Coherencia formal

y

Variedad formal

La Simetra

Isometra

Homeometra

Catametra

Ametra

Singeometra

Heterometra

Podemos caracterizar conjunto de objetos en :

Isometra

Iso = Idntico

son isomtrico o isomorfos los sistemas que tienen la misma forma, misma dimensin,

misma relativa posicin en el espacio.

Relacin de igualdad de una forma con otra

A A

Singeanometra cingere = transformar

Relacin que dice respecto de una

distorsin de la forma

proceso en donde las formas que lo constituyen son una transformacin sucesiva de formas

parecidas a fin

A A

Catametra

sistemas y sus elementos cuyas formas tienen caractersticas iguales y caractersticas diversas

Relacin que dice respecto a una semejanza interfigural, con elementos de pertenencia a una

familia

Abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

Heterometra

sistemas y sus elementos carentes de afinidad o coherencia, pero que poseen

congruencia u orden para integrar un todo

Figuras congruentes

No son congruentes

porque no tienen la

misma forma.

No son congruentes

porque no tienen la

misma dimensin

ISOMORFISMOS

Teoria de la Simetra, Redes, Combinatoria y Manejo

Formal

Qu tiene que ver las

matemticas con el manejo

formal?

Matemticas es el estudio abstracto de las formas

Definicin de simetra

La simetra es una propiedad que existeasociada a un cambio en un objeto.

Las operaciones simtricas pueden sercentrales , cuando se realizan respecto a un

punto,

o axiales, cuando se realizan respecto a uneje.

Aproximacin al concepto

En la naturaleza las mariposas y los escarabajos son seres vivos simtricos

Basndonos en sta observacin de la realidad podemos entender la simetra como lo que se repite,

como la transformacin de un objeto determinado en

otro que es idntico a aqul del cual se desprende y

con el cual mantiene, por ende, una relacin.

Qu es simetra en general?

Un figura es simtrica si es construida desde sus partes relacionadas.

Una conformacin de figuras en un plano tiene simetra si existe una isometra de

ese plano que conserve el motivo o

modelo.

Qu es una isometra?

Una isometra del plano es un trazado que conserva distancia y forma.

Simetra en la msica

Simetra central

La simetra central es aquella que permite ubicarpuntos a la misma distancia de un punto (quellamamos centro de simetra) y que se encuentrancontenidos en la misma recta.

Utilizando simetra central podemos dibujar

Un punto simtrico a P.

Una recta simtrica a AB

Una figura simtrica a otra dada.

Dibujar un punto simtrico a P

Se dibuja un punto P cualquiera

Tambin se escoge libremente el centro de

simetra C.

Se une P con C y se establece una recta PC

Con auxilio de un comps o una regla se mide la

misma distancia del segmento PC sobre la

prolongacin de la recta y se marca el punto

simtrico P

Simetra axial

Un punto es simtrico respecto a una recta , que llamamos eje de simetra, cuando existe otro punto

llamado punto simtrico a la misma distancia del

eje medida sobre una perpendicular.

Utilizando simetra axial podemos construir:

un punto simtrico de A con respecto a un eje de simetra S

recta simtrica a AB respecto al eje se simetra S.

la figura simtrica ABCD con respecto al eje de simetra S

OPERACIONES / TRANSFORMACIONES O MOVIMIENTOS

Cuatro de tipos de isometrias

en el plano Traslacion

Reflexion

Rotacin

Reflexin Glide

Operaciones

Traslacin

Una traslacion mueve un objeto o figura a una distancia determinada y en

direccin determinada

Reflexin

Una refleccin se produce a travs de un eje de reflexin.

Rotacin

Una rotacin tiene un centro de rotacin y un ngulo de rotacin.

rotation N-posiciones

n = 360o/siendo un numero entero, entonces

nosotros llamamos a la rotacin de

acuerdo a

rotacin con n-posiciones u orden de

rotacin

Simetra Rotacional

606

1203

1802

Symmetry RegionsFigureAngle of

Rotation

Order of

Rotation

Reflexin Deslizada (Glide)traslacin + reflexin

Una reflexin Glide es una combinacin de reflexion y una

traslacin

Plano de deslizamiento

El plano de deslizamiento realiza

simultneamente dos operaciones:

Refleja la imagen

Traslada la imagen a intervalos de media traslacin.

Simetra Sumaria

Simetra en el plano

El modelo en un plano tiene simetra si es una isometra del plano que lo preserva.

Hay tres tipos de modelos de simetras.

Rosetas - constructo finito

Bandas o franjas

Planos bidimensionales

Rosetas

Teorema de Leonardo: Hay dos tipos deconfiguraciones de rosetas:

Cn, Que tiene simetra rotacional de ordenn y no tiene reflexin.

Dn, Que tiene simetra rotacional deorden n y tiene reflexin.

Ejemplos de rosetas

Franjas

Las franjas tienen principalmente una operacin de simetra de Traslacin en

una direccin.

Imaginamos que pueden ser infinitos en ambas direcciones

Los 7 grupos de simetra

unidireccional: franjas T

Glide

TS

T/S

R

TS/S

TSG

A) Reflexin vertical + traslacin (F3)

B) Giro 180 + traslacin (F5)

C) Giro 180+ reflexin horizontal + traslacin (F6)

Los 17 grupos en el plano bidimensional

Los 17 tipos de simetra en el

plano

Ejemplos de los 17 grupos

Red rmbica (a=b g 90, 60, 120)

Red rectangular (a b g =90)Red oblicua (a b g 90)

Red cuadrada (a=b g =90)Red hexagonal (a=b g =60, 120)

Grupo plano p1: p como indicativo de primitivo y

1 como indicativo de no simetra.

El dominio completo coincide con el motivo y, por tanto,

su multiplicidad es 1.

Grupo plano p2: p como indicativo de primitivo y

2 como indicativo de eje binario de simetra.

La multiplicidad del dominio complejo es 2

ya que la simetra genera duplicidad del motivo.

Grupo plano pm: p como indicativo de primitivo y

m como indicativo del plano de simetra.

La multiplicidad del dominio complejo es 2

ya que la simetra genera duplicidad del motivo.

Grupo plano pg: p como indicativo de primitivo y

g como indicativo del plano de deslizamiento.

La multiplicidad del dominio complejo es 2

ya que la simetra genera duplicidad del motivo.

Grupo plano pmm (p2mm): p como indicativo de primitivo y

dos m como indicativo de planos de simetra mutuamente perpendiculares.

Los planos de simetra llevan implcitos la aparcicin de ejes binarios.

La multiplicidad del dominio complejo es 4.

Grupo plano pmg (p2mg): p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de

tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento). Esto hace que los ejes de simetra no

se encuentren en la interseccin sino desplazados, a lo largo del plano de

deslizamiento, a mitad de la componente desplazamiento. El origen de la celda se toma sobre un eje binario. La multiplicidad del dominio complejo es 4.

Grupo plano pgg(p2gg): p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares

de deslizamiento. Esto hace que los ejes de simetra no se encuentren en la interseccin

sino desplazados, a lo largo de cada plano de deslizamiento, a mitad de la componente

deslizamiento. El origen de la celda se toma sobre un eje binario. La multiplicidad del dominio complejo es 4.

Grupo plano cm: c como indicativo de la operacin de centrado y m como indicativo

del plano de simetra. La operacin de centrado lleva implcita la existencia de un plano de deslizamiento. La multiplicidad del dominio complejo es 4.

Grupo plano cmm (c2mm): c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de

planos de simetra mutuamente perpendiculares. La operacin de centrado lleva

implcita la existencia de planos de deslizamiento. La multiplicidad del dominio

complejo es 4. Los planos de simetra, ordinarios y de deslizamiento, llevan implcitos

la aparcicin de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos, no de distintos. La multiplicidad del dominio complejo es 8.

Grupo plano p4: p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario

de simetra. Los ejes cuaternarios generan la aparcicin de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios. La multiplicidad del dominio complejo es 4.

Grupo plano p4mm: p como indicativo de primitivo, 4 como indicativo de eje

cuaternario de simetra y m como los planos de simetra que contienen a dichos ejes.

Los ejes cuaternarios generan la aparcicin de ejes binarios intercalados entre los

cuaternarios, y toda la simetra genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda. La multiplicidad del dominio complejo es 8.

Grupo plano p4gm: p como indicativo de primitivo, 4 como indicativo de eje

cuaternario de simetra, g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetra. La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p3: p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de

simetra. Los ejes ternarios generan la aparcicin de otros ternarios en el centro de

los dos tringulos equilteros que conforman la celda. La multiplicidad del dominio complejo es 3.

Grupo plano p3m1: p como indicativo de primitivo, 3 como indicativo de eje ternario

de simetra y m como plano de simetra en la diagonal mayor del rombo. Se genera alternancia de planos de deslizamiento. La multiplicidad del dominio complejo es 6.

Grupo plano p6: p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetra.

Se generan ejes ternarios en los centros de los tringulos equilteros conformadores y ejes

binarios en los centros de los lados de dichos tringulos. La multiplicidad del dominio

complejo es de 6.

Grupo plano p6mm: p como indicativo de primitivo, 6 como indicativo de eje senario de

simetra y m de los planos de simetra que los contienen. Se generan ejes ternarios en

los centros de los tringulos equilteros conformadores, ejes binarios en los centros

de los lados de dichos tringulos y planos de deslizamiento alternantes. La multiplicidad del dominio complejo es de 12.

Reflexin Horizontal

Reflexion Vertical

Rotacin orden 2

reflexin Horizontal y vertical

reflexion Glide y reflexin

vertical

reflexin Glide

TeseladoRegular

TeseladoSemirregular

Pozzos ceiling (1694) and cupola (1685) in St. Ignatius, Rome

Lau Pa Sat

Fullerton Hotel

Patterns en el arte Islamico

Isfahan, Iran, end of 15th century

Patterns en la Plaza Singapore