Universidad “Fermín Toro”

Vice-Rectorado Académico

Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Escuela de Administración

Asignatura: Análisis de problemas y toma de decisiones

Autor: Diego Silva

Cabudare, Enero del 2014

Compendio de técnicas para la toma de decisiones

Programación Lineal

Se conoce como programación lineal a la técnica de la matemática que

permite la optimización de una función objetivo a través de la aplicación de

diversas restricciones a sus variables. Se trata de un modelo compuesto, por lo

tanto, por una función objetivo y sus restricciones, constituyéndose todos estos

componentes como funciones lineales en las variables en cuestión.

Los modelos de programación lineal contemplan que las variables de

decisión (es decir, la función objetivo y las restricciones) mantienen un

comportamiento de tipo lineal. Esto hace que, a través de su método, se

puedan simplificar los cálculos y obtener un resultado próximo a la realidad.

Veamos un ejemplo de programación lineal para comprender mejor esta

definición. Supongamos que un hombre recibe una herencia de 100.000

dólares y toma la decisión de invertir el dinero. Su contador le recomienda dos

inversiones: comprar acciones de una compañía petrolera, que tienen un

rendimiento del 5%, y adquirir bonos del Estado, que rinden un 9%.

El hombre decide invertir no más de 80.000 dólares en las acciones

petroleras y no menos de 15.000 dólares en los bonos estatales. Por otra

parte, pretende que la inversión en las acciones nunca duplique la inversión en

bonos. Gracias a la programación lineal, puede estimar cómo distribuir su

dinero entre ambas opciones para que sus inversiones le ofrezcan el mayor

beneficio.

El monto a invertir en acciones puede mencionarse como X, mientras

que el monto a invertir en bonos puede nombrarse como Y. Las restricciones,

por otra parte, serán que X no puede tener un valor superior a 80.000,

que Y no puede tener un valor inferior a 15.000 y que X+Y no pueden superar

el valor de 100.000.Si se trasladan dichas variables a una tabla o a un gráfico,

se podrá saber cuáles son las opciones más rentables para el individuo.

Ejemplo: En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una

composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una

sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el

tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con

una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de

10 dólares y el del tipo II es de 30 dólares. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las

necesidades con un coste mínimo?

Solución:

Llamamos x a las unidades que se compran de tipo I e y a las que se

compran de tipo II.

Resumamos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

La función que nos da el coste es z = 10x + 30y = 10(x + 3y).

00

155155

yx

yxyx

Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, y la recta 10(x +

3y) = 0 ®

x + 3y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10(x + 3y).

Por tanto, hay que comprar 2,5 de tipo I y 2,5 de tipo II.

El precio en este caso será de z = 10(2,5 + 3×2,5) = 100 dólares.

Método Simplex

El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas

de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los

resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.

El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la

solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el

método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de

2,5).(2,5; en decir, es ;155155

de ónintersecci de punto el en alcanza se mínimo Elyxyx

manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo,

sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un

poliedro solución es finito siempre se hallará solución.

Ejemplo:

Resolver el siguiente problema de Programación Lineal utilizando el Método

Simplex:

Max 40*X1 + 60*X2

s.a. 2*X1 + 1*X2 <= 70

1*X1 + 1*X2 <= 40

1*X1 + 3*X2 <= 90

X1 >= 0 X2 >= 0

Para poder aplicar el Método Simplex, es necesario llevar el modelo a su formato

estándar, para lo cual definimos X3, X4, X5 >= 0 como las respectivas variables de holgura para la restricción 1, 2 y 3. De esta forma queda definida la tabla inicial

del método de la siguiente forma:

X1 X2 X3 X4 X5

2 1 1 0 0 70

1 1 0 1 0 40

1 3 0 0 1 90

-40 -60 0 0 0 0

En esta situación, las variables de holgura definen una solución básica factible inicial, condición necesaria para la aplicación del método. Luego, se verifican los

costos reducidos de las variables no básicas (X1 y X2 en la tabla inicial) y se

escoge como variable que entra a la base aquella con el costo reducido "más

negativo". En este caso, X2.

Lógica Bayesiana

La inferencia bayesiana es un tipo de inferencia estadística en la que

las evidencias u observaciones se emplean para actualizar

o inferir la probabilidad de que una hipótesis pueda ser cierta. El nombre

bayesiana proviene del uso frecuente que se hace del teorema de

Bayes durante el proceso de inferencia. El teorema de Bayes se ha derivado

del trabajo realizado por el reverendo Thomas Bayes. Hoy en día, uno de los

campos de aplicación es en la teoría de la decisión, visión artificial (simulación

de la percepción en general) y reconocimiento de patrones por ordenador.

La incertidumbre y la imprecisión son connaturales en el proceso

de razonamiento. La lógica establece unas reglas de inferencia a partir de las

cuales se construye el sistema de razonamiento deductivo, en el que

una proposición determinada es considerada como cierta o falsa, sin que se

admitan grados entre estos dos extremos. Los métodos de razonamiento

aproximado, entre los que se encuentran los métodos bayesianos, aportan

modelos teóricos que simulan la capacidad de razonamiento en condiciones de

incertidumbre, cuando no se conoce con absoluta certeza

la verdad o falsedad de un enunciado o hipótesis, e imprecisión, enunciados en

los que se admite un rango de variación.

Entre los métodos de razonamiento aproximado se encuentran

los métodos bayesianos, basados en el conocido teorema de Bayes. Todos

ellos tienen en común la asignación de una probabilidad como medida de

credibilidad de las hipótesis. En este contexto, la inferencia se entiende como

un proceso de actualización de las medidas de credibilidad al conocerse

nuevas evidencias. Mediante la aplicación del Teorema de Bayes se busca

obtener las probabilidades de las hipótesis condicionadas a las evidencias que

se conocen. La diferencia entre los distintos métodos bayesianos, modelos

causales y redes bayesianas, estriba en las hipótesis de independencia

condicional entre hipótesis y evidencias. Dichas relaciones se expresan

comúnmente mediante un grafo a cíclico dirigido.

Ejemplo:

Un ejemplo de inferencia bayesiana es el siguiente:

Durante miles de millones de años, el sol ha salido después de haberse

puesto. El sol se ha puesto esta noche. Hay una probabilidad muy alta de (o

'Yo creo firmemente' o 'es verdad') que el sol va a volver a salir mañana. Existe

una probabilidad muy baja de (o 'yo no creo de ningún modo' o 'es falso') que

el sol no salga mañana.

La inferencia bayesiana usa un estimador numérico del grado de creencia

en una hipótesis aún antes de observar la evidencia y calcula un estimador

numérico del grado de creencia en la hipótesis después de haber observado la

evidencia. La inferencia bayesiana generalmente se basa en grados de creencia, o

probabilidades subjetivas, en el proceso de inducción y no necesariamente declara

proveer un método objetivo de inducción.

Definiciones formales

A pesar de todo, algunos estadísticos bayesianos creen que las

probabilidades pueden tener un valor objetivo y por lo tanto la inferencia bayesiana

puede proveer un método objetivo de inducción. (Ver método científico.) Dada una

nueva evidencia, el teorema de Bayes ajusta las probabilidades de la misma de la

siguiente manera:

Donde

representa una hipótesis, llamada hipótesis nula, que ha sido inferida

antes de que la nueva evidencia, , resultara disponible.

se llama la probabilidad a priori de .

se llama la probabilidad condicional de que se cumpla la

evidencia si la hipótesis es verdadera. Se llama también la función

de verosimilitud cuando se expresa como una función de dado .

se llama la probabilidad marginal de : la probabilidad de observar la

nueva evidencia bajo todas las hipótesis mutuamente excluyentes. Se la

puede calcular como la suma del producto de todas las hipótesis

mutuamente excluyentes por las correspondientes probabilidades

condicionales: .

se llama la probabilidad a posteriori de dado .

El factor representa el impacto que la evidencia tiene en

la creencia en la hipótesis. Si es posible que se observe la evidencia cuando la

hipótesis considerada es verdadera, entonces este factor va a ser grande.

Multiplicando la probabilidad a priori de la hipótesis por este factor va a resultar

en una gran probabilidad a posteriori dada la evidencia. En la inferencia

bayesiana, por lo tanto, el teorema de Bayes mide cuánto la nueva evidencia

es capaz de alterar la creencia en la hipótesis.

Teoría de juegos

La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que

utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de

incentivos (los llamados «juegos») y llevar a cabo procesos de decisión. Sus

investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento

previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción

aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo

similar y, por lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo

juego.

Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el

comportamiento de la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en

muchos campos, como en la biología, sociología, psicología y filosofía.

Experimentó un crecimiento sustancial y se formalizó por primera vez a partir

de los trabajos de John von Neumann y Oskar Morgenstern, antes y durante

la Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la estrategia militar, en

particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada. Desde los

setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal, incluyendo el

desarrollo de las especies por la selección natural. A raíz de juegos como

el dilema del prisionero, en los que el egoísmo generalizado perjudica a los

jugadores, la teoría de juegos ha atraído también la atención de los

investigadores en informática, usándose en inteligencia artificial y cibernética.

Aunque tiene algunos puntos en común con la teoría de la decisión, la

teoría de juegos estudia decisiones realizadas en entornos donde

interaccionan. En otras palabras, estudia la elección de la conducta óptima

cuando los costes y los beneficios de cada opción no están fijados de

antemano, sino que dependen de las elecciones de otros individuos. Un

ejemplo muy conocido de la aplicación de la teoría de juegos a la vida real es

el dilema del prisionero, popularizado por el matemático Albert W. Tucker, el

cual tiene muchas implicaciones para comprender la naturaleza de la

cooperación humana. La teoría psicológica de juegos, que se arraiga en la

escuela psicoanalítica del análisis transaccional, es enteramente distinta.

Ejemplo:

El dilema de Monty Hall es uno en el que el presentador de un programa de

televisión ofrece al concursante elegir un premio que se encuentra tras una de las

tres puertas. Dos de ellas contienen cabras y una de ellas un automóvil. El jugador

elige una puerta, supongamos la primera y el presentador (Monty) abre la puerta

número tres enseñando una cabra. Acto seguido nos ofrece cambiar la puerta

¿qué es mejor teniendo en cuenta que el presentador sabe que hay detrás de

cada puerta?

La respuesta es que es mejor cambiar de puerta. Guiándonos por la

estadística el presentador al abrir una puerta cerrada ha incrementado las

posibilidades que tenemos de llevarnos el premio, pasamos de jugar con 33% de

posibilidades al 66% porque en realidad el presentador aumenta nuestras

posibilidades al 66% si cambiamos de puerta. Si permanecemos con la elegida

nuestras posibilidades se mantienen en un 66%33%. En este enlace podéis

encontrar una explicación en más profundidad de las matemáticas y en este

otro un simulador (en inglés)

La teoría de juegos es una de las partes de la investigación económica

reciente que más atención está atrayendo en los últimos años. Además sus

aplicaciones prácticas han sido utilizadas en la práctica en multitud de ámbitos,

como por ejemplo el del dilema del prisionero para regular y evitar situaciones de

oligopolio. En el cine hemos visto ejemplos del dilema del prisionero en

situaciones como las creadas por el Joker en El Caballero Oscuro.

Método de localización y transporte

Esta técnica es una aplicación de la programación lineal. Para este tipo de

problemas se considera que existe una red de fábricas, almacenes o cualquier

otro tipo de puntos, orígenes o destinos de unos flujos de bienes. La

localización de nuevos puntos en la red afectará a toda ella, provocando

reasignaciones y reajustes dentro del sistema.

El método de transporte permite encontrar la mejor distribución de los flujos

mencionados basándose, normalmente en la optimización de los costes de

transporte (o, alternativamente, del tiempo, la distancia, el beneficio, etc.) En

los problemas de localización, este método puede utilizarse para analizar la

mejor ubicación de un nuevo centro, de varios a la vez y en general para

cualquier reconfiguración de la red.

En cualquier caso, debe ser aplicado a cada una de las alternativas a

considerar para determinar la asignación de flujos óptima.

Para utilizar el método de transporte hay que considerar los siguientes

pasos:

1. Los puntos de origen y la capacidad o abasto por período, para cada uno.

2. Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno.

3. El costo de embarque por una unidad desde cada origen hacia cada destino.

Ejemplo:

Se trata de elegir la localización adecuada de un proyecto basado en los

siguientes aspectos:

Los costos totales son: 33.5$ para la localización A, 42.5$ para la B, 37.5$

para C y 40.5$ para D.

Los factores incidentes son: Energía Eléctrica (F1), Agua (F2),

Disponibilidad de Mano de Obra (F3). Se sabe además que F2 tiene el

doble de importancia que F1 y F3.

Las calificaciones dadas sobre 10 de cada factor con respecto a las

Localizaciones son:

Solución:

CALIFICACION DE LOS FACTORES RESPECTO A CADA FACTOR (SOBRE 10)

FSA: 8.25

FSB: 5

FSC: 7.25

FSD: 8.5

A: 0.5 x 0.2849 + 0.5 x 8.25 = 4.2674

B: 0.5 x 0.2246 + 0.5 x 5 = 2.6123

C: 0.5 x 0.2545 + 0.5 x 7.25 = 3.7522

D: 0.5 x 0.2354 + 0.5 x 8.5 = 4.3677.

Técnica de Monte Carlo

El método de Monte Carlo es un método no determinista o estadístico

numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y

costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia

al Casino de Monte Carlo(Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego

de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre

y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan

aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de

la computadora.

El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de

investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba

atómica durante la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Nacional de Los

Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas

probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el

material de fisión. Esta difusión posee un comportamiento

eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los

algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D.

En la primera etapa de estas investigaciones, John von

Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de

división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo

que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en

el mismo año, Enrico Fermi, Nicholas Metrópolis y Ulam obtuvieron

estimadores para los valores característicos de la ecuación de

Schrödinger para la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método.

El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una

gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de

experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una

computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya

sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se

basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para

producir una solución aproximada, el método de Monte Carlo tiene un error

absoluto de la estimación que decrece como en virtud del teorema del

límite central.

Ejemplo:

Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una

moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a

CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la

simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de

ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así:

CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499

CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999

Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la

calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el

número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a

CARA.

En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las

probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.

Referencias bibliográficas y citas de autor

Dantzig, G. “Programación Lineal: Métodos Simplex”, Disponible:

http://www.programacionlineal.net/simplex.html

Augustin, A. “Qué es la teoría de juegos: Historia”, Disponible:

http://www.elblogsalmon.com/conceptos-de-economia/que-es-la-teoria-de-juegos

Fourier, J. “Programación Lineal: Historia de la programación lineal”, Disponible:

http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal