COMIT LATINOAMERICANO DE MATEMTICA EDUCATIVA

Clame

COMIT LATINOAMERICANO DE MATEMTICA EDUCATIVA Consejo directivo Clame

Presidente Rosa Mara Farfn (Mxico)

Secretario General Luis Campistrous (Cuba)

Tesorero Germn Beita (Panam)

Directores Ejecutivos Comit Internacional de Programa Jorge Fiallo Leal (Colombia) RELME-15

Jenny Oviedo (Costa Rica) Presidente Joaqun Padovani (Puerto Rico) Cecilia Crespo Crespo (Argentina) Erndira Valdez (Mxico) Vocales

Guadalupe Tejada (Panam) Consejo Consultivo Eugenio Carlos Rodrguez (Cuba)

Ricardo Cantoral (Mxico) Crislogo Dolores Flores (Mxico) Egberto Agard (Panam) Evarista Matas (R. Dominicana) Teresita Peralta (Costa Rica) Comisin de Promocin y Acadmica Fernando Cajas (EEUU) Edison De Faria (Costa Rica) Carlos Rondero (Mxico)

Comisin de Admisin Javier Lezama (Mxico) Francisco Cordero (Mxico) Freddy Gonzlez (Venezuela) Analida Ardila (Panam) Leonora Daz (Chile) Myriam Acevedo (Colombia) Mayra Castillo (Guatemala) Vctor Martnez (Uruguay) Uldarico Malaspina (Per)

Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa

Volumen 15, ao 2002

Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa Volumen 15, ao 2002 Editora: Cecilia R. Crespo Crespo Diseo de portada: ngeles Viacava Motivo de la portada: Seibo, flor nacional de Argentina

Presentacin El creciente fortalecimiento del Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa (Clame), se puso de manifiesto a travs de la organizacin de la Decimoquinta Reunin Latinoamericana de Matemtica Educativa RELME 15 organizada en Buenos Aires (Argentina), en julio de 2001. Esta reunin fue particularmente significativa, por una parte, por tratarse del resultado de quince aos de labor tras los cuales se viene perfilando la Matemtica Educativa como disciplina y como movimiento que nuclea a docentes e investigadores de los distintos niveles de los sistemas educativos de Latinoamrica y por otra parte, la primera oportunidad en la cual RELME se realiza en el Sur de Latinoamrica, permitiendo la participacin de mayor cantidad de colegas de estas latitudes. RELME 15 convoc a numerosos y destacados colegas provenientes no slo de pases latinoamericanos. La expansin de la Matemtica Educativa como movimiento se puso en evidencia a travs de la concurrencia a esta reunin de representantes de pases de Amrica, Europa, Asia y Oceana. Los valiosos aportes de los investigadores y docentes que concurrieron se manifestaron a travs de una importante cantidad de actividades en las que los participantes compartieron experiencias y resultados. En esta publicacin se presentan los artculos resultantes de los extensos de algunas de las actividades llevadas a cabo durante esta reunin. Los extensos enviados por los autores de trabajos expuestos durante RELME 15, fueron sometidos a la evaluacin de rbitros del Comit Evaluador, quienes determinaron su inclusin en las Actas, sustentando sus dictmenes sobre la base de la calidad de los trabajos presentados, en comparacin de los niveles internacionales de exigencia para eventos acadmicos de esta ndole. En esta ocasin, la publicacin se organiza en secciones segn las siguientes categoras y niveles:

Pensamiento matemtico avanzado - Nivel Medio y Superior Pensamiento numrico y algebraico - Nivel Bsico, Medio y Superior Pensamiento geomtrico - Nivel bsico, Medio y Superior Pensamiento relacionado con probabilidades y estadstica - Nivel Bsico, Medio

y Superior Epistemologa e historia de la matemtica - Nivel Medio y Superior Incorporacin de distintas perspectivas - Nivel Bsico, Medio y Superior Uso de tecnologa - Nivel Medio y Superior Resolucin de problemas - Nivel Bsico, Medio y Superior Evaluacin - Nivel Medio y Superior Teora y metodologa

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Formacin de profesores - Nivel Bsico, Medio y Superior Educacin a distancia - Nivel Superior Desarrollo del Curriculum - Nivel Medio y Superior Documentos de los grupos de trabajo y discusin

Queremos agradecer a los participantes y ponentes de RELME 15, ya que fueron ellos los que hicieron posible que se llevara a cabo con xito este evento, y a los rbitros que contribuyeron a mantener el nivel, tanto de la reunin, como de esta publicacin. Tambin reconocemos y agradecemos la colaboracin y orientacin ofrecida por los representantes de Clame y del Comit Internacional de Programa. Merecen un agradecimiento especial Christiane Ponteville, Liliana Homilka, Mara del Carmen Prez, Fabin Valio, Patricia Lestn y Daniela Veiga, sin cuya colaboracin y apoyo incondicional, tanto la realizacin del evento, como la edicin de estas Actas no hubiera sido posible. Agradecemos finalmente al Colegio del Salvador su hospitalidad al albergarnos en su histrico y majestuoso edificio durante la reunin, y a todas las instituciones, empresas y personas que de distintas maneras brindaron apoyo a travs de recursos materiales y humanos, colaborando en la concrecin de este desafo. Cecilia R. Crespo Crespo Buenos Aires, Argentina. Mayo 2002.

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Contenidos

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Contenido TOMO 1 Pensamiento matemtico avanzado - Nivel Medio En busca de un modelo matemtico 3 Marco Barrales Venegas Narracin de una interaccin discursiva en el aula: la linealidad y lo que no es la linealidad 9 Jaime Lorenzo Arrieta Vera Logaritmos, fsica y algo ms... 14 Vernica Szemruch, Daniel Vaccaro Matemtica y Fsica Cuntica 20 Cristina M. Ben Una propuesta para la enseanza de problemas de programacin lineal 26 Nora Gatica, Mirta Moreno Pensamiento matemtico avanzado - Nivel Superior La sensibilidad a la contradiccin: Un estudio sobre la nocin de logaritmo de nmeros negativos y el origen de la Variable Compleja 35 Ricardo Cantoral Uriza Optimizacin matemtica 43 Uldarico Malaspina Jurado Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 49 Vctor Martnez Luaces El comportamiento peridico de una funcin como un argumento contextual La manifestacin del movimiento fuera del instante 55 Francisco Cordero Osorio, Enrique Jaime Martnez Capistrn Una visin socioepistemolgica. Estudio de la funcin logaritmo 61 Rosa Mara Farfn Mrquez, Marcela Ferraris Escol La construccin de la derivada a travs de la nocin de variacin en estudiantes de Nivel Superior 67 Javier Barrera ngeles Un estudio acerca de las concepciones de los estudiantes sobre el comportamiento variacional de funciones elementales 73 Crislogo Dolores, Luis A. Guerrero, Mario Martnez, Madeleine Medina

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Principios, estrategias y programas heursticos en la enseanza del clculo 79 Guillermina Emilia Vosahlo Reflexiones sobre los infinitsimos en la enseanza del clculo 85 Sara Scaglia, Mara Jos Gonzlez-Lpez Metodologa participativa para la enseanza del clculo diferencial 91 Guiomar Lleras de Reyes, Sandra Isabel Gutirrez Otlora El uso del lenguaje lgico para favorecer la comprensin de modelos discretos 97 Malva Alberto; Viviana Cmara; Cristina Rogiano Los SAC favoreciendo la comprensin del clculo 102 Sonia Pastorelli, Lilian Cadoche, Adriana Lescano Un anlisis del significado de las condiciones iniciales de las ecuaciones diferenciales 108 Gabriela Buenda Abalos, Carlos Garca Prez La variacin, la aproximacin y la transformacin, como un marco de reconstruccin de significados de la derivada 114 Mara del Pilar Rosado Ocaa, Francisco Cordero Osorio Matemtica bsica para ingresar a la universidad 120 Rosa Montalto, Liliana Casetti, Marta Welti Identificacin de concepciones alternativas con modelos cruzados en el aprendizaje de la matemtica 126 Mnica Masachs, Ma. Cristina Cardozo, Carlos E. Derka El concepto de funcin en los libros de textos universitarios 131 Nora Gatica, Marcela Carranza, Gladys May, Anala Cosci Conexiones intuitivas entre la continuidad de una funcin y su derivada 137 Karina Viveros Vela, Ana Isabel Sacristn Rock Ecuaciones Diferenciales y Cintica Qumica 143 Vctor Martnez Luaces, Gladys Guineo Cobs Estimulando la creatividad en una clase de una Facultad de Ciencias 149 Susana Gonzlez de Galindo, PatriciaVillalonga de Garca, Marta Marcilla de Rulli, Berta Chahar de Corrales, Lisa Holgado de Mejail Introduccin a la lectura de textos matemticos antiguos 155 Apolo Castaeda, Marcela Ferraris, Gustavo Martnez Redes para el aula. Una herramienta para la creatividad en el proceso de enseanza aprendizaje 161 Roberto H. Fanjul, Ana Elisa Ibez, Hilda Mara Motok, Gladys Mnica Romano

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Pensamiento numrico y algebraico - Nivel bsico Clculo y estimacin en el contexto de la educacin en matemtica en la Bsica General 169 Guadalupe Tejada de Castillo Relaciones en la construccin de conceptos en torno a las operaciones con fracciones 174 Teresita Peralta Monge Explorando significados, nociones y conceptos de fraccin en jvenes y adultos 177 Marta Elena Valdemoros lvarez El concepto de movimiento cualitativo y cuantitativo en la alfabetizacin escolar 183 Daisy Faulin Modelos aritmticos para la resolucin de problemas algebraicos 189 Martn Andonegui Zabala El doble aspecto del concepto numrico: el lenguaje y lo operacional 195 Anna Regina Lanner de Moura, Daisy Faulin Pensamiento numrico y algebraico - Nivel Medio Los sistemas de representacin semitica en el aprendizaje del concepto de fraccin 201 Martn Andonegui Zabala, Alcides Vargas Producciones escritas y tratamientos de control en lgebra: algunas evidencias para pensar en interacciones posibles para guiar su evolucin 207 Mabel Panizza, Jean-Philippe Drouhard Generalizacin y control en lgebra 213 Mabel Panizza Los primeros pasos hacia el lenguaje algebraico 219 Silvina Cafferata Ferri, Mara del Carmen Catoira Explicacin de algunos fenmenos didcticos ligados a las convenciones matemticas de los exponentes 225 Rosa Mara Farfn, Gustavo Martnez Polinomios significativos 232 Abel Carmona, Estela Sonia Aliendro, Anglica Elvira Astorga, Mnica Lisi Sucesiones y progresiones: Bsqueda de patrones. Transitando desde el razonamiento plausible y la historia de la matemtica hasta llegar al razonamiento matemtico 238 Alba Ziomara Avil Acerca de las relaciones entre errores algebraicos y aprendizajes significativos 244 Juana Ins Prez Zrate

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Pensamiento numrico y algebraico - Nivel Superior Errores algebraicos: cmo superarlos en un curso de introduccin al lgebra a nivel superior? 253 Nelly Len Gmez Diseo de una secuencia de actividades para el anlisis conceptual de la base de un espacio vectorial 259 Rosa Ma. Chargoy Espnola Estudio comparativo sobre los resultados obtenidos por alumnos que aprobaron un curso de lgebra vs. los que lo reprobaron 265 Ma. Beatriz Gmez Talancn Exploracin y anlisis de los errores algebraicos en el aprendizaje de funciones 271 Adriana Engler, Silvia Vrancken, Marcela Hecklein, Daniela Mller, Lilin Cadoche La enseanza de matrices y sus nodos cognitivos 277 Ana E. Ferrazzi de Bressan, Juan Carlos Bressan La matemtica discreta como formacin bsica 283 Sylvia da Rosa Los errores como objeto de estudio 289 Beatriz Alicia Funes, Ana Mara Garca de Macas, Ana Mara Herrera de Jimnez Exploracin de estrategias utilizadas por un adulto en tareas de razn y proporcin 295 Elena Fabiola Ruiz Ledesma El adulto resuelve problemas aritmticos elementales 301 Marta Elena Valdemoros Alvarez Pensamiento Geomtrico - Nivel bsico Una aproximacin matemtica a los rompecabezas de alambre 309 Carlos Montoya, Guillermo Gmez Alcaraz Geometra para profesores de educacin primaria 315 Santiago Ramiro, Carlos Flores, Gerardo Garca, Enrique Gmez, Hermes Nolasco Pensamiento Geomtrico - Nivel Medio Las representaciones grficas en la enseanza de la geometra 323 Susana Moriena, Sara Scaglia La incidencia del pensamiento geomtrico en la formacin de conceptos 329 Marta Bonacina, G. Bortolato, A. Haidar, M. Quiroga, E. Sorribas, C. Teti

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Recubrimientos del plano con figuras iguales 335 Cristina Ochoviet, Mnica Olave, Mario Dalcn Experiencias sobre la interpretacin de la independencia de las variaciones del rea y del permetro 341 Mara Susana Dal Maso, Marcela Gtte, Ana Mara Mntica, Adriana Marzioni Un Irracional Dorado 347 Graciela Susana Galindo, Mara Isabel Daz, Ana Mara Garca de Macas Las relaciones implican siempre dependencia? 352 Mara Susana Dal Maso, Marcela Gtte, Ana Mara Mntica, Adriana Marzioni La habilidad de visualizar en situacin escolar 357 Santiago Ramiro Velzquez, Carlos Flores Lozano, Enrique Gmez Otero, Gerardo Garca La geometra del crculo: Un camino hacia la demostracin 363 Susana Victoria Barrera, Homero Flores Samaniego El plegado como recurso didctico en la enseanza de la geometra 368 Fernando Villarraga P., Mara I. Romero R, Carlos Ochoa C., Milton Lesmes A. Permetro, rea y volumen del juego a la reflexin 372 Mara Antonia Tellechea, Beatriz Villabrille de Bessega Pensamiento Geomtrico - Nivel Superior La Geometra en la Argentina Indgena. poca Prehispnica 379 Oscar F. Sardella La Geometra Eucldea en la formacin de profesores. Un enfoque desde lo procedimental 385 Cristina Ferraris Sobre las dificultades en los procesos cognoscitivos: anlisis y sntesis 391 Juan Manuel Nole Una estrategia didctica para el aprendizaje de superficies 396 Mnica Beatriz Caserio, Martha Elena Guzmn, Ana Mara Vozzi Usos alternativos de las pruebas visuales en los cursos de clculo diferencial e integral 402 Cecilia Calvo Pesce, Carmen Azcrate Una situacin didctica generada para orientar la visualizacin de una propiedad geomtrica 408 Martha Elena Guzmn, Ral David Katz La enseanza de la matemtica en Carreras de Ingeniera. Tercera entrega: lgebra y Geometra I. Teora , prctica y aplicaciones 413 Salvador Gigena, Flix J. Molina, Daniel Joaqun, Oscar Gomez, Adolfo Vignoli

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La geometra de hoy en la formacin de profesores: La Topologa 418 Carmen Sosa Garza, Roberto Torres Hernndez Estudio sobre la visualizacin y el nivel de asimilacin del concepto de dimensin 424 Cristina I. Badano, Adriana E. Cabana, Andrea F. Lepera, Mara S. Moriigo Desarrollo del pensamiento matemtico: el caso de la visualizacin de funciones 430 Ricardo Cantoral, Gisela Montiel Pensamiento relacionado con probabilidades y estadstica - Nivel bsico Comprensin de la idea intuitiva de probabilidad en los nios de 5 aos 439 Marina Perusini, Susana Ferrero Taller de estadstica para maestros 445 Ana Silvia Haedo, Gabriela Patricia Net, Daniel Vzquez Vargas Pensamiento relacionado con probabilidades y estadstica - Nivel Medio Anlisis de aprendizajes en inferencia estadstica a travs de proyectos de investigacin 453 Angustias Vallecillos Jimnez Anlisis de los errores metodolgicos en trabajos escolares de estadstica 459 Dora Franzini de Livia, Nancy Muoz, Roberto Snchez, Magdalena Pekolj, Olga Vannucci, Mara I. Blois Una propuesta de enseanza de la probabilidad y la estadstica en el bachillerato: Taller de actividades 465 Ren Ramrez Ruz Pensamiento relacionado con probabilidades y estadstica - Nivel Superior Propuesta de enseanza de probabilidades para la formacin de profesores 471 Andrea Lavalle, Lisandro Curia Enseanza de correlacin y regresin lineal simple. Una experiencia en carreras de ingeniera 477 Mara Rosa Chillemi, Emma Estela Morales Los malentendidos en las conclusiones estadsticas 484 Beatriz Spagni de Barletta, Sara Lilian Cadoche Una aplicacin de matrices en modelos estadsticos 489 Mara Rosa Rodrguez de Estofn, Mara Anglica Prez de del Negro Reflexiones sobre el curso de estadstica para profesionales no estadsticos 495 Elda Gallese, Noem Ferreri

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Epistemologa e historia de la matemtica - Nivel Medio Los nmeros a travs de la historia o la historia de los nmeros? 503 Adriana B. Berio, Silvana N. Mastucci La complejidad del continuo numrico 508 Jeannette Vargas Hernndez Orgenes del Clculo Infinitesimal: De la antigedad al Teorema Fundamental 514 Gabriela Prez, Vernica Molfino, Marcelo Lanzilotta, Mario Dalcn Aplicaciones e historia de la Geometra Analtica 520 Alexander Bell Meja, Roberto Torres Hernndez Epistemologa e historia de la matemtica - Nivel Superior La nocin de infinito a travs de la historia 529 Cecilia R. Crespo Crespo Pensamiento Algebraico en Babilonia 535 Egbert Agard Una epistemologa del concepto de periodicidad a travs de la actividad humana 539 Gabriela Buenda Abalos, Francisco Cordero Osorio Desarrollo y evolucin del Clculo Integral desde Euler hasta Lebesgue 545 Encarnacin Rosado Zavala, Carlos Armando Cuevas Vallejo La induccin y el mtodo hipottico deductivo en el contexto de la verificacin 551 Blanca Estela Lezana; Margarita Veliz de Assaf Interrelacin de las ciencias formales y las ciencias econmicas 557 Jess Alberto Zeballos, Mara Rosa Rodrguez de Estofn Incorporacin de distintas perspectivas - Nivel bsico La etnomatemtica y la semiologa del lenguaje etnomatemtico 565 Oscar Pacheco Ros Comprensin de procesos de comunicacin en las clases de Matemticas y Espaol 570 Mara Leticia Rodrguez Gonzlez Ensear matemtica para la diversidad 576 Mara Graciela Devoto de Corts, Marcela Alejandra Karakatsanis

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Lectura, escrita y resolucin de problemas: habilidades bsicas para el aprendizaje matemtico 582 Cludia Tenrio Cavalcanti, Ktia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz La influencia de la teora de las inteligencias mltiples y los estilos de aprendizaje en la calidad de la enseanza de la matemtica 588 Mara del Pilar Horna Brua El papel cuadriculado en el desarrollo lgico matemtico del Nivel Inicial 594 Santa Daysi Snchez Gonzlez Incorporacin de distintas perspectivas - Nivel Medio El uso de mapas conceptuales y V de Gowin en la enseanza-aprendizaje de la matemtica 601 Cipriano Cruz Las ciencias de la vida 605 Blanca Mara Peralta Marcos de resolucin, modelos mentales y comprensin 611 Ins Elichiribehety, Mara Rita Otero Matemtica y literatura 618 Irene Zapico, Gisela Serrano, Mnica Miceli Acertijos: slo para jugar? 624 Mara Jos Arias Mercader, Guillermina Marcos El pensamiento lateral en el aula de matemtica 630 Lisa V Holgado de Mejail, Berta J. Chahar, Marta I. Marcilla de Rulli, Patricia M. Villalonga de Garca, Susana Gonzlez de Galindo Diferencias entre el pensamiento vertical y lateral 637 Guillermina Emilia Vosahlo Matemtica para experimentar 643 Liliana Valdez de Zapata, Estela Sonia Aliendro, Thomas Hibbard, Jorge Yazlle, Camilo Jadur, Eudosia Natividad Daz de Hibbard Estrategias para desarrollar la creatividad 649 Guillermina Emilia Vosahlo

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TOMO 2 Incorporacin de distintas perspectivas - Nivel Superior Hacia una comprensin del sujeto ingresante 657 Mara Rosa Etchevers Determinacin del perfil de los ingresantes a la universidad, en relacin con las estructuras lgicas que manejan, la capacidad que poseen en el uso del lenguaje simblico y los conocimientos previos que tienen de Clculo Diferencial 663 Magdalena Pagano, Walter lvarez, Eduardo Lacus Exploracin de las posibles influencias del lenguaje en la construccin del conocimiento en el campo de la matemtica: una primera mirada 669 Patricia Viviana Pichl La autorregulacin: un recurso metacognitivo en el aprendizaje del clculo 675 Margarita Veliz de Assaf; Isabel del Carmen Isaya Las cpsulas en las estructuras de la matemtica 681 Juan Carlos Bressan, Ana E. Ferrazzi de Bressan Aprendizaje cooperativo en la Universidad 687 Lilian Cadoche ; Adriana Engler ; Sonia Pastorelli; Malva Alberto Anlisis de Casos para el Aprendizaje de la Matemtica a Nivel Superior 694 Claudia Mara Lara Galo, Carelia de Rosenberg, Ricardo Ajiataz Aprendizaje autnomo en matemtica 700 Gloria Suhit, Ricardo Bernatene, Adriana Ilacqua, Mnica Incicco, Norberto Rossi, Marta Vidal Redescubrimiento del concepto de continuidad usando mtodos no tradicionales 705 B. J Chahar, Ma. E. Nieva de del Pino, M. A. Correa Zeballos Una situacin problemtica: La Empresa DISCRETIZADA 709 Claudia Guzner, Alejandra Cvico, Liliana Collado, Vernica Gay, Alicia Gil, Amalia Kaczuriwsky, Cecilia Polenta, Liliana Zaragoza Relacin entre la capacidad intelectual abstracta y el rendimiento acadmico de los alumnos en una materia del Ciclo Matemtico 715 Marta I. Cirilo, Mercedes Vern de Martini, Marta La Molina, Marco Bueno Villagarca Sobre la experiencia de la enseanza de la investigacin de operaciones 721 Eloy E. Rico R. La enseanza de la matemtica basada en las tcnicas del aprendizaje significativo y grupos colaborativos 727 Mara Gonzlez Cerezo Matemtica creativa y servicio comunitario. Proyecto: Aprende, Crea y Ofrece 733 Cecilia Vidal Castro

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Etnomatemtica y cooperativismo: Una va de auto-transformacin en busca de la ciudadana 739 Joo Ferreira dos Santos, Rosana Ananias Silva da Costa, John A. Fossa Aplicacin de la operacin clasificacin de conceptos al estudio del concepto de funcin real de una variable real 744 Otilio Mederos Anoceto, Dmasa Martnez Martnez Uso de tecnologa - Nivel Medio Incorporacin de las nuevas tecnologas al currculo de matemticas de la educacin bsica y media 751 Jorge Enrique Fiallo Leal La solucin de problemas con tecnologa de punta 757 Jos Carlos Cortes Zavala, Armando Lpez Zamudio La enseanza de la geometra asistida por computadoras en la Secundaria Bsica Cubana 763 Mario Rafael Estrada Doallo, Carlos Negrn Segura, Jos A. Hernndez Bentez, Antonio Campano Pea Las nuevas tecnologas: son incorporadas en la enseanza de la matemtica? 770 M. Astiz, P. Medina, M. Vecino, S. Vilanova, M. Rocerau, M. Oliver, G. Valdez, E. Alvarez Grficas de funciones para la resolucin de problemas. El derive puede ayudar 776 P. Medina, M. Astiz, S. Vilanova, M. Oliver, M. Rocerau, G. Valdez, M. Vecino, E. Alvarez, Y. Montero Novedades del DERIVE 5.02. Empleo en la enseanza de la matemtica 783 Ivn Valido Gonzlez, Ral Delgado Rub, Pedro Castaeda Porras Diseo de actividades interactivas para la enseanza de la matemtica 789 Liliana Homilka, Patricia Vera Uso de tecnologa - Nivel Superior El impacto de la tecnologa en la educacin matemtica: La resolucin de sistemas de ecuaciones 797 Antonio R. Quesada Alfabetizacin cientfica y tecnolgica: una introduccin 803 Fernando Cajas Aplicacin de la informtica en un curso de matemticas 809 Eugenio Carlos Rodrguez, Lourdes Casaas Cruz, Mayra Durn Benejam, Marta Fernndez Casuso, Yolanda OFarrill Dinza, Ivn Valido Gonzlez

Reconstruccin de significados en contextos interactivos: las grficas de las funciones en la organizacin del clculo 815 Francisco Cordero Osorio

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Simulacin: un recurso didctico para la construccin de conceptos matemticos 821 Edison De Faria Campos Un diseo cuasiexperimental para la evaluacin del efecto de utilizacin de la herramienta computacional en el rendimiento del aprendizaje 826 Mercedes Anido, Ana Mara Craveri, Mara del Carmen Spengler Educacin matemtica con software 832 Zulma H. Milln, Yolanda B. Gil Recursos informticos como facilitadores del aprendizaje del lgebra lineal 838 Nora Mabel Lac Prugent, Elda Gallese Sustitucin, innovacin y transformacin en el proceso de enseanza aprendizaje, ante la incorporacin de la tecnologa informtica 844 Herminia Hernndez Fernndez, Mayra Durn Benejam, Juan Ral Delgado Rub Calculadoras graficadoras: herramientas tiles en la correccin de errores algebraicos 849 Edison De Faria Campos Una estrategia didctica para el aprendizaje de funciones trigonomtricas con el soporte de un software 855 Marta Bonacina, Gustavo Bortolato, Alejandra Haidar, Marisa Quiroga, Claudia Teti; Estela Sorribas Explorando con computadora algunos temas de lgebra lineal 861 Mara Ins Ciancio, Elisa Silvia Oliva Las implicancias del mtodo SPI y la tecnologa informtica en la enseanza universitaria 867 Jorge J.L. Ferrante, Alejandro E Lois, Liliana M. Milevicich Estrategias de aprendizaje con soporte informtico 873 Ana Mara Garca, Graciela Susana Galindo, Norma Ins Macchioni, Norma Alicia Ramn, Dolores Regina Solbes El uso de software matemtico como herramienta didctica y de clculo 876 Daniel Leguiza. Germn Camprub. Juan A. Lpez Molina Textos interactivos - Innovacin metodolgica para la enseanza de cnicas 881 Francisca J. Barassi, Elsa B. Osio Serie de Textos Interactivos: Clculo I Clculo II - lgebra Lineal 887 Susana Albergante, M. Gonzlez, Claudia Guzner y otras Ecuaciones diferenciales bajo resolucin de problemas con apoyo de Learning-Space y Mathematica 893 Rubn Daro Santiago A. Mtodos informticos en la resolucin de problemas matemticos 899 Douglas Navarro

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Resolucin de problemas - Nivel bsico Los problemas en el ciclo de EGB o en el Nivel Primario 909 Aldo Bruno Pizzo La calculadora y el desarrollo del pensamiento 914 Luis Campistrous Prez, Celia Rizo Cabrera Resolucin de problemas - Nivel Medio Contenidos matemticos en ejercicios y problemas de aritmtica en el aula de EGB -3 925 Virginia Montoro, Martha Ferrero, Cristina Ferraris Los problemas de regla y comps: una mirada heurstica 932 Liliana E. Sieriz Anlisis para tres miradas de dos temas de matemtica 938 Mara Gabina Romero Una experiencia para la diversidad 943 Angela Pierina Lanza Algunos factores que influyen en el proceso de la enseanza-aprendizaje de la matemtica 950 Mara Rey Genicio, Graciela Lazarte, Clarisa Hernndez Educacin y pensamiento lateral 957 Marta G. Gmez Guchea, Mirta Graciela Jacobo, Sara Ins Ottonello, Marta Susana Golbach, Anala Patricia Mena, Mara de los Angeles Jurez La creatividad: un buen camino para aprender 963 Sandra Alonza de Ruiz, Susana Mercau de Sancho, Alberto Nuova Resolucin de problemas - Nivel Superior La enseanza de la resolucin de problemas matemticos 971 Juan Ral Delgado Rub Estrategias para aprender a aprender en matemtica 975 Mara Eugenia ngel, Laura Polola, Graciela Fernndez, Mnica Bortolotto, Miriam Ecalle Organizacin del proceso de enseanza-aprendizaje de los recursos heursticos: una aplicacin en el Clculo Diferencial 981 Carmen Luisa Mndez Fabret, Caridad Gonzlez Snchez, Juan Ral Delgado Rub La creatividad en una clase de matemtica 986 Mirta Graciela Jacobo, Marta Gmez Guchea, Mara de los A. Jurez, Marta Susana Golbach, Anala Patricia Mena, Sara Ins Ottonello

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Las representaciones del estudiante sobre la nocin serie de Fourier en el contexto de la transferencia de masa 992 Claudia Rosario Muro Urista Puntos crticos condicionados 998 Salvador Gigena, Moiss Binia, Daniel Abud Relaciones entre F y F el papel del registro grfico... 1004 Mara Antonieta Aguilar Vquez Representacin y comprensin del concepto de funcin 1010 Nora Gatica, Liliana Tauber Evaluacin docente utilizando Anlisis Multivariado 1016 Arturo Gmez, Vctor Martnez Luaces Una experiencia en clculo con aprendizaje basado en problemas 1022 Leopoldo Ziga Silva Un curso de Clculo Integral con PBL (Problem-Based-Learning) 1028 Mara de Lourdes Quezada Batalla Problemas que conducen a ecuaciones diferenciales de segundo orden 1034 Pedro Castaeda Porras, Ivn Valido Ejercicio o problema? 1040 Walter O. Beyer K. Permanencia del concepto de derivada parcial, en los estudiantes, para su aplicacin a problemas 1047 Rosa M. Longs, Mara J. Frare, Mirta S. Gonzlez Trabajo heurstico en la resolucin de problemas matemticos 1052 Luca Martn, Elsa A. Rodrguez Areal Puzzle ingenieril: lgebra y Geometra Analtica, Anlisis Matemtico I 1058 Mara Itat Gandulfo, Mara Mercedes Gaitn La resolucin de problemas en el proceso de enseanza y aprendizaje del anlisis matemtico. Un modelo constructivista y por investigacin para la derivada 1064 Jorge A. Azpilicueta, Alicia Ledesma Investigacin del valor de la resolucin de problemas para la educacin matemtica 1070 E. Carrera, Nlida Mamut, Gloria Moretto, Liliana Taborda, Lina Oviedo, Liliana Contini, Zulma Arralde, Stella Vaira Una propuesta metodolgica para ensayar la definicin relativa de problema matemtico 1076 Pedro Daniel Leguiza, Germn Edgardo Camprubi

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Evaluacin - Nivel Medio Replantear la evaluacin: el uso de portafolios en la clase de matemticas 1085 Fabin Valio Evaluacin - Nivel Superior Pronstico de rendimiento acadmico y exmenes de ingreso 1093 Delia Belgrano Rawson, Guillermo Herrera Manchn La preparacin en matemtica de los estudiantes que optan por carreras de ciencias exactas: un estudio exploratorio 1099 Mara Rita Otero, Mara de los ngeles Fanaro, Ins Elichiribehety Sistema difuso de ayuda a la calificacin basado en la lgica difusa 1105 Rafael Alejandro Espn Andrade, Ral Delgado Rub, Mara Ins Lecich La evaluacin sumativa condiciona el proceso de enseanza aprendizaje 1111 Josefina Abuin, Daniel Althaus, S. Gmez Teora y metodologa Matemtica Educativa: de la investigacin a la realidad del aula 1119 Rosa Mara Farfn Aporte del matemtico terico a la matemtica educativa 1126 Fausto A. Toranzos La enseanza de la matemtica: viejos y nuevos problemas a inicios del nuevo siglo 1133 Juan Ral Delgado Rub Lneas de investigaciones de Matemtica Educativa en Repblica Dominicana. Perodo (1970-2000) 1139 Carmen Evarista Matas de Rodrguez Introduccin al estudio de las dificultades en el aprendizaje de la matemtica 1145 Luis Roberto Moreno Chandler Los aprendizajes matemticos: procesos individuales o colectivos? 1151 Erndira Valdez Coiro Reproducibilidad de situaciones didcticas 1157 Javier Lezama A., Rosa Mara Farfn M. Pensar en matemtica para ensear matemtica 1163 Cecilia Crespo Crespo, Christiane Ponteville El lenguaje matemtico y el usual, como mediador de la comunicacin 1169 Analida Ardila

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Formacin de profesores - Nivel bsico Evaluacin de un proyecto de formacin continua en matemticas 1177 Maria Ignez Diniz, Ktia Stocco Smole Formacin de profesores - Nivel Medio Generacin de problemas a partir de situaciones cotidianas 1185 Nora Andrada, Mara Casbas, Nydia Dal Bianco, Julio Lpez, Estela Torroba Hacia un modelo de docente investigador 1192 Gloria N. Suhit Desarrollo del pensamiento geomtrico en el futuro profesor de matemtica 1198 Norma Rosa Cerizola, Ruth L. Martnez, Mara A. Min Una experiencia de capacitacin docente del EGB3 y Polimodal 1204 Lidia Beatriz Esper, Luca Rodrguez Montelongo Formacin de profesores de matemtica: Una experiencia en Guatemala 1210 Mayra Castillo La creatividad: un desafo docente 1216 Graciela C. Abraham de Jurez, Marta del Valle Zamora Descripcin de situaciones didcticas desde los libros de textos (en los ltimos veinticinco aos) 1222 Malva Alberto; Lilin Cadoche Metodologa activa en enseanza de las matemticas 1228 Mnica Cabrera, Vronique Collin, Jos Cuevas, Cecilia Vidal Formacin de profesores - Nivel Superior El teorema fundamental del lgebra y los cuaterniones 1237 Alicia Gil, Amalia Kaczuriwsky, Ana Mara Narvez Influencias en la formacin de educadores matemticos en Venezuela 1243 Yolanda Serres Voisin La valoracin de los errores en el aprendizaje de la matemtica 1249 Alejandro Muoz Diosdado Un taller de docentes sobre situaciones problemticas que se resuelven con ecuaciones en diferencias finitas y la aplicacin de la herramienta DERIVE 1255 Mercedes Anido de Lpez, Ana Mara Simoniello de lvarez

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Procesos metacognitivos y reflexivos: su desarrollo en la formacin inicial de profesores de matemtica a travs de la prctica de enseanza 1261 Diana Jaramillo, Dario Fiorentini Estrategias para la actualizacin docente de los profesores de la materia de Clculo en el Nivel Superior de Educacin 1267 Luz Mara Minguer Allec La educacin matemtica en administracin. Una aproximacin al problema de sus estudios universitarios 1273 Nelly Elizabeth Gonzlez de Hernndez Mtodos y tcnicas participativas, con aplicaciones matemticas y un interesante juego algebraico 1279 Graciela C. Abraham de Jurez, Berta J. Chahar de Corrales, Hilda Mara Motok, Mabel C. Rodrguez Anido, Marta del Valle Zamora Educacin a distancia - Nivel Superior Investigacin en educacin a distancia. Un acercamiento sistmico 1287 Gisela Montiel Espinosa, Rosa Mara Farfn Mrquez La capacitacin a distancia: generador de zonas de desarrollo prximo 1293 Laura Mara Benavides Lpez Una experiencia, utilizando las NTIC, en el estudio individual de alumnos de cursos semipresenciales de Matemtica para Ingenieros Industriales 1299 Milagros Horta Navarro, Marcelo Marcet Snchez, Rita Martinez Pichardo, Nancy Horta Chvez, Martn Herrn, Walter Garzn Desarrollo del curriculum - Nivel Medio Estudio de la curricula y organizacin de los contenidos correspondientes al tercer ciclo de EGB y polimodal de las escuelas medias dependientes de la Universidad Nacional del Sur 1307 G. Guala, E. Gichal, V. Oscherov, B. Friedli Desarrollo del curriculum - Nivel Superior Anlisis de textos para determinar contenidos de enseanza 1315 Gustavo Enrique Menocal Cursos de iniciacin en el rea de matemtica, experiencia en la escuela de administracin y contadura. FACES UCV 1321 Juana Lorenzo de Centeno

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Documentos de los grupos de trabajo y discusin Actividades de enseanza que pueden apoyar el trnsito de los estudiantes desde la secundaria a la Universidad 1327 Delia Belgrano Rawson, Guillermo W. Herrera, Magdalena Pagano, Walter lvarez, Eduardo Lacus

1

Pensamiento Matemtico Avanzado

Nivel Medio

2

3

En busca de un modelo matemtico1 Marco Barrales Venegas

Colegio Alemn de Concepcin. Chile mbarrale@dsc.cl

Resumen El objetivo de nuestra investigacin fue ajustar un modelo matemtico a un problema real. Especficamente centramos nuestra atencin en determinar un modelo matemtico referente al aprendizaje de una rata de laboratorio en resolver un laberinto, es decir controlamos el tiempo que invierte la rata en completar el recorrido del laberinto y el nmero de veces que se repeta la experiencia. Despus de aplicar la interpolacin Lagrangeana el comportamiento de las ratas se ajust a una rama de una funcin hiperblica, naturalmente se realizaron algunas restricciones para concluir con una expresin (modelo) ms compacta. Introduccin Uno de los conceptos que siempre a merecido mucha importancia por su carcter medular en los cursos universitarios es el referente a funciones. Regularmente este concepto se expone a los estudiantes en forma de deficin, la misma que aparece en los libros de lgebra y clculo. En muchas ocaciones no se involucra este concepto ni a la realidad en la cual vivimos ni al contexto real, y queda la idea en el estudiante de una definicin meramente abstracta. En este trabajo se pretende reflexionar sobre un fenmeno y acercarnos a l desde una perspectiva matemtica. Concretamente nuestro trabajo de investigacin se centro en determinar un modelo matemtico referente al aprendizaje de una rata blanca de laboratorio (Rattus norvegicus) en resolver un laberinto. Qu es un Modelo Matemtico? Los modelos matemticos tienen un papel muy importante en la resolucin cientfica de problemas. Una discusin de modelos matemticos puede empezar con una consideracin del mtodo cientfico. Kemeny y Snell, matemticos del Dartmouth College, han definido el mtodo cientfico sencillamente como un proceso cclico por el medio del cual los seres humanos aprenden de la experiencia. Hay tres etapas en el modelo cientfico que uno puede repetir muchas veces: 1)Induccin, 2)Deduccin y 3)Verificacin. La Induccin es el proceso consiente en observar una situacin, acumular datos, pensar, identificar lo pertinente, simplificar, idealizar y formar teoras sobre la situacin. Modelar el problema precisamente con smbolos, ecuaciones, etc. Esta nueva irrealidad simblica es lo que llamamos un modelo matemtico. En la Deduccin se trata de aplicar la lgica y la matemtica para deducir consecuencias de las teoras. Si la teora es realmente buena se alcanza nuevos conocimientos, los cuales algunas veces son inesperados. La Verificacin es el proceso de comprobar si las predicciones de la deduccin pueden explicar lo que ya sabemos o predecir algo nuevo que es verdadero. Debemos destacar que el proceso de desarrollar el modelo es mucho ms difcil que el proceso de encontrar la resolucin del modelo en la etapa de deduccin. Eddington, un fsico ingls, es citado como diciendo: La formulacin inicial del problema es la parte ms

1 Primer concurso de proyectos de investigacin para profesores de enseanza media. (97-98) Sociedad de Matemtica de Chile.

4

difcil, porque es necesario utilizar el cerebro todo el tiempo; despus, uno puede utilizar matemtica en su lugar. Experimento Para estudiar el ritmo de aprendizaje de una rata blanca (macho) fue enviada en forma reiterativa por un laberinto confeccionado por el equipo investigador(Srtas. Karen Amthauer y Alejandra Valenzuela, alumnas de la Deutsche Schule Concepcin, anexo). Las variables consideradas en el experimento fueron: "el nmero de pruebas" y "el tiempo invertido por la rata en recorrer el laberinto". Comentarios de las alumnas: En el primer contacto con el laberinto las ratas olfateaban el lugar sin moverse, estn en una etapa de reconocimiento, se les ve muy temerosas, a cualquier ruido se paralizan y luego siguen olfateando el laberinto. No les gustaba que las tomaran de la cola para ponerlas en el lugar de partida, se quedaban un rato quietas y luego comenzaban a recorrer el trayecto. Naturalmente la falta de comida y los das de experimentacin influan en el tiempo que ellas necesitaban en resolver el laberinto. La primera rata result ms lenta y ms cautelosa, las dos siguientes eran ms rpidas y juguetonas, posiblemente el estar acompaadas fue un estimulo positivo Los resultados promedios de las tres ratas que por varias semanas participaron en el experimento, el cual se efectuaba en jornadas de maana y tarde, se resumen en la siguiente tabla y grfico: Nmero de

Pruebas Tiempo en

minutos

1 15

2 7,5

3 5,1

4 3,7

5 3

6 2,4

7 2,1

8 2,05

9 1,4

10 1,1 El problema matemtico que ahora nos planteamos alumnas y profesor es hallar una funcin real de variable real que tome los valores de los resultados del experimento. Qu modelo elegir? y Cmo plantearlo? "Generalmente se escoge el modelo que mejor explique el fenmeno que queremos entender, y que mejor se adapte al contexto en el que estamos trabajando" "En la modelacin se buscan leyes generales que permitan reflexionar y explicar un fenmeno".

Tiempo empleado por la rata en resolver el laberinto

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Nmero de pruebas

Tiem

po e

n m

inut

os

5

Polinomio de Lagrange La eleccin adecuada de la funcin y de su expresin matemtica (modelo) puede demostrarse algunas veces, pero en otros casos es imposible; de ah la importancia de que el investigador, basado en su experiencia, tenga una cierta idea a priori de cmo debe ser la funcin (frmula o modelo) que pretende encontrar. Para alcanzar este objetivo y el de nuestro trabajo de investigacin buscamos mtodos de ajuste de curvas, para determinar una funcin (modelo) a partir de una tabla de valores. Concluimos que el ms apropiado para la aproximacin de funciones es por Polinomio de Lagrange o Interpolacin Lagrangeana cuya frmula es la que sigue:

p x yx xx xkk

rj

k jjj k

r

( )( )( )

=

= =

0 0

donde ( )( )

x xx x

j

k jjj k

r

=

0

denota el producto de todos los trminos de la forma ( )( )

x xx x

j

k j

donde

j es cualquier entero entre 0 y r excepto k .

As pues, ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

x xx x

x x x x x x x xx x x x x x x x

j

k j

k k r

k k k k k k rjj k

r

=

+

+=

0 1 10 1 10

.

El polinomio de Lagrange es vlido por el siguiente Teorema:

el polinomio p x( ) de grado r tal que, s l ij

i jji j

r

xx xx x

( )( )( )

=

=

0

y { isi isii x == llll ,0 ,1)( por lo tanto p x y x y

x xx xr i i i

j

i jjj i

r

i

r

i

r

( ) ( )( )( )

= =

=

== l

000

luego p x y x yr ii

r

( ) ( )= == 1 0 0

0

l

p x yr ( )1 1= . . .

p x yr r r( ) =

Una vez definido y aceptado el uso del polinomio de Lagrange buscamos la forma de utilizarlo de manera que nos permitiera encontrar el modelo matemtico que se ajustar a nuestro experimento con el aprendizaje de las ratas. Software DERIVE 4 El programa DERIVE en el apartado de archivo de utilidad (archivo MISC.MTH) tiene implementada la frmula de Lagrange del polinomio interpolador la cual se llama FUNCION POLY_INTERPOLATE, la cual asocia un polinomio a un conjunto de puntos, es decir nos entrega una funcin que pasa por todos los puntos de una tabla de valores.

6

Aplicando dicha funcin a nuestra tabla resumen del experimento escrito como una matriz,

tenemos:

=

1,1104,1905,281,274,26

357,341,535,72

151

A poly_interpolate ),( xA se simplifica al polinomio interpolador

respecto de x que interpola los pares ),( yx dados en la matriz A

Conclusiones Naturalmente el polinomio resultado de la intepolacin lagrangeana, es muy poco prctico, es un polinomio que satisface a esos puntos, pero no permite llegar a una frmula ms compacta y operable. Al observar el comportamiento de nuestra grfica resultado entre el intervalo [1012] la funcin cae drsticamente a los valores negativos para el tiempo, lo que contradice nuestros supuestos. Este tipo de conjeturas y anlisis nos ayudo para nuestro trabajo. En cambio si nos permiti visualizar que el comportamiento de la rata se ajusta en forma aproximada a una rama de una hiprbola o a una relacin inversamente proporcional. Por lo cual comenzamos a ensayar varias curvas de la forma hiperblica, apoyndonos en

15,7221,12737,11298,5678,1752,344,0034,00015,00000275,0)( 23456789 +++++= xxxxxxxxxxP

7

el software DERIVE. La curva ms apropiada a nuestro resultado result ser:

nnA

10149

101)( += con INn .

Modelo General: nT

TnA dl)1(

)1()(+

+=

)(nA : Modelo de Aprendizaje n : Nmero de pruebas lT : Tiempo lmite mnimo que necesita la rata para resolver el laberinto dT : Diferencia de tiempo mximo y mnimo alcanzado por la rata.

Nota: Las variables:Dificultad del laberinto, Medio ambiente,Temperatura de la sala, Tipo de comida, no fueron consideradas en el experimento. Creemos que es necesario comprobar nuestro modelo o compararlo con otros resultados, ver como se comporta para otro grupo de datos. Referencias bibliogrficas Allen Smith W. (1988). Anlisis Numrico.(pp. 252-260).Georgia, USA. Georgia State University. Prentice-Hall Hispanoamericana S.A. Vizmanos J.R. Anzola M. (1990). Matemticas Algoritmo1 (pp. 177-194) Madrid, Espaa: Ediciones S/M. Derive in Education Opportunites and Strategies Proceedings of the 2nd Krems Conference on Mathematics education. (1993) Krems,Austria. The Authors And Chartwett-Bratt ltda. Sweden. UNESCO (1974). Steiner H Qu es la Matemtica Aplicada? Las Aplicaciones en la Enseanza y el Aprendizaje de la Matemtica en la Escuela Secundaria. (pp.139-153).

8

Anexo

9

Narracin de una interaccin discursiva en el aula: la linealidad y lo que no es la linealidad

Jaime Lorenzo Arrieta Vera Departamento de Matemtica Educativa, Cinvestav, I.P.N. Mxico

j_arrieta@hotmail.com Resumen Se hace referencia, principalmente, a la puesta en escena de dos secuencias didcticas: la linealidad como herramienta para interpretar y transformar fenmenos de la naturaleza y las matemticas del movimiento. Ambas secuencias plantean la tesis de que la linealidad slo se construye en la otredad, es decir en la confrontacin con lo que no es ser lineal, de otra forma, por ejemplo, se aplica la regla de tres indiscriminadamente, no se permite hacer la coordinacin con otras versiones de la linealidad, la modelacin de fenmenos es inaccesible, en general no se permite la construccin de argumentos. Particularmente, nos proponemos, presentar evidencias empricas de que la matemtica no es neutra, depende del contexto social en donde se aborda. La matemtica tiene sentido, exactamente, en contextos sociales concretos. Estos contextos remiten a diversas prcticas sociales anteriores escolares o no escolares, este contexto social es determinante en la utilizacin de las estrategias, herramientas y procedimientos ante una situacin.

Ni la mente sola, ni la mano sola, pueden lograr mucho sin las herramientas que las perfeccionan. Francis Bacon citado por Vygotsky en Thought and Language.

En anteriores exposiciones sobre el trabajo de investigacin La modelacin de fenmenos como proceso de matematizacin en el aula, que desarrollo como tesis doctoral, dirigida por los doctores Ricardo Cantoral y Francisco Cordero, he intentado exponer las concepciones generales que lo guan. Ahora el intento es dirigido a presentar, de una forma ms particular, algunas evidencias empricas sobre la pertinencia de este trabajo. Se hace referencia, principalmente, a la puesta en escena de dos secuencias didcticas: la linealidad como herramienta para interpretar y transformar fenmenos de la naturaleza y las matemticas del movimiento. Ambas secuencias plantean la tesis de que la linealidad solo se construye en la otredad, es decir en su confrontacin con lo que no es ser lineal, de otra forma, por ejemplo, se aplica la regla de tres indiscriminadamente, no se permite hacer la coordinacin con otras versiones de la linealidad, la modelacin de fenmenos es inaccesible, en general no se permite la construccin de argumentos. Particularmente, nos proponemos, presentar evidencias empricas de que la matemtica no es neutra, depende del contexto social en donde se aborda. La matemtica cobra vida, tiene sentido, exactamente en contextos sociales concretos. Estos contextos remiten, a los estudiantes y profesores, a diversas prcticas sociales anteriores escolares o no escolares y son determinante en la utilizacin de las estrategias, las herramientas y los procedimientos ante una situacin. Lineamientos generales de las secuencias Definimos una intencionalidad, establecer un contexto en donde las herramientas, procedimientos y nociones matemticas cobren vida, en el intento de interpretar e intervenir en los fenmenos de la naturaleza. En este sentido hemos rescatado prcticas en donde se combina la intervencin en la naturaleza, el trabajo y el experimento con la especulacin matemtica. A la

10

estructuracin discursiva de estas prcticas en el aula es lo que llamamos la modelacin como proceso de matematizacin en el aula. El carcter discursivo de estas prcticas nos remite a actividades que desarrollan interactivamente docentes y alumnos en un saln de clases, confrontando y argumentado diferentes versiones de un fenmeno de la naturaleza (comprendidos los fenmenos sociales, econmicos, etc.). Una de las caractersticas de este proceso es la articulacin de diferentes modelos con la experimentacin, como un instrumento de validacin de las diferentes versiones en competencia.. La modelacin como actividad humana, en el sentido de actividad con la intencin de comprender y transformar la naturaleza, la consideramos como fuente que desarrolla procesos de matematizacin, donde el alumno construye argumentos, significados, herramientas y nociones relacionados con las matemticas en la intervencin con los fenmenos de la naturaleza. La ciencia no es entendida como constituida slo por hechos cientficos sino, sobre todo, como recursos argumentativos que establecen los hechos cientficos y la experimentacin y los datos empricos como un recurso para argumentar y no para establecer la verdad. Condiciones experimentales Las situaciones se aplicaron a un grupo de estudiantes del Conalep Acapulco II (nivel medio superior, preuniversitario), distribuidos en tres equipos de cuatro estudiantes, los estudiantes del equipo C cursaban el quinto semestre, los del equipo B el tercero y los del A el primer semestre. La edad de los estudiantes es entre 15 y 18 aos. La linealidad como herramienta para interpretar y transformar fenmenos de la naturaleza En esta secuencia los estudiantes y el profesor construyen diferentes modelos para explicar un fenmeno, la elasticidad de resortes, e intervenir en l. En general forman diferentes modelos (identificando sus caractersticas distintivas y sus parmetros), hacen predicciones del fenmeno utilizando cada modelo y establecen una coordinacin entre ellos. Se analizan diferentes esquemas didcticos para el tratamiento de la linealidad utilizados en el discurso matemtico escolar y se propone un esquema para el diseo de la secuencia.

Elasticidad de resortes

Tabla numrica: tabla con

px

constante

Frmula algebraica:

x=k p+p0

Grfica: la recta.

pasar de un algoritmo numrico a

la ecuacin

puntear

organizar las observaciones hechas en la manipulacin

del fenmeno

Interpretar los parmetros k y

p0 geomtricamente

11

Especficamente, en esta secuencia, la modelacin de fenmenos como proceso de matematizacin en el aula, significa identificar las caractersticas del fenmeno en el modelo, utilizar este como una herramienta para entender e intervenir en l, en este caso hacer predicciones con el modelo y coordinar los diferentes modelos, sus parmetros y sus formas de prediccin con el fenmeno a modelar. Resaltamos tres fases de esta secuencia: la argumentacin a partir de coordinar la inclinacin de la recta y la elasticidad del resorte y la razn de incrementos, la argumentacin a partir de coordinar la posicin inicial del portapesas y la altura de la recta y la elaboracin de un esquema que coordine la elasticidad de resortes, sus diferentes modelos, sus parmetros y sus formas de prediccin.

Coordinacin entre la inclinacin de la recta, la elasticidad del resorte, la razn de incrementos y

el coeficiente a de p.

Coordinacin entre la altura de la recta, la posicin inicial de la regla, la posicin inicial x0 y el coeficiente independiente b.

Ms o menos

elstico

Mayor o menor X / P

Inclinacin de la recta

Mayor o menor constante a

en la ecuacin x = ap +b

Posicin inicial

de la regla Cambio en la

condicin inicial p = 0 , x = b

Altura de la

recta

Mayor o menor constante b

en la ecuacin x = ap +b

12

Coordinacin entre las formas de prediccin con diferentes modelos. El anlisis del desarrollo de esta secuencia arroja evidencias en el sentido de la importancia del contexto social en donde los estudiantes y profesor desarrollan actividades matemticas. En la resolucin de problemas con una misma estructura matemtica, los estudiantes y profesores, operan con diferentes estrategias, de acuerdo al contexto en que lo hacen. En la interaccin con el fenmeno surgen diferentes versiones de l, y la argumentacin utilizada para su validacin utiliza recursos tomados del contexto. Las matemticas del movimiento La idea fundamental de esta secuencia es construir un contexto argumentativo donde los estudiantes y profesor, interactivamente, en el aula, construyan argumentos, herramientas y significados a partir de la interaccin con un fenmeno, en este caso con el movimiento de un mvil. El contexto argumentativo se centra en establecer una coordinacin entre los movimientos de un mvil, los modelos de la grfica distancia tiempo, la grfica velocidad tiempo y frmulas algebraicas.

t

t

3t(t/2)

t

t

3 t

Movimiento

d v

Esta secuencia consta de dos partes, una sobre el movimiento uniforme (movimiento con velocidad constante) y la otra sobre el movimiento uniforme disforme (movimiento uniformemente acelerado) Entre las hiptesis predictivas de la secuencia, resaltamos las siguientes.

Los estudiantes construyen diferentes versiones de los hechos, en este caso de las diferentes situaciones de movimiento de un mvil.

Los estudiantes construyen una versin grfica (llamada figuracin de la cualidad) del devenir de las distancias y del devenir de las velocidades.

Prediccin por tanteo Regla de tres. Uso del algoritmo

x = ( x /p)p+b

Interpolacin lineal

Manipulacin algebraica

13

Los estudiantes establecen una articulacin entre el movimiento y grficas tiempo distancia y tiempo velocidad.

Los estudiantes establecen la relacin entre el rea bajo la recta velocidad tiempo con la grfica distancia tiempo y este es el argumento principal para establecer el hecho de que la distancia vara como el cuadrado del tiempo en un movimiento uniforme disforme.

El desarrollo de secuencia obedece al esquema que se muestra a continuacin:

Entre otras evidencias obtenidas en el anlisis de esta secuencia es que los estudiantes construyen, a partir de las grficas que se obtienen de un sensor de movimiento, diferentes versiones de las situaciones de movimiento de un mvil. En esta secuencia se observan dos versiones en competencia donde los estudiantes construyen argumentos contextuales, como la velocidad. Aqu, la velocidad no solo significa distancia entre tiempo, sino tambin, por ejemplo, inclinacin de la recta en la grfica distancia tiempo. La velocidad significa coordinar dos variables. Algunos estudiantes no muestran inmediatamente esta coordinacin, manejando solo una variable, bien sea la distancia o el tiempo. La velocidad esta presente como parte del discurso escolar, mas, en ocasiones, no es movilizada como una herramienta para explicar el movimiento. Referencias bibliogrficas Cantoral, R., Farfn, R. (1998). Pensamiento y lenguaje variacional en la introduccin al anlisis. Epsilon Nm. 42, pp. 353-369, Espaa Candela, A. (1999) La ciencia en el aula. Los alumnos entre la argumentacin y el consenso., Mxico: Paidos Educador. Confrey, J., Costa, S. (1996). A Critique of the Selection of "Mathematical objects" as Central Metaphor for Advanced Mathematical Thinking. International Journal of Computers for Mathematical Learning, volumen 1. Cordero, F. (2001). La distincin entre construcciones del clculo. Una epistemologa a travs de la actividad humana. Revista Latinoamericana de Investigacin en Matemtica Educativa, nm. 2-2001, en prensa.

Gr fic a dis tancia - tiem po

Gr fic a veloci dad - tiem po

Fr mul a algebr aica x=a(t-b )2+c

El m ovi mien to de u n m vil

Coord inar las g rf icas velocidad - tie mpo y

d is tancia - tie mpo

Coord inar e l rea bajo la g rf ica ve locidad tie mpo y pos icin del

mv il

In terpretar geomtrica mente lo s parmetros a , b y c

Coord inar la g ra f ica d is tancia tiempo con el fen meno

14

Logaritmos, fsica y algo ms Daniel Vaccaro, Vernica Szemruch

Colegio del Salvador. Buenos Aires. Argentina veros@micropymes.com.ar danvac@tutopia.com

Resumen Con la popularizacin de las calculadoras electrnicas el clculo logartmico en s mismo fue perdiendo espacio y en forma gradual se fue abandonando su enseanza. Pero el tema logaritmos sigue presente en los programas. Es muy difcil lograr un aprendizaje sustancial y por lo tanto duradero si en el momento de abordar el tema nuestros alumnos no le encuentran significado. As que procuramos drselo. Para ello, aspiramos a un desarrollo conceptual muy distante del puro entrenamiento algebraico al que se fue limitando la prctica de la enseanza de esta tema. Introduccin El clculo por medio de logaritmos fue durante mucho tiempo el plato fuerte del programa de matemtica de 4 ao del Bachillerato en nuestros colegios nacionales. Desde nuestro lugar de educadores y con la intencin de ensayar nuevas estrategias didcticas, surge esta propuesta tendiente a una enseanza amena e interesante y a un aprendizaje significativo. Proponemos, para ello, valernos de un amplio campo de aplicaciones y tener en cuenta no slo los contenidos conceptuales sino tambin los procedimentales y actitudinales en forma integrada. Una propuesta para trabajar logaritmos en el aula A continuacin presentamos algunos ejemplos de situaciones problemticas que permiten el abordaje del tema logaritmos desde una ptica interdisciplinaria. El marco terico que sustenta la propuesta es la resolucin de problemas (Polya, 1998). La propuesta interdisciplinar permite abordar los logaritmos como una herramienta de suma utilidad para resolver problemas de otras ciencias y no presentar a los alumnos los logaritmos como operadores matemticos solo aplicables a la resolucin de ejercicios rutinarios. Terremotos Antes de que se desarrollara el concepto de magnitud de un terremoto, se utilizaba una cantidad ms subjetiva conocida como intensidad. Esta cantidad se determinaba en las observaciones de los efectos directos del terremoto:

Grado de la sacudida percibida por la gente Cuanta de los daos causados a estructuras artificiales Extensin de deformaciones visibles de la Tierra misma

Una de estas escalas tiene 12 grados, que se indican con nmeros romanos y fue desarrollada por Mercalli.

15

Actualmente se utiliza la magnitud de un terremoto que es una medida absoluta relacionada con la energa ssmica liberada. Una de las escalas ms utilizadas es la de Richter en la que la magnitud M y la energa E, expresada en Joules, estn relacionadas por la frmula:

24,5M44,1Elog += Segn esta frmula si nos informan de la magnitud de un terremoto podemos averiguar cunta energa fue liberada durante el mismo. Para ello basta con despejar E de la frmula anterior donde obtenemos:

M44,110x173780E = Un terremoto de grado VI en la escala Mercalli produce

un susto generalizado en las personas daos en mampostera y chimeneas se mueven los muebles se caen objetos

Corresponde aproximadamente a una magnitud de 5,5 en la escala Richter y por lo tanto se libera una energa:

kwh0000004Joules10x4,1E 13 == Esta es suficiente cantidad de energa para mantener encendida una lamparita de 40 Watt durante ms 400 000 aos! Pero un terremoto de magnitud 8,5(slo 3 unidades mayor que el anterior) produce

destruccin total ondas visibles en el suelo el nivel del suelo y los contornos del paisaje quedan modificados algunos objetos pueden volar

Si calculamos la energa para este caso resulta E= 8,4 x 1010 kwh. Es decir, en trminos de la energa un terremoto de magnitud 8,5 es 21 mil veces ms grande que uno de magnitud 5,5. Algunos ejercicios 1. Cuntas veces ms energa libera un terremoto de magnitud 7 que un terremoto de

magnitud 5? 2. Si se pudiera aprovechar la energa de un terremoto para generar corriente elctrica,

Durante cunto tiempo se puede mantener iluminada una ciudad que tiene instaladas 100 000 lmparas de 100 Watts cada una con la energa de un terremoto de magnitud 5?

3. Si en un terremoto de magnitud M se libera una cantidad de energa E, cuntas veces ms energa se libera en un terremoto que es un grado mayor?

4. Completar la siguiente tabla calculando la energa o la magnitud segn corresponda:

Terremoto Fecha Lugar Magnitud (Richter) Energa (Joule) 27/mar/1964 Alaska 8,6 27/jul/1976 Tientsin, China 1,1 x 10 17 15/set/1977 Udine, Italia 6,2

16

Dosis de un medicamento La cantidad de ciertos medicamentos (en el cuerpo humano) sigue una ley de decaimiento exponencial: tk0 e.NN = Donde

N = cantidad de droga presente en un tiempo t . N0 = cantidad de droga en un tiempo t=0

K= ln 2

H (siendo H la vida media del medicamento)

Si se pretende alcanzar un determinado nivel teraputico, las dosis que siguen a la primera debern ser reducidas para mantener este nivel y evitar de esta manera los efectos txicos de ciertas drogas.

Para determinar el nivel teraputico (T): Para determinar la dosis reducida (R): ( )

1ee1.PT Ik

Ikd

=

( )Ikde1.PR = Donde :

P = unidades de medicamento por dosis I = intervalo de tiempo entre dosis consecutivas d = cantidad de dosis

Problemas 1) Si I es el intervalo de tiempo entre dosis consecutivas, demuestre que para el

nivel teraputico T:

( )1e

e1P.Ik

Ikd

= P.211 d

Observar que 0 < d2

11 < 1 para d > 0 .

2) La teofilina es una droga utilizada en el tratamiento del asma bronquial y tiene una vida media de 8 hs en el sistema de un paciente relativamente sano y no fumador. Suponga que el paciente alcanza el nivel teraputico deseado en 12 hs cuando 100 mg le son suministrados cada 4 hs aqu d = 3 . A causa de la toxicidad, la dosis debe ser reducida ms adelante. a) Determine el nivel teraputico (redondee al mg ms cercano). b) Determine la dosis reducida (redondee al mg ms cercano).

Decaimiento radiactivo

Los ncleos de los tomos de un elemento radiactivo se desintegran conforme transcurre el tiempo, siguiendo una ley de decaimiento exponencial. Este hecho se formula de la siguiente manera: t0 e.NN

= Donde N = cantidad de ncleos del elemento en un tiempo t . N0 = cantidad inicial de ncleos ( es decir en un tiempo t=0 ) = constante de decaimiento ( propia de cada elemento ).

Clculo de la vida media de un elemento radiactivo

Si 2

NN 0=

17

es decir para una cantidad equivalente a la mitad de la inicial T

00 e.N

2N =

donde T es el tiempo necesario para que la cantidad de elemento se reduzca a la mitad

Te21 =

despejando

=

2lnT

donde T se llama vida media del elemento .

Por ejemplo: Si inicialmente hay un gramo (1gr) de sustancia, despus de cierto tiempo T habr gr, luego de transcurrido un tiempo 2T habr gr, etc.

Otros problemas de aplicacin

Radiactividad 1) El elemento radiactivo decae de modo que despus de t das la cantidad de

miligramos presentes N, esta dado por t062.0e.100N = . a) Cuntos miligramos hay inicialmente? b) Cuntos miligramos estn presentes despus de 10 das?

Respuesta: a) 100 mg b) 53,8 mg.

Crecimiento poblacional 1) El nmero de bacterias presentes en un cultivo despus de t minutos, est dado por la

frmula : ( )t

34.300tN

= donde se puede ver que N(t) es un mltiplo de la funcin

exponencial (4/3)t . a) Determine cuntas bacterias estn presentes al inicio. b) Determine cuntas bacterias estarn presentes despus de 3 minutos. c) Cunto tiempo tomar que haya 1000 bacterias?

Respuesta: a) 300 bacterias b) 711 bacterias c) 4,2 min.

2) La poblacin de una ciudad de 8000 habitantes crece a razn del 2 % anual. a) Determine una ecuacin que permita calcular la poblacin P despus de t

aos a partir de ahora. b) Encuentre la poblacin dentro de dos aos.

Inversiones Para el clculo de inters compuesto tambin utilizamos una funcin exponencial. Si S es el monto compuesto de un principal P, al final de n perodos de inters a la tasa peridica r.

( )nr1.PS += 1) Si $2600 son invertidos durante 6 aos y medio, al 6% compuesto cada trimestre.

18

Determine: a) El monto compuesto. b) El inters compuesto.

Sonido El odo humano es notablemente sensible a las variaciones en la intensidad del sonido. La intensidad del sonido es una forma de expresar la cantidad de energa que pasa a travs de 1 centmetro cuadrado de rea transversal en un segundo. Es decir que:

INTENSIDAD = ENERGA/REA . TIEMPO

Segn esto la intensidad de un sonido se puede expresar, por ejemplo, en Watts sobre centmetros cuadrados. Una intensidad Io = 10 -16 W/cm2 corresponde aproximadamente al sonido ms dbil que se puede escuchar. La intensidad mxima que el odo humano puede tolerar es aproximadamente igual a 10 -4 W/cm2. Como se podr apreciar entre la mnima intensidad audible y el mximo hay 12 rdenes de magnitud. La intensidad mxima tolerable es 1 billn( es decir, 1 milln de millones) de veces mayor que la intensidad correspondiente al sonido audible ms dbil. Cmo podemos comprender esto? Supongamos que una mosca pasa cerca de nuestro odo y el movimiento de sus alas produce un sonido de manera que nuestro odo recibe 10 -16 Joules de energa en un segundo a travs de 1 cm2. En este caso, y suponiendo que estemos en un ambiente en absoluto silencio podramos apenas percibir ese sonido. Pero en ese mismo ambiente se necesitaran 1 billn(1 milln de millones) de moscas para "aturdirnos". Por estas razones se ha elegido una escala logartmica para expresar el nivel de intensidad sonora que se adapte a la forma en que el odo humano percibe el sonido. Dicho nivel de intensidad sonora se define de la siguiente manera:

La unidad en que se expresa el nivel de intensidad sonora se denomina decibel. En la frmula anterior Io representa el umbral de audicin o mnima intensidad audible. De esta manera un enorme rango de variacin entre la mnima intensidad y el umbral de sensacin de dolor cuya intensidad es 1012 veces mayor se transforma en una escala de niveles de intensidad que va de 0 dB hasta 120 dB. Estrellas El astrnomo Tolomeo en el siglo II d.C. catalog las estrellas asignndole una especie de jerarqua basada en su brillo tal como se lo percibe a simple vista. Las ms brillantes son las estrellas de 1ra magnitud o m = 1. Las menos brillantes, las que apenas se aprecian a simple vista, son de 6ta magnitud o m = 6. Por supuesto que con los telescopios se pueden ver estrellas mucho ms dbiles es decir cuyos valores de m > 6. Esta escala de magnitudes fue utilizada por los astrnomos durante siglos pero su utilizacin no result sencilla ya que no se podan medir, sino que eran el resultado de estimaciones subjetivas. Hasta el siglo XIX no se pudo lograr un mtodo riguroso, basado en la comparacin de la intensidad de la luz recibida de cada estrella con la recibida de una fuente de luz de intensidad regulable, de modo tal de obtener de cada estrella cierta intensidad I expresada en Watts/m2 Pogson determin la relacin entre la magnitud visual de una estrella y la intensidad medida con un instrumento de observacin:

= 100

logII

19

2

121 I

Ilog5,2mm =

El signo menos indica que al aumentar la iluminacin(intensidad), disminuye la magnitud y por lo tanto la estrella se ve ms brillante. Segn esta frmula entre una estrella de 1ra magnitud y otra de sexta magnitud la relacin de intensidades es:

VII

VI

I

VI

I

I100IIIlog5,25

IIlog5,261

=

=

=

Conclusiones Este trabajo propone una unidad didctica interdisciplinaria tomando como ejes estructurantes a las funciones logartmica y exponencial, y est sustentado en la intencin de que los alumnos trabajen estos contenidos simultneamente con la asignatura Fsica y los comprendan a partir de algunas de sus aplicaciones cientficas y tcnicas tales como: El nivel de intensidad sonora, la magnitud de los terremotos en la escala Richter, el brillo de las estrellas, el decaimiento radiactivo, la cantidad de informacin, la ecuacin baromtrica, el crecimiento de una poblacin entre otros. Esta propuesta est siendo aplicada en la actualidad. Los resultados que se estn obteniendo son positivos. Sobre la base de este tipo de problemas, los alumnos se comienzan a plantean preguntas, dar sugerencias de posible vas distintas de resolucin, llegan a hacer hiptesis y a explicar los resultados obtenidos. La presentacin de problemas similares a los anteriores da a los logaritmos significatividad dentro de la enseanza, ya que permiten el abordaje y resolucin de situaciones problemticas de diversa naturaleza. Proponemos partir de informacin potencialmente interesante. Es decir situaciones que puedan ser consideradas importantes por muchas personas, ms all de la situacin escolar de enseanza aprendizaje. En funcin del inters que esta informacin pueda originar y analizando la comparacin entre magnitudes en las cuales la variacin moderada de una variable provoca la variacin de otra variable en muchos rdenes de magnitud, deseamos introducir la necesidad de las funciones exponencial y logartmica y los procedimientos para la utilizacin de stas en la resolucin de problemas. Referencias bibliogrficas Booth B, Fitch F(1986). La inestable Tierra. Salvat. Barcelona COMAP. (1998). Las Matemticas en la vida cotidiana. Madrid: Addison Wesley Iberoamericana. Haeussler y Paul (1998). Matemticas para administracin, economa, ciencias sociales y de la vida. Mxico: Prentice-Hall Hispanoamericana Jaschek C, Corvaln de Jaschek M( 1983). Astrofsica. OEA. Washington Polya, George. (1998). Cmo plantear y resolver problemas. Mxico: Trillas.

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Matemtica y Fsica Cuntica Cristina Ben

Buenos Aires. Argentina bencristina@hotmail.com

Resumen Dar a conocer nociones bsicas de fsica cuntica en el ltimo ao de la enseanza media puede ser una experiencia enriquecedora que nos permite cerrar y relacionar temas de matemtica que es bueno darles un toque final para que queden bien asimilados. Este trabajo toma como eje a la fsica cuntica y desde sus nociones bsicas, va tomando temas de matemtica. Es un tema que se debe introducir como divulgacin cientfica y que es importante darlo porque la fsica moderna ha salido de la concepcin mecanicista y tiene un enfoque de la realidad que es distinto al empleado hasta ahora. Este trabajo permite observar el nivel de abstraccin que han alcanzado los alumnos al finalizar la enseanza media y les otorga a los ms curiosos la oportunidad de profundizar e investigar. Introduccin La fsica es una ciencia altamente matematizada cuyas teoras una vez construidas pueden resumirse en un conjunto de axiomas matemticos. Entonces, porqu no utilizarla para desarrollar algunos temas difciles de matemtica?. La fsica cuntica es esencialmente probabilstica y estadstica, en sus conceptos fundamentales estn implcitos temas de matemtica que encuentran en esta ciencia una aplicacin real que permite cerrar temas y afianzar conceptos importantes en nuestra rea. Propongo trabajar este tema al finalizar 5 ao, presentndolo como divulgacin cientfica, con la intencin de explorar temas que cada da tienen ms vigencia y la meta de presentar conceptos bsicos e impulsar a los ms curiosos para que investiguen y profundicen. Adems, nos permite abordar temas como fractales y geometras no euclidianas donde podemos inspeccionar qu nivel de abstraccin han alcanzado nuestros alumnos en 5 ao y empezar a ver que debemos modificar si no nos satisface lo que observamos. Creo que en la enseanza media presentamos la geometra de un modo inconcluso, damos toda la importancia a la geometra euclidiana y no nos queda tiempo para ms, pero un alumno de 5 ao debe tener nociones que le permitan formarse una idea ms completa de la geometra. En realidad, debe preguntarse qu es la geometra y lograr responderse. Considero importante no pretender que nuestros alumnos dominen un tema tan vasto y complejo y aprovechar la ocasin para cerrar y fijar conceptos como consistencia, iteracin y dimensin y repasar y ampliar temas trabajados como probabilidad y estadstica, nmeros complejos y anlisis matemtico. Desarrollo La materia tiene una estructura granular, est compuesta de partculas elementales, de cuantos elementales de materia, tambin poseen estructura granular la carga elctrica y la energa. Si consideramos la estructura infinitamente granular de la materia que plantea la teora atmica, la posibilidad de aplicar a la realidad el concepto matemtico riguroso de continuidad sufre un revs. Pero hay un lmite, una unidad fundamental de medida, no hay nada ms pequeo y es la llamada constante de Planck.

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Erwin Schrdinger y Werner Heisenberg escribieron las ecuaciones que rigen la teora cuntica. El principio de incertidumbre de Heisenberg expresa las limitaciones de nuestros conceptos clsicos de una forma matemtica y precisa pues establece que en el mundo subatmico, no se puede saber el curso de una partcula. Nunca podemos saber con precisin ni la posicin ni el momento de una partcula. El teorema de Gdel afirma que en toda axiomtica no contradictoria que contenga la teora de nmeros hay enunciados verdaderos aunque indemostrables, la fsica cuntica contiene tales enunciados. La fsica de los cuantos posee leyes que rigen multitudes y no individuos, no describe propiedades, sino probabilidades y resume tres elementos: probabilidad, onda y partcula en un solo objeto terico: la funcin de onda, que tiene un valor determinado en todo punto del espacio y en todo instante de tiempo. Las funciones de onda (tambin llamadas ondas de probabilidad) son cantidades matemticas abstractas (si los alumnos han construido algunas funciones de probabilidad, pueden llegar a captar la idea de funcin de onda). La onda de probabilidad no nos da la posicin y la velocidad de un electrn en un instante pero nos da la probabilidad de encontrar un electrn en un lugar del espacio o nos indica dnde existe la mxima probabilidad de encontrarlo. La teora de los cuantos cre nuevas y esenciales caractersticas de la realidad. La discontinuidad reemplaz a la continuidad, en lugar de leyes que valgan para los casos individuales, aparecieron leyes de probabilidad. Desde Newton se utiliza el mtodo diferencial para expresar los fenmenos fsicos con ecuaciones: se descompone un objeto complejo en sus partes ms simples. Esta simplicidad permite una descripcin local, diferencial, que, tras la integracin, aporta las propiedades globales de un objeto. Este mtodo pierde toda su eficacia si las partes, en vez de ms simples, son diferentes o ms complejas que el objeto del que se ha partido. Esto es lo que pasa en la fsica de las partculas, donde las trayectorias de las partculas no son diferenciables, pues no tienen una pendiente (o velocidad) bien diferenciada en todas partes. Se nos presenta ahora la oportunidad de revisar lo que hemos trabajado de anlisis matemtico para fijar el concepto de diferencial. Aunque las funciones diferenciables son las ms simples y ms fciles de manejar, son una excepcin. Hablando en trminos geomtricos, lo normal son las curvas sin tangente, mientras que las curvas regulares son casos interesantes pero muy particulares. Para explicitar el tema podemos estudiar algunas curvas no diferenciables y reconstruirlas mediante aproximaciones sucesivas. La ecuacin de Schrdinger parece establecer que el comportamiento cuntico es la manifestacin del carcter no diferenciable y fractal del espacio-tiempo. Pero qu es el espacio-tiempo? Supongamos que hubiese un espacio de naturaleza tal, que se necesitara cuatro nmeros, o cinco, o dieciocho, para localizar un punto fijo el l. Sera un espacio cuadridimensional, o de cinco dimensiones, o de dieciocho dimensiones respectivamente. Tales espacios no existen en el universo ordinario, pero los matemticos s pueden concebir estos hiperespacios y calcular qu propiedades tendran las correspondientes figuras matemticas, e incluso llegan a calcular las propiedades que cumpliran para cualquier espacio dimensional: lo que se llama geometra n-dimensional. Pero si lo que estamos manejando son puntos, no fijos, sino variables en el tiempo, por ejemplo, si queremos localizar la posicin de un mosquito que est volando en una habitacin, tendremos que dar los tres nmeros que ya conocemos pero luego tendramos que aadir un cuarto nmero que represente el tiempo, porque el mosquito habr ocupado esa posicin espacial slo durante un instante y ese instante hay que identificarlo. Lo

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mismo vale para todo cuanto hay en el universo. Tenemos el espacio, que es tridimensional, y hay que aadir el tiempo para obtener un espacio-tiempo cuadridimensional, por lo tanto, el tiempo es una cuarta dimensin diferente de las otras tres. Pero, qu significa dimensin? La palabra viene de un trmino latino que significa medir completamente. En la geometra clsica un segmento tiene dimensin 1, un crculo tiene dimensin 2, una esfera tiene dimensin 3. Nuestros alumnos, se acordarn de los logaritmos?

Dimensin= log(n de pedazos/log(aumento) Segmento d= log(n)/log(n)=1 Cuadrado d=log(n)/log (n)=2 Cubo d=log(n)/log(n)=3

Qu dimensin tiene un punto? En la fsica de Newton, todos los fenmenos fsicos se reducen al movimiento de cuerpos materiales en el espacio, movimiento que es originado por su mutua atraccin, para fundamentar su teora Newton tuvo que inventar tcnicas y conceptos matemticos completamente nuevos: el clculo diferencial, ello supuso un logro intelectual tremendo y fue elogiado por Einstein como quiz el mayor avance en el pensamiento que jams un solo individuo haya tenido el privilegio de hacer. Las tres primeras dcadas de nuestro siglo cambiaron radicalmente todo el panorama de la fsica. La teora de la relatividad fue construida casi en su totalidad por Einstein, en cambio la teora cuntica fue elaborada por todo un equipo de fsicos (Bhr, de Broglie, Schrdinger, Pauli, Heisemberg y Dirac). La fsica de Einstein es perceptible a grandes velocidades, tales velocidades han sido observadas en las partculas subatmicas. El espacio en los campos gravitacionales ms fuertes que el de la tierra tiene una estructura que difiere de la estructura de la geometra de Euclides, pero en campos gravitacionales dbiles las diferencias son poco perceptiles o imperceptibles, entonces, a diferencia de las conclusiones que durante 2000 aos la matemtica y la fsica haban establecido, el espacio matemtico correspondiente a la realidad fsica es de naturaleza no euclideana.

Espacio geomtrico euclideano Fsica de Newton Espacio geomtrico no euclideano Fsica de Einstein

Las cuatro fuerzas bsicas de la naturaleza son la nuclear dbil, la nuclear fuerte, la electromagntica y la gravitatoria.

Gravitacin Teora de Newton Teora de Einstein Describe como funciona Explica porqu existe Espacio-tiempo plano(Euclideano) Espacio-tiempo curvo (No euclideano) Campo gravitatorio dbil Campos gravitatorios ms fuertes.

Podemos dar algunos ejemplos de geometras no euclideanas apuntando a que nuestros alumnos construyan el concepto de consistencia (por ejemplo la de Riemann se puede trabajar con esferas de telgopor) hay que destacar que los distintos sistemas no hablan de lo mismo (cuando dicen recta, plano, etc.) no se est hablando acerca del mismo ente porque

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los postulados en los distintos sistemas son distintos, por lo tanto, definen entidades distintas, pero cada uno de los sistemas internamente es consistente. Retomando la ecuacin de Schrdinger, que establece que el comportamiento cuntico es la manifestacin del carcter no diferenciable y fractal del espacio-tiempo, queda por presentar la geometra fractal. Las trayectorias de las partculas cunticas son curvas fractales. La palabra fractal significa fracturado, roto. El fractal es, matemticamente, una figura geomtrica que es compleja y detallada en estructura a cualquier nivel de magnificacin. No tiene dimensin 1, 2 o 3 como la mayora de los objetos a los que estamos acostumbrados, tienen una dimensin que no es entera, pueden tener una dimensin menor que 2 (pues no llenan toda la porcin del plano). Los fractales se generan por iteracin, que es repetir el mismo proceso infinidad de veces. por ejemplo: Si sobre cada lado de un semihexgono regular se construye otro semejante con razn y en posicin alternada , iterando lo operacin sucesivamente se obtiene un fractal de dimensin s= log 3/log2= 1,5849... o en vez de expresar las transformaciones del plano real en s mismo es ms prctico introducir los nmeros complejos Z= x + iy ( x, y reales) y estudiar las transformaciones de la forma Z = f(Z) siendo f(Z) una funcin de la variable compleja. De esta forma una expresin matemtica tan inocua como una ecuacin cuadrtica Z= Z + c , iterada en el plano complejo, muestra tal complejidad, que aparecen formas conectadas o fragmentadas variando c.

Z = Z + c c es un a constante Para iterar Z + c comenzamos con una semilla, esto es, un nmero (real o complejo) que representamos por Z0.

Z1 = Z0 + c c es una constante Ahora, iteraremos usando el resultado del clculo anterior.

Z2 = Z1 + c Z3 = Z2 + c Z4 = Z3 + c Z5 = Z4 + c

Y as sucesivamente. La lista de nmeros Z1, Z2, Z3, Z4,... generada por sta iteracin se denomina rbita de Z0 bajo la iteracin de Z + c. Ejemplos

c=1 y Z0=0 c= 2i y Z0=0 Z1 = 0 + 1 = 1 Z1= 2i Z2 = 1 + 1 = 2 Z2= (2i) + 2i = 4 + 2i Z3 = 2 + 1 = 5 Z3= (4 + 2i)+2i=12 14i Z4 = 5 + 1 = 26 Z4=(12-14i)+2i=52-334i Z5 = nmero grande Z5= grande

Esta rbita tiende a infinito. sta rbita tiende a infinito en el plano complejo. La iteracin de funciones de esta forma fue objeto de estudio de los matemticos franceses G. Juli y P. Fatou aproximadamente en 1920 pero como no disponan de computadoras no pudieron seguir avanzando en sus trabajos. Hacia 1980 Mandelbrot retom el tema pues la computadora dispar las posibilidades de exploracin. Segn Mandelbrot la geometra de la

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naturaleza es catica y est mal representada por el orden perfecto de las formas usuales de Euclides o del clculo infinitesimal. l afirma Yo no cre los fractales, slo los descubr. Los fractales materializan el sueo de la ciencia: algo tan complicado se puede explicar con frmulas simples. Es importante reconocer que los fractales verdaderos son una idealizacin, ninguna curva en el mundo real es un fractal verdadero. Todava hay muchas propiedades que se sospechan pero an no se han podido demostrar. El crecimiento en la naturaleza est vinculado a modelos fractales, se pueden encontrar formas fractales en hojas, montaas, costas, nubes, sistema circulatorio, etc. Los objetos fractales aparecen en relacin con dos circunstancias , una situacin de frontera, donde entran en contacto dos medios o superficies (riberas de ros, medios qumicos, etc.) y la otra situacin es la del rbol: rboles, tejidos arteriales, redes pulmonares, etc. En esta geometra los objetos se presentan muy irregulares y los sucesos poco o nada predecibles (La teora del caos naci en 1960 y trata el comportamiento de sistemas no lineales). Diferencias fundamentales entre la Geometra Euclideana y la Geometra Fractal

Eucldea Fractal Tradicional (ms de 2000 aos) Moderna(aprox. 10 aos) Dimensin entera Dimensin fractal Trata objetos hechos por el hombre Apropiada para formas naturales Descripta por frmulas Algoritmo recursivo(iteracin).

Otro aspecto interesante de la teora cuntica, tal vez el ms interesante y profundo, es el principio de complementariedad de Bhr. La frase de Bhr: Los opuestos son complementarios significa que partcula y onda son dos descripciones complementarias de la misma realidad, tambin introduce la visin de unidad como fundamento de las partes, cuando afirma que existen variables locales y no locales que pueden estar determinando el comportamiento de las partculas, el todo aporta un principio de racionalidad, disminuye el poder del azar e incorpora un principio de razn y vuelve inteligible la accin de componentes individuales aislados. En los experimentos modernos, las partculas resultan difcilmente aislables de la accin del observador, todo el proceso de preparacin y medicin de las partculas subraya la presencia del observador y resulta difcil distinguirlo de lo observado. Esta nueva visin de la realidad origina enormes consecuencias. La fsica cuntica aporta una concepcin distinta del universo, se acerca al misterio y se esfuerza por describirlo, partcula y onda, movimiento y reposo, existencia y no existencia son algunos de los conceptos opuestos y contradictorios que son trascendidos en la fsica moderna. Finalmente, parece oportuno citar las siguientes palabras de Jean Guitton (filsofo), que sintetizan el cambio de paradigma que est provocando la nueva fsica: La ciencia rectora, la que nos hace penetrar en el interior de los secretos del cosmos, no es tanto la fsica como la matemtica o la fsica matemtica, considerando el orden matemtico que se revela en el corazn de lo real, ese desconocido oculto detrs del cosmos es por lo menos una inteligencia hipermatemtica, calculante y relacionante (fabricante de relaciones) de manera que debe ser de tipo abstracto y espiritual.

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Conclusiones Es un trabajo extenso pero integrador. Presenta dificultades, pero, tambin existe la posibilidad de abordarlo en conjunto con profesores de otras reas: Fsica, Informtica (fractales), Filosofa (desde el conocimiento) y el hecho de presentarlo a modo de divulgacin permite que no tengamos que ser expertos en cada tema para transmitirlo al aula. Una vez expuesto, se le puede pedir a los alumnos que formen grupos y preparen un trabajo prctico (profundizando e investigando) sobre uno de los temas que le haya interesado ms: fractales (se puede trabajar tambin con el profesor de informtica), geometras no euclideanas (se puede trabajar con esferas de telgopor la geometra de Riemann), mecanicismo (es interesante para los que les gusta la historia), El principio de incertidumbre, la posicin de Bhr y sus consecuencias filosficas, qu es la geometra, etc. Evaluar el tema de este modo puede ser ms productivo y se puede preparar un cuestionario para evaluar cunto han comprendido en general y poder presentarlo mejor el ao siguiente. No es un tema que figure en los programas pero su riqueza de contenido y posibilidades permite repasar y cerrar temas (continuidad, derivada, diferencial, probabilidad, nmeros complejos y logaritmos) y adems, nos permite medir el nivel de abstraccin con que egresan nuestros alumnos. Referencias bibliogrficas Einstein, Albert; Infeld, Leopold. (1939). La fsica, aventura del pensamiento. Buenos Aires: Editorial Losada. Asimov, Isaac: Preguntas bsicas sobre ciencia. Buenos Aires: Biblioteca Pgina doce. Massuh, Vctor. La flecha del tiempo. Buenos Aires: Editorial Sudamericana. Capra, Fritjof. El tao de la fsica. Editorial Sirio. Mandelbrot, Benoit. (1997). La geometra fractal de la naturaleza. Barcelona: Editorial Tusquets. Santal, Luis. (1976). Geometras no Euclideanas. Buenos Aires: EUDEBA. Paulos, John. (1993). Ms all de los nmeros. Barcelona: Editorial Tusquets. Guitton, Jean. Dios y la Ciencia. Emec. Sagan, Carl. (1985). Cosmos. Barcelona: Editorial Planeta. Nottale, Laurent. (1997). El espacio tiempo fractal. En Revista Investigacin y Ciencia. Julio/97. http://www.quanta.net.py/zfractal/iter.htm

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Una propuesta para la enseanza de problemas de programacin lineal Nora Gatica, Mirta Moreno

Universidad Nacional de San Luis. Argentina nimberti@fices.unsl.edu.ar

Resumen Muchas veces, la actitu