Compensadores

El comportamiento de sistemas de control es esencial. Para mejorar las características de respuesta de un sistema dinámico es posible incluir un nuevo sistema que compensará o mejorará las características de respuesta del sistema de acuerdo a las necesidades.

Estos sistemas se denominan compensadores o controladores, y su función es la de mejorar las características del sistema en lazo cerrado.

En general un compensador es un componente adicional o un circuito que se inserta en un sistema de control para compensar deficiencias de comportamiento.

Establecer la ganancia es el primer paso para llevar al sistema a un comportamiento satisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prácticos, ajustando únicamente la ganancia tal vez no proporcione la alteración suficiente en el comportamiento del sistema para cumplir las especificaciones dadas. Como ocurre con frecuencia, incrementar el valor de la ganancia mejora el comportamiento en estado estacionario pero produce una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad. En este caso, es necesario volver a diseñar el sistema (modificando la estructura o incorporando dispositivos o componentes adicionales) para alterar el comportamiento general, de modo que el sistema se comporte como se desea. Este nuevo diseño o adición de un dispositivo apropiado se denomina compensación. Un elemento insertado en el sistema para satisfacer las especificaciones se denomina compensador. El compensador modifica el comportamiento deficiente del sistema original.

Compensación En Controladores

El método del lugar de las raíces es un procedimiento gráfico para determinar las ubicaciones de los polos y ceros de lazo cerrado, partiendo del conocimiento de las ubicaciones de los polos y ceros de lazo abierto al variar algún parámetro (usualmente la ganancia) de cero a infinito. Una ventaja del método del lugar de las raíces, consiste en que es posible obtener información sobre la respuesta transitoria, así como sobre la respuesta en frecuencia, partiendo de la configuración de los polos y ceros del sistema en el plano s.

El agregar un polo a la función de transferencia de lazo abierto tiene el efecto de mover el lugar de las raíces hacia la derecha, tendiendo a disminuir la estabilidad relativa y aumentar el tiempo de establecimiento de la respuesta.

En las siguientes figuras se observa el lugar de las raíces para las siguientes funciones

de transferencias .

Figura 1. Efectos de añadir polos a la función de transferencia

El agregar un cero a la función de transferencia de lazo abierto tiene el efecto de mover el lugar de las raíces hacia la izquierda, tendiendo a hacer el sistema más estable y a disminuir el tiempo de establecimiento de la respuesta.

Físicamente, agregar un cero a la función de transferencia directa significa añadir control derivativo al sistema. El efecto de este control es introducir cierto grado de anticipación al sistema y acelerar la respuesta transitoria.

Figura 2. Efectos de añadir ceros a la función de transferencia

Compensar el sistema, añadiendo polos y/o ceros adicionales. El lugar de las raíces del sistema compensado contiene al conjunto de polos dominantes para algún valor de ganancia del sistema.

Características del método de compensación:

– Permite mejorar la respuesta transitoria y la estacionaria de manera independiente.– Los compensadores pueden ser adicionados en la cadena directa antes de la planta o en la cadena de realimentación.– No presentan carga adicional o problemas de diseño.– Pueden ser implementados con redes activas (amplificadores operacionales) o pasivas (redes RLC).– Los compensadores puedes ser ideales (Tipo PID) o no ideales (Tipo Adelanto-Atraso).

El Compensador PID

El controlador PID, de lejos, es el algoritmo de control más común. Numerosos lazos control utilizan este algoritmo, que puede ser implementado de diferentes maneras: como controlador stand-alone, como parte de un paquete de control digital directo o como parte de un sistema de control distribuido. Su estudio puede ser abordado desde múltiples puntos de vista. Puede ser tratado como un dispositivo que puede ser operado utilizando unas cuantas reglas prácticas, pero también puede ser estudiado analíticamente.

La idea de la realimentación es bastante simple y muy poderosa. A lo largo de su historia, ha tenido una fuerte influencia en la evolución de la tecnología. Las aplicaciones del principio de realimentación han tenido éxito en los campos del control, comunicaciones e instrumentación. Para entender el concepto, asuma que el proceso es tal que cuando el valor de la variable manipulada se incrementa, entonces se incrementan los valores de las variables del proceso.

Este tipo de realimentación se llama “realimentación negativa” debido a que la variable manipulada se mueve en la dirección opuesta a la variable del proceso. El principio puede ser ilustrado por el diagrama de bloques que se muestra en la Fig. 1. En este diagrama el proceso y el controlador están representados por cajas negras y las flechas denotan las entradas y salidas a cada bloque. Note que existe un símbolo especial que denota una suma de señales. El diagrama de bloques muestra que el proceso y el controlador están conectados en un lazo realimentado. La presencia del signo en el bloque de retorno indica que la realimentación es negativa.

El control proporcional tiene la desventaja de que, en la mayoría de los casos, resulta en un error estático o de estado estacionario diferente de cero. Los algoritmos de control usados en la práctica son, por tanto, normalmente más complejos que el del controlador proporcional. Se puede mostrar empíricamente que el llamado “controlador PID” es una estructura útil. Dentro de la banda proporcional el comportamiento del algoritmo PID en su versión de “libro de texto” se puede describir como:

donde u es la variable de control y e es el error de control dado por De esta manera, la variable de control es una suma de tres términos: el término P, que es proporcional al error; el término I, que es proporcional a la integral del error; y el término D, que es proporcional a la derivada del error. Los parámetros del controlador son: la ganancia proporcional K , el tiempo integral T i y el tiempo derivativo T d .

El término básico en el controlador PID es proporcional P que origina una actuación de control correctiva proporcional al error.

El término integral I brinda una corrección proporcional a la integral del error. Esta acción tiene la ventaja de asegurar que se aplicará suficiente acción de control para reducir el error de regulación a cero. Sin embargo, la acción integral también tiene un efecto desestabilizador debido al corrimiento de fase agregado.

El término derivativo D da propiedades predictivas a la actuación generando una acción de control proporcional a la velocidad del cambio del error. Tiende a dar más estabilidad al sistema pero suele generar grandes valores en la señal de control.

La función de transferencia del PID es dado por:

donde kp es la ganancia proporcional, ki es la ganancia integral, kd es la ganancia derivativa, Ti se denonima constante de tiempo integral y Td es la constante de tiempo derivativo.

Existen varios esquemas de control PID. El arreglo mostrado en la figura (a) es el más discutido en muchos libros de control; este arreglo no es deseable si la señal de referencia contiene discontinuidades, como por ejemplo, señales de tipo escalón. En este caso, la señal de error e(t) tendrá discontinuidades y el término derivativo generará impulso o señales de actuación muy grandes.

Un esquema alterno es mostrado en la figura (b) denominado controlador con derivador a la salida, donde únicamente la salida de la planta es derivada. En este arreglo, la discontinuidad de la señal de referencia se verá reflejada en la señal de actuación a través de la ganancia proporcional paro no será amplificada por el derivador. Otro arreglo es mostrado en la figura (c), donde el error e(t) es integrado. Este esquema es denominado controlador con parte integral en el set-point. En este caso, la discontinuidad de la señal de referencia será suave debido al efecto integral.

Modelos Matemáticos Del Compensador Y Curvas

ACCIÓN PROPORCIONAL

En el caso de un control proporcional puro, la ley de control de la ecuación (9) se reduce a

La acción de control es simplemente proporcional al error de control. La variable u b esuna señal de polarización o un reset. Cuando el error de control e es cero, la variable de control toma el valor u b (t) u . La polarización u b a menudo se la fija en

, pero, algunas veces, puede ser ajustada manualmente de forma que el error de control en estado estacionario sea cero en una referencia dada.

Un ejemplo típico del control proporcional se ilustra en la Fig. 7. La figura muestra el comportamiento de la salida del proceso y de la señal de control, después de un cambio al escalón en la señal de referencia. El error en estado estacionario puede ser calculado a partir de la ecuación (13). El término de polarización u b, la perturbación de carga l y el ruido de medición n son cero en la simulación. Con una ganancia del controlador K 1 y una ganancia estática del proceso K p1, se obtiene un error de control del 50%. La figura muestra que el error en estado estacionario decrece a medida que se incrementa la ganancia del controlador, tal como se predice en la ecuación (13). Note también que la respuesta se vuelve más oscilatoria al incrementar la ganancia del controlador. Esto se debe a la dinámica del proceso.

Fig. 7: Simulación de un sistema de control en lazo cerrado con control proporcional. La función detransferencia del proceso es El diagrama muestra la referencia y sp1 y la salida del proceso y para diferentes valores de la ganancia del controlador K . El diagrama inferior muestra la señal de control u para las respectivas ganancias del controlador.

ACCION INTEGRAL

La función principal de la acción integral es asegurar que la salida del proceso concuerde con la referencia en estado estacionario. Con el controlador proporcional, normalmente existiría un error en estado estacionario. Con la acción integral, un pequeño error positivo siempre producirá un incremento en la señal de control y, un error negativo siempre dará una señal decreciente sin importar cuán pequeño sea el error.

El siguiente argumento simple muestra que el error en estado estacionario siempre será cero con la acción integral. Asuma que el sistema está en estado estacionario con una señal de control constante, u 0, y un error constante, e 0. De la ecuación (9) se tiene que la señal de control está dada por:

Como se tiene que e 0 0, claramente se contradice el supuesto de que la señal de control u0 se mantiene constante. Por tanto, como resultado de esto, un controlador con acción integral siempre dará un error en estado estacionario cero.

La acción integral también puede ser vista como un dispositivo que automáticamente restablece el término de polarización u b de un controlador proporcional. Esto se ilustra en el diagrama de bloques de la Fig. 8, que muestra un controlador proporcional con un “reset” que se ajusta automáticamente. El ajuste se hace realimentando una señal, que es un valor filtrado de la salida del controlador, a un punto de suma. El “reset automático” fue el que dio origen a la acción integral del controlador del tipo PID.

Fig. 8: Implementación de la acción integral concebida como un reset automático, como también fue llamada.

Las propiedades de la acción integral se ilustran en la Fig. 9, que muestra la simulación de un sistema de control PI. La ganancia proporcional es K 1 en todas las curvas. El caso T i corresponde a un control proporcional puro, que es idéntico al de K 1 de la Fig. 7, donde el error final es del 50%. El error es eliminado cuando T i toma valores finitos. Para valores grandes de T i, la respuesta se desliza lentamente hacia la referencia.

El acercamiento es aproximadamente exponencial con constante de tiempo

y es más rápido para valores pequeños de T i; pero es, también, más oscilatorio.

Fig. 9: Simulación de un sistema en lazo cerrado con control proporcional e integral. La función de transferencia del proceso es

y la ganancia del controlador es K 1. El diagrama superior muestra la referencia y sp y la salida del proceso y para diferentes valores del tiempo integral T i. El diagrama inferior muestra la señal de control u para los respectivos valores del tiempo integral.

ACCION DERIVATIVA

El propósito de la acción derivativa es mejorar la estabilidad de lazo cerrado. El mecanismo de inestabilidad puede ser descrito intuitivamente como sigue. Debido a la dinámica del proceso, pasa algún tiempo antes de que la variable de control se note en la salida del proceso. De esta manera, el sistema de control tarda en corregir el error. La acción de un controlador con acción proporcional y derivativa puede ser interpretada como si el control proporcional fuese hecho para predecir la salida del proceso. La predicción se hace por la extrapolación del error de control en la dirección de la tangente a su curva respectiva, como se muestra en la Fig. 10.

Fig. 10: Interpretación geométrica de la acción derivativa como un control predictivo, donde la predicción se obtiene mediante extrapolación lineal.

La estructura básica de un controlador PD está dada por:

La expansión en series de Taylor de da:

De esta manera, la señal de control es proporcional a un estimado del error de control en un tiempo T d hacia adelante, donde el estimado se obtiene mediante extrapolación lineal, como fue mostrado en la Fig. 10.

Las propiedades de la acción derivativa se ilustran en la Fig. 11, que muestra la simulación de un sistema con control PID. La ganancia del controlador y el tiempo de estimación se mantienen constantes con K 3 y T i2, y se varía el tiempo derivativoT d. Para T d 0 se tiene un control PI puro. El sistema de lazo cerrado es oscilatorio con los parámetros elegidos. Inicialmente el amortiguamiento se incrementa con el incremento del tiempo derivativo, pero disminuye cuando el tiempo derivativo se vuelve más grande.

Controlador del tipo PD

Los controladores del tipo PD solo incorporan las acciones Proporcionales Derivativas, que permiten incorporar mejoras sobre la respuesta transitoria.

Figura 1. Compensación PD

Figura 2. Control PDFunción de Transferencia de Controlador:

El efecto del controlador PD es incorporar un

cero en en la cadena directa y una nueva ganancia Kp que permite ajustar la ganancia total del sistema compensado. El controlador NO altera el TIPO del sistema.

Figura 7. Respuesta de salida y(t) de un sistema de segundo orden realimentado unitariamente:

El control Proporcional tiende a producir grandes sobrepasos y oscilaciones debido a la magnitud del error, que genera acciones de control positivas muy elevadas y sucesivas acciones de control negativas poco adecuadas en relación al sobrepaso que se está generando. La incorporación de la acción derivativa compensa el efecto del control proporcional disminuyendo la magnitud de la acción de control positiva y aumentando negativamente las acciones de control negativas cuando es necesario a fin de reducir los sobrepasos.

El control PD se comporta como un filtro paso alto, agregando fase positiva (adelanto de fase) al sistema no compensado.

Esta característica permite:

Mejorar al margen de fase de un sistema de control y en consecuencia mejorar la estabilidad relativa del sistema

La curva de magnitud del controlador “empuja” la frecuencia de cruce de ganancia hacia un valor más alto.

Incremento del ancho de banda: reduce los tiempos de respuesta pero acentúa los ruidos a alta frecuencia.

Controlador del tipo PI

Los controladores del tipo PI solo incorporan las acciones Proporcionales Integrales, aumentando en 1 el tipo del sistema y, en consecuencia, permiten incorporar mejoras sobre la respuesta estacionaria.

El efecto del controlador PI es incorporar un polo en el origen y un cero en

en la cadena directa. La ganancia Kp permite ajustar la ganancia del sistema compensado.Observar que: |Zc|>| p| Esto hace que el controlador PI agregue fase negativa sobre un punto So de referencia sobre el plano s

El controlador PI tiende a trasladar hacia la derecha el lugar de la raíces del sistema compensado, es decir, hacia la región inestable (contrariamente al efecto del control PD).

En consecuencia:

El tiempo de asentamiento puede hacerse más largo y desmejorarse el amortiguamiento si el compensador no está bien diseñado.

Figura 4. Incorporación de un control PI (aporte de Fase)

Interpretación del Controlador PI: dominio frecuencial

El control PI se comporta como un filtro pasa baja, agregando fase negativa (retraso de fase) al sistema no compensado.

Esta característica permite:

Mejorar el margen de ganancia, pero puede perjudicar la estabilidad, según la posición de la frecuencia de corte.

Si Kp<1, La curva de magnitud del controlador tiene un efecto atenuante, “empujando” la frecuencia de cruce de ganancia hacia un valor más bajo, disminuyendo el ancho de banda.

Esto filtra los ruidos a alta frecuencia pero aumenta los tiempos de respuesta. El margen de fase pudiera mejorarse.

Compensador PID

Una idea muy cercana a la del control PID es la de compensación en atraso-adelanto. La función transferencia de estos compensadores es de la forma:

Las redes de atraso y adelanto permiten modificar localmente la respuesta en frecuencia de la planta, respectivamente agregando o restando fase, dentro del rango de frecuencias comprendido entre el cero y el polo del compensador.

La red de adelanto aumenta la fase del sistema dentro de un rango limitado de frecuencias.

La red de atraso disminuye la fase del sistema dentro de un rango limitado de frecuencias.

Efecto de compensación por adelanto en una planta de tipo en diagrama de Bode.

Aplicaciones

Por tener una exactitud mayor a los controladores proporcional, proporcional derivativo y proporcional integral se utiliza en aplicaciones más cruciales tales como control de presión, flujo, fuerza, velocidad, en muchas aplicaciones química, y otras variables. Además es utilizado en reguladores de velocidad de automóviles (control de crucero o cruise control), control de ozono residual en tanques de contacto.

El control PID se usa donde sea necesario mantener una variable, por ejemplo la presión en una red de agua, constante a pesar de los cambios de consumo. El valor actual se puede seleccionar a partir de entradas analógicas, buses de campo o por medio de funciones matemáticas de dichas entradas. También se puede utilizar una referencia directa de frecuencia.

Algunas de las aplicaciones más comunes son: Lazos de Temperatura (Aire acondicionado, Calentadores, Refrigeradores, etc.) Lazos de Nivel (Nivel en tanques de líquidos como agua, lácteos, mezclas, crudo, etc.) Lazos de Presión (para mantener una presión predeterminada en tanques, tubos,

recipientes, etc.) Lazos de Flujo (mantienen la cantidad de flujo dentro de una línea o tubo)

El control PID es muy usado en la industria. A continuación ilustramos cómo se usa en un caso práctico analizando someramente el problema de control de una columna de destilación.

Las columnas de destilación son extremadamente comunes en una gran variedad de procesos químicos. Su propósito es la separación de mezclas de líquidos a partir de las diferentes volatibilidades de sus componentes.

La columna considerada en este ejemplo es una columna piloto de destilación de mezcla agua-etanol, ilustrada en el esquema de la figura. Con el resto de las variables claves controladas, dejamos dos entradas de control: el caudal de reflujo, u1(t), para controlar la concentración de etanol en el destilado, y1(t); y el caudal de vapor de rehervido, u2(t), para controlar la composición del producto de fondo, medida por la temperatura del fondo de la columna y2(t).

Modelo de la columna

Un modelo linealizado de la columna está dado por las ecuaciones

Donde

Este modelo está escalado con unidades de tiempo en minutos (es un proceso lento, como muchos procesos químicos).

Control PI descentralizado de la columna

Se diseñaron dos controladores PI, uno conectando y1 a u1, y el otro conectando y2 a u2.

Al ignorar las transferencias G12 y G21 se considera la planta como si fuera dos sistemas SISO separados (no interactuantes). Este enfoque se llama control descentralizado.Los controladores obtenidos son

y dan un desempeño aceptable, como muestra la figura, que se obtuvo simulando el sistema a lazo cerrado con el modelo de la planta. Se ve, sin embargo, que los lazos interactúan (r1 afecta a y2, y r2 a y1).

Ejemplo En MATLABSe desea subir la temperatura del agua de un tanque con un calentador. La temperatura de Salida debe ser igual a la temperatura del Set Point (80°C). Se utiliza un controlador (PID) Proporcional-Integral-Derivativo. La temperatura del agua de la entrada es igual a 20°C. La corriente es igual a 10 m3/hr. El volumen del tanque es igual a 100 m3. La densidad del agua y la capacidad de calor son 1 Kg/m3 y 4.19 KJ/(Kg °C). El calentador y el dispositivo de la medida de la temperatura tienen un retraso de primer orden con una constante de tiempo igual respectivamente a TauQ y a TauSens. La entrada de calor y la temperatura iniciales del tanque son iguales a 2500 KJ/hr y 20°C. Este problema es solucionado usando Berkeley-Madonna en Chemical Engineering Dynamics por J. Ingham y otros (segunda edición, Wiley-VCH, 2000). La solución usando MatLab está presente en esta página. La temperatura medida por el sensor se atrasa levemente a la temperatura real del tanque. El controlador PID da el mejor control sin Offset y oscilaciones prontamente amortiguadas.

Archivo: “PID_control.m”

function xdot=PID_control(t,x) V = 100; F = 10; rho = 1; cp = 4.19; Q0 = 2500; TRset = 80; T0 = 20; TauSens = 2; Kp = 300; TauQ = 1;TauI=9;TauD=0.8;

QC= Q0 + Kp*(TRset - x(3))+Kp/TauI*x(4)-Kp*TauD*1/TauSens*(x(1)-x(3)); xdot(1) = 1/(V*rho*cp)*(F*rho*cp*(T0-x(1))+x(2));xdot(2) = (QC-x(2))/TauQ;xdot(3) = 1/TauSens*(x(1)-x(3));xdot(4) = TRset - x(3); xdot=xdot';

Archivo: “main_PID_control.m”

tf = 150; x0=[20 2500 20 0]; [t,x] = ode15s('PID_control',[0 tf],x0); x1=x(:,1);x2=x(:,2);x3=x(:,3); figure(1);hold onplot(t,x1,'r');plot(t,x3,'b');hold off figure(2);hold on;plot(t,x2,'c');hold off;

“Temperatura Aplicada al Tanque por el Calentador”

“Temperatura en el Tanque”