Comp2
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REPRESENTACI ´ ON DE FUN- CIONES MEDIANTE SERIES Una de las aplicaciones de la teor´ ıa de variable compleja consiste en que esta teor´ ıa proporciona m´ etodos poderosos para evaluar integrales. Algunos de estos m´ etodos se basan en la representaci´ on de funciones complejas mediante series. Este es el tema del presente cap´ ıtulo. 1 Series de potencias Recordemos de la secci´ on ?? del captulo 6 que la convergencia de una serie de n´ umeros complejos ∑ ∞ n=0 z n puede ser caracterizada por la convergencia de las partes real e imaginaria. Tomando en cuenta que z n = x n + iy n con x n ,y n ∈< para todo n ≥ 0, la serie ∑ ∞ n=0 z n es convergente si y s´ olo si ∑ ∞ n=0 x n y ∑ ∞ n=0 y n ambas son convergentes en <,y ∞ X n=0 z n = ∞ X n=0 x n + i · ∞ X n=0 y n ! . Como consecuencia, todos los criterios de convergencia y reglas para el c´ alculo de l´ ımites de series de n´ umeros reales son de suma importancia y utili- dad para las series de n´ umeros complejos. Ya vimos algunos de estos criterios. A continuaci´ on reportaremos los criterios m´ as usados (sin demostraci´ on) que ayudan a determinar si una serie es convergente: Proposici´ on 1 Sean (a n ) n∈N y (b n ) n∈N sucesiones de n´ umeros reales. 1) Criteriodecomparaci´on. Si 0 ≤ a n ≤ b n , para toda n ∈N , entonces, si la serie ∑ ∞ n=1 b n converge, tambi´ en converge ∑ ∞ n=1 a n . 2) Criterio de la ra´ ız. Sea a n ≥ 0 para todo n ∈N y denotemos r = lim n→∞ n √ a n , donde r ∈< o r = ∞ . Entonces ∑ ∞ n=1 a n converge si r< 1; ∑ ∞ n=1 a n es divergente si r> 1; Cuando r =1 no hay conclusi´on, es decir, ∑ ∞ n=1 a n puede ser convergente o divergente. 3) Criterio del cociente (Criterio de D’Alambert). Sea a n > 0 para todo n ∈N y denotemos r = lim n→∞ a n+1 a n , donde r ∈<,r ≥ 0 o r = ∞ . 1
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REPRESENTACION DE FUN-CIONES MEDIANTE SERIES
Una de las aplicaciones de la teora de variable compleja consiste en que estateora proporciona metodos poderosos para evaluar integrales. Algunos de estosmetodos se basan en la representacion de funciones complejas mediante series.Este es el tema del presente captulo.
1 Series de potencias
Recordemos de la seccion ?? del captulo 6 que la convergencia de una serie denumeros complejos
n=0 zn puede ser caracterizada por la convergencia de las
partes real e imaginaria. Tomando en cuenta que zn = xn + iyn con xn, yn 0 para todon N y denotemos
r = limn
an+1an
, donde r
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Entoncesn=1 an converge si r < 1;
n=1 an es divergente si r > 1;
Cuando r = 1 no hay conclusion, es decir,n=1 an puede ser convergente o
divergente.
4) Criterio de Leibniz . Si a1 a2 0 y
limn an = 0 entonces
n=1
(1)n+1an = a1 a2 + a3 a4 converge.
Para aplicar estos criterios de convergencia a una serie de numeros complejos,se analizan la parte real y la parte imaginaria por separado.
Recordemos tambien que una serien=1 zn se llama absolutamente conver-
gente en C, si n=1 |zn| es convergente en
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Lema 3 (de Abel) Si la serie de numeros complejos
n=0
cn zn = c0 + c1 z + + cn zn + (cn C para todan)
converge para algun z0 C, entonces la serie converge absolutamente para todoslos z C tales que |z| < |z0|.
Dem. 4 Por la hipotesis se tiene quen=0 cn z
n0 converge, por lo que |cn zn0 |
