COMPENDIUM PROVES PAU CCSS - Toomates · Este modelo de negocio es miserable, pues impide el...

COMPENDIUM PROVES PAU CCSS

Catalunya (1998 – 2020)

Amb les totes les solucions oficials

Gerard Romo Garrido

Toomates Coolección

Los documentos de Toomates son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser consultados

mediante un ordenador, tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los libros de

texto pueden ser digitales o en papel, gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras. Es más: Suele suceder que los mejores docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un

hecho. Lo que no es aceptable, por inmoral y mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales

pretenden cobrar a los estudiantes, una y otra vez, por acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una bajísima calidad). Este modelo de negocio es miserable, pues impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos,

pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet,

pretende pervertir el conocimiento, que es algo social, público, convirtiéndolo en un producto de propiedad privada, accesible solo a aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho del alumno de poseer

todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo el libro.

Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más injusto, es participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, en un mundo

en el que las modernas tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el

conocimiento sin coste alguno, con algo tan simple como es un archivo "pdf". El conocimiento no es una mercancía. El proyecto Toomates tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes de unos

materiales didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas

aumentando la calidad de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas comerciales. Este documento se comparte bajo una licencia “Creative Commons”: Se permite, se promueve y se fomenta cualquier uso,

reproducción y edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su procedencia. Todos los documentos

se ofrecen en dos versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” de MSWord para permitir y facilitar su edición y generar versiones parcial o totalmente modificadas. Se agradecerá cualquier observación, comentario o colaboración a

[email protected]

La biblioteca Toomates Coolección consta de los siguientes libros:

Bloques temáticos: Problem-solving Libros de texto (en catalán)

Geometría Axiomática pdf 1 2 ... 23

Problemas de Geometría pdf 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Introducción a la Geometría pdf doc

Teoría de números

pdf 1 2 3

Trigonometría pdf doc pdf doc

Desigualdades pdf doc

Números complejos pdf doc pdf doc

Álgebra pdf doc pdf 1 2 3 4

Combinatoria

pdf doc

Probabilidad

pdf doc

Guía del estudiante de Olimpiadas Matemáticas

pdf

Combinatòria i Probabilitat pdf doc

Estadística pdf doc

Funcions pdf doc

Geometria analítica pdf 1 2

Àlgebra Lineal 2n batxillerat pdf doc

Geometria Lineal 2n batxillerat pdf doc

Càlcul Infinitesimal 2n batxillerat pdf 1 2

Programació Lineal 2n batxillerat pdf doc

Recopilaciones de pruebas PAU:

Catalunya TEC , Catalunya CCSS , Galicia , Portugal A , Portugal B

Recopilaciones de problemas olímpicos y preolímpicos (España):

OME , OMEFL , OMEC , OMEM , Canguro , Cangur

Recopilaciones de problemas olímpicos y preolímpicos (Internacional):

IMO , OMI , AIME , Kangourou , AMC 8 , AMC12 (2008-2020) , SMT

Versión de este documento: 23/02/2021

Todos estos documentos se actualizan constantemente. ¡No utilices una versión anticuada! Descarga totalmente gratis la última

versión de los documentos en los enlaces superiores.

www.toomates.net

http://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAxiomatica.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAxiomatica01.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAxiomatica02.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAxiomatica23.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria1.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria2a.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria2b.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria3.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria4a.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria4b.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria5.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria6.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria7.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasBasicosGeometria.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasBasicosGeometria.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica1.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica2.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica3.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasTrigonometria.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasTrigonometria.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Desigualdades.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Desigualdades.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasNumerosComplejos.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasNumerosComplejos.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/NombresComplexos.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/NombresComplexos.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasAlgebra.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasAlgebra.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Algebra.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Algebra1.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Algebra2.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Algebra3.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Algebra4.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Combinatoria.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasCombinatoria.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Probabilidad.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Probabilidad.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Olimpiadas.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CombinatoriaProbabilitat.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CombinatoriaProbabilitat.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Estadistica.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Estadistica.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Funcions.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Funcions.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAnalitica.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAnalitica1.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAnalitica2.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/AlgebraLineal.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/AlgebraLineal.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaLineal.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaLineal.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Calcul.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Calcul1.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Calcul2.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/ProgramacioLineal.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/ProgramacioLineal.dochttp://www.toomates.net/biblioteca/Pautec.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Pauccss.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Galiciapau.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Portugal635.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Portugal735.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOME.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMEFL.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMEC.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMEM.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Canguro.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/Cangur.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumIMO.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMI.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumAIME.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumKangourou.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumAMC8.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumAMC12.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumSMT.pdfhttp://www.toomates.net/

Aquest document és la compilació del tots els documents “pdf” oficials de les PAU,

enunciats i solucions, agrupats en un únic arxiu amb l’aplicació www.ilovepdf.com

http://www.ilovepdf.com/

1 2 3 4 5 6 Enunciats Solucions

2AProblema funció Polinomi

descomposició

Geometria 2D TAE

82B

Problema exp Geometria 2D Estudi funció

polinòmica

Problema sistema 3

equ. 93A

Geometria 2D Matemàtica

financera

Geometria 2D Problema sistema 3

equ. 103B

Matemàtica

financera

Geometria 2D Àrea funcions Model funció

121A

Problema P.L. Geometria 2D Concepte Derivada Problema sistema 3

equ. 141B

Concepte funció Geometria 2D Matemàtica

financera

Problema

optimització 151A

Problema P.L. Geometria 2D Concepte primitiva Geometria 2D

161B

Matemàtica

financera

Funcions lineals Estudi funció

polinòmica

Sistema 2x2

paràmetre 17

3Inequacions 2D Àrea funció Màxim funció Geometria 2D Matemàtica

financera

Geometria 2D

19 226

Programació lineal Matemàtica

financera

Geometria 2D

(angle)

Primitiva funció Estudi funció

polinòmica

Problema sistema

equacions 21 X5

TAE Matemàtica

financera

Recta tangent exp Geometria 2D Estudi funció

racional

Geometria 2D

25 X2

Programació lineal Problema sistema Geometria 2D Estudi funció

racional. Asímptotes.

Matemàtica

financera

Recta tangent i àrea

26 X

1Estudi sistema 2D Geometria 2D

(angle)

Sistema inequacions

2D

Àrea funció

polinòmica

Progressió

geomètrica

Estudi funció

racional 29 336

Trigonometria Estudi funció

racional

Problema % Sistema inequacions

2D

Estudi funció

polinòmica

Geometria 2D

31 X2

Estudi sistema 3x3 Geometria 2D Àrea funció

polinòmica

Programació lineal Matemàtica

financera

Estudi funció ln

37 X5

Matemàtica

financera

Recta tangent Exp Problema % TAE Estudi funció

racional

Geometria 2D

39 X

1Programació lineal TAE Sistema 2x2

paràmetre

Àrea funció 2n grau Geometria 2D Problema exp

42 463

Funció 2n grau.

Extrems.

Àrea polinomis Recta paral·lela i

perp.

Progressió

geomètrica

Geometria 2D Matemàtica

financera 44 X2

Matemàtica

financera

Inequacions 2D Geometria 2D Recta tangent ln Problema % Funció polinòmica

49 X6

Geometria 2D Geometria 2D Primitiva TAE Funció racional Problema P.L.

51 53

2Matemàtica

financera

Recta tangent exp Recta paral·lela TAE Funció max Geometria 2D

57 615

Matemàtica

financera

Primitiva sinus Recta paral·lela i

perp.

Punts alineats Estudi funció grau 3.

Bolzano

Problema P.L.

59 X

SE

T

4Matemàtica

financera

Extrem local Recta paral·lela i

perp.

Concepte sistema 3

eq.

Problema

optimització

Problema P.L.

66 68

3Àrea gràfiques Problema sistema

3x3

Problema % Mat. Financera Problema funció Problema geometria

2D 72 762

Recta tangent Primitiva Punts alineats Mat. Financera Problema geometria

2D

Problema max.

74 X

SE

T

1Àrea funció 3r grau Rectes pla Sistema depenent

paràmetre

Problema % Extrem relatiu fun. 3r

grau

Problema P.L.

82 84

2Problema P.L.

Gràfica

TAE Àrea Rectes paral.

Perpend.

Estudi funció

polinòmica

Problema

trigonometria 91 955

Problema P.L.

Gràfica

Funció pol. Màx Problem geometria Trigonometria Mat. Financera Problema

optimització 93 100

SE

T

3TAE Programació lineal Recta tangent Sistema Concepte

2x2

Problema

optimització

Rectes

perpendiculars 106 108

3Problema P.L. Problema P.L.

Gràfica

Continuïtat f. Def

Tros

Concepte derivada Problema Sistema i

%

Problema P.L.

114 1181

Problema % Sistema paràmetre

Concepte

Programació lineal Concepte P.L. Recta tangent i

extrems polinomi

Problema

optimització 116 1224

Problema % Sistema 3x3 Paràm. Concepte derivada Extrem relatiu (2n

grau)

Problema P.L. Problema P.L.

126 128

SE

T

5Problema P.L.

Gràfica

P.L. Explícita Problema sistema

2x2

Estudi sistema 3x3 Estudi funció

racional

Estudi funcions

lineals 134 136

4Sistema equacions Programació lineal Recta tangent Funció racional Problema P.L. Problema Sistema

3x3 142 1461

Problema equació Matriu cíclica Funció max min log Programació lineal Funció racional.

Recta tangent

Problema P.L.

144 151

SE

T

3Problema

inequacions

Matrius 2x2 Recta tangent Inequacions

.S.Enteres

Problema max

funció

Problema P.L.

157 159

JU

NY

20

01

JU

NY

SE

TJU

NY

JU

NY

JU

NY

20

04

JU

NY

SE

T

19

98

19

99

19

97

JU

NY

20

02

20

03

SE

T

20

00

JU

NY

JU

NY

SE

T

20

05

1Recta tangent Matrius 2x2 Sistema 3x3

Paràmetre

Prog. Lineal

Concepte

Funció Problema Problema Pr. Lineal

165 1693

Sistema inequacions Pro. Lineal Sistema 3x3 Paràm. Continuïtat f a

trossos

Funció max. Problema Sistema

167 174

SE

T

4Estudi Funció Sistema Paràmetre Paral·lelogram Producte matrius Estudi funció def a

trossos, creix. I

decreix.

Problema P.L.

180 183

2Estudi sistema 2x2 Continuïtat f. A

trossos

Sistema inequacions Inequacions triangle Estudi funció

racional

Problema P.L.

191 1951

Programació lineal Problema sistema Programació lineal Funció màxim Estudi funció

racional

Problema Sistema

193 202

SE

T

3Recta tangent funció

racional

Sistema 3x3

Resolució

Programació lineal Inequacions

paral·lelogram

Estudi funció gràfica Problema Sistema

209 211

2Sistema inequacions Estudi funció exp Programació lineal Estudi sistema Problema sistema Problema funció

217 2215

Rectes pla Equació matricial Interior triangle Funció mínim Problema pr. Lineal Funció definida a

trossos visual.

Pendent

219 226

SE

T

4Estudi funció

racional

Problema sistema Programació Lineal Funció paràbola Estudi sistema Problema pr.lin.

233 235

4Inequacions sistema Descompte Funció racional Sistema paràmetre Sistema inequacions Problema funció

242 2503

Funció a trossos Programació lineal

explícita

Funció racional Sistema 2x2 param. Problema lineal Problema sistema

lineal 246 255

SE

T

1 Sistema

inequacions

Sistema lineal

concepte

Recta tangent Sistema 3x3 Programació lineal Funció polinòmica

261 263

1Funció asímptota Continuïtat.

Creixement i

decreixement

Problema sistema Funció mínim Inequació 2D Recta 2D

270 2784

Problema sistema Asímptota, recta

tangent

Funció exp Problema P.L. matrius 3x3 Funció màxim

274 2815

Sistema 3x3 Problema f min Programació lineal Funció racional Funció exp Matriu 2x2 inversa

276 284

SE

T

2Problema sistema f extrem f extrem Inequació 2D matriu 2x2 Funció asímptota

289 293

1Problema sistema Programació lineal

explícita

Funció extrem Matrius 2x2 Funció màx Funció exp

298 3024

Funció log Inequació 2D Matrius 2x2 inversa Continuïtat Sistema 3x3 Funció problema

300 305

SE

T

2Funció màx.

Polinòmica

Programació lineal Triangle 2D Problema max Matriu 2x2 inversa Funció polinòmica 3r

grau. Recta tangent 308 310

JU

NY

3Estudi funció

racional

Quadrilàter Equació matricial Optimització i

geometria 2D

max min funció

polinòmica

Problema sistema

314 316

SE

T

4Recta tangent Recta tangent Problema % Programació lineal Optimització Sistema matricial

325 327

4Funció creix decreix Sistema matricial

2x2

Max. Polinomi Problema funció

polinòmica

Programació lineal Recta tangent

332 3363

Problema % Funció max/min Potència matriu 2x2 Funció max/min Funció max/min

exponencial

Programació lineal

334 X

SE

T

1Funció creix decreix

exp

Problema sistema Problema % Sistema matricial

2x2

Programació lineal max min funció

polinòmica 343 345

JU

NY

3problema sistema

lineal

Derivada Funció derivada Equació matricial

2x2

Programació lineal Exponencial

derivada 350 352

SE

T

5Preu descompte Funció derivada

màx.

Funció exp derivada Problema sistema Programació lineal Funció rac. creix

decreix 359 361

JU

NY

2Problema funció Problema sistema Recta tangent funció

racional

Equació matricial

2x2

Derivada amb

exponencial

Programació lineal

365 367

SE

T

5problema sistema Problema

optimització

Derivada polinomi

2n grau

Derivada funció

racional

Sistema matricial

2x2

Desigualtats lineals

en el pla 372 374

JU

NY

3Funció màx. Estudi funció

racional

Sistema 3x3 Funció exp Problema sistema

3x3

Programació lineal

377 379

SE

T

1Problema sistema

3x3

Estudi de funció

racional

Paràbola Estudi sistema 3x3 Estudi funció

racional

Programació lineal

382 384

JU

NY

1Derivació,

creixement i decre.

Estudi funció

polinòmica

Matrius 2x2 Problema sistema

3x3

Problema de

programació lineal

Derivació amb funció

polinòmica 388 390

SE

T

2Problema de

programació lineal

Problema amb

funció polinòmica

Derivació funció

polinòmica

Problema sistema

3x3

Matriu cíclica Funció de segon

grau 397 405

JU

NY

1Matrius 2x2 Recta tangent amb

funció racional

Problema sistema

3x3

Problema de

programació lineal

Problema amb

funció polinòmica

Comportament infinit

f. racional 405 409

SE

T

3Continuïtat funció

definida a trossos

Problema de

programació lineal

Problema sistema

3x3

Derivació funció

racional

Matrius 2x2 Asímptotes funció

racional 419 421

JU

NY

JU

NY

20

16

20

11

20

09

20

06

20

14

20

15

JU

NY

JU

NY

JU

NY

JU

NY

JU

NY

Llei LOE

20

08

20

07

20

10

20

17

20

18

20

12

20

13

JU

NY

1Problema sistema

3x3

Matrius 2x2 Recta tangent Funció racional Problema de

programació lineal

Problema amb

funció polinòmica 427 429S

ET

5Problema matriu 3x3 Problema amb

funció polinòmica

Funció racional Problema sistema

3x3

Recta tangent Programació lineal

inversa 435 437JU

NY

1Problema sistema

3x3

Problema amb

funció polinòmica

Problema amb

funció polinòmica

Problema de

programació lineal

Inversa matriu 2x2 Funció racional

446 461

SE

T

4Inversa matriu 2x2 Derivada funció a

trossos

Problema de

programació lineal

Recta tangent f.

polinòmiques

Problema sistema

3x3

Problema amb

funció polinòmica 469 484

20

19

20

20

ANY 1997

JUNY

SÈRIE 2 PAAU. LOGSE MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS

OPCIÓ A

PROBLEMA

1. En una fàbrica de roba d’hivern actualment hi ha 3.000 abrics. Un comerciantestà disposat a quedar-se tots els abrics de la fàbrica al preu de mercat, queactualment és de 5.000 pessetes, però cada dia que passa aquest preudisminueix en 80 pessetes. La fàbrica produeix 100 abrics per dia. Calculeuquin dia (inclòs avui) és el millor moment per vendre els abrics al comerciant iobtenir el major valor possible, i quin és aquest valor.

[4 punts]

QÜESTIONS

2. Calculeu les arrels del polinomi P(x) = x 4 – 5x 3 + 5x 2 + 5x – 6 i descomponeu-locom a producte de quatre factors de primer grau. [2 punts]

3. Els campanars A, B, C de tres esglésies dels Pirineus estan alineats de maneraque la distància entre B i C és el doble de la distància entre A i B. Calculeu lespossibles coordenades de C en un cert sistema de coordenades en el qual A ésel punt (1, 0) i B el punt (3, 2). [2 punts]

4. En un banc ofereixen dues possibilitats als seus clients per cobrar elsinteressos. La primera consisteix en un 2,25% anual que s’ingressamensualment (això vol dir que el banc ingressa cada mes al compte del client ladotzena part dels interessos que li hauria de pagar a final d’any, a un 2,25%anual). L’altra possibilitat és un 2,4% abonat trimestralment (cada trimestre elbanc ingressa la quarta part dels interessos que hauria de pagar a final d’any, aun 2,4% anual). Quina de les dues opcions té TAE més alta? (Dit d'una altramanera, quina de les dues opcions és més avantatjosa per al client?) [2 punts]

OPCIÓ B

PROBLEMA

1. Un cultiu de bacteris en condicions favorables segueix un creixementexponencial. Això vol dir que si N0 és el nombre de bacteris en un instantdeterminat (que es pren com a instant inicial), el nombre de bacteris N quan hatranscorregut un temps t (comptat des de l’instant inicial) està determinat perl’expressió N = N0 ekt, on k és una certa constant que depèn de la població.Sabent que a l’instant inicial hi ha 10 milions de bacteris i que al cap d’una horase n’ha duplicat la població, digueu quin nombre de bacteris hi haurà quanhagin transcorregut 5 hores des de l’instant inicial. [4 punts]

QÜESTIONS

2. En el pla, donades les rectes d’equacions ax + by = c i a' x + b' y = c', expliqueucom es pot saber la seva posició relativa (si es tallen, si són paral·leles, sicoincideixen). Calculeu la recta paral·lela a la recta d’equació 2x + y = 4 quepassa pel punt (1, 1). [2 punts]

3. El perfil del tram de carretera corresponent als últims 2 km d’una etapa demuntanya del Tour coincideix amb la gràfica de la funció

y = 5100

(– x 3 + 3x 2 – x + 20) entre els valors x = 0 i x = 2. La figura

mostra aproximadament la forma d’aquest perfil (la figura no és a escala).Calculeu el punt d’aquest tram que té màxim pendent (allà on la carretera famés pujada). Digueu també quin és aquest pendent màxim.

[2 punts]

4. Durant tres dies seguits tres persones, A, B i C, surten de casa amb una certaquantitat de diners cadascuna (la mateixa tots tres dies) i aposten al canòdrom.El primer dia afirmen que A ha perdut el 10% del que portava, B ha guanyat el20% del que portava i C n'ha perdut el 50%. La suma algebraica de pèrdues iguanys (els guanys amb signe + i les pèrdues amb signe –) diuen que ha estatde 2.000 pessetes. El segon dia afirmen que A ha guanyat un 20% del queportava, B n'ha guanyat un 40% i C n'ha guanyat un 60%, i que la sumaalgebraica de guanys i pèrdues ha estat de 8.000 pessetes. El tercer diaafirmen que A ni n'ha guanyat ni n'ha perdut, que B ha guanyat el 60% del queportava, C n'ha perdut el 30%, i que la suma de guanys i pèrdues ha estat de6.000 pessetes. És possible creure el que diuen? Raoneu la resposta.

[2 punts]


OPCIÓ APROBLEMA

1. Dues vies de tren, 1 i 2, són perpendiculars entre elles i es tallen en el punt C,tal com indica el dibuix. A la via 1 hi ha la ciutat A i a la via 2, la ciutat B.Ambdues es troben a una distància de 100 km de C. Dos trens surtensimultàniament de A i de B en sentits AC i BC, i amb velocitats constants de30 km/h i de 50 km/h respectivament.

a) Quan el tren que va per la via 2 passa per C, a quina distància de C es trobal’altre tren?

b) Al cap de tres hores d’haver sortit, quines són les coordenades de lesposicions dels trens (si s'agafa com a origen i com a eixos de coordenadesels del dibuix) i quina és la distància entre ells?

c) Deduïu la fórmula de la distància d que separa els dos trens, en funció deltemps transcorregut des que han sortit.

d) En quin instant de temps la distància entre els dos trens és mínima i quinaés aquesta distància? [4punts]

QÜESTIONS

2. Tenim un compte d’estalvi al 5,75% d’interès anual. Fins ara el banc ensabonava els interessos a final d’any, però ara nosaltres voldríem que ensabonés els interessos trimestralment. Quin interès trimestral equivalent enshaurà de pagar el banc? Expliqueu detalladament el vostre plantejament.

[2 punts]

3. Donats els punts del pla A = (4, 0), B = (0, 1) i C = (2, 3), calculeu l’angle ABC il’àrea del triangle format pels tres punts. [2 punts]

4. El dilluns d’una certa setmana els articles A, B i C d’uns grans magatzems esrebaixen un 5%, un 6% i un 8% respectivament. El dimarts, en canvi, esrebaixen un 2%, un 8% i un 6% sobre el preu inicial (no sobre el preu rebaixatdel dilluns). Finalment, el divendres es rebaixen un 4%, un 7% i un 6% sobre elpreu inicial. Si se sap que un client que compra una unitat de cada un d’aquestsarticles cada un d’aquests dies s’estalvia 210 pessetes el dilluns, 210 pessetes

el dimarts i 210 pessetes el divendres, ¿quin és el preu per unitat d'aquestsarticles?

[2 punts]

OPCIÓ B

PROBLEMA

1. Una persona va obrir un compte d’estalvi el dia 1 de gener de 1994 a l’interès(compost) del 0,3% mensual. Va fer una imposició inicial de 60.000 pessetes.Des de llavors va anar ingressant 60.000 pessetes en aquest compte el dia 1 decada mes. El dia 1 de gener de 1996 ja no va ingressar les 60.000 pessetes,sinó que va treure tot el capital que tenia al compte. Amb el que va treure i unpréstec que li va concedir el mateix banc aquell mateix dia, es va comprar uncotxe de 2.300.000 pessetes. L’import del préstec va ser justament la quantitatque li mancava per arribar al preu del cotxe. El préstec era a l’1% mensual is’havia de tornar en 18 mensualitats del mateix import, la primera de les qualss’havia de pagar l’1 de febrer de 1996. Calculeu l’import de les mensualitats.

[4 punts]

QÜESTIONS

2. Calculeu l’equació de la recta r que passa pels punts (2, –1) i (1, 3). Quantesrectes hi ha que siguin paral·leles a r i distin 3 unitats de r? Escriviu l’equaciód’aquestes rectes.

[2 punts]

3. Dibuixeu el recinte del pla limitat per la paràbola y = x 2 – 1 i la recta y = x + 1, icalculeu-ne l’àrea.

[2 punts]

4. Un anunci lluminós està format per un panell de bombetes que es podenencendre i apagar. Està programat de manera que quan es posa en marxas’encén una bombeta al primer segon, dues bombetes més al segon segon,quatre bombetes més al tercer segon, i així successivament cada segons’encenen el doble de bombetes que al segon anterior. Mentrestant, cadasegon a partir del segon número 4 inclòs s’apaguen 10 bombetes.Escriviu la fórmula que ens dóna les bombetes que hi ha enceses a cadasegon, a partir del segon número 4. Apliqueu-la per dir quantes bombetesestaran enceses al segon número 10.

[2 punts]

ANY 1997

SETEMBRE


OPCIÓ A

PROBLEMA

1. En un magatzem hi ha 100 caixes de tipus A i 100 caixes de tipus B. Les detipus A pesen 100 kg, tenen una capacitat de 30 decímetres cúbics i tenen unvalor de 75.000 pessetes. Les de tipus B pesen 200 kg, tenen una capacitat de40 decímetres cúbics i un valor de 125.000 pessetes. Un camió pot carregar unpes màxim de 10 tones i un volum màxim de 2.400 decímetres cúbics. A més, lihan dit al xofer que el nombre de caixes de tipus A que carregués no fossuperior al doble de les de tipus B que carregués. Quantes caixes de cadamena ha de carregar el camió per tal que l’import de la mercaderia que portisigui màxim? [4 punts]

QÜESTIONS

2. Els punts B = (3, 4) i C = (1, 0) són vèrtexs d’un triangle isòsceles que té el tercervèrtex a la recta

x = 4 + λy = 1 + 3λ

Sigui A el tercer vèrtex. Sabent que AB i AC són els costats iguals, calculeu lescoordenades del punt A. [2 punts]

3. a) Expliqueu el concepte de derivada d’una funció en un punt. Doneu-ne unainterpretació geomètrica.

b) Si l’equació de la recta tangent a una corba y = f(x) en el punt (a, f(a)) és4x – 2y – 1 = 0, quin és el valor de la derivada de f(x) en el punt x = a?

[2 punts]

4. En Pere, en Joan i la Núria han fet un treball en comú. La Núria ha treballat eldoble d’hores que en Joan, i en Pere una hora més que els altres dos plegats.En total hi han dedicat 13 hores. Si entre tots han obtingut 8 punts, quantsd’aquests punts corresponen a cadascun amb relació a les hores que cada und’ells hi ha esmerçat? [2 punts]

OPCIÓ BPROBLEMA

1. Un excursionista acaba d’arribar al cim del Tossal de Prades. La gràfica que uspresentem ens indica la distància total acumulada que ha caminat des del peude la muntanya amb relació al temps transcorregut des de l’inici de l’excursió(es tracta d’un simple esbós de gràfica; per això no hem graduat els eixos).Tingueu en compte que l’excursionista sempre camina amb les mateixes ganes,o sigui que quan va més a poc a poc és perquè el desnivell és més fort i quanva més de pressa és perquè el desnivell és més suau.

a) Quin dels perfils de muntanya que es mostren en els gràfics 1 i 2 creieu quecorrespon a aquest Tossal? Expliqueu breument i clarament, en termes develocitat, quines són les diferents característiques de la funció que us hemdonat que us fan prendre la vostra decisió.

b) Si un cop dalt del cim decideix descansar un moment i tornar a baixar pelmateix camí per on ha pujat, completeu l’esbós del gràfic «distància totalacumulada – temps» de manera que reflecteixi l’excursió completa.Expliqueu clarament tot el que feu.

[4 punts]QÜESTIONS

2. Calculeu el punt d’intersecció i l’angle que formen les dues rectes d’equacions

y = 13

(x – 2) i y = 3 (x – 2) [2 punts]

3. Calculeu l'interès semestral que equival a un interès anual del 12% (percomptes d'abonar-me els interessos una vegada l'any, mel's abonen cada sismesos).

[2 punts]

4. Entre tots els rectangles d’un metre de diagonal, calculeu les dimensions (base ialtura) d’aquell que té àrea màxima. [2 punts]


OPCIÓ A

PROBLEMA

1. Una empresa fabrica dues classes de cargols, A i B. En la producció diària sesap que el nombre de cargols de la classe B no supera el nombre de cargols dela classe A més 1.000 unitats, que entre les dues classes no superen les 3.000unitats, i que els de la classe B no baixen de 1.000 unitats. Sabent que elscargols de classe A valen 20 pessetes la unitat i que els de classe B en valen15, calculeu el cost màxim i mínim que pot valer la producció diària, i digueuamb quants cargols de cada classe s’atenyen aquest màxim i aquest mínim.

[4 punts]

QÜESTIONS

2. Un vèrtex d’un paral·lelogram és el punt A de coordenades (3, 2). Dos dels seuscostats estan respectivament sobre les rectes r: 2x + 3y – 7 = 0 is: x – 3y + 4 = 0. Comproveu que A no està sobre les rectes r i s, i busqueu elsvèrtexs restants.

[2 punts]

3. Què vol dir primitiva d’una funció? Quantes primitives té una funció? Calculeu laprimitiva de f(x) = x 2 + 2x que passa per (1, 3).

[2 punts]

4. Busqueu tots els vectors v→

del pla que tenen mòdul 5 i que són perpendiculars

al vector a→

= (3, –4).[2 punts]

OPCIÓ B

PROBLEMA

1. No recordo quant temps fa que vaig posar 10.000 pessetes al banc a un interèscompost anual que ara tampoc no puc recordar. Aquest matí he anat al banc im’han dit que si ara retirés els diners em donarien 13.310 pessetes, però que siespero 2 anys me’n donaran 16.105,10. Calculeu l’interès anual que em pagael banc i els anys que fa que hi tinc els diners. Digueu també quin interèsmensual equivalent m’hauria de pagar el banc a partir d’ara si els demano quem’abonin els interessos cada mes.

[4 punts]

QÜESTIONS

2. Volem llogar un apartament a l’estiu. Una agència A demana 20.000 pessetesd’entrada per despeses diverses i 4.000 pessetes diàries. Una altra agència Ben demana 10.000 d’entrada i 5.000 cada dia. Dibuixeu en un mateix sistemade referència les gràfiques que donen el preu de l’apartament en funció delsdies, i digueu a partir de quants dies d’estada resulta més econòmica l’oferta del’agència A.

[2 punts]

3. Calculeu el valor dels coeficients a, b, c i d de la funció polinòmicaf(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, sabent que la seva gràfica té un màxim en el punt (0, 3)i un mínim en el punt (2, –5).

[2 punts]

4. Expliqueu què vol dir que un sistema d’equacions lineals sigui incompatible iquè vol dir que sigui indeterminat. Digueu si existeix algun valor de m per alqual el sistema següent sigui incompatible i si existeix algun valor de m per alqual sigui indeterminat:

mx + y = 0y – z = 0– x – z = 0

[2 punts]

ANY 1998

JUNY


A continuació trobareu l'enunciat de quatre qüestions i dos problemes. Heu derespondre només tres de les quatre qüestions i resoldre només un dels dosproblemes (podeu triar les qüestions i el problema que vulgueu).

QÜESTIONS

1. Dibuixeu la regió factible determinada per les desigualtats següents: x + y £ 1,3x – y £ 3, x ³ 0 i y ³ 0.Calculeu el valor mínim de la funció z = x – y en aquesta regió. [2 punts]

2. Trobeu l'àrea de la figura compresa entre la hipèrbola xy = 1, les rectes x = 1 ix = 4 i l'eix X, que està representada en el dibuix següent:

[2 punts]

3. Trobeu els nombres a i b de manera que la funció f(x) = ax 2 + bx tingui unmàxim en el punt (3, 9). [2 punts]

4. Considereu els punts A = (–1, 3), B = (5, 4), C = (4, 1) i D = (–2, 0). Comproveuque el quadrilàter ABCD és un paral·lelogram i calculeu-ne les coordenades delcentre (és a dir, del punt mitjà de qualsevol de les dues diagonals). [2 punts]

PROBLEMES

1. Una empresa ha de pagar a un proveïdor 250.000 pessetes el 10 de juny de1999, 1.000.000 el 10 de juny del 2002, 750.000 el 10 de juny del 2004 i500.000 el 10 de juny del 2005. El tipus d'interès anual compost és del 6%.a) Quant hauria de pagar per eixugar el deute en un pagament únic el 10 de

juny de 1998?b) Quin és l'interès mensual equivalent al 6% anual?c) Quant haurà de pagar per eixugar el deute en 36 pagaments mensuals del

mateix import, el primer dels quals seria el 10 de juliol de 1998 i l'últim el10 de juny del 2001? (Taxa anual equivalent = 6%).

[4 punts: 1,5 els apartats a) i c) i 1 l'apartat b)]

2. Considereu el parell de rectes donades per les equacions ax + (a + 2)y = a – 2 ix + ay = 3, on a és un paràmetre.a) Calculeu un vector director de cadascuna d'aquestes.b) Calculeu els valors de a per als quals les rectes són paral·leles.c) Calculeu els valors de a per als quals les rectes són perpendiculars.d) Calculeu la distància que hi ha entre les dues rectes quan a = 2.

[4 punts: 1 cada apartat]



QÜESTIONS

1. Dibuixeu la regió factible determinada per les desigualtats següents:

6x – y ≥ 5, y ≥ x, 4x + y ≤ 10

Calculeu el valor màxim de la funció z = x + y en aquesta regió. [2 punts]

2. Quin és l'interès trimestral equivalent a un 5,60% anual? [2 punts]

3. Comproveu que les rectes d'equacions

x – 3y = 1 – 3 i 3x – y = 3 – 1

es tallen en el punt (1, 1). Calculeu l'angle que formen. [2 punts]

4. Calculeu la primitiva de la funció f (x ) = 2xx 2 + 1

tal que la seva gràfica passi

pel punt de coordenades (1, 1). [2 punts]

PROBLEMES

1. En una fàbrica determinada, el cost de producció expressat en pessetes de xunitats d'un producte s'ajusta aproximadament a la funció

C(x) = x 3 + 16000, per a x ≥ 0

a) Feu un esquema senzill de la gràfica d'aquesta funció (només per a x ≥ 0).b) Trobeu la funció que representa el cost per unitat fabricada. Trobeu el cost

mínim per unitat fabricada.[4 punts: 2 cada apartat]

2. Una empresa fabrica tres models de cotxes: A, B i C. El model A ha de passar20 hores en la unitat de muntatge; el model B, 30 hores, i el model C, 10 hores.El model A ha de passar 10 hores a la unitat d'acabats; el model B, 20 hores, i elmodel C, 30 hores.En total s'han produït 14 cotxes. La unitat de muntatge ha treballat 370 hores i lad'acabats, 290 hores.Quants cotxes de cada tipus s'han produït? [4 punts]

Oficina de Coordinació i d'Organització de les PAAU a Catalunya Pàgina 1 de 2PAAU 1998

Pautes de correcció LOGSE: Matemàtiques aplicades a les ciències socials

SÈRIE 3

Avalueu cada pregunta en punts i mitjos punts, però no en altres decimals (ara bé, dins de cada pregunta podeuutilitzar altres decimals per als diferents apartats i arrodonir després la suma). Aquestes pautes no pretenen planificartots el casos que en la pràctica es poden presentar. En els casos en què les pautes siguin de difícil aplicació, feuprevaldre sempre el vostre criteri i el sentit comú.

Qüestions

1. Si dibuixen per separat cada una de les regions x + y ≤ 1, 3x - y ≤ 3, x ≥ 0 i y ≥ 0 s'adonaran que la intersecciód'aquestes quatre regions (regió factible) és el triangle de vèrtexs (0,0), (0,1) i (1,0). Els valors de la funció z enaquests vèrtexs són respectivament 0, -1 i 1. Com que el valor mínim s'assoleix sempre en un vèrtex, el valor mínimserà -1 (que s'assoleix en el vèrtex (0,1)). Aquesta qüestió val 2 punts. Si saben que el valor mínim s'assoleix en unvèrtex, compteu ja 1 punt, encara que s'equivoquin en el dibuix de la regió factible.

2.

Aquesta qüestió val 2 punts. Si saben que l'àrea és la integral , compteu ja 1 punt, encara ques'equivoquin a l'integrar.

3. Han d'imposar que f'(3) = 0 i que f(3) = 9. Com que f'(x) = 2ax + b, tindrem:

La solució és a = -1 i b = 6. La funció és f(x) = -x2 + 6x. No es pretén pas en aquesta qüestió que els alumnes facincap discussió sobre el fet que f'(3) = 0 comporta en aquest cas que f té un màxim en el punt d'abscissa x = 3. Aquestaqüestió val 2 punts. Compteu ja 1 punt si plantegen una qualsevol de les dues condicions f(3) = 9 o f'(3) = 0.

4. És paral∙lelogram ja que B - A = C - D = (6, 1). També es té C - B = D - A = (-1, -3). S'ha d'admetre també com aresposta correcta un dibuix ben fet del quadrilàter que indiqui quins són els costats paral∙lels. El centre és

Aquesta qüestió val 2 punts. Compteu ja mig punt si mostren (encara que sigui amb un dibuix) que el quadrilàter ésun paral∙lelogram.

Oficina de Coordinació i d'Organització de les PAAU a Catalunya Pàgina 2 de 2PAAU 1998

Pautes de correcció LOGSE: Matemàtiques aplicades a les ciències socials

Problemes

1. a) Si portem tots els pagaments al 10 de juny de 1998, tindrem un capital (en milers de pessetes):

C = 250(1+i)-1 + 1000(1+i)-4 + 750(1+i)-6 + 500(1+i)-7 .

Si posem x = 1/(1+i) = 1/1,06 = 0,943396, llavors la suma 250x + 1000x4 + 750x6 + 500x7 val 1889,19. Per tant el 10de juny de1998 hauria de pagar 1.889.190 pessetes.

b) Si designem per iM l'interès mesual equivalent (en tant per u), tindrem (1 + iM)12 = 1,06. O sigui, 1 + iM = =

1,00487. D'on iM = 0,00487, que és un interès del 0,487%.

c) Com a l'apartat a), designem per x = 1/(1+i) = 1/1,00487 = 0,9951536.

LLavors, si M indica la mensualitat que ha de pagar, tindrem

M(x + x2 + ∙ ∙ ∙ + x36) = 1.889.190

Com que

tindrem M = 1.889.190/32,9475 = 57.339,40 pessetes cada mes.

Els apartats a) i c) valen 1,5 punts cada un, i el b) val 1 punt. L'apartat b) ja és independent dels altres dos. Perresoldre c) es necessita a). Si un alumne s'equivoca a a) i fa c) correctament (amb la dada de a) equivocada), heu decomptar bé aquest apartat. En cada un dels tres apartats compteu la meitat de la nota pel planteig i l'altre meitat perla correcta resolució.

2.

a) (a + 2, -a) és vector director de la primera i (a, -1) és vector director de la segona (ells poden donarqualsevol múltiple escalar d'aquests vectors).

b) Per tal que siguin paral∙leles, els vectors directors han de ser proporcionals. ((a + 2)/a) = (a/1). D'on a =-1 o bé a = 2.

c) Si imposem que el producte escalar dels dos vectors directors s'anul∙li, ens queda (a + 2)a + a = 0. D'ona = -3 o bé a = 0.

d) Si a = 2 les dues rectes són 2x + 6y = 0 i x + 2y = 3. La primera conté l'origen. La distància de l'origen a

la segona recta és .

Cada un d'aquests apartats val 1 punt. Els heu de valorar de manera independent, com si es tractés de quatre petitesqüestions. Encara que b) i c) depeguin del resultat de a), si fan bé b) i c) partint d'un resultat incorrecte de a),vosaltres els hi heu de comptar bé.

ANY 1998

SETEMBRE



QÜESTIONS

1. Una caixa d'estalvis ens ofereix un interès del 2,4% anual, però pagatmensualment. O sigui, cada mes ens dóna un 0,2% del capital dipositat. Quinaés la taxa anual equivalent (TAE) d'aquesta operació? [2 punts]

2. Una noia té un préstec d'1.000.000 de pessetes al 7% d'interès compost anualdurant 6 anys. Quina anualitat ha de pagar? [2 punts]

3. Escriviu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) = e3x en el punt(0, 1). [2 punts]

4. Trobeu les coordenades del punt simètric de P = (3, –4) respecte a la recta2x – 3y + 6 = 0 (el punt simètric de P respecte a la recta r és el punt P', que té lapropietat que la recta determinada per P i P' talla perpendicularment r en elpunt mitjà del segment PP' ). [2 punts]

PROBLEMES

1. Considereu la funció

f (x ) = x2 – x

8x 2 + 1

Busqueu-ne el domini de definició, els límits quan x → +∞ i quan x → –∞, lesasímptotes, els punts de tall amb els eixos, els intervals de creixement idecreixement, i els màxims i mínims locals. Feu després un dibuix aproximat dela seva gràfica. [4 punts]

2. Un triangle ABC té els vèrtexs A i B situats respectivament en els puntsde coordenades (1, 3) i (3, 1). El vèrtex C està situat sobre la recta d'equació2x – y = 4. Sabent que el triangle ABC és isòsceles i que AC i BC són elscostats iguals, trobeu les coordenades de C i l'àrea del triangle. [4 punts]



QÜESTIONS

1. Dibuixeu la regió factible del pla determinada per les desigualtats següents:y ≥ 1, x + 2y ≤ 6, x – y ≥ 0.Calculeu el valor màxim que pren la funció z = 2x + y en aquesta regió. [2 punts]

2. Si un milió de votants de l'esquerra haguessin votat la dreta, totes duescoalicions haurien obtingut el mateix nombre de vots. Però si, contràriament, unmilió de votants de la dreta haguessin votat l'esquerra, aquesta hauria obtingutel triple de vots que aquella. Quants vots ha obtingut cada coalició? [2 punts]

3. Sigui rv el vector de components (1, 0). Considereu els punts del pla que tenen

per coordenades A = (–2, 9) i B = (4, 7).a) Calculeu els components del vector

ru , que va del punt A al punt B.

b) Calculeu el valor del producte escalar ru ·

rv .

c) Calculeu el valor de l'ordenada x del vector r

w = (2, x ), de manera que elvector

ru + 3

rv sigui perpendicular al vector

rw .

[2 punts: 0,5 els apartats a) i b) i 1 l'apartat c)]

4. Trobeu les equacions de les asímptotes verticals i obliqües de la funció

g(x ) = x3 – 5x 2

2x 2 – 18[2 punts]

PROBLEMES

1. He obert un compte corrent en un banc i he oblidat quin interès anual m'han ditque em donarien. Recordo, però, que m'han comentat que un capital qualsevolC ingressat al banc a aquell interès, al cap de dotze anys s'hauria duplicat.a) Quin interès compost anual em paguen?b) Quin seria l'interès mensual equivalent?c) A partir de demà, dia 18 de juny de 1998, penso ingressar 10.000 pessetes

cada mes a l'interès mensual anterior. Quant tindré el dia 18 de juny de1999 abans de fer l'ingrés corresponent a aquell dia?

[4 punts: 1 els apartats a) i b) i 2 l'apartat c)]

2. a) Escriviu l'equació de la recta tangent a la paràbola y = x 2 en el puntd'abscissa x = 1.

b) Calculeu l'àrea de la regió que limiten la tangent i la corba anteriors per a xentre 0 i 1.

[4 punts: 1,5 l'apartat a) i 2,5 l'apartat b)]

ANY 1999

JUNY


Curs 1998-99


QÜESTIONS

1. Considereu el sistema d'equacions lineals

ax – y = 2 – a2x – (a + 1)y = 2

on a és un paràmetre. Per a quins valors de a el sistema és compatiblei determinat? Per a quins valors és compatible i indeterminat? Per a quinsvalors és incompatible? [2 punts]

2. Escriviu l'equació de les dues rectes que passen pel punt (3, 2) i formen unangle de 45o amb l'eix de les x tal com s'indica en el dibuix següent:

[2 punts]

3. Dibuixeu la regió del pla formada pels punts (x, y) que compleixen lesdesigualtats següents:

x ≥ 0y ≥ 0

x + y ≤ 22x + y ≥ 1

(Expliqueu detalladament per què el dibuix que heu fet correspon a la regiódemanada.) [2 punts]

4. a) Dibuixeu la gràfica de la funció y = –x 2 + 5x – 6.b) Calculeu l'àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció anterior i l'eix de

les x. [2 punts]

PROBLEMES

1. Es deixa caure una bola de goma des d'una altura de 243 metres. Cada vegadaque toca a terra rebota i recorre cap amunt una distància igual a les duesterceres parts de l'altura des de la qual ha caigut l'última vegada.

a) De quina altura ha caigut la bola quan ha tocat a terra per sisena vegada?b) Quina distància ha recorregut des que s'ha deixat caure fins que ha

tocat a terra per sisena vegada?[4 punts]

2. Considereu la funció

f (x ) = x2 + 4x + 4

x 2 + 1

Trobeu el domini de definició, els punts de tall amb els eixos, les possiblesasímptotes, els intervals de creixement i decreixement, així com els possiblesmàxims i mínims. Feu després un esquema senzill de la gràfica d'aquestafunció. [4 punts]


Curs 1998-99


QÜESTIONS

1. La hipotenusa d'un triangle rectangle és el triple que un catet. Busqueu el valordels angles d'aquest triangle i la relació entre la hipotenusa i l'altre catet.

(Useu calculadora per a les raons trigonomètriques. Si no, podeu deixar lesoperacions indicades.) [2 punts]

2. Digueu raonadament quin és l'interval de creixement de la funció

y = xx 2 + 1

[2 punts]

3. Una màquina d'una fàbrica perd cada any un 20% del seu valor. Quan la vancomprar va valer 40 milions de pessetes. Per quan es valorarà al cap de10 anys de funcionament? [2 punts]

4. a) Escriviu l'equació de les tres rectes del pla que limiten la regió puntejada deldibuix.

b) Escriviu les tres desigualtats que determinen aquesta regió.

[2 punts]

PROBLEMES

1. Una empresa que fabrica un determinat producte ha observat experimentalmentque la venda de x milers d'unitats diàries d'aquest producte li produeix unsingressos en milions de pessetes donats per la funció següent:

I (x ) = – 1154

x 2 + 235108

x – 2827

2 ≤ x ≤ 5

Així mateix el cost de fabricació de x milers d'unitats diàries del producte el dóna(també en milions de pessetes) la funció

C(x ) = 34

x + 1 2 ≤ x ≤ 5

Determineu quants milers d'unitats hauria de fabricar d'aquest producte perobtenir un benefici màxim. [4 punts]

2. Els punts A = (1, 2) i D = (5, 4) representen els vèrtexs oposats d'un quadrat, talcom s'indica a la figura.

a) Calculeu el punt mitjà M de la diagonal AD del quadrat (M serà el centre delquadrat).

b) Escriviu l'equació de la recta que passa per M i és perpendicular a ladiagonal AD (aquesta recta serà l'altra diagonal del quadrat).

c) Calculeu les coordenades dels altres dos vèrtexs B i C del quadrat.[4 punts]

�� !�"$#�%'&(#*)�+�,$,�#�)�)�-�.+��/ 0 1 2�3 254 0 670�879 3 : 2�;=< 0�3 ;>8�2�;=< ?�@7A(@ < B C ?�8�2�;=< ? D 873 9 �C�;�C�3 ;50 1 < 9 3 ?�6�3 4 @ A>0 1 ?�E 0 9 0�F�G3 D 6�@ ;�?�6�34 0 670�879 3 : 2�;=< 0�87C=6�3 252�< @ 1 @ < H 0 9�0 1 < 9 3 ?�6�3 4 @ A>0 1 ?�873 9�0 1 ?�6�@ I 3 9 3 ;=< ?�0 870 9 < 0 < ?J@70 9 9 C=6�C ;�@ 9�6�3 ? 879=G3 ?1 0�? 27A>0 K LJ��M=2�3 ? < 3 ?�870 2�< 3 ?�;�C�879 3 < 3 ;�3 ;>8�1 0 ;�@ N74 0 9�< C < ?J3 1 ?�4 0 ? C ?�M=2�3�3 ;>1 0�879 �0 4 < @ 4 0�3 ?�87C=6�3 ;879 3 ? 3 ;=< 0 9 L�O�@$P70 279 �0>A(C 1 < ?�4 0 ? C ?�4 C ;�4 9 3 < ? D�6�C ;�4 ? D�3 ;QM=2 �3�? 3 9 �0�6�@ I GR 4 @ 1�0 8�1 @ 4 0 9�3 1 ?�4 9 @ < 3 9 @ ?�M=2�3? S 3 T=87C ? 3 ; 054 C ;=< @ ;=270 4 @ GC7L5��8�1 @ M=2�3 2=U 1 C ?53 ;V3 1 ?(4 0 ? C ?�4 1 0 9 ? LQ��;V3 1 ?�4 0 ? C ?�3 ;VM=2 �3(1 3 ?(870 2�< 3 ?? @ : 2�@ ;�6�3�6�@ I GR 4 @ 1�0 8�1 @ 4 0 4 @ GC7D�I 3 2�879 3 / 0 1 679 3�? 3 A(879 3�3 1�/ C ? < 9 3�4 9 @ < 3 9 @�@�3 1�? 3 ;=< @ a�b=c�adb�egf�D$3 1�M=270 1�? S 0 ;=2�1 h 1 05873 9�0QbQi*�(@�b�ija�f�L�J3 9�< 0 ;=< D 873 9�0�b(6�@ I 3 9 3 ;=0�G3 ?�4 C=A(870 < @ F�1 3�@76�3 < 3 9 A(@ ;70 < L��270 ;�b(i�� D=3 1$? @ ? < 3 A>0(M=2�3 670�I C=9 A>0 M�o2�3 ? < @ GC7D$4 C=A(8�< 3 2=U ;�3�B 0>2�;�? @J0 9 9 @ F73 ; 0>6�3 < 3 9 A(@ ;70 9�3 1 ?6�C ?�/ 0 1 C=9 ?�6�3�b>873 9�0 1 ?�M=270 1 ?�3 1�? @ ? < 3 A>0 G3 ?�? @ ;�: 2�1 0 9 Lf�L �� F=/=@ 0 A(3 ;=0 ;�3 ;5?7GC ;Ql�aQf�i'k�aQq�@�l�aQf�i�a�E k�aQq K D M=2�3 D< C l�i'k>aW��@�l(i�a�k�eWr�L��C=A(8�< 3 2�2�;V8�2�;=4 0 670Q9 3 4 < 0�D$4 C=A(8�< 3 25B 0QA(@ :Q8�2�;=f k�eWl(i��< 0 1 1 0>3 1 ?�3 @ T=C ?�3 ;�3 1 ?�8�2�;=< ?�sginE � t f�u=v K�@JwninE v�u7� K L��059 3 4 < 0k�e�l�i'f�< 0 1 1 0�3 1 ?�3 @ T=C ?�3 ;53 1 ?�8�2�;=< ?�xiyE f�u�v K�@7ziyE v�u�f K LJ��M=2�3 ? < ?�?7GC ;>3 1 ?�M=270 < 9 3/ �3 9 < 3 T=?�6�3�1 0>9 3 : @ GC(I 0 4 < @ F�1 3 L

s xzw

��1 ?�0 1 27A(;�3 ?�P70 279 @ 3 ;(6�3�B 2�? < @ N74 0 9�6�S 0 1 : 2�;70�A>0 ;�3 9 0�873 9�M=2 �3�0 M=2�3 ? < 05G3 ?�1 0�9 3 : @ GC�I 0 4 < @ F�1 3 L�JC=679 @ 3 ;�6�@ 9 D7873 9�3 T=3 A(8�1 3 D7M=2�3�1 059 3 : @ GC5k�eWl5{Wf(4 C=9 9 3 ? 87C ;�0 1 ?�8�2�;=< ?�6�3 1�6�@ F�2�@ T�M=2�34 0 2�3 ;5873 9�? C < 0�6�3�1 0(9 3 4 < 0�k�e�l�i'fQE 873 9 M=2 �3�1 S C=9 @ : 3 ;�D=873 9�3 T=3 A(8�1 3 D�4 C=A(8�1 3 @ TQ0 M=2�3 ? < 06�3 ? @ : 270 1 < 0 < K D$M=2�3>1 0Q9 3 : @ GC�f k(egl�|y�(4 C=9 9 3 ? 87C ;V0 1 ?�8�2�;=< ?�6�3 1�6�@ F�2�@ TVM=2�3(4 0 2�3 ;V873 9�

} ~ 7 �� 5 > �W(y � �$ 7>� 7( �=7 } ~ � �} 7 ~Q=��7 ( � ~= ~=� 7 �=�� 7(�(} �� =� } }� ~ �}� � � ��~=(� (�Q��=�} $� �� = V�� }�� }� }�� =7 ~ �}��d('(� �d(� = � =�(�~� � 5� �� Q ~7�=�� = �( =� } 5 ~7$ � �� }$ =} �7 ~��~5 �} 7=� d7 (=�> �} � �� d ~= } 7~ dQ V ~�� > 7 7� ~=(� V (��= } ¡ ¢ £Q¤� 7(�5 =�¥J7>�(� �� 5= 7 >�( 57 7~ 55n¦�7§�g 5¦ ¨�7 ~ �� =�=�� > Q�� }�Q7 �>5'(�5'©�7£�¤� (=�� }�� > 7 }ªQ«§�¬ ¦� § d >¦ ¨ £ =(¯® ¦ «© 7§ ¦V¨ =° « § � ± ¨�~=(� Q�Q��=�7 �� Q7 Q² ¬ �5 }� = } ~ �}�>'(�5'© £�$�� =�7 � > = = ³(´=µ�¶�· ¸7¹g¸7º ¢ £Q»�7 V7Q� �7 �7 ( Q = 7�5 57Q �� }(�5 ¡ ©QQ>»�7 V7� (7 �} ~ 75 = 7Q7Q �� }(� ¬ ± © £�¼ ¡ ©QQQ»�7 7Q� (7 } } 7> = 7�7 7 ( �� }�� ¬ ± © £ ½�¼� ¡ ©�¾© Q7£ ¡ ©�W�¼y® © ¼� ¡ ©�g¿ ¿ ¿ jÀ ©$Á ½ ¼� ¡ © °>' ¡ ©�W5Â © '¿ ¿ ¿ jÀ ©$Á ½ Ã ¼� ¡ ©¾Â$�d(¼'À ©$Á �¦ ¬ ± © £ ½�¦ ¬ ± © £ Ã ¼� ¡ ©�� Ä Å Æ(( }�~=(� �(��= }�7 � 7 �Ç�Q 7 �7£� }�7~ �² � >} 7>(� }� ( }�� È ( = } �} � � � �² ~= �� } 7>�� 7�7 ~ = } } ~7�Ç�( 7 � £ ��} 7(� }�7~ } ��~ 7 � Q} ~ � ~� ~ � ¬ ± © £ É�¼V ¡ ©��Ç�V 7 �7£�7~ } ��~ �7 > > ~=(� � ��~ � � ~= �� 7 � J=��² � �7~ ��Ê�~�7 7 Ë = � =� } � ��}�� ~= } ¬ � = j( 5��=� = � ~ }��~ } £ ��Ç��~=( ��>� 7� ~ }� ~ � ��> }(�7 =�( �� ~=( 7 �~=��~Q} =� Ì 5> Ç��=7( �~=�} =� Ì (=7 �5�¦��Í�=� } �} ( �� (��=� �=�� >= 7 ( �Q }5�V�~=¾=�QÎ ¬ Ä £( ¡ J �= 7 � � d�5 }5�7 >�V ¡ V¤�� 7V }�Î7Ï ¬ 7£�' ¬ ¦� § ¦5© �� £ ± ¬ § V £ § �Ç�7=7( �~=�} =� Ì �7 ��5�¦��5 ± ��~=y=��Î Ï ¬ Ä £� ¡ = �� 7 }�7~ } > = (¦�� ± �JÍ�=�¥$ �² �� ~} 5 = = >Í�J ~ = ( = $7 �QdÐy¦�Q 5² �� ~� }�� = =��7 �Q Ñn ± �� Ò> =�¥$ }�� Q=��5�¦�� ~= } 7~ ��Q¥ � n�5� ± �(�Q� = QÓ 7 ( =� > >(�� }� } ¥ (� ~ ��~= Ë ~ =

x

yÔ

Õ�Ö=×(Ø�Ù Ú Û>×(Ü Ý�Ø�Û�Þ=Ù�Ø7Ú ß�à�Ö=×(Ü Þ�Ü7à�Ú�à�Ú á7Þ�Ü â Ü ãÖ7ä�×(Ü Ý�Ø�Û�Þ=Ù�Ø7Ú ß å�Ø�Û�Þ=Ù å�à�Ú�Ù æ ß ß7æ ×�ç(Ú ß å�Ú Ü è=Ö å äé Ø�Û�Þ=Ù�Ø7Ú ê�ß ë æ å ãì ×(Ø�Ù Ö Ù æ�ä é ä í�Ø�Û�Þ=Ù å�Ø7Ú ß å�Ü Þ=Ù Ú ê î æ ß å�à�Ú�â ê Ú Ü è=Ú ×(Ú Þ=Ù�Ü$à�Ú â ê Ú Ü è=Ú ×(Ú Þ=Ù ä7Ü�Ø7Ú ß å×�ïæ è=Ü ×(å�Ü$×Qãì Þ�Ü ×(å ð�ñ�ß7à�Ü ç�Û�Ü èQà�Ú�ß æ�Ý=ê ïæ á7â æ�å ë ò7æ�à�Ú�â Ö=ê ê Ú å Ø7Ö Þ�à7ê Ú�æ ×�ç>ß ë æ ÞJïæ ß Ü å ÜJæ Þ=Ù Ú ê Ü Ö=êó Û�Ú>ò7æ Ý Ü Þ�ô Ú Ù ð�Õ�Ö=×(Ø�Ù Ú Û�Þ�Ö=× ãÚ å�×(Ü ÝQØ�Û�Þ=Ù�Ø7Ú ê�æ ó Û�Ú å Ù�à�Ü ç�Û�Ü ègõ ×(Ú Þ=Ù ê Ú�å Ü Ý Û�Ü�â Ö ò�Ú ê Ú Þ=Ùæ ×�çQÚ ß ó Û�Ú�ò7æ Ý Ü ÞQô Ú Ù�æ ç7æ Þ�å ö ð

÷

ANY 1999

SETEMBRE


Curs 1998-99


QÜESTIONS

1. Quins valors del paràmetre a fan que el sistema següent sigui compatible ideterminat? Hi ha algun valor per al qual sigui compatible i indeterminat?

2x – 3y + 5z = 36x – y – z = 4

y + az = 1

[2 punts]

2. a) Considereu el triangle de vèrtexs A = (2, 1), B = (4, 3) i C = (0, 3). Dibuixeu-lo.Comproveu després per algun raonament matemàtic (no només gràfica-ment) que és un triangle rectangle.

b) Calculeu la seva àrea.[2 punts]

3. Calculeu l'àrea de la regió limitada per la gràfica de la funció y = –x 4 + x i l'eixde les x que està representada en el dibuix següent:

[2 punts]

4. Representeu gràficament la regió factible determinada per les desigualtatssegüents:

x ≥ 0y ≥ 0

x + y ≥ 54x + 3y ≤ 30

Calculeu la solució que fa mínima la funció objectiu z = x + 2y sotmesa a lesrestriccions anteriors.

[2 punts]

PROBLEMES

1. Una persona vol comprar un cotxe que val 2.500.000 pessetes. Paga 750.000pessetes al comptat i finança la resta a quatre anys i a un interès compost del8% TAE.

a) Si paga en quotes anuals (la primera al cap d'un any d'haver pagat les750.000 pessetes), quant ha de pagar cada any?

b) Quina és la taxa mensual equivalent a un TAE del 8%?c) Si paga en quotes mensuals, quant ha de pagar cada mes?

[4 punts: 2 punts l'apartat a), 1 el b) i 1 el c)]

2. Considereu la funció y = ln x (on ln indica el logaritme en base e).

a) Determineu el seu domini de definició. Poseu en evidència que aquestafunció és creixent en tot el seu domini.

b) Feu un esquema senzill de la seva gràfica tot indicant els límits de la funcióquan x → ∞ i quan x → 0.

c) Escriviu l'equació de la recta tangent a la gràfica d'aquesta funció en el puntd'abscissa x = 1.

d) Escriviu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció en el puntd'abscissa x = a i determineu a per tal que aquesta recta sigui paral·lela ay = 2x.

[4 punts]


Curs 1998-99


QÜESTIONS

1. Una persona decideix l'1 de gener de 1998, amb 55 anys d'edat, fer-se un plade pensió per poder completar la jubilació que li correspondrà quan faci els 65anys. Al començament de cada any diposita un capital de 400.000 pessetes il'entitat financera li garanteix un interès compost anual del 6%. Quin capitalrecuperarà l'1 de gener del 2008 després d'haver fet l'última imposició l'anyanterior? [2 punts]

2. Escriviu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció y = ex en el punten què aquesta gràfica talla l'eix de les y. [2 punts]

3. Una persona ha comprat dos productes en unes rebaixes. La suma de preusdels dos productes abans de rebaixar era de 5.000 pessetes. Al primer li hanaplicat una rebaixa d'un 10% i al segon una rebaixa del 20%. Si la persona hapagat 4.300 pessetes per tots dos, digueu quant valia cada un dels dosproductes abans de les rebaixes. [2 punts]

4. Teniu un cert capital en un compte bancari en el qual cada quatre mesos usabonen uns interessos d'un 2% d'aquest capital. Quina és la TAE d'aquestcompte bancari? [2 punts]

PROBLEMES

1. Representeu gràficament la funció

f (x ) = 1x 2 – 5x + 4

de manera raonada (domini de definició, asímptotes, intervals de creixement idecreixement, màxims i mínims...). [4 punts]

2. Considereu el rectangle del pla representat en el dibuix (recordeu querectangle és un quadrilàter en què els quatre angles són rectes).

a) Sabent que les coordenades de A són (0, 0) i les de B són (3, 4), calculeu lalongitud del costat AB.

b) Escriviu l'equació de la recta determinada per C i A.c) Determineu les coordenades del vèrtex C sabent que la longitud del costat

CA és doble de la del costat AB.d) Calculeu les coordenades del vèrtex D.

[4 punts]

ANY 2000

JUNY


Curs 1999-2000


QÜESTIONS

1. Dibuixeu la regió del pla determinada per les desigualtats

2x + y ≤ 24x + y ≥ 0

y ≥ 0

Calculeu després el màxim de la funció z = x + y en aquesta regió. [2 punts]

2. Raoneu quin dels dos procediments financers següents és més favorable per al'inversor i calculeu quina diferència hi ha entre els capitals acumulats.

a) Ingressar 300.000 pessetes a un interès simple del 8% anual durant10 anys.

b) Ingressar 300.000 pessetes a un interès compost del 7% anual durant10 anys, amb acumulació d'interessos cada any.

[2 punts]

3. Calculeu el valor de a que fa que el següent sistema d'equacions lineals siguiincompatible:

2x + ay = –a + 5ax + 8y = 2

[2 punts]

4. Donada la funció f(x) = x 2 + a, amb a > 0, calculeu el valor de a que faci quel'àrea determinada per la gràfica de la funció, l'eix d'abscisses i les rectes x = 0 ix = 3 valgui 27.

[2 punts]

PROBLEMES

1. D'un rombe ABCD coneixeu les coordenades de tres vèrtexs. A és l'origen decoordenades, B = (4, 1) i D = (1, 4).

a) Calculeu les coordenades del quart vèrtex C.b) Comproveu analíticament que les diagonals són perpendiculars i que es

tallen en el seu punt mitjà.

[4 punts]

2. Fa quatre anys es va repoblar un llac amb una nova espècie de peixos. Llavorses van introduir 100 exemplars d'aquesta nova espècie. Actualment s'estimaque hi ha 25.000 exemplars. S'estima que el nombre N de peixos ve donat enfunció del temps t per la funció N = AeBt , on A i B són dues constants. El temps tes considera expressat en anys des del moment de la repoblació. Quant tempshaurem d'esperar perquè hi hagi 200.000 exemplars? [4 punts]


Curs 1999-2000


QÜESTIONS

1. Una entitat financera llança al mercat un pla d'inversió, la rendibilitat R(x) delqual, en milers de pessetes, ve donada en funció de la quantitat x ques'inverteixi, per mitjà de l'expressió següent:

R(x) = –0.001x 2 + 0.5x + 2.5

a) Deduïu raonadament quina quantitat de diners li convé invertir a un clienten aquest pla per obtenir rendibilitat màxima.

b) Quina rendibilitat obtindria en aquest cas? [2 punts]

2. Calculeu l'àrea de l'únic recinte tancat limitat per les gràfiques de les funcionsy = 8x i y = x 4.

[2 punts]

3. Determineu el valor de a perquè la recta x – 2ay = 1 i la recta x + 3y = 8 siguin:

a) paral·lelesb) perpendiculars

[2 punts]

4. Un concurs de televisió consisteix a proposar al concursant una successió depreguntes fins que dóna una resposta incorrecta i queda eliminat. Els premisper a cada resposta s'acumulen i són d'una pesseta per la primera, dues per lasegona, quatre per la tercera i així successivament en progressió geomètrica deraó 2.

a) Si responem deu preguntes correctament, quants diners aconseguirem?b) Quin és el nombre mínim de preguntes que cal respondre per aconseguir

un milió o més?[2 punts]

PROBLEMES

1. Considereu dos eixos perpendiculars de coordenades. Considereu els punts Oi A de coordenades O = (0, 0) i A = (9, 12). Una persona situada al punt O iniciaun viatge en línia recta cap a A.

a) Quina distància haurà de recórrer per anar de O a A?b) Escriviu l'equació de la recta que haurà de seguir per anar de O a A.c) Digueu quines seran les coordenades del punt P on es trobarà la persona

quan hagi recorregut la tercera part de la distància de l'apartat anterior(sempre sobre la recta que uneix O amb A).

d) Si després d'haver recorregut el segment OP, quan arribi a P decideixdirigir-se cap al punt Q = (7, 1), quin angle haurà de girar cap a la dreta?(Angle respecte a la trajectòria OP que havia seguit fins ara.)

[4 punts]

2. El dia 15 d'abril del 2000 em van deixar 6.000 euros a un interès compost anualdel 8%. Haig de tornar aquest préstec en cinc anualitats del mateix import, laprimera de les quals l'haig de pagar el 15 d'abril del 2001 i l'última el 15 d'abrildel 2005.

a) Calculeu l'import A de les anualitats.b) Per a cada un dels anys 2001, 2002 i 2003, calculeu la part de l'anualitat

que es fa servir per pagar els interessos de l'any i la part que es destina aamortitzar capital. Calculeu el capital total amortitzat després de pagarl'anualitat i el capital pendent en aquell moment. Tot això ho podeuexpressar omplint en el vostre quadernet de respostes un quadre com elsegüent:

Any Anualitat Interessos any Amort. any Cap. amort. Cap. pendent200120022003

[4 punts]

SÈRIE 1 MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS

Pautes de correcció

Avalueu cada pregunta en punts i mitjos punts, però no en altres decimals (ara bé, dins de

cada pregunta podeu utilitzar altres decimals per als diferents apartats i arrodonir desprésla suma). Aquestes pautes no pretenen planificar tots els casos que en la pràctica es poden

presentar. Hi haurà molts casos concrets, doncs, en què serà dif́ıcil aplicar els criteris ques’exposen a continuació. Apliqueu-los en els casos clars. En els casos en què les pautessiguin de dif́ıcil aplicació, feu prevaldre sempre el vostre criteri i el sentit comú.

Qüestions

1. La regió que es demana és un triangle de vèrtexs (0, 0) (intersecció de y = 0 amb4x + y = 0), (1, 0) (intersecció de y = 0 amb 2x + y = 2), i (−1, 4) (intersecció de

4x + y = 0 i 2x + y = 2).

La funció z = x + y té el seu màxim en el vertex (−1, 4) on val 3.

Compteu 1 punt pel dibuix i 1 punt pel màxim.

2. a) A interès simple ens donaran 24.000 pessetes l’any d’interès i per tant 240.000en 10 anys. En acabar els 10 anys tindrem doncs 540.000 pessetes.

b) A interès compost tindrem

C = 300.000(1 +7

100)10 = 590.145

pessetes. Hem arrodonit el resultat a pessetes.

Per tant és més beneficiós aquest procediment. a diferència entre els capitals acu-

mulats per als dos procediments és de 590.145− 540.000 = 50.145 pessetes.

No tingueu en compte els possibles errors derivats d’un arrodoniment no gaire bo de1, 0710. Compteu 1 punt pels correctes resultats de cada un dels dos procediments

financers (interès simple i compost).

3. El determinant del sistema és 16−a2. Si a 6= ±4 el sistema és compatible determinat.Si a = 4 el sistema és compatible indeterminat. Si a = −4 el sistema és incompatible.

Per tant, l’únic valor de a que fa incompatible el sistema és a = −4.

Compteu 1 punt per arribar a a = ±4 i 1 punt pel resultat final.

4.∫ 3

0(x2 + a)dx =

[

x3

3+ ax

]3

0

= 9 + 3a = 27

per tant a = 6.

Compteu 1 punt pel correcte plantejament i 1 punt pel resultat final.

1

Problemes

1. a) El vertex C = (c1, c2) ha de complir

(c1, c2) − (1, 4) = (4, 1)− (0, 0)

per tant C = (5, 5).

b) Vectors directors de les diagonals : C − A = (5, 5), B − D = (3,−3).

Són perpendiculars ja que el seu producte escalar és zero: (5, 5) · (3,−3) =15 − 15 = 0.

Equació de la diagonal AC : y = x. Equació de la diagonal BD : y = −x + 5.Punt d’intersecció de les diagonals : (5/2, 5/2).

Aquest punt és justament (A + C)/2 i (B + D)/2.

Compteu 1 punt per l’apartat a), i 3 per l’apartat b). Concretament 1, 5 per com-

provar que les diagonals són perpendiculars i 1, 5 pel càlcul i justificació del puntmig.

2. Quan t = 0, N = 100, per tant de N = AeBt dedüım A = 100.

Quan t = 4, N = 25000, per tant de N = 100eBt dedüım B = 14log 250 = 1, 38037.

Finalment hem de resoldre

200000 = 100(elog250)t/4 = 100× 250t/4

Aix́ı

t =4 log 2000

log 250= 5, 50

És a dir, aproximadament 5 anys i mig. Per tant, d’aqúı 1 any i mig hi haurà 200000

exemplars.

Compteu 1 punt pel càlcul de A, 1 punt pel càlcul de B, i 2 punts per la resta.

2

ANY 2000

SETEMBRE


Curs 1999-2000


QÜESTIONS

1. A quin interès compost anual heu invertit un cert capital si al cap de cinc anysha augmentat el 50%? [2 punts]

[2 punts]

2. Escriviu un sistema de quatre inequacions (amb dues variables x i y) de talmanera que la regió del pla que determini aquest sistema sigui la regióombrejada del dibuix següent:

[2 punts]

3. Considereu la recta d'equació y = –2x + 2. Trobeu les coordenades del puntd'intersecció d'aquesta recta amb la recta perpendicular a ella que passa pelpunt (6, 3). [2 punts]

4. Calculeu l'abscissa del punt en què la tangent a la gràfica de la funcióf(x) = 2 ln x és paral·lela a la recta 16x – 2y = 7. [2 punts]

PROBLEMES

1. Compreu dos productes i us costen 22.000 pessetes. La setmana següent feu lamateixa compra i, com que el primer article està rebaixat un 10% i el segon un20% respecte a la setmana anterior, només us costa 18.600 pessetes. Quant uscostarà la mateixa compra si en una altra ocasió els preus estan rebaixats un10% i un 20%, respectivament, en relació amb els preus de la segonasetmana?

[4 punts]

2. Considereu la funció y = (x – 1)2 x 3. Digueu quin és el seu domini de definició.Calculeu els seus intervals de creixement i decreixement, així com els màxims imínims (si en té). Calculeu també els punts en què la gràfica talla els eixos. Feudesprés un esbós d'aquesta gràfica. [4 punts]


Curs 1999-2000


QÜESTIONS

1. Considereu la recta d'equació 4x + y – 3 = 0.

a) Calculeu l'equació de la recta paral·lela i de la recta perpendicular al'anterior que passen pel punt A = (3, –1).

b) Dibuixeu la gràfica de la recta 4x + y – 3 = 0 i de les que heu trobat al'apartat a).

[2 punts]

2. Determineu el valor que ha de tenir el paràmetre a perquè les tres rectesd'equacions 3x + y = 5, x – 3y = –5 i x + ay = a es tallin en un punt. [2 punts]

3. Trobeu la primitiva de la funció f(x) = e–x /2 que compleix la condició que la sevagràfica passa pel punt (0, 3). [2 punts]

4. Vaig deixar un milió de pessetes a un cosí. Cada trimestre em dóna 20.000pessetes corresponents als interessos que aquell capital ha produït durantaquell trimestre. Calculeu la TAE d'aquest préstec. [2 punts]

PROBLEMES

1. Considereu la funció f (x ) = x + 31 – x

a) Determineu les seves asímptotes verticals i horitzontals (si en té) i elsintervals de creixement i decreixement. Feu després un esquema senzill dela seva gràfica.

b) Determineu els punts de la gràfica de la funció on la tangent és paral·lela ala recta d'equació y = x.

[4 punts]

2. En una refineria es produeixen dos tipus de fertilitzants a partir de quatrecompostos: nitrogen, àcid fosfòric, potassi soluble i guano. A la taula següents'expressa la composició per bidó d'aquests dos fertilitzants:

Nitrogen Àcid fosfòric Potassi Guano

Fertilitzant 1 20 litres 30 litres 30 litres 20 litres

Fertilitzant 2 10 litres 10 litres 60 litres 20 litres

L'empresa disposa de 900 litres de nitrogen i de 1.400 litres de guano, i lesquantitats dels altres dos components no estan limitades, encara que a causadel gran estoc existent d'aquests dos productes cal utilitzar almenys 600 litresd'àcid fosfòric i 1.800 litres de potassi. Cada bidó del fertilitzant 1 suposa unbenefici de 6 pessetes, i de 5 pessetes cada bidó de l'altre fertilitzant. Trobeuquina quantitat de fertilitzant de cada classe cal produir per obtenir un beneficimàxim. [4 punts]

SÈRIE 6 MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS

Pautes de correcció

Avalueu cada pregunta en punts i mitjos punts, però no en altres decimals (ara bé, dins decada pregunta podeu utilitzar altres decimals per als diferents apartats i arrodonir després

la suma). Aquestes pautes no pretenen planificar tots els casos que en la pràctica es podenpresentar. Hi haurà molts casos concrets, doncs, en què serà dif́ıcil aplicar els criteris que

s’exposen a continuació. Apliqueu-los en els casos clars. En els casos en què les pautessiguin de dif́ıcil aplicació, feu prevaldre sempre el vostre criteri i el sentit comú.

Qüestions

1. a) L’equació d’una recta paral.lela a la recta 4x+y−3 = 0 és de la forma 4x+y+k =0. Si ha de passar per (3,−1) s’ha de complir

4× 3 + (−1) + k = 0 ⇔ k = −11

de forma que l’equació d’aquesta recta serà 4x + y − 11 = 0 .

Si una recta és perpendicular a 4x + y − 3 = 0 tindrà una equació de la forma

x − 4y + k = 0. Si passa per (3,−1) es compleix

3 − 4 × (−1) + k = 0 ⇔ k = −7

Per tant l’equació de la perpendicular serà x − 4y − 7 = 0 .

b) Aqúı els alumnes han de fer un dibuix de les tres rectes que estigui d’acord ambels càlculs de l’apartat anterior.

Compteu un punt per cada apartat.

2. Bastarà imposar que la recta x + ay = a passi pel punt d’intersecció de les rectes

3x + y = 5 i x − 3y = −5 que és la solució del sistema

3x + y = 5

x − 3y = −5

}

⇔ x = 1, y = 2

Per tant s’ha de tenir

1 + 2a = a ⇔ a = −1

També es podria imposar que el determinant de la matriu ampliada del sistema

3x + 5 = 5

x − 3y = −5

x + ay = a

sigui diferent de 0.

No descompteu més de mig punt per petits errors de càlcul.

1

3. Les funcions primitives de f(x) = e−x/2 són de la forma F (x) = −2e−x/2 + K, on K

és una constant. Si F (0) = 3 s’ha de complir

3 = −2 + K ⇔ K = 5

Per tant la funció que es busca és F (x) = −2e−x/2 + 5.

Compteu un punt per la determinació de la integral indefinida i l’altre pel càlcul de

la constant K.

4. Les 20 000 pessetes representen un 2% del milió de pessetes del préstec. Si es consi-dera 1 + it = 1, 02 i ia és l’interès anual equivalent (en tant per u), s’ha de complir

1 + ia = (1 + it)4 = (1, 02)4 = 1, 08243

Per tant l’interès anual equivalent és del 8,24%.

Problemes

1. a) Les aśımptotes són x = 1 (el denominador s’anul.la i el numerador no) i y = −1

(f(x) és el quocient de dos expressions polinòmiques del mateix grau).

Es compleix

f ′(x) =4

(1− x)2

que és positiva per a tot valor de x (diferent de 1). Per tant la funció f sempreés creixent.

Aquestes dades donen una gràfica de la forma

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

b) S’han de determinar els punts (x, f(x)) on f ′(x) =4

(1 − x)2= 1. Els valors de

x on passa això són x = −1, amb f(x) = 1, i x = 3, amb f(x) = −3.

El primer apartat porta una mica més de feina que el segon, compteu dos punts i

mig per aquest apartat i un punt i mig pel segon. Tingueu en compte que en el segonapartat s’han de donar dues solucions.

2

2. Sigui x el nombre de bidons del fertilitzant 1 que es produeixen i y els del fertilitzant

2. La funció que dóna el benefici obtingut és

z(x, y) = 6x + 5y

Les restriccions són

20x + 10y ≤ 900

20x + 20y ≤ 1400

30x + 10y ≥ 600

30x + 60y ≥ 1800

x ≥ 0

y ≥ 0

⇔

2x + y ≤ 90

x + y ≤ 70

3x + y ≥ 60

x + 2y ≥ 60

x ≥ 0

y ≥ 0

La regió que determinen aquestes restriccions és de la forma

10 20 30 40 50 60 70

20

40

60

80

10 20 30 40 50 60 70

20

40

60

80

amb vèrtexs als punts A = (20, 50), B = (40, 10), C = (12, 24), D = (0, 60)i E =(0, 70). Els valors de z en aquests punts són: z(A) = 370, z(B) = 290, z(C) = 192,z(D) = 300 i z(E) = 350. Per tant el màxim benefici s’obté quan es fabriquen 20

bidons del fertilitzant 1 i 50 del fertilitzant 2.

Compteu fins a un punt per la determinació de la funció que dóna el benefici i deles equacions que donen les restriccions sobre les variables. Deixeu els altres tres

punts pels càlculs necessaris per a determinar els vèrtexs de la regió admissible. Notraieu més d’un punt per errors en els càlculs (sempre que no produeixin resultats

clarament impossibles).

3

ANY 2001

JUNY


Curs 2000-2001

A continuació trobareu l'enunciat de quatre qüestions i dos problemes. Heu derespondre només tres de les quatre qüestions i resoldre només un dels dosproblemes (podeu triar les qüestions i el problema que vulgueu). En les respostesque doneu heu d'explicar sempre què és el que voleu fer i per què.

QÜESTIONS

1. Un capital inicial es va col·locar durant dos anys al 9% anual; el capital obtingutes va col·locar al 5% semestral durant els tres anys següents i s'ha convertit en796.084 ptes. Quin era el capital inicial?

Nota: Considereu sempre interès compost. [2 punts]

2. Calculeu en quin punt (si és que n'hi ha algun) la recta tangent a la gràfica de lafunció f(x) = e 2x forma un angle de 45° amb l'eix de les x. [2 punts]

3. Siguin r i s les dues rectes del pla d'equacions

r : 2x – y – 3 = 0, s : x + 14

= y + 22

Calculeu l'equació de la recta que passa pel punt d'intersecció de r i s i que ésparal·lela a la recta d'equació 3x + 5y – 1 = 0. [2 punts]

4. Hi ha dos anuncis al diari molt semblants relatius a possibles inversions.

Anunci 1

5% TAE calculada per qualsevol import superior a 1 pta.Abonament mensual d'interessos.Tipus d'interès nominal anual del 4,89%.

Anunci 2

5% TAE calculada per qualsevol import superior a 1 pta.Abonament trimestral d'interessos.Tipus d'interès nominal anual del 4,89%.

Comproveu que el primer anunci és correcte i expliqueu si pot ser-ho també elsegon. [2 punts]

PROBLEMES

1. En una indústria es produeixen recanvis de peces d'automòbil. S'ha fet unestudi de costos d'un dels recanvis fabricats i ha resultat que el cost diari deproducció de x peces (en ptes.) ve donat per la funció

C(x) = 3200 + 20x + 2x 2.

a) Quantes peces d'aquest recanvi s'han de produir diàriament perquè el costunitari (el cost de cada peça) sigui el mínim possible?

b) Quin és el cost diari de fabricar aquest nombre de peces?c) Quin és, en aquest cas, el preu de cost de cada peça?

Nota: L'apartat a) val 3 punts. Els altres dos apartats valen 0,5 punts cadascun. [4 punts]

2. Al triangle de vèrtexs A = (0, 3), B = (3, 7) i C = (6, 0) determineu

a) el perímetre;b) l'equació de la recta perpendicular al segment BC que passa per A, és a dir,

l'altura del triangle des del vèrtex A;c) la distància del punt A a la recta que conté el segment BC;d) la superfície.

Nota: Cada apartat val 1 punt. [4 punts]


Curs 2000-2001

A continuació trobareu l'enunciat de quatre qüestions i dos problemes. Heu derespondre només tres de les quatre qüestions i resoldre només un dels dosproblemes (podeu triar les qüestions i el problema que vulgueu). En les respostesque doneu heu d'explicar sempre què és el que voleu fer i per què.

QÜESTIONS

1. Un capital col·locat en capitalització composta durant quatre anys s'ha convertiten 1.345.517,58 ptes. Si hagués estat col·locat un any més hauria pujat a1.513.707,27 ptes. Calculeu el tant per cent anual a què ha estat col·locat i elcapital inicial. [2 punts]

2. Determineu la funció f(x) tal que

f '(x) = x 2 + sin x i f (0) = 2[2 punts]

3. Sigui r la recta d'equació 3x – 5y + 2 = 0. Trobeu les equacions de les rectesparal·lela i perpendicular a r que passen pel punt (–15, 4). [2 punts]

4. Els punts A = (2, 5), B = (6, 8) i C = (22, d) estan alineats. Calculeu d. [2 punts]

PROBLEMES

1. a) Donada la funció f(x) = x 3 – 3x, calculeu els punts de tall amb els eixos i elsextrems relatius (si en té), i feu un esbós de la gràfica de la funció.

b) Basant-se en el gràfic anterior, i sense cap més càlcul, raoneu que la funcióg(x) = x 3 – 3x – 10 talla l'eix de les x en un sol punt.

c) Indiqueu, raonadament, un interval de longitud 1 en el qual es troba lasolució real de l'equació x 3 – 3x – 10 = 0.

Nota: L'apartat a) val 2 punts. Els altres dos apartats valen 1 punt cadascun. [4 punts]

2. En un taller de confecció es disposa de 80 metres quadrats de tela de cotó i de120 metres quadrats de tela de llana. Es fan dos tipus de vestits, A i B. Per ferun vestit del tipus A es necessita 1 metre quadrat de cotó i 3 metres quadrats dellana; en canvi, per un vestit del tipus B calen 2 metres quadrats de cada tipusde tela.

a) Quants vestits de cada tipus s'han de fer per obtenir un benefici total màximsi per cada vestit (sigui del tipus que sigui) es guanyen 30 euros?

b) Quina seria la conclusió a la pregunta anterior si per cada vestit del tipus Aes guanyen 30 euros i, en canvi, per cada un del tipus B només es guanyen20 euros?

Nota: L'apartat a) val 2,5 punts i l'apartat b) val 1,5 punts.

COMPENDIUM PROVES PAU CCSS - Toomates · Este modelo de negocio es miserable, pues impide el...

Documents

Transcript of COMPENDIUM PROVES PAU CCSS - Toomates · Este modelo de negocio es miserable, pues impide el...