Combinaciones Restringidas o Condicionadas.

José Acevedo Jiménez Santiago, Rep. Dom.

divulgadoresrd@hotmail.com

Sucesión separable.

Dada una secuencia ordenada de números, decimos que tal sucesión es separable si conocemos

una regla que nos permita extraer ciertos términos (infinitos o finitos dependiendo de la sucesión), de la sucesión dada, de forma tal que formen una o varias sucesiones diferentes.

Ejemplo1:

La sucesión: 0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72,… es separable, puesto que

los términos (extraídos): 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72,… pueden ser generados por la fórmula:

Es decir, los términos extraídos o apartados forman una nueva sucesión. Obsérvese que el resto de los términos, que complementa la sucesión original (separable) forman, también, una sucesión

cuya regla puede ser establecida (en este caso todas los números cuadrados perfectos).

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,…

La fórmula:

Tal que:

Nos genera siempre sucesiones separables.

Combinatoria.

En un conjunto dado de elementos finitos, el estudio de las diferentes maneras en que se pueden

arreglar dichos elementos, siguiendo reglas establecidas, es lo que se conoce como combinatoria. La forma o manera de arreglar los elementos de un conjunto dado puede variar dependiendo de las

normas establecidas para agrupar los elementos.

Combinaciones condicionadas.

Son aquellas combinaciones, no ordinarias, donde los elementos son agrupados siguiendo reglas

que varían de acuerdo a la situación que se planteé.

Ejemplo2:

Dada una fila de 8 asientos y 2 personas. Si las dos personas se sientan de forma tal que, entre

ellas, siempre exista un número impar de sillas vacías, ¿cuántas combinaciones se pueden obtener?

Solución exhaustiva:

Si numeramos los asientos del 1 al 8 (1,2,3,4,5,6,7,8); observamos que las dos personas se pueden

sentar en:

(1,3); (1,5); (1,7); (2,4); (2,6); (2,8); (3,5); (3,7); (4,6); (4,8); (5,7); (6,8) es decir que, si cumplimos la regla o norma establecida, sólo podemos tener 12 posibles combinaciones.

Problemas como el mostrado en el ejemplo, donde existe una cantidad par de elementos (asientos) pueden ser resueltos por la fórmula que se muestra a continuación:

Para el caso del ejemplo tenemos:

.

Otra forma de resolver el problema es la siguiente:

Como se puede observar la fórmula, anteriormente mostrada, sólo es útil para las combinaciones

restringidas donde existe una cantidad par de elementos que están delimitadas por dos, es decir las que tienen la forma: .

Para obtener las combinaciones restringidas delimitadas por dos, donde tenemos una cantidad

impar de elementos, usamos la siguiente fórmula:

Ejemplo3:

Dados los números del 1 al 11, combinar los números de manera tal que entre dos de ellos

siempre quede una cantidad impar de ellos.

Solución:

ó si se quiere:

Combinaciones restringidas delimitadas por números mayores o iguales a dos.

Para elementos pares tenemos la siguiente fórmula:

Donde:

representa la cantidad de elementos y es el número o cantidad delimitante.

Ejemplo4:

Dados los números del 1 al 8, combinar los números de manera tal que entre tres de ellos siempre quede la misma cantidad impar de numeros.

Solución exhaustiva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

(1, 3, 5); (2, 4, 6); (3, 5, 7); (4, 6, 8). Tenemos cuatro posibles combinaciones.

Como la cantidad de elementos es par, podemos usar la fórmula:

El mismo resultado se puede obtener de la siguiente manera:

Ejemplo5:

Dados los números del 1 al 17, combinar los números de manera tal que entre tres de ellos

siempre quede la misma cantidad impar de numeros.

Como la cantidad de elementos es impar, usaremos la fórmula genérica:

,

Nota: las fórmulas y términos usados (combinaciones restringidas, sucesiones separables) no forman parte de las matemáticas formales, los mismos han sido dados por el autor del escrito.