Conjunto

Es una colección de objetos o elementos.

El conjunto que no tiene ningún elemento se llama conjunto vacío. Se representa con el símbolo ∅.

Subconjunto

Es una parte de un conjunto.

Identidades notables

Cuadrado de la suma de dos monomios:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Cuadrado de la diferencia de dos monomios:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

¿Recuerdas qué es…?

12COMBINATORIA. BINOMIO DE NEWTON

En determinadas situaciones es necesario hacer recuentos de las posibilidades que se presentan para tomar las decisiones adecuadas.

Imagina que los alumnos de 4.º quieren organizar un sorteo para recaudar fondos. Deciden hacer papeletas en las que aparecen tres números del 1 al 20. Para determinarel premio se extraerán tres bolas de un bombo con bolas numeradas del 1 al 20. El premio corresponderá a la papeleta que contenga los tres números extraídos. ¿Cuántas papeletas diferentes tienen que hacer para poner a la venta?

Los procedimientos para realizar estos recuentos se estudian en la parte de Matemáticas que se llama Combinatoria.

Los objetivos de esta Unidad son:

• Conocer los procedimientos básicos para hacer recuentos.

• Utilizar las expresiones matemáticas que proporciona la Combinatoria.

• Conocer el desarrollo de la potencia de un binomio.

226

12

227

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Situación real Traducido al lenguaje combinatorio

En cinco carreras gana dos y queda segundo en tres.

Hay que formar ordenaciones de cinco elementos, donde un elemento se repite dos veces y otro se repite tres.

Si queda primero en la carrera A, en la carrera B puede quedar primero o segundo. Si también queda primero en la carrera B,en las carreras restantes queda segundo.

Con este razonamiento se construye el diagrama en árbol.

Carreras

A B C D E Resultados

1

1 2 2 2 11222

2

1 2 2 12122

21 2 12212

2 1 12221

2

1

1 2 2 21122

21 2 21212

2 1 21221

21

1 2 22112

2 1 22121

2 1 1 22211

Los resultados posibles son 10. Son permutaciones con repetición de cinco elementos donde un elemento se repite dos veces y otro elemento se repite tres veces. Se representa por P5

2, 3

Su número es:

P52 , 3 =

5!

2! 3!=

5 4 3 2 1

2 1 3 2 1=10

5

Permutaciones con repetición de m elementos, donde los elementos se repiten a, b, ..., k veces respectivamente, siendo a + b + … + k = m, son las distintas agrupaciones que se pueden formar de manera que:

1. En cada agrupación el primer elemento se repite a veces, el segundo bveces, etcétera.

2. Dos agrupaciones son diferentes si los elementos vienen dados en dis­tinto orden.

El número se calcula con la expresión: Pma , b , ... , k =

m!a! b! ... k !

COMBINACIONES

Combinaciones de m elementos tomados de n en n son los distintos sub­conjuntos de n elementos que se pueden formar a partir de un conjunto de m elementos.

El número de combinaciones se calcula con la expresión:

Cm, n =Vm, n

Pn

Una empresa de distribución de publicidad dispone de 10 repartidores. Si los repartidores tra­bajan en equipos de tres personas, ¿de cuántas formas diferentes se puede formar los equipos de distribución?

En una heladería venden helados de seis sa­bores diferentes. Si Luisa quiere comprar un he­lado con dos sabores, ¿cuántos helados puede elegir?

Ejercicios

6Un piloto de Fórmula I ha corrido cinco carreras y ha quedado tres veces en segundo lugar y dos en primer lugar. ¿De cuántas formas se han podido dar estos resultados?

Para formar todas las ordenaciones posibles se asigna una letra a cada carrera A, B, C, D y E.

Se asigna la cifra 1 si gana la carrera y se asigna la cifra 2 si termina la carrera en segundo lugar.

11 12

Para el campeonato del mundo de ciclismo en pista se dispone de cuatro corredores, pero sólo pueden competir tres. ¿De cuántas formas distintas podemos seleccionar a tres corredores para la competición?

Los corredores son: A, B, C y D.

Hay que formar selecciones de tres corredores. El orden de cada selección no influye porque lo que interesa son los distintos subconjuntos que se pueden obtener del conjunto formado por los cuatro corredores. Los subconjuntos que se obtienen se llaman combinaciones de cuatro elementos tomados de tres en tres. Se representa por C4, 3.

En este caso, las combinaciones posibles de tres corredores son:

ABC ABD ACD BCD

Si en cada combinación se ordenan los corredores de todas las formas po­sibles, se obtienen las variaciones sin repetición de cuatro elementos toma­das de tres en tres.

Si se observa la tabla, se comprueba que C4, 3 · P3 = V4, 3

Despejando se tiene: C4 ,3 =V4 ,3

P3

=4 3 23 2 1

= 4

C4, 3

ABC ABD ACD BCD

V4, 3 = 4 · 3 · 2 = 24

ACBBACBCACABCBA

ADBBADBDADABDBA

ADCCADCDADACDCA

BDCCBDCDBDBCDCB

P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/combinatoria_jjce/combinatoria_2.htm#prActividades sobre permutaciones con repeticióny sin ella.

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/concurso2004/ver/06/combinatoria_archivos/per_marco.htmActividades interactivas para calcular permutaciones con repetición y de las demás formulas de la combinatoria.

WEB

En la pestaña Actividades/Unidad 12, encontrarás la actividad Relación unidad 12, para repasar el cálculo de la combinatoria.

CD

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/concurso2004/ver/06/combinatoria_archivos/combcon_marco.htmActividades interactivas para trabajar con combinaciones con repetición y sin ella.

WEB

DOBLE PÁGINA PRESENTACIÓNComenzamos la Unidad de manera didáctica y amena, con una actividad cercana para el entorno de los alumnos. A continuación, aparece un breve vocabulario en el que se recogen los términos matemáticos que se van a emplear en dicha Unidad; su objetivo es el de recordar conceptos de cursos anteriores.

DESARROLLO DE LA UNIDADLa Unidad está estructurada en epígrafes que comienzan con una actividad que sirve de ejemplo para introducir el concepto a tratar.Al fi nalizar cada apartado se proponen ejercicios para resolver para que el alumno compruebe la comprensión de los conceptos estudiados.

CÓMO SE USA EL CDDentro del libro está incluido el CD para el alumno con material multimedia para que trabaje en el aula y en casa. En cada unidad didáctica, en aquellos apartados que se complementen con el CD, aparece el símbolo   que indica el empleo del CD por parte del alumno para complementar su aprendizaje.

¿CÓmo SE uTiLiZa ESTE LiBro?

CÓMO SE USA EL CDDentro del libro está incluido el CD para el alumno con material multimedia para que trabaje en el aula y en casa. En cada unidad didáctica, en aquellos apartados que se complementen con el CD, aparece el símbolo que indica el empleo del CD por parte del alumno para complementar su aprendizaje.

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232

EJERCICIOS RESUELTOS12

233

Con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 determina:

a) ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes se pueden formar?b) ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden formar? De ellos, ¿cuán-

tos son múltiplos de 5?

a) Los números tienen cinco cifras diferentes a b c d e, y tienen que empezar por cualquier dígito distinto de cero.

Números que empiezan por 1:

1 _ _ _ _ V9, 4

Hay cuatro lugares que pueden ocupar los dígitos 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

El número viene dado por las variaciones sin repetición de nueve elementos tomados de cuatro en cuatro.

El mismo razonamiento sirve para los números que empiezan por 2 o por 3 ..., o por 9:

2 _ _ _ _ V9, 4

3 _ _ _ _ V9, 4

: : :9 _ _ _ _ V9, 4

Los números de cinco cifras diferentes que se pueden formar con los diez dígitos son:

9 · V9, 4 = 9 · 9 · 8 · 7 · 6 = 27 216

b) Un número de cinco cifras empieza por un dígito distinto de cero y pue­de tener alguna cifra repetida.

Números que empiezan por 1:

1 _ _ _ _ VR10, 4

El número viene dado por las variaciones con repetición de diez elementos tomados de cuatro en cuatro.

El mismo razonamiento sirve para los números que empiezan por 2, por 3 ..., por 9:

2 _ _ _ _ VR10, 4

3 _ _ _ _ VR10, 4

: : :9 _ _ _ _ VR10, 4

Los números de cinco cifras que se pueden formar con los diez dígitos son:

9 · VR10, 4 = 9 · 104 = 90 000

De estos números, son múltiplos de 5 los que terminan en 0 ó 5, es decir, la décima parte terminan en cero y otra décima parte en 5. Son múltiplos de cinco 9 000 + 9 000 = 18 000.

La plantilla de jugadores de un equipo de fútbol está formada por 3 porteros, 6 defensas, 8 centrocampistas y 5 delanteros. Las alineacio-nes que hace el entrenador siempre están formadas por 1 portero, 4 de-fensas, 3 centrocampistas y 3 delanteros. Si cada jugador puede ocupar cualquier lugar de su demarcación, ¿cuántas alineaciones diferentes puede formar el entrenador?

Una alineación está formada por:

1 portero4 defensas3 centrocampistas3 delanteros

Los jugadores se pueden elegir dentro de cada tipo de las si­guientes formas:

Porteros: V3, 1 = 3

Defensas: V6, 4 = 6 · 5 · 4 · 3 = 360

Centrocampistas: V8, 3 = 8 · 7 · 6 = 336

Delanteros: V5, 3 = 5 · 4 · 3 = 60

El número total de alineaciones que se pueden formar es:

V3, 1 · V6, 4 · V8, 3 · V5, 3 = 3 · 360 · 336 · 60 = 21 772 800

El problema es diferente si lo que se quiere saber es el número de alineacio­nes con la condición de que haya 1 portero, 4 defensas, 3 centrocampistas y 3 delanteros. En este caso, se sustituyen las variaciones por combinaciones porque el orden de colocación de los jugadores no infl uye en la alineación.

C3, 1 C6, 4 C8, 3 C5, 3 =31

64

83

53

=

= 36 5 4 34 3 2 1

8 7 63 2 1

5 4 33 2 1

= 25 200

3 Hallar el término central del desarrollo de (2x – y)22.

Como el desarrollo de la potencia del binomio (a + b)n tiene n + 1 términos, el desarrollo de (2x – y)22 tiene 23 términos. El término central ocupa el lu­gar 12 en el desarrollo.

Los coefi cientes son números combinatorios de la forma 22k

, donde k toma

los valores de 0 a 22. Para k = 11 se obtiene el coefi ciente del término cen­

tral 2211

.

El término central es:

T12 =2211

2x )22 11 ( y )11 =2211

211 x11y11

1 2

234

EJERCICIOS PROPUESTOS12

235

Diagramas en árbol

Se tiran una moneda y un dado sobre una mesa. Construye un diagrama en árbol con todos los resultados posibles.

Se lanzan tres monedas sobre una mesa. Construye el diagrama en árbol de todos los resultados posibles.

Escribe el diagrama en árbol de todas las for­mas posibles de sentarse cuatro personas en cuatro si­llas alrededor de una mesa cuadrada.

Construye el diagrama en árbol que represen­ta todos los números de tres cifras distintas que pue­den formarse con los dígitos 1, 2, 3 y 4.

Con los dígitos 1, 2, 3 y 4 construye el diagra­ma en árbol de todos los números de tres cifras de for­ma que la cifra de las centenas sea 1.

Construye el diagrama en árbol de todas las parejas de vocales distintas que se pueden formar con las vocales a, e, i, o, u.

En la fi nal de un torneo de ajedrez se proclama campeón el primer contendiente que gane tres parti­das. ¿De cuántas formas distintas se puede desarrollar la fi nal? Construye un diagrama en árbol para obtener el resultado. (No se consideran las partidas que termi­nan en tablas.)

Cinco amigos compran cinco entradas para el cine. ¿De cuántas formas se pueden sentar en sus loca­lidades?

En una glorieta confl uyen cuatro carreteras. En los últimos diez minutos han pasado diez coches por ella. ¿De cuántas formas pueden haberse incorporado los diez coches a la glorieta?

Elena tiene veinte bolitas para hacerse un co­llar. Las bolitas son 5 verdes, 5 rojas, 6 blancas y 4 ama­rillas. ¿De cuántas formas puede distribuir las bolitas para hacerse el collar?

Un alumno tiene seis asignaturas que pueden ser califi cadas como:

I S B N SB

a) ¿De cuántas formas puede tener las califi caciones a fi nal de curso?

b) ¿En cuántas de ellas aprueba todas las asignaturas?

Un examen consta de diez preguntas que sólo admiten la respuesta de «verdadero» o «falso». ¿De cuántas formas diferentes se puede contestar sin dejar ninguna pregunta sin respuesta?

En una zona geográfi ca hay cinco pueblos in­comunicados entre sí. ¿Cuántos tramos de carretera hay que construir para que exista comunicación directa en­tre cada dos pueblos?

Un grupo de veinte soldados tiene que orga­nizar turnos de guardia de dos soldados cada guardia. ¿Cuántos grupos de guardia se pueden formar?

¿Cuántos productos de tres factores diferentes se pueden hacer con los números 2, 3, 5 y 7?

Si se dispone de pesas de 1, 2, 5 y 10 kilogra­mos, ¿cuántas pesadas diferentes pueden hacerse?

Se tiene que distribuir seis bolas numeradas del 1 al 6 en tres bombos de forma que en el primer bombo haya 2 bolas, en el segundo 3 bolas y una bola en el tercero. ¿De cuántas formas se pueden distribuir las bolas en los bombos?

En una carrera participan diez corredores. ¿Cuántas quinielas hay que rellenar para tener la segu­ridad de acertar si se debe pronosticar el orden de lle­gada de los cuatro primeros?

Determina cuántos números de cuatro cifras distintas menores que 6 000 se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 7 y 8.

¿Cuántas permutaciones se pueden obtener con los dígitos 0, 2, 4, 6 y 8? De los números obtenidos, ¿cuántos son menores que 4 000?

Si se lanza un dado tres veces y se anota el número obtenido, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar con los resultados obtenidos?

Un aula tiene 10 puntos de luz iguales. Si se quiere iluminar el aula con 6 puntos de luz, ¿de cuántas formas diferentes se puede hacer?

En la plantilla de una cadena de televisión dis­ponen para los programas informativos de cinco perio­distas para la información política, cuatro periodistas para las noticias deportivas y tres para las culturales. ¿De cuántas formas pueden desarrollar un programa informativo si debe estar presentado por dos periodis­tas de información política, dos de noticias deportivas y uno de noticias culturales?

¿Cuántas banderas tricolores pueden hacerse con los colores del arco iris?

¿Cuántas quinielas se pueden hacer con 6 unos, 3 equis y 5 doses?

Para obtener el número de cinco cifras gana­dor de un sorteo se extrae una bola de un bombo que tiene cinco bolas numeradas del 1 al 5. Se anota la bola extraída y se devuelve al bombo para repetir la opera­ción cuatro veces más. ¿Cuántos números diferentes pueden salir cuyas cifras sean dos unos y tres cincos?

fi gura 12.08 ¿Cuántos números de diez cifras significati­vas y distintas hay en el sistema de numeración deci­mal?

Con las letras de la palabra COMBINACIÓN, ¿cuántas ordenaciones se pueden hacer? ¿Cuántas de esas ordenaciones empiezan por COM?

El juego de la Lotería Primitiva consiste en marcar seis números escogidos entre un conjunto de números del 1 al 49. ¿Cuántas combinaciones de seis números se pueden elegir?

Si se permutan las cifras del número 2 223 414, ¿cuántos números se pueden obtener?

¿Cuántas quinielas distintas se pueden relle­nar de modo que todas ellas tengan 8 unos, 3 equis y 3 doses?

Si se unen cuatro vértices de un octógono, ¿cuántos cuadriláteros se pueden formar?

Combinatoria

¿De cuántas formas se puede elegir un dele­gado y un subdelegado en un grupo de 20 alumnos?

¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los dígitos impares?

Determina cuántos números capicúas de cin­co cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

55 44

1 1

2233

238

PARA REPASAREN GRUPO12

239

Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos.

El triángulo aritmético, también conocido como triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia, matemáticos a los que se les atribuye su descubri­miento, es un triángulo de desarrollo infi nito. Además de las propiedades ya comentadas en el texto, si se observa la estructura del triángulo, se ven regularidades numéricas ya conocidas por ti. Por ejemplo:

• Si en cada fi la el segundo término es un número primo, hay un triángulo invertido asociado a él que contiene múltiplos del número.

• Los términos de la sucesión de Fibonacci aparecen sumando los números situados en las diagonales trazadas de izquierda a derecha en el triángulo.

• El primer lado es la sucesión 1, 1, 1... La primera línea paralela al lado es la sucesión de números naturales. La tercera línea es la sucesión de números triangulares.

CONCEPTO DEFINICIÓN

Variaciones sin repetición

Variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n son las distintas agrupaciones de n elementos que se pueden hacer con los m elementos dados, teniendo en cuenta que:1. En cada agrupación hay n elementos distintos.2. Dos agrupaciones son diferentes si los elementos vienen dados en distinto orden o tienen algún

elemento diferente.El número se calcula con la expresión:

Vm,n = m · (m – 1) · (m – 2) … (m – n + 1)

Variaciones con repetición

Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son las distintas agrupaciones de nelementos que se pueden hacer con los m elementos dados, teniendo en cuenta que:

1. En cada agrupación hay n elementos.2. Dos agrupaciones son diferentes si los elementos vienen dados en distinto orden o tienen algún

elemento diferente.

El número se calcula con la expresión:

VRm,n = mn

Permutaciones sin repetición

Permutaciones sin repetición de m elementos son las distintas agrupaciones que se pueden hacer con los m elementos dados, teniendo en cuenta que:

1. En cada agrupación están los m elementos dados.2. Dos agrupaciones son diferentes si los elementos vienen dados en distinto orden.El número se calcula con la expresión:

Pm = m · (m – 1) · (m – 2) … 3 · 2 · 1 = m!

Permutaciones con repetición

Permutaciones con repetición de m elementos, donde los elementos se repiten a,b,...,k veces respectivamente, siendo a + b + … + k = m, son las distintas agrupaciones que se pueden formar de manera que:

1. En cada agrupación el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, etcétera.2. Dos agrupaciones son diferentes si los elementos vienen dados en distinto orden.

El número se calcula con la expresión:

Pma , b,…, k =

m!

a! b!…k !

Combinaciones

Combinaciones de m elementos tomados de n en n son los distintos subconjuntos de n elementos que se pueden formar a partir de un conjunto con m elementos.

El número de combinaciones se calcula con la expresión:

Cm , n =Vm , n

Pn

Binomio de Newton

(a +b)n =n

0an +

n

1an 1 b +

n

2a n b2 2 +…+

n

n 1abn +1

n

nbn

CURIOSIDADES, JUEGOS Y DESAFÍOS

La curiosidad de los matemáticos les ha llevado a investigar otras regulari­dades más complejas que se pueden encontrar en el triángulo de Pascal.

DESAFÍO MATEMÁTICO

Si en un triángulo equilátero T se unen los puntos medios de los la­dos, el triángulo T queda dividido en 4 triángulos: tres de ellos (T1,

T2, T3) con la misma orientación que T y uno invertido.

Si se repite el proceso sobre T1, T2 y T3, la estructura que aparece en ellos es semejante a la obtenida sobre T. Esta construcción se llama fractal de Sierpinski.

Comprueba que en el triángulo de Pascal se puede obte­ner el fractal de Sierpinski construyendo uno semejante al de la fi gura y recubriendo con color negro los hexá­gonos que contienen números impares.

Como el triángulo es infi nito se puede repetir este proceso ampliando el diseño obtenido.

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 20 15 6 1

1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 20 15 6 1

1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 20 15 6 1

1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

1

EJERCICIOS RESUELTOSBatería de actividades en las que se recoge una recopilación de estrategias de resolución de problemas, teniendo en cuenta la relación entre diferentes conceptos, desarrollada para cada una de las Unidades del libro, cuya fi nalidad es la de transmitir y aclarar al alumno los procedimientos para su resolución.

EJERCICIOSPROPUESTOSSituados al fi nal de cada Unidad, están adaptados al nivel de conocimientos de los alumnos. Se han estructurado manteniendo el orden de los diferentes epígrafes del tema objeto de estudio, marcando los mismos por nivel de difi cultad para que resulte sencillo abordar su resolución.

PARA REPASAR EN GRUPO, CURIOSIDADES, JUEGOS Y DESAFÍOSEstas secciones tienen como fi nalidad ayudar al alumno a ordenar los conceptos fundamentales de la Unidad motivándole para emplear correctamente el lenguaje matemático dentro de su contexto.

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