Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa (CLAME)

www.clame.org.mx

Consejo Directivo (2004-2008)

Presidente Gustavo Martnez Sierra Secretario Germn Beita Tesorero Joaqun Padovani Vocal Norteamrica Gisela Montiel Espinosa Vocal Caribe Juan Ral Delgado Rub Vocal Sudamrica Cecilia Crespo Vocal Centroamrica Edison de Faria

Consejo Consultivo

Egberto Agard Ricardo Cantoral Fernando Cajas Guadalupe de Castillo Evarista Matas Rosa Mara Farfn Teresita Peralta

Comisin de admisin

Gabriela Buenda Analida Ardila Sandra Castillo

Comisin de Promocin Acadmica

Javier Lezama Edison de Faria Yolanda Serres Leonora Daz Mayra Castillo Uldarico Malaspina

Comit Internacional de Relme

Leonora Daz Miguel Sols Gustavo Bermdez Olga Prez

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMTICA EDUCATIVA

Volumen 19

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMTICA EDUCATIVA.

VOLUMEN 19

Editor:

Gustavo Martnez Sierra/Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa

Apoyo Tcnico:

Universidad Autnoma de Guerrero, Mxico Unidad Acadmica: Facultad de Matemticas Centro de Investigacin en Matemtica Educativa

Claudia Leticia Mndez Bello (Coordinadora) Estanislao Sierra Rivera Antonio Zavaleta Bautista

Diseo de portada: Antonio Zavaleta Bautista

Derechos reservados. Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa CMM-040505-IC7 Se autoriza la reproduccin total o parcial, previa cita a la fuente.

ISBN: 970-9971-08-5

Digitalizado en Mxico / Junio de 2006

Comit Cientfico de Evaluacin

Cecilia R. Crespo Enrique Fabin

Margarita del Valle Oscar Francisco

Celia Rizo Juan Ral Delgado

Mayra Solana Otilio B. Mederos

Paul Torres Germn Beita

Rosa Cecilia Gustavo E. Bermdez

Vctor Martnez Ines Liliana Moises

Gisela Montiel Ricardo Cantoral

Rosa Ma. Farfn Alberto Camacho

Armando Albert Blanca Ruiz

Carlos Rondero David Warren

Eduardo Miranda Evelia Resndiz

Francisco Cordero Gabriela Buenda

Germn Muoz Guadalupe Cabaas

Gustavo Martnez Juan Antonio

Juan Carlos Piceno Leopoldo Ziga

Liliana Surez Marcela Ferrari

Mario Snchez Ramiro vila

Silvia Elena Ibarra Ma. Patricia Coln

Ivan Lpez Santiago Ramiro

Gabriel Molina Leticia Tllez

Eddie Aparicio

Tabla de Contenidos PRESENTACIN

Comisin Acadmica del Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa 2006

1

CATEGORA 1: ANLISIS DEL CURRCULUM Y PROPUESTASPARA LA ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS

DESCRIPCIN BIBLIOGRFICA DE FUNCIONESTRASCENDENTES Y SU APLICACIN EN LAS CIENCIAS BIOLGICAS

Dal Bianco, Nydia-Botta Gioda, Rosana-Castro, Nora-Martinez, Silvia-Prieto

4

ANLISIS DE LAS PRAXEOLOGAS MATEMTICAS EN EL NIVEL UNIVERSITARIO EN TORNO A LA NOCIN DE FUNCIN

Vernica Parra, Virginia Cano, Ins Elichiribehety y Maria Rita Oter o

11

PODEMOS INTEGRAR MATEMTICA, QUMICA, COMPUTACIN A PARTIR DE UNA PROBLEMTICAACTUAL?

N.M. Monti y P.C. L'Argentire

18

EVOLUCIN HISTRICA DE LAS METFORAS EN ELCONCEPTO DE FUNCIN

P. Sastre Vzquez, C. Boube, G. Rey ,S. Maldonado y Y. Villacampa

22

UN PASEO POR EL PARASO DE CANTOR: PROBLEMAS Y REFLEXIONES ACERCA DEL INFINITO

Cecilia Crespo Crespo

28

ANLISIS DE PROBLEMAS GEOMTRICOS EN LA ETAPA DE FORMACIN

Elisa Petrone, Natalia Sgreccia y Marta Massa

35

LOS TRES MOSQUETEROS: ROLLE, LAGRANGE Y CAUCHY(uno para todos y todos para uno)

Norberto Rossi y Gloria Suhit

41

ECUACIN DE LA RECTA: UNA INGENIERA DIDCTICA PARA SU ENSEANZA

Mara Rey Genicio, Silvia Porcinito, Graciela Lazarte y Clarisa Hernndez

48

UNA EXPERIENCIA CON MODELACIN MATEMTICA EN DIFERENTES NIVELES EDUCATIVOS.

Nilda Etcheverry, Norma Evangelista, Marisa Reid, Estela Torroba,

55

EXPERIENCIA DE MODELIZACINMATEMTICA CON ALUMNOS DE 12-13 AOS

Mara Mina, Cristina Esteley, Anala Cristante y Isabel Marguet

63

LA MATEMTICA COMO HERRAMIENTA PARA ABORDARPROBLEMAS

Liliana Estela Valdez, Carlos Eugenio Puga, Eudosia Daz de Hibbard y Martn Herrn

70

MODELIZACIN COMO ESTRATEGIA DE ENSEANZA EN UN CURSO CON ORIENTACIN EN CIENCIAS NATURALES

Isabel Marguet, Anala Cristante, Cristina Esteley y Mara Mina

76

UTILIZACION DE UN MODELO DE CRECIMIENTOECONOMICO PARA LA ENSEANZA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Martha Beatriz Fascella y Hugo Vctor Masa

83

ESTUDIO DEL DESARROLLO COGNITIVO EN ALUMNOS QUE CURSAN MATEMTICA EN INGENIERA COMO BASE DEL MEJORAMIENTO DE LA CALIDAD DEL PROCESO DE ENSEANZA-APRENDIZAJE

Jorge Alberto Azpilicueta y Alicia Ledesma

90

GULLIVER Y LA MATEMTICA

Silvia Cristina Tajeyan

95

CONOCIMIENTOS ALGEBRAICOS DE LOS ALUMNOSINGRESANTES A LA FACULTAD DE CIENCIAS FSICAMATEMTICAS Y NATURALES DE LA UNSL

Mara Amelia Mini, Nlida Hayde Prez y Julio C. Benegas

101

UNA PROPUESTA PARA EL TRATAMIENTO DEL CONCEPTODE REA EN EGB

Ana Mara Mntica, Marcela Gtte y Mara Susana Dal Maso

108

UNA APROXIMACIN A LA NOCIN DE INFINITO A TRAVSDE FRACTALES

Lina Mnica Oviedo, Ana Mara Kanashiro, Mnica Patricia Benzaquen y Mnica Gorrochategui

115

LA GEOMETRA EN LAS CULTURAS PRECOLOMBINAS

Oscar Sardella

121

APRENDER A APRENDER UNA EXPERIENCIA EN GEOMETRIA ANALITICA

Mnica B Caserio, Martha E. Guzmn y Ana Mara Vozzi

126

HACIA LA CONFIGURACIN DE LA GEOMETRA DELPROFESOR COMO CONTENIDO DE ENSEANZA

Natalia Sgreccia, Marta Massa y Adolfo Ordez

132

EL APRENDIZAJE ORIENTADO POR PROYECTOS COMO RECURSO PARA EL DESARROLLO DE COMPETENCIASMATEMTICAS: UNA EXPERIENCIA

Liliana Collado, Claudia Guzner y Amalia Kaczuriwsky

138

ESTRATEGIA PARA LA ENSEANZA DE LIMITE DE UNA FUNCIN

Nlida Priemer y Graciela Lazarte

144

EXTREMOS CONDICIONADOS SIN MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Salvador Gigena

150

DISTINTAS FORMAS DE PENSAR EL INFINITO. CONCEPCIONES DE ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS

Virginia Montoro y Nora Scheuer

156

ESTUDIO TERICO Y EXPERIMENTAL SOBRE DIFICULTADESEN LA COMPRENSIN DEL CONTRASTE DE HIPTESIS EN ESTUDIANTES UNIVERSITRIOS

Mara Ins Rodrguez

162

UNA APLICACIN DE BAYES EN LA TOMA DE DECISIONES

Hayde Blanco

169

ESQUEMAS LOGICO-MATEMTICOS EN JUICIOS BAJO INCERTEZA

Mara Ins Cavallaro y Elsa Garca Argiz

173

ELABORACIN DE ESTRATEGIAS PARA LA MODELIZACIN.UN ESTUDIO SOBRE LOS PROCESOS INVOLUCRADOS

Mara Ins Cavallaro, Marta Anaya y Cristina Domnguez

180

DE LA SUMA DETERMINSTICA A LA SUMA ALEATORIA : UNA TRANSICIN CON DIFICULTADES

Ral Katz y Marta Massa

187

RESOLUCIN DE PROBLEMAS..... UN CAMINO PARA APRENDER A APRENDER

Mnica Garca Zatti y Gloria Suhit

194

ENSEANZA DE UNA ESTRATEGIA PARA LA RESOLUCINDE PROBLEMAS: UN EJEMPLO DE OPTIMIZACIN

Clarisa Noem Berman y Ana Mara Narvez

200

DIFICULTADES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS DEL ALUMNO INGRESANTE A INGENIERA AGRONMICA

Sastre Vzquez, Patricia; Boube, Carolina; Rey, A. M. Graciela

207

ANALISIS DE LA IMPLEMENTACION DE UNA ESTRATEGIAPARA RESOLVER PROBLEMAS

213

Luca Martn de Pero y Mara A. Prez de del Negro

ANALISIS DEL CARCTER PREDICTIVO DE UN MODELO DIFUSO PARA LA EVALUACION DEL APRENDIZAJE

Rafael Alejandro Espn Andrade, Mara Ins Lecich, Susana Ruiz, Ana Mara Chillemi, Mara del Carmen Berenguer.

221

LA VISUALIZACIN COMO ESTRATEGIA PARA LA COMPRENSIN

Gloria N. Suhit

228

IDENTIFICACIN DE LOS SIGNIFICADOS SEMITICOS EN UNA TAREA DE GEOMETRA

Carlos Parodi, Estela Rechimont y Nora Ferreira

234

PROPUESTAS INNOVADORAS PARA EL APRENDIZAJE Y LA EVALUACIN

Daniela Mller, Adriana Engler, Silvia Vrancken y Marcela Hecklein

240

DE QUE FORMA PUEDE SER USADA LA HISTORIA DE LA MATEMTICA COMO HERRAMIENTA DIDCTICA?

Marta Gmez de Estofn, Dora M. Fernndez de Musomecci e Ida C. Kempf de Gil

246

EVALUACIN DEL ASPECTO PROPEDUTICO DEL APRENDIZAJE MATEMTICO EN EL CICLO MEDIO

Virginia Bernardi, Horacio A. Caraballo, Cecilia Z. Gonzlez, Leticia Lapasta y Marcela Lpez

253

EL CURRICULUM OCULTO DE UNA EXPERIENCIA AULICA

Jacobo de Costilla y Mirta Graciela

259

APRENDIENDO A APRENDER MATEMATICA

Nora Andrada, Nydia Dal Bianco, Julio Lpez y Mara Estela Torroba

266

EVALUACION DE UNA PROPUESTA PARTICIPATIVA

Marta I .Cirilo, Mercedes Vern, Marta Molina y Mara A. Prez

271

CMO SUPERAR LOS OBSTCULOS QUE PLANTEA ELAPRENDIZAJE DE LAS MATEMTICAS (PRIMERA ETAPA)

Alejandro Lois y Liliana Milevicich

278

UNA EXPERIENCIA ENRIQUECEDORA: LA ENSEANZA PROBLEMICA EN ALGEBRA DE CIENCIAS ECONOMICAS

Mirta Graciela Jacobo de Costilla y Mara Anglica Prez de Del Negro

284

VALOR ABSOLUTO: ANLISIS DE CONCEPCIONESERRNEAS

Perla Medina, Mercedes Astiz, Mara Oliver, Mara Rocerau, Guillermo Valdez, Mara Vecino y Silvia Vilanova

291

ACERCNDONOS AL ESTUDIANTE: LA ENTREVISTA CLNICA

Walter Alberto Garzn y Martn Miguel Herran

297

LA ENSEANZA DEL CLCULO EN LA EDUCACINPOLIMODAL Y EN LA UNIVERSIDAD. DIAGNSTICO SOBRENMEROS REALES

E. GichaL, G. Guala, A. Malet y V. Oscherov

303

FENMENOS LIGADOS A LA VALIDACIN EN LGEBRA

Mabel Panizza

310

MODELACIN MATEMTICA Y ONTOLOGA

Lenia Gabardo Negrelli

317

TEORIA DOS NMEROS: AMPLIANDO OS CONCEITOS NO ENSINO MDIO

Lisandra de Oliveira Sauer e Rosvita Fuelber Franke

324

TEORIA DOS NMEROS E O PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM

Claudia Lisete O Groenwald, Lisandra de O Sauer y Rosvita F Franke

329

RESOLUO GEOMTRICA DE EXPRESSES ALGBRICAS

Giovannni Da Silva Nunes

336

EDUCAO MATEMTICA E OS TEMAS TRANSVERSAIS

Carmen Teresa Kaiber y Claudia Lisete Oliveira Groenwald

342

EL PROGRAMA DE LA DISCIPLINA DE MATEMTICA PARAFORESTAL: IDEAS Y PERSPECTIVAS

Mara del Carmen Acua Salcedo, Madeln Garfalo Novo y Sandra Madan Valds

349

UNA TRANSFORMACIN DESARROLLADORA EN LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA EN LA NUEVA UNIVERSIDAD CUBANA

Reinaldo Sampedro Ruiz, Olga Lidia Perez Gonzalez, Milagros Gutierrez Alvarez

355

LA INTEGRACIN MONTE CARLO: UNA APLICACIN EN LAINGENIERA FORESTAL

Mara del Carmen Acua Salcedo, Ignacio Estvez Valds, Pedro Fernndez de Crdoba Castell

360

ANLISIS COMPARATIVO DE LAS CONCEPCIONES SOBRESERIES NUMRICAS EN UNIVERSIDADESLATINOAMERICANAS Y ESPAOLAS (UNIVERSIDAD DE JAN)

Marta Marcolini Bernardi y Carmen Snchez Gmez

366

EPISTEMOLGIA DE LA APROPIACIN DEL CONOCIMIENTODESDE UN ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA

Salvador Lima Snchez

373

LA REFORMA CURRICULAR DEL BACHILLERATOTECNOLGICO Y LA ELABORACIN DE SECUENCIASDIDCTICAS PARA CURSOS DE MATEMTICAS

Mara del Pilar Rosado Ocaa

379

PROPUESTA DIDCTICA SOBRE LA CONSTRUCCIN DE LA RECTA TANGENTE SIN EL USO DE LA DERIVADA

Oleksandr Karelin, Carlos Rondero Guerrero y Anna Tarasenko

386

LA DEMOSTRACIN EN GEOMETRA

Mara del Rosario Hernndez Apolonio, Marco Antonio Morales Salmern, Santiago Ramiro Velsquez Bustamante

392

MODELACIN EN EL AULA DEL CONCEPTO DE DIFERENCIAL

Alberto Camacho Ros y Bertha Ivonne Snchez Lujn

399

CARACTERSTICAS DE LAS GRFICAS Y SU RELACIN CON LA MODELACIN DE SITUACIONES DE MOVIMIENTO

Claudia Flores Estrada

406

DIFICULTADES QUE PRESENTAN LOS ESTUDIANTES EN LOS MODOS GEOMTRICO Y ANALTICO DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ma. Carina Ramrez Palacios, Asuman Okta y Carlos Garca

413

A.B=0 A=0 v B=0? REFLEXIONES E IMPLICACIONES EN LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA

Cristina Ochoviet y Asuman Okta

419

DESARROLLO DEL SENTIDO NUMRICO Y LOS VNCULOS CON EL RENDIMIENTO ESCOLAR EN ARITMTICA

Olimpia Figueras Mourut de Montppellier y Raquel Bernabe Ramos

425

COMPRENSIN DE MEDIDAS DE DISPERSIN: CASO DE LA LICENCIATURA EN PSICOLOGA

Mara Magdalena Espinosa Martnez

431

ELEMENTOS SOCIOEPISTEMOLGICOS DE LAS CONDICIONES INICIALES EN LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Erivan Velasco Nez y Gabriela Buenda Abalos

438

ANLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA EVALUACINDIAGNSTICA PARA ALUMNOS DE NUEVO INGRESO EN EL CECYT JDB DEL I.P.N.

Guillermo Carrasco Garca y Francisco Bauelos Tepallo

444

UN ESTUDIO SOBRE FACTORES QUE OBSTACULIZAN LA PERMANENCIA, LOGRO EDUCATIVO Y EFICIENCIATERMINAL EN LAS REAS DE MATEMTICAS DEL NIVEL SUPERIOR: EL CASO DE LA FACULTAD DE MATEMTICAS DE LA UNIVERSIDAD AUTNOMA DE YUCATN

Eddie Aparicio Landa

450

DISEO DE UNA ACTIVIDAD COOPERATIVA PARA EL TRATAMIENTO DEL CONCEPTO DE ASNTOTA

Cecilia Gaita Iparraguirre

456

EL USO DE MATERIALES EDUCATIVOS EN LA FORMACINDEL PENSAMIENTO MATEMTICO

Guillermo Jaime Liu Paredes

460

COMPETENCIAS HUMANAS GENERALES EN EL REA DE MATEMTICA

Santa Daysi Snchez Gonzlez

466

LA DEFINICIN Y CLASIFICACIN DE CUADRILTEROS ENLOS LIBROS DE TEXTO DE AYER Y DE HOY

Mario Dalcn

472

SABER CALCULAR NO ES SABER MATEMTICA

Gustavo A. Duffour

478

CONCEPCIONES DE LOS ESTUDIANTES ACERCA DE LAGRFICA DE UNA FUNCIN LINEAL DE DOMINIO DISCRETO

Cristina Ochoviet, Mnica Olave y Yacir Testa

485

CANTOR, BORGES Y DESPUSUNA LUZ DE ALMACN

Gustavo Franco y Cristina Ochoviet

491

INTRODUCCIN DEL TEMA INTEGRALES EN EL BACHILLERATO

Cecilia Calvo, Horacio Castagna, Vernica Molfino y Nora Ravaioli

496

UN CRITERIO, EVALA?

Alejandra Pollio Lezama y Mara Berenice Verdier Mazzara

502

DOS CONCEPCIONES ACERCA DEL INFINITO. EL INFINITOACTUAL Y EL INFINITO POTENCIAL

Gustavo Franco y Cristina Ochoviet

509

DISEO DE UN CURSO NIVELACIN AL INGRESO A LA UNIVERSIDAD, A PARTIR DE LA CARACTERIZACIN DEL PERFIL DE LOS INGRESANTES

Walter lvarez, Eduardo Lacus y Magdalena Pagano

514

CONTRASTACIN DE LOS DESEMPEOS DE ALUMNOSINGRESANTES A LA UNIVERSIDAD EN UNA PRUEBA DE EVALUACIN DIAGNSTICA, EN RELACIN CON LAORIENTACIN DE BACHILLERATO DE LA QUE PROCEDEN

Walter lvarez, Gabriela Isolabella, Eduardo Lacus y Magdalena Pagano

521

LAS DEFINICIONES EN MATEMTICAS Y LOS PROCESOS DE SU FORMULACIN: ALGUNAS REFLEXIONES

Greisy Winicki Landman

528

EL ANLISIS SEMITICO PARA CARACTERIZAR LOSSIGNIFICADOS ELEMENTALES Y SISTMICOS PUESTOS EN JUEGO EN UN LIBRO DE TEXTO

Mario Jos Arrieche Alvarado

538

UNA EXPERIENCIA EN INVESTIGACIN-ACCIN TCNICA:EL PASO DEL INFINITO POTENCIAL AL INFINITO COMO UN TODO PARA COMPRENDER LA CONSTRUCCIN DE LOS CONJUNTOS INFINITOS

Carmen M. Valdiv Fernndez

544

UNA APROXIMACIN COMPRENSIVA A LA EVALUACIN EN MATEMTICA

Andrs Moya Romero

551

ESTUDIANTES DE ALTA REPITENCIA EN MATEMTICA. UN PLAN DE SUPERACIN

Nelly Elizabeth Gonzlez de Hernndez

558

LOS ANLISIS A PRIORI EN LA CONSTRUCCIN DE UN INSTRUMENTO DE EVALUACIN PARA EL TEMA INTERVALOS DE CONFIANZA

Mercedes Anido de Lpez y Teresita E y Tern

564

EL CONCEPTO DE LMITE EN LOS LIBROS DE TEXTOS UNIVERSITARIOS

Nora Gatica. Gladys May, Anala Cosci, Graciela Echevarra, Juan Renaudo y Marcela Carranza

570

HISTORIA DE LAS MATEMTICAS(HM) CON CINE

Marger da Conceio Ventura Viana

577

UNA EXPERIENCIA SOBRE HABILIDADES PARA EL APRENDIZAJE DE LA MATEMTICA

Anala Mena, Marta Golbach, Adriana Prez y Mara Rosa Rodrguez

584

PRODUCCIN DE SIGNIFICADOS PARA LA REPRESENTACIN DEL MOVIMIENTO RECTILNEO, A TRAVS DEL ESTUDIO DE LAS ARGUMENTACIONES DE ESTUDIANTES DEL BSICO DE INGENIERA

Nadia Gonzlez Daza y Janete Bolite Frant

591

CATEGORA 2: EL PENSAMIENTO DEL PROFESOR, SUS PRCTICAS Y ELEMENTOS PARA SU FORMACINPROFESIONAL

LA PRCTICA DOCENTE A PARTIR DEL MODELO DECA Y LATEORA DE LAS SITUACIONES DIDCTICAS

Fernando Guerrero, Neila Snchez y Orlando Lurduy

598

EL TALLER DE PRODUCCIN DE MATERIAL DIDCTICO:UNA EXPERIENCIA DE PRODUCCIN COLABORATIVA

Medina, Mabel A.; Rubio Scola, Hctor E.; Anido, Mercedes A.

604

CONCEPCIONES DE LA GEOMETRA DE ESTUDIANTES DE PEDAGOGA Y PROFESORES BSICOS EN EJERCICIO

Balvede Acosta, Lidia Consigliere, Ismenia Guzmn, Alain, J. Kuzniak y Claude Rauscher

610

LA VARIACIN EN LAS EXPLICACIONES DE LOS PROFESORES EN SITUACIN ESCOLAR

Evelia Resndiz Balderas

617

LA ARTICULACIN DE LA DISCIPLINA MATEMTICA CONOTRAS DISCIPLINAS EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS.IMPLICANCIAS DE LA AUTOEVALUACIN

Margarita del Valle Veliz, Mara Anglica Prez y Sonia Patricia Ross

624

REPRESENTACIONES EPISTEMOLGICAS IMPLCITAS DE LOS DOCENTES UNIVERSITARIOS DE MATEMTICA

Mara Basilisa Garca y Mar Mateos

631

EL SABER MATEMTICO, SU ENSEANZA Y SU APRENDIZAJE: LA MIRADA DE ALUMNOS Y PROFESORESCORICA,

Ana Rosa, Mara Rita Otero y Diana Patricia Sureda

637

ACTITUD Y RENDIMIENTO EN ESTADSTICA EN PROFESORES PERUANOS

Ana Sofa Aparicio Pereda y Jorge Luis Bazn Guzmn

644

EDUCAO MATEMTICA, SOFTWARE E REDE DE PROFESSORES: REPERCUSSES NO DISCURSO E NA PRTICAPEDAGGICA

Dolurdes Voos

651

PERSPECTIVA ONTOSEMITICA DE LAS COMPETENCIAS Y DE LAS RELACIONES TEORA- PRCTICA EN LA FORMACIN DE PROFESORES DE MATEMTICAS

Juan D. Godino

657

DIFICULTADES EN LOS CONOCIMIENTOS DE CLCULO: UNA EXPERIENCIA CON PROFESORES DE BACHILLERATO DEL ESTADO DE YUCATN

Eddie Aparicio Landa

663

EL PROFESOR DE MATEMTICAS DEL NIVEL MEDIO SUPERIOR COMO USUARIO INTELIGENTE Y CRTICO DE LOS MATERIALES DE APOYO DIDCTICO

Santiago Ramiro Velsquez

669

CONOCIMIENTOS DE MAESTROS DE PRIMARIA SOBRE LA PROPORCIONALIDAD

David Block

675

LA VARIACIN EN LAS EXPLICACIONES DE LOS PROFESORES EN SITUACIN ESCOLAR

Evelia Resndiz Balderas

681

PROBLEMAS: OPORTUNIDADES DE APRENDIZAJE PARA ALUMNOS Y PROFESORES

Uldarico Malaspina Jurado

688

DISEO METODOLGICO PARA LA INVESTIGACIN DE LAPRAXIS DE LA EDUCACIN MATEMTICA EN UNA COMUNIDAD DE DOCENTES DE EDUCACIN BSICA

Martn Andonegui Zabala

695

LA FORMACIN DOCENTE DESDE LA PERSPECTIVA DE LAEDUCACIN MATEMTICA CRTICA

Rosa Becerra de Moya

702

USO DE LA EVALUACIN DE PROGRAMAS EN LA FORMACIN INICIAL DE PROFESORES DE MATEMTICAS

Jos Ortiz Buitrago y Martha Iglesias Inojosa

709

LA CONSTRUCCIN DEL CONOCIMIENTO DIDCTICOMATEMTICO. CASO DEL CONJUNTO Z

Hugo Parra S.

715

REPRESENTACIONES QUE POSEEN DE LOS CUERPOS GEOMTRICOS, LOS ASPIRANTES A DOCENTES, EN EL REA DE MATEMTICA

Vilchez ngel

721

CATEGORA 3: CONSIDERACIN DE ASPECTOS SOCIOEPISTEMOLGICOS EN EL ANLISIS Y EL REDISEO DEL DISCURSO MATEMTICO ESCOLAR

LA CONSERVACIN EN EL ESTUDIO DEL REA

Ma. Guadalupe Cabaas Snchez y Ricardo Cantoral

727

EL DISCURSO ESCOLAR. ASPECTOS DE SU FORMACIN

Apolo Castaeda Alonso

733

PENSAMIENTO Y LENGUAJE VARIACIONAL: UNA APLICACIN AL ESTUDIO DE LA DERIVADA

Mario Snchez Aguilar y Juan Gabriel Molina Zavaleta

739

LOS PROCESOS DE CONVENCIN MATEMTICACONSTITUYENTES EN LA CONSTRUCCIN SOCIAL DE LA MATEMTICA DE LA VARIACIN Y EL CAMBIO: EL CASO DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

Gustavo Martnez Sierra

745

APRENDIZAJE DE HABILIDADES SOCIALES DESDE LAMATEMATICA

Lilian Cadoche y Sonia Pastorelli

752

PROPOSICIONES DE EUCLIDES: PROBLEMA-DEMOSTRACINDESDE UNA PERSPECTIVA ANTROPOLGICA

E. Rechimont, N. Ferreyra, C. Parodi, N. Andrada y M. Scarmbolo

759

LAS ARGUMENTACIONES POR REDUCCIN AL ABSURDOCOMO CONSTRUCCIN SOCIOCULTURAL

Cecilia Crespo Crespo

766

UNA EXPERIENCIA ETNO-MATEMTICA EN EL AMAZONASCOLOMBIANO.

Aldo Ivn Parra Snchez

773

ARITMTICA MAYA: UN APROTE AL CURRICULO

Claudia Mara Lara Galo

780

EL PAPEL DE LA INTERPOLACIN Y LA PREDICCIN EN EL CLCULO

Hiplito Hernndez Prez

786

UNA RESIGNIFICACIN DE LA DERIVADA. EL CASO DE LALINEALIDAD DEL POLINOMIO EN LA APROXIMACINSOCIOEPISTEMOLGICA

Mara del Pilar Rosado Ocaa y Francisco Cordero Osorio

793

DE LA ARITMTICA AL CLCULO: LA RAZ CUADRADA Y SUS DISFUNCIONES EN EL DISCURSO MATEMTICOESCOLAR

Maria Patricia Coln Uribe y Gustavo Martnez, Rosa Mara Farfn

800

PRCTICA SOCIAL DE PREDECIR Y EL USO DE HERRAMIENTAS EN ESTUDIANTES DE ECONOMA

Sal Ezequiel Ramos Cancino y Germn Muoz Ortega

805

LA PERIODICIDAD EN EL SISTEMA DIDCTICO: UNAARTICULACIN A LA LUZ DE LA SOCIOEPISTEMOLOGA

Gabriela Buenda Abalos

812

CONSTRUCCIN SOCIAL DE LA FUNCIN TRIGONOMTRICA

Gisela Montiel Espinosa

818

LA INSTITUCIONALIZACIN DEL CONOCIMIENTOMATEMTICO Y EL REDISEO DEL DISCURSOMATEMTICO ESCOLAR

Francisco Cordero Osorio

824

EL PAPEL DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO EN LA CONSTRUCCIN DE LA VIVIENDA TRADICIONAL: EL CASODE LA CULTURA MAYA

Ricardo Cantoral y Olda Covin

831

LA SOCIOEPISTEMOLOGA. UN ESTUDIO SOBRE SU RACIONALIDAD

Jos Ivn Lpez Flores y Ricardo Cantoral

838

PROCESOS DE RESIGNIFICIACIN DEL VALOR NUMRICO DE LA FUNCIN DERIVADA SEGUNDA: UN ESTUDIO EN EL SISTEMA ESCOLAR URUGUAYO

Ricardo Cantoral y Yacir Testa

845

UM ESTUDO ETNOMATEMTICO DAS ESTERAS (POP)SAGRADAS DOS MAIAS(UN ESTUDIO ETNOMATEMTICO DE LAS ESTERAS (POP)SAGRADAS DE LOS MAYAS)

Milton Rosa y Daniel Clark Orey

851

CATEGORA 4: USO DE LA TECNOLOGA EN EL PROCESO DE APRENDIZAJE DE LAS MATEMTICAS

LOS ESTILOS DE APRENDIZAJE Y EL APRENDIZAJE DE MATEMTICA ASISTIDO POR ORDENADOR EN ALUMNOS UNIVERSITARIOS

Mercedes Anido y Ana Mara Craveri

857

ESTUDO DE FUNES COM O USO DE SOFTWAREEDUCACIONAIS

Ana Regina Gregory Brunet, Dolurdes Voos y Magda Leyser

864

ENSINO DE MATEMTICA: NOVAS TECNOLOGIAS, NOVOS PROBLEMAS

Maria Cristina Bonomi Barufi

869

USO DE HERRAMIENTAS NUMRICAS Y COMPUTACIONALES EN EL AJUSTE DE CURVAS

Mara E. Ascheri y Rubn A. Pizarro

873

USO DE TECNOLOGA EN LA ENSEANZA-APRENDIZAJE DE TEMAS DE CLCULO NUMRICO

Mara E. Ascheri y Rubn A. Pizarro

879

FUNCIONES CON DERIVE ... A DISTANCIA:CATEGORIZACIN Y ANLISIS DE ERRORES

Sandra Mansilla, Erica Panella, Graciela Pavn, Ana Sadagorsky

886

EVOLUCIN DE UN INSTRUMENTO DE EVALUACIN DE UNIDADES CURRICULARES

Liliana Koegel e Ileana Pluss

892

LA INTEGRAL DEFINIDA Y EL CLCULO DE REAS DE REGIONES PLANAS: UN RECURSO EN LA WEB

Adriana Engler

899

O USO DO SOFTWARE MAPLE NO ENSINO DO CLCULODIFERENCIAL E INTEGRAL

Carmen Teresa Kaiber y Sandra Pacheco Renz

906

GEOMETRAS NO EUCLDEAS: UN ACERCAMIENTO CON TECNOLOGA DIGITAL

Edison De Faria Campos

912

EXPERIENCIAS EN LA ENSEANZA DE LA MATEMTICAUNIVERSITARIA EN AMBIENTES DE PROGRAMACIN SOBREASISTENTES MATEMTICOS.

Oscar Antonio Gonzlez Chong, Cristiano Torezzan y Juan MiguelValds Placeres

918

ENSEANZA SEMIPRESENCIAL DE LA MATEMTICAUTILIZANDO COMO SOPORTE TECNOLGICO UNA CALCULADORA GRFICADORA.

Eugenio Carlos Rodrguez

925

EXPERIENCIAS EN EL USO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA EN UN CURSO SEMIPRESENCIAL DE MATEMTICA NUMRICA

Esther Ansola Hazday y Eugenio Carlos Rodrguez

930

ACTITUDES, APRENDIZAJE DE MATEMTICAS Y COMPUTADORAS: FASE INICIAL DE UN ESTUDIO LONGITUDINAL

Jos Antonio Jurez Lpez

936

UN ENFOQUE CTS PARA LA ENSEANZA DE ESTADSTICA.

Jos Luis Pittamiglio y Sylvia Borbonet

943

LA CONJETURA EN GEOMETRA DINMICA A PARTIR DEL ARBELOS DE ARQUMEDES

Mario Dalcn y Mnica Olave

948

LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS EN UN AMBIENTE DE GEOMETRA DINMICA

Mario Dalcn y Vernica Molfino

954

Presentacin

El Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa, CLAME, tiene entre sus propsitos, posibilitar el intercambio entre colegas - profesores e investigadores creando espacios acadmicos que favorezcan el contraste peridico de experiencias de docencia e investigacin en castellano, orientando sus acciones en beneficio de los sistemas escolares de nuestra Amrica Latina.

CLAME, ante el aumento en la participacin de colegas de los distintos pases latinoamericanos, as como la creciente profesionalizacin de la comunidad que ao con ao participa activamente en sus reuniones, ha ido configurando proyectos acadmicos que perfilan y consolidan el proceso de fortalecimiento de la disciplina en Amrica Latina, bajo la premisa de conservar la pluralidad de los acercamientos existentes y el respeto a las tradiciones educativas propias de cada uno de los pases miembros.

Es en este contexto de ideas y en cumplimiento adems de uno de los propsitos especficos del CLAME, promover la creacin, organizacin, acumulacin y difusin del conocimiento referidos a la matemtica educativa, se publica ao con ao el Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa (ALME).

Los artculos publicados el Acta 2006, debieron cumplir con dos requisitos bsicos, haber sido expuestos en alguna de las actividades de Relme 19 y su posterior presentacin en forma de artculo, sujetndose a una evaluacin rigurosa de pares especialistas en el campo. La publicacin en el Acta de un trabajo presentado en Relme no es automtica. Con esto, lo que se persigue es hacer del Acta un instrumento de calidad que difunda del estado del arte que en materia de docencia e investigacin en nuestro campo, se realiza por amplio nmero de profesores en investigadores en Latinoamrica.

En el Acta 2005, el comit acadmico ha trabajado en tres aspectos que ha considerado fundamentales y que esperamos contribuyan a la calidad de la publicacin. El primero, poner mayor cuidado en el proceso de evaluacin, segundo, vigilar el cumplimiento del formato establecido, especialmente en el aspecto de la presentacin de las referencias bibliogrficas, tanto solicitndoles a los autores la correccin de la misma, como interviniendo directamente en una revisin del total de la bibliografa de los artculos aprobados.

Las categoras que componen el Acta son:

Categora 1: Anlisis del Currculum y Propuestas para la Enseanza de las Matemticas.

Categora 2: El Pensamiento del Profesor, sus Prcticas y Elementos para su Formacin.

Categora 3: Consideracin de Aspectos Socioepistemolgicos en el Anlisis y Rediseo del Discurso Matemtico Escolar.

1

Categora 4: Uso de la Tecnologa en el Proceso de Aprendizaje de las Matemticas.

La Comisin Acadmica del Acta, agradece a todos los profesores e investigadores que enviaron sus artculos, pusimos nuestra mayor atencin en la constitucin de este documento y nos sentimos orgullosos de haber podido prestar este servicio acadmico.

Agradecemos a los rbitros por su contribucin solidaria y profesional, as mismo agradecemos de manera especial a todos los colegas que de manera generosa y entusiasta nos regalaron su tiempo, inteligencia y creatividad para la realizacin de este proyecto.

Comisin Acadmica del Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa 2006

Junio de 2006

2

Categora 1:

Anlisis del currculum y propuestas Para la enseanza de las matemticas

3

DESCRIPCIN BIBLIOGRFICA DE FUNCIONES TRASCENDENTES Y SU APLICACIN EN LAS CIENCIAS BIOLGICAS

Dal Bianco, Nydia-Botta Gioda, Rosana-Castro, Nora-Martinez, Silvia-Prieto, Fabio Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. UNLPam. Argentina

dalbianco@exactas.unlpam.edu.ar - smartinez@exactas.unlpam.edu.ar Campo de investigacin: Pensamiento matemtico avanzado; Nivel educativo: Superior

RESUMEN:

Es de fundamental importancia para el desarrollo de las capacidades de los estudiantes, incentivarlos en el hbito de la lectura comprensiva y orientarlos en las correspondientes consultas bibliogrficas a fin de que afiancen sus conocimientos. Nuestro objetivo estuvo centrado en conocer el tratamiento de las funciones logartmicas y exponenciales en bibliografa de los niveles Polimodal y Universitario, desde su presentacin, la utilizacin de los diferentes registros y la respectiva conversin de los mismos, hasta los ejemplos y ejercicios de aplicacin que se encuentran en ellos. Haciendo una seleccin precisa de textos de uno u otro nivel y orientando a los alumnos en la eleccin de los mismos, encontrarn un complemento significativo de las clases tericas-prcticas del tema que les facilitar su aprendizaje y posterior aplicacin.

INTRODUCCIN

Tradicionalmente Biologa y Matemtica estn desconectadas, incluso dentro de la Universidad, no obstante la mayora de los bilogos estn de acuerdo en que la Matemtica puede ser y frecuentemente lo es, una gran ayuda para ellos, en particular en algunas ramas de la Biologa. En la actualidad, todas las ciencias tratan de expresar ciertas caractersticas de los fenmenos que estudian en funcin de otras; y cuanto ms cuantitativo y medible matemticamente sea ese estudio, ms fructfero resultar. Las funciones son una herramienta til para describir, analizar e interpretar situaciones provenientes de la Matemtica y otras ciencias como la Biologa. Los alumnos que cursan carreras de Ciencias Biolgicas en la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad Nacional de La Pampa, presentan reiteradas dificultades en la comprensin y/o aplicacin de algunos temas de matemtica, en particular en el tratamiento de funciones. Se ha trabajado con los alumnos durante la cursada de la asignatura Matemtica aplicando diferentes estrategias de aprendizaje, en esta oportunidad y anticipndonos al ingreso del estudiante, analizamos la Bibliografa utilizada en los distintos colegios de Polimodal de nuestra ciudad y tambin algunos textos considerados bsicos en la ctedra, especficamente en las funciones logartmicas y exponenciales. Esta propuesta se concret a fin de conocer el desarrollo y presentacin de estos temas en la bibliografa de consulta a fin de que, complementando las clases terico-prcticas de la asignatura, faciliten la comprensin y aprendizaje por parte de los estudiantes.

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Marco Terico

En el aprendizaje de la Matemtica, la adquisicin de un concepto depende en gran parte de la capacidad para reconocer e interpretar una representacin del mismo. En esto juega un papel importante el lenguaje utilizado. En particular en el tratamiento del tema funciones, y partiendo del concepto de funcin como expresin de una dependencia entre variables, consideramos fundamentales los siguientes registros de representacin (Duval-1998):

- Registro simblico: Cuando se da la definicin de una funcin mediante expresionessimblicas sustentadas por las reglas de la lgica formal.

- Registro analtico: Cuando hacemos referencia a la definicin de funcin mediante una expresin algebraica.

- Registro verbal: En este caso, el lenguaje comn es el utilizado para representar situaciones llamadas del mundo real. Estas pueden ser modeladas en cualquiera de los otros registros.

- Registro tabular: Corresponde a los valores numricos de la funcin organizados en tablas de valores. Dados valores especficos para x determinar los correspondientes valores de y organizados en una tabla.

- Registro conjuntista: Corresponde a la representacin de funcin mediante un conjunto de pares ordenados, donde ninguno de estos tienen la primera componente igual.

- Registro figural: Cuando expresamos el concepto de funcin, mediante los llamados diagramas de Venn. En este caso, el alumno reconoce una funcin como aquella donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde un solo elemento en el conjunto de llegada.

- Registro grfico: Es la representacin en el plano cartesiano.

La conceptualizacin de un objeto matemtico no puede ser slo la automatizacin de ciertos tratamientos o la comprensin de nociones, sino que implica una coordinacin de registros de representacin. Esta coordinacin de registros es una de las condiciones fundamentales para el aprendizaje de las funciones.

Desarrollo

De la bibliografa de Matemtica utilizada en los colegios del Nivel Polimodal en la provincia de La Pampa, as como de la propuesta en la asignatura para los alumnos de las carreras de Ciencias Biolgicas, seleccionamos para su anlisis cuatro textos. Nivel Polimodal

Matemtica I. Autores: M. B. Camuyrano, G. Net, M. Aragn. Captulo 5: Funciones exponenciales y logartmicas. Matemtica 2. Autores: A. Berio, M.L. Colombo, C. DAlbano, O. Sardella. Tramo C: Funcin logartmica y exponencial.

Nivel Universitario: Clculo. Volumen 1. Autores: R. Larson, R. Hostetler, B. Edwards. Captulo 7: Funciones exponenciales y logartmicas.

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Clculo trascendentes tempranas. Autor: J. Stewart. Captulo 2: Tipo de Funciones; desplazamiento y escalamiento. Captulo 3: Funciones inversas: Funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas inversas.

Descripcin de la bibliografa del Nivel Polimodal:

- En el captulo 5 de Matemtica I se introduce el tema de la funcin exponencial como modelo con la presentacin de dos situaciones particulares: la fisin nuclear y la correspondiente a carbono 14, anexando al final del desarrollo de cada una la ejercitacin especfica. Posteriormente se presenta la frmula de la funcin exponencial en forma general y la deduccin de las expresiones correspondientes a cada uno de los modelos de las situaciones antes mencionadas. Continan los autores de este texto con una sntesis de las propiedades de las potencias de exponente real y prosiguen con los grficos de funciones de la forma f(x) = k . ax, con a > 1 y con 0 < a < 1. En uno de los ejercicios de grficas se analizan simetras entre curvas. En el mismo captulo se describen y caracterizan los crecimientos exponenciales presentes en distintas situaciones y se incluyen ejercicios de caractersticas semejantes. Al finalizar el tratamiento de esta funcin y a partir de una situacin problemtica se efecta el anlisis de la exponencial de base e considerando casos importantes.

Titulando La funcin logartmica como modelo y dentro del desarrollo de la situacin clculos relacionados con la fisin nuclear define la funcin logartmica de base mayor que 1 como inversa de la exponencial. Para destacar la simetra se las grafica en un mismo sistema de coordenadas cartesianas conjuntamente con la funcin identidad. A partir de otra situacin y en forma similar caracteriza a la funcin logartmica de base menor que 1. Posteriormente los autores definen la operacin logaritmo, enunciando las propiedades sin demostracin y mostrando ejemplos. Retomando el tema funciones logartmicas en las bases mencionadas anteriormente, se analizan dominios, imgenes y/o intervalos de monotona, concluyendo con la simetra entre las correspondientes grficas respecto de la funcin identidad. En las actividades de sntesis se presenta una variada ejercitacin de la que destacamos las vinculadas a crecimientos poblacionales, PH de soluciones e intensidad del sonido entre otras.

- En el texto Matemtica 2 el tramo C: Funcin logartmica y exponencial , desarrolla en primer lugar la funcin exponencial definindola en forma general y mostrando grficamente las variaciones de la curva para distintos valores de la base. Inmediatamente aparecen representadas otras funciones en las que se cambian valores de los parmetros para indicar corrimientos sobre los respectivos ejes acompaada con una breve ejercitacin. En la que se destaca el trabajo con los registros tabular y grfico. Previo al tratamiento de la funcin logartmica, en el texto se define la logaritmacin y sus operaciones aplicando las propiedades correspondientes, sin ser demostradas, y con ejemplos desarrollados. La ejercitacin propuesta es de caractersticas similares. En la siguiente seccin define la funcin logartmica como inversa de la exponencial y grafica las dos funciones considerando la base 2, utilizando tabla de valores para la

Descripcin bibliogrfica de funciones trascendentes

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logartmica. Inmediatamente muestra la funcin logaritmo natural a partir de su tabla y grfico y finaliza esta seccin terica con un ejemplo correspondiente a un corrimiento sobre el eje de las abscisas. En la ejercitacin propuesta se solicita al lector construccin de grficos de funciones exponenciales y logartmicas con variacin de los distintos parmetros y en la ltima parte se presentan dos ejercicios de aplicacin a la Biologa.

Descripcin de la bibliografa del Nivel Universitario:

En el captulo Repaso y prembulo del texto: Clculo de Stewart, hay una breve sntesis sobre ambas funciones. En los captulos siguientes (1 y 2) se desarrollan los temas correspondientes a lmites y derivadas en forma general. En el captulo 3 aparecen las funciones de inters para nuestro trabajo. A continuacin transcribimos parte del prrafo inicial:

Dos de las funciones ms importantes que se manejan en las matemticas y en sus aplicaciones son la funcin exponencial f(x)= ax y su inversa, la funcin logartmica g(x) = logax. En este captulo investigaremos sus propiedades, calcularemos sus derivadas y las emplearemos para describir el crecimiento y decaimiento exponencial, en campos como la qumica, la fsica, la biologa y la economa.

Iniciando el captulo 3 se muestra la forma (como dice el autor) de la funcin exponencial para continuar con las propiedades de los exponentes a partir de los grficos de las funciones y = 2x e y = x2 comparando la monotona de ambas. En un teorema en forma de resumen aparecen las propiedades de la funcin exponencial. Mediante ejemplos se calculan lmites y derivadas de estas funciones. Contina con un ejemplo de aplicacin referido al crecimiento de una poblacin de bacterias. En la ejercitacin propuesta para esta seccin se presentan ejercicios referidos a construccin de grficos y clculo utilizando la calculadora y algunos problemas de aplicacin. Siguiendo prcticamente los mismos lineamientos utilizados en el tratamiento de la funcin exponencial, en la seccin siguiente, y a partir del concepto de funcin inversa, el autor define la funcin logartmica con ejemplos de crecimiento y decaimiento exponencial de los que destacamos los referidos a crecimiento de una poblacin de bacterias y desintegracin radiactiva. Finaliza con una variedad de problemas de aplicacin que involucran a los temas antes mencionados.

En el captulo VII del texto: Clculo y Geometra Analtica de Larson estas funciones particulares son abordadas despus de un amplio estudio de las funciones elementales y luego de haber desarrollado los conceptos de limite, continuidad, derivacin e integracin de funciones. Se presenta la funcin exponencial f(x) = 2x calculando algunos valores particulares y realizando el tratamiento con exponentes irracionales. Se enuncian las propiedades de los exponentes en un Teorema (sin demostracin) ejemplificando algunas de ellas. Posteriormente, utilizando tablas de valores, se construyen las graficas de algunas funciones exponenciales (distintas bases) y se analiza su comportamiento. Las caractersticas generales se enuncian formalmente como propiedades de las funciones exponenciales.

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Despus de definir el nmero e y la funcin exponencial en esta base se presentan sus primeras aplicaciones con dos ejemplos, uno de ellos vinculado a la Biologa trata el crecimiento de un cultivo de bacterias. Aparecen en la ejercitacin de esta seccin varios problemas de inters para nuestro trabajo. El autor contina con el tratamiento de los conceptos derivacin e integracin de funciones exponenciales sin mostrar aplicaciones especficas. En la seccin siguiente se estudian las funciones inversas, su existencia y derivada, enunciando y demostrando teoremas relativos a esta temtica. Prosigue con el tratamiento de las funciones logartmicas: definicin y propiedades de la funcin logaritmo natural, enunciando en un teorema las propiedades de los logaritmos. En las dos secciones posteriores se aplican la derivacin e integracin a las funciones logartmicas, mostrando al final un problema aplicado a las leyes de los gases similar a la ejercitacin propuesta y luego se trata el tema crecimiento y decrecimiento exponenciales y sus aplicaciones de las que destacamos: Desintegracin radiactiva; Crecimiento de poblacin y Ley de enfriamiento de Newton. Concluye con una propuesta interesante de problemas aplicados al campo de investigacin en Biologa . El Captulo VII finaliza con una serie de ejercicios y problemas que aplican los temas desarrollados e introducen algunos conceptos nuevos como la funcin densidad exponencial entre otros.

Anlisis de la Bibliografa:

Existen diferencias en el tratamiento del tema que nos convoca en los dos textos del nivel Polimodal. Lo que requiere una especial atencin es la actividad introductoria, ya que esta es de relevante importancia debido a que a partir de ella el alumno puede construir el sentido del conocimiento. Los textos consultados presentan distintos enfoques en el estudio del tema funciones exponenciales y logartmicas. En Matemtica I se muestran algunas aplicaciones antes de definir el objeto de estudio, el que se construye progresivamente (en forma similar como ha evolucionado histricamente el concepto de funcin) analizando la dependencia entre las variables. Esta forma de introduccin al tema de las funciones analizadas a partir de situaciones reales, externas a la Matemtica, y mediante una interaccin entre los distintos registros: tabular, grfico y analtico permite una mayor comprensin del concepto estudiado.

En el texto Matemtica 2 se introduce la funcin exponencial como un instrumento. Se la define con la frmula general y su grfica sin tener en cuenta la relacin entre las variables. En este contexto la utilizacin de la funcin no esta ligada a una situacin - problema con la que tendra sentido la definicin del objeto. El autor trabaja principalmente con la conversin del registro analtico - grfico y viceversa y en unos pocos ejemplos se relacionan los registros : analtico tabular-grfico y verbal- analtico. Siguiendo con la teora de Duval consideramos que la articulacin entre al menos dos registros favorece la comprensin del concepto.

En cuanto a los autores de los textos de Clculo presentan en general similares enfoques, por ejemplo ambos enuncian en Teoremas las propiedades de las funciones y hasta existe

Descripcin bibliogrfica de funciones trascendentes

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coincidencia en algunos ejemplos como el considerar base 2 para representar ambas funciones en sistema de ejes cartesianos. En los dos libros analizados en una seccin especial se trabaja el tema de las funciones inversas, con una mayor complejidad en el tratamiento del texto Clculo de Stewart como as tambin en los ejercicios propuestos. Tambin se observa en el desarrollo de los temas estudiados un tratamiento similar respecto a la construccin del objeto de estudio en cuanto a la utilizacin de los diferentes registros (analtico, tabular, grfico, verbal) y sus respectivas interacciones. Esto favorece la transferencia y los aprendizajes ulteriores.

Conclusiones

En la bibliografa analizada podemos observar dos formas de presentar los temas: Se da la definicin, propiedades, ejemplos y ejercicios para resolver entre los que aparecen situaciones problemticas. Se presenta una situacin problemtica a partir de la cual se van construyendo los conceptos a ensear, en este caso funciones exponenciales y logartmicas.

Si los alumnos tienen que hacer una eleccin entre estas dos formas presentadas anteriormente, optan por la primera, ya que en general manifiestan que prefieren algo as como la receta ya que les resulta mas interesante un estudio guiado que los conduzca a una rpida solucin de las situaciones planteadas. Conceptualizar un objeto matemtico no puede ser slo la automatizacin de ciertos algoritmos o la comprensin de nociones, sino que implica una coordinacin de registros de representacin. Esta coordinacin de registros es una de las condiciones fundamentales para el aprendizaje de las funciones. La ausencia de coordinacin no dificulta toda la comprensin, pero favorece slo en parte las transferencias y los aprendizajes posteriores. Por otro lado, la forma de introducir los temas a travs de situaciones problemticas permitir a los estudiantes reconocer en que momento lo aprendido es aplicable en una situacin concreta. Si a esto le sumamos adems la articulacin entre varios registros de representacin, permitiran una comprensin casi acabada del concepto. Las actividades que promueven la representacin de una misma funcin por diferentes frmulas algebraicas, pueden contribuir a que los alumnos distingan el objeto matemtico funcin de una frmula que lo pueda representar.

Desde hace varios aos se ha venido trabajando esta problemtica buscando estrategias de enseanza aprendizaje, que incluyan adems ejemplos y problemas del rea de Biologa, enfatizando el trabajo con los alumnos, ya que muchas veces los docentes no logran incitar el inters y la imaginacin de los estudiantes de biologa por la utilidad y belleza del arte de las matemticas. Las situaciones problemas matemticos son las promotoras y contextualizadoras de la actividad matemtica y junto con las acciones constituyen el componente prctico de las matemticas.

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Bibliografa

Camuyrano, M., Net, G., Aragn, M. (2000). Matemtica I. Modelos Matemticos para interpretar la realidad. Argentina: Estrada.

Berio, A., Colombo M.L., DAlbano, C., Sardella, O.(2001). Matemtica 2. Buenos Aires, Argentina: Puerto de Palos.

Larson R., Hostetler, R., Bruce, E. (1995) Clculo y Geometra Analtica. Volumen 1.Espaa: McGraw-Hill.

Stewart, J. (1998). Clculo de una variable. Trascendentes tempranas. Mxico: Internacional Thomson Editores S.A

Duval, R. (1998). Registros de representacin semitica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. Mxico: Grupo Editorial Iberoamrica.

K. Newstaed (eds): Proceedings of the 22nd PME conference (3), 1-8) Stellenbosch; South Africa

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ANLISIS DE LAS PRAXEOLOGAS MATEMTICAS EN EL NIVEL UNIVERSITARIO EN TORNO A LA NOCIN DE FUNCIN

Parra Vernica; Virginia Cano; Elichiribehety Ins; Otero, Maria Rita; Ncleo de Investigacin en Educacin en Ciencia y Tecnologa. Facultad de Ciencias

Exactas Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires vparra@exa.unicen.edu.ar virginiacano2002@yahoo.com.ar ielichi@exa.unicen.edu.ar rotero@exa.unicen.edu.ar

Campo de investigacin: Didctica de la Matemtica

Resumen

Este trabajo es parte de un proyecto que estudia las dificultades de la Enseanza de la Matemtica en el Nivel Universitario. El estudio fue realizado en una Facultad de Ciencias Econmicas, en un curso de Matemtica. Se realiz una observacin no participante de la totalidad de las sesiones de varias comisiones registrando la informacin en video, audio y registros escritos. Se adopta el marco de la Teora Antropolgica de lo Didctico (TAD) (Chevallard, 1992,1999) para analizar las Praxeologas Matemticas (PM) que se desarrollan durante un semestre en la asignatura Matemtica. Discutimos las caractersticas de las PM en torno a la nocin de funcin, las relaciones entre stas, en qu medida se corresponden y los componentes de las mismas (objetos matemticos, tareas, tcnicas, tecnologas y teoras).

1. Introduccin

En esta ocasin presentamos algunos resultados del trabajo que estamos realizando en una Facultad de Ciencias Econmicas, analizando las PM que se desarrollan durante un semestre en la asignatura Matemtica. La nocin de Praxeologa Matemtica (PM) u Organizacin Matemtica (OM) hace referencia a la concepcin del trabajo matemtico como estudio de tipos de problemas o tareas problemticas. Lo cul implica adems, caracterizar, delimitar y clasificar los problemas; entender y describir las tcnicas que los resuelven; establecer condiciones bajo las cuales funcionan o no y finalmente, construir aspectos slidos que aseguren la validez de las maneras de proceder. Presentamos el esquema de anlisis desarrollado para evaluar las PM puestas en juego en esta particular institucin y mostramos algunos resultados de esta evaluacin. Nos proponemos estudiar si efectivamente estas PM son adecuadas para ensear las nociones referidas a Funcin en la Universidad.

2. Elementos tericos y presupuestos bsicos

La TAD (Chevallard 1992,1999) sita la actividad matemtica en el conjunto de las actividades humanas y de instituciones sociales. Esta teora admite como postulado bsico que toda actividad humana regularmente realizada puede describirse con un modelo nico, que se resume aqu con la palabra praxeologa. Etimolgicamente tal concepto proviene de la unin de los trminos: praxis y logos. El primero hace referencia al saber hacer, es decir, los tipos de problemas o tareas que se estudian y las tcnicas que se construyen para

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solucionarlos. El trmino logos, se identifica con el saber e incluye a las descripciones y explicaciones que nos permiten entender las tcnicas, esto es, el discurso tecnolgico y la teora que da sentido a los problemas planteados, permite interpretar las tcnicas y fundamentar las descripciones y fundamentaciones tecnolgicas. Tipos de tareas, tcnica, tecnologa y teora son los elementos que componen una Praxeologa Matemtica (PM) u Organizacin Matemtica (OM).

3. Metodologa de investigacin

Esta investigacin se realiz durante el segundo semestre del ao 2004 y se observaron a los profesores que dirigan el estudio de dos comisiones constituidas por aproximadamente 40 alumnos cada una. En ambos casos se trata de docentes expertos y con amplia trayectoria. Las clases se realizaban en dos sesiones semanales de tres horas cada una. De la totalidad de las sesiones observadas, en este trabajo slo se consideran las cuatro relativas al estudio de Funciones de una y varias variables. Las observaciones fueron de carcter no participante, se registraron en audio, video y adems, se recogieron la totalidad de las intervenciones por escrito. Adems se cuenta con los Apuntes Tericos y el Cuadernillo de Trabajos Prcticos que la ctedra edita para los estudiantes, el programa analtico con los contenidos por unidad y con la bibliografa recomendada a los alumnos. Estos materiales son comunes en ambas comisiones. Adicionalmente se recogen los apuntes de clase de los alumnos. Es conveniente aclarar las categoras que se utilizarn durante el anlisis de los datos:

OMPE: Organizacin Matemtica Propuesta para Ensear. OMPE1: Organizacin Matemtica Propuesta para Ensear en el programa analtico. OMPE2: Organizacin Matemtica Propuesta para Ensear en el apunte terico (materiales instruccionales). OMEE: Organizacin Matemtica Efectivamente Enseada. OMR: Organizacin Matemtica de Referencia (observada en los libros de texto de los cuales han reconstruido la OMPE). Para organizar y analizar la informacin, construimos dos tipos de tablas. Con la primera realizamos una trascripcin completa del apunte terico:

Objetos matemticos presentes

Tipos de tareas

Tareas Tcnicas Tecnologa Teoras Ejemplos propuestos

Tabla 1

La primera columna nos permite identificar los objetos matemticos que aparecen explcitos en el apunte terico, ya sean antiguos o nuevos, respetando el orden de introduccin de los mismos (consideraremos objeto matemtico a todo aquello que pueda ser estudiado). La segunda columna, nos permite identificar los tipos de tareas que se generan en torno a esos objetos. La tercera columna, nos informa acerca de las tareas que se proponen en el apunte terico y la siguiente, nos brinda las tcnicas propuestas para resolverlas. La quinta y sexta columna nos permite identificar los elementos tecnolgicos

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tericos que aparecen explcitos en el apunte terico. Finalmente, la ltima columna nos muestra los ejemplos de tareas y tcnicas que se proponen en el mismo apunte. La Tabla 2, nos permite realizar un anlisis ms detallado de cada una de las OM puestas en juego. Hemos volcado en esta tabla los datos referidos a la OMPE2 y a la OMR:

Objetos Matemticos presentes ( N: nuevo, A:antiguo)

Gnero de Tareas (G i)

Tipos de Tareas (T i j)

Tcnicas ( ijk) Elementos tecnolgicos-tericos ( i/ i)

Tabla 2 La primera columna nos informa de los objetos matemticos que se explicitan en cada una de las OM analizadas. La segunda nos permite identificar qu gneros de tareas se construyen en torno a esos objetos matemticos. En la siguiente columna, detallamos los tipos de tareas que conforman dichos gneros. La cuarta columna nos indica acerca de las tcnicas propuestas para la resolucin de esos tipos de tareas. Finalmente, identificamos los elementos tecnolgicos-tericos que se explicitan.

4. Anlisis de las Organizaciones Matemticas puestas en juego

4.1. Caractersticas de la Organizacin Matemtica Propuesta para Ensear En virtud del anlisis de la OMPE, se han identificado las siguientes caractersticas: Una desconexin interna en la OMPE que hace necesaria la distincin entre la OMPE1 y la OMPE2. Algunos de los indicadores ms relevantes de esta desconexin son: una secuenciacin de contenidos diferentes en cada una de las organizaciones mencionadas (la OMPE1 y la OMPE2) y la presencia de distintos objetos matemticos en cada una de ellas. Identificamos adems, objetos matemticos estudiados en el apunte terico que el programa analtico no considera. Con respecto a la definicin de funcin propuesta en la OMPE2 debe destacarse un aspecto importante: la condicin de existencia no se formula explcitamente. Tanto esta condicin como la de unicidad, son necesarias en una definicin de funcin. Notamos que ninguna de ellas se menciona de manera explcita, mientras que las tareas propuestas en el cuadernillo de trabajos prcticos y en el apunte terico, requieren las mencionadas condiciones, particularmente, la condicin de existencia. Observamos la presencia de un gran nmero de definiciones incompletas, imprecisas y coloquiales dentro del apunto terico, definiciones que, formuladas de esta manera, naturalizan el saber. Por ejemplo:

- La correspondencia f de un subconjunto A de R x R = R2 en el conjunto R, dada por f: A R2 R y tal que (x, y) A z = f(x, y) R, se denomina funcin real de dos variables reales. Identificamos aqu, la ausencia de la condicin de unicidad de imgenes. Otra de las caractersticas ms relevantes de la OMPE2 es la presencia de una excesiva cantidad de ejemplos de tareas y las tcnicas necesarias para resolverlas. Identificamos en la misma OMPE2 un gran nmero de agujeros (ausencia de tareas, tcnicas, tecnologas y teoras en torno a una amplia cantidad de objetos matemticos introducidos). Tenemos as, una serie de definiciones que luego no se utilizan, de lo cul se sigue una naturalizacin de las mismas.

Nos encontramos con una serie de contradicciones dentro de la misma OMPE2. El propio texto formula explcitamente una definicin y luego, utiliza otra. Por ejemplo:

Anlisis de las praxeologas matemticas en el nivel

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1: Una funcin irracional es aquella en las que se aplica la raz de cualquier ndice a la variable x, o sea, la expresin y = n xT1: Determinar el dominio de las siguientes funciones: f(x) = 7xLa definicin formulada ( 1) no se ajustara a la tarea propuesta (T1), ya que la expresin:f(x) = 7x segn 1 no sera funcin irracional. Esto nos hace suponer la existencia de dos OM que conviven dentro de la propuesta en el apunte terico: una que gira en torno a las definiciones efectivamente institucionalizadas y otra organizacin distinta a sta, en torno a las tareas propuestas en el mismo apunte terico. A partir del instrumento de anlisis que proporciona la tabla 2, concluimos en lo siguiente: La OMPE2, gira en torno a 5 gneros de tareas: G1: Analizar el dominio de funciones. (Determinar el dominio de funciones de una y dos variables y graficar este ltimo caso) G2: Operar con funciones.G3:.Caracterizar funciones. (Se refiere a analizar inyectividad, suryectividad, biyectividad, inversas, simetras, homogeneidad, ceros, intervalos de crecimiento, decrecimiento, de positividad y de negatividad)G4: Representar grficamente funciones.G5: Analizar curvas de nivel.

Las tcnicas matemticas asociadas, por ejemplo, al gnero G1 son:11: Si es una expresin con raz, considerar el radicando mayor o igual a cero. 12: Si es una expresin fraccionaria considerar el denominador distinto de cero. 13: Si es una expresin fraccionaria con una raz en el numerador, analizar el radicando y

el denominador. Domf=Dom numerador Dom denominador. 14: Si es una expresin logartmica considerar el argumento mayor a cero.

Detectamos la existencia de un bloque prctico-tcnico que gira en torno a los cinco gneros de tareas que hemos sealado (Gi). Los tipos de tareas propuestos son algo limitados y no ofrecen la posibilidad de relacionar las nociones referidas a funcin. Se observa una importante fragmentacin de los contenidos y por lo tanto, una fragmentacin de las tareas y de las tcnicas, estableciendo una desconexin con otras tareas y tcnicas. El bloque tecnolgico terico que respalda el uso de estas tcnicas est conformado slo por las definiciones de cada uno de los objetos matemticos que se ponen en juego. Consideramos que ste no se ajustara a las tareas y tcnicas puestas en juego en la OMPE2,sera necesario algo ms que definiciones, por ejemplo, generalizaciones, teoremas con sus demostraciones, proposiciones, lemas, entre otros.

4.2 Caractersticas de la Organizacin Matemtica Efectivamente Enseada En virtud del anlisis de la OMEE, se han identificado las siguientes caractersticas:Se detect la presencia de definiciones incompletas e imprecisas, por ejemplo: -Definicin de funcin irracional: Estn afectadas por una raz. Son la inversa de la parbola matriz. En este ejemplo no se menciona que es lo afectado por una raz, si una variable o una determinada expresin. Detectamos la misma definicin que la propuesta en la OMPE2.Considerando una funcin irracional como la inversa de la parbola matriz, solo se est

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teniendo en cuenta la expresin f(x) = x, excluyendo del campo de las funciones irracionales un gran nmero de expresiones. Se detect en la OMEE una excesiva cantidad de ejemplos de tareas y las tcnicas de resolucin. Identificamos as un bloque prctico-tcnico, conformado por una amplia cantidad de ejemplos de pares de tareas-tcnicas. La resolucin de las tareas es llevada a cabo por el profesor en la totalidad de la clase y la tarea del alumno es resolver algunas pocas tareas fuera de clase.

A partir del instrumento de anlisis que proporciona la Tabla 2, concluimos en lo siguiente: La OMEE gira en torno a cuatro gneros de tareas:H1: Analizar el dominio de funciones. (Determinar el dominio de funciones de una y dos variables y graficar este ltimo caso) H2: Componer funciones. H3: Representar grficamente funciones. H4: Hallar curvas de nivel.

Describimos a continuacin las tcnicas asociadas a cada uno de estos gneros de tareas: Las tcnicas asociadas a H1 se basan en el manejo algebraico de las expresiones. Se identifican exactamente las mismas tcnicas que en la OMPE2. La tcnica asociada a H2 es: donde est la variable x poner g(x). Para H3, la tcnica propuesta es graficar usando tablas. Para H4, la tcnica propuesta es darle valores al parmetro k y analizar que funcin se obtiene. Destacamos aqu una diferencia importante entre la OMPE2 y la OMEE. La diferencia radica en las tcnicas que se construyen en torno al gnero de tareas referido a graficar funciones: (G4 para la OMPE2 y H 3 en la OMEE). En la OMPE2 las tcnicas se basan en el anlisis de la funcin estudiada evitando as, el uso de tablas de valores, mientras que en la OMEE, la nica tcnica es el uso de estas tablas. Esto tiene como consecuencia inmediata, que el G4 de la OMPE2 pierde cierto sentido en el H3 de la OMEE. El bloque tecnolgico-terico est conformado slo por una serie de definiciones que, como hemos mencionado anteriormente, son definiciones incompletas e imprecisas.

4.3 Caractersticas de la Organizacin Matemtica de Referencia

La bibliografa que se propone en el programa analtico como material de consulta nos proporciona datos sobre una posible Organizacin Matemtica de Referencia (OMR). Hemos construido esta OMR a partir de tres de los libros de texto enumerados en el programa. Destacamos algunas conexiones y desconexiones entre la OMPE2, la OMEE y esta OMR. Como ejemplo de algunas desconexiones se tiene: en la OMR se definen de manera explicita las condiciones de existencia y unicidad luego de dar la definicin de funcin. Esto se ha observado tanto para funciones de una variable como para funciones de dos variables. Otra de las diferencias es el tipo de definiciones que all se dan, se trabajan con definiciones completas. Identificamos as, un bloque tecnolgico-terico formado por definiciones, pero con definiciones claras y precisas. Se explicitan en la OMR las relaciones entre los conceptos de plano, trazas, curvas de nivel y funciones de dos variables. Estos aspectos no se han identificado en ninguna de las otras dos organizaciones mencionadas, la OMPE2 y la OMEE.

Anlisis de las praxeologas matemticas en el nivel

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Las semejanzas con la OMPE2 y la OMEE, son en los que respecta al gnero, tipo y tareas propuestas y a las tcnicas asociadas a esas tareas. Analizando la informacin de la Tabla 2, concluimos lo siguiente: Los gneros de tareas detectados en la OMR son: O1: Analizar el dominio de funciones. (Determinar el dominio de funciones de una y dos variables y graficar este ltimo caso) O2: Analizar que expresiones resultan ser relacin funcional.O3: Representar grficamente funciones de una y dos variables.O4: Analizar casos particulares de curvas de nivel.

Las tcnicas matemticas asociadas a cada uno de estos gneros de tareas son:Para el primer gnero de tareas (O1), detectamos exactamente las mismas tcnicas que en la OMPE2. Para O2, las tcnicas se basan en analizar si existen puntos del dominio de la posible funcin para los cuales existan dos valores de imagen. Las tcnicas asociadas a O3se refieren al anlisis de los parmetros de las funciones estudiadas, no se considera bajo ningn punto de vista la posible construccin de tablas de valores. En O4 identificamos la tcnica de dar valores al parmetro k en la ecuacin de la curva de nivel f(x, y) = k y luego identificar que expresin se ha obtenido. Detectamos la existencia de un bloque prctico-tcnico que gira en torno a los gneros de tareas que hemos sealado (Oi). Identificamos en este bloque una gran cantidad de ejemplos de tareas y la tcnica de resolucin, inclusive, algunos de stos son los mismos que se han propuesto en la OMPE2. Identificamos aqu un apartado con varias tareas nuevas, diferentes a las analizadas por el texto.El bloque tecnolgico-terico est conformado slo por una serie de definiciones que, en este caso, son completas, precisas y se relacionan en gran medida entre s y con las tareas y tcnicas propuestas. Se observa una fragmentacin de los contenidos similar a la llevada a cabo en la OMPE2.

5. Conclusiones

El anlisis de las OM puestas en juego muestra que en todos los casos, aun en OMR, que el bloque tecnolgico-terico est formado slo por un conjunto de definiciones. La OMR difiere de la OMPE2 y de la OMEE en el bloque tecnolgico-terico. Tanto en la OMPE2 como en la OMEE y en la OMR predomina el bloque prctico-tcnico, es decir, se proponen constantemente duplas formadas por tareas y tcnicas. Las OM analizadas giran en torno a los mismos gneros de tareas. stas OM pueden caracterizarse locales, ellas estn formadas por una serie de organizaciones puntuales, que giran en torno a un gnero de tareas. El anlisis de la OMPE2 evidencia una gran cantidad de definiciones poco precisas e incompletas desde el punto de vista matemtico, de lo cual se sigue una inevitable naturalizacin del saber. Se encuentran definiciones que no son utilizadas en ningn tipo de tarea. Por otra parte, en la OMPE2 se institucionalizan ciertas definiciones, mientras posteriormente se usan otras distintas aunque equivalentes, sin ninguna aclaracin.

En sntesis, la actividad matemtica que se lleva a cabo en esta institucin es bsicamente prctico-tcnica y raramente alcanzan el nivel tecnolgico. Como consecuencia, las OM

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son puntuales, lo que impide que se reconstruyan efectivamente OM locales relativamente completas. Estas restricciones institucionales sobre la actividad matemtica conllevan al fracaso de los estudiantes, por tanto es necesario encontrar formas de modificar las praxeologas espontneas que trasciendan la visin naturalizada de la Matemtica.

Bibliografa

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Chevallard, Y. (1997) Familire et problmatique, la figure du professeur. Recherches en Didactique des Mathmatiques, Vol. 17 (3) pp. 17-54.

Chevallard, Y (1999) L nalyse des practiques enseignantes en thorie anthropologique du didactique. Recherches en Didactique des Mathmatiques, Vol. 19 (2) pp. 221-266.

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PODEMOS INTEGRAR MATEMTICA, QUMICA, COMPUTACIN A PARTIR DE UNA PROBLEMTICA ACTUAL?

N.M. Monti1, P.C. L'Argentire21Anlisis Matemtico, Facultad de Ciencias Econmicas, 2Qumica Inorgnica,

Facultad de Ingeniera Qumica, Universidad Nacional del Litoral, Santa Fe, Argentina.

nmonti@fce.unl.edu.ar plargent@fiqus.unl.edu.ar Campo de Investigacin: Aprendizaje cooperativo - Probabilidad, estadstica y

combinatoria - Uso de la tecnologa en la enseanza de la Matemtica; Nivel educativo: Bsico

Resumen:

Esta experiencia se realiz en el Colegio Nuestra Seora de Guadalupe. El proceso educativo debe ser continuo, para facilitar la formacin de una persona autnoma, trabajamos coordinadamente con vistas a la insercin de los alumnos provenientes del Nivel Medio en forma no traumtica en aquellas Facultades de la Universidad Nacional del Litoral, en las cuales Matemtica y Qumica son reas relevantes en los respectivos planes de estudio. La adquisicin de aprendizajes significativos se realiza mediante la claridad informativa y la aplicacin sistemtica, graduada y diversa de los contenidos a situaciones cotidianas que profundizan la comprensin de los conceptos. La situacin seleccionada para esta experiencia es un tema de mucha trascendencia, el tabaquismo,que permiti integrar los contenidos de Matemtica, Qumica y Computacin

Palabras claves: integrar, Matemtica, Qumica, computacin

Esta experiencia se llev a cabo en el marco del Proyecto de Investigacin: "Investigacin de la capacidad para incorporar desarrollos tecnolgicos en el aprendizaje de Matemtica y Qumica en las Facultades de Ciencias Econmicas y de Ingeniera Qumica" que dirigen los organizadores y ejecutores de la misma; este proyecto fue aprobado por la Comisin de Ciencia y Tcnica del H. Consejo Superior y ratificado mediante Resolucin C.S.N 22/02 recada en Expte. N 408.244/30 de la Universidad Nacional del Litoral y es subsidiado por la misma, con los alumnos de noveno ao de la Educacin General Bsica (EGB) del Colegio de Nuestra Seora de Guadalupe. Las edades de los alumnos oscilan entre los trece a quince aos. Tanto la Universidad como el Colegio son de la ciudad de Santa Fe, Argentina.

Como todo proceso educativo debe ser continuo, ya que a travs de l nos proponemos formar una persona autnoma, comenzamos a trabajar en forma coordinada con vistas a la insercin de los alumnos provenientes del Nivel Medio en forma no traumtica en aquellas Facultades de la Universidad Nacional del Litoral (Santa Fe, Argentina) en las cuales Matemtica y Qumica son reas relevantes en los respectivos planes de estudio.

Se parti de la idea de que la adquisicin de aprendizajes significativos se realiza mediante la claridad informativa y la aplicacin sistemtica, graduada y diversa de los contenidos a partir de situaciones cotidianas que profundizan la comprensin de los conceptos. Adems esta situacin cotidiana para que resulte motivadora para el alumno debe estar relacionada con una problemtica actual.

Teniendo en cuenta que las drogodependencias se han convertido en uno de las problemticas actuales que ms preocupan a la sociedad, quizs debido a que cada da constatamos que no se trata de un problema relacionado slo con zonas marginales sino

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que puede afectar a toda la comunidad y en especial, de forma ms dramtica, a una poblacin de riesgo respecto al consumo: nios y jvenes en edad escolar.

El tabaco es una droga, socialmente aceptada, pero droga al fin, y adems nuestros alumnos de secundaria y bachillerato no slo no estn libres de ella, sino que es en estas edades cuando se inician en su consumo. Tambin sabemos que algunos de los efectos del tabaco a largo plazo son.

Disminucin de la memoria, dolores de cabeza, fatiga, bronquitis, cncer de pulmn, boca y de laringe. Disminuye el rendimiento deportivo. Dependencia fsica, con su correspondiente sndrome de abstinencia. Dependencia psquica.Manifestaciones comportamentales derivadas de los momentos de abstinencia (irritabilidad, ansiedad, etc...)

Teniendo en cuenta esto elegimos como situacin cotidiana seleccionada para esta experiencia, un tema de mucha trascendencia, tal como lo es el tabaquismo.

Sobre la base de esto y considerando que los alumnos tenan en su plan de estudio las reas de Qumica, Matemtica y Laboratorio de Computacin, organizamos esta experiencia de la siguiente manera:

1) Se seleccionaron los contenidos que permitieran integrar dichas reas: En Qumica los contenidos seleccionados fueron: tabaco, efectos del tabaco sobre el organismo y la nutricin, consecuencia sociales del tabaquismo.En Matemtica: Estadstica, variables estadsticas, encuestas, importancia de las mismas.En Laboratorio de Computacin: Internet, bsqueda de informacin, seleccin de la misma, elaboracin de informes.

2) Se abordaron en cada rea los contenidos seleccionados teniendo en cuenta que cuando los alumnos en Matemtica fueran a desarrollar los contenidos previstos, previamente deban haber visto los contenidos correspondientes de Qumica, puesto que se parta en Matemtica de una situacin cotidiana como lo es estadsticas de incidencia del tabaco sobre la mortalidad en Argentina.Posteriormente, en el Laboratorio de Computacin los alumnos realizaron bsquedas en Internet sobre incidencia del tabaquismo en la salud, lo que les permiti analizar si las encuestas eran crebles o no.

3) Una vez terminado de desarrollar los contenidos en las distintas reas se organizaron los alumnos en grupos de trabajo.

4) Cada grupo de trabajo realiz bsquedas bibliogrficas sobre tabaquismo y adolescencia, un tema de mucha trascendencia social hoy y adems encuestas sobre el consumo de tabaco dentro de su grupo de amigos.

5) Cada grupo elabor con todo el material reunido un informe final, dando sus opiniones personales sobre el tema. Dichos informes finales fueron presentados en forma de carteles a todo el alumnado y cuerpo docente del Establecimiento a travs de una exposicin que se realiz en la ltima semana del ciclo lectivo del ao 2004.

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Esta experiencia llevada a cabo en forma integrada entre los docentes de Matemtica, Qumica y Computacin tiene dos propsitos fundamentales:

1) Uno social, como lo es el de comenzar a educar a los alumnos de secundaria y bachillerato en una prevencin especfica sobre la problemtica de una de las adicciones actuales como lo es el tabaquismo.

2) Otro acadmico como es respetar las inquietudes planteadas por los alumnos que participaron de la experiencia anterior alcoholismo, adolescencia y sus implicancias sociales en el mundo actual, que queran realizar algo similar a la misma, en el curso siguiente.

Creemos que la experiencia result positiva puesto que:

* Los alumnos participantes de la misma volvieron a valorar positivamente cmo pueden integrarse contenidos de reas tan distintas entre s como lo son: Matemtica, Qumica y Laboratorio de Computacin.

* La misma tambin tuvo un alto contenido tico y de utilidad social porque el eje de todo el trabajo realizado fue tabaquismo, adolescencia y sus implicancias sociales en la problemtica actual.

* Tambin sirvi para que los alumnos, que son adolescentes, trasmitan un mensaje sobre las consecuencias del tabaquismo a los amigos y compaeros de su misma edad ya que las encuestas las realizaron en los lugares donde ellos se renen.

* Los alumnos aprendieron a trabajar en equipo y a defender sus puntos de vista realizando un anlisis y evaluacin de su propio trabajo as como el de los dems, en un mbito dinmico y cordial.

* Tambin fue una manera de irlos preparando para su insercin en el mbito universitario ya que a travs de esta experiencia no solo tuvieron que manejar los contenidos conceptuales de Matemtica, Qumica y Laboratorio de Computacin, sino que tambin tuvieron que manejar los contenidos procedimentales y actitudinales de las mismas para poder resolver satisfactoriamente las situaciones planteadas y realizar una correcta defensa de su trabajo frente a los dems.

* Los mismos se iniciaron en la metacognicin, porque una vez terminada la exposicin de los distintos trabajos tuvieron que realizar una autoevaluacin de sus trabajos en base a la escala fijada por los docentes y fundamentar la calificacin que se asignaban. Es importante destacar que las calificaciones que se asignaron los alumnos generalmente coincida con la asignada por los docentes, salvo en algunos casos excepcionales que la de los alumnos era inferior a la de los docentes. Lo que significa que la autoevaluacin o metacognicin realizada por los alumnos fue hecha a conciencia.

Bibliografa:

Berenson, M., Levine, D. (1996). Estadstica bsica en administracin: Conceptos y aplicaciones, 6 edicin. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana S.A. Mxico.

Aliseda, J., Junta de Andaluca. (1993). Programa de prevencin de drogodependencias en el medio educativo, Sevilla, Espaa.

Podemos integrar Matemtica, Qumica, Computacin a partir

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Bosack A., Lantz M., Lpez, C., Negroti, P. (2001). Fsico-Qumica, Casa de Ediciones Puerto de Palos, Buenos Aires, Argentina.

Dal Fvero M., Farr S., Moreno P., Olazar L., Steinman M. (2002). Qumica, Casa de Ediciones Puerto de Palos, Buenos Aires, Argentina.

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Monti, N., LArgentire, P (2004). Podemos ensear Matemtica, Qumica... con una mirada al mundo actual?. Dcimooctava Reunin Latinoamericana de Matemtica Educativa, RELME-18, Chiapas, Mxico.

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EVOLUCIN HISTRICA DE LAS METFORAS EN EL CONCEPTO DE FUNCIN. 1, 2Sastre Vzquez, P; 1Boube, C.; 1Rey, G. , 1Maldonado S., 3Villacampa, Y.

1Facultad de Agronoma. Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires. Argentina. 2Facultad e Agronoma. Universidad de Morn. Argentina.3Departamento

de Matemtica Aplicada. Universidad de Alicante. Espaa. psastre@faa.unicen.edu.ar; villacampa@ua.es

Campo de Investigacin: Epistemologa e Historia de la Matemtica. Nivel educativo: Superior (19-22 aos).

RESUMEN

El conocimiento matemtico est constituido por conceptos, metforas, procesos y hbitos o actitudes, y se puede decir que un texto es bueno o un programa es completo cuando todos estos elementos son adecuadamente atendidos. Desde que Lakoff y Johnson (1991) pusieron de manifiesto la importancia del pensamiento metafrico, entendido como la interpretacin de un campo de experiencias en trminos de otro ya conocido, el papel de este en la formacin de los conceptos matemticos, es un tema que cada vez tiene ms relevancia para la investigacin en didctica de las matemticas. En este trabajo, enmarcado en un Proyecto de Investigacin sobre los Obstculos Epistemolgicos, se analiza y discute la evolucin histrica de las metforas ligadas al concepto de funcin, en particular las asociadas a la grfica de una funcin.

INTRODUCCION

Algunas de las preguntas que seguramente se harn los lectores de este artculo son: Por qu hacer el anlisis histrico de los objetos matemticos?. Tiene algn inters de tipo didctico el anlisis de la gnesis de un concepto matemtico? Leyendo a Lakatos, 1976: ...las matemticas lo mismo que las ciencias naturales, son falibles y no indubitables; que tambin crecen gracias a la crtica y a la correccin de las teoras que nunca estn enteramente libres de ambigedades, y en las que siempre cabe posibilidad de error o de omisin y a Farfn y Hitt, 1983: Existen elementos que permiten, e histricamente hicieron posible, la construccin de un concepto: todos estos son andamios de los que se vale el sujeto en su accin sobre el objeto, para acceder al concepto en s, andamiajes con vida efmera que, circunstancialmente, son las herramientas con las que se captan los primeros elementos del concepto y donde el error y la sensibilidad a la contradiccin desempean un papel importante es posible encontrar las respuesta a estos interrogantes. Es decir, el desarrollo histrico de un concepto proporciona una pista de cmo, posiblemente, se desarrolla el conocimiento de tal concepto en la mente de un alumno, ya que existen muchas similitudes entre el desarrollo cultural y cientfico que ha mostrado el ser humano como especie y el desarrollo cultural y cientfico que muestra un ser humano a lo largo de su vida. Richard Rorty sugiere considerar la historia de la cultura como la historia de la dialctica entre metfora y literalizacin. El desarrollo del conocimiento humano no consiste en una aproximacin gradual a la "verdadera" constitucin del mundo, sino en un continuo proceso por el cual ciertas descripciones se van dejando a un lado en virtud de la mayor eficacia explicativa de otras. "La Tierra gira alrededor del sol" tuvo un valor metafrico hasta el siglo XV, o incluso un poco ms adelante, pero slo a partir de su proceso de literalizacin dicho enunciado comenz a tomarse como verdadero. De esta

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manera, muchas descripciones comienzan siendo metafricas, en el sentido de no-habituales, para luego fosilizarse (literalizarse), hasta cierto momento en que nuevas redescripciones metafricas ocupan el lugar de las anteriores metforas extinguidas. No es posible, por tanto, adjudicar verdad o falsedad a una metfora hasta tanto no haya sido literalizada. Lakoff y Johnson sostienen como tesis principal que "nuestro sistema conceptual ordinario, en trminos del cual pensamos y actuamos, es fundamentalmente de naturaleza metafrica" y que estos conceptos metafricos que utilizamos estructuran nuestra percepcin, nuestra conducta. En cuanto al papel de la metfora en las transformaciones culturales, Lakoff y Johnson concuerdan con la concepcin rortyana: muchos de estos recambios lexicales surgen a partir de la introduccin de conceptos metafricos nuevos y el abandono de los antiguos. Segn Lakoff y Johnson, no slo el saber cotidiano o el sentido comn funcionan "metafricamente": tambin las teoras cientficas actan a partir de conjuntos consistentes de metforas, conjuntos sin los cuales nuestra comprensin del mundo no ira ms all de lo que nos brinda la experiencia fsica directa. En suma, la versin cognitivista se asienta sobre un supuesto clave: "Es imposible escapar de la metfora". Esta especie de "fuga infinita" de la metfora se afirma en que ellas "no son simplemente cosas que se deban superar; para superar las metforas, de hecho, hay que usar otras metforas.

La metfora es un mecanismo de analoga en el que se concibe un concepto que pertenece a un dominio conceptual determinado en funcin de otro dominio conceptual, y en el que se establecen correspondencias y proyecciones entre los atributos de ambos dominios. En este sentido se habla de dominio origen (atributos salientes) y dominio destino, y de correspondencias entre ellos (Lakoff 1989). De esta forma, la metfora permite una proyeccin ontolgica a travs de la interconexin de elementos que pertenecen a los dos dominios, as como una correspondencia epistemolgica en la que el conocimiento del dominio origen, normalmente ms bsico y familiar, hace posible y facilita el razonamiento, la expresin, o la comprensin en el dominio destino, ms complejo y abstracto. Estos procesos suceden a un nivel conceptual y de razonamiento, y se basan en esquemas e imgenes provenientes de la experiencia perceptual y personal del ser humano La metfora puede ser el puente o el punto de transicin entre los preconceptos y la conceptualizacin, la reflexin y la capacidad argumentativa. Ella une y compacta lo conocido con lo desconocido, lo tangible y lo menos tangible, lo familiar y lo nuevo. Como "un puente posibilitando el paso de un mundo al otro" (Shift:1979), las metforas posibilitan a los aprendices "entender y experenciar una clase de cosa en trminos de otra," para parafrasear la nocin de la metfora en Lakoff y Johnson's (1980). Cuenca y Hilferty, 1999, sealan que en la proyeccin metafrica no todos los elementos del dominio origen estn incluidos, ni todos los elementos del dominio destino tienen un elemento en el origen, ya que en caso contrario se tratara del mismo dominio. Ello supone las correspondientes y lgicas limitaciones en cuanto al razonamiento por analoga que todos conocemos al usar metforas. Por otro lado, los mismos autores nos recuerdan que al resaltar ciertas facetas del dominio destino, pueden quedar ocultos otros aspectos, permitiendo errores de conceptualizacin por olvidar precisamente la limitacin anterior. En este trabajo se analiza la evolucin histrica de la gnesis del concepto de funcin, identificando en las etapas del proceso histrico, las metforas subyacentes a su grfico. El objetivo de este trabajo es obtener material de trabajo que permita posteriormente analizar

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el desarrollo de las explicaciones, sobre grficos de funciones, presentadas en los libros de texto, con la finalidad de reconocer en ellas la existencia, o no, de expresiones que hacen referencia a metforas, y as poder posteriormente analizar las producciones de alumnos, que hayan utilizado determinados textos, a fin de determinar los efectos que dichas metforas producen en la compresin evidenciada por los alumnos.

ANALISIS HISTORICO

Durante la poca Antigua no exista una idea abstracta de variable y las cantidades se describan verbalmente o por medio de grficos. El conteo implica correspondencia entre un conjunto de objetos y una secuencia de nmeros para contar y las cuatro operaciones aritmticas elementales son funciones de 2 variables, como tambin lo son las tablas babilnicas. Durante esta poca todos los desarrollos fueron explicados verbalmente, en tablas, grficamente o por ejemplos. Durante la Edad Media se estudiaron fenmenos naturales y las ideas se desarrollaron alrededor de cantidades variables independientes y dependientes sin definirlas especficamente. Una funcin se defina mediante una descripcin verbal de sus propiedades especficas, o mediante un grfico, no utilizndose frmulas. Durante el perodo moderno, que comienza a finales del siglo XVI, las funciones fueron equivalentes a expresiones analticas. Fueron Descartes (1596-1650) y Fermat (1601-1665) quienes dieron el paso fundamental que permiti liberar a la aritmtica y el lgebra de su subordinacin a la geometra. Se trataba de la representacin de curvas geomtricas en sistemas de coordenadas y, lo ms importante, el tratamiento del lgebra y la aritmtica sin tanta limitacin con relacin a la representacin geomtrica antigua. Si las curvas de esta manera podan describirse con ecuaciones algebraicas, tambin nuevas ecuaciones algebraicas permitan definir nuevas curvas que los griegos antiguos no podan conocer (pues estaban "amarrados" a las construcciones geomtricas con regla y comps). Los trabajos de Descartes son muy interesantes porque parten de las dos metforas clsicas sobre las curvas: a) las curvas son secciones; y, b) las curvas son la traza que deja un punto que se mueve sujeto a determinadas condiciones; para aadir una tercera: c) las curvas son la traza que deja un punto que se mueve sujeto a determinadas condiciones y el anlisis de estas condiciones permite encontrar una ecuacin que cumplen los puntos de la curva. Descartes no utiliza las ecuaciones para dibujar curvas. Para l, las curvas, ms que el conjunto de puntos que cumplen una determinada ecuacin, son el resultado de movimientos sucesivos de curvas ms simples, de manera que los ltimos vienen determinados por los anteriores. Lo que hace Descartes es considerar la curva generada a partir de curvas ms simples, y a partir del estudio de estos movimientos halla la ecuacin de la curva. Leibniz (1646-1716) fue el primer matemtico en utilizar la palabra funcin en 1692, para referirse a cualquier cantidad que vara de un punto a otro de una curva, como la longitud de la tangente, la normal, subtangente y de la ordenada. As afirmaba una tangente es una funcin de una curva. Introduce las palabras: constante y variable; coordenadas y parmetro en trminos de un segmento de constante arbitrario o cantidad. No utilizaba el concepto de funcin como lo entendemos en la actualidad. Para l una curva estaba formada por un nmero infinito de tramos rectos infinitamente pequeos.

Evolucin histrica de las metforas en el concepto de funcin

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Euler (1707-1783) contina el camino para precisar la nocin de funcin comenzando a definir nociones como constante y cantidad variable y, en 1755 define funcin como una expresin analtica: la funcin de una cantidad variable es una expresin analtica compuesta de cualquier manera a partir de esa cantidad variable y de nmeros o cantidades constantes. Pero no define expresin analtica, que fue definida formalmente en el siglo XIX, explica que las expresiones analticas admisibles son las que contienen las cuatro operaciones elementales, races, exponentes, logaritmos, funciones trigonomtricas, derivadas e integrales. Euler admite como funciones las llamadas curvas mecnicas. Al ampliar el concepto de funcin divide las funciones en dos clases: las continuas y las discontinuas. El significado de estos dos trminos era distinto al significado actual. Las discontinuas son las curvas mecnicas. Es decir, son aquellas para las que no tenemos una ecuacin conocida, an cuando su trazo en papel sea seguido. El concepto de funcin evolucion, enriquecindose y cambiando a partir de la controversia iniciada entre Dalembert y Euler sobre el problema de la cuerda vibrante. Dada una cuerda elstica con extremos fijos se la deforma y se la suelta para que vibre. El problema consiste en determinar la funcin que describe la forma de la cuerda en cada instante. La discusin entre Dalembert (1717-1783), Euler y D. Bernoulli (1700-1782) se centr