Esperanza matemática Marzo 11-2013.

Ejemplo:

Sea x el tiempo que se tardan en atendernos en el banco Chafaamex, otra variable aleatoria con

distribución

¿En promedio cuanto tiempo se tardan en atender a los clientes en el banco?

Solución: La variable es continua

Ejemplo 2:

Ciertas mediciones codificadas del diámetro de avance de la cuerda de un ajuste tienen la

densidad de probabilidad

Determinar el valor esperado de esta variable aleatoria

Solución: La variable es continua

Valor esperado de lo que sea

Ejemplo:

El número de hijos en un edificio de departamentos

X 0 1 2 3 4

f(x)

Apoyo económico del Gobierno por número de hijos

Encuentre el apoyo promedio para las familias de ese edificio.

Solución:

Ejemplo 2:

Sea x una variable aleatoria con distribución

X 3 5 7

f(x)

Valor esperado de lo que sea 13-Marzo-2013.

Ejemplo 1.

Sea x una variable aleatoria con distribución

X 3 4 5

f(x)

Ejemplo2:

Sea x una variable aleatoria con distribución

X -2 -1 0 1 2

f(x)

Teorema

El valor esperado es una transformación lineal, i.e, E[ax+b]=aE[x]+b

Demostración

i) Sea x una variable aleatoria discreta. Sea f(x) una función de probabilidad

ii) Sea x una variable aleatoria continua. Sea f(x) una función de probabilidad

Corolario

E[b]=b

Ejemplo:

Sea x una variable aleatoria discreta con distribución

X -2 -1 0 1 2

f(x)

Encuentre:

Desviación estándar, Varianza. 14-Marzo-2013.

Definición:

Sea x una variable aleatoria. Sea f(x) una función de probabilidad. Se define la varianza de x,

denotada por Donde:

A la raíz cuadrada de la varianza le llamaremos desviación estándar, denotada por

Ejemplo 1:

Sea x el número de veces por semana que se cae el sistema en el SAES, una variable aleatoria con

distribución:

X 0 1 3 5 10

f(x)

Encuentre el número de veces que esperamos se cayera el sistema la próxima semana y la

desviación estándar de x.

Ejemplo2:

La variable es discreta. Número de niños por departamento con distribución siguiente:

X 0 1 2 3 4

f(x)

Para interpretar construimos un intervalo:

¿ ¿Cuál es el intervalo? ¿Qué significa…?

…Es donde se localizan el mayor número de datos.

X 0 1 2 3 4

f(x)

El intervalo real = (0,4)

Observación: La desviación estándar nos sirve para crear el intervalo en donde se localizan la

mayoría de los datos dado por . Para dar un intervalo real, en el límite

inferior tomaremos la parte entera y para el límite superior el siguiente entero.

Teorema:

Demostración:

Nota: No se pueden obtener números negativos. El valor mínimo que podría tomar es cero.

Ejemplo 3:

El tiempo que se tardan en un verificentro es una variable aleatoria continua con distribución:

Encuentre la desviación estándar.

Lunes 01 de abril 2013

Ejemplo: Sea x el número de niños por departamento en un edificio con distribución

X 0 1 2 3 4

F(x) 1/11 2/11 4/11 3/11 1/11

Encuentre:

i) σ

ii) µ3

Solución:

La variable es discreta

¿P(Ω)= 1?

=

Existen en promedio 2 niños por departamento

Por cada departamento tienen entre 1 y 4 niños.

Disimetria de la estadística: Indica hacia donde se cargan los datos

Aquí solo interesa el signo, el resultado numérico no.

Tomamos estos datos a partir del promedio, en este caso es 2.

X 0 1 2 3 4

F(x) 1/11 2/11 4/11 3/11 1/11

Significa que hay mas de dos niños por departamento, se carga hacia 4 niños

Definición.-

Sea una variable aleatoria. Sea f(x) una función de probabilidad.

Se define como DISIMETRIA de una estadística al tercer momento, su signo algebraico de este

La estadística es POSITIVAMENTE DISIMETRICA

La estadistica es NEGATIVAMENTE DISIMETRICA

La estadística es SIMETRICA

La disimetría de una estadística nos indica hacia donde están cargados los datos

Observación:

entonces

Miércoles 10 abril 2013

DISTRIBUCIONES ESPECIALES DE PROBABILIDAD

Definición.- Sea x una variable aleatoria

Se dice que x tiene una DISTRIBUCION BINOMIAL, si x tiene solamente dos posibles resultados

llamados ÉXITO y FRACASO.

La función de distribución de una variable binomial está dada por:

x= 0,1 ,2 ,3 … n

F(x) =

0 otro caso

En donde:

n: Número de experimentos simples

p: Probabilidad de éxito en un experimento

q: Probabilidad de fracaso en un experimento

x: Número de éxitos

Ejemplo:

Se lanzan 15 monedas al aire, Cuál es la probabilidad de obtener:

i) 8 águilas

ii) Entre 6 y 9 águilas

iii) Al menos dos águilas

Solución:

i)

n: 15 p: ½ q: ½

ii)

iii)

2.- La probabilidad de que un semidios desarrolle un sistema que no funcione es de 5%. ¿Cuál es la

probabilidad de que 8 sistemas desarrollados por un egresado de ESCOM, fallen 3?

Solución:

n: 8 p: 0.05 q: 0.95 x: 3

3.- Un examen de confusión multiple consta de 8 preguntas, con 4 posibles respuestas a cada

pregunta. Para aprobarlo con calificación minima hay que contestar 7 preguntas. Si se esta

adivinando, ¿Cuál es la probabilidad de aprobar dicho examen?

Solución:

Datos:

n: 8

p: ¼

q: ¾

x ≥ 7

Jueves 11 abril 2013

1.- El 20 % de los zapatos fabricados por la zapateria “El Huarache Veloz” son defectuosos, ¿Cuál

es la probabilidad de que en un lote de 20 pares de zapatos haya 8 defectuosos?

Solución:

n: 20

p: 0.2%

q: 0.8%

x = 8

Teorema

La distribución binomial es un espacio de probabilidad

Demostración. Por demostrar que P(Ω)= 1

Deberíamos saber que

Si a = p b = q

ya que

Distribución Binomial

2.- El 30% de los vasos de precipitados que se venden en el laboratorio son Laguer, el 20% son Sol

y el resto son Indio. ¿Cuál es la probabilidad de que en un servicio de 15 vasos de precipitados se

vendan 5 Indios?

Solución:

n: 15

p: 0.5%

q: 0.5%

x = 5

3.- El 30% de los alumnos de ESCOM son mujeres. Si se seleccionan aleatoriamente a 12 alumnos,

¿Cuántas mujeres esperaríamos que hubiera en esa selección?

Solucion:

n: 12 p: 0.3 q: 0.7

+

+ +

+ 4 +

+ +

+

8 +

+ +

+

ii) ¿Y en un grupo de 5 alumnos?

+

+ +

+ 4 +

15-Abril-2013

Sea x una variable binomial

Demostración

Demostración

Ejemplo

1. Se lanzan 32 monedas al aire calcule :

i)

ii)

Solución

n =32

p =1/2

q =1/2

Teorema

Sea x una variable binomial

Demostración

Parte uno

Parte dos

Parte tres

Ejemplos

1. El 25% de los zapatos fabricados por la zapatería 2el huarache veloz “son

defectuosos.

En un lote de 80 pares, cuantos defectuosos esperaríamos encontrar y en ue

intervalo están la mayoría de los defectuosos?

Solucion

n =80

p=.25

q=.75

2. El 20% de las personas que asistan la teatro se quedan dormidas ¿Cuál es las

probabilidad de que la quinta persona observada en un teatro sea la segunda que

este dormida ?

Solución

con binomial negativa

17-Abril-2013 Ejemplo

1. el 30% de las personas expuestas a una infección pulmonar mueren del

corazón. Si en el hospital “Ruben el ñero” hay 8 personas infectadas , ¿Cuál es

la probabilidad de que ?

i) 5 personas mueran?

ii) La octava persona contagiada sea la quinta en morir?

Solución

i)

ii)

Definición sea X una variable binomial

Si en el experimento n queremos que suceda exactamente el éxito X, estamos hablando de

una DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA, y su función esta dad por

Ejemplo

2. La probabilidad de aprobar un ETS de probabilidad es de el 40% ¿Cuál es la

probabilidad de que en el quinto experimento tengamos el segundo exito?

NOTA: este problema pues no se puede resolver por que no se puede llegar al

segundo éxito ,por que desde el primero se termina todo. Ya pasa el ETs desde el

primer intento, para que haría un segundo examen

Definición

Sea X una variable binomial

Si lo que nos interesa obtener es el éxito en el experimento n, estamos

hablando de una DISTRIBUCION GEOMETRICA, y su función esta dado por:

Ejemplo

3. La probabilidad de aprobar un ETS de probabilidad es de 40% ¿Cuál es la

probabilidad de aprobar un ETs en?

i) intento

ii) intento

ii) intento

solución

i)

ii)

iii)

Teorema

La DISTRIBUCION GEOMETRICA es una distribución de probabilidad

Demostración

18- Abril-2013

Ejemplos

1. El grupo 3 ro B de 30 alumnos tiene 8 niñas, si se seleccionan 10 alumnos . cual es

la probabilidad de seleccionar 4 niñas?

Solución

N =30

n = 10

K=8

X=8

2. un lote de maquinitas contiene 2 defectuosas, si seleccionamos 4 maquinitas ¿Cuál

es la probabilidad de seleccionar una defectuosa?

N =10

n = 4

K=2

X=1

Definición sea X una variable binomial

Si de una población tomamos una muestra y queremos X éxitos en la muestra,

estamos hablando de una DISTRIBUCION HIEPERGEOMETRICA

Sea x una variable binomial

Si entonces emplearemos la DISTRIBUCION DE POISSON , cuya

función esta dada por :

La probabilidad de que un alumno que viene de Batís apruebe análisis vectorial en el

primer caso es de el 10% ¿cual es la probabilidad de que 20 de los 150 alumnos que tiene

de Batís aprueben análisis vectorial?

n =150

p=0.1

X=20

=.0418 o 4.2 %

22- Abril-2013

Ejemplos

1. El 3 % de los sospechosos por terrorismo son terroristas

Si el FBI captura a 87 sospechosos ¿Cuál es la probabilidad de que 4 sean

terroristas?

Solución

Teorema

La DISTRIBUCIÓN DE POISSON es de probabilidad

Demostración

Solución:

Ejemplos

1. En promedio una secretaria de control escolar comete 5 errores por pagina

inscrita. ¿Cuál es la probabilidad de que en la próxima página la secretaria cometa

entre 4 y 7 errores?

Solución

Np=5=

2. En promedio el departamento de formación básica recibe 4 llamadas x hpora a

tiempo de exámenes ¿ cual es la probabilidad de que las próximas 3 horas se

reciban de 10 a 12 llamadas?

Solución

Definición sea X una variable binomial, se dice que x tiene DISTRIBUCION EXPONENCIAL, si

su función esta dada por:

En donde

24- Abril-2013

Teorema

La distribución exponencial es una distribución de probabilidad

Demostración

Teorema

Sea X una variable exponencial

Demostración

Tiempo de espera

Ejemplos

1. Si el numero de automovilistas que corra a alta velocidad que un radar detecta por

hora es la avenida insurgentes es una variable aleatoria exponencial con

cual es la proabilidad de tener un tiempo de espera menor de 10 minutos entre

automovilistas que circulan a alta velocidad?

Solución

06-Mayo-2013

Ej.1 Sea x el tiempo en días que se tardan en Control Escolar para dar una baja temporal, con una

media de 45 días y desviación estándar de 10 días. Cuál es la probabilidad de que den una baja

temporal entre 46 y 50 días?

Solucion.