

Sea

21

1

1

GALERÍA DE MÉTODOS

MÉTODO Nro de puntos anteriores

Convergencia Cte asintótica de error

BISECCION 2 Lineal 1/2

NEWTON (raíces simples)

1 Cuadrática

NEWTON (raíces múltiples)

1 Lineal

SECANTE 2 Superlineal (n=1.62)

REGULA FALSI 2 Lineal C<<<1/2

RF MODIFICADO 2 Superlineal (n=1.442)

)(

)(

2

1

f

f

q

q 1

62.0

)(

)(

2

1

f

f

Bracketing

Método de Bisección

Algoritmo de bisección

pb

papfaf

ii

TOLab

pf

abap

NMAXi

i

fijar contrario caso

entonces 0)()(

1

FINp:SALIDA

2

)( ó 0)(Si

2

)(

Mientras

1

Criterios de parada

)(

01

1

N

NN

NN

NN

pf

pp

pp

pp

Errores

2

1C

absolutoerror )(2 00

abab NNN

Observaciones

• Está basado en el teorema del valor intermedio para funciones continuas (tabulación sistemática)

• La parte más dura es encontrar un bracket• Cada iteración reduce el intervalo a la mitad• Baja velocidad de convergencia• Bueno para inicializar• No tiene en cuenta la forma de la función, sólo el signo

Lectura obligatoria

• Rao Pags 48-79