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Tarea departamental # 2 de Cálculo Multivariado Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas

Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte

OPTIMIZACIÓN

1. Determine las ecuaciones de los planos

tangentes al gráfico de la función 22 y-x-16=)y,x(f en los puntos (0,0)

y (1,1). Ilustre gráficamente sus resultados

2. Calcule usando la aproximación lineal (o sea, el plano tangente), el valor aproximado de 32 cos59 sen .

Sugerencia: Visualice la expresión como (30 2 ) cos(60 1 )sen y considere la

función ( , ) cosf x y senx y . 3. Determine el polinomio de Taylor de

orden 2 alrededor del punto ( , ,0)2

para la función 2

3:

( ) ( ) cos( )

z

f

f x e sen x y

4. Encontrar el punto más cercano al origen

sobre la curva de intersección de el plano x + y + z = 1 y el cono z2 = 2x2 + 2y2

5. Una productora de leche desea

comercializar su producto en paquetes de cartón con base cuadrada y lados rectangulares. Minimiza la función costo dependiente de las dimensiones de los lados de la base x y de la altura y . Dicha función es la siguiente:

2( , ) 12 16C x y x xy Asume además la condición de que cada envase debe contener 10 decímetros cúbicos. Utiliza multiplicadores de Lagrange.

6. Se desea construir una caja rectangular cerrada, fabricada con diferentes materiales, de tal forma que le quepan 63 litros de un aceite industrial. Si los costos de material de la tapa y de la base son de 300 y 400 pesos por cada metro cuadrado, respectivamente, mientras que el de las paredes laterales es de 150 pesos por metro

cuadrado, calcule las dimensiones y el costo de la caja más económica posible, sin utilizar el método de multiplicadores de Lagrange.

7. La producción total P de cierto producto

depende de la cantidad L de mano de obra empleada y de la cantidad K de capital invertido. El modelo de Cobb-Douglas

1P bL K se sigue de ciertas suposiciones económicas, donde b y son constantes positivas y 1 . Si el costo por unidad de mano de obra es m y el costo por unidad de capital es n y la compañía solo puede gastar p dólares como su presupuesto total, entonces el maximizar la producción P está sujeto a la restricción mL nK p . Demuestre que la máxima producción se obtiene cuando

pLm

y (1 ) pK

n

.

8. Distribución de la producción. Una empresa fabrica dos productos los cuales deben procesarse en los departamentos 1 y 2. El producto A requiere 3 horas por unidad en el departamento 1 y 4 horas por unidad en el departamento 2, mientras que para el producto B se necesitan 2 horas por unidad en el departamento 1 y 6 horas por unidad en el departamento 2. La capacidad de trabajo semanal es de 120 horas para el departamento 1 y 260 horas para el departamento 2. El margen respectivo de utilidad es de $50 por unidad del producto A y $60 pesos por unidad del producto B. Determinar el número de unidades que hay que fabricar de cada producto, con objeto de maximizar la aportación total a los costos fijos y a las utilidades. Sugerencia: Asocie las variables ,x y al número de unidades fabricadas y vendidas respectivamente, de los productos A y B.

9. La temperatura Celsius T en un punto ( , , )x y z de la esfera con centro el origen y

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de radio uno, viene dada por 2( , , ) 10T x y z xy z . Halle los puntos de

la esfera en los que la temperatura es máxima y los puntos en que es mínima. Calcule la temperatura en cada uno de esos puntos.

10. Una empresa fabrica tres productos

distintos. La fabricación de , ,x y z miles de unidades, respectivamente, le reporta unos beneficios de ( , , ) 4 8 6 P x y z x y z miles de euros. Ciertas limitaciones del proceso de producción imponen la restricción 2 2 24 2 800 x y z . Calcular

el máximo beneficio posible para esa empresa.

11. Dieta nutricional: Un dietista está planeando el menú de la cena de un comedor universitario. Se servirán tres alimentos principales, todos ellos con diferente contenido nutricional. El dietista quiere suministrar por lo menos la ración mínima diaria de las tres vitaminas en la cena. En la tabla se sintetiza el contenido vitamínico por onza de cada tipo de alimento, el costo de una onza de cada alimento y la ración diaria mínima de las tres vitaminas. Puede seleccionarse cualquier combinación de los tres comestibles con la condición de que el tamaño de la porción total sea de 9 onzas por lo menos.

Vitamina Alimento 1 2 3 Costo por onza $ 1 50mg 20mg 10mg 10 2 30mg 10mg 50mg 15 3 20mg 30mg 20mg 12 Ración diaria mínima 290mg 200mg 210mg El problema radica en determinar el número de onzas de cada alimento que habrá de incluirse en la cena y el objetivo es minimizar el costo de cada alimento a fin de satisfacer las raciones diarias mínimas de las tres vitaminas, así como la restricción impuesta al tamaño de cada porción.

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

12. Calcule las siguientes integrales:

b) 12

0 0

( cos 2)y x dydx

d) 2 0,1 0,1 xy

Q

x ye dxdy Q

a)0 2

1 1

( log )x y dydx

b) 2

3

1

0

x

x

ydydx

c) 1

0 1

( )xe

x y dydx

1 1

2 20 0 1

xy dxdyx y

1 , [1, 2] [0,1]R

Rx y

13. Resuelve la integral 1 1

0

x

x

ye dy dx de

dos maneras diferentes usando diferentes órdenes de integración.

14. Calcula el volumen entre la

esfera 2 2 2 4x y z y el paraboloide

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2 2z x y . Utiliza coordenadas cilíndricas.

15. Realiza la integral triple de la función

2

cos( )( , , )1

z yzf x y zx

en el

paralelogramo , 0, 0,14 2 2

.

16. Dibuje la región de integración

R asociada a las siguientes integrales, después escriba la integral iterada correspondiente si se intercambia el orden de integración.

a)

12 20.5(4 )2

2 0

( , )

x

dx f x y dy

b) 1 10 (10 ) /9

0 0 1 0( , ) ( , )

x xdx f x y dy dx f x y dy

17. Encuentra el volumen limitado por los planos 0, 0, 0x y z y 1x y z

18. Expresa la integral triple xyzdV

en coordenadas cilíndricas, donde 2 2{( , , ) : 3 ,1 3}x y z x y x z .

Para determinar límites de integración utiliza que cos( / 3) cos( / 3) 1/ 2 . No evaluar la integral.

19. Evaluar la siguiente integral cambiando a coordenadas polares :

1

1

2

2

1

1

22 )1ln(x

x

dydxyx

20. Halle el volumen del sólido que se

encuentra debajo del paraboloide 2 2z x y y arriba de la región

delimitada por la recta 2y x y la parábola 2.y x

21. Utiliza coordenadas cilíndricas para calcular el volumen de una media naranja de radio 2. Asume que las media naranja esta centradas en (0,0,0) y se encuentran en la región 0.x

22. Hallar el volumen del cuerpo en 3

limitado por las superficies indicadas. a) 2 2 , 1 z x y z b) 2 26, 1, 0, 0, 0 x y z x y x y z c) 2 2 2 2 2 1/ 22 3 6, (2 3 ) , 0 x y z z x y z

23. Demuestra usando integración múltiple que el volumen de la esfera de radio r es

343r .

24. Demuestra usando integración múltiple

que el volumen del cono de altura h y radio

r en la base es 213r h .

25. Demuestra usando la integral de arco que

la longitud de la circunferencia de radio r es 2r .

26. Determina las coordenadas cilíndricas del

punto (2,1,1)

27. Escribe la ecuación del cono 2 2 2 2( ) z a x y en coordenadas

esféricas.

28. Determina las coordenadas cartesianas del siguiente punto dado en coordenadas

esféricas; (2, , )2 2

29. Escribe la ecuación de la esfera

x2+y2+z2=r2 en coordenadas cilíndricas.

30. Para la flor mostrada en la figura, dada en coordenadas polares por 1 sin(4 )r t , calcula el área de en un pétalo.

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31. Utilizando coordenadas cartesianas,

calcular el volumen del sólido que es acotado arriba por el cilindro z = 4 – x2 , a los lados por el cilindro x2 + y2 = 4 , y abajo por el plano xy.

32. Evaluar la siguiente integral doble :

2

0

dydxsenxyyx2

22

Ojo ¡ : La integral no es inmediata ¡

33. Intercambia el orden de integración en la siguiente integral. No se necesita evaluar.

2

2 4

1( , )

yf x y dxdy.

CAMPOS VECTORIALES

34. Calcule la divergencia y el rotacional

asociado al siguiente campo vectorial: 2 2 3( , , ) ( , , )

F x y z xyz x y z yz

35. Demuestre que si es una función escalar

con segundas derivadas continuas entonces el rotacional del gradiente de es el vector cero; es decir, ( ) 0

.

36. Demuestre que si en el campo vectorial

1 2 3( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))F x y z F x y z F x y z F x y zsus componentes tienen segundas derivadas continuas, entonces la divergencia del rotacional de

F es cero; es

decir, ( ) 0 F .

37. Haz la integral de línea del campo:

2( , ) (2 , 1)F x y xy x .

38. Demuestra que considerando 2:f , entonces la integral del

campo vectorial ,f fVx y

a lo largo

de una curva cerrada que encierre una región donde todas las parciales de segundo orden estén definidas y sean continuas es cero.

39. Demuestra que la integral del campo

( , , )F z y x z y x a lo largo de la frontera del triángulo formado por los puntos (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) es igual a 2 3 veces el área del triángulo.

40. Hallar la masa total de una lámina cuadrada de longitud 2, cuya masa en el punto P es proporcional al cuadrado de la distancia de P a la esquina inferior izquierda. Encuentra el centro de masa de la lámina.

41. Considera el campo vectorial

43( , , ) ( , ,1)

4xF x y z x y y la curva

2 3( ) ( , , )c t t t t . Calcula el trabajo de t=1 a t=2.

Indica qué es un campo conservativo y da un ejemplo de uno de dichos campos.