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- Colegio Nacional de Buenos Aires - Matemática - 4º Año – Guía de Trabajos Prácticos

T.P. N°3 – Vectores en el plano y en el espacio.

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Guía de TP N°3 – Vectores en el plano y en el espacio

1) Si ABCD es un paralelogramo y O es el punto de intersección de las diagonales, realizar en

forma gráfica las siguientes operaciones:

a) 2.AB+ BD b) 1 12 2AC .DB

→ →

. + c) AC AO CO→ → →

+ - d) AC BC AB→ → →

−2. - 2.

2) Dados ( )P 3;2= − y ( )Q 3;0= obtener:

a) Las componentes de PQ y expresar dicho vector en forma canónica

b) PQ y QP

c) El versor asociado a PQ

d) Un vector de módulo 3, con la misma dirección de PQ , pero de sentido contrario.

3) Sean los vectores = + = −u 3. i j y v ( 2,5) . Hallar, en forma analítica:

a) u v+ b) u v−3. c) 312 2u .v−.

4) Dados u 2 i j→

= − y v i 3. j→

= −

a) Obtener u v+

b) Comparar +u v con +u v .

c) ¿En qué caso se verifica la igualdad + =u v +u v ?

5) ¿Cuáles son los vectores de módulo 10 que resultan paralelos a a 3 i 4 j= + .

6) Planteando un sistema de ecuaciones lineales, hallar los dos versores perpendiculares al

vector a i 2 j= + .

7) Calcular, en cada caso, la amplitud del ángulo determinado por los vectores indicados:

a) a 3 i j= + y b i 2 j= +

b) a 3 i j= − + y b 6 i 2 j= −

8) Demostrar que para cualquier vector u , no nulo, se cumple que: →

=1

u

. u 1

9) Sean en el plano, los puntos ( )A 1;1= ; ( )B 2;3= ; ( )C 5;x= ; ( )D y;1=

a) Hallar los valores de “x” e “y” para los cuales la figura ABCD es un paralelogramo.



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b) Con los valores calculados anteriormente, calcular el perímetro de mismo.

10) Dados los puntos del plano: ( )A 3; 1= − ; ( )B 7;0= ; ( )C 6;4= ; ( )D 2;3=

a) Demostrar analíticamente que la figura ABCD es un cuadrado.

b) Verificar analíticamente la perpendicularidad entre sus diagonales.

11) Demostrar vectorialmente que las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente.

12) Encontrar, en cada caso, el vector x→

que verifica la igualdad indicada:

a) ( ) ( )3;3;2 x 1;4;1→

+ = b) ( ) ( ) ( ) ( )3;2;1 x 1;1;3 2;4;1 2;3;5→

+ − + =

13) En un vector de tres componentes, se sabe que su módulo es 2 5 y que además está formado

por tres números pares consecutivos ¿Qué vectores verifican esto?

14) Dados los puntos ( )A 2;0;0= ; ( )B 0;1;0= ; ( )C 0;0;5= , se pide:

Demostrar vectorialmente que no están alineados y clasificar el tipo de triángulo que forman

según sus lados.

a) Verificar vectorialmente que no están alineados e indicar qué tipo de triángulo forman

b) Representar gráficamente el triángulo ∆

ABC y calcular aproximadamente su perímetro.

c) Hallar el conjunto de todos los puntos del espacio que verifican la igualdad =AP 1

¿De qué superficie se trata?

15) Los vectores u y v forman un ángulo de 60°. Si =u 3 y =v 4 . Calcular:

a) +u v

b) −2u 3v

16) El ángulo que forman dos vectores u y v tiene una amplitud de 60° y además u 3= .

Determinar cuánto debe valer v para que u - v sea ortogonal a v .

17) Sean dos vectores u y v . Sabiendo que u+ v es ortogonal a u - v ¿Qué relación debe

existir entre u y v ?

18) El vector ( )w a;b;3→

= es ortogonal simultáneamente a los vectores ( )u 1; 1;2→

= − y

( )v 2;1;1→

= . Calcular w→

.



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19)

La figura muestra un prisma de base

rectangular apoyado sobre los planos

coordenados, de tal forma que el vér-

tice oculto es el origen de coorde-

nadas (O)

a) Si ( )B 0;2;0= , ( )E 1;0;0= y ( )G 0;0;1= , calcular la amplitud de los ángulos que forma

→OD con los versores i ; j y k respectivamente.

b) Encontrar un vector de módulo 4 que tenga la dirección y sentido de OD .

20) Hallar los vectores cuyo módulo sea igual a 35 y que además sean ortogonales

simultáneamente a los vectores u 2 i 3 j k→

= − + + y v i 2 j k→

= − +

21) Sean los vectores ( )u 0;1;7= ; ( )v 1;4;5= y ( )c x;y;7= . Hallar todos los vectores c de 3 que

verifiquen la relación:

+ = •2

u x v 23. i u c

22) Sean los vectores A = (-2; 1;1) y B = (-1;1; 3) . Obtener todos los C de manera tal que ⊥C A ;

C = 5 y que además se verifican la relación C = A + β Bα sea ortogonal a A , con α∈R y

β∈R

23) Sean los vectores a = (1; 2; 3); b = (0; x; y) y c = (0; 1;1) . Hallar todos los vectores b tales que:

( ) ⊥ ∧ = • +2

a x b c a x b a c 7

24) Dados los puntos: Si ( )A 3;1;1= ; ( )B 2;1;2= y ( )2C 1; 0; x= − y ( )D 3; 2; 0= , hallar ellos

valores “x” que hacen que los mismos sean coplanares.

25) Sean los puntos ( )A 3,2,1= ; ( )B 1,2,4= ; ( )C x ,0,3= y ( )D 1,1,7= . Hallar, si existe, el valor

de "x" que hace que el volumen del tetraedro determinado por los vectores AB ; AC ; AD→ → →

sea igual a 56

.

By

D

z

F

A G

C E

x

O 2

1

1



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Respuestas

1) a) AC ; b) AB c) 2.AC d) BC 2) a) −6 i 2 j ; b) 2 10 ; c) −3 110 10

10 i 10 j d) − +9 310 10

10 i 10 j

3) a) ( )1;6 b) ( )11; 2− c) −

9, 7

2 ; 4) a) ( )3; 4− b) <u + v u + v

c) →

u //→

v y del mismo sentido

5) ( )v 6; 8= ± ± ; 6) 525 5v 5 i j= ± ; 7) a) 45α = ° b) 180α = °

9) a) x 3 ; y 4= = b) +6 2 5 ; 12) a) ( )2;1; 1− b) ( )2; 2;6− −

13) ( )4;2;0r1

=→

…; ( )0;2;4r2

−−=→

; 14) a) No alineados b) Aprox 12,72. c) ( )− + + =2 2 2x 2 y z 1

15) a) + =u v 37 b) − =2u 3v 109 16) v 1,5= …; 17) u v= ;

18) w 3. 3→

= 19) a) α = α ≅ ° α ≅ °1 3 265 54´ ; 35 16´ , b) ( )2 4 23 3 3

6 , 6 , 6

20) ( )= ± ± ±v 5 , 3 , 1 21) ( )=c x , 1 , 7 con x∈

22) ( )= ± ±C 1, 0, 2 23) ( )= ± ±b 0, 2, 2 ; 24) = ±x 6 25) =x 4



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Anexos teóricos - Vectores en el plano y en el Espacio.

Vectores – Operaciones - Conceptos teóricos.

Un vector es un segmento orientado. Para definirlo es preciso indicar su dirección, sentido y

módulo (o longitud). Dado que se trata como ya dijimos, de un segmento, es posible denotarlo

mediante dos puntos llamados origen y extremo (en ese orden), o bien, con una única letra

minúscula.

Los vectores que están incluidos en rectas paralelas tienen la misma dirección y para

aquellos que tienen la misma dirección hay dos posibles sentidos llamados opuestos.

Los vectores a→

y b→

tienen la misma

dirección porque son paralelos a la recta

"r", pero difieren en el sentido y

también en módulo.

Si los vectores no tienen la misma

dirección, los sentidos no son compara-

bles.

En algunas magnitudes físicas, los vectores son indispensables. Cuando se dice que un objeto

se desplaza a una velocidad de 40km/h, lo correcto sería decir que su rapidez es tal. Para poder

hablar de "velocidad" debemos mencionar la dirección y sentido de la misma. A estas magnitudes,

donde no basta con un número y una unidad para describirlas, se las denomina "vectoriales" y los

ejemplos más clásicos de ella, además de la velocidad, son: Aceleración, Fuerzas, Impulso.

Las magnitudes, por el contrario, que su descripción queda definida mediante un número y

una unidad se les llama "escalares" y algunos ejemplos de ella son: Longitud, Tiempo, Masa.

Los vectores son entes libres. Ello significa que carecen de punto de aplicación y se los puede

trasladar a cualquier parte del plano o del espacio, mientras se respete su dirección, sentido y

A

B →

v AB v→ →

=

→

a

r

→

b



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módulo. De esta manera es que vamos a decir que los vectores →

u y →

w dados a continuación son

equivalentes (o equipolentes).

Esto último, llevado a un plano cartesiano, nos permite definir un vector conociendo las

coordenadas del origen y del extremo.

Acorde con lo dicho anteriormente

los vectores AB→

y OP→

son

equivalentes. Como ( )0 oA x ;y= y

( )1 1B x ;y= resulta que:

( ) ( )1 o 1 oAB OP x;y x x ; y y→ →

= = = − −

Es decir que, si conocemos las

coordenadas del extremo y del

origen, el vector es el par ordenado

que surge de la diferencia entre ellos.

Observación 1: Por razones de simplicidad, las deducciones y razonamientos se hacen en dos

dimensiones, pero la extensión al espacio es inmediata incorporando el valor de la cota.

Observación 2: Así como un punto es un par ordenado, un vector se puede denotar de la misma

manera. Para poder diferenciar a uno de otro, más adelante daremos una notación alternativa.

u→

w→

x

y0

B y1

A

x0 x1

y

O

P

x

y



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De lo anterior, y de manera inmediata, surge el cálculo del módulo del vector, como así

también su dirección.

Siendo ( )OP v a;b→ →

= = resulta de manera

inmediata el cálculo del módulo del vector

de la siguiente manera:

Y la dirección del vector, viene dada por los

llamados cosenos directores que surgen

de:

acos

vα = y

bcos

vβ =

Mediante consideraciones análogas en el espacio tendríamos que:

Así, los cosenos directores serían:

a b ccos ; cos ; cos

v v vα = β = γ =

x

y

O

P

a

b

→

v

α

β

x

y

z

O

a

b

c

P

•

α β

γ

2 2v a b= +

2 2 2v a b c= + +



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Suma de vectores

Método gráfico

Dados dos vectores u→

y v→

llamaremos vector suma a otro vector cuya dirección surge de la

aplicación de ambas direcciones en forma simultánea. A ello se lo conoce usualmente como regla

del paralelogramo.

Nota: Como es posible observar, la

dirección del vector suma no es

coincidente con ninguna de las

direcciones de los vectores originales,

sino que depende de ellas, pero

además del ángulo que forman

dichos vectores.

Si la suma fuese entre más vectores, y recordando que los vectores son entes libres,

podríamos repetir el mismo procedimiento como se indica a continuación. Eligiendo un punto "O"

como origen y considerando que la suma es una operación conmutativa, tenemos:

Consideraciones importantes:

1 - Si sumamos dos vectores opuestos de

igual módulo, el resultado será el vector

nulo que geométricamente es un punto

y se lo simboliza →

o .

Como es posible observar, carece de dirección y sentido y su módulo es igual a cero.

→

u

→

v

→

u +→

v

→→→

=

−+ 0vv

→

− v

→

v

→

u

→

v

→

w

→

u

→

v

→

w

→

u +→

v +→

w

O



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2 - Para restar vectores, podemos aplicar

el mismo procedimiento, sumando el

vector opuesto, o sea:

La suma de vectores, puede realizarse en forma gráfica como indicamos anteriormente, pero

a partir de ello podemos hacerlo también, en forma analítica.

Método analítico de suma de vectores

Por razones de simplicidad, como dijimos anteriormente, trabajaremos en dos dimensiones.

La extrapolación al espacio surge de manera inmediata.

Siendo ( )1 1u a ;b→

= y ( )2 2v a ;b→

= el vector suma resulta ser:

( )1 2 1 2u v a a ;b b→ →

+ = + +

Dicho de otra manera, la suma de vectores, en forma analítica se logra sumando

componente a componente.

→

u

→

v

→

u -→

v

→

− v

x

y

O a1

b1

→

v

→

u

a2

b2

u v→ →

+

a1+a2

b1+b2



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Producto entre un escalar (número real) y un vector

Método gráfico

Si multiplicamos un escalar por un vector, obtenemos otro vector cuya dirección es la misma

que tiene el vector original, pero su sentido y módulo dependerán de quién sea el escalar. A

continuación, y en forma gráfica, pueden verse diversos ejemplos según el valor numérico y el

signo del escalar en cuestión.

Ahora estamos en condiciones de definir esta operación y lo hacemos así:

Si v es un vector y "k" un escalar, entonces k. v w→ →

= donde:

k.v w=

( ) ( )

( ) ( )

dirección w =dirección v

sentido w sentido v si k 0

w k . v

= > =

Caso particular: Si el escalar "k" vale cero resulta el vector nulo. Expresado matemática-

mente, tenemos que: 0. v o→ →

=

En forma analítica

Dado un vector ( )b;av =→

del plano (O del espacio) el producto entre él y un número real,

se puede calcular como indicamos a continuación.

→

v

1ksiendov.k >→

1k0siendov.k <<→

→

v→

v

1ksiendov.k −<→



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En la figura se puede observar que:

( )OP´ v a;b y OQ k. v→ → → →

= = =

Dado que, los triángulos rectángulos

OMP y ONQ∆ ∆

son semejantes, el aumento

de "k" veces en la hipotenusa hace aumen-

tar en forma proporcional los catetos, en

consecuencia, podemos afirmar que:

( ) ( )k. v k. a;b k.a ; k.b→

= =

Consecuencia inmediata:

Versor

Se llama así a todo vector cuyo módulo es igual a "1" (1 unidad). Por ejemplo, el vector

( )312 2v ;

→

= − es un versor, porque si calculamos su módulo, como puede observarse a

continuación, resulta igual a la unidad:

( ) ( )22 3 31 1

2 2 4 4v 1= − + = + =

Cuando un vector es un versor lo simbolizaremos así: v .

x

y

O a

→

v

b

→

v.k

k.a

k.b

P

Q

M N

Dos vectores →

u y →

v son paralelos cuando sus componentes, resultan

proporcionales. Ello significa que siendo ( )1 1 1u a ;b ; c→

= y ( )2 2 2v a ;b ; c→

=

debe ocurrir que: 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c= =



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Si consideramos el punto “O” como el origen de coordenadas y trazamos un versor elegido

al azar, es inmediato que existen infinitos de ellos y que los mismos definen una circunferencia de

radio unitario (En el caso del espacio, determinan una esfera). En particular, vamos a ocuparnos de

dos versores llamados i y j que nos permitirán definir, para los vectores, una notación

alternativa llamada notación canónica. En el caso de estar trabajando en el espacio tridimensional,

todo es análogo, pero debemos agregar un tercer versor asociado a las cotas, al que llamaremos

k .

El versor ( )i 1;0= y el ( )j 0;1= están, indudablemente asociados a los ejes de abscisas y

ordenadas, respectivamente.

Acorde con la notación habitual y la gráfica,

podemos decir que, en forma de par ordenado el

vector ( )v a;b→

= .

Como anteriormente, vimos que la suma de

vectores, se realiza componente a componente,

es posible escribir a dicho vector así:

( ) ( ) ( )v a;b a;0 0;b→

= = +

Dado que "a" y "b" son números reales, la suma

anterior podría ser traducida al producto entre

un número real y un vector.

De esa forma tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( )i j

v a;0 0;b a. 1;0 b. 0;1= + = +

A esta notación vectorial se la llama notación canónica:

v a i b j= +

En forma idéntica, en el espacio, un vector puede expresarse de dos maneras equivalentes, una es

como terna ordenada y la otra, en forma canónica:

x

y

O

→

v

N

i 1 a

1

j

b



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( )v a;b;c a i b j ck= = + +

Aplicación física

Como dijimos anteriormente existen, en líneas generales, dos tipos de magnitudes que

son las escalares y las vectoriales. Aprovechando los conceptos vistos hasta ahora y las

operaciones entre vectores dejamos, a cargo del lector, el siguiente ejercicio.

Ejercicio: Un punto material se desplaza, en línea recta, desde una posición inicial ( )0P 2;1;2=

hasta una posición final ( )4;2;8P1 −= y para ello emplea, un intervalo de tiempo seg5t =∆ . Si

la distancia recorrida se encuentra expresada en metros, Hallar:

a) La expresión de su vector desplazamiento →

∆x y su módulo.

b) La expresión del vector velocidad →

v y su módulo.

Rta.: a) x 6 i 3 j 2k y x 7m→ →

∆ = − + ∆ =

b) 6 3 25 5 5v i j k y v 1,4m / seg

→ →

= − + =

x

y

z

O

x1

y1

z1

y0

y0

z0

P1

•

• P0

Ayuda: Como surge de la gráfica, el vector desplazamiento surge del planteo siguiente:

0 0 1 1 0 1 1 0

x

OP P P OP P P OP OP→

→ → → → → →

∆

+ = = −

Luego:

( ) ( ) ( )1 0 1 0 1 0x x x i y y j z z k→

∆ = − + − + − .

El vector velocidad será la consecuencia de

dividir cada componente por el tiempo.

( ) ( ) ( )1 0 1 0 1 0x x y y z z

t t tv i j k→

− − −

∆ ∆ ∆= + +



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Producto escalar

Hasta el momento, las operaciones que hemos definido con vectores dan siempre, como

resultado, otro vector. Ello, a veces, no sucede. Si por ejemplo, dos vectores interactúan

simultáneamente sobre un cuerpo, como por ejemplo un vector "Fuerza" y otro vector

"desplazamiento" la operación resulta un número real al que llamamos trabajo mecánico. Como

entes geométricos que son, estamos en condiciones de definirlo así:

u . v u . v .cos→ →

= φ

Observemos ahora la analogía entre la definición anterior y el concepto de trabajo

mecánico. Suponiendo que un cuerpo es arrastrado debido a la acción de una fuerza →

F

desplazándolo desde su posición de inicial una distancia →

∆x y despreciando el valor de la fuerza de

rozamiento, tendremos:

F . x F . x .cos→ →

∆ = ∆ φ

Es preciso notar que, el trabajo mecánico, da como resultado lo que se logra entre la acción de la

fuerza neta actuante y el desplazamiento producido. De allí la presencia del factor angular.

Propiedades

La definición de producto escalar entre vectores, trae aparejada algunas propiedades, a

veces evidentes, que nos van a permitir, más adelante, deducir una fórmula de cálculo siempre

que conozcamos las componentes de los vectores. Estas propiedades son:

→

u

→

v

ϕ

→

F

ϕ →

∆x

ϕ→

cos.F



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1) Conmutatividad: u . v v . u→ → → →

=

Demostración: u . v u . v .cos v . u .cos( ) v . u→ → → →

= φ = −φ =

2) Si u v→ →

⊥ (se lee ortogonales) entonces u. v 0→ →

=

Nota: dos vectores se dice que son ortogonales, cuando sus direcciones están asociadas a

rectas perpendiculares.

La demostración es inmediata porque:

Porque sonortogonales

u . v u . v . cos90º u . v .0 u . v 0→ → → →

= = =

Observación: La recíproca de esta propiedad, no es cierta porqué si uno de los vectores

que intervienen en la operación es el vector nulo, indudablemente el producto escalar

sería igual a cero.

3) 2u . u u

→ →

=

Demostración: 2

u . u u . u .cos0 u . u .1 u→ →

= ° = =

4) Distributividad respecto de la suma de vectores – (sin demostración)

→→→→→→→

+=

+ w.uv.uwv.u

Producto escalar entre vectores - Fórmula de cálculo

Como ya hemos visto, los vectores, en el plano, se pueden expresar en forma de par

ordenado o en forma canónica.

Sean, en el plano cartesiano, los vectores:

( )1 1 1 1u a ;b a i b j→

= = + y ( )2 2 2 2v a ;b a i b j→

= = +



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Para calcular su producto escalar, vamos a expresar a cada uno de los vectores en su forma

canónica:

( ) ( )1 1 2 2u. v a i b j . a i b j→ →

= + +

De esta manera, prescindimos de los

vectores originales y nos quedamos

con sus respectivas componentes

horizontales y verticales.

Aplicando la propiedad distributiva,

vista anteriormente, tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 2u. v a i . a i a i . b j a i . b j b j . b j→ →

= + + +

Como el problema se tradujo a operar con componentes horizontales y verticales, de los

cuatro términos, hay dos que son nulos porque los vectores son ortogonales.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 2

son ortogonales son ortogonales vale cero vale cero

u. v a i . a i a i . b j a i . b j b j . b j→ →

= + + +

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2u. v a i . a i b j . b j→ →

= +

Si aplicamos la definición de producto escalar dada anteriormente resulta:

1 2 1 2u. v a i . a i .cos0 b j . b j .cos0→ →

= ° + °

Siendo los módulos, números reales positivos, resulta:

x

y

O

→

v

ia1

a1

jb1

b1 →

u

a2

ia2

jb2

b2



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1 2 1 2

1 2 1 2

1 1a a b b

u. v a i . a i . cos0 b j . b j . cos0→ →

= ° + °

Entonces, el producto escalar entre u→

y v→

, resulta ser:

1 2 1 2u. v a .a b .b→ →

= +

Nota: Si los vectores fuesen en el espacio, la fórmula de cálculo sería idéntica, pero con

tres términos, por el agregado de las cotas.

Aplicación geométrica

Para calcular la amplitud de un ángulo en el plano, podemos recurrir a un elemento de

precisión como es el transportador. El mismo, nos dará el valor de dicho ángulo con una

aproximación menor que un grado. ¿Qué sucede si deseamos calcular un ángulo en el espacio y no

podemos materializar a los entes que nos permiten hacerlo? Por ejemplo, queremos calcular el

ángulo que forman las diagonales de un cubo. El ejercicio que sigue a continuación nos brinda una

ayuda para ello y la resolución la dejamos a cargo del lector.

Ejercicio: Calcular aproximadamente la amplitud del ángulo que forman las diagonales de un

cubo.

Ayuda: Suponiendo que el cubo tiene arista 1

unidad (obviamente el resultado del problema no

depende de ello) y que además, tres de sus caras

se apoyan sobre los planos coordenados (como se

indica en la figura), el ángulo que forman sus

diagonales (el agudo) coincide con el ángulo que

forman los vectores 1v y 2v .

Hallando las componentes de 1v y 2v y aplicando

simultáneamente, la definición y la fórmula de

cálculo del producto escalar resulta 1 2v v 70º∧

≅ .

i

j

k

y

z

1v

2vx



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Aplicación física

La resolución del problema, queda a cargo del lector

En el reticulado de la izquierda se puede ver,

en escala, que una fuerza (en Newtons)

indicada con →

F produce un desplazamiento

(en metros), de un punto material, señalado

mediante el vector →

d . Se pide:

a) Expresar ambos vectores en forma

canónica.

b)- Calcular el trabajo "L" (en Joule) realizado

por la fuerza.

Rta.: a) ( )F 4 i j . N→

= + ( )d 8 i 7 j . m→

= +

b) L 39 J=

Producto vectorial

Así como anteriormente vimos el concepto de Producto Escalar y la definimos como un

número real, en algunos fenómenos físicos, el resultado de operar con dos vectores da como

resultado un tercer vector, que tiene la cualidad de ser ortogonal a los dos que le dan origen. Esta

operación, realizable solamente en 3 , es la que conocemos como producto vectorial.

Vamos a suponer que tenemos en el espacio dos vectores u→

y v→

, como se indica en la

figura.

O

F

P’

x

y

d

v→

u→

w u x v→ → →

=

α



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Definimos el producto vectorial entre ellos con un tercer vector w→

que tiene las siguientes

características.

w u x v→ → →

= =

( )

w u w v

sentido w (dado por la regla de la mano derecha)

w u . v .sen

⊥ ∧ ⊥ = α

Observemos que, acorde con la definición, el producto vectorial no es conmutativo ya que

en un caso la dirección del vector resultante es en un sentido y al conmutar la operación lo es en el

otro.

Escrito matemáticamente: ( )u x v v x u= −

Si calculamos el producto vectorial entre los versores fundamentales, es inmediato extraer

las siguientes conclusiones:

● i x i j x j k x k o= = =

● i x j k j x i k= = −

● i x k j k x i j= − = −

● j x k i k x j i= = −

No realizaremos la demostración, pero vamos a admitir que el producto vectorial es una operación distributiva

respecto de la suma de vectores. O sea, admitimos como válido que, siendo a→

; b→

y c→

vectores en el espacio,

podemos afirmar que:

a x b c a x b a x c→ → → → → → →

+ = +

O

i

j

k



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Producto vectorial – fórmula de cálculo

Sean los vectores ( )1 1 1u a ;b ;c→

= y ( )2 2 2v a ;b ;c→

=

Escribiendo cada uno de ellos en forma canónica, vamos a calcular su producto vectorial:

u x v→ →

= ( ) ( )1 1 1 2 2 2a i b j c k x a i b j c k+ + + +

Si aplicamos la propiedad distributiva resultan nueve términos, pero aquellos que poseen el

mismo versor asociado dan como resultado el vector nulo. Con ello, podemos afirmar que sólo seis

de ellos serán significativos. Luego:

u x v→ →

= ( ) ( )1 2a i x b j ( ) ( )1 2a i x c k+ ( ) ( )1 2b j x a i+

( ) ( )1 2b j x c k+ ( ) ( )1 2c k x a i+ ( ) ( )1 2c k x b j+

Si hacemos uso de la definición y del producto vectorial entre los versores fundamentales,

resulta:

u x v→ →

= 1 2a b k ( )1 2a c j+ − ( )1 2b a k+ − 1 2b c i+ 1 2c a j+ ( )1 2c b i+ −

Si agrupamos los términos de la siguiente manera:

u x v→ →

= 1 2a b k ( )1 2a c j+ − ( )1 2b a k+ − 1 2b c i+ 1 2c a j+ ( )1 2c b i+ −

u x v→ →

= ( )1 2 2 1b c b c i− ( )1 2 2 1a c a c j− − ( )1 2 2 1a b a b k+ −

Esto último, lo escribimos así:

1 1 1

2 2 2

i j k

ux v a b c

a b c

→ →

=

A éste operador lo llamamos determinante y el resultado del mismo es independiente de la

forma en que se calcula. Dicho de otra manera, si en el determinante en vez de desarrollarlo por la

1ra fila, como hicimos, lo hubiésemos realizado por cualquier otra fila o columna, el resultado no

hubiese cambiado.

Ejemplo: Siendo ( )u 3; 1; 1→

= − y ( )v 2; 4; 1→

= − . Calcular u x v→ →



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( ) ( ) ( )

i j k

ux v 3 1 1 i. 1 4 j. 3 2 k. 12 2

2 4 1

→ →

= − = − − + + − −

−

Luego: ( )u x v 3; 5; 14→ →

= − − −

El resultado logrado es verificable porque acorde con la definición el vector obtenido debe

ser ortogonal a ambos vectores. Vamos a comprobarlo:

u x v u→ → →

⊥ ( ) ( )3; 5; 14 3;1; 1 9 5 14 0− − − • − = − − + =

u x v v→ → →

⊥ ( ) ( )3; 5; 14 2; 4;1 6 20 14 0− − − • − = − + − =

Interpretación geométrica

Vamos a calcular el área del paralelo-

gramo que determinan los vectores

u y v→ →

.

La misma, está dada por:

( )Área u;v u .h=

Pero: h

sen h u . senu

α = = α

Entonces: ( )Área u;v u . v .h=

Acorde con la definición dada más arriba tenemos que:

( )Área u;v u x v=

Queda demostrado entonces que, geométricamente, el módulo del producto vectorial mide

el área del rectángulo que determinan los vectores.

Observación:

• Si el producto vectorial da como resultado el vector nulo, y los vectores que dieron origen

al mismo, no lo son, necesariamente dichos vectores deben ser paralelos. Esto dicho

matemáticamente, es:

v→

u→

w u x v→ → →

=

h

O

α



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Si u o y v o pero u x v o≠ ≠ = , entonces u / / v

Ejemplos de aplicación

I) Dados los puntos cuyas coordenadas son ( )A 1;2;1= , ( )B 3;3;5= y ( )C 4;4;0= , se pide:

a) Demostrar vectorialmente que los mismos no están alineados.

b) Calcular el área del triángulo que forman.

Resolución:

a) Como se muestra a continuación, tres puntos pueden estar alineados o bien formar un

triángulo.

Nota: Presuponemos que el orden de los puntos es el que graficamos. Esto es una

figura de análisis, no indica la realidad.

Observar que, cuando están alineados, en nuestra figura de análisis:

AC AB BC→ → →

= +

En cambio, si forman un triángulo AC AB BC→ → →

≠ +

En consecuencia, calculando los módulos de los vectores basta con analizar cuál de las

condiciones se cumple.

Calculemos previamente los vectores en cuestión y sus respectivos módulos:

AC C A→ → →

= − = ( )4;4;0 ( )1;2;1− = ( )3;2; 1− AC 9 4 1 14→

= + + =

AB B A→ → →

= − = ( )3;3;5 ( )1;2;1− = ( )2;1;4 AB 4 1 16 21→

= + + =

BC C B→ → →

= − = ( )4;4;0 ( )3;3;5− = ( )1;1; 5− BC 1 1 25 27→

= + + =

Dado que: 27 ≠ 14 21+

A

B

C B

A

C



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En consecuencia, los puntos determinan un triángulo. Mediante el producto vectorial

vamos a calcular su área. Ello es posible porque el área del mismo es la mitad del área

del paralelogramo.

i j k

AB x AC 2 1 4

3 2 1

→ →

=

−

( ) ( ) ( )AB x AC i. 1 8 j. 2 12 k. 4 3→ →

= − − − − − + −

AB x AC 9 i 14 j k→ →

= − + +

Luego: AB x AC 81 196 1 278→ →

= + + =

Entonces el área del triángulo que forman los puntos dados vale 278

II) Dados los vectores ( )u 1;4 ;z= y ( )v x; 2 ;3= − . Analizar, mediante el cálculo del

producto vectorial, para qué valores de “x” y “z” los mismos resultan paralelos.

Resolución:

Calculando el producto vectorial, tenemos que:

i j k

u x v 1 4 z

x 2 3

→ →

= =

−

( ) ( ) ( )u x v i. 12 2z j. 3 x.z k. 2 4x→ →

= + − − + − −

Del primer término y del último podemos afirmar que:

z 6= − y 12

x = −

Ahora debemos verificar que también se cumpla la nulidad del término central.

En efecto: ( ) ( )12

?3 x.z 3 6 . 0− = − − − =

Entonces los números calculados anteriormente verifican lo deseado.

C

B

AB x AC→ →

A

Área ABC AB x AC∆ → →

=



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Producto mixto

Hasta el momento hemos visto el Producto Escalar, cuyo resultado es un número real y el

Producto Vectorial donde se obtiene un vector. Si combinamos estas dos operaciones, al número

real obtenido se lo llama Producto Mixto.

Sean los vectores del espacio u; v y w . ¿Qué ocurre si realizamos la operación

( )u x v w• ? Vamos a interpretarlo geométricamente.

Como podemos observar, los vectores

definen un prisma de seis caras.

El Volumen del mismo es:

V = ( )Área u;v .h= u x v . h

Pero h

coa h w . cosw

ϕ = = ϕ

Luego: V = u x v . w . cosϕ

Esto último es la definición de producto escalar, con lo cual podemos asegurar que el

producto mixto, en valor absoluto, mide el volumen del prisma que definen los tres vectores.

( )V u x v w= •

Observaciones:

• Dado que el producto vectorial no es una operación conmutativa, tampoco lo es el

producto mixto. Al conmutar el orden de los vectores, podrá darnos solamente dos resultados que

pueden ser iguales u opuestos.

• Si tres vectores son coplanares (se encuentran asociados a planos paralelos), el producto

mixto debes ser igual a cero.

Producto mixto – fórmula de cálculo

Sean los vectores ( )1 1 1u a ;b ;c→

= ; ( )2 2 2v a ;b ;c→

= y ( )3 3 3w a ;b ;c→

=

Vamos a realizar la operación siguiente:

u x v

ϕ

u

v

w

h



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u x v w→ → →

• =

( )1 1 1 3 3 3

2 2 2

i j k

ux v a b c a ;b ;c

a b c

→ →

= •

u x v w→ → →

• =

( )1 2 2 1b c b c i − ( )1 2 2 1a c a c j− − ( )1 2 2 1a b a b k+ − ( )3 3 3a ;b ;c•

Entonces: u x v w→ → →

• =

( )1 2 2 1 3b c b c .a− ( )1 2 2 1 3a c a c .b− − ( )1 2 2 1 3a b a b .c+ −

Luego:

3 3 3

1 1 1

2 2 2

a b c

u x v v a b c

a b c

→ → → • =

Como dijimos anteriormente, éste operador que llamamos determinante posee

propiedades que hacen que su cálculo, bajo ciertas reglas, no dependan del orden de las filas

o columnas del mismo. Una de esas propiedades, afirma que si cambiamos de orden dos

líneas consecutivas (filas o columnas) el determinante cambia solamente de signo. De ello se

desprende en forma inmediata que:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

ux v v a b c

a b c

→ → → • =

Observación: La pirámide de base triangular, cuyo nombre es tetraedro, posee un volumen igual a

la sexta parte del volumen del prisma recto. En consecuencia, dados tres vectores que definen un

tetraedro se verifica que:

( )1Tetraedro 6V . u x v w= •


T.P. N°4 – Rectas y Planos en el Espacio tridimensional.

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Guía de TP N°4 – Rectas y planos en el espacio tridimensional

1) Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto 0P ( 3;0;2)= − y es paralela al vector

v 2 i j 3k= − + . Calcular aproximadamente el ángulo que forma, el vector director de dicha

recta, con cada uno de los ejes coordenados.

2) Hallar, en cada caso, las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta r:

a) P (3;0;2)= pertenece a r y r es paralela al vector v 2 i j 3k= − +

b) Los puntos A ( 1;2;3)= − y B (1;0; 1)= − pertenecen a r.

3) Dada la recta s: (x ;y;z) ( 1;2;3) .(1;2;3)= − + λ se pide:

a) Escribir las coordenadas de tres puntos que pertenezcan a “s”.

b) Decidir si los puntos A ( 4; 4; 7)= − − − y B ( 2;0;0)= − pertenecen a s. Justificar la

respuesta.

c) Hallar los posibles valores de “a” y “b” para que el punto C (a;b;0)= perte-nezca a ”s”

d) Encontrar las coordenadas de todos los puntos pertenecientes a la recta s cuya distancia

al origen de coordenadas es 52 .

4) Dados los puntos A ( 1;2;1)= − y B ( 2;1; 1)= − − se pide:

Determinar una ecuación simétrica de la recta paralela a AB en la que el origen de

coordenadas pertenece a ella.

5) Estudiar la posición relativa de las rectas r y s. Obtener r s∩ en los casos en que sea posible.

a)

x 2x 1 y 2 z 1

r : y 7 3 s :3 2 1

z 2

= − + λ− + +

= − + λ = = = + λ

b)

x 3 2

r : y 1 s : (x;y;z) ( 1;3;1) ( 6;3;0)

z 5

= + λ

= − λ = − + µ − =

c) r : (x;y;z) (5;0;4) (2; 1;1) s : (x;y;z) ( 1;3;1) ( 6;3; 3)= + λ − = − + µ − −

d x y 1

r : (x;y;z) (1; 1;0) (2;7;2) s : z 15 2

+= − + λ = = −

6) Obtener las ecuaciones de una recta “t” a la que pertenece el punto M ( 2;2;1)= − y que

resulte perpendicular a las rectas “r” y “s” del problema 4)a).



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7) Representar en 3 cada uno de los siguientes planos:

a) z 2= b) x 5= c) y 1= d) x 2y 4+ =

e) z 2y 4− = f) 2x z 4− = g) 2y z 6+ = h) 2x y 4z 4+ + =

8) Hallar una ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto 0P ( 1 ; 1 ; 3)= − y es normal

al vector n i 2 j k= − + − .

9) Dados los puntos 0 1P (3 ; 2 ; 1) y P ( 3 ; 2 ; 1)= = − − − hallar una ecuación cartesiana del

plano que es perpendicular al vector 0 1P P→

en el punto P1.

10) Hallar la ecuación del plano paralelo a 2x 2y z 2− + = que pasa por el punto A (1 ; 1 ; 1)= − .

11) Hallar la ecuación cartesiana del plano determinado por los vectores a i 2 j k= + − ,

b 2 i 3 j k= − + , si el mismo contiene al punto ( )0P 2; 3;5= −

12) Hallar, si existe, la ecuación del plano que pasa por los puntos:

a) ( )0P 0;1;2= , ( )1P 3;0;5= , ( )2P 4;0;1=

b) ( )0P 2; 3;4= − , ( )1P 4;0;2= , ( )2P 6;3;0=

13) Dados los planos:

1

2

3

4

: x 2y 2z 5 0

: 3x 6y 3z 2 0

: 2x y 2z 1 0

: x 2y z 7 0

α + − − =α − + − =

α + + + =α − + − =

Se pide:

a) Probar que dos de ellos son paralelos y los otros dos son perpendiculares.

b) Calcular la distancia entre aquellos que son paralelos

c) Calcular la amplitud del ángulo que forman 2 3α ∧ α .

14) Analizar si los puntos ( )0P 1;1; 11= − , ( )1P 5;0;9= , ( )2P 5; 5;25= − , ( )3P 0;0; 12= − son

coplanares. En caso afirmativo hallar la ecuación del plano que los contiene.

15) Dado el plano : x 2y 2z 4 0α + + − = se pide:

a) Calcular la distancia entre el mismo y el origen de coordenadas.

b) Calcular la distancia entre el mismo y el punto ( )A 2; 3;2= − .



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16) Dado el siguiente gráfico, se pide:

a) Hallar la ecuación del plano β.

b) Hallar la ecuación de la recta r.

c) Calcular la amplitud del ángulo que

ellos determinan.

17) Calcular los valores que deben adoptar “x0” y “y0” para que el plano “ α ” de ecuación

x 2y z 4 0+ + − = contenga a la recta “r” de ecuación ( ) ( ) ( )0 0x;y;z x ;y ; 1 t. 1 ;1 ; 3= − + − .

18) Hallar las ecuaciones simétricas de la recta determinada por la intersección entre los planos

1

2

: 2x 3y 3z 4

: x 3y 5z 2

π + − =

π − + =

19) Hallar, si existe, el punto de intersección entre las rectas 1

2

x 3 y 4 zr :

2 2 3y z

r : x2 3

− −= = − −

= =

.

20) Hallar, si existe, el punto de intersección entre las rectas definida por los planos

1

1

2

: x 3y z 7r :

: x y z 1

π + − = −

π − + =. y 2r determinada por los puntos ( )A 2;1;0= y ( )B 1; 1;3= − .

21) Calcular la distancia del punto ( )A 1;0; 3= − a la recta 2x 3 y 2 z 1

2 3 4

− − + −= =

22) Calcular la amplitud del ángulo definido por la recta intersección entre los planos

1

1

2

: x 3y z 7r :

: x y 2z 1

π + − = −

π − + = y el plano 3 : x 2y z 2π − + =

2

3

3

x

y

z

1

1

1

P0

O β

r



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23) Demostrar que las rectas 1

1

2

: 2x y z 0r :

: x 4y 2z 12

π + + =

π − + = − y 2

x 7 3y 4 9 zr :

2 3 3

+ + −= =

− son

paralelas.

24) Demostrar que las rectas 1

1

2

: 2x y 2z 10r :

: y 2z 4

π + − = −

π + = y 2

4 x y 3 z 11r :

4 3 2

− − += =

−son

perpendiculares.



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Respuestas

1) F.V. (x ; y ; z) ( 3 ; 0 ; 2) .(2 ; 1 ; 3)= − + λ −

x 3 2x 3 z 2

F.P. y F.S. y2 3

z 2 3

= − + λ+ −

= −λ = − = = + λ

ˆ 57 41'

ˆ 105 30'

ˆ 36 41'

α = °β = °γ = °

2) a) r : (x;y;z) (3;0;2) (2; 1;3)= + λ − b) r : (x;y;z) (1;0; 1) (2; 2; 4)= − + λ − −

3) b) A s B s∉ ∈ c) a 2 b 0= ∧ = d) P (0;4;6)= y ( )26 24 36

7 7 7Q ; ;= − − −

4) 12x y z= =

5) a) ( ){ }r s 1; 2; 1∩ = − − b) r / /s r s∧ ∩ = ∅

c) r / /s r s r∧ ∩ = d) r y s alabeadas r s∩ = ∅

6) t : (x;y;z) ( 2;2;1) (1;2; 7)= − + λ −

7) a) b)

c) d)

2

z

y

z 2=

x

z

x 5=

y

5

x

z

y 1=

1 y

x

z

x 2y 4+ =

2 y

4 x



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e) f)

g) h)

8) x 2y z 0− + − = 9) 3x 2y z 14 0+ + + =

10) 2x 2y z 5 0− + − = 11) x 3y 7z 28 0+ + − =

12) a) 4x 15y z 17 0+ + − = b) Están alineados 13) b). 1918 . 6 c)| | 74 12'

∧

ω ≅ °

14) 24x 16y 5z 63 0− − − = 15)a) 43

b) 43

16) a) x 2y 2z 6 0+ + − = . b) x y z= = c) 79° 58’

11) 01z2y8x4 =−−− 17) 0 0x 3 ; y 1= = 18) 132

3 9

x 2 yz

−= =

−

19) ( )0P 1;2;3= 20) Son alabeadas. 21) 12d 1665= 22) 23 50'ϕ = °

2y z 6+ =

3

z

6

y

x

y 2

z 2x y 4z 4+ + =

4

x

1

z 2y 4− =

-2 y

4

z

x

y 2

z

2x z 4− =

x

-4



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Anexos teóricos – Rectas y planos en el espacio tridimensional

Ecuación de la recta en el espacio

Como sabemos, una recta queda definida cuando conocemos dos puntos de la misma. Dicho

de otra forma, dados dos puntos existe una única recta que pasa por ellos. La idea es encontrar la

expresión algebraica de esa recta, que viene dada por ecuaciones que permiten decidir qué

puntos del espacio le pertenecen y cuáles no.

Para la deducción haremos uso de los conceptos vectoriales dados anteriormente y luego,

como caso particular, veremos las ecuaciones de la recta, cuando de ella conocemos dos puntos.

Sea un punto del espacio 0P de coordenadas conocidas y un vector, llamado vector director

v , paralelo a dicha recta y cuyas componentes también son datos. Es evidente, como se indica en

la figura, que existe una única recta que pasa por dicho punto y tiene la dirección del vector.

Nuestros datos son las coordenadas

del punto de paso y las componentes

del vector dirección:

( )0 0 0 0P x ;y ;zDatos :

v a i b j ck

=

= + +

Sea un punto ( )z;y;xP = , como el

indicado en la figura, de coordenadas

variables. De ello, resulta inmediata

la igualdad vectorial planteada a

continuación:

0 0OP OP P P→ → →

= +

Pero el vector 0P P→

es paralelo al vector →

v . Entonces, por lo visto anteriormente, en el

capítulo de vectores, debe ocurrir que:

0P P .v donde→

= λ λ∈ℜ

Si esto último lo reemplazamos en la ecuación anterior resulta:

0OP OP .v→ →

= +λ

x

y

z

O

x

y

z

x0

y0

z0 • P

• P0

v

r



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Expresando cada uno de los vectores, según su notación cartesiana, tendremos una primera

expresión de la ecuación de la recta llamada forma vectorial:

( ) ( ) ( )0 0 0r : x;y;z x ;y ;z . a;b;c= + λ (f.v.)

Si operamos, resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0x;y;z x ;y ;z a; b; c x;y;z x a;y b;z c= + λ λ λ = + λ + λ + λ

Igualando entre sí las componentes homólogas, nos da una segunda expresión de la recta,

llamada ecuaciones en forma paramétrica.

0

0

0

x x .a

r : y y .b

z z .c

= + λ

= + λ = + λ

(f.p)

Dado que " λ " es un número real que vale lo mismo para cada variable, resulta una tercera

expresión llamada ecuación de la recta en forma simétrica.

00

00

00

x xx x a

ay y

y y bb

z zz z c

c

−= + λ = λ

−

= + λ = λ

−= + λ = λ

Así, igualando, llegamos a: 0 0 0x x y y z zr :

a b c

− − −= = (f.s)

Observaciones:

I) El parámetro " λ ", no tiene un valor fijo sino que, para cada valor del mismo se logra un punto que

indefectiblemente estará en la recta.

II) Existen infinitas maneras distintas, pero todas equivalentes, de expresar una recta. Como precisamos un

punto de paso y un vector paralelo es posible escribir lo mismo, pero con el aporte de datos diferentes.

Ejemplo

a) Hallar las ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica de la recta “r” que contiene a los

puntos ( )A 0 ;4 ;1= y ( )B 1 ;1 ;0= − .

b) Analizar si dicha recta contiene al punto ( )0P 1 ;7 ;2= . Justificar la respuesta.



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Resolución:

a) Al conocer dos puntos de la recta podemos calcular su vector director

( )BA A B 1;3;1→ → →

= − = . A partir de ello la ecuación de la recta resulta en sus formas vectorial,

paramétrica y simétrica:

( ) ( ) ( )x t

y 4x;y;z 0;4;1 t. 1;3;1 y 4 3t x z 1

3z 1 t

=−

= + = + = = − = +

b) Para analizar si el punto ( )2;7;1P0 = pertenece a ella reemplazamos sus coordenadas en

la forma simétrica. Así tenemos: 7 4

1 2 1 1 1 13

−= = − = = . Entonces podemos

afirmar que el punto efectivamente, pertenece.

Posiciones relativas entre rectas

Dadas dos rectas en el espacio, existen cuatro posiciones relativas entre ellas, como se

muestra a continuación.

{ }0

v .w

y

r s P

≠ λ

∩ =

v .w

y

r s

= λ

∩ = ∅

v

r

w

s

v

r

• P0

w

s

r y s son incidentes r y s son paralelas



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v .w

y

r s

≠ λ

∩ = ∅

v .w

y

A r A s

= λ

∈ ∈

Ángulo entre dos rectas incidentes

Si dos rectas inciden en un único punto, es posible calcular la amplitud del ángulo que

forman porque dicho ángulo es el ángulo que forman los vectores asociados.

Por definición, dicho ángulo es agudo

porque, al incidir, definen dos ángulos

suplementarios. En consecuencia:

u v u . v .cos→ → → →

• = ϕ

De esto obtenemos la fórmula de cálculo que resulta ser: u v

arcosu . v

•ϕ =

Nota: En aquel caso en que el ángulo formado resulte negativo, deberá tomarse en valor absoluto y si

hubiese sido obtuso (mayor a 90°) se deberá calcular, como ya dijimos, el suplemento o sea la diferencia a 180°.

Ejemplo

Si un recta “r” contiene a los puntos ( )A 3;3;0= y ( )B 5;4;1= y otra recta "s" contiene al

punto ( )0P 2;5;1= y su vector dirección es v i 3 j 2k= + + . Se pide:

v r

w

s

r y s son alabeadas. (están en diferentes planos)

r y s son coincidentes

v

r

w

s

● A

v

r

• P0

w

s

ϕ



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a) Hallar sus respectivas ecuaciones vectoriales.

b) Analizar si se intersecan y en caso afirmativo calcular la amplitud del ángulo con el cual

inciden

a) Resolución: Con los datos que nos otorga el problema podemos escribir las ecuaciones de

las dos rectas. Así tenemos que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

A B A u

P v

r : x;y;z 3;3;0 t. 2;1;1

s : x;y;z 2;5;1 k. 1;3;2

− =

= +

= +

b) Para saber si se intersecan debemos igualarlas y dejar como incógnitas los parámetros “t”

y “k”.

x 3 2t (1) x 2 k (1')

r : y 3 t (2) y s : y 5 3k (2')

z t (3) z 1 2k (3')

= + = +

= + = + = = +

Usamos de las tres ecuaciones, dos de ellas a elección y dejemos la tercera, que será para

validar la respuesta:

De (1) y (1’) 3 2t 2 k k 2t 1+ = + = +

De (2) y (2’) t 2

3 t 5 3k k3

−+ = + =

Igualando resulta: t 2

2t 1 6t 3 t 2 5t 5 t 13

−+ = + = − = − = −

Siendo 1k1t −=−=

Nota: Que los valores de los parámetros hayan coincidido es casual.

A partir de los valores de los parámetros podemos encontrar, si existe, las coordenadas

del punto de intersección:

Para:

t 1= −

( )( )

x 3 2 1 1

En r : y 3 1 2

z 1

= + − =

= + − = = −

k 1= −

( )( )( )

x 2 1 1

En s: y 5 3. 1 2

z 1 2. 1 1

= + − =

= + − = = + − = −



Página 12 de 25

Como en ambas rectas llegamos a la misma respuesta podemos afirmar que “r” y “s” se

intersecan en un único punto que es:

( ){ }r s 1; 2 ; 1∩ = −

Observación: Los valores de “x” e “y” obviamente iban a ser iguales porque la igualación fue hecha a partir

de estas variables. Si los valores de “z” hubiesen dado diferente la conclusión es que las rectas en vez de

intersecarse son alabeadas.

Para calcular la amplitud del ángulo que forman vamos a hacer uso de sus vectores

directores. Acorde con la fórmula vista más arriba tenemos:

( ) ( )( ) ( )

2;1;1 1;3;2u v 2 3 2arcos arcos arcos

u . v 2;1;1 . 1;3;2 4 1 1 . 1 9 4

•• + +ϕ = = =

+ + + +

De ello se deduce que:

7arcos 40 12'

6 . 14ϕ = ϕ ≅ °

Ecuación del plano

Así como dos puntos distintos definen una recta, tres puntos no alineados, definen un pla-

no. Dicho de otra manera: Si A, B y C son puntos no alineados, existe un único plano "π" que los

contiene. Simultáneamente a los tres.

Para poder hallar la ecuación cartesiana del plano, lo vamos a hacer de dos maneras, ambas

usando los conceptos y operaciones vectoriales vistas anteriormente porque, dependiendo de los

datos que aporta el problema una de ellas es más simple que la otra.

Ecuación del plano conociendo tres puntos del mismo

Como dijimos anteriormente, tres puntos no alineados, siempre definen un único plano.

Supongamos conocer las coordenadas de ellos y las mismas son: ( )0 0 0A x ;y ;z= ; ( )1 1 1B x ;y ;z= y

( )2 2 2C x ;y ;z= .

Sea ( )P x;y;z= un punto genérico, del plano, de coordenadas variables. Cuando logremos la

expresión que vincula a éste punto con los anteriores dados como dato estaremos en presencia de

su ecuación.



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Acorde con las condiciones expresadas, los

vectores AP→

; AB→

y AC→

deben tener

producto mixto nulo.

Expresado matemáticamente sería:

AP x AB AC 0→ → →

• =

Expresando los vectores en función de sus componentes, resulta:

( )

( )

( )

0 0 0

1 0 1 0 1 0

2 0 2 0 2 0

AP x x ; y y ; z z

AB x x ; y y ; z z

AC x x ; y y ; z z

→

→

→

= − − −

= − − −

= − − −

0 0 0

1 0 1 0 1 0

2 0 2 0 2 0

x x y y z z

x x y y z z 0

x x y y z z

− − −

− − − =

− − −

Desarrollando por la primera fila tenemos:

( ) ( ) ( )1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

0 0 0

2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0

a b c

y y z z x x z z x x y yx x . y y . z z . 0

y y z z x x z z x x y y

− − − − − −− − − + − =

− − − − − −

Entonces: ( ) ( ) ( )0 0 0a. x x b. y y c. z z 0− − − + − =

Distribuyendo y luego agrupando convenientemente, resulta:

( )0 0 0

d

ax by cz ax by cz 0 ax by cz d 0+ + + − − − = + + + =

De esta manera llegamos a la ecuación general del plano en coordenadas cartesianas. La

misma es:

: ax by cz d 0π + + + =

Ejemplo: Hallar la ecuación del plano que contiene simultáneamente a los puntos

( )A 0;4;3= ; ( )B 2;0;4= y ( )C 1;5;2= .

Resolución: Considerando un punto genérico ( )P x;y;z= , armemos los vectores siguientes:

ππππ

• •

•

A P

C

• B



Página 14 de 25

( )

( )

( )

AP x; y 4; z 3

AB 2; 4; 1

AC 1; 1; 1

→

→

→

= − −

= −

= −

x y 4 z 3

2 4 1 0

1 1 1

− −

− =

−

Operando resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x. 4 1 y 4 . 2 1 z 3 . 2 4 0− − − − − + − + =

Distribuyendo: 3x 3y 12 6z 18 0+ − + − =

O sea: 3x 3y 6z 30 0+ + − =

Dividiendo todos los términos por “3” resulta: x y 2z 10 0+ + − =

Dado que los puntos A, B y C pertenecen al mismo, deben satisfacer dicha relación.

Efectivamente, la cumplen.

Ecuación del plano conociendo un punto y un vector normal

Supongamos tener un punto A y un vector

v cuyas coordenadas y componentes, respec-

tivamente, son conocidas. Es posible afirmar, que

existe un único plano "π" que cumple con la

condición de contener al punto y ser normal

(perpendicular) al vector.

Deducción: Nuestros datos son:

( )0 0 0A x ;y ;z

v a i b j ck

= = + +

Sea un punto ( )z;y;xP = de coordenadas

variables de manera tal que "P" pertenezca al plano.

Independientemente del punto que elijamos, podemos

afirmar siempre que los vectores AP→

y v→

resultarán

ortogonales.

ππππ

• A

v

ππππ

• A

→

v

P •



Página 15 de 25

Ello permite plantear que el producto escalar entre esos vectores debe ser nulo. O sea:

AP v AP v 0→ → → →

⊥ • =

Escribiendo cada uno de los vectores en función de sus componentes tenemos:

( ) ( )0 0 0x x ;y y ;z z a; b;c 0− − − • =

Y si aplicamos su fórmula de cálculo debe ocurrir que:

( ) ( ) ( )0 0 0a. x x b. y x c. z z 0− + − + − =

Distribuyendo y agrupando resulta:

( )0 0 0

0 0 0

d

a.x a.x b.y b.y c.z c.z 0 luego

a.x b.y c.z a.x b.y c.z 0

− + − + − =

+ + + − − − =

Entonces la ecuación cartesiana del plano "π" resulta ser la misma que logramos

anteriormente:

: ax by cz d 0π + + + =

Observación:

Dado que los números "a,b y c" son los coeficientes de un vector normal y al menos uno de ellos, no debe ser

nulo, podemos extraer una conclusión interesante.

Si el coeficiente "d" es nulo, pero alguno de los restantes no lo es, el plano contiene al origen de

coordenadas. Caso contrario obviamente, no.

x

y

z

O

π

ax by cz 0+ + =

x

y

z

O

π

ax by cz d 0

d 0

+ + + =

≠



Página 16 de 25

Forma segmentaria de la ecuación del plano

Si todos los coeficientes son no nulos, podemos escribir el plano de la siguiente manera:

ax by czax by cz d 0 ax by cz d 1

d d d+ + + = + + = − + + =

− − −

De esto último tenemos que:

d d da b c

x y z1+ + =

− − −

Como estos denominadores son números no nulos los llamaremos "A, B y C" con lo cual

resulta la expresión segmentaria de la ecuación del plano:

x y z1

A B C+ + = (f.s)

Esta manera de expresar al plano es muy útil para graficarlo porque, cuando:

Ax A ; y 0 ; z 0 1

A= = = = ( )1P A;0;0= ∈π

Bx 0 ; y B ; z 0 1

B= = = = ( )2P 0;B;0= ∈π

Cx 0 ; y 0 ; z C 1

C= = = = ( )3P 0;0;C= ∈π

Estos puntos, es evidente que son no

alineados porque cada uno de ellos está

asociado a uno de los ejes coordenados. En

consecuencia, el gráfico del plano será:

Casos particulares.

I) ¿Qué sucede si, por ejemplo, el coeficiente "c" es nulo y no los restantes?

ax byax by d 0 ax by d 1

d d+ + = + = − + =

− −

A

●

P2

C

x

y

z

O B

●

P1

● P3



Página 17 de 25

Entonces: d d

a b

x y x y1 1

A B+ = + =

− −

Ahora tendremos:

Ax A ; y 0 ; z 0 1

A= = = =

( )1P A;0;0= ∈π

Bx 0 ; y B ; z 0 1

B= = = =

( )2P 0;B;0= ∈π

El plano solamente interseca entonces a los ejes de abscisas y de ordenadas, pero no al

de las cotas, con lo cual podemos afirmar que la ausencia de un de los coeficientes de las

variables, hace que el plano sea paralelo al eje de la variable ausente.

II) ¿Qué sucede si, los coeficientes "a y b" son nulos y no los dos restantes?

dc

cz z zcz d 0 cz d 1 1 1

d C+ = = − = = =

− −

Ahora tendremos:

Cx 0 ; y 0 ; z C 1

C= = = = ( )3P 0;0;C= ∈π

El plano solamente intersecará al eje

de las cotas, con lo cual podemos afirmar que

la ausencia de dos de los coeficientes de las

variables, hace que el plano sea paralelo al

plano de las variables ausentes.

Posiciones relativas entre planos

Dos planos " α " y "β " es pueden ser paralelos, coincidentes o bien cortarse formando una

recta. En el caso de ser paralelos, los vectores asociados también lo serán, con lo que estamos en

A

●

P2

x

y

z

O B

●

P1

●

P3

x

y

z

O

C



Página 18 de 25

condiciones de afirmar que sus coeficientes (excepto el término independiente) serán

proporcionales.

Si los planos fuesen perpendiculares, caso particular de la intersección, sus vectores

asociados deben ser ortogonales.

Ángulo formado entre dos planos

Para calcular el ángulo entre dos planos

(por definición es agudo) procedemos igual

que para calcular el ángulo entre dos rectas

porque la su amplitud, será la misma que la

del ángulo que forman sus vectores

asociados. Entonces:

u varcos

u . v

•ϕ =

Posiciones relativas entre una recta y un plano

Supongamos tener en el espacio una recta "r y un plano " α ". Como se puede visualizar

más abajo, pueden adoptar tres posibles posiciones en el espacio. En el primer caso, la recta está

contenida en el plano, en el segundo es paralela y el tercero es incidente, o dicho de otra manera

lo interseca en un único punto.

/ / u / / vα β u v 0→ →

α ⊥ β • =

v

α

β

u

v

α

β

u

u

v

α

β

ϕ

ϕ



Página 19 de 25

Cuando r ⊂ α Cuando r / /α Cuando { }0r P∩ α =

Debe ocurrir que:

( )r

0 0

v v 0 y

P r P

α• =

∈ ∈α

Debe ocurrir que:

( )r

0 0

v v 0 y

P r P

α• =

∈ ∉α

Debe ocurrir que: rv v 0α• ≠

Ángulo formado entre una recta y un plano.

Para calcular el ángulo entre una recta y un plano (por

definición es agudo) hacemos un procedimiento similar

al realizado para dos rectas o bien para dos planos. La

única consideración a mencionar es que, dado que el

vector asociado a una recta es paralelo a ella y el

vector asociado al plano es normal mismo, el ángulo

que forman es complementario del que queremos

hallar. Entonces:

u v90º arcos

u . v

•ϕ = −

Ejercicios resueltos

I) El plano " "α de ecuación ax y 4z 6+ + = es perpendicular a la recta “r”, cuya expresión

vectorial está dada por: ( ) ( ) ( )12x ;y ;z 1 ; 1 ;1 1 ; ;2= − + λ , en el punto de coordenadas 0P . Se

pide:

•

P0

rv

r

vα

α

•

P0 rv

r

vα

α

•

P0

rv

r

vα

α

→

u

v

α

90º−ϕ

ϕ



Página 20 de 25

a) Calcular el valor de “a” y a partir del resultado obtenido graficar el plano "" α .

b) Hallar las coordenadas del punto 0P .

c) Hallar la ecuación del plano αβ // si además pasa por el punto ( )1;2;3A =

Resolución: a) Vamos a realizar una figura de

análisis donde se expongan los datos aportados por

el problema.

Como es posible observar en el gráfico, si la recta “r”

es perpendicular al plano "" α , debe ocurrir que los

vectores asociados a la recta y al plano sean

paralelos. Para que esto ocurra sus componentes

deben ser proporcionales.

Siendo:rv / / vα ( ) ( )

121

2

211; ,2 / / a;1,4 a 2

a 1 4 = = =

De ésta manera resulta el plano "" α : 2x y 4 6+ + = que llevándolo a la forma segmentaria

nos permitirá graficarlo.

32

2x y 4z x y z2x y 4z 6 1 1

6 6 6 3 6+ + = + + = + + =

Su gráfico es:

b) Para calcular las coordenadas de 0P debemos reemplazar la ecuación de la recta “r” en el

plano "" α para hallar el valor del parámetro "" λ . Llevando la recta a su forma

paramétrica resulta:

z

x

y

3

6

3/2

β

•

P0

rv

r

vα

αααα



Página 21 de 25

( ) ( ) ( )1 12 2

x 1

x ;y ;z 1 ; 1 ;1 1 ; ;2 y 1

z 1 2

= + λ

= − + λ = − + λ = + λ

Así tenemos que:

( ) 1 21 22 2 212x y 4z 6 2. 1 ( 1 ) 4.(1 2 ) 6 1+ + = + λ + − + λ + + λ = λ = λ =

Entonces

23221 21

201 20 2 21 21

25221 21

x 1

P y 1 .

z 1 2.

−

= + =

= = − + = = + =

( )23 20 250 21 21 21P ; ;= −

c) Si queremos encontrar un plano paralelo entonces los coeficientes del mismo deben ser

proporcionales, pero esa proporcionalidad no se debe mantener en el término

independiente, sino sería el mismo plano. Así tenemos que : 2x y 4z d 0β + + + = . Como

el plano buscado contiene al punto ( )A 3 ;2;1= , sus coordenadas deben satisfacer la

ecuación del mismo.

Así resulta: : 2.(3) (2) 4 (1) d 0 d 12 : 2x y 4z 12 0β + + + = = − β + + − =

II) a) Si los planos cuyas ecuaciones son : 2x 4y 6z 10 0α − − + − = y : x by 3z 6 0β + − + = son

paralelos. ¿Cuál debe ser el valor de “b”?

Resolución: Vamos a confeccionar una figura de análisis:

( )1 1 1u a ;b ;c=

1 1 1 1: a x b y c z d 0α + + + =

2 2 2 2: a x b y c z d 0β + + + =

( )2 2 2v a ;b ;c=



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Si los planos son paralelos sus vectores asociados también deben serlo, por lo que podemos

afirmar que: Los coeficientes de uno de ellos deben ser proporcionales a los respectivos

coeficientes del otro.

Así tenemos que:

( ) ( )

2 2

2 4 6 4u 2; 4;6 / / v 1;b; 3 2 b 2

1 b 3 b− −

− − −= − − = − = = = − =

−

b) Hallar las coordenadas del punto de intersección entre el plano "β " y la recta “r” que

contiene a los puntos ( )A 1; 1;0= − y ( )B 5;1;2= .

Resolución:

Para hallar la intersección entre la recta y el plano vamos a expresar previamente la recta en

forma vectorial y luego paramétrica.

Como la recta contiene a los puntos "A" y "B" tenemos que:

Además: ( )AB B A 4;2;2→ → →

= − =

Luego: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

Punto devector ABla recta

r : x ;y;z x ;y ;z t. a;b;c 1; 1;0 t. 4;2;2

→

= + = − +

Que en forma paramétrica es

x 1 4t

r : y 1 2t

z 2t

= +

= − + =

Reemplazando en : x by 3z 6 0β + − + =

: (1 4t) 2.( 1 2t) 3.(2t) 6 0 1 4t 2 4t 6t 6 0β + + − + − + = + − + − + =

De donde se obtiene: 52t = −

Por lo tanto, reemplazando en la expresión de r, resulta:

( )

( )( ){ }

52

52

52

x 1 4. 9

y 1 2.( ) 6 r 9; 6; 5

z 2. 5

= + − = −

= − + − = − ∩β = − − − = − = −

A

B



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III) Dada la recta de ecuación x 1 y 2 z 1

2 3 4

− − −= = . Se pide:

a) Hallar la ecuación del plano perpendicular a ella que pasa por el punto ( )12A 2 ; 2 ;= .

Resolución: Previamente, vamos a trasladar la ecuación de la recta a forma vectorial para

poder visualizar el vector asociado a la misma.

Igualando al parámetro “t” resulta:

( ) ( ) ( )vectordirector

x 2t 1x 1 y 2 z 1

t y 3t 2 x;y ;z 1;2;1 t 2;3;42 3 4

z 4t 1

= +− − −

= = = = + = + = +

Como el plano responde a la ecuación: ax by cz d 0+ + + = , donde ( ) ( )v 2;3;4 a;b;c= =

Luego: 0dz4y3x2 =+++

Como el plano pasa por el punto A

resulta:

122.2 3.2 4. d 0 d 12+ + + = = −

Entonces el plano buscado responde a la

ecuación: 2x 3y 4z 12 0+ + − =

b) Representarlo gráficamente y analizar si el punto ( )1;2;1P0 −= pertenece a él.

Resolución: Para representar gráficamente al plano, es necesario llevar su ecuación a la

forma segmentaria. La misma es 1C

z

B

y

A

x=++ donde A, B y C indican las respectivas

intersecciones con los ejes cartesianos.

Como: 12

12

12

z4

12

y3

12

x212z4y3x2012z4y3x2 =++=++=−++

Resulta: 13

z

4

y

6

x=++

● ( )2

1;2;2A =

( )v 2;3;4=



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Ello significa que el plano interseca a

los ejes “x”, “y” y “z” en 6, 4 y 3

unidades respectivamente.

Graficando tenemos

Nota: la gráfica no se encuentra necesariamente

en escala sino que es ilustrativa

A los efectos de analizar si el punto ( )1;2;1P0 −= se encuentra en el plano, es preciso

hacerlo en forma analítica. Para ello vamos a ver si sus coordenadas satisfacen la ecuación

del plano. Reemplazando en ella tenemos que:

23

1 2 11

6 4 3

−+ + ≠ . Ello nos permite afirmar que el punto P0 no pertenece al plano en cuestión.

IV) hallar la ecuación de la recta intersección entre los planos siguientes:

: x y 2z 4

: 2x y z 5

α + − =

β − + =:

Resolución:Los planos no son paralelos. Ello lo podemos afirmar porque sus respectivas

componentes no son proporcionales.

Para encontrar la recta intersección procedemos así:

Despejamos una misma incógnita de cada uno de los planos dados, por ejemplo “y” para

luego igualar.

: y 4 x 2z4 x 2z 2x z 5 z 3x 9

: y 2x z 5

α = − + − + = + − = −

β = + −

Con ésta primera relación, reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones:

( ): y 4 x 2. 3x 9 y 14 5xα = − + − = − +

Como podemos observar, todas las variables dependen del valor de “x”.

( ) ( ) ( ) ( )x; y; z x ; 14 5x; 3x 9 x ; 5x; 3x 0 ; 14; 9= − + − = + − −

A partir de las operaciones con vectores ya vistas, podemos escribir:

( ) ( ) ( )x; y ; z x . 1 ; 5; 3 0 ; 14; 9λ

= + − −

y

x

z

6

4

3



Página 25 de 25

Con ello, resulta la ecuación de la recta intersección entre los planos. La misma está dada

por:

( ) ( ) ( )x; y; z 0 ; 14; 9 . 1 ; 5; 3= − − + λ

Para poder verificar que la respuesta es correcta, basta con tomar cualquier punto de ella y

dicho punto debe satisfacer la ecuación de los planos que le dieron origen.

Nota: La respuesta fue lograda a partir de igualar las variables “y”. Si lo hubiésemos hecho con cualquiera de

las otras dos variables, la respuesta hubiese sido la misma, pero escrita en función de la variable elegida como

independiente.

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