Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008

Tema 9: SOLICITACIONES COMBINADAS

T

x

y

z

L

Mz

My

N

Vy

Vz

Problemas

9.1.-En la viga de la figura calcular por el Teorema de los Trabajos Virtuales: 1) Flecha en C 2) Giro en B

Datos: IPE-180, E = 2,1.105 N/mm2

9.2.-Resolver la hiperestaticidad de la viga de la figura aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales 9.3.-Calcular aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales el alargamiento total de la barra de la figura Datos: E = 2.105 N/mm2

Solución:

4 cm 2

2 cm 2

1 cm 2

2 m

2 m

2 m

4 m

20 kN

10 kN

20 kN

A B 1 m 3 m

C

5,4 0,0045 ( )C By mm rad antihorarioθ= ↓ =Solución:

25 15 20 .A B AR kN R kN M kN m= = =Solución:

A B

4 m

10 kN/m

1,67 argL mm se al a∆ =

9.4.-En la barra de la figura calcular las reacciones en los empotramientos utilizando el Teorema de los Trabajos Virtuales 9.5.-La estructura articulada de la figura está formada por dos barras del mismo material y de la misma sección. Determinar, aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales, el desplazamiento vertical y horizontal del nudo C. Datos: perfil hueco redondo de acero conformado: Φ 40.4, E = 2.1x105 N/mm2 9.6.-En la viga de la figura calcular aplicando el Teorema de Castigliano y el Teorema de los trabajos Virtuales:

1) Flecha y giro en B 2) Flecha y giro en C

Datos: E = 2,1.105 N/mm2 , IPE-220

x

1,5 m

1,5 m

A

B

C

y

80 kN

30º

30º

A

10 kN

15 kN.m

5 kN/m

C B 1 m 1 m

A O B OT T T T= =Solución:

5,1 0C Cy mm x= ↓ =Solución:

)(0096,012,1)1 horarioradcmy BB =↓= θ)(006,032,0)2 horarioradcmy CC =↓= θ

Solución:

To To

A B

L/3 L/3 L/3

9.7.-En la estructura de nudos articulados de la figura, el apoyo B sufre un asiento vertical de ∆∆∆∆= 2 cm, se pide calcular el desplazamiento vertical del nudo C. Datos: A(1) = 6 cm2 , A(2) = 18 cm2 , E= 2.105 N/mm2 150 kN 9.8.-En la estructura de la figura se pide calcular: 1) Las reacciones en los apoyos 2) Desplazamiento horizontal de B Datos: viga y pilar : IPE-300, E =2,1.105 N/mm2 Solución:

9.9.-La viga de la figura tiene un cable de sujeción en C. Se pide calcular las reacciones en los apoyos y el esfuerzo en el cable. Datos: viga: IPE-240, cable: Φ=8 cm, E =2,1.105 N/mm2

C

3 m (1) (2) 4 m

A B ∆=2 cm

5 m

B A 3 m

10 kN/m

1 m

2,5 m

C

6, 2Cy mm= ↓Solución:

23,274 17,791 . 12,03 4,696A A BR kN M kN m R kN T kN= = = =Solución:

A B

C

4 m

3 m

10 kN/m

2,164 , 22,604 , 16,908 . ( )

2,164 , 17,396 2) 0,008A A A

C C HB

H kN V kN M kN m anti horario

H kN V kN mmδ= → = ↑ = −

= ← = ↑ = ←

9.10.-La ménsula ABC tiene su eje situado en un plano horizontal. Está formada por dos barras de sección circular, acodadas a 90º y está sometida a la carga vertical en C de 20 kN. Se pide:

1) Tensiones normales y cortantes máximas, indicando sección y puntos donde se darán

2) Desplazamiento vertical de C Datos: Φ=14 cm., E =2,1.105 N/mm2, G =8,1.104N/mm2 Nota: para el cálculo del apartado 2º se despreciará el efecto de las fuerzas cortantes Vy. 9.11.-En el pórtico de nudos rígidos de la figura se pide calcular:

1) Diagramas de solicitaciones de las barras 2) Dimensionamiento a resistencia de las secciones de las barras empleando un

criterio plástico (Utilizar perfiles IPE y se pondrá el mismo perfil para todas las barras)

3) Giro de la sección B Datos: E= 2,1.105 N/mm2, fy = 275 N/mm2; coeficiente de minoración del material: γγγγM =1,1; coeficiente de mayoración de cargas: γγγγ =1,35 Nota: Los pilares se encuentran arriostrados

Solución:

C

2 m

50 kN

A

C

B

D

4 m

2 21) 148,5 / 38,83 / 2) 2,8máx máx CN mm N mm y cmσ τ= = = ↓Solución:

)(10.78,3)3300)2 3 oantihorariradIPE B−=− θ

50 kN 100 kN.m

100 kN.m

25 kN

50 kN

25 kN 25 kN

N Vy M z

+

+ - +

- +

+

A B 2 m

1 m 20 kN

9.12.-Una pieza poco esbelta, empotrada en su extremo inferior y libre en el superior, está sometida en su extremo superior a una carga excéntrica de compresión de 50 kNtal y como se indica en la figura. Se pide:

1) Tensiones en los puntos: a, b, c y d de la sección de empotramiento. 2) Posición del eje neutro en la sección de empotramiento. 3) Indicar si la carga excéntrica está actuando dentro o fuera del núcleo de la

sección. 4) Desplazamientos en x, y, z, del centro de gravedad de la sección superior de la

pieza. Datos: E= 2,1.105Nm2 z

9.13.-Dos poleas A y B están montadas sobre un eje tal y como se ve en la figura. Se pide calcular:

1) Tensiones normales y cortantes máximas. Indicar las secciones y puntos donde se darán

2) Flecha en B Datos: d(eje) = 6,35 cm, D(poleas) = 61 cm , E= 2,1.105 kN/mm2 Nota: No se tendrá en cuenta el cálculo a fatiga B

4,106 kN

1,13 kN 4,106 kN 1,13 kN

A B

C D

0,61 m 0,61 m 0,254 m

50 kN x

y

c d

a b

2,5 cm

80 cm

15 cm

20 cm

1,25 cm

Solución:

2 2 2 21) 0,417 / 1,25 / 3,75 / 2,08 /a b c dN mm N mm N mm N mmσ σ σ σ= = − = − = −centralnúcleodelfueraestáaclacmzcmy nn arg)333,1315)2 −=−=

cmcmcm zyx334 10.9,110.7,110.35,6)4 −−− === δδδ

2 21) 68,82 / 19,16 / 2) 0,118máx máx BN mm N mm y cmσ τ= = =Solución:

9.14.-En la marquesina de la figura se pide calcular: 1) Diagramas de esfuerzos 2) Dimensionamiento a resistencia de la sección de la viga y el pilar, utilizando un

criterio plástico 3) Desplazamiento vertical y horizontal del extremo derecho de la viga

Datos: viga: IPE, pilar: HEB, E= 2,1.105 N/mm2, fy = 275 N/mm2; coeficiente de minoración del material: γγγγM =1,1; coeficiente de mayoración de cargas: γγγγ =1,35. El pilar está arriostrado Nota: En el cálculo del apartado 3º se despreciará el efecto de las fuerzas cortantes Vy

20 kN/m

5 kN/m

50 kN

3 m

3 m

1 m

2) 400 280

3) 6,64 2,69

viga IPE pilar HEB

cm cm

→ − → −

↓ →

Solución:

_ 130

A

N

A

Vy

110

50

15 +

+

20

A

240

230

252,5

10

_

_

Mz

9.15.-En el pilar de la figura, se pide: A.-Considerando que la curva elástica es producida sólo por las cargas laterales, calcular:

1) Ecuación de momentos flectores y momento flector máximo 2) Ecuación de la elástica 3) Flecha máxima 4) Comprobación a resistencia de la sección con criterio elástico

B.-Considerando que la elástica producida por las cargas laterales se amplifica por la carga de compresión, calcular:

1) Ecuación de la elástica 2) Flecha máxima 3) Ecuación de momentos flectores y momento flector máximo 4) Comprobación a resistencia de la sección con criterio elástico

Datos: fy = 275 N/mm2 ; γγγγM = 1,1; γγγγ = 1,5; E = 2,1.105 N/mm2; HEB-200

0 0

3

0 0

**

, ,

. 1) 10. 60 . ( 6 )

10. 60.

32) 3) 11,6 ( 3,4 )11961,6

4) : 0,83 1 .( )

. 1) 0,244. (0,158. ) 0,033. 2) 12,7 (

Z Z MAX

MAX

z

pl d zpl d

MAX

A M x M kN m en x m

x xy y mm en x m

MNa resistencia sí cumple También a cortadura

N M

B y sen x x y mm e

− = − = − =

−= = =

+ = ≤ →

− = − + =

**

, ,

3,4 )

3) 10. 300.( 0,244. (0,158. ) 0,033. )

60 . ( 6 )

4) : 0,83 1 .( )

Z

Z MAX

z

pl d zpl d

n x m

M x sen x x

M kN m en x m

MNa resistencia sí cumple También a cortadura

N M

== − + − +

= − =

+ = ≤ →

Solución:

z

y

F=300 kN

60 kN.m

6 m

9.16.-En el pilar de la figura, se pide: A.-Considerando que la curva elástica es producida sólo por las cargas laterales, calcular:

1) Momento flector máximo 2) Ecuación de la elástica. Flecha máxima

B.-Considerando que la elástica producida por las cargas laterales se amplifica por la carga de compresión, calcular:

1) Ecuación de la elástica. Flecha máxima 2) Momento flector máximo

Datos: E = 2,1.105 N/mm2

Solución:

y

z

6 m

F=200 kN

12 kN/m

Perfil: HEB-200 12 kN/m

z

y

4 30 0 0max max

2

max

max

0,5. 6. 108.:1) 54 . 2) 1,7

11970

:1) 1,465. (0,129. ) 3,593.cos(0,129. ) 0,03. 0,1796. 3,593

1,83

2) 57,66 .

z

z

x x xA M kN m y y cm

B y sen x x x x

y cm

M kN m

− += = → =

= + + − −→ =

=