TRABAJOS DE INVESTIGACION OPERATIVA. Vol. 1. Nt~m. 1, 1986.

TRABAJOS DE INVESTIGACION OPERATIVA Vol. 1. Num. 1, 1986, pp. 51 a 59

C L A S I F I C A C I O N EN P R O G R A M A C I O N M U L T I O B J E T I V O (*)

Carlos Gonz6lez Martin Departamento de Estadistica e LO. Facultad de Matem6ticas Universidad de La Laguna

RESUMEN

En el presente trabajo, despu6s de justificar Io importante que resulta para el decisor, en muchos casos, el poder obtener clasificaciones en el con- junto de objetivos de un problema de Programaci6n Multiobjetivo, se hace un estudio algoritmico que permite agruparlos en funci6n de ciertos niveles de conformidad.

Palabras clat, e: Programaci6n Multiobjetivo, M6todos Interactivos, niveles de conformidad.

Clasificaci6n AMS (1980): 90C99

SUMMARY

This paper attempts after justifying the importance of obtaing certain classifications for the set of objectives of a Multiobjective Programming problem, to highlight the importance of these classifications for the decision- maker. Moreover, an algorithm study is carried out so as to group the objectives according to their acceptance levels by the decision-maker. Key words: Multiobjective Programming, Interactive Methods, Acceptance

Levels. AMS Subjet Classification (1980): 90C99.

(*) Recibido, abril 1985. Aceptado, enero 1986.

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1. INTRODUCCION

En multitud de situaciones la formulaci6n de un problema de Pro- gramaei6n Multiobjetivo presenta enormes dificultades, tanto en Io re- ferente a la determinaci6n del nfimero de objetivos como a la forma e importancia de cada uno de ellos. Estos inconvenientes se deben, por Io general, a la falta de informaei6n disponible sobre los controles que intervienen en el problema, asi como de las interrelaciones entre los propios objetivos (ver, por ejemplo, Zeleny, 1982).

Una forma de solventar esta dificultad consistiria en plantear un

modelo provisional con muchos objetivos para, luego, poder deter- minar, mediante un an~.lisis en el que se establezcan criterios para clasificarios, una reducci6n, si procede, en el nfimero de los mismos y, de este modo, efectuar con el modeio modificado el desarrollo que nos Ileve a las soluciones del problema real planteado, a trav6s del m6- todo de resoluci6n adecuado.

Una vez concretados los objetivos que intervienen en el modelo provisional, el decisor puede contrastar el funcionamiento adecuado del mismo comprobando que se superan ciertos niveles de conformi- dad que 61 suministra en un proceso que, en muchas ocasiones, es interactivo (GonzS.lez Martin, 1984).

En estas circunstancias resulta de gran utilidad toda la informaci6n

que se obtenga respecto de subconjuntos de objetivos que superan unos niveles de conformidad determinados. En este trabajo desarro- Ilamos dos algoritmos que clasifican los objetivos de un problema de Programaci6n Multiobjetivo en funci6n de dichos niveles.

2~ ~:LASIFICACION DE OBJETIVOS S E G U N LOS NIVELES DE C O N F O R M I D A D

Dado el problema general de Programacion Multiobjetivo:

m~x (.fdx) ..... fp(x))

s.a x ~ X

donde X c ~", f~:R"--, ~, i = 1 ..... p, supondremos que el decisor es- tablece unos niveles z~ ..... zp que representan su conformidad para cada

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uno de los objetivos. Haremos la hip6tesis de que z~ < m:~x ft(x), i = xEX

= 1 ..... p. Obviamente, a tenor de Io referido con anterioridad, nos interesa

encontrar ia familia:

J = ~tI j / j = 1 . . . . . T I

de subconjuntos de indices de objetivos tales que:

V l j ~ J , 3 x ~ X tal que f,.(x)>l zi, V i e l ~

Vr ~ l j, i~ x ~ X con f , (x) >1 z, y fi(x) >1 zi, Vi �9 lj

Notemos que ia familia J recubre el conjunto de objetivos siendo sus elementos subconjuntos maximales.

Si definimos, Vi ~ '~ 1 ..... pl

Xi = ' ,x~ X/f~(x) >1 zi',

la familia J queda caracterizada de ia forma siguiente:

l ~ J c ~ N X ' v ~ q b Vrq~lj, X,c~(~X,)i . = ~

Para hallar la familia J distinguiremos los casos en que X es fi- nito de los que X es infinito.

I) Caso f ini to

Sea X = '~x~ ..... x v',. V x i e X, i lamamos:

l(xi) = 'j/fj(xi) >>- zi',

Definimos en X la relaci6n binaria siguiente:

Vxi, xj ~ X, xi ~ xj r l(xi) c l ( x )

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El prr parcial que induce E en X nos permite caracterizar los elementos de J de la forma siguiente"

Teorema 1

Sea xi ~ X. l (x3 ~ J r x~ es maximal en (X, ~) .

DEMOSTRACION

=~) Sea I(xi) = I, �9 J. Entonces:

x~ e 0 Xj j~l,

Si xi no es maximal en (X, ~ ) ~ 3 t~l(x.), para algfin x , .e X, tal que m r 1(xi), verificb.ndose que:

Io cual indica que I(xi)$ J en contradiccidn con ia hipdtesis inicial. .~) Si xi es maximal en (X, ~ ) , entonces:

x~ E N Xj jet(xi)

Supongamos que I(x3r es decir que 3 r r tal que:

X , n ( j N Xj ) = Y, # ~ el(x,)

Si xje Y,, tenemos que se verifica:

l(xj) D I (x i )u ',r',

y, por Io tanto, x~ no es maximal, en contra de la hip6tesis hecha inicialmente.

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Teorema 2

I e J r :1 x i e X tal que x~ es max ima l en (X, ~ ') e I = l(x~).

DEMOSTRAC1ON

�9 *=) Tr iv ia l en vi r tud dei t e o r e m a 1.

=,) Si I E J , en tonces :

N X I # r y i t !

Sea x i ~ (~X~. O b v i a m e n t e I c l(xi) e I m ax im a l ~ I = 1(xi), s iendo

ev iden te que xi es max ima l en (X, ~) .

La c o r r e s p o n d e n c i a b iun ivoca que se ha es tab lec ido ent re los ele-

me n to s de J y los pun to s maximales de (X, <~), nos pe rmi te cons-

t ru i r el s iguiente a lgo r i tmo para ca lcular la famil ia J .

3. A L G O R I T M O

Paso 0

Sea X ' x x ',. = ~xl ..... Ha l l a r 1(xi) y Card 1 ( x i ) = q , VisUal ..... NI .

O r d e n a r X seg6n los va lores decrec ientes de q. R e n u m e r a r , si es

necesar io , los e lementos de X. Hace r i = 2, j = 1 e ir al paso 1.

Paso 1

Si l(xi)d/: l(xj) ir al paso 3.

de p u n t o s de X e ir al paso 2.

En o t ro caso, b o r r a r xi de la lista

Paso 2

Si i < N, hacer x , _ l = x , , Vr > i, N = N - 1 e ir al paso 1. Si

i = N, hace r N = N - 1 e i r al paso 3.

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Paso 3

H a c e r j = j + 1. S i j = i , ir ai paso 4 ; s i j < i i r ai pa so 1.

Paso 4

Si i - - - N , ir al paso 5. En o t ro caso, hacer i = i + I, j = 1

ir ai paso 1.

Paso 5

La familia J vendrfi d e t e rmin ad a por :

I l(x,)/i = 1 ..... N',

II) Caso infinito

A pesar de ser c ier tos los resu l tados dados con an te r io r idad para el caso en que X es infinito, el p roceso con ten ido en el a lgo r i tmo precedente no seria igualmente v/dido para este caso, ya que, de fo rma trivial, nunca acaba r i a de operar .

El a lgor i tmo que p r o p o n e m o s , para hallar la familia J en el caso infinito, cont iene la forma de t raba ja r de los m6 todos de Ramifi- caci6n y Aco tac i6n (Branch and Bound) , de tan ta impor t anc i a en

Invest igaci6n Opera t iva .

4. A L G O R I T M O

Paso 0

P

D a d o s z I ..... zj,, hallar XI .... ,Xj,. Sea Yx = N X r Si YI #~b, pa- i = l

rar con [1 ..... pl c o m o finico e lemento de J. Si YI = ~b, hacer Tl =

= ~l,...,p',, J1 = 4', LI = 17"1~J, nl = 0, r t = 1, k = 1. NingOn indice del con jun to 7"1 estarfi marcado . Ir ai paso 1.

Paso 1

Sea L k = ~TI ..... T ' , . Hace r i = I e i r a l paso 2.

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Paso 2

S e a n :

M ( T 3 = [i I ..... iql---, ind ices m a r c a d o s en T~.

N M ( T 3 = [h 1 . . . . . h,] --, ind ices n o m a r c a d o s en 7]/.

Si N M ( T 3 = q~, ir al pa so 5. Si N M ( T 3 4 = ~ b e i = 1, h a c e r m = 1,

nk+ l = n k, rk+ l = 0 , L k + l = qb, J , , + l = J k e ir al pa so 3. Si i > I,

h a c e r m = I e ir al p a s o 3.

Paso 3

H a l l a r

n

) t t ~ : m

a) Si Yi.~ 4= ~b, h a c e r nk§ = nk+l + I,

b)

I = [i 1 ..... iq, h 1 . . . . . h=', - '~hm~ / I / t§ 1

' I }l. J k + l = J k + l k.) t n k . ,

Si Y~] = q~, h a c e r rk+t = r k . l + 1,

T r k + 1

M a r c a r en T Yk+ I

= li I ..... iq, h t . . . . . h,', - ' ~ h = ] .

los ind ices :

i 1 ..... iq, h 1 ..... h=_ 1

h a c e r L k + 1 = Lk+, w IT ', e ir al p a s o 4. rk+ I

Paso 4

H a c e r m = m + 1. S i m ~<s, ir al pa so 3. S i m > s i r al pa so 5.

Paso 5

H a c e r i = i + 1. Si i ~< rk, ir al p a s o 2. Si Vi ~ 11 ..... rk', N M ( T 3 = dp,

p a r a r c o n Jk c o m o fami l ia de c o n j u n t o s m a x i m a l e s de indices de

ob j e t i vos . Si i > r~ ir al pa so 6.

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Paso 6

Sea Lk+t Y Jk+l las familias obtenidas en los pasos precedentes. Si Lk+l = ~, parar con Jk+t con familia de subconjuntos maximales de indices de objetivos compatibles con los niveles de conformidad

z t ..... zp. Si Lk+t ~: ~, ha ter k = k + 1 e ir al paso 1.

5. C O N V E R G E N C I A

E! procedimiento anterior es convergente, ya que de termina todos los elementos de la familia de conjuntos maximales J.

Es obvio, por la construcci6n que se realiza en el algoritmo, que los elementos de las sucesivas familias Jk son maximales en (X, ~ ) . Poi" el contrario, cualquier elemento de la familia J puede ser genera- do a trav6s del proceso anterior. Este resultado se concreta en el siguiente teorema.

Teorema 3

Si I ~ J, entonces ! es generado por el algoritmo anterior.

DEMOSTRACION

Sea I ~ J. Si il es el primer elemento de I1 ..... p', que no est:t en 1, ramificamos en : 1 ..... p: en este indice, obteniendo el correspondien-

te conjunto Tt y marcamos todos los indices anteriores. Si i2 es el segundo elemento de I1 ..... p', que no est~ en I, ramificamos en Tt en este indice, marcando todos los anteriores. Procederemos de la misma forma con el resto de los indices que no est~n en I. Obviamente este procedimiento iterativo es finito y acaba con la generaci6n del conjunto I.

Agradecimientos: AI profesor S~nchez Garcia por su inestimable ayuda. A los <~referees- de este trabajo, cuyas opor tunas indicaciones han servido sin duda para mejorarlo.

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REFERENCIAS

GONZALEZ MARTIN, C. (1984): M~todos lnteractivos en Programaci6n Multiobjetivo, Tesis Doctoral, Universidad de La Laguna.

GONZALEZ MARTIN, C., y SANCHEZ GARCIA, M. (1984): ~Un M6- todo Interativo basado en el Criterio Minimax>>, Actas del X I V Con- greso Nacional de Estadistica e I.O., tomo II, 510-516.

HWANG, CH. L., y MASUD, A. S. Md. (1979): Multiple Objective De- cision Making. Methods and Applications, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 164, Springer Verlag.

ZELENY, M. (1982): Multiple Criteria Decision Making, McGraw-Hill.

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