Dados los conjuntos y

El producto cartesiano es

Definiendo la proposición abierta “x es mayor que y”, se obtiene el subconjunto solución :

Para llegar al conjunto solución R, se necesitó: Dos conjuntos A, B y una proposición abierta.

Observemos que el conjunto solución es un subconjunto de ; y se llama Relación.

1. Relación

Con los elementos de una relación se pueden formar dos conjuntos, el formado por las primeras componentes y el formado por las segundas componentes de las parejas ordenadas; el primer elemento se le denomina Dominio y al segundo Recorrido de la relación.

Sean una función, se define:

DOMINIO: Es el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas ordenadas de un Relación. RANGO: Es el conjunto formado por las segundas com-ponentes de las parejas ordenadas de un Relación.

2. Elementos de una relación

3. Función

Dados los conjuntos M y N, una función f definida en M y tomando valores de N, es una relación que asigna a cada elemento de M un y solo un elemento de N. Para definir una función es necesario tener claro que: Toda Función es una relación, pero no toda relación es una Función. Para denotar que f es un a función del conjunto M en el conjunto N, se escribe:

a) se lee “f de M en N”

b) Para denotar que en la función f, corresponden elementos que pertenecen a los conjuntos, es

decir, y el elemento , se escribe:

Y se lee “la imagen de x por f es y”

Funciones

Para que se cumpla la definición de Función, debemos tener en cuenta: a) Todos los elementos de M deben tener una imagen en N b) Todos los elementos de M pueden tener una imagen y solamente una en N. De acuerdo con lo anterior se puede concluir que los ejemplos 1 y 2 cumplen estas condiciones y por tal razón son Funciones. En el grafico podemos observar que:

Sean una función, se define:

DOMINIO: Son los elementos del conjunto de Partida. En este caso M. CODOMINIO: Son los elementos del Conjunto de Llegada. En este caso N. RANGO: Son los elementos del Conjunto de Llegada que son imágenes de los elementos del Conjunto de Partida.

4. Dominio, co - dominio

y rango

Para las funciones reales, son aquellas que cumplen las siguientes condiciones: a) El dominio es un conjunto de los Números Reales. b) El dominio es un subconjunto de los Números Reales. Las funciones se clasifican de la siguiente manera:

5. Clasificación

de funciones reales

6. Operaciones entre

funciones

A partir de dos funciones definidas en los números reales podemos hallar nuevas funciones.

Sean las funciones reales y

Una función se puede operar con otras funciones, de la siguiente manera:

La suma es otra fun- ción, cuyo resulta-do se obtiene sumando los términos se-mejantes de las funciones dadas. Ejemplo:

Sean y . Hallar

Solución:

f g x

f g x f x g x

xgxfxgf

Diferencia entre funciones

La diferencia otra función, cuyo resultado se obtiene res-tando los términos semejantes de las funciones dadas. Ejemplo:

Sean y

Hallar

Solución:

f g x

xgxfxgf

Suma entre funciones

f g x f x g x

7. Producto de funciones

xgxfxgf

Ejemplo:

Sean y . Hallar

Solución:

f g x

xgxfxgf

Ejemplo:

Sean y .

Hallar

Solución:

Por lo que;

0;

xgxg

xfx

gf

/f g x

0;

xgxg

xfx

gf

Se escribe

se lee g compuesto

se lee f compuesto El dominio es el conjunto de valores de x para los que tengan sentido la operación realizada. Ejemplo:

Sean y .

a. Hallar

b. Hallar

f g x f g x xf

g f x g f x xg

f g x

g f x

8. C

oc

ie

nte

de

fu

nc

io

ne

s

9. Composición funciones