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Cálculo

Diferencial e

Integral I

2

Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2010.

Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora

Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México

La edición consta de 3,064 ejemplares.

COLEGIO DE BACHILLERES

DEL ESTADO DE SONORA

Director General

Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil

Director Académico

Profr. Julio Alfonso Martínez Romero

Director de Administración y Finanzas

C.P. Jesús Urbano Limón Tapia

Director de Planeación

Mtro. Pedro Hernández Peña

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Módulo de Aprendizaje.

Copyright ©, 2008 por Colegio de Bachilleres

del Estado de Sonora

Todos los derechos reservados.

Tercera edición 2010. Impreso en México.

DIRECCIÓN ACADÉMICA

Departamento de Desarrollo Curricular

Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur

Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280

Registro ISBN, en trámite.

COMISIÓN ELABORADORA:

Elaboración:

Librada Cárdenas Esquer

Lourdes Torres Delgado

Revisión Disciplinaria:

María Elena Conde Hernández

Revisión de Contenidos:

María Elena Conde Hernández

Hermenegildo Rivera Martínez

Corrección de Estilo:

Alejandro Ernesto Rivas Santoyo

Supervisión Académica:

Diana Irene Valenzuela López

Diseño de Portada:

María Jesús Jiménez Duarte

Edición:

Bernardino Huerta Valdez

Francisco Peralta Varela

Coordinación Técnica:

Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri

Coordinación General:

Profr. Julio Alfonso Martínez Romero

3

COMPONENTE:

FORMACIÓN

PROPEDÉUTICA

GRUPO:

FÍSICO-MATEMÁTICO Y

ECONÓMICO-

ADMINISTRATIVO

Esta asignatura se imparte en el V Semestre; tiene como antecedente las

asignaturas de Matemáticas, la asignatura consecuente es Cálculo

Diferencial e Integral II, y se relaciona con todas las asignaturas del Grupo

Físico-Matemático y del Económico-Administrativo.

HORAS SEMANALES: 03

CRÉDITOS: 06

DATOS DEL ALUMNO

Nombre: ______________________________________________________

Plantel: _________________________________________________________

Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________

Domicilio: _____________________________________________________

______________________________________________________________

Ubicación Curricular

4

Reglas de derivación

CÁLCULO DIFERENCIAL

E INTEGRAL I

Aplicaciones

Valores máximos y

mínimos

Optimización en las

ciencias naturales y

sociales

Graficado de curvas

complejas

Límites y continuidad

Derivadas

Funciones

elementales

Funciones

trascendentes

A problemas de

Inician con el conocimiento de

Conforman las

Se aplican

Para derivar se

usan

Se utilizan en

Mapa Conceptual de la Asignatura

5

Recomendaciones para el alumno ...................................................................... 7

Presentación .........................................................................................................8

RIEMS ..............................................................................................................9

UNIDAD 1. LÍMITES .................................................................................. 11

1.1. Límites. ..........................................................................................................13

1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales.........................................13

1.1.2. Teorema de propiedades de los límites .............................................20

1.1.3. Límites de funciones polinomiales, definidas por partes y

funciones racionales . .........................................................................23

1.1.4. Límites infinitos ....................................................................................29

1.2. Teorema de continuidad de una función .....................................................36

1.2.1. Condiciones de continuidad ...............................................................36

Sección de tareas ................................................................................................43

Autoevaluación .....................................................................................................53

Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................55

UNIDAD 2. LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA ....................... 57

2.1. La derivada ......................................................................................................... 59

2.1.1. Interpretación geométrica de la derivada ............................................... 59

2.1.2. Razón de cambio promedio .................................................................... 68

2.1.3. La razón de cambio instantánea ............................................................. 72

2.2. Reglas de derivación ......................................................................................... 72

2.2.1. Reglas para calcular derivadas ............................................................... 72

2.2.2. Regla de la cadena .................................................................................. 80

2.2.3. Derivadas de funciones trigonométricas ............................................... 84

2.2.4. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas .......................... 87


Autoevaluación .....................................................................................................109


UNIDAD 3. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS

APLICACIONES ...................................................................... 113

3.1. Aplicaciones de la primera derivada ................................................................. 115

3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio

de primera derivada ................................................................................ 115

3.1.2. Cálculos de valores máximos y mínimos con el criterio de la

segunda derivada.................................................................................... 121

3.2. Aplicaciones de la derivada ............................................................................... 124

3.2.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos ........................................ 124

3.2.2. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico – administrativas

y sociales ................................................................................................. 129


Autoevaluación .....................................................................................................139


Glosario ................................................................................................................143

Bibliografía General ..............................................................................................145

Índice

7

El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él

se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral

I.

No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del

Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el

análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura

complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes

recomendaciones:

Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos

temáticos a revisar en clase.

Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase.

Al término de cada Unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de

medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican.

Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o

reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.

Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en

cada unidad.

Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario

que aparece al final del módulo.

Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de

aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del

Colegio: www.cobachsonora.edu.mx

Recomendaciones para el alumno

8

El programa de estudio de Cálculo Diferencial e Integral, se ubica en el grupo

disciplinario Físico- Matemático y Económico-Administrativo, del componente de

formación propedéutica del plan de estudios acordado para la reforma curricular

de bachillerato general, su enfoque metodológico está centrado en el aprendizaje,

pues promueve las estrategias de aprendizaje basadas en la solución de

problemas relacionados con las ciencias naturales y sociales.

La relevancia que tiene esta asignatura para el estudiante es contribuir al

desarrollo de su perfil de egreso para desarrollar las capacidades que le permitan

incorporarse de manera competente a los estudios de nivel superior. Por lo

anterior, la prioridad de este grupo disciplinario es el desarrollo de los procesos

lógicos del estudiante orientados al análisis y explicación de diversos fenómenos

naturales y sociales, tales como:

La aplicación en la vida cotidiana de los conocimientos de las diferentes

ramas de las matemáticas, al resolver problemas con base en sus principios y

leyes.

El manejo reflexivo y crítico del quehacer científico, y la toma de conciencia de

sus impactos social, económico y ambiental.

La adquisición de principios específicos de las diferentes áreas del

conocimiento de las matemáticas, que le faciliten su decisión personal para

elegir adecuadamente sus estudios superiores.

En esta sociedad actual, llamada “del conocimiento”, las cogniciones

matemáticas deben ser lo suficientemente sólidas para responder con flexibilidad

a los vertiginosos cambios y nuevos conocimientos en la ciencia y la tecnología.

La herramienta que brinda el cálculo diferencial e integral a través de concepto de

derivada es ciertamente poderosa, pues permite generar modelos matemáticos

para una gran variedad de fenómenos científicos, que requieren de soluciones

para su problemática.

Presentación

9

RIEMS

Introducción

El Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, en atención a los programas de

estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido

realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros

estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a

desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución.

Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje

para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma

Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de

Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en

competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a

la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del

alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las

competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en

todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, en

el primer semestre.

Competencias Genéricas

CATEGORIAS COMPETENCIAS GENÉRICAS

I. Se autodetermina

y cuida de sí.

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos

teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación

de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

II. Se expresa y

comunica

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos

contextos mediante la utilización de medios, códigos y

herramientas apropiados.

III. Piensa crítica y

reflexivamente

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a

partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y

relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera

crítica y reflexiva.

IV. Aprende de

forma autónoma

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

V. Trabaja en forma

colaborativa

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

VI. Participa con

responsabilidad en

la sociedad

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su

comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la

diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con

acciones responsables.

10

Competencias Disciplinares Básicas

Matemáticas

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de

procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la

comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y

los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,

analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las

tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para

determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes

del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o

fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y

científicos.

Competencias docentes:

1. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional.

2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje

significativo.

3. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque

por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y

sociales amplios.

4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera

efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional.

5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque

formativo.

6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.

7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e

integral de los estudiantes.

8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la

gestión institucional.

UUnniiddaadd 11

LLíímmiitteess

Objetivo:

El alumno:

Resolverá problemas de límites en las

ciencias naturales, económicas

administrativas y sociales a partir de la

aplicación y el empleo de sus teoremas

mediante el análisis de su

comportamiento gráfico, con una actitud

analítica y participativa.

Temario:

Límites.

Teorema de continuidad de una

función.

Cálculo Diferencial e Integral I

12

Mapa Conceptual de Unidad

CÁLCULO

DIFERENCIAL E

INTEGRAL

LÍMITES

LÍMITES

TEOREMA DE

CONTINUIDAD DE UNA

FUNCIÓN

NOCIÓN INTUITIVA

TEOREMAS Y

PROPIEDADES

LÍMITES DE FUNCIONES

POLINOMIALES, POR

PARTES Y RACIONALES

LÍMITES INFINITOS Y EN

EL INFINITO

CONDICIONES DE

CONTINUIDAD

13

Límites

LLÍÍMMIITTEESS..

1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales.

¿Qué es cálculo?

Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es

también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes,

longitudes de arcos, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han

hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de

la vida real.

Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre velocidades,

aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, etc., aquí se tiene una diferencia

fundamental entre las matemáticas previas y el propio cálculo: las matemáticas

previas al cálculo son más estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico.

Algunos ejemplos son:

Un objeto que viaja con velocidad constante puede modelarse con

matemáticas previas al cálculo. Para modelar la velocidad de un objeto en

aceleración es necesario el cálculo.

La pendiente de una recta puede modelarse con matemáticas previas al

cálculo. Para modelar la pendiente de una curva es necesario el cálculo.

Una recta tangente a un círculo puede modelarse con matemáticas previas

al cálculo. Para modelar una recta tangente de una gráfica general es

necesario el cálculo.

El área de un rectángulo puede modelarse con matemáticas previas al

cálculo. Para modelar el área debajo de una curva general es necesario el

cálculo.

Cada una de estas situaciones comprende la misma estrategia general: el

replanteamiento de las matemáticas previas al cálculo a través de la aplicación del

proceso de hallar el límite. De este modo, una manera de contestar la pregunta

“¿qué es cálculo?”: cálculo es una “máquina de hallar límites” que comprende tres

etapas. La primera la constituye las matemáticas previas al cálculo; la segunda es

el proceso de hallar el límite; y la tercera es un nuevo planteamiento del cálculo,

como una derivada o una integral.

Como ves la noción de límite es fundamental para el estudio del cálculo. Las breves

descripciones de dos problemas clásicos del cálculo -el problema de la recta

tangente y el problema del área- el primero, se presentará en este curso y el

segundo en tu curso subsecuente de Cálculo II, deben darte cierta idea de cómo se

usan los límites en esta disciplina.

Supongamos que se te pide trazar la gráfica de la función f dada por:

;1

1)(

3

x

xxf 1x

11..11..

Matemáticas

previas al

cálculo.

Proceso de

hallar el

límite.

Cálculo.


14

Para todos los valores diferentes de 1x , es posible aplicar técnicas estándares

de trazado de curvas. Pero en 1x no resulta claro que pueda esperarse, debido

que en ese valor la función no está bien definida. Para darnos una idea del

comportamiento de la gráfica de f cerca de 1x , se pueden utilizar dos

conjuntos de valores de x ; uno que se aproxime a 1desde la izquierda, es decir, le

damos a x valores menores a 1, y otro que se acerque a 1 desde la derecha,

esto es, le damos a x valores mayores a 1, como se muestra en la tabla:

x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1

)(xf 2.710 2.970 2.9970 2.9997 ? 3.0003 3.003 3.030 3.310

Cuando se traza la gráfica de la función, parece que la gráfica de f es una

parábola que tiene una abertura en el punto )3,1( , como se muestra en la

Fig. 1.1. Aunque x no puede ser igual a 1, puedes moverte arbitrariamente cerca

de 1 por la izquierda como por la derecha y, como resultado, )(xf se mueve,

también de modo arbitrario, cerca de 3 . Si utilizas la notación de límites, se puede

escribir

3)(lim1

xfx

Esto se lee como “el límite de )(xf , cuando x tiende a 1, es 3”

Esta explicación conduce a una descripción intuitiva de límite.

Para 1x la función puede simplificarse, haciendo una factorización del

numerador primeramente y después una división de la siguiente manera:

Como pudiste observar en la Fig. 1.1, la gráfica de la función es la de

1)( 2 xxxf , excepto que la gráfica de la función dada, tiene un pequeño

hueco en el punto que corresponde a 1x , esto debido a que el valor de la

función )(xf no existe para dicho valor de x . Cuando se aproxima cada vez más

a 1, los valores correspondientes de )(xf se aproximan cada vez más a 3 .

Si )(xf se acerca arbitrariamente a un número L cuando x se

aproxima a un número c desde cualquiera de los dos lados, el límite

de )(xf , cuando x tiende a c , es L . Este límite se escribe como

Lxfcx

)(lim .

)(xf tiende a 3 )(xf tiende a 3

x tiende a 1 por la izquierda x tiende a 1 por la derecha

.11

)1)(1(

1

1)( 2

23

xxx

xxx

x

xxf

Fig. 1.1 El límite de )(xf ,

cuando x tiende a 1, es 3.

15

Límites

Utilizaremos la notación cx para indicar que x tiende al valor c , por la

izquierda, y cx para expresar que x tiende al valor c por la derecha. De esta

manera definiremos los límites unilaterales:

A) L , es el límite de f por la izquierda cuando x tiende a c por la izquierda y lo

representamos como:

Lxfcx

)(lim

B) L , es el límite de f por la derecha cuando x tiende a c por la derecha y lo

representamos como:

Lxfcx

)(lim

Por tanto, si los límites unilaterales tienen un valor común L :

Lxfxfcxcx

)(lim)(lim ;

se dice entonces que )(lim xfcx

existe y se escribe como ya lo habíamos

determinado en la definición intuitiva de límite:

)(lim xfcx

En el caso contrario, cuando los límites unilaterales no coinciden al mismo valor, se

dice que el límite no existe y se representa de la siguiente manera:

Usualmente haremos referencia al número L como el límite de f en c , sin

embargo debes observar lo siguiente:

Como habrás notado, los límites son usados para describir cómo se comporta una

función cuando la variable independiente x se mueve alrededor de cierto valor.

Ejemplo 1. Dada la función 22)( 2 xxxf determina ).(lim3

xfx

La gráfica

de la función dada nos queda de la siguiente manera:

)(lim xfcx

La existencia del límite de una función f no depende de si f está realmente

definida en c , sino solamente si f está definida para valores de x cerca de c .


16

Después de elaborar la gráfica, podemos dibujar una tabla para analizar los valores

de )(xf cuando x se acerca a 3 :

Izquierda Derecha

x 2.9 2.99 2.999 2.9999 3 3.0001 3.001 3.01 3.1

)(xf 0.61 0.96 0.996 0.9996 ? 1.0004 1.004 1.04 1.41

Observando la gráfica y la tabla tenemos que cuando x se acerca a 3 por la

izquierda y por la derecha )(xf se aproxima a 1, esto es,

1)(lim3

xfx

y 1)(lim3

xfx

;

por lo tanto,

1)(lim3

xfx

Ejemplo 2. Elabora la gráfica y obtén el límite para la función )(xf cuando x

tiende a 2 , donde f se define como

26

2)(

2

xsix

xsixxf

En esta función, el dominio que tenemos está formado por todos los números

reales excepto el 2 ; es decir, la función no está definida para 2x (fíjate que las

desigualdades son estrictas, esto es, no contemplan el igual) esto quiere decir que

en la gráfica tendremos un pequeño hueco. Para saber exactamente la posición de

ese hueco, le daremos ese valor a la variable x . Como no sabemos si las dos

partes de la función se juntarán en ese punto, tomaremos el valor 2x para cada

una de las dos partes de la función y así tendremos la gráfica exacta. Para ubicar

bien los valores de x , podemos auxiliarnos de una recta numérica:

De esta manera la tabla de valores es:

2x 2x

x 2)( xxf

-2 4

-1 1

0 0

1 1

(2) (4)

x 6)( xxf

(2) (4)

3 3

4 2

5 1

6 0

Observa que la función

dada en el ejemplo 1

está definida para

3x , pero en ningún

momento se sustituye

dicho valor en la función

para encontrar el valor

de )(lim3

xfx

.

Fig. 1.2 La gráfica tiene un

hueco en el punto (2,4).

17

Límites

La gráfica correspondiente a la función está dada en la Fig. 1.2. Observa que para

2x , tanto la parábola como la recta, convergen en el hueco )4,2( . Para

obtener el límite, elaboramos una tabla con los valores de la función para valores de

x cercanos a 2 , por la izquierda y por la derecha:

Izquierda Derecha

x 1.9 1.99 1.999 1.9999 2 2.0001 2.001 2.01 2.1

)(xf 3.61 3.96 3.996 3.9996 ? 3.9999 3.999 3.99 3.9

En este tipo de funciones que se definen por partes, es cuando resulta conveniente

la utilización de los límites unilaterales, ya que tenemos funciones diferentes en

ambos lados del valor de x . De la tabla anterior obtenemos los límites unilaterales,

tanto por la izquierda como por la derecha respectivamente:

4)(lim2

xfx

y 4)(lim2

xfx

,

y como son iguales, tenemos que el límite buscado es:

4)(lim2

xfx

Ejemplo 3. Elabora la gráfica y obtén )(lim3

xfx

para la función:

313

3|2|2)(

xsix

xsixxf

El dominio de esta función son todos los números reales, como lo viste en el curso

de Matemáticas 4. Sabemos que la gráfica de la primera parte de la función nos

dará un “trozo” de una línea en forma de “V”, y la otra parte resultará en una porción

de una media parábola horizontal, abierta hacia la derecha. Sin embargo no

sabemos si esas dos partes se juntarán en un punto como en el ejemplo anterior.

Veamos qué es lo que sucede. La recta numérica para estos valores de x nos

quedaría de la siguiente forma:

Para este ejemplo, no sustituiremos el valor de 3x en la función de valor

absoluto de manera abierta, es decir, no lo incluiremos en el dominio de esa parte

de la función puesto que la desigualdad es estricta. Sin embargo, para la parte de

la función con raíz cuadrada, ese mismo valor sí lo incluiremos pues forma parte del

dominio de la raíz cuadrada, tal como lo indica la igualdad debajo de la

desigualdad. De esta manera, la tabla de valores nos queda:

Observa que

)(lim2

xfx

existe

aún cuando

)2(f no está

definida.

Fig. 1.3 Gráfica de la

función por partes

)(xf


18

3x 3x

La gráfica correspondiente a la función está dada en la Figura 1.3. Observa que las

dos partes de la función quedan separadas. Esto es, para la parte del valor

absoluto en 3x , no está definida, por eso queda un hueco en la gráfica en el

punto )2,3( . Por otro lado, para la parte de la raíz cuadrada en 3x , el valor

obtenido es 1 , que se representa en el gráfico mediante un punto relleno, esto

indica inclusión, como lo puedes ver en la desigualdad que tiene en la parte de

abajo el símbolo de igualdad. Esto significa, que para esta parte de la función el

valor 3x si está definido. Veamos ahora qué significa en la obtención de límites,

el hecho de que las dos partes de la función hayan quedado separadas.

Para obtener los límites unilaterales, elaboramos una tabla con los valores de la

función, para valores de x alrededor de 3 :

3x 3x

2)(lim3

xfx

y 1)(lim3

xfx

Llegamos a la conclusión que para valores de x cercanos a 3 , tanto por la

izquierda como por la derecha, los límites unilaterales son diferentes, por lo tanto el

límite buscado de la función )(xf no existe:

Este resultado lo podemos interpretar gráficamente observando en la Fig. 1.3 que a

ambos lados de 3x , la función f se “dirige” hacia diferentes puntos: por la

izquierda, hacia el punto )2,3( que es un hueco, y por la derecha hacia el punto

)1,3( , esto es, se presenta un salto en la función )(xf , en 3x .

x |2|2)( xxf

-1 6

0 4

1 2

2 0

(3) (2)

x 13)( xxf

3 1

4 2

5 2.41

6 2.73

7 3

x |2|2)( xxf

2.9 1.8

2.99 1.98

2.999 1.998

2.9999 1.9998

2.99999 1.99998

x 13)( xxf

3.1 1.31

3.01 1.1

3.001 1.03

3.0001 1.01

3.00001 1.003

)(lim3

xfx

Observa que

)(lim3

xfx

no existe

aún cuando

)3(f está definida.

19

Límites

Interpretación de la gráfica:

2. La función f de la Figura 1.4 no está definida para 3x

a) ¿Qué observas en los valores de la función f conforme x se acerca al

número 3 por la izquierda )3(x y por la derecha )3(x ?

b) ¿Se acercan los valores de la función a algún número en particular (sí o no)

y cuál es ese valor?

c) ¿Cómo se representaría el límite de acuerdo a su definición?

3. Relaciona las siguientes columnas con su representación correcta.

a) Lxfcx

)(lim ( ) Límite por la derecha

b) Lxfcx

)(lim ( ) Límite de una función

c) Lxfcx

)(lim ( ) Límite por la izquierda

x 32)( 2 xxxf

2.1

2.01

2.001

2.0001

2.00001

x 32)( 2 xxxf

1.9

1.99

1.999

1.9999

1.99999

Para saber más

y enriquecer el

tema, visita el sitio

www.límitesmatem

áticos.com

TAREA 1

Página 43


función f del reactivo 2.

1. Dada la función 32)( 2 xxxf , completa las tablas y grafica los puntos para

obtener el límite de la función cuando x tiende a 2 .

EJERCICIO 1

http://www.lmitesmatemti/

http://www.lmitesmatemti/


20

1.1.2. Teorema de propiedades de los límites.

En la sección anterior, te presentamos la noción intuitiva de límite, con el in de

introducirte al tema de una manera más o menos sencilla e informal. Sin embargo,

como te habrás dado cuenta, no es práctico utilizar una gráfica o una tabla de

valores para obtener el límite, pues resulta un poco tardado y tedioso. Por esta

razón, formalizaremos la obtención de los límites mediante la utilización de algunos

teoremas que nos ayudarán a agilizar el procedimiento, para obtener de manera

rápida el límite de una función.

Ejemplo 4. Usando los teoremas básicos determinaremos los siguientes límites.

Límite de una función constante.

a) .1010lim3x

b) .lim 33

2x

En otras palabras, el teorema del límite de una función constante, nos indica que

el límite de una función constante es la misma constante. Recuerda que

identificas una función constante si en ella no aparece la variable independiente

x .

Límite de la función identidad.

c) .1lim1x

x

d) .5lim5x

x

e) .6lim6x

x

Aquí el teorema nos dice que el límite de la función identidad se acerca siempre al

mismo valor hacia donde tiende la variable independiente x .

Límites de una función potencia.

f) .8)2(lim 33

2x

x

g) .1)1(lim 55

1x

x

Algunos teoremas básicos:

Sean k y c números reales y n un entero positivo.

1. Límite de una función constante. Si kxf )( , donde k es una constante,

entonces:

.lim kkcx

2. Límite de la función identidad. Si xxf )( , entonces:

.lim cxcx

3. Límite de una función potencia. Si nxxf )( , entonces:

.limlim nn

cx

n

cxcxx

21

Límites

Ejemplo 5. Haciendo uso de las propiedades de límites determina.

Límite de una suma o diferencia de funciones.

a) .172)3(52limlim52lim5lim)25(lim33333 xxxxx

xxx

b) .13)2(37lim37lim3lim7lim)37(lim22222xxx

xxxxx

c) .423)5(4)5(3lim4limlim)34(lim 2

55

2

5

2

5 xxxxxxxx

Límite de una potencia.

d) .343]7[]lim[lim 33

7

3

7xx

xx

Límite de un cociente.

e) .21

2

1)2(

6)2(2

1limlim

6limlim2

)1(lim

)62(lim

1

62lim

22

22

2

2

2

xx

xx

x

x

x x

x

x

x

x

x

f) .?2

1lim

21 xx

x

x

En este caso, el límite del cociente no puede escribirse inmediatamente como el

cociente de límites porque ;)(lim 022

1

xxx

sin embargo, podemos simplificar

factorizando, como lo hicimos en los ejemplos anteriores, para poder obtener el

límite:

Los conocimientos previos

que debes tener para este

tema son los siguientes:

1. Factor común.

2. La diferencia de

cuadrados perfectos.

3. Trinomios cuadrados

perfectos.

4. Trinomios cuadrados

imperfectos.

5. Racionalización y

graficación de funciones.

Teorema: propiedades de los límites:

Sean k y c números reales y n un entero positivo, y f y g funciones con los

límites siguientes: Lxfcx

)(lim y Kxgcx

)(lim

1. Límite de una constante por una función o múltiplo escalar:

.)(lim kLxkfcx

2. Suma o diferencia: .)]()([lim KLxgxfcx

3. Producto: .)]()([lim KLxgxfcx

4. Cociente:

K

L

xg

xf

cx )(

)(lim , siempre que .0K

5. Raíz: ncx

n

cxxfxf )(lim)(lim , siempre y cuando n sea

un entero positivo impar, o bien, n sea un entero positivo par y .0)(lim xfcx


22

TAREAS 2

Página 45.

.3

1

21

1

2limlim

1lim

2

1lim

)2)(1(

1lim

2

1lim

11

1

1121

xx

x

xxx xxxx

x

xx

x

g) .27

14

18

216

1)4(2

4)4(4

1limlim2

limlim4

12

4lim

44

44

4

xx

xx

x x

xx

x

x

Límite de un radical.

h) .112)1(32limlim3)23(lim23lim 55511

51

5

1 xxxxxxx

3)1(33lim1

xx

.lim kckxcx

55lim2

1x

.lim nn

cxcx

8)2(lim 33

2x

x n

cx

n

cxxfxf )(lim)(lim

,

siempre y cuando n sea un entero positivo impar, o bien, n sea un entero

positivo par y .0)(lim xfcx

413)1(3)133(lim133lim 22

1

2

1xx

xx

.lim kkcx

EJERCICIO 2 1. Obtén los siguientes límites y entrégalos a tu profesor:

a)

12

4lim

24 xx

x

x 3.

4

4lim

2

2

2 x

x

x 5.

2

425lim x

x

b)

4

4lim

2

2 x

xx

x 4. )14(lim 2

2xx

x 6.

2

2lim

3 x

x

x

2. Relaciona mediante líneas la columna de la derecha con la columna de la

izquierda de acuerdo al teorema aplicado en el ejemplo:

23

Límites

1.1.3. Límites de funciones polinomiales, definidas por partes y

funciones racionales.

Como te habrás dado cuenta, en las funciones ejemplificadas en la sección

anterior, pudimos obtener el límite de la función simplemente sustituyendo el valor

de c en la variable independiente x , siempre y cuando se pueda obtener ese

valor, es decir, que al hacerlo, no resulte en una raíz de un número negativo o en

una división entre cero, por ejemplo. Esto excluye, además aquellas funciones

radicales que nos de como resultado n 0 cuando n es par. Un caso donde la

existencia del límite se garantiza todo el tiempo, es el caso de las funciones

polinomiales.

Ejemplo 6. Considera la función polinomial 8625)( 23 xxxxg y

determina el límite cuando x tiende a 1.

.21

8)1(6)1(2)1(5

8limlim6lim2lim5)8625(lim

23

11

2

1

3

1

23

1 xxxxxxxxxxx

Otra situación donde intervienen funciones polinomiales, puede ser el caso de

funciones definidas por partes. En la primera sección de esta unidad, vimos cómo

graficar aquellas funciones que están definidas por partes, es decir, donde el

dominio se divide en partes y cada una de ellas tiene una función diferente.

También obtuvimos los límites de manera intuitiva, y observamos que este tipo de

funciones se comportan de manera extraña, precisamente en aquel valor de x

donde se divide el dominio. Debido a esto, tendremos dos maneras de obtener el

límite, dependiendo de cual sea el valor de c , hacia donde tiende la x , es decir, si

c coincide o no con el valor donde se divide el dominio. Al desarrollar este tema,

encontraremos que existen funciones que se indefinen o indeterminan en el valor

c , esto es, que no se pueden evaluar y que nos indican que su límite no existe o

que su valor es infinito. Sabemos que el resultado del límite de una función es un

valor real. De aquí que la intención de este tema sea utilizar técnicas que nos

convertirán dichas funciones en funciones determinadas.

Ejemplo 7. Consideremos la función:

286

22|1|)(

2 xsixx

xsixxf


24

Solución:

Gráficamente tenemos:

En este ejemplo, si 2x necesitaremos determinar los límites unilaterales para

ver si son iguales o diferentes, pero si x tiende a cualquier otro valor, no será

necesario obtenerlos, pues sabemos que por cualquiera de los dos lados cercanos

a c , la función es la misma y el límite no presentará problema.

Obtendremos los siguientes límites para entender, cómo se obtienen dependiendo

del valor de c :

1. )(lim0

xfx

Como x no se acerca a 2 , que es el valor donde se divide el dominio,

obtendremos el valor del límite utilizando el procedimiento visto en la sección

anterior; esto lo haremos debido a que cerca de 0 , le corresponde la función

2|1| x y la parte cuadrática no interviene, pues 20 .

.3212|1|2|10|2|10|)(lim0

xfx

2. )(lim3

xfx

En este caso sucede lo mismo que en el anterior, x tiende a 3 , y como no se

acerca 2 , sólo sustituimos en la parte cuadrática que es donde )(xf está definida

para el valor 3x , pues 23 siendo el límite:

.18189|8)3(6)3()(lim 2

3xf

x

3. )(lim2

xfx

En este límite, x tiende a 2 , que es el valor donde se divide el dominio de la

función. Es en estos casos cuando estamos obligados a obtener los límites

unilaterales, pues por cada lado de 2x , hay funciones diferentes y no sabemos

con certeza qué es lo que sucederá cuando la x se acerque a 2 por lados

diferentes. Para ubicarnos en qué parte sustituiremos, podemos elaborar una recta

numérica como lo hicimos en la primera sección:

Observa en la

gráfica que cerca

de 0x , la función

se acerca a

3)0(f y que la

parte cuadrática no

interviene.

En la gráfica

puedes observar

que cerca de

3x , la función se

acerca a 1)3(f y

que la parte del

valor absoluto no

interviene.

25

Límites

a) .3212|1|2|12|)(lim2

xfx

b) .081248)2(6)2()(lim 2

2xf

x

Como estos dos límites son diferentes, tenemos que:

Observa que si el límite no existe, tenemos que las dos partes de la función quedan

separadas en la gráfica.

Ejemplo 8. Tenemos la función

.02

02)(

2 xsix

xsixf

Obtener: )(lim1

xfx

, )(lim2

xfx

y )(lim0

xfx

.

Solución:

.22lim)(lim11 xx

xf

.2242)2()(lim 2

2xf

x

Como 0 es el valor donde se divide el dominio, obtendremos los límites

unilaterales:

a) .22lim)(lim00 xx

xf

b) .2202)0()(lim 2

0xf

x

Tenemos que los dos límites unilaterales son iguales, por lo tanto:

.2)(lim0

xfx

Ahora observa la Figura 1.5, y relaciona el hecho de que el límite sea 2 y la forma

que ésta presenta a pesar de ser por partes.

)(lim2

xfx

Cuando 2x ,

)(xf se acerca a

0, pero no llega a

ser igual a 0; esto lo

puedes observar en

la gráfica con el

punto hueco que

aparece en (2,0).

Fig. 1.5 En este ejemplo el

límite es igual a -2. Observa

cómo las dos partes de la

gráfica de la función se juntan

en el punto (0,-2).


26

Estrategias para calcular límites a funciones racionales.

Ya hemos tratado este tipo de funciones al inicio de esta unidad, en esta ocasión te

presentaremos algunas estrategias para el cálculo de límites de funciones

racionales.

1. Aprende a reconocer los límites calculables por sustitución directa.

2. Si el límite de )(xf cuando cx no puede evaluarse por sustitución directa,

intenta, por medio de álgebra, hallar una función g que coincida con f en cx

(es decir, encuentra una función g de modo que su límite sea calculable por

sustitución directa).

Ejemplo 9. Encuentra el límite de

1

2)(

2

x

xxxf cuando .1x

Solución:

Debido a que el denominador no es cero para 1x , se puede evaluar

directamente quedando:

.22

4

1)1(

2)1()1(

1

2lim

22

1 x

xx

x

Ejemplo 10. Hallar .3

6lim

2

3 x

xx

x

Solución:

Puesto que el denominador es cero para 3x , no se puede hacer la sustitución

directa, entonces procedemos a simplificar la función factorizando, en este caso, el

numerador de la función racional, 62 xx quedando:

)2)(3(62 xxxx , hacemos la sustitución en el límite,

3

)2)(3(lim

3

6lim

3

2

3 x

xx

x

xx

xx

.52)3()2x(lim3x

Por la técnica de cancelación hemos simplificado la función racional

3

62

x

xx

a una función 2)( xxg , que coincide con )(xf en 3x , es decir, hemos

encontrado una función g de modo que el límite sea calculable por sustitución

directa.

En la Figura 1.6 se muestra gráficamente este resultado. Observa que la gráfica

de la función f coincide con la de la función 2)( xxg , excepto que la de

f tiene una abertura o hueco en el punto )5,3( .

Técnica de cancelación

Fig. 1.6 Observa que )(xf no

está definida cuando 3x .

27

Límites

En el Ejemplo 10, la sustitución directa produjo la forma fraccionaria sin

significado 0

0 . Una expresión de este tipo se le conoce como “forma

indeterminada o indefinida”, porque no se puede (a partir sólo de la forma)

determinar el límite. Cuando intentes evaluar un límite y te encuentres esta forma,

recuerda que debes volver a escribir la fracción de modo que el nuevo

denominador no sea 0 cuando cx . Una manera de llevar a cabo esto es

factorizar la función y cancelar los factores iguales, como se mostró en este

ejemplo.

Una segunda manera es racionalizar el numerador, como se muestra en el

siguiente ejemplo.

Ejemplo 11. Hallar .11

lim0 x

x

x

Solución:

Dado que el denominador es cero en 0x , no se puede hacer la sustitución

directa, entonces se racionaliza el numerador, es decir, se multiplica y divide por un

una cantidad conveniente, en este caso, por el binomio conjugado del numerador,

esto con el fin de eliminar la raíz cuadrada del primer término. (Recuerda que una

diferencia de cuadrados se factoriza como un producto de binomios conjugados,

))((22 bababa ).

;11

1lim

)11(lim

)11(

11lim

)11(

1)1(lim

)11(

)11()11(lim

11lim

00

0

2

0

00

xxx

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

Observa que al multiplicar y dividir por 11x , no estás alterando la función,

ya que dicha expresión es igual a 1, y 1 multiplicado por )(xf , te da la misma

función )(xf .

Al llevar a cabo la multiplicación de binomios conjugados, se cancela la raíz

cuadrada con el cuadrado, al igual que, 11 suma 0 en consecuencia:

.2

1

11

1

11

1

11)0(

1

11lim

1lim11lim

0

0

0 xx

x

x

x

x

Otro caso de forma indefinida es el siguiente:

Ejemplo 12. Hallar .16)4(

lim2

0 x

x

x


28

Solución:

Desarrollamos el binomio al cuadrado, lo cual nos arroja un Trinomio Cuadrado

Perfecto, luego factorizamos y utilizamos la técnica de cancelación quedando de la

siguiente manera:

.88)0()8(lim)8(

lim

8lim

16168lim

16)4(lim

00

2

0

2

0

2

0

xx

xx

x

xx

x

xx

x

x

xx

xxx

5.

52

152lim

2

25 x

xx

x 6.

8143

23lim

23

2 xx

x

x

7.

245

27lim

2

3

3 xx

x

x 8.

x

x

x

4)2(lim

2

0

9.

25

5lim

25 x

x

x 10.

49

32lim

27 x

x

x

EJERCICIO 3

En cada una de las siguientes funciones, obtén el límite indicado, si es

que existe. Entrégalo a tu profesor:

1.

13

1)(

3

xsix

xsixxf 2.

22

24)(

xsi

xsixxf

a) )(lim0

xfx

b) )(lim1

xfx

a) )(lim3

xfx

b) )(lim2

xfx

3.

23

22

4)(

2

xsi

xsix

xxf 4.

13

142

44

)(2 xsix

xsi

xsix

xf

a) )(lim3

xfx

b) )(lim2

xfx

a) )(lim4

xfx

b) )(lim0

xfx

c) )(lim1

xfx

29

Límites

1.1.4. Límites infinitos.

Consideremos la función f dada por: .2

3)(

xxf

Con base en la gráfica y la tabla, es posible ver que )(xf decrece sin cota cuando

x tiende a 2 desde la izquierda, es decir, para valores de x menores que 2 ,

)(xf se va haciendo más y más pequeña indefinidamente; y )(xf crece sin cota

cuando x tiende a 2 desde la derecha, esto es, para valores de x mayores que

2 , )(xf se va haciendo más y más grande indefinidamente. Este comportamiento

se denota como:

2

3lim

2 xx

y

2

3lim

2 xx

x 1.5 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.5

)(xf -6 -30 -300 -3000 ? 3000 300 30 6

x tiende a 2 desde la izquierda x tiende a 2 desde la derecha

)(xf decrece sin cota )(xf crece sin cota

)(xf decrece sin cota cuando 2x desde la izquierda

)(xf crece sin cota cuando 2x desde la derecha

Recuerda que el

valor absoluto es

una distancia; por

tanto, su resultado

siempre tiene que

ser un valor

positivo.


30

Explicaremos de una manera sencilla lo que acabamos de decir a través de los

límites unilaterales, del párrafo anterior. Los límites anteriores significan que

podemos hacer a )(xf suficientemente tan grande como se desee, haciendo a x

suficientemente cercana a 2 . Esto es, que el valor absoluto de la diferencia entre

x y 2 ( |2| x ) sea tan pequeña como se desee. En términos matemáticos esto

se puede expresar como sigue: |2| x , donde es un valor positivo muy

pequeño, tan pequeño como se quiera. (Por esta razón agregamos más nueves

por la izquierda de 2 y más ceros por la derecha de 2 ). Entonces si la distancia

entre x y 2 es cada vez más pequeña tanto por la izquierda como por la derecha,

el valor que toma )(xf se va haciendo cada vez más pequeño o más grande, es

decir, se va a ó respectivamente. En otras palabras va decreciendo y

creciendo sin cota alguna. En términos matemáticos, se dice, que el valor de )(xf

es menor que algún número positivo M (ó 0M ) si el acercamiento es por la

izquierda, por otro lado decimos que )(xf es mayor que un número 0N , si el

acercamiento es por la derecha. El razonamiento anterior nos lleva a una definición

formal de límites infinitos, definición un tanto compleja que omitiremos en este

curso y que seguramente verás en el nivel superior.

Un límite en el que )(xf crece o decrece sin cota cuando x tiende a un número

c se llama límite infinito.

En la proposición )(lim xfcx

, el signo igual no significa que el límite existe. Por

el contrario expresa cómo el límite deja de existir al denotar un comportamiento no

acotado de )(xf , cuando x tiende a c . Esto último lo podemos visualizar en la

gráfica de la función. Observa el comportamiento de la función: cuando hacemos

que x se aproxime al valor 2 tanto por la izquierda como por la derecha, la función

se curvea sin tocar una recta vertical imaginaria en 2x ; esta recta recibe el

nombre de asíntota. Ahora fíjate en el denominador de la función 2x ; no es

casualidad que en 2x pase la asíntota. Esto se debe a que el valor 2 es el que

hace cero al denominador, es decir, 2 es la raíz del polinomio 2x .

Más allá de la definición tan compleja de los límites infinitos, lo que nos interesa es

saber identificar lo que es un límite infinito. De manera sencilla podemos decir que

un límite infinito es cuando el resultado del límite es infinito, es decir no está

determinado.

Ejemplo13. Encontrar

22

2lim

24 xx

x

x.

Solución: Si intentas hacer el cálculo del límite por simple sustitución como en

los casos anteriores, cuando x se aproxima a 4 el denominador de la función

se hace cero. Esto se debe a que el polinomio se puede descomponer en

factores como sigue: )2)(4(822 xxxx , de esta manera el 4 hace

cero a uno de los factores haciendo que todo el polinomio se haga cero, es

decir, el 4 es una raíz del polinomio; además el valor de 2 también hace que

el denominador de la función se haga cero.

Esto quiere decir que la función se indefine en dos valores, en 2x y en

4x , resulta lógico puesto que la función es de segundo grado, significando

esto que cuenta con dos raíces.

Recuerda que

cuando hablamos

de números

negativos, entre

más lejos esté del

cero un número

que es negativo,

éste es más

pequeño.

31

Límites

Considerando entonces la aproximación por la izquierda y por la derecha,

tenemos que los límites unilaterales de acuerdo a la tabla son:

22

2lim

24 xx

x

x; y

22

2lim

24 xx

x

x.

La gráfica de la función te dará una idea del comportamiento de una función que

tiene dos valores donde ésta se indefine. A estos valores se les llama

singularidades, pasando justamente por esos valores las asíntotas.

Ejemplo 14.

Resolución de límites infinitos.

Encuentra qué signo debe tener en las siguientes funciones con límites cuando

x tienda a la izquierda o a la derecha.

1.

2

3lim

2 x

x

x.

Se toma un valor muy cercano a 2 por la izquierda, consideremos 1.999 y los

sustituimos en la función:

5997001.0

997.5

2999.1

)999.1(3

2

3

x

x.

Como el resultado es un valor negativo muy alejado del cero, entonces:

2

3lim

2 x

x

x.

2.

x

x

x 4lim

2

4;

x 3.9 3.99 3.999 3.9999 4 4.0001 4.001 4.01 4.1

)(xf 3.2203 33.22203 333.2 3333.2 ? -3333. -333. -33. -3.4


32

Consideramos un valor muy cercano a 4 por la derecha, 4.001 por ejemplo y

sustituimos:

001.16008001.0

008001.16

001.44

)001.4(

4

22

x

x.

Entonces:

x

x

x 4lim

2

4.

3.

15

32lim

51 x

x

x

;

4.68000005.0

4002.3

1)2001.0(5

3)2001.0(2

15

32

x

x.

Entonces:

15

32lim

51 x

x

x

.

4.

1lim

1 x

x

x.

5.

4lim

4 x

x

x.

6.

25

5lim

25 x

x

x.

Límites en el infinito.

Hasta ahora hemos estado considerando límites de funciones cuando x se ha

aproximado a algún número real. Trataremos ahora con el cálculo de límites donde

x aumenta o disminuye sin fronteras, es decir, indefinidamente. Para ello definimos

lo siguiente:

A. Si x aumenta sin cota (es decir crece infinitamente hacia la derecha), se dice

que tiende hacia un infinito positivo. Se denota por:

x .

B. Si x decrece sin cota (disminuye infinitamente hacia la izquierda), se dice que

tiende a un infinito negativo. Se denota por:

x .

En la resolución de los límites infinitos se utiliza fundamentalmente un teorema

sobre límites, el cual nos dice que el límite de una constante dividida entre una

variable, cuando la variable tiende a infinito, es igual a cero.

;0limx

c

x donde c es una constante.

Recuerda que para

saber hacia dónde

tiende el límite de la

función tienes que

dar un valor de x

muy, pero muy

cercano al valor de

c .

33

Límites

Ejemplo15. Hallar el límite de las siguientes funciones:

1.

108486

63453lim

234

234

xxxx

xxxx

x;

Dividimos cada término del numerador y del denominador por la potencia más

grande de x que aparezca en la función, esto es 4x . Obtenemos:

444

2

4

3

4

4

444

2

4

3

4

4

234

234

108486

63453

lim108486

63453lim

xx

x

x

x

x

x

x

xxx

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

xxxx

xx,

hacemos la división de las x , utilizando las leyes de los exponentes:

432

432

234

234

108486

63453

lim108486

63453lim

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xx;

y aplicamos el teorema ;0limx

c

x entonces todos los términos divididos entre x

se harán cero,

Por tanto

.2

1

6

3

108486

63453lim

234

234

xxxx

xxxx

x

2. Hallar

1

23lim

3

x

x

x;

Dividimos numerador y denominador por 3x ,

32

3

33

3

3

33

11

23

lim1

23

lim1

23lim

xx

x

xx

xx

x

x

x

x

xxx;

Ya que el límite del denominador de la función es cero, no podemos aplicar el

teorema ;0limx

c

x sin embargo, podemos argumentar hacia dónde se indefine

el límite. En el numerador 3

3x

se aproxima a 0 cuando x así que

233x

es eventualmente negativo y se aproxima a 2 . Como ya dijimos,

Calcula el

xx

1lim

Para que

comprendas por

qué a la función del

ejemplo 2 no se le

puede aplicar el

teorema

432

432

234

234

108486

63453

lim108486

63453lim

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xx

0 0 0 0


34

cuando x , el denominador es una cantidad positiva que se aproxima a 0 .

Así que la razón es una cantidad negativa que decrece sin cota. Esto es,

1

23lim

3

x

x

x.

3.

xx

x

x 108

62lim

5

3

;

Dividimos entre 5x

4

52

55

5

55

3

5

3

108

62

lim108

62

lim108

62lim

x

xx

x

x

x

x

xx

x

xx

x

xxx;

aplicamos el teorema,

08

0

108

62

lim108

62lim

4

52

5

3

x

xx

xx

x

xx.

Recuerda que aunque el número cero represente la ausencia de valor, eso no

significa que el límite no exista. En el ejemplo 3 el límite existe y su valor es 0 .

4.

xx

xx

x 3

3

lim ;

Tendríamos que expresar los radicales a potencias, como

31

21 , entonces

21 es

el mayor exponente,

1

1

limlimlim

21

31

21

31

21

21

21

31

21

21

21

31

3

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xxx;

aplicamos el teorema y obtenemos,

11

1lim

3

3

xx

xx

x.

Pareciera que un tema tan abstracto como éste, de límites en el infinito, no tuviera

manera de aplicarse. Para que te des una idea de dónde se puede aplicar, te

presentamos el siguiente problema.

5. Sea )(tf el nivel de oxígeno en un estanque, donde 1)(tf es el nivel normal

(sin solución), y el tiempo t se mide en semanas. Cuando 0t , se arroja materia

orgánica de desecho en el estanque y conforme se va oxidando, la cantidad de

oxígeno en el estanque viene dado por:

Observa dónde se

encuentra, dentro

de la función, la

potencia más

grande y elabora

tus conclusiones

acerca de la

existencia o no

existencia de los

límites.

35

Límites

1

1)(

2

2

t

tttf

¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque tras una

semana? ¿Y tras dos semanas? ¿Tras diez semanas? ¿Cuál es el porcentaje de

oxígeno para t desmesuradamente grande?

Solución:

Cuando ,1t 2 y 10 , los niveles de oxígeno son:

%502

1

1)1(

1)1()1()1(

2

2

f en 1 semana;

%605

3

1)2(

1)2()2()2(

2

2

f en 2 semanas,

%17.90101

91

1)10(

1)10()10()10(

2

2

f en 10 semanas;

Para un tiempo infinitamente grande calculamos el límite al infinito de )(tf ,

%10101

001

11

111

lim1

1lim

2

2

2

2

t

tt

t

tt

tt.

Por tanto el porcentaje de oxígeno del nivel normal del estanque en un tiempo en el

infinito es aproximadamente un 10%.

TAREAS 3 y 4

Páginas. 47-49.

EJERCICIO 4 Determina el signo que debe tener en los siguientes límites infinitos:

1.

3

6lim

3 x

x

x

2.

x

x

x 4lim

2

2

3.

14

23lim

41 x

x

x

4.

2

3lim

2 x

x

x

Resuelve los siguientes límites en el infinito:

5.

536

394lim

3

23

xx

xxx

x 5.

725

3510lim

3

2

xx

xx

x

6. 5

5

53

4lim

xx

xx

x 7.

1258

3210lim

279

234

xxx

xxx

x


36

TTEEOORREEMMAA DDEE CCOONNTTIINNUUIIDDAADD

DDEE UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN..

En nuestra vida cotidiana se nos presentan obstáculos que nos impiden continuar

algún proyecto, y debemos de buscar opciones de solución para continuar con el

proyecto. Por ejemplo, cuando vas caminando y encuentras algún obstáculo, como

un charco de agua, es necesario brincarlo para poder seguir tu camino. En este

ejemplo nos damos cuenta que el salto que diste fue un impedimento para que tu

caminar se diera de manera continua, en otras palabras, te diste cuenta que para

continuar la marcha tuviste que despegar los pies del suelo.

En las gráficas de funciones también se presenta el mismo caso; es decir, en

ocasiones es necesario despegar el lápiz del papel para poder dibujarla. En el caso

de que la gráfica de una función la podamos realizar sin despegar el lápiz del

papel, decimos que la función es una función continua. En el caso contrario, es

decir, cuando despegamos el lápiz del papel para poder dibujar la gráfica diremos

que la función es discontinua.

Observa las siguientes figuras para obtener las definiciones de continuidad y

discontinuidad de una manera intuitiva.

En el siguiente subtema llegaremos, mediante ejemplos de algunas funciones, a

establecer las condiciones para que una función sea continua.

1.2.1. Condiciones de continuidad.

En estos ejemplos te presentaremos distintas formas de discontinuidad que puede

tomar una función.

1. Sea la función

5

103)(

2

x

xxxf .

11..22..

x

y

La gráfica representada en esta función,

presenta un hueco, es decir, hay un trazo

interrumpido. Concluimos que es una

función discontinua.

En forma intuitiva se puede decir que

la gráfica de esta función puede

dibujarse en un trazo ininterrumpido.

Concluimos que es una función

continua.

37

Límites

La gráfica de la función es:

En esta función )(xf no está definida para 5x ; esto nos dice que hay una

ruptura en la gráfica en 5x concluimos que la función f es discontinua en

5x y continua para todos los otros valores de x diferentes de 5 ( 5x ).

Si calculamos el límite de esta función cuando x tiende a 5 tenemos:

.7)2(lim5

)2)(5(lim

5

103lim

55

2

5x

x

xx

x

xx

xxx

Como te darás cuenta el límite existe y es igual a 7; sin embargo, )5(f no existe,

es decir, el valor que toma la función en 5x no existe ya que hace 0 al

denominador de la función racional provocando que ésta se indefina.

Concluimos entonces que el valor del límite es diferente al valor de la función

valuada en .5x Esto es, )5()(lim5

fxfx

.

2. Consideremos ahora la función g :

.

212

22

8)(

3

xcuando

xcuandox

xxg

Esta función )(xg se compone de dos partes (Figura 1.7), la primera parte está

definida para todos los números reales 2x excepto para 2x , ya que en ese

valor el denominador de la función racional se hace 0 , haciendo que esa parte de

la función quede indefinida; es precisamente en ese valor que la gráfica de la

función presenta un hueco. Por otro lado en la segunda parte de )(xg , la función

toma el valor de un punto con coordenadas )12,2( , haciendo que el hueco que

existe de la primera parte de la función quede definido en esta segunda parte; es

decir, el hueco se rellena. Ya que no hay una ruptura en la gráfica de )(xg

debemos afirmar entonces que g es una función continua.

Nuevamente, si calculamos el límite de esta función g tenemos:

.12)42(lim2

)42)(2(lim

2

8lim 2

2

2

2

3

2xx

x

xxx

x

x

xxx


función )(xg .


38

Si comparamos el valor del límite, es igual al valor que toma la función g en

2x . Esto es )2()(lim2

gxgx

. Por tanto la función )(xg es continua en

2x .

Otro ejemplo es la función presentada en el Ejemplo 7 de este módulo (pág. 23),

286

22|1|)(

2 xsixx

xsixxf ,

su forma es un claro ejemplo de una función discontinua, ya que ésta presenta un

salto en el valor 2x .

Si recuerdas, el cálculo de los límites unilaterales de la función f fueron:

a) .3212|1|2|12|)(lim2

xfx

b) .081248)2(6)2()(lim 2

2xf

x

Como estos dos límites son diferentes, tenemos que:

Por otro lado tenemos que el valor de la función )(xf valuada en 2 es igual a 3 .

Lo anterior nos dice que aún teniendo a una función definida en algún punto, en

este caso 2 , es una condición necesaria para la continuidad en ese punto, pero no

suficiente para asegurar que la continuidad exista ya que el límite no existe en ese

mismo punto.

Los ejemplos antes mencionados son suficientes para determinar ahora las

condiciones que una función debe cumplir para hablar de continuidad en un punto.

El significado de esta definición nos asegura tres condiciones:

I. )(cf esté definida. Es decir que exista, que c pertenezca al dominio de f .

II. )(lim xfcx

exista.

III. ).()(lim cfxfcx

Si cualquiera de estas tres condiciones falla, decimos que la función f no es

continua en el punto c , esto es, que es discontinua en c .

)(lim2

xfx

Continuidad en un punto: Sea f una función definida en un intervalo

abierto que contiene a c . Decimos que f es continua en c si

).()(lim cfxfcx

39

Límites

En pocas palabras, si quieres determinar si una función es continua en un punto

dado c , tienes que verificar primero si la función está bien definida en c , esto lo

logras sustituyendo en la función dicho valor para determinar si el resultado es un

número real. Luego determinar que el límite de la función en ese valor c existe, y

por último verificar que el valor del límite y el de la función valuada en c es el

mismo.

Una función es continua siempre que no se presente cualquiera de los siguientes

casos:

1. Una división por cero, esto en el caso de las funciones racionales.

2. Si se extrae una raíz de índice par a una cantidad negativa, esto en el caso de

las funciones radicales.

3. Una función por partes es continua, si cada función lo es en su intervalo de

definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto

deben coincidir los límites unilaterales.

Esto es, si sustituimos un valor cualquiera a la variable independiente x y no se

presenta ninguno de los casos anteriores, la función será continua para ese valor.

En caso contrario, la función presentará cualquiera de los siguientes tipos de

discontinuidad:

1. Discontinuidad Removible o Evitable: Esta discontinuidad se da cuando la

condición II se cumple, pero no así la condición I, es decir, cuando )(lim xfcx

existe, pero )(xf no está definida en cx , provocando de esta manera que la

condición III no se cumpla, esto es, )(cf )(lim xfcx

. Cabe mencionar que este

tipo de discontinuidad se puede remover o evitar, como en el caso de las

funciones racionales, por ejemplo, mediante el proceso de factorización que

hemos llevado a cabo en varios de los ejemplos desarrollados.

2. Discontinuidad No Removible, Inevitable o de Primera especie: Este tipo de

discontinuidad se presenta cuando la condición I se cumple, pero no así la

condición II, específicamente, cuando los límites unilaterales existen en cx ,

pero son distintos. Esto es, cuando

)(lim)(lim xfxfcxcx

.

3. Discontinuidad Esencial o de Segunda especie: Este tipo de discontinuidad se

da cuando uno de los límites unilaterales no existe en cx .

Ejemplo16. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas, en

los puntos que se te indican:

1. Sea ;1

1

32

12

)( 2

xsix

xx

xsi

xf determina si es continua en

1x .


40

Aplicando las tres condiciones de continuidad:

I. Veremos primero que )(xf en 1x , existe. (Tomamos ese valor ya que es el

punto crítico donde la función cambia de forma).

.2)1(f

Efectivamente se cumple la condición I. Calcularemos ahora el límite de la función

f cuando x tiende a 1.

II. .5)32(lim1

)32)(1(lim

1

32lim

11

2

1x

x

xx

x

xx

xxx

Como el valor del límite es un número real, entonces existe. Por último verificaremos

que se cumpla la condición III, ).()(lim cfxfcx

III. .2)1(,5)(lim1

fperoxfx

Entonces ).1(25)(lim1

fxfx

La condición III no se cumplió, por lo tanto la función f no es continua en 1x ;

es discontinua en ese valor.

2. Sea

3

1)(

xxf ; determina si es continua o discontinua en 3x .

En el caso de las funciones racionales es necesario, primeramente, ver para qué

valores de x la función se indefine; es decir, dónde el denominador de la función

se hace .0 Para ello se toma el denominador 3x y se iguala a cero con la

finalidad de despejar x .

.3

;3033

;03

x

x

x

Entonces )(xf se indefine cuando x toma el valor 3 , ya que la división por cero

no es posible. Así vemos inmediatamente que la condición I no se cumple ya que

)3(f no existe; por lo que f es discontinua en 3x .

Observa en la Figura 1.8 que si cambiamos el valor de c , entonces f estaría bien

definida, por lo que )(cf existiría. Haciendo posible que sea continua en un valor

de c diferente de 3 .

3. Sea ,)(

512

512

xsix

xsix

xg determina si es continua o

discontinua en 5x .

Fig. 1.8 Gráfica de la función

3

1)(

xxf .

41

Límites

Aplicando las tres condiciones de continuidad:

I. )(cf existe ; evaluamos la función en 5x ; 111)5(2)5(f , existe. Por

tanto cumple. Ahora calculamos el límite de la función )(xg , que por ser por

partes requerimos determinar los límites unilaterales:

II. )(lim xfcx

existe;

;11)(lim5

xfx

;9)(lim5

xfx

Ya que los límites unilaterales son diferentes concluímos que

por lo que no se cumplió la condición II. Ya que una de las tres condiciones no se

cumplió, podemos entonces concluir que )(xf es discontinua en 5x .

Contesta lo que se te pide.

1. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas. En

el punto donde se indica.

a) 1)( 2xxf , en 2x .

b) 53)( xxf , en 1x .

c) xxf2

1)( , en 0x .

d)

3

9)(

2

x

xxf , en 3x .

e) 1)( xxf , en 9x .

f)

332

33)(

xsix

xsixxg en 3x .

g) ;

9

910

99

)(2 xsix

xsi

xsix

xh en 9x .

)(lim5

xfx

EJERCICIO 5


42

¡Ojo! Recuerda que

debes resolver la

autoevaluación y los

ejercicios de

reforzamiento; esto te

ayudará a enriquecer

los temas vistos en

clase.

h) ;

3

33

33

3

)(2

2

xsix

xsix

xsix

x

xf en 3x .

2. Demostrar que la función 1)( 2xxf es continua en 3x .

3. Dada la función

31

323)(

xsikx

xsixxg ; para que valor de k la función

es continua en 3x .

TAREA 5

Página 51.

EJERCICIO 5

(continuación)

43

Límites

INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide en cada caso y entrega los resultados a tu profesor.

A) Realiza investigación bibliográfica y elabora una breve historia del cálculo diferencial, por lo menos de

cuartilla y media. Escribe la fuente de información.

B) Para cada una de las siguientes funciones elabora la gráfica correspondiente y construye para cada una

la tabla de valores para encontrar el límite dado.

1. )21(lim1

xx

2. )2(lim5

xx

3. )2(lim 2

0xx

x

4. )32(lim 2

2xx

x

5.

3

12lim

3 x

x

x

6.

3

9lim

2

3 x

x

x

7. sixfx

)(lim1

15

112)(

xsix

xsixxf

8. sixgx

)(lim1

12

14

1

12)(

2

xsix

xsixxxg

9.

168

65lim

2

2

6 xx

xx

x

10. sixhx

)(lim2

26

2)(

2

xsix

xsixxh

Nombre ____________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 1


44

C) Escribe cinco ejemplos de la vida real donde se apliquen los límites.

1.

2.

3.

4.

5.

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

45

Límites

INSTRUCCIONES: En los siguientes límites de funciones indica el teorema que se aplica y evalúalos.

1.

exlim

2. xx 1lim

3. )23285(lim 234

21

xxxxx

4. )95)(23(lim 22

2xx

x

5. 3

1)15(lim x

x

6. )(lim 2

91

xxx

7.

65

23lim

4 x

x

x

8. )76(lim 24

2xx

x

9.

83

59lim

37 x

x

x

10.

x

xxx

x

8)]79)(3[(lim 6

8

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 2


46

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

47

Límites

INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te indica en cada caso y entrega el resultado a tu profesor.

I. En los siguientes ejercicios aplicarás los teoremas sobre límites.

1. Sea ,123)( 2 xxxf 4)( 2xxg y 34)( xxh

Hallar:

a) )]()()([lim2

xhxgxfx

b)

)(

)]()([lim

1 xh

xgxf

x

c)

)(

)]()()([lim

5 xf

xfxgxh

x

2. De los siguientes límites, indica cuáles son determinados; y cuáles, indeterminados.

a)

5

102lim

5 x

x

x __________________________

b) 2

2

2 )2(

)3(lim

x

x

x __________________________

c)

)2)(65(

1245lim

2

56 xx

xx

x ___________________________

d) xxx

coslim ____________________________

e)

1

12lim

2

0 h

hh

h _____________________________

f) k

xe9

6lim ______________________________

g) ]22ln[lim1

xxx

_______________________________

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 3


48

3. ¿Qué entiendes por funciones determinadas y funciones indeterminadas?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

4. ¿Cuáles son las técnicas o procesos que se tienen que seguir para convertir una función indeterminada en

determinada?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

5. Una escalera de 25 pies se apoya en una casa y su base se separa de la casa a razón de 2 pies por

segundo. Sabiendo que su extremo superior desciende por la pared con velocidad,

./625

2

2segpies

x

xr

a) Hallar la velocidad cuando x es 7 pies.

b) Hallar la velocidad cuando x es 15 pies.

c) Hallar el límite de r cuando x tiende a 25 pies.

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

49

Límites

INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide y entrega un reporte a tu profesor.

1. De los siguientes límites infinitos encuentra el signo que debe de asignarse al .

a)

1

5lim

1 x

x

x

b)

32

94lim

23 x

x

x

c)

12lim

21 x

x

x

2. Resuelve los siguientes límites en el infinito para comprobar las siguientes igualdades.

a) 3742

356lim

3

23

xx

xx

x b) 0

32

26lim

35

24

xxx

xx

x

c) 132

34lim

23

2

xx

x

x d)

xhxxh

hxxhh

x 2

1

234

23lim

33

322

e) 11

1lim

x

x

x f) 0

cos3lim

x

x

x

g) 11

limn

n

n h) 5

65

35lim

2

2

xx

x

x

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 4


50

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

51

Límites

INSTRUCCIONES: Determina si las funciones son continuas o discontinuas en el punto indicado y

compruébalas con la gráfica de cada una de ellas.

a) 1)( 2xxf , en 2x .

b) 53)( xxf , en 0x .

c) xxf3

1)( , en 1x .

d)

4

16)(

2

x

xxf , en 4x .

e) ||)( xxf , en 0x .

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 5


52

f)

225

22)(

2

xsix

xsixxh , en 2x .

g)

11

11)(

2 xsix

xsixxf , en 1x .

h)

1

3)(

xxf , en 1x .

i)

423

411

432

)(

xsix

xsi

xsix

xg , en 4x .

53

Límites

INSTRUCCIONES: Examínate contestando las siguientes preguntas, señalando la respuesta correcta en la

letra que corresponda:

1.

5

25lim

2

5 x

x

x

6

10

existeNo

1

2. )14(lim 2

2xx

x

0

7

3

2

3.

53

4lim

2

2

2 x

x

x

7

1

x2

5

6

4.

79

23lim

x

x

x

3

1

5

6

0

2

5. senxx

2

lim

1

0

1

Nombre _________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

AUTOEVALUACIÓN


54

6. El valor de k en la función

26

23)(

xsikx

xsixxf es:

2

2

1

4

7. )32ln(lim 42

3

xx

xee

32

8

100

180

8. La siguiente gráfica corresponde a una función:

continua en 0x

discontinua en 0x

constante en 0x

constante en 0x

9. ¿Cómo es la función 4)( 2xxg en 0x ?

continua

continua removible

discontinua

discontinua removible

10. La función

xxf

2

1)( es continua en 2x :

Verdadero

Falso

Verdadero si 2x

Falso si 2x

Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te

invitamos a continuar con esa dedicación.

Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es

necesario que repases los temas.

Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es

insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu

profesor.

ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE

x

y

55

Límites

INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes reactivos, resuélvelos y entrega un

reporte a tu profesor.

1. Obtén los siguientes límites:

a)

3

27lim

3

3 x

x

x

b)

x

x

x

25)5(lim

2

0

c)

4

2lim

4 x

x

x

d) ]32[lim0

sen

e)

33

652lim

23

23

1 xxx

xxx

x

f)

3lim

0

xx

x

ee

g) ]5)82ln[(lim 32

2xx

x

h) )3)(23(lim 2

3xxx

x

i)

52

44lim

x

x

x

j)

52

43lim

2x

x

x

EJERCICIO DE

REFORZAMIENTO 1

Nombre _________________________________________________________




56

2. Determina el signo ó del , resolviendo los siguientes ejercicios con límites infinitos.

a)

2

5lim

2 x

x

x

b)

3lim

2

3 x

x

x

c)

27

32lim

72 x

x

x

3. Determina si las siguientes funciones son continuas en el punto indicado.

a) 53)( xxf ; en 2x .

b) 7)2(5)( 2xxf ; en 1x .

c) 4|1|1)( xxf ; en 0x .

d)

6

36)(

2

x

xxf ; en 36x .

e)

25)1(

22

1)(

2

3

xsix

xsixxf ; en 2x .

f)

11

11

11)1(3

)(

2

xsix

xsi

xsix

xg ; en 1x .

4. Hallar el valor de x donde la función es discontinua y determina si esa discontinuidad puede ser removible

o no; es decir, si la función se puede expresar como otra función mediante factorización.

a)

xxf

2)(

b)

9

27)(

2

3

x

xxf

c)

02

00)(

xsi

xsixg

UUnniiddaadd 22

LLaass rraazzoonneess ddee

ccaammbbiioo yy llaa

ddeerriivvaaddaa

Objetivo:

El alumno:

Resolverá problemas sobre razones de

cambio y la derivada, aplicando sus

principios, conceptos y reglas en la

interpretación gráfica de contextos de las

ciencias naturales, económico-

administrativas y sociales; contribuyendo

a generar un ambiente escolar

colaborativo y responsable.

Temario:

La derivada.

Reglas de derivación.

El libro de la naturaleza

“El gran libro de la naturaleza siempre está abierto ante

nuestros ojos y la verdadera filosofía está escrita en él…

Pero no lo podemos leer a menos que hayamos aprendido

primero el lenguaje y los caracteres con los cuales está

escrito…

Está escrito en el lenguaje matemático y los caracteres son

triángulos, círculos y otras figuras geométricas.” (Símbolos

matemáticos).

Galileo Galilei

Las razones de cambio son derivadas; razones de cambio

relacionadas. Por lo tanto, el estudio del cambio y

movimiento se convierte en el estudio de las derivadas. La

expansión y la elevación de los globos son de los buenos

ejemplos.


58

Mapa Conceptual de Unidad

Interpretación geométrica de la

derivada.

La ecuación de

la recta tangente

en un punto.

La Derivada.

Razón de

cambio

promedio e

instantánea.

Las reglas de

derivación.

Las cuales son:

Se obtiene por

De la cual

obtenemos

Lo que nos permite

calcular

Regla de la potencia.

Reglas del producto

y del cociente.

Regla de la cadena.

Derivadas de funciones

trigonométricas.

Derivadas de funciones

exponenciales y

logarítmicas.

59

Las razones de cambio y la derivada

LLAA DDEERRIIVVAADDAA..

Durante los siglos XVI y XVII, surgió la necesidad de establecer la forma en

que varía una cantidad de otra, como en física, en sus problemas

fundamentales, en donde se requiere saber cómo varía la posición de un

cuerpo al transcurrir el tiempo. Por esto, se introdujeron conceptos de

magnitud de variables y función. Esta evolución dio como consecuencia el

nacimiento de diferentes disciplinas, entre la que está el cálculo diferencial,

que básicamente estudia la variación y los procesos de cambio.

El cálculo es la matemática del movimiento y del cambio, y como puedes ver,

nada puede existir en el universo sin que sufra un cambio, no ha de

sorprendernos la inmensa variedad de aplicaciones del cálculo.

La historia nos narra que el desarrollo del cálculo nació de cuatro grandes

problemas observados por europeos en el siglo XVII:

1. El problema de la tangente.

2. El problema de la aceleración.

3. El problema de máximos y mínimos.

4. El problema del área.

Los cuatro problemas involucran la noción intuitiva de límite, y sirvió para

introducirse a un nuevo conocimiento que se llamó Cálculo.

2.1.1. Interpretación geométrica de la derivada.

Sea )(xf una función cualquiera, si tomamos los puntos )(, 11 xfx y

)(, 22 xfx como se muestra en la figura:

22..11..

Gottgried Wilhem Leibniz (1646-

1716) Como matemático, su

nombre está unido al del gran

Newton, como coautor del

cálculo infinitesimal

1x

)( 1xf

2x

)( 2xf

)(,22

xfx

)(, 11 xfx

)(xf


60

Llamaremos sm a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos

)(, 11 xfx , )(, 22 xfx , la cual la podemos calcular de la siguiente

manera:

12

12 )()(

xx

xfxfms

Si hacemos que el punto 2x se aproxime al punto 1x , las pendientes de las

rectas secantes que se van generando las podemos calcular utilizando la

misma fórmula, esto lo podemos observar en la siguiente figura:

Apoyándonos en la gráfica anterior se puede observar también que conforme

2x se aproxima a 1x , las rectas secantes que se generaron se aproximan a

la recta tangente a )(xf en el punto 1x , y por lo tanto las pendientes de las

rectas secantes se estarán aproximando a la pendiente de la recta tangente,

la cual la denotaremos como tm .

Si recuerdas, al proceso de ir aproximando lo relacionamos con el concepto

de límite; de tal manera que podemos afirmar que el valor de la pendiente de

la recta tangente de una función )(xf en el punto 1x es igual al límite de las

pendientes de las rectas secantes cuando el punto 2x se aproxima a 1x y

esto lo podemos escribir de la siguiente manera:

1x

2x

2x

2x

)( 2xf

)( 2xf

)( 2xf

)( 1xf

61


sxx

t mlímm12

Es decir:

12

12 )()(

12 xx

xfxflímm

xxt

Si en la fórmula anterior hacemos 12 xxh , se puede observar fácilmente

que si 2x se aproxima a 1x , la diferencia 12 xx se va haciendo cada vez

más pequeña; de tal manera que podemos decir que si 2x se aproxima a

1x , entonces 12 xxh se aproxima a cero.

Por otro lado, si de la igualdad 12 xxh despejamos 2x , obtenemos

hxx 12 ; si estos cambios los sustituimos en:

12

12 )()(

12 xx

xfxflímm

xxt Ecuación 2.1

Se obtiene:

h

xfhxflímmh

t

)()( 11

0

Ecuación 2.2

Ejemplos:

1) Hallar el valor de la pendiente de la recta tangente ( tm ) de la función

1)( 2xxf en el punto 21x .

Para utilizar la fórmula, debemos calcular:

1)()( 2

11 xxf

1)()( 2

11 hxhxf

Si estos valores los sustituimos en:

h

xfhxflímmh

t

)()( 11

0

Tendremos:

)(2)(2))(2())((2

1)(1))((2)()1)((1)(

110

1

0

2

1

0

2

1

2

1

2

1

0

2

1

2

1

0

xhxlímh

hxhlím

h

hhxlím

h

xhhxxlím

h

xhxlímm

hhh

hht


62

)(2)(2))(2())((2

2)(2))((2)()2)((2)(

110

1

0

2

1

0

2

1

2

1

2

1

0

2

1

2

1

0

xhxlímh

hxhlím

h

hhxlím

h

xhhxxlím

h

xhxlímm

hhh

hht

Por lo tanto )(2 1xmt , si sustituimos 21x obtenemos )2(2tm ,

4tm

2) Hallar la ecuación de la recta tangente ( tR ) a la función 2)( 2xxf en

21x .

Para resolver este ejercicio, necesitamos calcular tm y el punto formado por

)(, 11 xfxP , para sustituirlo en la ecuación de la recta, que si recuerdas

está dada por )()( 11 xxmxfy t .

Para calcular tm procederemos como en el ejemplo anterior:

2)()( 2

11 xxf

2)()( 2

11 hxhxf

Estos valores los sustituimos en:

h

xfhxflímmh

t

)()( 11

0

Tendremos:

Por lo tanto )(2 1xmt , si sustituimos 21x obtenemos )2(2tm ,

4tm

El punto es )2,2(P , ya que 21x , y

2242)2(2)()( 22

11 xxf .

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta

)()( 11 xxmxfy t , obtenemos:

)2(42 xy desarrollando

842 xy igualando a cero

064: yxRt que corresponde a la ecuación de la recta tangente

a 2)( 2xxf en el punto 21x .

63


Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con tus

compañeros.

I. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada, en el punto

dado:

2

1463)()3

4)()2

032)()1

2

2

xenxxxf

xenxxf

xenxxxf

II. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto

dado:

1)()5

334)()4

12)()3

1)()2

11)()1

3

2

2

2

xenxxf

xenxxxf

xenxxf

xenxxf

xenxxf

III. Con el apoyo de tu profesor, realiza las gráficas correspondientes

(Función y Recta tangente) de los ejercicios del punto II.

EJERCICIO 1

TAREA 1

Página 91.


64

DEFINICIÓN: La derivada de una función )(xf que representaremos como

)´(xf se define como el valor de la pendiente de la recta tangente a la

función )(xf en el punto x , es decir:

h

xfhxflímmxfh

t

)()()´(

0

Ecuación 2.3

Existen otras formas para representar a la derivada, las cuales puedes

encontrar en diferentes bibliografías, algunas de ellas son:

dx

dy, ´y ,

dx

df

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones utilizando la

definición formal de derivada (Ecuación 2.3).

1) 23)( xxf

Para resolverlo, necesitamos encontrar:

23)(

2332)(3)(

xxf

hxhxhxf

Si estas expresiones las sustituimos en la Ecuación 2.3, obtenemos:

.33323233

)23(233)()()´(

000

00

hhh

hh

límh

hlím

h

xhxlím

h

xhxlím

h

xfhxflímxf

Por lo tanto:

.3)´(xf

65


2) 52)( 2 xxxf

Calculemos:

52)(

52225)(2)()(

2

222

xxxf

hxhxhxhxhxhxf

Sustituyendo en la Ecuación 2.3, se obtiene:

Por lo tanto:

.22)´( xxf

3)

2

1)(

xxf

h

xhxlímxfh

2

1

2

1

)´(0

, obtenemos el común denominador de

ambas fracciones algebraicas y multiplicando cruzado. Obtenemos:

.)2(

1

)2)(2(

1

)2)(20(

1

)2)(2(

1

)2)(2(

1

)2)(2(

22

)2)(2(

)2(1)2(1

)´(

2

00

00

xxxxx

xhxlím

xhxh

hlím

h

xhx

hxx

límh

xhx

hxx

límxf

hh

hh

Recuerda que:

222 2)( bababa

Si factorizamos h

2220222)22(

22525222

)52(5222)()()´(

00

2

0

222

0

222

00

xxhxlímh

hxhlím

h

hhxhlím

h

xxhxhxhxlím

h

xxhxhxhxlím

h

xfhxflímxf

hh

hh

hh


66

Por lo tanto:

2)2(

1)´(

xxf

4) xxf )(

h

xhxlímxfh 0

)´( si multiplicamos y dividimos por el conjugado de

xhx que es xhx , tendremos:

.2

11

0

1

1

)()(

)()´(

000

22

00

xxxxx

xhxlím

xhxh

hlím

xhxh

xhxlím

xhxh

xhxlím

xhx

xhx

h

xhxlímxf

hhh

hh

Por lo tanto:

.2

1)´(

xxf

67


I. Calcula la derivada de las siguientes funciones (utilizando la ecuación

2.3). Comprueba los resultados con tus compañeros.

1) 25)( xxf

2) 54

3)( xxf

3) xxf )(

4)

8

3)(

xxf

5) xxxf 2)(

6) 23)( xxf

7) 354)( 2 xxxf

8)

4

5

2

1

3

2)( 2 xxxf

9) 3)( xxf

10)

5

1)(

xxf

11)

xxf

1)(

12)

52

3)(

xxf

13)

3)(

x

xxf

14) 2

1)(

xxf

15) 2)( xxf

16) xxf 3)(

17) 13)( xxf

18)

xxf

1)(

19)

5

2)(

xxf

20)

75

1)(

xxf

EJERCICIO 2

TAREA 2 y 3

Págs. 93-95.


68

1x 2x

1y

2y

y

P1

P2

y

x

x

2.1.2. Razón de cambio promedio.

En Geometría Analítica (Matemáticas 3) se estudió lo referente a la pendiente

de una recta que pasa por los puntos ),(),( 222111 yxPyyxP denotada

como ""m , la cual la podías calcular utilizando la fórmula:

12

12

xx

yym

Utilizando la notación de cambio o incremento, la expresión anterior la

podemos transcribir como:

x

ym

Donde:

12 xxx . Es la diferencia de las abscisas ( x )

12 yyy . Es la diferencia de las ordenadas ( y )

Como se muestra en la siguiente gráfica:

Por lo tanto:

x

y se lee como “razón de cambio de “ y ” con respecto a “ x ”.

Lo que nos permitir definir:

Es una letra

griega llamada

delta.

Que significa: CAMBIO.

Razón de cambio promedio.

Sea f una función tal que )(xfy y ),(),( 222111 yxPyyxP un par de puntos

de f . Definimos la razón de cambio promedio de “ y ” con respecto a “ x ” como:

12

12

12

12 )()(

xx

xfxf

xx

yy

x

y

69


Ejemplo 1.

Determinar la razón de cambio promedio de la función

13)( xxf en el intervalo ]7,3[

Solución: Hagamos una partición del intervalo ]7,3[ de la siguiente manera:

Realizando la siguiente tabla:

x )(xfy x y

x

y

3 10)3(f

134 31013)3()4( ff

1

3

4 13)4(f

145 31316)4()5( ff

1

3

5 16)5(f

156 31619)5()6( ff

1

3

6 19)6(f 167 31922)6()7( ff

1

3

7 22)7(f

Observa la tabla, te puedes dar cuenta que la razón de cambio promedio de

la función 13)( xxf en el intervalo ]7,3[ con la partición del intervalo

dada, permanece constante y es igual a :

31

3

x

y

NOTA: Si tomamos los puntos 5.41x y 2.62x , y sustituimos estos

valores en la función, se tiene que:

5.1415.131)5.4(3)( 1xf

y

6.1916.181)2.6(3)( 2xf .

Entonces la razón de cambio promedio de la función es:

37.1

1.5

5.42.6

5.146.19)()(

12

12

xx

xfxf

x

y

3 4 5 6 7


70

Es decir que la razón de cambio promedio de la función independientemente

de la partición permanece constante.

Ejemplo 2.

Determinar la razón de cambio promedio de la función:

32)( 2 xxxf en el intervalo ]1,2[ .

Solución:

Si tomamos 21x y 12x , entonces

33443)2(2)2()( 2

1xf

63213)1(2)1()( 2

2xf

Sustituimos en la fórmula de la razón de cambio promedio para ver el

resultado:

12

12

12

12 )()(

xx

xfxf

xx

yy

x

y

13

3

21

36

)2(1

36)()(

12

12

12

12

xx

xfxf

xx

yy

x

y

1x

y

Geométricamente hablando, 1x

y es la pendiente de la recta secante que

une los puntos )6,1()3,2( y como se muestra en la siguiente figura:

x

y

71


En equipo realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con los

miembros de tu equipo.

1. Determina la razón promedio de las siguientes funciones en los intervalos

que se te proporcionan.

a) 2xy , para x [-3, 4]

b) )37(2 xxy , para x

[1, 6]

2. Comprueba el resultado de la razón de cambio promedio que se te da en

las siguientes funciones:

a) 852 xxy , x [1,1.2] Respuesta: 2.7x

y

b) xxy 22, x [1, 1.5] Respuesta: 5.4

x

y

c) Hallar y , dado que y 532 xxy , y x = 0.01. ¿Cuál es el valor

de “ y ” cuando x = 4.9?

Respuesta: y = - 0.0699

y = 14.9301

3. Resuelve los siguientes problemas.

a) Encontrar el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su

radio se incrementa: de 2 a 3 pulgadas.

Recordar que:

3

3

4rV

b) Las distancias (en metros) recorridas por un automóvil durante un período

de ocho segundos son:

0, 29, 55, 78, 97, 114, 128, 138 y 145.

c) Hallar la velocidad media en el intervalo [0,145]

d) ¿La velocidad media es igual a la velocidad promedio? Sí o no.

e) A medida que se van reduciendo los intervalos de tiempo, ¿cuál es límite

real en que la velocidad se va aproximando?

f) Realiza la gráfica.

EJERCICIO 3


72

Razón de cambio instantáneo.

Sea )(xfy una función definida en todos puntos del intervalo ),( 21 xx ,

definimos la razón de cambio instantáneo de la función en x cómo:

x

ylímx 0

;

o bien:

12

12 )()(

12 xx

xfxflím

xx.

2.1.3. La razón de cambio instantánea.

Esta última expresión corresponde a la ecuación 2.2 (pág. 61) que

geométricamente hablando representa la pendiente de la recta tangente a la

función.

Una definición más general de derivada es: La derivada de una función es la

razón de cambio instantánea de la función en un intervalo dado.

RREEGGLLAASS DDEE DDEERRIIVVAACCIIÓÓNN..

Hasta ahora hemos determinado la derivada de una función mediante el uso

de la definición de derivada (Ecuación 2.3, mediante límite), pero ésta resulta

muy laboriosa y difícil de aplicar en algunas ocasiones.

Existen reglas que nos permiten encontrar la derivada de una función de una

manera más práctica, las cuáles conocemos como reglas o teoremas de

derivación. Enseguida te presentamos las reglas para el cálculo de derivadas.

2.2.1. REGLAS PARA CALCULAR DERIVADAS.

1. Regla de la función constante.

Si cxf )( , donde ""c es una constante, entonces 0)´(xf

Ejemplos:

Calcula la derivada de las siguientes funciones constantes.

1) 5)(xf

0)´(xf

22..22..

73


2) 8

7)(xf

0)´(xf

Observa que una función constante no cuenta con la expresión x . Por esta

razón la derivada de una función constante siempre es cero.

2. Regla de una constante por la función identidad:

Si xcxf )( , entonces cxf )´( .

Ejemplos:

Calcular la derivada de las siguientes funciones:

1) xxf 4)( entonces:

4)´(xf

2) xxg3

5)( entonces:

3

5)´(xg

3) xxf )( entonces:

1)´(xf

Para el caso en que la función es un múltiplo de la función identidad, la

derivada siempre es el coeficiente de la función xcxf )( , esto es siempre

es c . Recuerda que la derivada geométricamente hablando es la pendiente

de la recta tangente en un punto de la función, por lo que es evidente que c

en la expresión xcxf )( , es la pendiente de la recta cx . De ahí que c

siempre sea la derivada de una función de este tipo.

3. Regla de la función potencia:

Si ncxxf )( , entonces

1))(()´( nxncxf

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones.

1) 2)( xxf .

xxxf 22)´( 12.


74

2) 3

1)(

xxf .

En una función racional de este tipo, resulta más fácil derivarla si expresamos

la función como una potencia. Recuerda de tu curso de Matemáticas 2 de las

leyes de los exponentes que:

n

n

aa

1;

donde el 1 es el coeficiente de la base a . Esto significa que una potencia

con un exponente negativo en realidad es un cociente.

Tenemos entonces que 3

31

1x

x, luego la derivada de la función es:

413 33)´( xxxf ;

o bien:

4

3)´(

xxf .

NOTA: Observa que al expresar la función original como una potencia

mediante las leyes de los exponentes, no estamos derivando la función. Sólo

la estamos expresando en una equivalencia.

3) xxf )( .

Ya que no tenemos un teorema que derive funciones radicales (raíces),

tenemos que expresar este tipo de funciones mediante una función potencia,

de la cual si tenemos un teorema. Nuevamente por las leyes de los

exponentes tenemos que

ba

b a xx ;

donde a es el exponente de la base x y b es el radical, esto es, es la raíz b-

ésima. De esta manera una función radical siempre puede ser expresada

como una potencia, donde el exponente siempre será una fracción.

Tenemos entonces que la función xxf )( , la podemos representar

como la potencia:

21

)( xxf ,

observa en el numerador del exponente fracción que el valor es 1, debido a

que la base x de la función xxf )( tiene exponente uno, y el

denominador del exponente fracción es 2 debido a que la raíz es cuadrada.

Así la derivada de la función es:

12

1

2

1)´( xxf ;

y restando los exponentes quedaría

21

2

1)´( xxf ;

o bien

xxf

2

1)´(

NOTA: Al expresar una función radical a una potencia, observa que no

estamos derivando aún, sólo estamos expresando la función en una

equivalencia.

75


4) 35)( xxf entonces:

213 15)3)(5()´( xxxf

5) 5 23)( xxf , es decir

5

2

3)( xxf entonces la derivada de la función

es:

5 3

5

31

5

2

5

6

5

6

5

2)3()´(

xxxxf

4. Regla de la suma o diferencia de funciones:

Si )()()( xhxgxf , entonces )´()´()´( xhxgxf

Es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas; o

bien, la derivada de una resta de funciones es la resta de las derivadas.

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones.

1) 64)( xxf , mediante los teoremas vistos con anterioridad tenemos que

la derivada de x4 , es 4 y la derivada de 6 es 0 , de esta manera la derivada

de la función )(xf es:

404)´(xf

2) 782)( 4 xxxg , la derivada de la función es:

88)´( 3xxg .

3) 102

3)( 4 5

4

5 xx

xxh

Para este tipo de función, primero hay que expresar la función )(xh en una

función cuyos términos sean todas potencias mediante leyes de los exponentes,

para poder derivar así cada uno de sus términos, es decir:

1023102

3)( 4

5

454 5

4

5 xxxxx

xxh ,

entonces:

4

5

44

1

54

4

5815

4

5815)´( x

xxxxxxh .


76

Individual: Mediante el uso de teoremas, calcula la derivada

de las siguientes funciones.

1) 753)( 3 xxxf

2) 9874)( 25 xxxxg

3) 5)( xxh

4) 3946)( 4

1

2 xxxxf

5) 15)( 7 2 xxxg

6) 432

4321)(

xxxxxM

7) 53

)(5 7x

xT

8) 2

23 753)(

x

xxxxQ

9) )(xf

10) 272945)( 23456 xxxxxxxh

EJERCICIO 4

TAREA 4

Página 97.

77


5. Regla del producto de funciones.

Si )()()( xhxgxf , entonces )´()()´()()´( xgxhxhxgxf

Dicho en palabras: La derivada de un producto de funciones es igual a la

primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la

derivada de la primera.

Ejemplos: Calcula la derivada de las siguientes funciones.

1) 3553)( 32 xxxf la deriva es entonces:

xxxxxf 6351553)´( 322;

o bien:

xxxxxf 18307545)´( 424,

sumando términos semejantes, obtenemos:

xxxxf 187575)´( 24.

2) 952)( 35 xxxxf la deriva es entonces:

259352)´( 4325 xxxxxxf ;

o bien:

1845251563)´( 437237 xxxxxxxf ,

nuevamente sumando términos semejantes, obtenemos:

18158458)´( 2347 xxxxxf

Hay ocasiones que es mucho más práctico aplicar un poco de álgebra antes de

derivar, esto es, multiplicar primero eliminando paréntesis y después derivar, por

ejemplo:

3) 55)( 22 xxxf .

Como puedes darte cuenta, tenemos un producto de binomios conjugados. Si

recuerdas, el resultado de la multiplicación de este par es una diferencia de

cuadrados, es decir )(xf la podemos expresar de la siguiente manera:

25)( 4xxf ;

observa que aún no hemos derivado la función )(xf , simplemente la hemos

expresado en una equivalencia. De esta manera su derivada es:

34)´( xxf .


78

6. Regla del cociente de funciones.

Si 0)()(

)()( xhcon

xh

xgxf , entonces

2)(

)´()()´()()´(

xh

xhxgxgxhxf

Dicho de otra manera: La derivada del cociente de dos funciones es igual a la

función de abajo por la derivada de la de la función de arriba menos la función

de arriba por la derivada de la función de abajo, todo sobre la función de abajo

elevada al cuadrado.


1)

73

5)(

2

3

x

xxf

22

322

73

65373)´(

x

xxxxxf ,

eliminando paréntesis obtenemos:

22

424

73

306219)´(

x

xxxxxf ,

sumando términos semejantes tenemos:

22

24

73

30213)´(

x

xxxxf .

Al igual que en el caso de la multiplicación, hay ocasiones que es mucho más

práctico aplicar un poco de álgebra, esto es, factorizar la función para simplificar

primero y después derivar, por ejemplo:

2)

6

36)(

2

x

xxf

Como puedes observar tenemos una diferencia de cuadrados que podemos

factorizar como el producto de binomios conjugados, de tal manera que la

función )(xf podemos expresarla de la siguiente manera:

6

)6)(6()(

x

xxxf ;

79


llevando a cabo la simplificación nos queda:

6)( xxf ,

entonces la derivada de la función es:

1)´(xf .

En binas, deriva las siguientes funciones utilizando la regla que corresponda;

coteja tus resultados con los de tus compañeros y entrégaselos a tu profesor

para su revisión.

1) )5)(63()( 4xxxf

2) )84)(36()( 3 xxxxf

3) )13)(54()( 42 xxxxxf

4) xxxf 11)(

5) 933)( 242 xxxxh

6)

x

xxf

5

35)(

3

7)

26

53)(

2

x

xxxf

8)

964

278)(

2

3

xx

xxM

9)

x

xxg

1

1)(

10)

81

276)(

2

2

x

xxxG

EJERCICIO 5

5 5

TAREA 5

Página 99.


80

2.2.2. REGLA DE LA CADENA

7. Teorema de la regla de la cadena. (También conocido como teorema de la

función composición)

Si ))(()( xhgxf ,es decir, ))(()( xhgxf entonces

)´())(´()´( xhxhgxf

Antes de ejemplificar ejercicios donde se utilice la regla de la cadena para

derivar, es necesario que veamos que significa la función composición:

1, Sean las funciones

74)(,2)(,53)( 2 xxhyxxgxxxf .

La composición de las funciones )(xf y )(xg que se escribe ))(( xgf o

))(( xgf , significa que la función f será evaluada en la función g , es

decir, en cada x que la función )(xf tenga, pondremos en su lugar la

expresión de la función )(xg . Esto es:

723

5232

5)2(3)2(

5))((3))(())(())((

2

2

xx

xx

xx

xgxgxgfxgf

Ahora determinaremos la función composición ))(( xfg , con la finalidad

de que te des cuenta que la composición ))(( xfg no es la misma que la

función composición ))(( xgf . Veámoslo:

73

253

2)())(())((

2

2

xx

xx

xfxfgxfg

Puedes observar que:

723))(( xxxgf

y

73))(( 2 xxxfg ;

obviamente no son iguales.

81


Para aplicar el teorema de la regla de la cadena en la derivación de funciones

composición, primero resolveremos un ejemplo haciendo una separación de

las funciones:

Sean 3)( xxg y 9)( 2xxh , determinemos la función composición

))(()( xhgxf , es decir,

32 9)( xxf .

Para calcular la derivada )´(xf , utilizando la regla de la cadena dada por

)´())(´()´( xhxhgxf . Tenemos que calcular primeramente la derivada de

)(xg , observa para ello que g es una potencia, luego:

23)(' xxg ;

pero como g está compuesta con )(xh , tenemos entonces que evaluar la

función g en )(xh , esto significa que en cada x de la función )(xg vamos

a evaluar la función 9)( 2xxh , esto es:

222 )9(3))((3))(`( xxhxhg .

Por otro lado la derivada de la función )(xh es:

xxh 2)(' .

Sustituyendo estos resultados en el teorema de la regla de la cadena

)´())(´()´( xhxhgxf tenemos:

)2()9(3)´())(´()´( 22 xxxhxhgxf .

Si comparamos la función original con el resultado que obtuvimos al derivar,

se observa lo siguiente:

32 9)( xxf

)2()9(3)´( 22 xxxf

EJERCICIO 6

Con las funciones señaladas en el ejemplo anterior, encuentra:

1) ))(( xhf

2) ))(( xgh

3) ))(( xhg

4) ))(( xfh

TAREA 6

Página 101.


82

Como la función )(xg es una potencia, el exponente 3 lo bajamos

multiplicando al coeficiente 1 de la base )9( 2x , se le resta 1 al exponente

quedándonos 2 ; la función 9)( 2xxh permanece igual como base de la

potencia, y a esto se le multiplica por la derivada de xxh 2)( , que

corresponde a la derivada de lo que aparece dentro del paréntesis.

Esto último es lo que estaremos aplicando para hallar la derivada de una

función composición utilizando la regla de la cadena.

Resolvamos ahora algunos ejemplos:

Ejemplos: Mediante regla de la cadena, hallar la derivada de las siguientes

funciones:

1)

65 93)( xxf entonces:

554455 )93(90)15()93(6)´( xxxxxf .

2)

923 6378)( xxxf entonces:

82322823 637)4321512()621(63772)( xxxxxxxxxf

3) 4

7

44 74 )83()83()( xxxf entonces:

4 34334

3

4 )83(21)12()83(4

7)( xxxxxf

83


I. En binas, deriva las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena,

compara tus resultados con los de tus compañeros, y entrégaselos a tu

profesor para su revisión.

1) 52 )82()( xxF

2) 73 )65()( xxF

3) 34 )3()( xxxF

4) 4 5)35()( xxf

5) 64)( 3xxf

II. Con el apoyo de tu profesor(a), deriva las siguientes funciones utilizando

las diferentes reglas de derivación.

1) 4352 )7()1()( xxxF

2) 7373 )6()6()( xxxF

3) 32

5

)5(

)23()(

x

xxF

4) 5

52

)8(

)403()(

x

xxxF

5) )3)(64()( 33 xxxf

6)

8

5

2)(

x

xxg

7) )2)(5()( 4xxxM

8) 42 5

2)(

x

xxQ

9) 1

9)(

x

xxG

10) )3)(5()( 7 27 3 xxxL

EJERCICIO 7

TAREA 7

Páginas 103.


84

2.2.3. Derivadas de funciones trigonométricas

Teoremas de las derivadas de funciones trigonómetricas.

1.

Si ))(()( xgSenxf , entonces ))(()´()´( xgCosxgxf

2.

Si ))(()( xgCosxf , entonces ))(()´()´( xgSenxgxf

3

Si ))(()( xgTanxf , entonces ))(()´()´( 2 xgSecxgxf

4.

Si ))(()( xgCotxf , entonces ))(()´()´( 2 xgCscxgxf

5.

Si ))(()( xgSecxf , entonces ))(())(()()( xgTanxgSecxgxf

6.

Si ))(()( xgCscxf , entonces ))(())(()()( xgCotxgCscxgxf

Ejemplos: Encuentra la derivada de las siguientes funciones trigonométricas.

1) )()( 2xSenxf .

El argumento de la función trigonométrica es la expresión 2x , es decir dentro

del teorema que relaciona la función Seno, ))(()( xgSenxf , 2)( xxg ,

luego la derivada de la función es:

)(2)´( 2xxCosxf ;

donde x2 es la derivada de g , esto es, xxg 2)(' y )( 2xCos es la

derivada de la función original Seno.

2) )123()( 5 xxCosxh .

El argumento de la función trigonométrica es la expresión

123)( 5 xxxg ;

85


Por lo que la derivada de la función h es:

)123()215()´( 54 xxSenxxg .

3) )()()( 21

xTanxTanxh , entonces:

)(2

1)(

2

1)´( 222

1

xSecx

xSecxxh .

4) 3)52()( xCotxM , entonces:

)52()52(6)52()2()52(3)´( 2222 xCscxxCscxxM

5)

2

3)(

x

xSecxH , como el argumento es un cociente, al derivar

)(xg , se deriva como un cociente de funciones, entonces:

2

3

2

3

)2(

)1)(3()1)(2()´(

2 x

xTan

x

xSec

x

xxxH ;

2

3

2

3

)2(

32)´(

2 x

xTan

x

xSec

x

xxxH ;

2

3

2

3

)2(

5)´(

2 x

xTan

x

xSec

xxH .

6) 2

1

)73()73()( xCscxCscxT , luego la derivada es:

)73()73()3()73(2

1)´( 2

1

xCotxCscxxT

)73()73()73(2

3)´( 2

1

xCotxCscxxT

)73()73(732

3)´( xCotxCsc

xxT

NOTA: En todos los ejemplos desarrollados, observa que el argumento de la

función trigonométrica que representa a un ángulo, no se altera de ninguna

manera en la derivada. Esto es, el argumento de la función que resulte en la

derivada es el mismo que el argumento de la función original.


86

Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas y

entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1.

x

xsenxf

)()(

2. )2tan()5()( xxsenxf

3. )tan()( 2xxf

4. )(tan)( 2 xxf

5. )21cot()( 2xxf

6. )36(sec)( 6 xxf

7. )2()( xCosxh

8. 6)36()( xSecxL

9.

2

4)(

2

x

xCscxQ

10. )8()8()( 5252 xCosxSenxf

11.

)(

)()(

xSen

xCosxg

12.

)(

1)(

xCotxT

13. )9823()( 23 xxxSenxG

14.

xCosxf

1)(

15.

)()(

xSen

xxg

16. )35()35()( 22 xSecxCosxK

17.

)(

1)(

2 xCosxF

18. )23()4()( 3 xTanxxf

19.

)tan(

1)(

x

xxh

20. )()()( 35 xCosxSenxM

EJERCICIO 8

TAREA 8

Páginas 105.

87


2.2.4. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

Derivada de la función exponencial.

Si )()( xgexf , entonces

)()´()´( xgexgxf

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones exponenciales.

1) )35()( xexf .

El argumento de la función exponencial es el exponente 35x , esto es,

35)( xxg , luego la derivada de la función es:

)35(5)´( xexf .

2) )4()( xCosexf .

Ya que el argumento es una función trigonométrica, utilizaremos la derivada

de la función Coseno al derivar )(xg .

)4()4(4)´( xCosexSenxf

3) 2

5

)( x

x

exh .

El argumento de la función en este caso es un cociente de funciones, así que

al derivar )(xg tenemos que utilizar el teorema del cociente de funciones:

2

5

2

2

5

2

2

5

2 )2(

7

)2(

52

)2(

)1)(5()1)(2()´( x

x

x

x

x

x

ex

ex

xxe

x

xxxh

NOTA: Observa que la función exponencial original permanece siempre como

un factor en su derivada, así lo expresa el teorema )()´()´( xgexgxf .


88

Derivada de la función logaritmo natural.

Si ))(()( xgLnxf , entonces 0)()(

)´()´( xgcon

xg

xgxf


1) )63()( 24 xxLnxf .

El argumento de la función Logaritmo Natural es precisamente lo que está

entre paréntesis, esto es, 63)( 24 xxxg . Por lo que su derivada es:

63

64)´(

24

3

xx

xxxf .

2) ))1((3)( 3xSenLnxh .

El argumento de esta función es )1()( 3xSenxg , por lo que su derivada

queda:

)1(9)1(

)1(9

)1(

)1()3(3)´( 32

3

32

3

32

xCotxxSen

xCosx

xSen

xCosxxg .

Para llegar a este resultado hemos utilizado la siguiente identidad

trigonométrica

)(

)()(

xSen

xCosxCot .

Hay ocasiones en las cuales es conveniente aplicar las propiedades de los

logaritmos, antes de derivar, porque al hacerlo se facilita el cálculo de la

derivada. Estas propiedades las viste en el curso de Matemáticas 4.

Propiedades de Logaritmos:

)(1

)4

)()()3

)()()2

)()()])([()1

ALnn

ALn

ALnnALn

BLnALnB

ALn

BLnALnBALn

n

n

Veamos un ejemplo donde, al aplicar estas leyes, se facilita el cálculo de la

derivada:


1)

7

3

4

1

5)(

x

xLnxf .

89


Si observas la función, para derivarla sería necesario aplicar primeramente la

regla de la cadena, el teorema de la división y el teorema de la función

logaritmo lo cual es sumamente complejo; sin embargo, si aplicamos las

propiedades de los logaritmos anteriormente mencionadas te darás cuenta

que encontrar la derivada de la misma función se hace de una manera más

sencilla.

7

3

4

1

5)(

x

xLnxf , aplicando la propiedad #3 tenemos:

1

57)(

3

4

x

xLnxf ; ahora si aplicamos la propiedad #2 se tiene:

)1()5(7)( 34 xLnxLnxf , por último al derivar se obtiene:

1

3

5

47)´(

3

2

4

3

x

x

x

xxf ;

simplificado al aplicar álgebra tenemos:

.)1)(5(

105287

)1)(5(

1547

)1)(5(

153447

)1)(5(

)5)(3()1)(4(7)´(

34

236

34

236

34

2636

34

4233

xx

xxx

xx

xxx

xx

xxxx

xx

xxxxxf


90

Encuentra la derivada de las siguientes funciones exponenciales y

logaritmicas y preséntalas a tu profesor para su revisión:

1. )()( xSenexf 2.

2

1

)( xexf

3. xexg )( 4.

)1)(5( 74

)( xxexM

5. 2

425

)( x

x

exh 6.

92 )135()( xxexL

7. 15523 22

)( xxxx eexF 8. 52

74

)(x

x

e

exg

9. )()( 22

)( xCosxSen eexT 10.

52 )1()( xxLnexG

11. )()( 3xLnxf 12.

xLnxg

1)(

13. )2)(6()( xxLnxf 14.

52

13)(

2

x

xLnxM

15.

73 524)( xxLnxH 16. )]5([)( 2xCosLnxf

17.

xLnxh

1)( 18.

3 55 )73()( xLnxG

19. 52

)( xeLnxh 20.

)(

)()(

2

3

xLn

xLnxT

EJERCICIO 9

¡Ojo! Recuerda que debes

resolver la autoevaluación y los

ejercicios de reforzamiento;

esto te ayudará a enriquecer

los temas vistos en clase.

TAREA 9

Página 107.

91


INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con compañeros.

I. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:

62)()7

2

12)()6

12)()5

212)()4

0463)()3

1)()2

032)()1

2

2

2

2

xenxxf

xenxxf

xenxxh

xenxxg

xenxxxf

xenxxf

xenxxxf

II. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:

11)()5

034)()4

11)()3

32)()2

21)()1

3

2

2

2

xenxxf

xenxxxf

xenxxf

xenxxf

xenxxf

III. Con el apoyo de tu profesor, realiza las gráficas correspondientes (Función y Recta tangente) de

los siguientes ejercicios:

12)()3

13)()2

22

1)()1

2

2

xenxxf

xenxxf

xenxxf

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 1


92

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

93


INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de las siguientes funciones utilizando la definición formal de derivada

(Ecuación 2.3). Comprueba los resultados con tus compañeros.

1) 52)( xxf

2) 23

4)( xxf

3) 2)( xxf

4)

5

3)(

xxf

5) xxxf 2)(

6) 25)( xxf

7) 53)( 2 xxxf

8)

4

5

3

1

2

3)( 2 xxxf

9) 3)( xxf

10)

5

1)(

xxf

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 2


94

11) 2

1)(

xxf

12)

53

2)(

xxf

13)

3)(

x

xxf

14)

1

1)(

2xxf

15) 2)( xxf

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

95


INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con tus compañeros.

1. Determina la razón de cambio promedio de las siguientes funciones en los intervalos que se te

proporcionan.

a) 2xy , para 1,1x

b) 32xy , para 4,0x

c) 542 xxy , 5.1,1x

d) xxy 22, 0,2x

2. Hallar y , dado que 532 xxy , y x = 0.001. ¿Cuál es el valor de “ y ” cuando x = 4.9?

3. Resuelve los siguientes problemas.

a) Encontrar el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa: de 2 a 2.1

pulgadas. Recordar que:

3

3

4rV

b) Las distancias (en metros) recorridas por un automóvil durante un período de ocho segundos son:

0, 39, 65, 88, 107, 124, 138, 148 y 155.

c) Hallar la velocidad media en el intervalo [0,155]

d) ¿La velocidad media es igual a la velocidad promedio? Sí o no.

e) A medida que se van reduciendo los intervalos de tiempo, ¿cuál es límite real en que la velocidad se va

aproximando?

f) Realiza la gráfica.

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 3


96

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

97


INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de las siguientes funciones y comprueba los resultados con tus

compañeros.

1) 25)( 6 xxxf

2) 1135)( 43 xxxxg

3) 5 7)( xxh

4) 1987)( 8

1

5 xxxxf

5) 27)( 3 5 xxxg

6) 2345

4321)(

xxxxxM

7) 31

)(8 9x

xT

8) 5

23 753)(

x

xxxxQ

9) exf )(

10) 1072946)( 23455 xxxxxxxh

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 4


98

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

99


INSTRUCCIONES: Deriva las siguientes funciones utilizando la regla que le corresponda; coteja tus

resultados con los de tus compañeros.

1) )4)(48()( 5xxxf

2) )75)(2()( 3 xxxxf

3) )10)(954()( 42 xxxxxf

4) 33 11)( xxxf

5) 933)( 242 xxxxh

6)

x

xxf

3

53)(

5

7)

23

72)(

2

x

xxxf

8)

964

278)(

2

3

xx

xxM

9)

x

xxg

1

1)(

10)

9

276)(

2

2

x

xxxG

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 5


100

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

101


INSTRUCCIONES: Dadas las siguientes funciones, encuentra la función composición señalada en cada uno

de los siguientes ejercicios y coteja tus resultados con los de tus compañeros.

10)()(5)(3)(92)( 32 xTxxMxxhxxxgxxf

Hallar:

))(()15

))(()14

))(()13

))(()12

))(()11

))(()10

))(()9

))(()8

))(()7

))(()6

))(()5

))(()4

))(()3

))(()2

))(()1

xMT

xgM

xfg

xff

xTM

xTh

xMh

xTg

xMg

xhg

xTf

xgf

xMf

xhf

xgf

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 6


102

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

103


I. Deriva las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena, compara tus resultados con los de tus

compañeros, y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1) 52 )13()( xxF

2) 64 )92()( xxF

3) 23 )2()( xxxF

4) 9 10)23()( xxf

5) 2)( 3xxf

6) 42 )52(

1)(

xxxG

7) 1

2)(

xxM

8) 3 53 )4(

1)(

xxh

9) 82 )193()( xxxf

10) 7

1)(

2 xxxg

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 7


104

II. Con el apoyo de tu profesor (a), deriva las siguientes funciones utilizando

las diferentes reglas de derivación.

11) 4352 )7()1()( xxxF

12) 5353 )49()94()( xxxF

13) 39

5

)4(

)15()(

x

xxF

14) 5

52

)5(

)403()(

x

xxxF

15) )32)(4()( 35 3 xxxf

16)

5

7

1)(

x

xxg

17) )1)(5()( 3xxxM

18) 53 6

1)(

x

xxQ

19) 1

9)(

x

xxG

20) )5)(5()( 9 29 2 xxxL

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

105


INSTRUCCIONES: Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas y entrégaselas a tu

profesor para su revisión.

1.

x

xCosxf

)()(

2. )2()5()( xCotxCosxf

3. )()( 2xCotxf

4. )()( 2 xSecxf

5. )21()( 2xTanxf

6. )36()( 6 xSenxf

7. )2()( xCscxh

8. 6)36()( xSenxL

9.

2

4)(

2

x

xCosxQ

10. 10521052 )8()8()( xCosxSenxf

11.

)(

)()(

xCos

xSenxg

12.

)(

1)(

xTanxT

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 8


106

13. )9823()( 23 xxxCosxG

14.

xSenxf

1)(

15.

)()(

xCos

xxg

16. )35()35()( 22 xSenxCscxK

17.

)(

1)(

2 xSenxF

18. )2()4()( 3 xCotxxf

19.

)(

1)(

xCot

xxh

20. )()()( 35 xCscxSecxM

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

107


INSTRUCCIONES: Hallar la derivada de las siguientes funciones exponenciales y logaritmicas y presentalas a

tu profesor para su revisión:

1. )()( xCosexf 2.

10

1

)( xexf

3.

5

)( xexg 4. )3)(1( 96

)( xxexM

5. 3

958

)( x

x

exh 6.

102 )122()( xxexL

7. 1432 22

)( xxxx eexF 8. 2

13

)(x

x

e

exg

9. )15()15( 22

)( xCosxSen eexT 10.

62 )112()( xxLnexG

11. )()( 7xLnxf 12. 11

1)(

xLnxg

13. )1)(10()( xxLnxf 14.

5

12)(

2

x

xLnxM

15.

42 856)( xxLnxH 16. )]6([)( 7xCosLnxf

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 9


108

17. 2

1)(

xLnxh 18.

5 65 )98()( xLnxG

19. 35

)( xeLnxh 20.

)(

)()(

3

2

xLn

xLnxT

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

109


INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de

la opción que consideres correcta.

1. La interpretación geométrica de la derivada de una función es:

La pendiente de la recta secante a la función.

La pendiente de la recta tangente a la función.

Es límite de la función cuando x permanece constante.

La gráfica de la función.

2. El valor de la pendiente de la recta tangente a la función

523)( 2 xxxf en 1x es:

4tm

6tm

existeNomt

0tm

3. La derivada de una función constante es igual a:

La misma constante.

No existe.

Cero.

Uno

4. Si )()()( xhxgxf entonces el valor de su derivada es:

)´()()´()()´( xgxhxhxgxf

)´()()´()()´( xgxhxhxgxf

)´()´()´( xhxgxf

2

)(

)´()()´()()´(

xg

xgxhxhxgxf

5. Si 3 4

1)(

xxf , entonces, )´(xf es igual a:

3

4

)´( xxf

xxf3

4)´(

3

3

4)´( xxf

3 73

4)´(

xxf

Nombre _________________________________________________________



AUTOEVALUACIÓN


110

6. La derivada de 53 )3()( xxf es:

432 )3(15)´( xxxf

532 )3(15)´( xxxf

43 )3(15)´( xxxf

42 )3(5)´( xxf

7. La derivada de la función )()( xCosxf es:

)(1)´( xCosxf

)()´( xSenxf

)()´( xSenxf

)()()´( xCosxSenxf

8. Es el valor de la derivada de )()( xLnxf

)()´( xLnxf

xxf

1)´(

xxf

1)´(

)()´( xLnxf

9. La razón de cambio promedio de la función 1)( 2xxf en el

intervalo 2,0 es:

2

1

– 1

– 2

10. El resultado de derivar la función

3

)( xexf es:

3

)( xexf

23)( xexf

2323)( xexxf

323)( xexxf

111


INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

I. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada en el punto dado:

II. Hallar y graficar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:

1) 174)( 2 xenxxxf 2) 4)( xenxxf

III. Hallar la razón de cambio promedio de las siguientes funciones en el intervalo dado:

1) 0,232)( 2 xsixxxf

2)

3

10,

2

11

2

1)( xsixxf

3) 1,2163)( 2 xsixxxf

EJERCICIO DE

REFORZAMIENTO 1

Nombre _________________________________________________________



23

1)()3

42)()2

12)()1 2

xenx

xM

xenxxh

xenxxf


112

IV. Calcula la derivada de las siguientes funciones, utilizando la regla según le

corresponda.

1) 53 )632()( xxxf 2) )27)(34()( 3 xxxxf

3)

35

96)(

2

4

x

xxxf 4)

5 33 )54()( xxf

5) )42()( 2 xSecxf 6) )5

3()(

xCotxf

7) )28()( 42 xTanxf 8) )12()( 2xCscxf

9) )5()5()( 22 xCosxSenxf 10) )26()( 3 xCotxf

11) ))(()( 22 xSecxTanxf 12)

x

Cosxxf )(

13) 3 )3()( xCosxf 14) ))2(ln()( xSenxf

15) )93ln()( xxf 16) xxxf ln)( 3

17) xCscexf 3)( 18)

638 3

)( xxexf

19) 253

5)(5 42

2

xx

xxxxf

20)

3

1)(

23 xxxxf

UUnniiddaadd 33

VVaalloorreess mmááxxiimmooss

yy mmíínniimmooss

rreellaattiivvooss yy ssuuss

aapplliiccaacciioonneess

Objetivo:

El alumno:

Calculará los valores máximos y mínimos

relativos de una función mediante la

aplicación de los criterios de la primera y

segunda derivada, analizando los

intervalos donde la función es creciente o

decreciente, cóncava o convexa e

identificando la existencia de puntos de

inflexión, para su graficado y solución de

problemas de optimización y

aproximación, mostrando una actitud

reflexiva y de cooperación.

Temario:

Aplicaciones de la primera

derivada.

Concavidad.

Aplicaciones de la derivada.

Organizador anticipado:

El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio

de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores

máximos y mínimos de funciones de la determinación de longitudes,

áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias

de ingeniería, ciencias naturales, económico-administrativas y

sociales. En esta unidad se verá como utilizar la derivada para

resolver problemas de la vida diaria.

La mayor parte de los problemas de las ciencias sociales son

propiamente vistos como discretos en su naturaleza. Más aún, la

computadora, exacta y rápida para manejar cantidades discretas.

Surge una pregunta natural: ¿Por qué no estudiar los problemas

discretos utilizando herramientas discretas en lugar de modelarlos

primero en curvas continuas? Por esta razón los invito a ver el

contenido de esta Unidad.


114

CÁLCULO

DIFERENCIAL E

INTEGRAL

VALORES MÁXIMO Y

MÍNIMO RELATIVOS Y

SUS APLICACIONES

APLICACIONES DE LA

PRIMERA DERIVADA

APLICACIONES DE LA

DERIVADA

115

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA

PPRRIIMMEERRAA DDEERRIIVVAADDAA..

3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio

de la primera derivada.

A menudo la vida nos enfrenta con el problema de encontrar el mejor modo de

hacer algo. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos más

apropiada para obtener el mayor aprovechamiento. Un médico desea escoger y

aplicar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. Un fabricante

desea minimizar el costo de distribución de productos. Algunas veces, problemas

de esta naturaleza pueden formularse, de tal manera que involucre maximizar o

minimizar una función sobre un conjunto específico. Si es así, los métodos de

cálculo proveen una poderosa herramienta para resolver el problema, que es lo que

se verá en esta unidad.

Supongamos entonces que nos dan una función f y un dominio S como en la

Figura 1. Nuestro primer trabajo es decir si f puede poseer un valor máximo o un

mínimo en el dominio S . Suponiendo que tales valores existen, queremos

determinar los valores máximos y mínimos.

Figura 1

Para la cuestión de existencia ¿tiene f un máximo o un mínimo en S ?, la

respuesta depende del dominio, esto es, del conjunto S .

33..11..

x

y

S

Y=f(x)

Isaac Newton

1642-1727

Descubrió el Teorema del

binomio, los elementos de

Cálculo tanto Diferencial

como Integral, la Teoría

del color y la Ley Universal

de la Gravitación.

Definición: Sea c un punto en el dominio S de la función f . Decimos que:

a) )(cf es el valor máximo de f en S si: )()( xfcf Para toda “ x ” que

pertenezca a S .

b) )(cf es el valor mínimo de f en S si: )()( xfcf Para toda “ x ” que

pertenezca a S .

c) )(cf es el valor extremo de f en S si es un máximo o un mínimo.


116

Veremos algunos teoremas que responde a las pregunta para algunos de los

problemas que se presenten en la práctica.

Fíjate bien que para que exista un punto máximo o un mínimo se requiere que f

sea continua y que el conjunto S sea un intervalo cerrado.

Si observas bien, los puntos frontera son los extremos del intervalo, o lo que es lo

mismo, los extremos de la función en el dominio considerado. Los puntos

estacionarios son los puntos donde la función cambia de dirección, es decir, son

los puntos de inflexión donde la función sube o baja. Por último los puntos

singulares son los puntos donde la derivada de la función en ese valor c no existe.

Máx.

Min.

Puntos frontera

Máx.

Min.

Puntos estacionarios

Máx.

mín

Puntos singulares.

TEOREMA DE EXISTENCIA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS:

Si f es continua en un intervalo cerrado ba, , entonces f tiene allí

un valor máximo y un mínimo.

Recuerda que un

intervalo cerrado,

significa que contiene

a los extremos. Por

ejemplo el intervalo

cerrado [2,5] incluye

todos los números

que van del 2 al 5,

incluyendo a ambos.

TEOREMA DEL PUNTO CRÍTICO: Sea f definida en un intervalo I que

contiene al punto c . Si )(cf es un valor extremo, entonces c debe ser

un punto crítico; es decir, tendrá que ser uno de los tres casos:

a) Un punto frontera de I .

b) Un punto estacionario de )0)´(( cff .

c) Un punto singular de f en el que )´(cf no existe.

117


Esto último se ve representado en el corte que presenta la función, es decir, en la

discontinuidad.

Los siguientes gráficos te darán una idea de lo que dicen los criterios anteriores.

Máximo relativo en Mínimo relativo en

En vista de los teoremas anteriores, podemos establecer ahora un procedimiento

muy simple para encontrar los valores máximos y mínimos de una función continua

f en un intervalo cerrado I .

Ejemplo 1: Encuentre los valores máximos y mínimos de la siguiente función.

23 32)( xxxf ; en el intervalo 2,2

1I

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS:

Sea f una función continua sobre un intervalo abierto (a, b) que contenga al

punto crítico c .

(i) Si 0)´(xf para toda x del intervalo ),( ca y 0)´(xf para toda x

del intervalo ),( bc , entonces )(cf es un máximo local (o relativo) de

.f (es decir: si )´(xf cambia de positiva a negativa en c ).

(ii) Si 0)´(xf para toda x del intervalo ),( ca y 0)´(xf para toda x

del intervalo ),( bc , entonces )(cf es un mínimo local (o relativo) de .f (es

decir: si )´(xf cambia de negativa a positiva en c ).

(iii) Si )´(xf tiene el mismo signo a ambos lados de c , entonces )(cf no

es un extremo local de f .


118

Paso 1. Encontramos los puntos críticos de f en I , para ello:

a) Derivamos la función:

xxxf 66)´( 2

b) E igualamos a cero la derivada )´(xf , para obtener las raíces 21 , xx ya que es

de segundo grado.

Recuerda que puedes resolver una ecuación de segundo grado por factorización,

fórmula general o completando el Trinomio cuadrado perfecto.

Resolviendo dicha ecuación cuadrática por factorización tenemos.

066 2 xx

0)1(6 xx

Por lo tanto:

06x y 01x

01x 12x

Los puntos críticos son: ,1,0 y los extremos del intervalo 22

1 y .

Paso 2. Evaluar f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos

valores será el máximo; el menor, el mínimo.

a) En

2

1x tenemos:

23 32)( xxxf

23 )2/1(3)2/1(2)2/1(f

4

3

8

2)2/1(f

1)2/1(f.

b) En 01x tenemos:

23 32)( xxxf 23 )0(3)0(2)(xf

0)0(f .

c) En 22x tenemos:

23 32)( xxxf 23 )2(3)2(2)2(f

4)2(f .

d) En 1x tenemos:

23 32)( xxxf 23 )1(3)1(2)1(f

1)1(f .

Los valores extremos

del Intervalo como son:

2

1 y 2 se

consideran puntos

críticos sólo por ser

puntos frontera de I .

(Teorema del punto

crítico).

119


Acomodando los datos en una tabla, tenemos:

El valor máximo es 1 y el valor mínimo es -4. la gráfica de la función

23 32)( xxxf es:

Observa en la gráfica que efectivamente en el extremo derecho del intervalo,

2x , 4)2(f que es el valor mínimo que presenta la función en toda la

curva. Por otro lado en 12

1 xenyx , 1)1()2

1( ff , que es el

máximo valor que alcanza la curva de la función, es decir, es el máximo valor de f .

Ejemplo 2. Encuentra los valores máximos y mínimos de la siguiente función.

xxxf 3)( 2, en 1,2I

Paso 1. Encontramos los puntos críticos de f en I .

a) Derivamos la función:

xxxf 3)( 2 32)`( xxf

b) Igualamos a cero )´(xf para obtener la raíz 1x , en esta ocasión sólo

obtendremos una solución puesto que la ecuación es de primer grado.

x )(xf

-1/2 1

0 0

1 1

2 -4

y = -2X^3+3X^2


120

Resolviendo la ecuación tenemos:

032x

2

31x

Los puntos críticos son: ,2

3 y los extremos del intervalo 12 y .

Paso 2. Evaluamos f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos

valores será el máximo; el menor, el mínimo.

a) En

2

3x tenemos:

xxxf 3)( 2 )2/3(3)2/3()2/3( 2f

4

9)2/3(f .

b) Realizando el mismo procedimiento para los otros puntos críticos, nuestra tabla

de valores queda de la siguiente manera:

El valor máximo es 4 y el valor mínimo es -9/4.

Esta es la grafica correspondiente a la función xxxf 3)( 2, que si

observamos es una parábola, (ya que la función es de segundo grado)

comprendida en el intervalo ]1,2[ que es el dominio para este caso.

x )(xf

-3/2 -9/4

-2 -2

1 4

x

yy = x^2+3x

121


3.1.2. Cálculo de valores máximos y mínimos con el criterio de la

segunda derivada.

Hay otra prueba para máximos y mínimos locales que a veces es más fácil que

la de la primera derivada. Implica la evaluación de la segunda derivada en los

puntos estacionarios. No se aplica a puntos singulares. La segunda derivada es

una derivada de orden superior que consiste en volver a derivar la derivada de

una función.

La primer derivada la denotamos como )(' xf ; para la segunda derivada

utilizamos dos comillas, )('' xf .

Ejemplo 1. Para 56)( 2 xxxf , usa la prueba de la segunda derivada

para identificar máximos y mínimos.

Paso 1. Derivar la función.

56)( 2 xxxf 62)`( xxf

Paso 2. Igualamos a cero la primera derivada para encontrar el valor de 1x , es

decir, el valor donde se hace cero la ecuación lineal 62)`( xxf .

062x

3x 31x

Este es un punto crítico, para el caso de la segunda derivada no especificamos

un intervalo como dominio, por lo que ya no tiene sentido hablar de extremos del

intervalo como puntos críticos.

TAREA 1

Página 133.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:

Sean ´f y ´´f dos funciones que existen para cada punto, en un intervalo

abierto ),( ba que contenga a c . Supóngase que 0)´(xf .

(i) )(,0)´´( cfxf es un máximo local de f .

(ii) )(,0)´´( cfxf es un mínimo local de f .

Identifica los puntos críticos y encuentra los valores máximos y mínimos, realiza

la grafica correspondiente a cada una de las siguientes funciones, compara los

resultados con tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

a) xxxf 4)( 2 en 3,0I

b) 13)( 3 xxxf en 3,2

3I

c) 1634)( 23 tttth en 1,2I

d) 3)( 2xxf en 2,2I

EJERCICIO 1


122

Paso 3. Sustituimos ese punto crítico en la segunda derivada.

2)3(''2)(''62)( fxfxxf .

2)3´´(f (Dado que la segunda derivada resultó una constante positiva.)

De acuerdo al teorema de la segunda derivada )(,0)´´( cfxf es un mínimo

local de f .

Y ese mismo punto crítico valuado en la primera derivada veremos que se

cumple que 0)(' xf .

62)´( xxf 6)3(2)3´(f 0)3´(f .

Tenemos entonces que )3(f es efectivamente un mínimo local.

El punto crítico valuado en la función f resulta:

56)( 2 xxxf 5)3(6)3()3( 2f 4)3(f .

Paso 4. Tabulamos para señalar los valores máximos y mínimos.

El valor mínimo de la función es 4 .

Ejemplo 2. Calcula los valores máximos y mínimos aplicando el criterio de la

segunda derivada de la función.

21232)( 23 xxxxf

Paso 1. Derivamos la función

1266)(' 2 xxxf

Paso 2. Igualamos a cero la primera derivada para encontrar las raíces 21, xx de

'f mediante factorización.

01266 2 xx Dividimos entre 6 para simplificar la ecuación

062 xx

0)1)(2( xx Factorizamos

21x y 12x Igualamos a cero cada binomio para determinar las raíces

Los cuales son puntos críticos.

Paso 3. Sustituimos las raíces en la segunda derivada.

612)´ ( xxf

6)2(12)2´ (f 18)2´´(f

Por el criterio de la segunda derivada como 0)2´ (f hay un mínimo en

21x .

x )(xf

3 -4

Al inicio de la Unidad se vio cómo encontrar puntos críticos. (Igualando a cero la primera derivada y encontrando sus raíces).

123


Y por otro lado, para 12x tenemos:

6)1(12)1´´(f 18)1´´(f

Por lo tanto, para este valor 0)1``(f entonces hay un máximo en 12x .

Paso 4. Calculamos las coordenadas y tabulamos.

x )(xf

-1 9

2 -18

21232)( 23 xxxxf

2)1(12)1(3)1(2)1( 23f

9)1(f El valor del máximo está en )9,1( ). Y es 9 .

2)2(12)2(3)2(2)1( 23f

18)1(f El valor del mínimo está en )18,2( . Y es 18 .

TAREA 2

Página 135.

Para saber más y

enriquecer el tema, visita

el sitio

www.matematicastyt.cl/...

/inicio.htm


124

AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA

DDEERRIIVVAADDAA..

3.2.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos.

Si en un problema encontramos expresiones como: Más grande, menor costo,

menor tiempo, más voltaje, la mayor productividad, menor esfuerzo, más

resistente, etcétera, se pueden traducir al lenguaje matemático en términos de

máximos y mínimos.

Te presentamos los siguientes casos:

a) En el primero, el problema incluye una función específica que permite su

solución.

b) En el segundo caso, la función se desconoce y es necesario obtenerla

utilizando fórmulas conocidas y los datos del problema, o únicamente con

los datos disponibles.

c) En ambos casos, para obtener la solución se recomienda:

De ser posible trazar una gráfica.

Asignar una incógnita a cada una de las cantidades que se citan en el

problema.

Seleccionar la cantidad a obtener su máximo o su mínimo y expresarla

en función de las otras cantidades.

Si resulta una función de una sola variable aplicamos los procedimientos

ya estudiados para obtener los máximos y los mínimos.

PROBLEMA 1. Un móvil inicia su movimiento, acelera y hace su recorrido de 15

minutos según la ecuación 1004

144)(4

2 tttf ; si la distancia en metros,

calcula:

a) Distancia que recorre el móvil.

b) Velocidad máxima que alcanza.

c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima.

SOLUCIÓN:

a) Recordemos que el recorrido lo hace en 15 minutos. Ya que f es la

expresión del recorrido del móvil, esto significa que sólo tenemos que

evaluar en la función f el tiempo 15t .

Cuando 15t tenemos:

1004

)15()15(144)15(

42f mf 844,19)15( .

33..22..

La primera

derivada en física

se le llama

velocidad y a la

segunda derivada

se le llama

aceleración.

125


b) Velocidad y aceleración máximas que alcanza.

Ya que la velocidad y la aceleración son cambios, y nuestro objetivo es

maximizar la velocidad, para determinarla tenemos que considerar la

derivada de 1004

144)(4

2 tttf para obtenerla, y luego considerar la

segunda derivada, esto es, volver a derivar la derivada para obtener la

aceleración. La primera derivada de f , es decir, la velocidad es:

4

4288)´(

3tttf

3288)´( tttf .

Mientras que la segunda derivada, la aceleración es:

23288)´´( ttf

Para que la velocidad aumente y llegue a un máximo (imagínate al móvil

subiendo una montaña), debe haber aceleración (positiva) en el momento en

que la aceleración es cero (es decir, cuando está en la cima de la montaña);

pueden suceder dos cosas: O el móvil mantiene su velocidad o empieza a

disminuir (esto es, se mantiene en línea recta o empieza a descender de la

montaña); por esto, el punto crítico es cuando la aceleración es igual a cero,

esto es, cuando 0a .

Entonces: 23288)´´( ttfa

03288 2t Igualamos a cero, para encontrar sus raíces.

2883 2t Despejamos

3

2882t

min8.996t , se cancela la cantidad negativa puesto que el tiempo no

puede ser negativo. Por tanto 9.8 es un punto crítico.

Para determinar si el punto crítico arroja un máximo, analizamos 8.9t en la

ecuación de la aceleración 23288 ta para observar su comportamiento.

Si sustituimos 8.9t en la expresión de la segunda derivada, obviamente nos

dará cero. Por ello haremos el siguiente análisis. Consideremos un valor menor

de 8.9t , por ejemplo 9t y lo evaluamos en )´´(tf :

23288)´´( ttf

45)9(3288)9´´( 2f

La 0)´´(tf . La segunda derivada, es decir, la aceleración resultó ser positiva

en el valor 9t .

Ahora consideremos un valor mayor de 8.9t , por ejemplo 10t y lo

evaluamos en )´´(tf :

23288)´´( ttf

12)10(3288)10´´( 2f

La 0)´´(tf . La aceleración resultó ser negativa en el valor 10t .

Como la aceleración pasa de positiva a negativa (ver Fig. 2), decimos entonces

que existe un máximo en el tiempo 8.9t .

Figura 2


126

Y por lo tanto, la velocidad máxima en el tiempo 8.9t es:

3288)´( tttf

21.1881)8.9()8.9(288)´( 3tf

min/21.1881 mv .

c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima.

Ya que )(tf es el recorrido del móvil, donde t es el tiempo, sólo basta sustituir

el valor del tiempo crítico 8.9t , que es el tiempo que el móvil requiere para

alcanzar la velocidad máxima, en la expresión )(tf . Por lo tanto, la distancia

que recorre el móvil cuando su velocidad es máxima es:

mf 624,1110067.230576.829,131004

)8.9()8.9(144)8.9(

42

Por lo tanto, el móvil recorre 19,844 metros en 15 minutos; a los 9.8 minutos

alcanza su máxima velocidad de 1881.21 m/min., habiendo recorrido 11,624

metros.

PROBLEMA 2. Un ranchero quiere bardear dos corrales rectangulares

adyacentes idénticos, cada uno de 2900m de área, como se muestra en la

figura. ¿Cuánto deben medir x y y para que se necesite la mínima cantidad de

barda?

SOLUCIÓN:

Área Total = A = 1800m2

xyA 2

Perímetro = P yxP 34

Paso 1. Ya que tenemos dos incógnitas, despejaremos de la ecuación del Área

total una de las variables (cualquiera de ellas). Y la sustituiremos en la ecuación

del perímetro, con la finalidad de que la ecuación quede en términos de una

variable,

xyA 2

xy21800 Sustituimos el valor del Área

xy

2

1800 Despejamos y

xy

900 Simplificamos

Sustituimos el valor de y en el perímetro

x

y

127


yxP 34

xxxP

90034)(

xxxP

27004)( Así queda el perímetro en función de “ x ”.

Paso 2. Derivamos )(xP .

xxxP

27004)( .

Ya que nos piden minimizar el perímetro de los corrales en la construcción de la

barda, tenemos que considerar la derivada de la expresión del perímetro. Como

resulta más fácil derivar potencias, si de la ecuación anterior subimos la variable

x al numerador, esta función se puede expresar de la siguiente manera:

127004)( xxxP , derivando obtenemos:

227004)´( xxP

Es decir:

2

27004)´(

xxP

Paso 3.

Igualamos a cero la derivada para obtener sus raíces, (donde la ecuación se

hace cero).

2

27004)´(

xxP

02700

42x

Despejamos “ x ”

42700

2x Resolvemos

98.25675x . Siendo este valor de x un punto crítico.

Ahora determinaremos si este punto crítico arroja un mínimo. Lo podemos hacer

de dos maneras, considerando 2 valores, uno menor y otro mayor a 98.25x ,

como en el caso anterior. O bien considerando el criterio de la segunda

derivada. Enseguida te presentaremos los dos casos, tu decides cuál método

elegir para la resolución de futuras situaciones de máximo o mínimos.

Paso 4. Analicemos los valores de la primera derivada para este punto crítico

considerando dos valores, uno menor y otro mayor a 98.25x ,

Tomamos un valor menor a 98.25x , por ejemplo 24x , y lo sustituimos en

la expresión de la primera derivada:

2

27004)´(

xxP


128

6875.0)24(

27004)24´(

2P

0)´(xP .

Tenemos que en el valor 24x la derivada resultó ser negativa.

Tomamos ahora un valor mayor a ,.9825x por ejemplo ,27x y lo sustituimos

en la expresión de la primera derivada:

2962.0)27(

27004)27´(

2P .

0)´(xP .

Siendo la derivada positiva en el valor 27x .

Ya que las pendientes de las rectas tangentes tuvieron un comportamiento de

negativo a positivo. Eso quiere decir que )(xP tiene un mínimo en 98.25x .

Es decir, el ranchero requiere para sus terrenos un largo mínimo de 25.98 para

minimizar la construcción de la barda.

El valor del ancho del terreno en ese largo mínimo lo obtendremos sustituyendo

el valor de x encontrado en la expresión del ancho y :

xy

900,

my 64.3498.25

900.

Por lo tanto, los valores que deben tener el largo y ancho “ x ” y “ y ”, de los

terrenos son: mx 98.25 y my 64.34 respectivamente, y la mínima

cantidad de barda que se necesita es de m84.207 .

La segunda forma de resolver el problema, es bajo el criterio de la segunda

derivada, que consiste en evaluar el valor del punto crítico en la expresión de la

segunda derivada para determinar si es un máximo o un mínimo como lo dicta el

teorema.

Recordemos que la primera derivada está dada por:

2

27004)('

xxP ,

derivando nuevamente la expresión anterior, obtenemos la segunda derivada:

3

2700)(''

xxP .

Bajo el criterio de la segunda derivada, para determinar si en el punto crítico

98.25x se da un mínimo, tenemos que evaluar el valor de x en la segunda

derivada para ver si ésta es mayor que cero, es decir, si es positiva. (Ver

Subsección 3.1.2, pág. 115)

086.353,17

2700

)98.25(

2700)(''

3xP .

129


Por lo tanto )(xP tiene un mínimo en 98.25x . El resto del problema se

soluciona de igual manera que bajo el criterio de la primera derivada.

3.2.2. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico-

administrativas y sociales.

PROBLEMA 3. Una maquiladora puede vender 1,000 aparatos por mes a $5.00

cada uno; si acepta bajar el precio unitario en dos centavos, podrá vender 10

piezas más. Calcula cuántas piezas se deben vender para obtener la utilidad

máxima y cuál sería el ingreso al venderlas.

PLANTEAMIENTO:

x1000 , número de unidades por vender. Donde x es el número de unidades

adicionales.

Ya que por cada 10 piezas más, se bajará el precio en dos centavos, tenemos

que el precio de venta de cada unidad es:

xx

002.0510

02.05 , donde 10

xes el número de unidades adicionales

por cada diez piezas.

Paso 1. El ingreso I , que está en función de x , es igual al número de unidades

por el precio unitario.

)002.05)(1000()( xxxI

2002.0255000)( xxxxI

2002.035000)( xxxI

Ya que deseamos determinar la máxima utilidad o Ingreso, entonces

procedemos a aplicar el criterio de la primera derivada.

Paso 2. Calculamos la derivada de I .

2002.035000)(' xxxI

xxI 004.03)(' .

Paso 3. Igualamos a cero la derivada para obtener las raíces.

0004.03 x

004.0

3x ,

por lo tanto

750x es un punto crítico.

Tomamos un valor poco menor a 750x , por ejemplo 700x y lo

sustituimos en la expresión de la derivada:

Vocabulario económico:

El costo marginal se define

como la variación en el

costo total, ante el

aumento de una unidad en

la cantidad producida, es

decir, es el costo de

producir una unidad

adicional.

Matemáticamente se

expresa como la derivada

del costo total respecto a

la cantidad:

Costo Marginal =

dx

dC


130

xxI 004.03)('

)700(004.03)700('I

200.0)700('I

Por lo tanto, el ingreso es positivo, es decir, 0)(' xI .

Consideremos ahora un valor poco mayor a 750x , sea 800x

)800(004.03)800('I

200.0)800('I

Por lo tanto, el ingreso es negativo, es decir, 0)(' xI .

Como la función que determina el Ingreso pasa de positivo a negativo, decimos

que existe un máximo en 750x .

Por lo tanto, el número de piezas adicionales que se tienen que producir para

obtener la utilidad máxima es de 750, y el ingreso máximo al venderlas sería de

17507501000 piezas a $3.50 cada una de $6,125.00 pesos.

Como ya lo hicimos anteriormente, bajo el criterio de la segunda derivada es

más corto el procedimiento de determinar si el punto crítico arroja un mínimo o

un máximo.

Después de determinar la primera derivada, determinemos ahora la segunda

derivada de la función que determina el Ingreso:

0004.0)('' xI ,

que de antemano observamos que es negativa, implicando esto que en el punto

crítico 750x , se da un máximo. Una vez determinado que el punto crítico

arroja un máximo, se procede a dar respuesta al problema como ya lo hicimos

bajo el criterio de la primera derivada.

PROBLEMA 4. El director de una editorial ha observado que si fija el precio a

$20 de un determinado libro, vende 10,000 ejemplares. Pero por cada peso que

incrementa el precio, las ventas disminuyen en 400 copias. ¿Qué precio deberá

fijar el editor a cada libro, de manera que el ingreso para la empresa por la venta

de estos libros sea máximo? ¿Cuál es el valor de dicho Ingreso?

PLANTEAMIENTO:

I = Ingreso

x = número de pesos en que se incrementa el precio del libro.

x20 = es el nuevo precio del libro.

x400 = es el número de copias que dejan de venderse por cada peso que

aumenta el precio.

x400000,10 = es el nuevo número de ejemplares vendidos.

Entonces la función que representa al ingreso en términos del número de pesos

en que se aumenta el precio del libro es:

)400000,10)(20()( xxxI

¿Cómo crees que

se calculan los

ingresos?

Los ingresos se calculan

multiplicando el número

de artículos producidos

por el precio de cada

artículo.

131


Esta función )(xI recibe el nombre de función objetivo, porque es la función

que se quiere optimizar, en este caso queremos maximizar el ingreso.

SOLUCION:

Para la solución de este problema aplicaremos el criterio de la segunda derivada

para optimizar la función ingreso, )(xI .

PASO1. Derivamos e igualamos a cero la función resultante, para encontrar el

valor del punto crítico x .

)400000,10)(20()( xxxI

)20(400)400000,10)(1()´( xxxI

xxxI 4008000400000,10)´(

xxI 8002000)´(

Igualando a cero tenemos:

02000800x

Por lo tanto, despejando el valor de x tenemos:

800

2000x

5.2x ,

que representa el número de pesos en que se debe incrementar el precio de

cada libro para obtener el máximo Ingreso.

Ahora, para determinar si efectivamente el punto crítico 5.2x , arroja un

máximo, derivemos por segunda ocasión la función xxI 8002000)´( .

0800)('' xI ,

resultando ésta negativa, lo que implica que en el punto crítico 5.2x , se da

un máximo en )(xI .

De esta manera, al incrementar el precio de venta del libro en $2.5, se obtiene el

máximo Ingreso. Para calcular el Ingreso máximo se sustituye 5.2x en la

función objetivo )(xI resultando:

)400000,10)(20()( xxxI

))5.2(400000,10)(5.220()5.2(I

00.500,202)5.2(I ,

que representa el máximo Ingreso.

TAREA 3

Página 137.


132

para saber más y

enriquecer el tema,

visita el sitio

www.http://actividade

sinfor.webcindario.co

m/.com/derivadasapli

caciones.htm

www.cidse.itcr.ac.cr/

cursos-

linea/calculodiferenci

al.

EJERCICIO 2 Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de máximos y

mínimos; compara con tus compañeros los resultados obtenidos y

entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1. El costo total de producir y vender 100x unidades de una mercancía

particular por semana es 329331000)( xxxxC encuentra:

a) El nivel de producción para el cual el costo marginal es mínimo.

b) El costo marginal mínimo.

2. Para la función precio dada por 33

800)(

xxP encuentra el

número de 1x de unidades que hace máximo el ingreso total y establece

el valor de éste. ¿Cuál es el ingreso marginal cuando se vende el número

óptimo 1x de unidades?

3. El gas de un globo esférico se escapa a razón de

min000,1

3cm en el

mismo instante en que el radio es de 25cm.

a) ¿Con qué rapidez disminuye el radio?

b) ¿Con qué rapidez disminuye el área de la superficie?

http://www.http/actividadesinfor.webcindario.com/.com/derivadas



133


INSTRUCCIONES: Identifica los puntos críticos. Usa después el criterio de la primera derivada para calcular

los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1) 23)( xxf ; 2,2I

2) 25)( 2 xxxf ; 4,3I

3) 3,0;16)( 2 Ixxxf

4) 1,2;3)( 2 Ixxxf

5) 1,2;1634)( 23 Ittttf

6) 4,3;5902

3)( 23 Ixxxxf

7) 3,0;31683

4)( 234 Ixxxxxf

8) 1,2;768

)( 3 Ix

xxf

9) 1,1;2)2()( 3 Ixxf

10) 3,0;74)( 2 Ixxxf

11) 3,2;12)( 2 Ixxxf

12) 3,14432)( 234 Ixxxxxf

13) 2,1;48

)( 3 Ix

xxf

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 1


134

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

135


INSTRUCCIONES: Calcula los puntos críticos de las siguientes funciones y utiliza el criterio de la segunda

derivada para encontrar los valores máximos y mínimos. Entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1) 23)( 23 xxxf

2) 54)( 3 xxxf

3) 14

1)( 4xxf

4) 34 43)( xxxf

5) 896)( 23 xxxxf

6) 2)2)(1()( xxxf

7) 234 23)( xxxxf

8) 242)( 23 xxxf

9) xxxxxf 8922)( 234

10)

xxxf

48

4

1)( 3

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 2


136

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

137


INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de las derivadas.

1. Suponga que un ranchero escoge hacer tres corrales adyacentes, cada uno de 2900m de área, como

se muestra en la figura, ¿Cuánto deben medir x y y para hacer mínima la cantidad de barda que se

necesita?

2. Se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 15 centímetros de largo por 9 de

ancho; cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y doblando los lados, como se muestra en

la figura, encuentra las dimensiones de la caja de máximo volumen. ¿Cuál es ese volumen?

3. La compañía ZEE fabrica abrigos que vende al precio de xxP 001.010)( dólares, donde x es el

número producido cada mes. Su costo mensual total es ..)(2

0104200 xxxC La producción

máxima es de 300 unidades. ¿Cuál sería la utilidad máxima mensual y qué nivel de producción da esta

utilidad?

4. La manta de un póster con la foto impresa de uno de los candidatos a la gubernatura del Estado de

Sonora debe tener 18 pies2

de área, márgenes laterales de 6 pies y márgenes superior e inferior de 9

pies. ¿Cuáles han de ser las dimensiones de la manta para maximizar la foto del candidato?

15- 2x

9-2x

x

x

15

9

x

x

y

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 3


138

5. Una lata cilíndrica de base circular ha de tener 64 plg3

de volumen. Hallar las dimensiones de manera

que la cantidad de material requerida sea mínima, suponiendo que la lata está:

a) Abierta, es decir, no tiene tapa superior.

b) Cerrada.

6. Divide el número 150 en dos partes, tales que el producto de una parte por el cuadrado de la otra sea

un máximo.

7. El costo total de producción de x spots de radio en un día es 25354

1)( 2 xxxC dólares, y el

precio de venta de cada spot es de xxV2

150)( dólares.

a) ¿Con qué producción diaria se consigue mayor ganancia?

b) Probar que el costo de producción de un spot es mínimo para ese nivel de producción.

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_

139


INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la

opción que consideres correcta.

1. El valor máximo y mínimo de la siguiente función 163)( 2 xxxf utilizando el criterio de la primera

derivada en el intervalo ]1,2[I es:

El valor mínimo está en )2,1( y el valor máximo está en )10,1(




2.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función 2

4 1)(

x

xxf , según el criterio de la segunda derivada

son:

El valor mínimo está en )2,2( y un máximo está en )6,2( .

El valor mínimo está en )2,1( y un mínimo está en )2,1( .

El valor mínimo está en )2,5( y un mínimo está en )2,2( .


3.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función 86)( 23 xxxf , según el criterio de la segunda

derivada son:





4.- Los intervalos en que la función 163)( 2 xxxf es creciente o decreciente son:

En )1,( es decreciente y en ),1( es creciente.




5.- La concavidad de la siguiente función 362)( 23 xxxf está dada en los intervalos:

Cóncava hacia abajo en )3,( y cóncava hacia arriba en ),3( .




Nombre _________________________________________________________



AUTOEVALUACIÓN


140

6.- Los puntos de inflexión de la siguiente función 3)2()( xxf son:

)2,3()0,5( y

)3,2()4,1( y

)0,2(

)2,3(

7.-Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuyo producto

sea de 288 y la suma del doble del primero más el segundo sea mínimo. Los números son:

Un número es el 12 y el otro es el 24 .




8.- Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuya suma

sea 10 y el cuadrado de uno por el cubo de otro sea el producto máximo; el valor de éste es:

Cuando 6x se obtiene un máximo igual a 456,3 .




9.- Calcular las dimensiones de un rectángulo con perímetro de 240 metros, de manera que el rectángulo sea

de área máxima. El área y sus dimensiones son:

El área máxima es de 21600m ; las dimensiones del rectángulo son de m40 por lado.




10.- En la manufactura y venta de x unidades de cierta mercancía la función precio p y la función costo C (en

dólares) están dados por: xxp 002.000.5)(

xxC 10.100.3)(

Determine el nivel de producción que produce la máxima utilidad total.

La utilidad máxima es de 25.1998$)995(p




Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te

invitamos a continuar con esa dedicación.

Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es

necesario que repases los temas.

Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es

insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu

profesor.

ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE

141


INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1. Encuentra los puntos críticos, los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones utilizando el

criterio de la primera derivada. Realiza su gráfica.

a) xxxf 5)( 2 en ]2,2[I .

b) 163)( 3 xxxf en ]2,3[I

2. Calcula la primera, segunda, tercera, cuarta derivada si existe de las siguientes funciones.

a) 9365)( 34 xxxxf

b) 53 )68()( xxxf

c) )4csc()( xxf

3. Utiliza el criterio de la segunda derivada para calcular el valor máximo y mínimo de las siguientes funciones.

Realiza su gráfica.

a) 125)( 2 xxxf

b) 636)( 23 xxxf

4. Encuentra en qué intervalos la función es creciente o decreciente, utiliza las funciones del ejercicio 1.

EJERCICIO DE

REFORZAMIENTO 1

Nombre _________________________________________________________




142

5. Utiliza el teorema de concavidad para determinar dónde es cóncava hacia abajo o hacia arriba y además

indica cuáles con los puntos de inflexión de las siguientes funciones. Realiza la gráfica.

a) 22)( 34 xxxf

b) 12)( 23 xxxf

RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

6. Encuentra las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en un cono

circular recto que tiene como radio cmb 4 y como altura cma 12 . Ver la figura.

7. El costo mensual fijo de operar una planta manufacturera que fabrica muebles es de $8000 y hay un costo

directo de $110, por cada unidad producida. Escribe una expresión )(xC , el costo total de fabricar

muebles en un mes.

143

CÁLCULO

DIFERENCIAL

Estudia el incremento en las variables; puede ser la

distancia recorrida por un objeto en movimiento en un

tiempo determinado.

CONCAVIDAD Se dice que una función es cóncava (cóncava hacia arriba)

cuando su segunda derivada es positiva.

CONVEXIDAD Se dice que una función es cóncava hacia abajo (convexa)

cuando su segunda derivada es negativa

DERIVADA La derivada de una función respecto a una variable es el

límite del incremento de la función entre el incremento de la

variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero.

DIFERENCIACIÓN Es el proceso de calcular derivadas.

FUNCIÓN

CRECIENTE

Una función es creciente cuando al aumentar el valor de la

variable independiente (X) el valor de la variable

dependiente (Y) también aumenta.

FUNCIÓN

DECRECIENTE

Una función es decreciente cuando al aumentar la variable

independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y)

disminuye.

FUNCIÓN

EXPLÍCITA

Es aquella en la es posible expresar una variable en

términos de la otra.

FUNCIÓN IMPLÍCITA Es aquella en la que no se le puede despejar la variable

independiente de la variable dependiente. Es decir, no es

posible expresar una variable en términos de la otra.

LIMITE DE UNA

FUNCIÓN

Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente

cuando el valor de la variable independiente se acerca a un

valor fijo.

PUNTO DE

INFLEXIÓN

Es un punto de la gráfica de una función en donde hay un

cambio en la concavidad de la gráfica.

RAZÓN Es comparar dos cantidades por cociente.

RECTA NORMAL Es la recta perpendicular a la tangente en su punto de

contacto a la curva en dicho punto.

VELOCIDAD Es la razón de cambio de la distancia con respecto al

tiempo.

VELOCIDAD

PROMEDIO

Es la distancia entre la primera posición y la segunda,

dividida entre el tiempo consumido.

FUNCIÓN

Relación entre dos conjuntos X y Y, tal que cada elemento

de X le corresponda uno y solamente uno de los

elementos de Y.

DOMINIO DE UNA

FUNCIÓN

Es el conjunto de los elementos del conjunto.

RANGO DE UNA

FUNCIÓN

Es el conjunto de los elementos del conjunto y que son

imagen de un valor X.

LÍMITES DE UNA

FUNCIÓN

Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente,

cuando el valor de la variable independiente se acerca a un

valor fijo.

EVALUAR O

DETERMINAR EL

LÍMITE DE UNA

FUNCIÓN COC

IENTE

Son procesos puramente mecánicos, que nos permiten

convertir a una función indeterminada a una función

determinada.

GRÁFICA DE UNA

FUNCIÓN

Representación en un sistema rectangular de coordenadas

de la asociación entre X y Y (o dos variables cualesquiera)

de una función particular.

PAR ORDENADO

Conjunto de dos valores X y Y que determinan un punto p

en el plano cartesiano; siendo X y Y las coordenadas del

punto. Al valor de X se llama abcisa y el valor de Y se llama

ordenada.

Glosario

144

CONTINUIDAD

Una función f es continua para el valor x=c, si c está en el

dominio de f(x) y si:

1) f(c) está definida

2) Lim f(x) existe x c

3) Lim f(x)=f(c) x c

LÍMITES LATERALES

Son una herramienta desarrollada para dar lugar a

precisiones.

DISCONTINUIDAD

Cuando una función no cumple con las tres condiciones de

continuidad.

RAZÓN

Relación que existe entre dos cantidades. La división

indicada de una cantidad entre otra.

PENDIENTE DE UNA

RECTA

La tangente de su inclinación. Si designamos la inclinación

por ø y la pendiente por m tenemos: Tanø =m

DERIVADA DE UNA

FUNCIÓN

Existencia de límite: (definición)

Lim f(x+h) – f(x) razón de cambio instantáneo

x 0 h

PENDIENTE DE UNA

CURVA

La pendiente de una curva en p(x,f(x)), punto de la curva de

ecuación Y= f(x), es f´(x1), pendiente de la tangente a la

curva en p.

LEYES DE

LOGARITMOS

Si M > 0 y N > 0 entonces;

1. Log M . N = Log M+ Log N

2. Log M/N = Log M – Log N

3. Log MN

= N Log M

DISCONTINUIDAD

REMOVIBLE

Es cuando f(x) está definida y al cambiar el valor de la función

En x0 produce una función que es continua en x0.

DISCONTINUIDAD

DE SALTO

Una función f tiene una discontinuidad de salto en x0 si tanto

Lim f(x) como Lim f(x) existen y Lim f(x) ≠ Limf(x)

x x0

-

x x0

+

x x0

-

x x0

+

tal discontinuidad no es removible.

TEOREMA DE

VALOR

INTERMEDIO

Si f es continua en [a,b] y f(a) ≠ f(b), entonces, para todo

número c ente f(a) y f(b) existe por lo menos un número x0

en el intervalo abierto (a,b) para el cual f(x0)=c

TEOREMA DE

VALOR EXTREMO

Si f es continua en [a,b] entonces f toma un valor M

y un valor máximo M en el infinito.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS NATURALES alnx

= x

Y LA FUNCIONES EXPONENCIALES SON INVERSAS Ln(ax) = x

RAZÓN DE CAMBIO ∆Y = cambio en Y = f(x+h) – f(

PROMEDIO ∆X cambio en X h

VELOCIDAD PROMEDIO ∆S = desplazamiento

DE UN CUERPO EN UN ∆t tiempo

INTERVALO DE TIEMPO

145

AIRES, Frank y Elliott Mendelson, Cálculo, Editorial Mc Graw Hill.

FLORES, Crisólogo Dolores, Una Introducción a la Derivada a través de la

Variación, Grupo Editorial Iberoamericana S. A. de C. V.

FUENLABRADA, Samuel, Cálculo Diferencial, Editorial Mc Graw Hill.

MCATEE, John y otros, Cálculo Diferencial e Integral con Geometría Analítica.

PURCELL, Edwin J. y Dale Varberg, Cálculo Diferencial e Integral, Editorial

Prentice Hall.

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA, Matemáticas VI, Preparatoria Abierta.

Bibliografía General

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