Clave-107-1-M-2-00-2012.docx

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERA

ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

Curso: Matemtica Intermedia 1

Tipo de examen: Primer Parcial

Elaborado por Edgar Salguero

Fecha 27/08/2012

Semestre: Segundo

Horario de Examen: 9:00 10:50 Jornada: Matutina

Reviso: Inga. Vera Marroqun

Nombre de la clave: Clave-107-1-M-2-00-2012.docx

Clave-107-1-M-2-00-2012.docx

TEMARIO DIGITALIZADO Tema No.1 (8 puntos): En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y fresa. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 quetzales y el precio de cada helado es de 4 quetzales el de vainilla, 5 quetzales el de chocolate y 6 quetzales el de fresa. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que el nmero de helados de vainilla menos en nmero de los de chocolate es igual a tres veces los de fresa. a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuntos helados de cada sabor se compran a la

semana. b) Resuelve, mediante el mtodo de Gauss. Concluya si tiene solucin o es inconsistente el sistema.

Tema No.2 (15 puntos): Encontrar la solucin del sistema usando = 1. Determine la inversa de dos formas:

i. Usando cofactores. ii. Por el mtodo de Gauss-Jordan (por

operaciones elementales o de equivalencia)

+ = 3 2 = 5

Tema No.3 (10 puntos): Determinar el valor de m para que el sistema de ecuaciones:

2 + = 1 + 2 = 1

Tenga: a) Solucin nica. b) Infinitas soluciones. c) No tenga solucin.

Tema No.4 (10 puntos): Hallar el determinante de la siguiente matriz, utilizando propiedades y cofactores.

=

2 4 2 10 2 1 22 1 2 41 2 4 2

Tema No.5 (7 puntos): Encuentre la solucin del sistema utilizando el mtodo de Gauss. Expresar la solucin en forma matricial o vectorial.

3 4

2 8

X Y Z W

X Y Z W

Tema No.6 (50 puntos): Resolver las siguientes integrales planteadas.

a. 64+23+72+2+3

3(2+1)2 Si se sabe que los valores de A, B, C, D, E, F & G son 1, 2, 3, -1, -2, 2 & 0

respectivamente, luego de realizar fracciones parciales. (14 puntos)

. 2 . 1 3

22

d.

2+2 +cos e.

3

4

Clave-107-1-M-2-00-2012.docx

SOLUCIN

Tema No.1 (8 puntos): En una residencia de estudiantes se compran

semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y fresa. El

presupuesto destinado para esta compra es de 540 quetzales y el precio de cada

helado es de 4 quetzales el de vainilla, 5 quetzales el de chocolate y 6 quetzales el

de fresa. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que el nmero de

helados de vainilla menos en nmero de los de chocolate es igual a tres veces los

de fresa.

a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuntos helados de

cada sabor se compran a la semana.

X= Numero de Helados de vainilla

y= Numero de Helados de chocolate

z= Numero de Helados de fresa

Planteando el sistema de ecuaciones:

+ + = 110

4 + 5 + 6 = 540

= 3

b) Resuelve, mediante el mtodo de Gauss. Concluya si tiene solucin o es

inconsistente el sistema.

1 1 14 5 61 1 3

110540

0

2 413 1

= 1 1 10 1 20 2 4

110100

110

3 + 22

= 1 1 10 1 20 0 0

11010090

El sistema es inconsistente

Tema No.2 (15 puntos): Encontrar la solucin del sistema usando = 1.

Determine la inversa de dos formas:

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+ = 3

2 = 5

i. Usando cofactores.

1 12 1

35

Sea A= 1 12 1

11 = 1 2 1 = 1

12 = 1 3 2 = 2

21 = 1 3 1 = 1

22 = 1 4 1 = 1

= 1 21 1

= 1 12 1

=

= 1 12 1

= [1 1 ] [1 2] = 3

1 =1

=

Multiplicamos y encontramos la matriz inversa

1 =1

=

1

3

1 12 1

= 1/3 1/32/3 1/3

ii. Por el mtodo de Gauss-Jordan (por operaciones elementales o de

equivalencia)

1 12 1

1 00 1

2 21 = 1 10 3

1 0

2 1 2

1

3=

1 10 1

1 0

2/3 1/3

1 10 1

1 0

2/3 1/3 1 2 =

1 00 1

1/3 1/32/3 1/3

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1 = 1/3 1/32/3 1/3

Encontrando la solucin del sistema

Como = 1

Entonces

= 1/3 1/32/3 1/3

35

=1

3 3 +

1

3 5 = 1 +

5

3=

8

3

=2

3 3 +

1

3 5 = 1

5

3=

1

3

Tema No.3 (10 puntos): Determinar el valor de m para que el sistema de

ecuaciones:

2 + = 1

+ 2 = 1

= 2 2

11

= 0 =

Entonces igualamos el determinante a 0

2 2

= 4 2 = 0 = 2

Probando con m= 2

2 22 2

11 1

1

2=

1 12 2

1/2

1 2 21 =

1 10 0

1/2

0

= 2

Probando con m=-2

2 2

2 2

11 1

1

2=

1 12 2

1/2

1 2 + 21 =

1 10 0

1/2

2

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= 2

RESPUESTAS

a) Solucin nica. 2 2

b) = 2

c) = 2

Tema No.4 (10 puntos): Hallar el determinante de la siguiente matriz, utilizando

propiedades y cofactores.

=

2 4 2 10 2 1 22 1 2 41 2 4 2

Utilizando propiedades

2 4 2 10 2 1 22 1 2 41 2 4 2

3 24 =

2 4 2 10 2 1 20 5 10 01 2 4 2

1 + 24

=

0 0 10 50 2 1 20 5 10 01 2 4 2

Utilizando cofactores

= 10 1 1+3 2 25 0

+ 5 1 1+4 2 15 10

= 10 0 10 5 20 5 = 225

Tema No.5 (7 puntos): Encuentre la solucin del sistema utilizando el mtodo de

Gauss. Expresar la solucin en forma matricial o vectorial.

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3 4

2 8

X Y Z W

X Y Z W

1 31 2

1 1

1 1

48 2 1 =

1 30 1

1 1

2 0

44 2 1

= 1 30 1

1 12 0

4

4

+ 3 + = 4

= 2 4

= 4 3 2 4 +

= 16 7 +

=

16400

+

7210

+

1001

Tema No.6 (50 puntos): Resolver las siguientes integrales planteadas.

a. 64+23+72+2+3

3(2+1)2 Si se sabe que los valores de A, B, C, D, E, F &

G son 1, 2, 3, -1, -2, 2 & 0 respectivamente, luego de realizar fracciones

parciales. (14 puntos)

64 + 23 + 72 + 2 + 3

3(2 + 1)2=

+

2+

3+

+

2 + 1+

+

(2 + 1)2

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64 + 23 + 72 + 2 + 3

3(2 + 1)2

= 1

+

2

2+

3

3+

2

2 + 1+

2 + 0

(2 + 1)2

= 1

+

2

2 +

3

3 +

2

2 + 1 +

2 + 0

(2 + 1)2

= 1

+

2

2 +

3

3

2 + 1

2

2 + 1

+ 2

(2 + 1)2

Resolviendo cada integral

1

=

2

2 =

2

3

3 =

3

22

2 + 1 = = 2 + 1 = 2 =

1

2ln(2 + 1)

2

2 + 1 = 2 tan1

2

(2 + 1)2 = 2 + 1 = 2 =

1

2 + 1

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64 + 23 + 72 + 2 + 3

3(2 + 1)2

= 2

3

22

1

2ln 2 + 1 2 tan1

1

2 + 1+

. 2

Utilizando la tcnica de integracin por partes

= 2 =

= 2 =

= = 2 2

Utilizando la tcnica de integracin por partes para la integral 2

= 2 =

= 2 =

2 = 2 2

2 = 2 + 2

2 = 2 2 + 2

2 = 2 + (2 2)+c

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. 1 3

22

2 2 + 1 = 1 ( 1)

1 3

1 2 1

Sustituyendo

= 1

=

3

2 1

Utilizando la tcnica de integracin por partes

= 2 =

2 1

= 2 = 2 1

2 2 1 2 2 1

2 2 1 2

3(2 1)

3

2

( 1)2 ( 1)2 1 2

3(( 1)2 1)

3

2 +

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d.

2+2 +cos

= tan

2

=2

2 + 1

=1 2

2 + 1

=2

2 + 1

Sustituyendo

2

2+1

2+2 2

2+1 +

12

2+1

=

2

2+1

22+2+4+12

2+1

=

2

2+1

2+4+3

2+1

=

22+4+3=2+3(+1)

Resolviendo por fracciones parciales

2

+ 3 ( + 1)=

( + 3)+

( + 1)

1 = + 1 + + 3

=

= 1 3

= 1

2 =

1

2

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2

+ 3 ( + 1)=

1

2

( + 3)+

1

2

( + 1)

2

1

2

( + 3)+ 2

1

2

( + 1)

ln + 3 + ln + 1

Regresando = tan

2

ln tan

2 + 3 + ln tan

2 + 1

e.

3

4 =

56

34

Sustituyendo

= 12

= 1211

1211

10 9=

1211

9( 1)=

122

( 1)

= 12 + 12 +12

1

=62 + 12 + 12ln( 1)

= 61

6 + 121

12 + 12ln(1

12 1)