Universidad del Valle de Guatemala

Facultad de Ciencias y Humanidades

Departamento de Matemática

Curso Cálculo 2

Proyecto Final

Volumen de una Sandia

Josué Rendón Estrada

Carnet 08168

Sección 20

20 de mayo de 2009

Introducción y Objetivos

El objetivo de este proyecto fue calcular el volumen de una sandía utilizando tres métodos diferentes, uno utilizando los conocimientos de cálculo, otro utilizando una fórmula y otro utilizando mediciones manuales. Después se comparó los tres resultados.

Para los dos primeros métodos fue imprescindible conocer las medidas de la sandía, las cuales después de ser medida con un metro resultaron:

• Ancho (A) = 24 cm = 0.24 m • Alto (B) = 19.5 cm = 0.19 m • Profundidad (C) = 21 cm = 0.21 m

Método 1: Volumen del sólido de una Elipse en Revolución

Recurriendo a los conocimientos de cálculo y a la aplicación de la integral, se supuso que la sandía puede ser modelada por una elipse en revolución. Por supuesto que este método contuvo menos exactitud que los demás ya que al suponer que la sandia era una elipse en revolución, la medida del alto (B) y profanidad (C) fueron las mismas.

La fórmula de una elipse es

€

x 2

a2+y 2

b2=1, donde a es el

radio mayor y b es el radio menor. En esta oportunidad se colocó el centro de la elipse en el origen y su radio mayor sobre el eje x. Despejamos y2 de la fórmula de la elipse para poder utilizarla más adelante:

€

y 2 = b2 1− x2

a2

.

Sabemos que para cualquier función

€

y = f (x) continua en el intervalo

€

[c,a], el volumen del sólido obtenido al rotar dicha función alrededor del eje x viene dado por la ecuación:

€

V = π[ f (x)]2c

d

∫ dx

Esa fue la razón por la que se despejó y2 de la fórmula de la elipse. Se sustituyó y2 en la fórmula de volumen expuesta anteriormente. Los límites de integración fueron definidos desde el origen al punto a, ya que por ser simétrica se rotará solamente la mitad de la elipse. El resultado final se multiplicó por dos para compensar este ajuste. Entones la integral a resolver quedó así:

Figura 1 – Medición de la sandía

Figura 2 - Elipse

€

V = 2π b2 1− x2

a2

0

a

∫ dx

Ya que b y a son constantes, fueron sacadas de la integral. Para facilitar la operación, se separó en dos partes la integral:

€

V = 2πb2 dx + 2π b2

a2x 2

0

a

∫ dx0

a

∫

Ambas partes pudieron ser integradas directamente y fueron preparadas para ser evaluadas:

€

V = 2πb2 x 0a

+ 2π b2

a2x 3

3 0

a

Se evaluaron ambos límites:

€

V = 2πb2a + 2π b2

a2a3

3

Después de simplificar y agrupar se llegó al siguiente resultado:

€

V =43πab2

Conociendo los valores del ancho (A) y alto (B) de la sandía, se obtuvo el eje mayor a y el eje menor b.

€

a =A2

y

€

b =B2

Entonces se sustituyeron estos valores en la fórmula para obtener el volumen de la sandía.

€

V =43π (0.12m)(0.09m)2 = 0.00453m3

Método 2: Volumen de un Elipsoide

En este segundo método, modelamos la sandía como una elipsoide, y conociendo su ancho (A), alto(B) y profundidad (C) utilizaremos la fórmula encontrada en libros de texto para volumen de un elipsoide:

€

V =43πabc

Nótese que esta fórmula fue muy similar a la obtenida por el método de sólidos en revolución, con la diferencia que en esta si se consideró un tercer eje (profundad), ya que se trató de una elipsoide.

Sustituyendo valores, se obtuvo:

€

V =43π (0.12m)(0.09m)(0.11m) = 0.00497m3

Método 3: Medición Manual

El último método para medir el volumen de la sandía fue el viejo y confiable método por desplazamiento de agua. Se colocó la fruta en un recipiente cilíndrico lleno con agua. Esta cantidad de líquido fue medido previamente y así se hizo con la cantidad desplazada por la sandia. Esta última medida correspondió al volumen de la sandia.

• Altura de líquido desplazado = 9 cm = 0.09 m

• Radio del recipiente = 14.5 cm = 0.145 m

Sustituyendo los valores en la fórmula del volumen de un cilindro obtuvimos:

€

V = π (0.09m)(0.145m)2 = 0.00594m3

Conclusión

El método que mas se aproxima a la realidad es el tercero, ya que realmente una sandía no es un elipsoide ideal o el sólido de una elipse en revolución. Si fuera imposible realiza el método por desplazamiento de agua, el que más se acercaría al valor real sería el que supone que la fruta es una elipsoide ideal.

Bibliografía

• Rashdi, M. Gholami, M. 2008. Determination of Kiwifruit Volume Using Ellipsoid Approximation and Image-processing Methods. International Journal of Agriculture & Biology. Estados Unidos de América. Recuperado de: http://www.fspublishers.org/ijab/past-issues/IJABVOL_10_NO_4/3.pdf

• Stewart, J. “Cálculo de una variable”. Cengage Learning. 6ta. Edición. 2008. Págs 30-50.

• Stewart, J. “Cálculo de varias variables”. Cengage Learning. 6ta. Edición. 2008. Págs 805-809.