Comportamiento de soluciones positivas para una ecuación en diferencias...

Comportamiento de soluciones positivas para una ecuación endiferencias no lineal de orden superior

Jairo Enrique MendozaTrabajo de Grado

Director:Carlos Orlando Ochoa Castillo

Proyecto Curricular de MatemáticasFacultad de Ciencias y Educación

Universidad Distrital Francisco José de CaldasBogotá D.C.

2017

Vo. Bo. Carlos Orlando Ochoa CastilloDirector

Universidad Distrital Francisco José De Caldas

Vo. Bo Verónica Cifuentes VargasEvaluador

Universidad Distrital Francisco José De Caldas

A mi madrePor su infinita paciencia

Por su descomunal confianzaPor el irrestricto apoyo que tuvo conmigo

Hasta el último de sus días

Agradecimientos

A la universidad Distrital Francisco José de Caldas, a sus profesores y a todos los com-pañeros que tuve la oportunidad de conocer.

Índice general

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

1. Preliminares 31.1 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Ecuaciones en diferencia 92.1 Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Algunos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Comportamiento de soluciones 173.1 Caso 0 < β < 1 y α > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Caso β > 1 y α > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Caso α = 0 y β > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Caso β = 0 y α > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Caso α = 0 y 0 < β < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Caso α = 0 y β = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Caso α > 0 y β = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Aplicación 314.1 El caso 6 y la función g(x) = ex − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Conclusiones 37

Anexos 38

Bibliografía 41

Introducción

La teoría de sistemas dinámicos discretos y de ecuaciones en diferencia ha tenido grandesarrollo durante los últimos 40 años lo mismo que sus aplicaciones en distintas áreasdel conocimiento y una serie de publicaciones con temas relacionados.

De la amplia gama de ecuaciones que pueden estudiarse, se presenta aquí una ecuaciónde diferencia no lineal de orden superior cuyo estudio ha sido expuesto en el artículo Onthe recursive sequence xn+1 = α+βxn−1

1+g(xn)por Stevo Stevic en Indian Journal pure applied

Math 2002. Para su reconstrucción, el capítulo 1 del presente trabajo contará con losfundamentos matemáticos necesarios para el desarrollo: continuidad, sucesiones, conver-gencia, cálculo de límites superior e inferior e inducción matemática completa entre otros;el capítulo 2 introduce al tema de los sistemas dinámicos e incluye resultados concernien-tes a la disciplina; el capítulo 3 desarrolla en detalle la ecuación objeto de éste estudio; elcapítulo 4 profundiza en un caso específico. Ejemplos y gráficas ilustrativos se incluyenen los anexos lo mismo que el código de programación que sirvió para la simulación delos datos y fué elaborado con el paquete computacional R©Matlab.

1

Capítulo 1

Preliminares

En éste primer capítulo se presentan algunas definiciones y algunos teoremas del cálculoy del análisis que son cruciales para el desarrollo de los capítulos posteriores.

1.1 Fundamentos

El conjunto de los números naturales se puede caracterizar mediante un conjunto deaxiomas que son los axiomas de Peano:

A1. Hay un elemento especial 0 ∈ N.

A2. Para todo n ∈ N existe un único elemento n+ ∈ N , se llama el sucesor de n.

A3. Para todo n ∈ N, n+ 6= 0.

A4. Si n,m ∈ N y n+ = m+ entonces n = m

A5. Si S es un subconjunto de N tal que:

i. 0 ∈ S,

ii. n+ ∈ S siempre que n ∈ S

entonces S = N.

En estos axiomas se supone de antemano la existencia del conjunto N; el axioma 5 seconoce como Principio de Inducción Matemática (PIM). Existe una forma equiva-lente al PIM:

Teorema 1.1.1 (ver [7]) -PIM2- Sea a un número natural. Sea S un subconjunto de{k ∈ N : k ≥ a} que satisface:

i. a ∈ S,

ii. Para cada n > a, n ∈ S siempre que k ∈ S para todo k ∈ N tal que a ≤ k < n.

3

4 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

entonces S = {k ∈ N : k ≥ a}.

Definición 1.1.1 Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo si f(a) < f(b)siempre que a y b sean dos puntos del intervalo con a < b. La función f es decrecientesobre un intervalo si f(a) > f(b) para todos los a y b del intervalo con a < b.

Uno de los resultados mas importantes cuando se estudian funciones continuas es el teo-rema de Bolzano cuya demostración puede encontrarse en [13].

Teorema 1.1.2 (Teorema de Bolzano) Sea f continua en cada punto del interva-lo cerrado [a, b] y supóngase que f(a) y f(b) tienen signos opuestos. Existe entonces porlo menos un c en el intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0.

Una de las propiedades mas importantes del conjunto de los números reales es la pro-piedad de completitud, pero antes es preciso recordar los siguientes conceptos:

Definición 1.1.3 Un conjunto A de números reales se dice que es acotado superior-mente si existe un número x tal que x ≥ a para todo a de A. Un número x con estapropiedad se dice que es una cota superior de A.

Definición 1.1.4 Se dice que un número x es una cota superior mínima de A si(1) x es cota superior de A

y (2) si y es una cota superior de A, entonces x ≤ y.

Definiciones análogas a las presentadas se tienen para acotado inferiormente, cotainferior y cota inferior máxima.

Propiedad de la cota superior mínima: Si A es un conjunto de números reales,A 6= ∅ y A está acotado superiormente, entonces A tiene una cota superior mínima.

Del cálculo elemental se puede extraer la definición de límite infinito en el infinito, comosigue: (véase [1]).

Definición 1.1.5 Sea f una función definida en algún intervalo (a,+∞). El límitede f(x) cuando x tiende a +∞ es +∞ y se escribe lımx→+∞ f(x) = +∞si para cualquier número N > 0 existe M > 0 tal que f(x) > N siempre que x > M .

La siguiente definición junto con los próximos dos teoremas pueden encontrarse en [8] .

Definición 1.1.6 La recta real extendida es el conjunto R junto con los símbolos+∞ y −∞, se nota R.

Hay una cierta aritmética de los símbolos +∞ y −∞, es decir:

5

(+∞) + (+∞) = +∞,±∞+ x = x+ (±∞) = ± si −∞ < x < +∞,

x(±∞) = (±∞)x =

{±∞∓∞ ,

0 < x ≤ +∞,−∞ ≤ x < 0,

x±∞ = 0 si −∞ < x < +∞.

Cada una de las ecuaciones anteriores es en realidad un teorema sobre límites, por ejem-plo la última es el

Teorema 1.1.3 Si lımt→a f(t) = x y lımt→a g(t) = ±∞ con −∞ < x < +∞entonces lımt→a

[f(t)g(t)

]= 0.

Estas propiedades junto con el siguiente teorema se utilizan en la primera parte delcapítulo 3.

Teorema 1.1.4 Supóngase que f es monótona ( bien no decreciente o bien no creciente)en una vecindad V de +∞. Existe entonces un L ∈ R tal que lımx→+∞ f(x) = L. Si f esacotada en V, entonces L ∈ R.

1.2 Sucesiones

El material de ésta sección se constituye en herramienta fundamental para el capítulotres. Está conformado principalmente por conceptos del cálculo elemental y rudimentosdel análisis matemático, todos ellos relacionados con la teoría de sucesiones y son fami-liares para quienes han incursionado en dichas materias.

Definición 1.2.1 (ver[13]) Una sucesión {pn} de puntos en cualquier espacio es unafunción f definida sobre el conjunto Z+ = {1, 2, 3, ...} cuyo valor en n es f(n) = pn.

Las siguientes definiciones fueron tomadas de [17].

Definición 1.2.2 Una sucesión se dice acotada si existe un número M tal que |pn| < Mpara todo n = 1, 2, 3, ...

Definición 1.2.3 Una sucesión {pn} converge al punto p si y solo si dado ε > 0 existeun número natural N tal que |pn − p| < ε siempre que n ≥ N .

En las circunstancias de la definición anterior es costumbre llamar a p el límite de {pn} yescribir lımn→∞ pn = p ó pn → p. Una sucesión que tiende a un límite se llama sucesiónconvergente, en caso contrario la sucesión es divergente.

Definición 1.2.4 La sucesión {pn} diverge a mas infinito si y solo si dado cualquier


número M existe N tal que pn > M para todo n ≥ N .

Teorema 1.2.1 (ver[17]) Si una sucesión es convergente, su límite es único.

Dada una sucesión {an}, se obtiene una nueva sucesión escogiendo elementos de {an}sin alterar su orden, esto es:

Definición 1.2.5 Dada {an}, sea n una función estrictamente creciente

n : N→ Nk → n(k)

entonces B ={an(k)

}es una subsucesión de {an}.

Teorema 1.2.2 (ver[17]) Si una sucesión converge a p, entonces cualquier subsucesióntambién converge a p.

A la hora de hacer cálculos serán de gran utilidad los siguientes dos teoremas:

Teorema 1.2.3 (ver[17]) Si lımn→∞ pn = p y lımn→∞ qn = q entonces

i. lımn→∞(pn + qn) = p+ q

ii. lımn→∞ pnqn = pq

iii. lımn→∞pnqn

= pqsi q 6= 0

Teorema 1.2.4 (ver[17]) Sean {bn} y {cn} tal que bn ≤ cn y lımn→∞ bn = lımn→∞ cn = p.Si bn ≤ an ≤ cn para todo n entonces lımn→∞ an = p.

Así como se definieron funciones crecientes y decrecientes, también se tienen los res-pectivos términos en el ambiente de las sucesiones y como éstas son en últimas funciones,las definiciones resultan ser prácticamente un calco de las primeras.

Definición 1.2.6 Una sucesión {an} es creciente si an+1 > an para todo n, no de-creciente si an+1 ≥ an para todo n.

Teorema 1.2.5 Teorema de Weierstrass (ver[17]) Una sucesión creciente y acota-da superiormente tiende a un límite, y una sucesión decreciente y acotada inferiormentetiende a un límite.

En este punto es importante hacer notar la diferencia entre límite de una sucesión ypunto límite de una sucesión.

Definición 1.2.7 (ver[8]) Sea {an} una sucesión de números reales. Se dice que A es unpunto límite de {an} si y solo si para todo ε > 0 se cumple la desigualdad |an − A| < ε

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para infinitos valores de n.

Del análisis se tiene un resultado conocido como teorema de Bolzano-weierstrass:

Teorema 1.2.6 (ver[2]) Todo conjunto infinito de números reales acotado, tiene un puntolímite.

Corolario 1.2.1 Toda sucesión acotada de números reales tiene un punto límite y de ahíuna subsucesión convergente.

Por el corolario 1.2.1 si la sucesión acotada en cuestión no es convergente, entonces tieneal menos dos puntos límite; al mayor de ellos se le llama límite superior y al menorlímite inferior y se notan liman y liman respectivamente. Estos límites pueden carac-terizarse completamente a través de las siguientes propiedades:

Teorema 1.2.8 (ver[17]) Sea U = liman, entonces para todo ε > 0

i. Existe un número N tal que an < U + ε para todo n ≥ N

ii. Para cualquier m existe n > m tal que U − ε < an

Teorema 1.2.9 (ver[17]) Sea L = liman, entonces para todo ε > 0

i. Existe un número N tal que an > L− ε para todo n ≥ N

ii. Para cualquier m existe n > m tal que an < L+ ε

Se tienen además varias propiedades fundamentales del límite superior e inferior que sonmuy útiles además porque muestran que el tratamiento de éstos no es semejante al de loslímites usuales (véase por ejemplo la propiedad correspondiente a la suma).

Teorema 1.2.10 (ver[17]) Dadas las sucesiones (acotadas) {an} y {bn} se cumple que:

i) liman ≥ liman

ii) liman = liman si y solo si {an} es convergente

iii) Si an ≤ bn entonces liman ≤ limbn y liman ≤ limbn

iv) lim(an + bn) ≤ liman + limbn

v) lim(anbn) ≤ limanlimbn (an ≥ 0, bn ≥ 0)

vi) lim(an + bn) ≥ liman + limbn

vii) lim(anbn) ≥ limanlimbn (an ≥ 0, bn ≥ 0)


La siguiente propiedad se encuentra formulada en [5].

Teorema 1.2.11 Sea {an} una sucesión acotada de números reales. Entonces

Si an > 0 para todo n, se tiene que

lim{

1an

}= 1

lim{an} si lim {an} 6= 0

Y por último un teorema que involucra funciones continuas:

Teorema 1.2.12 Sea {an} una sucesión que converge a L. Si f es una función defi-nida en una vecindad de L, continua en L, entonces {f(an)} tiende a f(L).

Capítulo 2

Ecuaciones en diferencia

2.1 Conceptos Básicos

En éste capítulo se introducen otros conceptos y se establecen resultados que son valiosospara la comprensión del tema central.

Definición 2.1.1 Se llama ecuación en diferencias a toda expresión de la forma

xn+k = f(n, xn, xn+1, ..., xn+k−1) (2.1.1)

donde f : Z+ ×Rk → R es una función dada y k ∈ Z+. Se llama orden de la ecuación ala diferencia entre el subíndice mayor y el subíndice menor que afectan a x.

Un tipo de ecuación en diferencias de orden k puede escribirse también de la siguien-te forma:

xn+1 = f(xn, xn−1, ..., xn−(k−1)) , n = 0, 1, ... (2.1.2)

Nótese que el orden es la diferencia n+ 1− (n− (k − 1)) = k.

Las ecuaciones en diferencia usualmente describen la evolución de ciertos fenómenos alo largo del tiempo. Por ejemplo, si una cierta población tiene generaciones discretas, eltamaño de la n+1 generación xn+1 es función de las k generaciones previas. Esta relaciónpuede expresarse por medio de (2.1.2).

Se hace referencia a un sistema dinámico k-dimensional cuando se tiene una ex-presión de la forma (2.1.2); la función f se llama aplicación asociada a (2.1.2). Unasolución de la ecuación (2.1.2) es una sucesión {φn}∞n=0 que satisface la ecuación paratodo n ∈ N.

Definición 2.1.2 Una ecuación de la forma

xn+1 + anxn = bn, n = 0, 1, ... (2.1.3)

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10 CAPÍTULO 2. ECUACIONES EN DIFERENCIA

donde an ∈ R − {0} y b ∈ R recibe el nombre de ecuación de diferencia lineal deprimer orden.

Un caso especial de (2.1.3) es xn+1 = axn + b cuya solución está dada por

xn =

{anx0 + b

[an−1a−1

]a 6= 1

x0 + bn a = 1

Se adopta la notación f 2(x0) = f(f(x0)), f 3(x0) = f(f(f(x0))), etc.

Definición 2.1.3 Una ecuación de la forma

xn+2 + anxn+1 + bnxn = cn, n = 0, 1, ...

con bn 6= 0 se llama ecuación de diferencia lineal de segundo orden.

Generalizando, una ecuación en diferencias lineal de orden k es aquella de la forma

x(n+ k) + a1(n)x(n+ k − 1) + ...+ ak−1(n)x(n+ 1) + ak(n)x(n) = b(n)

donde ak(n) 6= 0. Por comodidad se empleó en la anterior expresión la notación x(n) = xn.

Estas ecuaciones pueden clasificarse a su vez en homogéneas si b(n) = 0 y de co-eficientes constantes si ai(n) = ai para cada i. Cuando f es no lineal se tienen lasecuaciones en diferencia no lineales de orden k y a éste conjunto pertenece la ecuaciónque se trata en el capítulo tres.

El estudio sistemático de las ecuaciones en diferencia no lineales de orden mayor a 1pretende en la mayoria de los casos investigar temas como existencia y/o unicidad depuntos de equilibrio, puntos periódicos, existencia de soluciones periódicas, carácter deacotamiento y comportamiento a largo plazo (n→∞).

Algunas de las más simples ecuaciones no lineales que han motivado su estudio son lassiguientes:

xn+1 = a+bxnA+xn−k

, n = 0, 1, ... (2.1.4)

xn+1 =a+∑k−1i=0 bixn−ixn−k

, n = 0, 1, ... (2.1.5)

xn+1 = xneα(

1−xn−k1+xn−k

), n = 0, 1, ... (2.1.6)

Cuando k = 0 la ecuación (2.1.3) tiene aplicaciones en óptica y es conocida en la litera-tura como ecuación de diferencia de Riccati y ha sido ampliamente estudiado el carácterperiódico de sus soluciones.

Los casos especiales de (2.1.5)

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xn+1 = 1xn, n = 0, 1, ... (2.1.7)

xn+1 = 1+xnxn−1

, n = 0, 1, ... (2.1.8)xn+1 = 1+xn+xn−1

xn−2, n = 0, 1, ... (2.1.9)

sobresalen por tener propiedades especiales relacionadas con la periodicidad de sus solu-ciones.

Definición 2.1.4

i. Un punto x ∈ R es un punto de equilibrio para el sistema dinámico (2.1.2) oun punto fijo para f si f(x, x, ..., x) = x.

ii. Un punto p ∈ R se denomina un punto periódico de periodo r para (2.1.2) conk = 1 si f r(p) = p. El punto p se llama punto periódico primo de periodo r sir es el más pequeño entero positivo para el cual f r(p) = p.

iii. Un punto x∗ se dice atractor global sobre un intervalo I si x0, x−1, ..., x−(k−1) ∈ Iimplica lımn→∞ xn = x∗.

2.2 Algunos resultados

A continuación se presentan cuatro teoremas que son pieza fundamental para la demos-tración de varios de los enunciados del siguiente capítulo.

Lema 2.2.1

Sea f : [a, b] → [a, b] continua y la sucesión {un} definida por el valor u0 y la rela-ción de recursión un = f(un−1) n = 1, 2, ...

(1) Si f es no decreciente, entonces la sucesión {un} es monótona y se aproxima a unlímite u que es la raíz de la ecuación u = f(u).

(2) Si f es no creciente entonces la sucesión de términos numerados par {u2n} y lasucesión de términos numerados impar {u2n+1} son sucesiones monótonas convergentes,además si una de ellas es no decreciente, la otra es no creciente.

Demostración de (1)

Se asume que u0 ≤ u1 para ver que la sucesión es no decreciente, es decir, un−1 ≤ un,n = 1, 2, ... Para n = 1 la desigualdad es verdadera por hipótesis.

Si un−1 ≥ un−2 y como f es no decreciente, un−2 ≤ un−1 implica que un−1 = f(un−2) ≤f(un−1) = un, así pues la sucesión un es no decreciente y por hipótesis acotada superior-mente por b, entonces es convergente y su límite u satisface las desigualdades

a ≤ u0 ≤ u ≤ b


similarmente, si u1 ≤ u0 se tiene que {un} es no creciente, en cuyo caso y al ser acotadainferiormente por a es convergente y su límite u satisface las desigualdades

a ≤ u ≤ u0 ≤ b

f es continua en u ∈ [a.b] y de ahí como un → u entonces f(un)→ f(u).

Ahora, las sucesiones {un+1} y {f(un)} son idénticas término a término, por lo tantotienen el mismo límite, es decir u = f(u).


Por hipótesis, la imagen inversa de [a, b] es un intervalo [c, d] ⊆ [a, b] y contiene to-dos los un. La función f ◦ f está definida en [c, d] y es no decreciente, entonces,

x′< x⇒ y

′= f(x

′) ≥ y = f(x)⇒ (f ◦ f)(x′) = f(y

′) ≤ f(y) = (f ◦ f)(x).

Se definen ahora las sucesiones {u′n} y {u′′n} por

u′0 = u0 u′n = (f ◦ f)(u′n−1) = u2n n = 1, 2, ...

u′′0 = u1 u′′n = (f ◦ f)(u′′n−1) = u2n+1 n = 1, 2, ...

Aplicando los resultados de la parte (1) se tiene que {u′n} y {u′′n} son monótonas y acota-das y por lo tanto convergentes. Si una de ellas es no decreciente, la otra es no creciente,en efecto,

u2n ≥ u2n−2 ⇒ u2n+1 = f(u2n) ≤ f(u2n−2) = u2n−1 , ó ,

u2n+1 ≥ u2n−1 ⇒ u2n+2 = f(u2n+1) ≤ f(u2n−1) = u2n.

Finalmente se puede ver que la sucesión {un} converge si y solo si los límites u′ y u′′

de las dos sucesiones {u′n} = {u2n} y {u′′n} = {u2n+1} son iguales.

En efecto,

Si {un} converge entonces toda subsucesión converge y converge al mismo punto, enparticular las subsucesiones {u2n} y {u2n+1} y así u′ = u′′

Si u2n → u y u2n+1 → u entonces

∀ε > 0 ∃N1 ∈ N tal que |u′n − u| < ε siempre que n ≥ N1 y

∀ε > 0 ∃N2 ∈ N tal que |u′′n − u| < ε siempre que n ≥ N2,

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sea M = máx {N1, N2} entonces

|u′n − u| < ε y |u′′n − u| < ε para n ≥M

De lo anterior,

|u2n − u| < ε y |u2n+1 − u| < ε para n ≥ M , pero {u2n} ∪ {u2n+1} = {un} y así|un − u| < ε para n ≥M , es decir, un → u.

Lema 2.2.2

Supóngase que f y h son funciones continuas en (0,∞), no decrecientes las cuales aplicanel intervalo (0,∞) en sí mismo y asuma que {xn} es una solución de xn = f(xn−2)

h(xn−1), n ∈ N.

Entonces las subsucesiones {x2n} y {x2n+1} son eventualmente monótonas.

Demostración

Sea {xn} una solución de la ecuación xn = f(xn−2)h(xn−1)

y definir

rn =

{1 si xn

xn−2≥ 1

0 en caso contrariopara n ≥ 0

Es suficiente mostrar que {r2i}i≥0 y {r2i+1}i≥0 son eventualmente constantes,

xnxn−2

=f(xn−2)

h(xn−1)

f(xn−4)

h(xn−3)

= f(xn−2)h(xn−3)f(xn−4h(xn−1))

si rn−2 = 1 y rn = 0 entonces xn−2 ≥ xn−4 y xn−1 < xn−3 y por la monotonía de fy h es f(xn−2) ≥ f(xn−4) y h(xn−1) ≤ h(xn−3) y así f(xn−4)h(xn−1) ≤ f(xn−2)h(xn−3),de lo cual se sigue que

xnxn−2

= f(xn−2)h(xn−3)f(xn−4)h(xn−1)

≥ 1

y por lo tanto rn = 1. De modo similar, si rn−2 = 0 y rn−1 = 1 entonces rn = 0. Deaquí, si rn0 6= rn0+1 para algún n0 ≥ 0 entonces las sucesiones {rn0+2i}i≥0 y {rn0+2i+1}i≥0

son ambas constantes. En caso contrario, {ri}i≥0 es una sucesión constante como se quería.

Lema 2.2.3

Sea φ una función continua que satisface las siguientes condiciones :

(a) φ(0) ≥ 0(b) φ(x) creciente en [0,∞)(c) x

φ(x)no decreciente en [0,∞).

Entonces para l, L, α > 0 dados, con l < L , existen l0 y L0 tales que


(1) 0 < l0 ≤ l y L ≤ L0

(2) l0φ(L0) ≤ α ≤ φ(l0)L0.

Demostración

Puesto que l < L y por (c) siempre se tendrá lφ(L) ≤ φ(l)L. Si α cumpliera lφ(L) ≤α ≤ φ(l)L entonces bastaría tomar l0 = l y L0 = L y el teorema se tendría. En realidadα tiene las siguientes 3 posibilidades:

i) lφ(L) ≤ α ≤ φ(l)L ii) α < lφ(L) iii) φ(l)L < α.

i) En éste caso la conclusión se sigue de inmediato.

ii) Fijando L y al variar l de manera decreciente, considerar las funciones continuasxφ(L) y φ(x)L y se tendrá que para cada x con x < L, φ(L)x ≤ φ(x)L y como α < lφ(L)entonces l0 = α

φ(L)< l < L y así l0φ(L) = α ≤ φ(l0)L, es decir, existe l0 tal que 0 < l0 ≤ l

y l0φ(L) ≤ α ≤ φ(l0)L (tómese L0 = L).

iii) Análogamente, fijando l y variando L de manera creciente, considerar las funcio-nes continuas lφ(x) y φ(l)x y se tendrá que para cada l < x , lφ(x) ≤ φ(l)x y comoα > φ(l)L entonces L0 = α

φ(l)> L > l y así lφ(L0) ≤ α = L0φ(l), es decir, existe L0 tal

que L0 ≥ L y lφ(L0) ≤ α ≤ L0φ(l) (tómese l0 = l).

Lema 2.2.4

Considérese la ecuación xn = α+xn−2

1+g(xn−1), donde α, x−2, x−1 ∈ (0,∞) y g una función

continua que satisface:

(a) g(x) creciente en [0,∞),(b) x

g(x)no decreciente en [0,∞),

(c) g(0) ≥ 0,

entonces toda solución de la ecuación es acotada.

Demostración

Sea máx{x−2, x−1} = L y mín{x−2, x−1} = l, por el lema 2.2.3 existen l0 y L0 tal quel0g(L0) ≤ α ≤ g(l0)L0 y por las condiciones iniciales x−2, x−1 y las definiciones de l y Lse tiene que

l0 ≤ l < x−2 ≤ L ≤ L0 y l0 ≤ l < x−1 ≤ L ≤ L0 (2.7.2)

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Por inducción, supóngase que (2.7.2) es cierta para x−2, x−1, x0, x1, x2, ..., xn−1, esto es,

l0 ≤ xi ≤ L0 para i = −2,−1, 0, 1, 2, ..., n− 1

entonces xn = α+xn−2

1+g(xn−1)≤ α+L0

1+g(l0)pues l0 ≤ xn−1 y xn−2 ≤ L0,

entonces g(l0) ≤ g(xn−1), así, 1+g(l0) ≤ 1+g(xn−1) y en consecuencia 11+g(l0)

> 11+g(xn−1)

y con α + xn−2 ≤ α + L0 resulta

α + xn−2

1 + g(xn−1)≤ α + L0

1 + g(l0)

A continuación, se muestra que α+L0

1+g(l0)≤ L0 pero esto es inmediato puesto que

α + L0 ≤ L0(1 + g(l0))⇔ α ≤ g(l0)L0.

Del mismo modo se obtiene xn = α+xn−2

1+g(xn−1)≥ α+l0

1+g(L0)≥ l0 , y en total

l0 ≤ xn ≤ L0 para n = −2,−1, 0, 1, ...

completando así la demostración.

Capítulo 3

Comportamiento de soluciones

En éste capítulo se abordan aspectos como la convergencia, naturaleza periódica, carácterde acotación y atracción global entre otros, para las soluciones positivas de la ecuaciónen diferencia no lineal de orden mayor a uno xn+1 = α+βxn−1

1+g(xn−1), ecuación que por sí sola es

objeto de estudio del presente trabajo. La manera de clasificar dichos aspectos está sujetaa considerar los parámetros α y β según sean α > 0 y β = 0, 0 < β < 1, β = 1, β > 1resultando de esta manera siete casos de estudio.

En el primer caso, tal vez uno de los de mayor interés, se demuestra que toda solu-ción positiva de la ecuación converge a su punto de equilibrio. El caso 2 muestra queexisten soluciones positivas que son no acotadas. El caso 3 presenta soluciones positivaspara las cuales x2n+1 → 0 y x2n →∞ cuando n→∞. En el caso 4 se presenta de nuevoconvergencia al punto de equilibrio. El caso 5 aborda la atracción global del punto cero.En el caso 6 se concluye que toda solución converge a una solución periódica de periodo2 y finalmente en el caso 7 se demuestra que de haber soluciones periódicas, su períodoes uno ó dos. En los anexos se presentan algunas gráficas a manera de ilustración.

3.1 Caso 0 < β < 1 y α > 0

Se considera la ecuación en diferencia de orden k + 1, k = 1, 2, ...

xn+1 = α+βxn−k1+g(xn)

, n = 0, 1, 2, ... (3.1.1)

Proposición 3.1.1

Dada la ecuación (3.1.1) donde α > 0, β ∈ (0, 1), k ∈ Z+, las condiciones inicialesx−k, x−k+1, ..., x−1 y x0 de (3.1.1) son números positivos arbitrarios y donde g(x) es unafunción real continua definida sobre el intervalo [0,∞) que satisface las siguientes condi-ciones:

(a) g(x) > 0 para x > 0,(b) g(x) es creciente en [0,∞) ,

17

18 CAPÍTULO 3. COMPORTAMIENTO DE SOLUCIONES

(c) xg(x)

es no decreciente en [0,∞) ,

entonces toda solución positiva de la ecuación (3.1.1) converge al punto de equilibrio.

Demostración :

Primero se muestra que la ecuación (3.1.1) tiene un único punto de equilibrio. Los puntosde equilibrio x de (3.1.1) satisfacen la ecuación x = α+βx

1+g(x).

Sea F (x) = x− α+βx1+g(x)

, F es una función continua en [0,∞) al ser suma, resta, productoy cociente de funciones continuas.

Ahora, lımx→+∞ F (x) = +∞ como se muestra a continuación:

lımx→+∞[x− α+βx1+g(x)

] = lımx→+∞x(1+g(x))−α−βx

1+g(x)

= lımx→+∞(1−β)x+g(x)x−α

1+g(x)

= lımx→+∞[ (1−β)x1+g(x)

+ g(x)x1+g(x)

− α1+g(x)

]

= lımx→+∞[ 1−β1+g(x)x

+ x1+g(x)g(x)

− α1+g(x)

]

= lımx→+∞[ 1−β1x

+ 1xg(x)

+ x1

g(x)+1− α

1+g(x)] (3.1.2)

como g(x) y xg(x)

son monótonas, por el teorema 1.1.4, se tiene que M,N ∈ R talesque lımx→+∞ g(x) = M y lımx→+∞

xg(x)

= N .

Al evaluar el límite en (3.1.2) se presentan 4 casos :

(1) M,N ∈ R(2) M ∈ R , N ∈ {+∞}(3) M ∈ {+∞} , M ∈ R(4) M,N ∈ {+∞}

(1) es imposible:

Para M,N ∈ R, si lımx+∞ g(x) = N y lımx+∞xg(x)

= M entonces+∞ = lımx+∞ x = lımx+∞ g(x) x

g(x)= lımx+∞ g(x) lımx+∞

xg(x)

= NM ∈ R.

En el caso (2) y de (3.1.2)

lımx→+∞[x− α+βx1+g(x)

] = lımx→+∞1−β

1x

+ 1xg(x)

+ lımx→+∞x

1g(x)

+1− lımx→+∞

α1+g(x)

= lımx→+∞(1−β)

lımx→+∞[ 1x

+ 1xg(x)

]+ lımx→+∞ x

lımx→+∞[ 1g(x)

+1]− lımx→+∞ α

lımx→+∞[1+g(x)]

19

= (1−β)

0+ 1lımx→+∞

xg(x)

+ lımx→+∞ x1M

+1− α

1+M

= +∞+ (+∞)− α1+M

= +∞.

De forma análoga en los demás casos se obtiene que

lımx→+∞ F (x) = +∞ (3.1.3)

F (0) = 0 − α+β01+g(0)

= − α1+g(0)

< 0, de ésto y de (3.1.3) existe por lo menos un x∗ en(0,∞) tal que F (x∗) = 0, es decir, x∗ − α+βx∗

1+g(x∗)= 0 ó x∗ = α+βx∗

1+g(x∗).

Por otra parte,

F (x)− F (y) = x− y + α+βy1+g(y)

− α+βx1+g(x)

= (1+g(x))(1+g(y))x−(1+g(x))(1+g(y))y+(α+βy)(1+g(x))−(α+βx)(1+g(y))(1+g(y))(1+g(x))

= (x+xg(x))(1+g(y))−(y+g(x)y)(1+g(y))+(α+βy)(1+g(x))−(α+βx)(1+g(y))(1+g(y))(1+g(x))

= (x−y)[(1−β)(1+g(y))+g(x)+g(x)g(y)]+(α+βy)(g(x)−g(y))(1+g(y))(1+g(x))

.

La última igualdad se consigue distribuyendo, asociando, sumando cero y reordenan-do. Si x > y entonces F (x) − F (y) > 0, esto es, F (x) > F (y) y así F (x) es una funcióncreciente y por lo tanto x∗ es el único punto positivo de equilibrio de la ecuación (3.1.1).

A continuación se prueba que toda solución positiva de (3.1.1) es acotada.

Para n = 0,1,2,... se tiene que 1 < 1 + g(xn) lo que implica

α + βxn−k < (α + βxn−k)(1 + g(xn)) y en consecuencia

xn+1 = α+βxn−k(1+g(xn))

< α + βxn−k (3.1.4)

Nótese de (3.1.4) que

n = 0 ⇒ x1 < α + βx−k (3.1.5)n = 1 ⇒ x2 < α + βx1−k (3.1.6)n = 2 ⇒ x3 < α + βx2−k

.

.

.n = k − 1 ⇒ xk < α + βx−1 (3.1.7)n = k ⇒ xk+1 < α + βx0 (3.1.8)


y continuando con otros valores de n:

n = k + 1⇒ xk+2 < α + βx1 y de (3.1.5) resulta

α + βx1 < α + β(α + βx−k) = α + βα + β2x−k= x−kβ

2 + α(1 + β) (3.1.9)así mismo usando ( 3.1.6)

n = k + 2⇒ xk+3 < α + βx2 < α + β(α + βx1−k)= α + βα + β2x1−k = x1−kβ

2 + α(1 + β).

De (3.1.7) y (3.1.8) se tiene que

n = k + k ⇒ xk+k+1 < α + βxk+k−k = α + βxk< α + β(α + βx−1)= α + βα + β2x−1

= x−1β2 + α(1 + β).

n = k + k + 1⇒ xk+k+2 < α + βxk+k+1−k = α + βxk+1

< α + β(α + βx0)= α + βα + β2x0

= x0β2 + α(1 + β).

Antes de establecer el patrón, una última línea:

n = k + k + 2⇒ xk+k+3 < α + βxk+k+2−k = α + βxk+2

< α + β[x−kβ2 + α(1 + β)]

= α + β3x−k + α(β + β2)= β3x−k + α(1 + β + β2).

En general se obtiene

x(k+1)m+r+1 < xr−kβm+1 + α(1 + β + ...+ βm) ∀ m ∈ N (3.1.10)

y r ∈ {0, 1, ..., k} enunciado que puede probarse por inducción sobre m y 0 ≤ r ≤ k.

Para m = 0, xr+1 < α + βxr−k por (3.1.4) y por lo tanto se cumple con m = 0.

Se asume que es cierta para m = s, es decir

x(k+1)s+r+1 < xr−kβs+1 + α(1 + β + ...+ βs) (Hipótesis de inducción)

¿es verdadera para s+ 1 ? es decir, es cierto que

21

x(k+1)(s+1)+r+1 < xr−kβs+1+1 + α(1 + β + ...+ βs+1)

en efecto, pues

x(k+1)(s+1)+r+1 < α + βx(k+1)(s+1)+r−k por (3.1.4)= α + βx(k+1)s+1+r

< α + β [xr−kβs+1 + α(1 + β + ...+ βs)] (H. de inducción)

= α + xr−kβs+1+1 + α(β + β2 + ...+ βs+1)

= xr−kβs+1+1 + α(1 + β + ...+ βs+1).

Por lo tanto (3.1.10) es verdadera y así

x(k+1)m+r+1 < xr−kβm+1 + α(1 + β + ...+ βm)

< xr−kβm+1 + α(1 + β + ...+ βm + βm+1 + ...) (3.1.11)

< xr−kβm+1 + α( 1

1−β ). (3.1.12)

La última desigualdad debida a que en (3.1.11) se presenta una serie geométrica con0 < β < 1 y de ésta condición para β también se tiene que 0 < βm+1 < 1.

luego

xr−kβm+1 < xr−k

y por lo tanto

xr−kβm+1 + α

1−β < xr−k + α1−β < x

′+ α

1−β

donde x′ = max {xr−k/r = 0, 1, ..., k} , m ∈ N.

De ésto y de (3.1.12) se sigue que la sucesión {xn+1} es acotada.

Ahora bien, por el resultado anterior existen l = limxn y L = limxn

Tomando éstos límites en (3.1.1) y por los teoremas 1.2.10 y 1.2.11 se obtiene:

l = limxn+1 = lim[(α + βxn−k)

11+g(xn)

]≥ [lim(α + βxn−k)]

[lim 1

1+g(xn)

]= [lim(α + βxn−k)]

[1

lim(1+g(xn))

]≥ [limα + limβxn−k]

[1

lim1+limg(xn)

]= [limα + limβxn−k]

[1

lim1+g(limxn)

]= α+βl

1+g(L)(3.1.13)


Similarmente y haciendo nuevamente uso de las propiedades del límite superior e in-ferior

L ≤ α+βL1+g(l)

(3.1.14)

como xg(x)

es no decreciente y ya que l ≤ L entonces

lg(l)≤ L

g(L)⇔ lg(L) ≤ Lg(l) (3.1.15)

De (3.1.13) y (3.1.14) se tiene que

α + βL ≥ L(1 + g(l))⇔ α + βL ≥ L+ Lg(l)⇔ α + (β − 1)L ≥ Lg(l). (3.1.16)

l(1 + g(L)) ≥ α + βl ⇔ l + lg(L) ≥ α + βl⇔ lg(L) ≥ α + (β − 1)l. (3.1.17)

En total

α + (β − 1)L ≥ Lg(l) ≥ lg(L) ≥ α + (β − 1)l y así

α + (β − 1)L ≥ α + (β − 1)l ⇔ (β − 1)L ≥ (β − 1)l

⇔ L ≤ l.

La última proposición por el hecho de que β − 1 < 0.

Finalmente como l ≤ L y L ≤ l entonces l = L y de ésta manera {xn+1} es una su-cesión convergente. Ahora, si la convergencia no fuése al punto de equilibrio, es decir,l = L 6= x entonces existiría una solución positiva de (3.1.1) que converge a dos puntos:la sucesión {x} es solución de (3.1.1) y claramente converge a x y por el teorema tambiénlo hace a l = L lo cual es absurdo. Por lo tanto {xn+1} converge al punto de equilibriox = l = L.

3.2 Caso β > 1 y α > 0

En esta sección se considera la ecuación (3.1.1) con k = 1 y g(x) una función real con-tinua definida sobre el intervalo [0,∞), la cual satisface las condiciones (a) y (b) de laproposición 1. Se muestra en este caso que existen soluciones positivas de la ecuación queno son acotadas.

Elíjase x−1 ∈ (0, g−1(β − 1) y x0 > g−1( αg−1(β−1)

+ β − 1).

Como g es creciente

23

g(x0) > g(g−1( αg−1(β−1)

+ β − 1)) = αg−1(β−1)

+ β − 1

implica 1 + g(x0) > αg−1(β−1)

+ β = α+βg−1(β−1)g−1(β−1)

por tanto g−1(β − 1) > α+βg−1(β−1)1+g(x0)

> α+βx−1

1+g(x0)= x1 (3.2.1)

y la última desigualdad debido a la elección de x−1 < g−1(β − 1).

De (3.2.1), β − 1 > g(x1) ⇔ β > 1 + g(x1)⇔ 1

β< 1

1+g(x1)

y por lo tanto

αβ

+ x0 = α+βx0

β< α+βx0

1+g(x1)= x2. (3.2.2)

Por inducción se demuestra que

x2n−1 < g−1(β − 1) y x2n > x0 + nαβ

n ≥ 1 (3.2.3)

en efecto, de (3.2.1) y (3.2.2) la proposición es cierta para n = 1.

Supóngase cierta para n = s, es decir

x2s−1 < g−1(β − 1) y x2s > x0 + sαβ

(Hipótesis de inducción)

y ver que se cumple para n = s+ 1, esto es,

x2(s+1)−1 < g−1(β − 1) y x2(s+1) > x0 + (s+ 1)αβ.

Por la hipótesis de inducción x2s > x0 + sαβ> x0

lo que implica

g(x2s) > g(x0) > αg−1(β−1)

+ β − 1⇒ 1 + g(x2s) >α+βg−1(β−1)g−1(β−1)

⇒ g−1(β − 1) > α+βg−1(β−1)1+g(x2s)

,

pero x2s−1 < g−1(β − 1)

entonces α + βx2s−1 < α + βg−1(β − 1) , y así

x2(s+1)−1 = α+βx2s−1

1+g(x2s)< α+βg−1(β−1)

1+g(x2s)< g−1(β − 1),

Ahora, g(x2s+1) < β − 1 ⇒ 1 + g(x2s+1) < β


⇒ 1g(x2s+1)

> 1β

⇒ α+βx2s

1+g(x2s+1)> α+βx2s

β= α

β+ x2s (3.2.4)

como x2s > x0 + sαβ

entonces

αβ

+ x2s > x0 + sαβ

+ αβ

= x0 + (s+ 1)αβ, (3.2.5)

por lo tanto de (3.2.4) y (3.2.5), se tiene que

x2(s+1) = α+βx2s

1+g(x2s+1)> x0 + (s+ 1)α

β,

concluyéndose la veracidad de (3.2.3).

Finalmente, como lımn→∞ x0 + nαβ

=∞ y x2n > x0 + nαβ

para todo n ≥ 1 entonces

limn→∞x2n =∞,

y de esta manera la sucesión xn+1 resulta ser no acotada.

3.3 Caso α = 0 y β > 1

La ecuación de diferencia toma la forma:

xn+1 = βxn−1

1+g(xn), n = 0, 1, 2, ... (3.3.1)

y como en el caso anterior, g satisface las condiciones (a) y (b) de la proposición 1.

Tomar

0 < x−1 < g−1(β − 1) y x0 > g−1( αg−1(β−1)

+ β − 1) = g−1(β − 1)

por lo cual

x2n−1 < g−1(β − 1) y x2n > x0 + nαβ

= x0 (3.3.2)

también g(x2n−1) < β − 1 ⇒ 1 + g(x2n−1) < β

⇒ 11+g(x2n−1)

> 1β

⇒ xn+2 = βx2n

1+g(x2n−1)> βx2n

β= x2n (3.3.3)

25

De forma análoga (3.3.2) y por la elección de x0,

g(x2n) > g(x0) > β − 1 ⇒ 1 + g(x2n) > β⇒ 1

1+g(x2n)< 1

β

⇒ x2n+1 = βx2n−1

1+g(x2n)< βx2n−1

β= x2n−1. (3.3.4)

Por (3.3.3) lımn→∞ x2n es finito o +∞. Supóngase que es finito e igual a p. De (3.3.4)se sigue que la sucesión {x2n+1} es decreciente y como es acotada inferiormente por ceroentonces converge, es decir, lımn→∞ x2n+1 = q.

Tomando n→∞ en (3.3.1) se obtiene:

p = βp1+g(q)

y q = βq1+g(p)

Si q es distinto de cero y como p también es distinto de cero ({x2n} es creciente por3.3.3) entonces1 + g(q) = β y 1 + g(p) = β, luego g−1(β − 1) = q = p,

pero q = lımn→ x2n+1 = g−1(β − 1) es una contradicción, asi que q = 0 y en conse-cuencia (con p finito)

p = βp1+g(q)

⇒ 1 + g(q) = β

⇒ g(0) = β − 1⇒ g−1(β − 1) = 0

pero por hipótesis g−1(β − 1) > 0 asi que p no es finito, es decir, p = +∞.

En conclusión existen soluciones positivas de la ecuación (3.3.1) tal que las subsucesionesx2n+1 → 0 y x2n →∞ cuando n→∞.

3.4 Caso β = 0 y α > 0

Considerar ahora la ecuación xn+1 = α1+g(xn)

, n ∈ N (3.4.1)

y g(x) como en la proposición 3.1.1

Puesto que g es creciente, entoncesx < y ⇒ g(x) < g(y)

⇒ 1 + g(x) < 1 + g(y)⇒ 1

1+g(x)> 1

1+g(y)

⇒ α1+g(x)

> α1+g(y)

⇒ α1+g(x)

≥ α1+g(y)


por lo cual la función f(x) = α1+g(x)

es no creciente.

Por otro lado

g(xn) > 0⇒ 1 + g(x0) > 1⇒ 1

1+g(x0)< 1

⇒ xn+1 = α1+g(xn)

< α , n ≥ 0

Para n ≥ 2 , xn−1 < α , y como f es no creciente, entonces

xn = f(xn−1) ≥ f(α) = α1+g(α)

, n ≥ 2.

En total

0 < x1 < α y 0 < α1+g(α)

≤ xn < α, n ≥ 2. (3.4.2)

Así pues, para n ≥ 2, f([0, α]) ⊆[

α1+g(α)

, α]⊆ [0, α] y en consecuencia , aplicando la

segunda parte del lema 2.2.1 , las sucesiones {x2n} y {x2n+1} además de monótonas, con-vergen a límites finitos, esto es

x2n → p y x2n+1 → q

De (3.4.2) p 6= 0 y q 6= 0 y al tomar en (3.4.1) n→∞ se obtiene de

x2n = α1+g(x2n−1)

y x2n+1 = α1+g(x2n)

que p = α1+g(q)

y q = α1+g(p)

y de ahí

p+ pg(q) = q + qg(p)⇔ p− q + pg(q)− qg(p) = 0

⇔ p− q + g(p)g(q)[

pg(p)− q

g(q)

]= 0 (3.4.3)

Las posibilidades p < q ó p > q conducen a p = q o a que la expresión en (3.4.3)sea distinta de cero, lo cual constituye contradicción. Por lo tanto debe ser p = q y asítoda solución de la ecuación (3.4.1) converge al único punto de equilibrio.

Observación:

Procediendo como en el caso 1 y tomando G(x) = x − α1+g(x)

que es continua en [0,∞)

y al evaluar G(0) = 0 − α1+g(x)

< 0 y G(α) = α − α1+g(α)

> 0 ( de (3.4.2)) y se puedeafirmar que existe por lo menos un x∗ en [0, α] tal que G(x∗) = 0, quedando garantizadala existencia del punto de equilibrio y como

G(x)−G(y) = x− α1+g(x)

− (y − α1+g(y)

)= x− y + α

1+g(y)− α

1+g(x)

27

= (x−y)(1+g(y))(1+g(x))+α(g(x)−g(y))(1+g(y))(1+g(x))

si x > y entonces G(x)−G(y) > 0, esto es, G(x) > G(y)

por tanto G(x) es creciente y x∗ es el único punto de equilibrio.

3.5 Caso α = 0 y 0 < β < 1

Si α = 0 y 0 < β < 1 la ecuación toma la forma:

xn+1 = βxn−1

1+g(xn)n ∈ N (3.5.1)

y se muestra a continuación que el punto de equilibrio cero es un atractor global paratodas las soluciones positivas de (3.5.1).

x(1 + g(x)) = βx⇒ x(1 + g(x)− β) = 0⇒ x = 0 ó g(x) = β − 1 < 0

por lo tanto x = 0 es el único punto de equilibrio de la ecuación (3.5.1).

Como g(xn) > 0 entonces 11+g(xn)

< 1 y así

xn+1 = βxn−1

1+g(xn)< βxn−1 , n = 0, 1, 2, ... (3.5.2)

Considérese las subsucesiones {x2m−1} y{x2m} m = 1, 2, ..

Por inducción y de (3.5.2) se prueba que x2m−1 < βmx−1 y x2m < βmx0

en efecto:

para m = 1

x1 < βx−1 por (3.5.2) con n = 0

y x2 < βx0 por (3.5.2) con n = 1.

Ahora supóngase que es cierta para m = s, esto es,

x2s−1 < βsx−1 y x2s < βsx0 (Hipótesis de Inducción)

y examínese si se cumple para m = s+ 1, es decir, es cierto

¿ x2(s+1)−1 < βs+1x−1 y 2(s+1) < βs+1x0 ?

De (3.5.2), x2(s+1)−1 < βx2s−1 y x2(s+1) < βx2s y por la hipótesis de inducción


βx2s−1 < ββsx−1 = βs+1x−1 y βx2s < ββsx0 = βs+1x0

con lo cual x2(s+1)−1 < βs+1x−1 y 2(s+1) < βs+1x0 como se quería.

Ya que 0 < x2n−1 < βnx−1 y 0 < x2n < βnx0 n = 1, 2, 3... y además como porhipótesis 0 < β < 1 entonces

lımn→∞ βnx0 = 0 y lımn→∞ β

nx−1 = 0

Por lo tanto lımn→∞ x2n−1 = 0 = lımn→∞ x2n y de éstas igualdades

lımn→∞ xn = 0 = x y se ha demostrado que el punto de equilibrio x = 0 es un atractorglobal para toda solución positiva de (3.5.1).

3.6 Caso α = 0 y β = 1

La ecuación a considerar es de la forma

xn+1 = xn−1

1+g(xn)(3.6.1)

Ya que g(x) > 0 para x > 0, entonces 11+g(xn)

< 1 y así xn+1 = xn−1

1+g(xn)< xn−1

La última desigualdad dice que las subsucesiones {x2n} y {x2n+1} son decrecientes ycomo son acotadas inferiormente por cero entonces convergen, asi pues existen p, q ∈ Rtales que lımn→∞ x2n = p y lımn→∞ x2n+1 = q.

De aquí, cuando n→∞ en (3.6.1) resulta

p = p1+g(q)

y q = q1+g(p)

Si q 6= 0 entonces 1 + g(p) = 1, es decir, g(p) = 0 , esto es, p = 0. Así mismo, si p 6= 0entonces 1 + g(q) = 1, es decir, g(q) = 0 , esto es, q = 0.

Por lo tanto toda solución positiva de (3.6.1) converge a una solución de la forma (0, q)o (p, 0), dicho de otro modo, a una solución periódica de período 2.

3.7 Caso α > 0 y β = 1

En éste último caso se considera la ecuación :

xn+1 = α+xn−1

1+g(xn)n ∈ N (3.7.1)

y g como en la proposición 3.1.1. La existencia y unicidad del punto de equilibrio x de(3.7.1) se comprueba del mismo modo como se procedió en el primer caso. El hecho queconcentra la atención es comprobar que si la ecuación (3.7.1) tiene soluciones periódicas,

29

su periodo es 1 ó 2, pero ésto se sigue como consecuencia inmediata de los lemas 2.2.3 y2.2.4.

Por el lema 2.2.4 se tiene que toda solución {xn} de (3.7.1) es acotada y por el lema2.2.2 las subsucesiones {x2n} y {x2n+1} son eventualmente monótonas, por lo tanto con-vergen.

De aquí, si (3.7.1) tiene soluciones periódicas, su periodo es 1 ó 2.

Capítulo 4

Aplicación

En biología, solo por dar un ejemplo, se estudian fenómenos tales como la dinámica delos ecosistemas y se efectúan modelamientos de poblaciones; allí son de gran utilidad lasecuaciones en diferencia. Si el número de variables involucradas es mayor que uno apare-cen los sistemas de ecuaciones en diferencia. El caso más sencillo es aquel que consiste dedos ecuaciones con dos variables y como una primera aplicación, está la de poder reducirdicho sistema a una ecuación en diferencias de orden 2. Una segunda aplicación de tipoteórico se encuentra en la proposición 4.1.2 de la siguiente sección.

Considérese el sistema

Xn+1 = a11e−bYnXn + a12Yn n = 0, 1, ...

Yn+1 = a21e−bYnXn (S)

donde

a11 ∈ [0, 1) , a12 ∈ (0,∞) , a21 ∈ (0, 1) , a11 + a21 ≤ 1, b > 0 y X0, Y0 ∈ [0,∞).

El sistema (S) con condiciones iniciales X0, Y0 ∈ [0,∞) se puede reducir a la ecuación dediferencia de orden 2

Yn+1 = e−bYn(a11Yn + a12a21Yn−1) , n = 1, 2, ...

con condiciones iniciales Y0 ∈ [0,∞) , Y1 = a21e−bY0 y la sucesión asociada

Xn+1 = a11

a21Yn+1 + a12Yn, n = 0, 1, ...

Si se hace el cambio de variables bYn = yn y se pone α = a11 y β = a12a21 se obtie-ne la ecuación :

yn+1 = αyn+βyn−1

eynn = 0, 1, ... (4.1.1)

31

32 CAPÍTULO 4. APLICACIÓN

4.1 El caso 6 y la función g(x) = ex − 1

Cuando α = 0 y β = 1 la ecuación (4.1.1) toma la forma :

yn+1 = yn−1

eynn = 0, 1, ... (4.1.2)

que corresponde al modelo del caso 6 presentado en el capítulo 3, y donde g(x) = ex− 1.Ya se vió que en éste caso toda solución positiva converge a una solución de período 2.

Un sencillo cálculo muestra que si {yn} es una solución de la ecuación (4.1.2) con y−1y0 = 0entonces {yn} es la solución periódica de periodo 2 (y−1, y0, y−1, y0, ...)

La proposición 4.1.2 brinda un poco más de información sobre el caso 6 ; establece cotasinferiores para las subsucesiones conformadas por los términos numerados par e impar.Antes de presentarla se necesita hacer uso de la siguiente propiedad:

Proposición 4.1.1

Supóngase que {yn} es una solución de la ecuación (4.1.2) , entonces para n ≥ 0

y2n+1 = y−1e−(y0+y2+y...+y2n)

y y2n+2 = y0e−(y1+y3+...+y2n+1).

Demostración

Se procede por inducción:

Para n = 0

De (4.1.2) se tiene que y1 = y−1e−(y0) y y2 = y0e

−(y1)

Ahora se asume cierta para n = m , es decir

y2m+1 = y−1e−(y0+y2+y...+y2m) y y2m+2 = y0e

−(y1+y3+...+y2m+1)

(Hipótesis de inducción)

¿será cierta para n = m+ 1 ?

en efecto,

y2(m+1)+1) = y2m+1e−(y2(m+1)) por (4.1.2)

= y−1e−(y0+y2+...+y2m)e−y2(m+1) por la Hip. de inducción

33

= y−1e−(y0+y2+...+y2m)−y2(m+1)

= y−1e−(y0+y2+...+y2m+y2(m+1))

y2(m+1)+2 = y2m+2e−(y2(m+1)+1) por (4.1.2)

= y0e−(y1+y3+...+y2m+1)e−y2(m+1)+1 por la Hip. de inducción

= y0e−(y1+y3+...+y2m+1)−y2(m+1)+1

= y0e−(y1+y3+...+y2m+1+y2(m+1)+1).

Por lo tanto se cumple para todo n ≥ 0.

Proposición 4.1.2

Supóngase que {yn} es una solución de la ecuación (4.1.2) con y0, y−1 ∈ (0,∞) y seaγ > 0

(1) Si y−1 ≤ γey0(1− e−y0e−γ ) entonces lımn→∞ y2n ≥ y0

eγ

(2) Si y0 ≤ eγ−1eγ

ln(y−1

γ) entonces lımn→∞ y2n+1 ≥ γ


Si y−1 ≤ γey0(1− e−y0e−γ ) entonces

y−1e−y0 1

1−e−y0e−γ≤ γ (4.1.3)

y como∑∞

k=0(e−y0e−γ )k = 1

1−e−y0e−γentonces (4.1.3) implica que

y−1e−y0∑n

k=0(e−ky0e−γ ) < γ, para todo n = 0, 1, ... (4.1.4)

Ahora, para cada n ≥ 1 sea P (n) la proposición :y2n+1 < y−1e

−y0(1+ne−γ) y y2n+2 > y0e−(y−1e−y0

∑nk=0 e

−ky0e−γ

)

Se muestra por inducción que P (n) es verdadera para todo n ≥ 1:

P (1) es verdadera pues de (3.1.4) con n = 0 se tiene que

y1 = y−1e−y0 < γ con lo cual ey1 < eγ y así 1

ey1> 1

eγ⇔ y0e

−y1 > y0e−γ

es decir y2 = y0e−y1 > y0e

−γ y de ésto

y2(1)+1 = y3 = y−1e−(y0+y2) < y−1e

−y0(1+e−γ), (4.1.5)

la última desigualdad debibo a que −y0 − y−2 < −y0 − y0e−γ = −y0(1 + e−γ).

Ahora


y2(1)+2 = y4 = y0e−(y1+y3) = y0e

−y1e−y3 y como ey−3 > e−y−1e−y0(1+e−γ)

entonces e−y1e−y3 > e−y1e−y−1e−y0(1+e−γ ) pero y1 = y−1e−y0 , luego

e−y1e−y3 > e−y−1e−y0e−y−1e−y0(1+e−γ ) lo que implica

y2(1)+2 = y4 = y0e−y1e−y3 > y0e

−y−1e−y0e−y−1e−y0(1+e−γ )

= y0e−(y−1e−y0+y−1e−y0(1+e−γ ))

= y0e−y−1e−y0 (1+e−y0e

−γ); (4.1.6)

de (4.1.5) y (4.1.6) P (1) es verdadera.

Ahora supóngase que n ≥ 1 es un entero tal que P (n) es verdadera. Se muestra queP (n+ 1) es verdadera:

y2(n+1)+1 = y2n+3 = y2n+1e−y2n+2

< y−1e−y0(1+ne−γ)e−y2n+2

< y−1e−y0(1+ne−γ)e−y0e

−(y−1e−y0 ∑n

k=0 e−ky0e

−γ)

= y−1e−(y0(1+ne−γ)+y0e

(−y−1)e−y0∑nk=0 e

−ky0e−γ )

)

< y−1e−(y0(1+ne−γ)+y0e−γ)

= y−1e−y0(1+(n+1)e−γ).

Por otro lado,

y2(n+1)+2 = y2n+4 = y2n+2e−y2n+3

> y0e−(y−1e−y0

∑nk=0 e

−ky0e−γ

)e−y2n+3

> y0e−(y−1e−y0

∑nk=0 e

−ky0e−γ

)e−y−1e−(y0(1+ne−γ )+y0e−γ )

= y0e−y−1e−y0

∑nk=0 e

−ky0e−γ−y−1e

−(y0(1+ne−γ )+y0e−γ )

= y0e−(y−1e−y0

∑nk=0 e

−ky0e−γ

+y−1e−y0−y0ne−γ+y0e

−γ)

= y0e−(y−1e−y0

∑nk=0 e

−ky0e−γ

+y−1e−y0(1+(n+1)e−γ ))

35

= y0e−(y−1e−y0

[∑nk=0 e

−ky0e−γ+e−y0(n+1)e−γ

])

= y0e−(y−1e−y0

[∑n+1k=0 e

−ky0e−γ ]

).

Y así, P (n+ 1) es verdadera, por lo tanto P (n) es cierta para todo n ≥ 1.

De aquí que,

lımn→∞ y2n ≥ y0e−(y−1e−y0

∑∞k=0 e

−ky0e−γ

)

= y0e−y−1e−y0 ( 1

1−e−y0e−γ )≥ y0e

−γ = y0

eγ.


Si y0 ≤ eγ−1

eγln(y−1

γ

)entonces y0

11−e−γ ≤ ln

(y−1

γ

)lo que implica que

−y0 (1− e−γ)−1 ≥ −ln(y−1

γ

)y así

e−y0(1−e−γ)−1

≥ e−ln(y−1γ ) = eln(

y−1γ

)−1

= (y−1

γ)−1 = γ

y−1,

por lo cual y−1e−y0(1−e−γ)−1 ≥ γ.

Como∑∞

k=0(e−γ)k = 11−e−γ se sigue que

y−1e−y0

∑nk=0 e

−kγ> γ para todo n = 0, 1, ... (4.1.7)

Para cada entero n ≥ 1 sea P (n) la proposición:

y2n+1 > y−1e−y0

∑nk=0 e

−kγ y y2n+2 < y0e−(n+1)γ

Se muestra por inducción que P (n) es verdadera para n ≥ 1.

P (1) es verdadera, pues de (4.1.7) con n = 0 se tiene que

y1 = y−1e−y0 > γ y también y2 = y0e

−y1 < y0e−γ y de aquí

y2(1)+1 = y3 = y−1e−(y0+y2) > y−1e

−y0(1+e−γ) y

y2(1)+2 = y4 = y0e−(y1+y3) < y0e

−2γ.

Ahora supóngase que n ≥ 1 es un entero tal que P (n) es verdadera, y se comprueba


que P (n+ 1) es también verdadera.

y2(n+1)+1 = y2n+3 = y2n+1e−y2n+2 > y−1e

−y0∑nk=0 e

−kγ+y0e−(n+1)γ

= y−1e−y0

∑n+1k=0 e

−kγ

y

y2(n+1)+2 = y2n+4 = y2n+2e−y2n+3 < y0e

−(n+1)γ+γ = y0e−((n+1)+1)γ.

De aquí que,

lımn→∞ y2n+3 ≥ y−1e−y0

∑∞k=0 e

−kγ= y−1e

−y0(1−e−γ)−1

≥ y−1e−ln y−1

γ

= γ

completando así la demostración.

Conclusiones

1. De los siete casos presentados, tres fueron concluyentes a la hora de establecerla convergencia al punto de equilibrio y dos de ellos requirieron que la función gcumpliera al menos tres condiciones especiales, en todos los demás casos de estudioun máximo de dos condiciones fueron suficientes.

2. Tres tipos de comportamientos pudieron encontrarse: convergencia, no acotamientoy periodicidad de las soluciones y estuvieron sujetos a la naturaleza de los paráme-tros alfa y beta.

3. En los casos de convergencia, las condiciones iniciales pueden tomarse arbitraria-mente y no se afecta el comportamiento a largo plazo; dichas condiciones inicialespueden considerarse para efectos de velocidad de convergencia.

4. Para abordar una ecuación de recurrencia es de gran utilidad el componente compu-tacional que permite en principio visualizar comportamientos presentes; ésto posi-bilita establecer una conjetura que finalmente y ayudados por el rigor analítico y lateoría disponibles pueda convertirse en un teorema.

Anexos

Caso 3.1

En la figura 1 es α = β = 0,5 con condiciones iniciales x−1 = 0,1 y x0 = 0,2; puntode equilibrio x = 0,5 y la función g(x) = x. En la figura 2 es α = 1 y β = 0,25 concondiciones iniciales x−1 = 0,2 y x0 = 0,4; punto de equilibrio x = 0,64410 y la funcióng(x) =

√x.

Casos 3.3 y 3.4

En la figura 3 es α = 0 y β = 1,5 con condiciones iniciales x−1 = 0,4 y x0 = 0,75;lımn→∞ x2n = +∞ y x2n+1 → 0 y la función g(x) = x. En la figura 4 es α = 0,5 y β = 0con condiciones iniciales x−1 = 0,2 y x0 = 0,4; punto de equilibrio x = 0,3194 y la funcióng(x) =

√x.

Casos 3.5 y 3.7

En la figura 5 es α = 0 y β = 0,5 con condiciones iniciales x−1 = 0,1 y x0 = 0,2; ceroatractor global y la función g(x) = x. En la figura 6 es α = 1 y β = 1 con condicionesiniciales x−1 = 0,5 y x0 = 6; lımn→∞ x2n = 5,731 y lımn→∞ x2n+1 = 0,1745 y la funcióng(x) = x.

Caso 3.6

En la figura 7 es α = 0 y β = 1 con condiciones iniciales x−1 = 0,1 y x0 = 0,2;lımn→∞ x2n = 0,1043 y lımn→∞ x2n+1 = 0 y la función g(x) = x. En la figura 8 esα = 0 y β = 1 con condiciones iniciales x−1 = 0,5 y x0 = 0,12; lımn→∞ x2n = 0 ylımn→∞ x2n+1 = 0,0706 y la función g(x) =

√x.

El caso 3.6 y la función g(x) = ex − 1

En la figura 9 es α = 0 ; β = 1 y γ = 1 con condiciones iniciales y−1 = 4,05 y y0 = 2,03;0,9224 = lımn→∞ y2n ≥ 0,75 y lımn→∞ y2n+1 = 0 y la función g(x) = ex − 1. En lafigura 10 es α = 0 ; β = 1 y γ = 0,5 con condiciones iniciales y−1 = 1 y y0 = 0,27;0,5853 = lımn→∞ y2n+1 ≥ 0,5 y lımn→∞ y2n = 0 y la función g(x) = ex − 1.

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