Comercial Anualidad

8/16/2019 Comercial Anualidad

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Apuntes de Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez

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Regla Comercial y Descuento compuesto.

Regla comercial: consiste en calcular el monto que se acumula durante los periodos decapitalización completos, utilizando la fórmula de interés compuesto, para luego sumarlo con losintereses acumulados durante el periodo incompleto, pero considerando interés simple. Cabeseñalar que se procede de manera semejante cuando se trata de evaluar el capital al iniciar elplazo.

Ejemplo: Utilizando la regla comercial, determinar cuánto se acumula al 23 de octubre, siel 10 de marzo del año anterior se depositan $85,000 en una cuenta que bonifica el 17.7% deinterés anual capitalizable por cuatrimestres.

Solución: del 10 de marzo al 10 de julio del siguiente año se comprenden 4 cuatrimestres,y de esa fecha al 23 de octubre se tienen 105 días naturales.

El monto acumulado durante el primer lapso, puesto que

Datos:C = $85,000i = 0.177 capitalizable por cuatrimestresp = 3, los tres cuatrimestres que tiene el año.tp = 4, el número de cuatrimestres completos.

Fórmula: M = C (1 + i/p)tp

M1 = 85,000(1 + 0.177 / 3)4

M1 = 85,000(1.257719633)

M1 = $106,906.17

El valor futuro de este monto 105 días después, es decir el 23 de octubre, considerando interéssimple es:

M = C(1 + ti)M = 106,906.17 (1 + 105(0.177/360))M = 106,906.17(1.051625)M = $ 112,425.201

Solo para efectos de comprobación, note usted que el monto se acumula con interesescompuestos desde el 10 de marzo, fecha de la inversión, hasta el 23 de octubre del año siguiente

con un plazo fraccionario y considerando que el cuatrimestre tiene 121 días, es

tp = 4 + (105/121)tp = 4.867768595

M = 85,000(1.059)4.867768595 M = 85,000(1.321867037)M = $112,358.70




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Diagramas de tiempo, fecha focal ecuaciones de valor.

En algunas ocasiones es conveniente para un deudor cambiar el conjunto de susobligaciones por otro conjunto. Para efectuar esta operación, tanto el deudor como el acreedordeben estar de acuerdo con la tasa de interés que ha de utilizarse en la transacción y en la fechaen que se llevará a cabo (a menudo llamada fecha focal).

Ejemplo: En 13 fecha, B debe $1000 por un préstamo con vencimiento en 6 meses,contratado originalmente a 1 ½ años a la tasa de 4% y debe, además. $2,500 con vencimientoen 9 meses, sin intereses. El desea pagar $2,000 de inmediato y liquidar el saldo mediante unpago único dentro de un año. Suponiendo un rendimiento de 5% y considerando la fecha focaldentro de un año, determinar el pago único mencionado. (Frank, 1991, pág. 44)

El valor al vencimiento del préstamo con intereses es: 1

10001 0.043 2

1060

Designemos con X el pago requerido. Coloquemos, por encima de una línea de tiempo,las obligaciones originales ($ 1,060 al final de 6 meses y $2500 al final de 9 meses) y por debajoel nuevo sistema de pagos ($2000 en la fecha y X al final de 12 meses).

Calculando la fecha focal e igualando la suma del valor resultante de las obligacionesoriginales con el de las nuevas obligaciones, tenemos:

2,000(1.05) + X = 1,060(1 + (0.05)(1/2)) + 2,500(1 + (0.05)(1/4))2,100 + X = 1,086.50 + 2,531.25X = 1,086.50 + 2,531.25 – 2,100.00X = $1,617.76

Las cantidades de dinero pueden estar antes o después de la fecha de referencia. Si lacantidad de dinero A está antes de la fecha, se suman los intereses hallando su valor futuroequivalente en la fecha focal; pero si está después, entonces se restan los intereses obteniendosu valor presente equivalente en la misma fecha focal.

Ejemplo: Liquidación de créditos con pagos diferidos.

El día de hoy se cumple 5 meses de que un comerciante en alimentos consiguió un crédito de$30,000 firmando un documento a 7 meses de plazo. Hace tres meses le concedieron otro y firmóun documento con valor nominal de $54,000, valor que incluye intereses de los 6 meses del plazo.Hoy abona $60,000 a sus deudas, y acuerda con su acreedor liquidar el resto a los 4 meses,

$2,000

12 meses

X

6 meses

$ 1,060

9 meses

$ 2,500

Fecha

focal

6 meses

3 meses




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contados a partir de ahora. ¿Por qué cantidad es este pago, si se tienen cargos o intereses del11.76% nominal mensual (anual, capitalizable mensualmente)? (Villalobos, 2007, págs. 197-198)

Diagrama:

Como se aprecia en la figura habrá que trasladar las 3 cantidades hasta la fecha focal, la cual sefijó arbitrariamente el día de hoy.

Los primeros $30,000 se ubican en 5 meses antes del día de hoy, cuando se hizo el primerpréstamo. Para llevarlo hasta la fecha focal habrá que sumar los intereses de 5 meses y obtenerasí el equivalente en esa fecha. Puesto que los $54,000 ya incluyen los intereses y son el valor

nominal del pagaré correspondiente, se ponen en la fecha de su vencimiento, es decir, 3 mesesdespués del día de hoy. Para trasladarlo hasta la fecha focal, se le restan los intereses de losmismos 3 meses. Los dos valores constituyen el “debe” y el “haber” está formado por los dospagos, los primeros $60,000 que no se desplazan porque están en la fecha focal y el pago “x”que se hace 4 meses después, por eso se le restan los intereses de 4 meses.

Es evidente que los dos totales, las deudas D y P, son iguales porque ambos estarán en la mismafecha. Con esto se obtiene la ecuación de valores equivalentes P = D.

El valor futuro (M) de los $30,000 con intereses de 5 meses es:

Fórmula: M = C (1 + i/p)tp

M1 = 30,000(1 + 0.1176/12)5 M1 = 30,000(1.0098)5M1 = 30,000(1.049969858)M1 = $31,499.09574

Para el valor presente de los $54,000, se restan los intereses de 3 meses también con la fórmuladel interés compuesto.

54,000 = C1(1.0098)3 54,000 = C1(1.029689061)C1 = 54,000 / 1.029689061

C1 = $52,443.01611

El equivalente a los dos préstamos en la fecha focal, redondeada es entonces:

D = M1 + C1D = 31,499.10 + 52,443.02D = $83,942.12

M1C1

$30,000

$60,000

$54,000V1

A1 C2

A2




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Observe que una interpretación real de este resultado es que con esto se liquidarían las deudasel día de hoy.

También se necesita quitar intereses de 4 meses a lo que será el segundo abono “x”, al hacerloquedará C2 de la siguiente igualdad:

M = C (1 + i/p)tp

Mx = C2(1.0098)4 C2 = Mx / 1.039780014C2 = (0.961741894)Mx porque: a/b = a(1/b)

Consecuentemente la suma de este resultado y el pago que se efectúa el día de hoy es igual alequivalente de los 2 pagos en la fecha focal; esto es:

P = 60,000 + C2P = 60,000 + (0.961741894)Mx

Note que el coeficiente de Mx, 0.961741894 en esta ecuación, significa que el adelantar 4 meses

el pago se reduce cerca de 4%, es decir, que si hoy se realiza dicho abono.

La ecuación de valores equivalentes es entonces:

60,000 + (0.961741894)Mx = 83,942.12 Puesto que P = D

De donde para despejar la incógnita, 60,000 pasa restando y 0.961741894 pasa dividiendo allado derecho, es decir:

Mx = (83,942.12 – 60,000) / 0.961741894Mx = $24,894.52939

Solución alterna: Cuando el número de capitales y montos no es tan grande, como en esteejemplo, puede resolverse de manera más breve, encontrando el saldo al día de hoy, luego hacerel pago de $60,000 para llevarlo hasta 4 meses después. Dicho saldo es M1 + C1 – 60,000. Esdecir:

83,942.12 – 60,000 = 23,942.11185

Y su valor futuro 4 meses después es M = M = X

M = 23,942.11(1 + 0.1176/12)4 M = 23,942.11(1.039780014)M = $24,894.53

Sugerencia:

Si bien es cierto que los resultados no dependen de la ubicación de la fecha focal, tratándose delinterés compuesto, es recomendable fijar el día en el que se realiza un préstamo o un pago y másaún en la última de las fechas, la cual está a la derecha en el diagrama, para eludir exponentesnegativos, ya que de todas las cantidades de dinero se hallaría su valor futuro.

Ejemplo: Intereses en crédito con abonos diferidos.




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Hallar los intereses que se cargan en el ejemplo anterior. (Villalobos, 2007, págs. 199-200)

A2 = fecha en la que se consiguió el segundo créditoV1 = fecha en la que vence el primer crédito

Los intereses son la diferencia entre el total que se paga M y el valor presente C de los préstamos,para esto es necesario hallar el capital A1 del préstamo, cuyo valor futuro 6 meses después es$54,000.

54,000 = A2(1 + 0.1176/12)6 Son 6 meses de plazo54,000 = A2(1.060259563)

A2 = 54,000/1.060259563 A2 = $50,930.92474

En consecuencia, el total recibido en el préstamo es:

C = 50,930.92 + 30,000

C = 80,930.92

Y el total que se paga es:

M = 60,000 + 24,894.53M = 84,894.53

I = M – CI = $84,894.53 – 80,930.92I = $3,963.61

Importante: El segundo pago, x, se realiza después de que vencen los dos documentos. En el

desarrollo anterior se supuso que la tasa de interés dada 11.76% se mantiene fija, aún despuésdel vencimiento. Sin embargo, en la práctica es posible que esto no se cumpla, es decir, que latasa de interés cambie, por intereses monetarios, lo que obligará a plantear y resolver el ejerciciode forma diferente. Lo mismo se hace cuando los pagos se anticipan.

Anualidades:

Clasificación de las anualidades

Genéricamente la frecuencia de pagos coincide con la frecuencia de capitalización de intereses,pero es posible que no coincida. Quizá también la renta se haga al inicio de cada periodo o al

final; o que la primera se realice en el primer periodo o algunos periodos después. Dependiendode éstas y otras variantes, las anualidades se clasifican de la siguiente manera:

Según las fechas inicial y terminal del plazo

Anualidad cierta: cuando se estipulan, es decir, se conocen las fechas extremas del plazo. Enun crédito automotriz, por ejemplo, se establecen desde la compra el pago del enganche y elnúmero de mensualidades en las que se liquidará el precio del automóvil.




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Anualidad eventual o contingente: cuando no se conoce al menos una de las fechas extremasdel plazo. Un ejemplo de este tipo de anualidades es la pensión mensual que de parte del InstitutoMexicano del Seguro Social recibe un empleado jubilado, donde la pensión se suspende o cambiade magnitud al fallecer el empleado.

Según los pagos

Anualidad anticipada: cuando los pagos o las rentas se realizan al comienzo de cada periodo.Un ejemplo de este tipo se presenta cuando se deposita cada mes un capital, en una cuentabancaria comenzando desde la apertura.

Anualidad ordinaria o vencida: cuando los pagos se realizan al final de cada periodo. Unejemplo es la amortización de un crédito, donde la primera mensualidad se hace al terminar elprimer periodo.

De acuerdo con la primera renta

Anualidad inmediata: cuando los pagos se hacen desde el primer periodo. Un ejemplo de esta

categoría se presenta en la compra de un departamento, donde el enganche se paga en abonoscomenzando el día de la compra.

Ejemplo 1: Elementos de una anualidad

Si el propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un año, pararentarlo en $6,500 por mes, entonces:

El plazo es de un año, la renta es R = $6,500 y el intervalo de pago es un mes.

Además, si el inquilino decide pagar por adelantado en la firma del contrato el equivalente a las12 mensualidades, entonces el propietario, a causa de los intereses que devenga el dinero

anticipado, recibirá un capital menor a los $78,000 que obtendría durante el año. Este capital esel valor presente o valor actual de la anualidad.

Si al contrario, al recibir cada pago mensual, el propietario lo deposita en un banco que reditúaun interés compuesto, entonces el dinero que al final del año tendrá en la institución bancariaserá mayor a los $78,000 y eso será el monto o valor futuro de la anualidad.

Anualidad diferida: cuando el primer pago no se realiza en el primer periodo, sino después.

El ejemplo típico de este caso se relaciona con las ventas a crédito del tipo “compre ahora ypague después”, que es un atractivo sistema comercial que permite hacer el primer abono dos omás periodos después de la compra.

Según los intervalos de pago

Anualidad simple: cuando los pagos se realizan en las mismas fechas en que se capitalizan losintereses y coinciden las frecuencias de pagos y de conversión de intereses. Por ejemplo, losdepósitos mensuales a una cuenta bancaria que reditúa el 11% de interés anual compuesto pormeses.




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Anualidad general: cuando los periodos de capitalización de intereses son diferentes a losintervalos de pago. Una renta mensual con intereses capitalizables por trimestre es un ejemplode esta clase de anualidades.

Otro tipo de anualidades es la perpetuidad o anualidad perpetua, la cual se caracteriza porquelos pagos se realizan por tiempo ilimitado. La beca mensual, determinada por los intereses que

genera un capital donado por personas, o instituciones filantrópicas, es un claro ejemplo de estasanualidades.

Todas las anualidades de este capítulo son ciertas, las primeras son simples e inmediatas;también se analizan las generales, tomando en cuenta que pueden convertirse en simplesutilizando las tasas equivalentes que se estudiaron en el capítulo anterior.

También es cierto que los problemas de anualidades se resuelven:

a) Con tablas financieras con las que se obtiene el valor presente o el valor acumulado paratp rentas unitarias. para algunas tasas i/p y algunos plazos o número de rentas tp.

b) Empleando fórmulas que para cada clase de anualidad existen y aquí se deducen,

c) Utilizando solamente dos fórmulas, la del interés compuesto y la de la suma de losprimeros términos de una progresión geométrica.

d) Con programas y paquetería de software que hay en el mercado, que son de fácil accesopara el usuario y que fueron elaborados con fundamento en los conceptos y la teoría delas matemáticas financieras.

Para decidir con acierto cómo plantear o a qué clase de anualidad corresponde o se ajusta unasituación particular, se sugiere considerar lo siguiente antes de entrar en detalles del tema.

En vez de la recta horizontal que hasta ahora hemos utilizado para los diagramas de tiempo,utilizaremos rectángulos que representan los periodos, y en cada uno en su extremo derecho oizquierdo se grafican flechas verticales indicando la renta o pago de la anualidad, utilizando, claro,puntos suspensivos para representarlos a todos sin tener que graficarlos.

Si una persona deposita, digamos, $3,000 cada mes durante siete meses, entonces una gráficaserá, donde los depósitos están al final de cada periodo, y el monto que se acumula está al finaldel último rectángulo.

Teorema: Monto acumulado

1

1 1 ⁄

Donde;

R = Renta mensual t = plazo o tiempo i = tasa de interés anualcapitalizable.

P = frecuencia de conversión tp = total de rentas o periodos i/p = tasa por periodosM = Monto o Valor futuro

Ejemplo: Plazo en inversión.




60

¿En cuánto tiempo se acumulan $40,000 en una cuenta bancaria que paga intereses del 8.06%anual capitalizable por semanas, si se depositan $2,650 al inicio de cada semana?

Datos:M = 40,000 lo que se pretende tener al final.

R = 2,650 que es la renta semanal.i = 0.0806 la tasa de interés anual capitalizable por semana.P = 52 Son 52 semanas al año.i/p = 0.0806/52 = 0.00155 que es la tasa semanal capitalizable por semana.t = incógnita

Solución:

Si suponemos que tp = x, el número de rentas es:

40,000 2,6501 0.00155 1.00155 10.00155

Despejar x,

40,0002,6501 0.00155 1.00155 10.00155 40,0002,6501.00155 1.00155 10.00155

40,000

2654.10750.00155 1.00155 1

15.07097960.00155 1 1.00155

0.02336001838 1 1.00155

1.02336001838 1.00155

Como siempre que la incógnita está en el exponente, se despeja empleando logaritmos, ya que“Si dos números positivos son iguales, entonces sus logaritmos también lo son” es decir:

1.00155 1.02336001838

Ya que Ln(an

) = (n)Ln(a)1.00155 1.02336001838

1.023360018381.00155

0.0230913490.0015488




61

x = 14.90918709

Puesto que el número de rentas, x = tp, debe ser un entero, el resultado se redondea dando lugara que la renta o el monto varíen poco.

Por ejemplo con tp = 15 el entero más cercano, resulta que la renta es:

1 1 1 ⁄

40,000 1.00155 1.00155 10.00155

40,000 = R(15.18735236)R = 40,000 / 15.18735236

R = $2,633.77

Ejemplo: Tasa nominal quincenal y recuperación de pagaré (anualidad anticipada)

Este ejercicio requiere de tablas financieras.

¿Qué tasa de interés capitalizable por quincenas le están cargando a la Sra. Josefina, si pararecuperar un pagaré con valor nominal de $39,750, incluidos los intereses, hace 15 pagosquincenales anticipados de $2,400?

Se trata de una anualidad anticipada, donde:

Datos:M = 39,750 El valor futuro.

R = 2,400 La renta o pago quincenalP = 24 La frecuencia de pagos (son 24 quincenas al año)t = 15/24 El plazo en años.tp = 15 El número de rentas.i = Incógnita

Por lo tanto la fórmula es:

1 1 1 ⁄

39,750 2,4001 24 1 24 1 24⁄

Para despejar i, se sustituye i/24 por x, y se dividen los dos miembros entre 2,400.

39,7502,400 1 1 1




62

16.5625 1 1 1

Para determinar el valor i/p sin utilizar tablas financieras, se producen interacciones, dando a x

valores sucesivos hasta alcanzar la precisión deseada. Con el uso de tablas i/p = 0.0125 que esel valor más cercano 16.3863 comparado con el de la ecuación que es 16.5625.

A continuación se indican unos de tales valores:

16.5625(x) = (1 + x)[(1 + x)15 _1]

INCOMPLETO. No es ejercicio para clase, se pide identificar únicamente los conceptos delejercicio.

Ejemplo: Monto en una cuenta de ahorros e intereses (Tasa de interés variable)

¿Cuánto se acumula en una cuenta de ahorros con 32 pagos quincenales de $625 cada uno, sila tasa de interés nominal quincenal en los primeros 5 meses es del 22.32%, y después aumenta2.4 puntos porcentuales por cada cuatrimestre? ¿Cuánto se genera por concepto de intereses?

El ejercicio se resuelve considerando cuatro anualidades de 10, 8, 8 y 6 quincenas cada una.

1 1 1 ⁄

1

Total de quincenas por año = 24, por lo tanto, 32 – 24 = 8 meses.Sin anualidad la cantidad de pagos son 32 por 625 = $20.000.00

El monto de la primera, puesto que la tasa por quincena es i/p = 0.2232/24 = 0.0093

1 1

1 ⁄

6251 0.0093 1.0093 10.0093

6251.0093 1.096990161 10.0093

5

Meses

1er

Cuatri

2º

Cuatri 3er

Cuatri

M1 = 6,578.77

M2 = 5,237.41 M3 = 5,261.07

M4 = 3,914.79

MA

=

7,140.81

MB

=

13,542.48

MC

=

20,234.63

10 quincenas 8 quincenas 8 quincenas 6 quincenas

i + 2.4

i + 2.4

i + 2(2.4) i + 3(2.4)

i + 3(2.4) i + 2(2.4)

$24,149.42




63

6251.0093 0.0969901610.0093

6251.009310.42904961

$6,578.77

Que se traslada hasta el final de la segunda anualidad empleando la fórmula de interéscompuesto, con la nueva tasa que es de 2.4 puntos mayores que la primera.

Datos:i = 0.2232 + 0.024 = 0.2472i/p = 0.2472 / 24 = 0.0103 quincenal compuesto por quincenas; entonces:

M = C(1 + i/p)tp

M A = 6,578.77(1.0103)8

M A = 6,578.77(1.085432507)

M A = $7,140.81

Este monto deberá sumarse con el monto acumulado M2 de la segunda anualidad:

6251.0103 1.0103 10.0103

6251.01038.294418155

$5,237.41

El acumulado de las primeras 18 rentas es:

M A + M2 = 7,140.81 + 5,237.41 = 12,378.22

Que también se traslada con la nueva tasa, al tercer grupo de rentas, hasta el fin de la terceraanualidad, ocho quincenas después.

MB = 12,378.22(1 + 0.2712/24)8

MB = 12,378.22(1.094057274)

MB = 13,542.48

Monto que deberá sumarse al monto M3, del tercer grupo de rentas.

6251.0113 1.0113 10.0113

6251.01138.323652566

$5,261.07 Entonces:




64

MB + M3 = 13,542.48 + 5,261.07 = 18,803.55

Que es el acumulado de los 26 depósitos al término de la tercera anualidad. Este monto se lleva

hasta la fecha nominal del plazo y, finalmente, se suma con el monto M4 de la última quecorresponde a 6 quincenas.

La tasa de interés anual es ahora:

i = 0.2232 + 3(0.024) = 0.2952i/24 = 0.0123 es la quincena capitalizable por quincenas.

MC = 18,803.55(1.0123)6 o MC = 20,234.63

Ahora bien:

6251.0123 1.0123

10.0123

6251.01236.18755382

3,914.79

Consecuentemente el monto acumulado de los 32 depósitos quincenales en la cuenta de ahorrosal final del plazo es:

MC + M4 = 20,234.63 + 3,914.79 = $24,149.42

Segunda respuesta del problema:

Los intereses son la diferencia entre este monto y el total invertido en los 32 pagos quincenales.

I = 24,149.42 – 32(625)I = $4,149.42

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