COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN PROFESIONAL TÉCNICA

QUINTO SEMESTRE ANÁLISIS DERIVATIVO DE FUNCIONES

CONTENIDO

A. Determinación de elementos de funciones.

Definición de función y relación. Dominio y rango Gráfica de funciones Raíces Intervalos de crecimiento

FUNCIONES Para poder definir una función, a manera de antecedentes se consideran los siguientes conceptos

Conjuntos: Es una asociación de elementos de cualquier tipo y se denota generalmente con las primeras letras del abecedario (mayúsculas)

por ejemplo;

A= {1, 3, 5, 7, 9, 11,……..}

B= {a, b, c, d,……...,x ,y ,z}

N= {x | x pertenece N, donde N es el conjunto de los números naturales}

Producto cartesiano Dados los conjuntos A y B, el producto cartesiano de ellos, denotado por A x B, se define como el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y pertenece B, esto es;

A x B = {(a, b) |a A b B}∈ ∧ ∈

Relación: Es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B y se denota generalmente por la letra R.

Dados los siguientes conjuntos A y B, obtenga su producto cartesiano y tres relaciones cualesquiera

A= {5, -9, 3/4, } y B= {7, -1/2, π}

En este caso el plano cartesiano es:

A x B {(5,7),(5,-1/2),(5, ),(-9,7),(-9,-1/2),(-9, ),(3/4,7),(3/4,-1/2),(3/4, ),(,7) (,-1/2),( , )}

Considerando tres subconjuntos del producto cartesiano se obtiene las siguientes relaciones

R1= {(5,-1/2), (-9,7), ( , )}

R2= {(5,7), (5, ), (-9,-1/2), (-9, ), (3/4,7), (3/4, ), (,-1/2), ( , )} R3= {(5,7),(5,-1/2),(5, ),(-9,7),(-9,-1/2),(-9, ),(3/4,7),(3/4,-1/2),(3/4, ),(,7) (,-1/2),( , )}

ACTIVIDAD Dados los conjuntos A y B, obtenga su producto

cartesiano de A x B y tres relaciones cualesquiera:

NOTA: ES IMPORTANTE REALIZAR LAS ACTIVIDADES YA QUE ESTO REPRESENTA UNA EVIDENCIA DE APRENDIZAJE PARA

LA EVALUACION CONTINUA ,PUES AL FINAL DE LA UNIDAD; SERA PARTE DE TU EVALUACION.

DEFINICIÓN DE FUNCIONES

Dados los conjuntos de A y B, una función es el conjunto de pares ordenados (a, b), donde a A, se le denomina dominio de la ∈

función y al conjunto formado por las segundas componentes b ∈B, se le denomina Rango de la función.

Note que la definición de una función establece que las primeras componentes de los pares ordenados no se deben repetir, razón por la cual, todas las funciones son relaciones pero no todas las relaciones son funciones, ya que en las relaciones si se puede

repetir las primeras componentes

Dados los conjuntos A y B del ejemplo no 1, indique cuales de las relaciones obtenidos R1, R2,

R3 son funciones

Las relaciones obtenidas del producto cartesiano A x B del ejemplo No 1, fueron las siguientes;

R1= {(5,-1/2), (-9,7), ( , )}

R2= {(5,7), (5, ), (-9,-1/2), (-9, ), (3/4,7), (3/4, ), (,-1/2), ( , )} R3= {(5,7),(5,-1/2),(5, ),(-9,7),(-9,-1/2),(-9, ),(3/4,7),(3/4,-1/2),(3/4, ),(,7) (,-1/2),( , )}

Considerando la definición de función, solamente la relación R1 es una función en

virtud que no se repite ninguno de los primeros elementos

En forma complementaria, observe que las relaciones R2 y R3 no son funciones en virtud

que las primeras componentes se repiten

Actividad Dados los conjuntos A y B, obtenga el

producto cartesiano de A y B y tres funciones cualesquiera;

A = {-5, 6, -2, 7, 0} y B = {-3, 7, -1, 5}

FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Si los conjuntos A y B son subconjuntos de los números reales, entonces se puede establecer una función, que se denomina FUNCIÓN REAL DE LA VARIABLE, que es un conjunto de pares ordenados de números (x, y), en el cual dos pares ordenados distintos no tienen el mismo primer número “x”.

Una función REAL DE VARIABLE REAL, se denota de la siguiente forma

F = {(x, y)| y = f (x), con x = Df y y ∈ ∈R1}

donde y = f(x) es la regla de correspondencia

x= es la variable independiente y = es la variable dependiente D = es el dominio de la función R = es el rango de la función

Una función real de variable real, también puede denotarse, en forma simplificada, por

alguna de las siguientes maneras

F, G, H, o bien f(x), g(x), h(x) o simplemente por “y”

La restricción de que dos pares ordenados distintos no pueden tener el mismo primer

número x, asegura que y, es único valor especifico de “x”

Encuentre el dominio y el rango de la función F = {(x, y) | y=2x- 4}

En este caso la variable dependiente x no tiene ninguna restricción, es decir puede tomar cualquier

valor, esto es

x r , o bien x (-∞;+∞)∈ ∈

De manera similar, al asignar cualquier valor a la variable independiente x, la variable dependiente “y”

puede también tomar cualquier valor, es decir

y r , o bien y (-∞;+∞)∈ ∈

Actividad Encuentre el dominio y rango de la

función:

G = {(x, y)| y = 3x + 5}

Encuentre el dominio y el rango de la función

F = {(x, y) |y = 1/x-2}

En este caso, la variable independiente x no puede tomar el valor de 2, en virtud de que el

denominador se hace 0 y la división entre cero no está definida, lo cual se obtiene de la inecuación

X -2 ≠0X ≠ 2

De manera similar, de la ecuación;x- 2 = 1/y

La variable “y” no puede tomar el valor de cero y ≠ 0

Por lo tanto el dominio de la función es el conjunto de todos los números “x r con ∈x ≠ 2 donde el conjunto de r es el conjunto

de los números reales y el rango de la función es el conjunto de números reales

r y r con y ≠ 0 ∈

Actividad Encuentre el dominio y rango de la

función:

Obtenga el dominio y el rango de la función con regla de

correspondencia

y = 2

En este caso la regla de correspondencia contenga raíces, el dominio se encuentra

analizando el radicando es decir

4 – x2 ≥ - 4

Resolviendo esta desigualdad, se tiene;

2 ≤ - 4

| x | ≤ 2

Esto es;

-2 ≤ x ≤ 2

Por lo tanto el dominio de la función es x [-2; 2] ∈y el rango de la función son todos los números

positivos, es decir que y [0; +∞]∈

Actividad

Encuentre el dominio y el rango de la función, con regla de

correspondencia

y = –2x2

CLASIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN

Las funciones reales de variable real, en general, se puede clasificar en algebraicas y trascendentes

Funciones algebraicas; son aquellas que están formadas por un numero finito de operaciones algebraicas, como son la suma, resta, multiplicación, división, potencia o extracción de raíces.

Funciones trascendentes; son aquellas que no pueden considerarse como algebraicas, como son las trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc...

Las funciones también se pueden clasificar de acuerdo a la forma que tiene su regla de

correspondencia, así como las funciones pueden ser explicitas e implícitas

Funciones explicitas: son aquellas que en su regla de correspondencia, una variable esta despejada en función de la otra, es decir tiene la forma

y = f(x)

Funciones implícitas; son aquellas que en su regla de correspondencia, no está despejada ninguna variable en función de la otra, es decir, tiene la forma

F (x, y) = 0

En la siguiente tabla aparecen funciones Clasificadas

A algebraica, racional, polinomial, cuadrática y explícita

F1 {(X, Y ) | y = x2 + 3x -5}

B algebraica, racional, no polinomial, y explicita

F2 {(x, y) | y = x2 – x +1/x+2} si x≠2

C algebraica, no racional y explicita F3 {(x, y)| y = x-6} si x ≥ 2D algebraica, racional, polinomial,

cubica e implícita F4 {(x, y) |x3 – y +2 = 2 }

E trascendente, exponencial y explicita

F5 {(x, y ) | y = }

F trascendente, trigonométrica y explicita

F6 {(x, y) | 2 sen x – 3y +1 = 0 }

G trascendente, mayor entero y explicita

F7 {(x, y) | y = [ x ]}

F1 = {(x, y) |y = x3-5x2+x -15}F2 = {(x, y) |y = 1/x2 - 4} si x 2F3 = {(x, y) |y = } si x ≤ -3 o x ≥ 3F4 = {(x, y) |x2 – y +2 = 0}F5= {(x, y) |y = 3F6 = {(x, y) |cos x –y +3 = 0}F7 = {(x, y) |y = |x|}

Actividad Clasifique las siguientes funciones

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN

Si F es una función, entonces la gráfica de F es el conjunto de todos los puntos (x, y) localizado en un sistema de coordenadas bidimensional, para los cuales (x, y) es un par ordenado de la función F. Para trazar la gráfica de una función, es común el uso de la regla de correspondencia y = f(x), la cual denota el valor particular de la variable “y”, que le corresponde al valor de la variable “x” La definición de una función establece que a cada valor de x, en el dominio de la función, le corresponde un único valor de “y” y lo cual implica que gráficamente ninguna recta vertical puede intersectar a la gráfica de una función en más de un punto.

1.- Grafique la siguiente función y determine su dominio y rango

F = {x, y) | y = x2 -2}

Para trazar la gráfica de esta función se construye una tabulación asignándole un número suficiente y

representativo de valores a la variable independiente “x” los cuales dependen del intervalo de variación de

dominio de la función y con base en la regla de correspondencia y = f(x) se obtiene los valores

correspondientes de la variable dependiente “y”, de la siguiente manera, para obtener la gráfica que se muestra

x y

-3 7

-2 2

-1 -1

0 -2

1 -1

2 2

3 7

En este caso a la grafica se le asignaron valores dependiendo de las variables y poder observar una función de acuerdo a parámetros establecidos

Actividad

Grafique la siguiente función

G = {(x, y)| y = x2 +1}

DETERMINE SU DOMINIO Y RANGO

Ejemplo Grafique las funciones y determine el dominio y rango

F = {(x, y) | f(x) = 2-9} En este caso hay que tener cuidado que los valores que se les puedan asignar a la variable x son los menores que -3 y mayores que 3, de esta manera se construye la siguiente grafica

x y-5 4-4 7-3 03 04 75 4

Donde el dominio y rango

X (- ∞; 3] [3;+∞) ∈ ∪

y y [0; +∞)∈

ACTIVIDAD

Grafique la siguiente función y determine su dominio y rango

G = {(x, y) | g(x) = 2- 16}

OPERACIONES CON FUNCIONES

Se consideran ahora las operaciones básicas con funciones reales de variables real, que son, la adición

sustracción, multiplicación y división, las cuales se definen de la siguiente manera

Para las funciones reales de variables reales

F= {(x, y) | y = f(x)} y G = {(x, y) | y = g(x)}

Con dominios Df y Dg respectivamente,

entonces las funciones F + G, F – G FG y F/G, son funciones con dominio

Df ∩ Dg, definidas por

a) F +G = { (x, y) |y = f(x) + g(x) }

b) F - G = { (x, y) |y = f(x) – g(x) }

c) F G = {(x, y) | y = f(x) g(x) }

d) F/G = {(x, y) | y = f(x)/g(x), donde g(x) ≠ 0 }

Para dar la interpretación simples a estas operaciones en el siguiente ejemplo se consideran ejemplo de

pares ordenados finitos

Obtenga F +G, F – G, FG F/G para las siguientes funciones

F ={(-1, 3), (0, 5), (1,7), (2, -3), (3,-1)} y G = {(0, -2), (-1, 6), (2, -4), (3,0)}

En este caso Df {-1, 0, 1, 2, 3} y Dg = {0, -1, 2, 3} y la intersección de ambos dominios es

Df ∩ Dg = (0, 2,3)

Por lo tanto F+G = {(0,5+ (-3)), (2,-3)+ (-4), (3-1+0)} Eso es

F+G = {(0,3), (2,-7), (3,1)

De manera similar

F-G = {(0,7), (2,1), (3,-1)}

F G = { (0, -10), (2,12), (3,0)}

F/G = {(0,- 2/5), (2, 3/4)}

Note que en este caso g(3)= 0, no se considera el resultado ya que la división entre cero no está

definida

ACTIVIDAD

Obtenga F+ G, F-G, FG y F/G para las siguientes funciones

F= {(-2,-4), (-1, 5), (0,-1),(1, -7), (,10)} y

G = {(-2,-2), (-1, -6),(3, -3), (5, 1)}

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Otra operación que se realiza con las funciones y que por su importancia es conveniente estudiar por separado, es la

composición de funciones, la cual se define de la siguiente manera

Para las funciones de reales de variable real F = {(x, y) | y = f(x) y G = {x, y) | y= g(x)}

Con dominio Df y Dg, respectivamente, la composición de F con G, denotada por F*G, es la función

F*G = {(x, y) | y = f (g(x))}

Donde el dominio de la función composición F*G es el conjunto de todos los números x en donde el dominio de G,

tales que g(x) está en el dominio de F

LA INVERSA DE UNA FUNCION

El concepto de inversa de una función presupone que el dominio y el rango se invierten, razón por la cual no toda función tiene inversa, ya que al invertir el dominio por el rango puede ser que las primeras componentes se repitan y por lo tanto deje de ser función

Para que una función tenga inversa, es necesario que sea inyectiva, es decir, que no se repitan los elementos ni el dominio ni el rango

Una función es inyectiva si f(x) = f(x2) solo si x1 = x2

Gráficamente una función inyectiva se caracteriza porque toda recta

horizontal intersecta a la gráfica de la función en solamente un punto

Con estos antecedentes se puede ahora definir a la función a la inversa

de la siguiente manera

Si F = {(x, y) |y = f(x) ; x Df es una función inyectiva entonces la inversa

de esta función , denotada por F*, es la función

F* {(f (x), x) | x Df

Como F* está definida por: F* {f(x), x) | x Df

Es evidente que el dominio de *F es el rango de F y el rango de *F es el

dominio de F

Ejemplo

Obtenga la función inversa de *F para función inyectiva F siguiente

F = {(x, y) | y = x3 -1; x R}

Para obtener la regla de correspondencia de la función inversa F* se despeja x = f(y)en

este caso

X =

Por lo que la función inversa se puede escribir de la siguiente manera

F* = (x, y) | x = ; y R}

Sin embargo la regla de correspondencia denotada de esta manera no resulta practica

razón por la cual, es conveniente transformarla a la notación común, para lo cual únicamente

se cambian las variables “x” por “y” y por “x”, respectivamente esto es:

F* {(x, y) | y = ; xR}