EJEMPLO 01

Un comerciante compra artículos a 350 soles la unidad y sabe que si el precio de venta es

750 soles, vende 30 unidades al mes y que por cada descuento de 20 soles en el precio de

venta, incrementa las ventas de cada mes en 3 unidades.

Determina el precio de venta que hace máximos los beneficios del comerciante.

Solución Llamamos: x = nº de veces que se descuentan 20soles.

Así, el precio por unidad será de: 750 – 20x, y por tanto se venderán 30 + 3x unidades al mes;

luego el dinero obtenido por las ventas vendrá dado por la función:

f (x) = (750 – 20x) · (30 + 3x) = –60x2 + 1 650x + 22 500

Maximizar los beneficios es equivalente a maximizar esta función: f' (x) = –120x + 1 650

f' (x) = 0 120

1650x x= = 13,75

Comprobamos que, efectivamente, se trata de un máximo:

f'' (x) = –120

f'' (13,75) = –120 < 0 x = 13,75 es máximo

Por tanto, el precio de venta que hace máximos los beneficios es:

750 – 20 · x = 750 – 20 · 13,75 = 750 – 275 = 475 soles la unidad

Ejemplo 02

Se ha estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a medida que transcurre la jornada laboral. (Dicho rendimiento corresponde al número de instancias revisadas en una hora). La función que expresa dicho rendimiento es: R(t) = 30t – 10,5t 2 + t 3 siendo t el número de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral. Determina cuándo se produce el máximo rendimiento y cuándo se produce el mínimo rendimiento. Solución Vamos a suponer una jornada laboral de 8 horas; es decir:

R(t ) = 30t – 10,5t 2 + t 3; t [0, 8] a) R'(t ) = 30 – 21t + 3t 2

R'(t ) = 0 30 – 21t + 3t 2 = 0 t = 5 t = 2

R' > 0 R' < 0 R' > 0 0 2 5 8

R(0) = 0; R(2) = 26 ; R(5) = 12,5 ; R(8) = 80

Hay un mínimo relativo en t = 5 y un máximo relativo en t = 2, pero el mínimo absoluto corresponde a t = 0 y el máximo absoluto a t = 8 horas Ejemplo 03

Un artículo ha estado 8 años en el mercado. Su precio P(t), en miles de soles , estaba relacionado con el tiempo, t, en años, que este llevaba en el mercado por la función:

8225

2

5

2044

)(

2

tsit

tsit

tP

a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de P(t). b) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo? Solución

a)

82

2

5

208

)(!

tsi

tsit

tp no existe P`(2) , )2`()2`(

PP

b) El máximo se alcanza en t = 2, P(2) = 20. Ejemplo 04

Se estima que en un terreno si se plantan 200 matas de aguacates, la producción estimada será de 300 Kg. por árbol y que por cada árbol que se deje de plantar la producción aumentará en 3 Kg. por árbol. ¿Cuál es el número de árboles que debe plantarse en el terreno a fin de obtener la máxima cosecha posible en el terreno? ¿Cuál es este valor máximo? Solución Sea x = Número de árboles que se dejan de plantar Números de árboles a plantar= 200 – x La producción estimada por árbol está dada por:

P(x) = (200 - x). (300 + 3x)

Es claro que 0 < x < 200. Como deseamos obtener el máximo de la producción derivamos a fin de conseguir los puntos

críticos. Primero reescribimos la función:

P(x) = 6000 + 300x - 3x2. Se deriva

P`(x) = 300 - 6x Buscamos los valores críticos

300 - 6x = 0 Resolvemos la ecuación

x = 50

Como estamos buscando el máximo en un intervalo cerrado y P es una función continua, evaluamos P en 50 y en los

extremos del intervalo cerrado.

P (0) = 60000

P (50) = 67500

P (200) = 0

El máximo rendimiento es 67.500Kg. y se alcanza cuando se dejan de plantar 50 árboles. Esto es cuando se plantan 200 - 50 = 150 árboles.