1.1 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

3º 1.1.1 TIPOS DE NÚMEROS

3º Los números naturales son : 1, 2, 3, ...., 10, 11, ...., 102, 103,.... . Hay

infinitos.

Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra N.

3º Los números enteros incluyen los naturales, sus opuestos y el cero: ...,

-11, -

10, ......, -2, -1, 0, 1, 2, ...., 10, 11, ..... Al conjunto de todos ellos se les

designa

con la letra Z.

Los números fracciones son fracciones (a/b) donde el numerador no es

múltiplo del denominador y el denominador es no nulo. Hay dos tipos:

Fracciones propias : Numerador < Denominador (Ejemplo: 2/3)

Fracciones impropias : Numerador > Denominador (Ejemplo: 3/2)

Los números fraccionarios tienen una expresión como número decimal

Números decimales exactos : Número finito de decimales : 1,234

Números decimales periódicos puros : Número infinito de decimales tales

que la parte decimal se repite : 1,234234234..... = 1, 234

Números decimales periódicos mixtos : Número infinito de decimales tales

que hay alguna cifra decimal que no se repite: 1,2344444..... = 1,23 4

Los números racionales incluyen

los números enteros y los

fraccionarios. Alconjunto de todos ellos se les

designa con la letra Q.

3º Los números irracionales son

aquellos que no son racionales:

, 2 ,1’01001.... (Números decimales

no periódicos)

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

Números imaginariosUn número imaginario se denota por bi, donde :b es un número reali es la unidad imaginaria:

Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

1.2.1 PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL

3º Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división delnumerador entre el denominador.

3º Ejemplos:

48 = 2 Natural

2,25

4

9 Decimal exacto

1,333333.... 1,334

Decimal periódico puro

1,166666.... 1,16

67

Decimal periódico mixto

Decimales exactos:

N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en

entero.

100N = 238 Despejar N

N =

100

238

Simplificar la fracción, si es posible N =

50

119

3º Decimales periódicos puros:

N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro

número con el

mismo periodo.

100N = 238,38 Restarlos

99N = 236 Despejar N

N =

99

236

Simplificar la fracción, si es posible N =

99

236

Decimales periódicos mixto:N = 2,38

Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para

convertirlo en periódico

puro

10N = 23,8 Multiplicar por la potencia de 10

adecuada obtener otro número con el

mismo periodo.

100N = 238,8 Restarlos

90N = 215 Despejar N

N =

90

215

Simplificar la fracción, si es posible N =

18

43

CONTROL DEL ERROR COMETIDO

3º Cuando damos una medida aproximada, estamos

cometiendo un error.

3º El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real

y el Valor de Medición,

en valor absoluto (en positivo)

Error Absoluto = | Valor Real – Valor de Medición |

4º Pero no es lo mismo cometer un error de un

centímetro al medir una tiza que

una pizarra, por tanto definimos:

El Error Relativo como es el cociente entre el error

absoluto y el valor real

N - NÚMEROS NATURALES

Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar elementos o cosas

Z - NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567,

etc., es decir, LOS NATURALES Y sus opuestos (negativos).

Q - NÚMEROS RACIONALES

número racional es todo aquel número que puede ser

expresado como resultado de la división de dos números

enteros. Comúnmente es a lo que se les llama números

decimales, tanto en fracción como expresado con comas.

Cualquier numero puede representarse como una fracción

de denominador 1 (ejem. 4/1) o como numero decimal

(ejem. 4,0), por lo tanto los NUMEROS NATURALES Y ENTEROS

SON RACIONALES.

I - NÚMEROS IRRACIONALES

LOS NÚMEROS IRRACIONALES no pueden representarse en

forma fraccionaria. Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún

patrón repetitivo.

Debido a ello, los más celebres números irracionales son

identificados mediante símbolos. El más conocido es:

(Pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su

diámetro.

R - NÚMEROS REALES

Como su propio nombre indica, son todos los números,

RACIONALES E IRRACIONALES

REGLAS DE DIVISIBILIDAD, MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Las reglas de divisibilidad son criterios que sirven para saber si un número es divisible

por otro sin necesidad de realizar la división.

Divisible significa que al dividirlo por ese número el resultado es una división exacta con resto cero. Por ejemplo, 30 es divisible por 5 porque al dividirlo por 5 el resto es cero 30:5=6.

Las reglas:

Un número es divisible por 2, 3 ó 5 si:

2 si termina en 0 o en cifra par Ejemplos 50; 192; 24456

3 si la suma de sus cifras es múltiplo de tres Ejemplos: 333 (dado que 3+3+3 =9); 9 es un múltiplo de 3; (3x3=9)

5 si termina en 0 o en 5 Ejemplos 35; 70; 1115;

Más ejemplos de la Regla del 3 -> (la suma de los cifras debe ser un múltiplo de 3).

663---> 6+6+3= 15 ----> 3 x 5 = 15 12123---> 1+2+1+2+3= 9 ----> 3 x 3 =9;

Estas reglas son importantes dado que te facilitan el cálculo de las descomposición de factores que a su vez sirven para reducir y simplificar fracciones, hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Un número real puede ser un número racional o un

número irracional. Los números racionales son aquellos

que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, −21/3, 5, 0, 1/2, mientras

que los irracionales son todos los demás Los números

racionales también pueden describirse como aquellos

cuya representación decimal es eventualmente

periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica: Ejemplos 1/4 =

0,250000… ES un número racional puesto que es

periódico a partir del tercer numero decimal. 5/7 =

0,7142857142857142857…. ES racional y tiene un período

de longitud 6 (repite 714285).(3√7 + 1)/2 = 1.456465591386194…

Una fracción es un número que se obtiene dividiendo un

número por otro. En una fracción tal como a/b el

número a que es dividido se llama numerador y el

número b que divide, divisor o denominador.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

4º 1.4.1 INTRODUCCIÓN

4º Los números siguientes están puestos en notación

científica:

2,48 . 1014 = 248.000.000.000.000 (14 cifras a partir de la

coma)

7,561. 10-14 = 0,00000000000007561 (14 cifras de la

coma al 7)

4º La notación científica tiene sobre la usual la

siguiente ventaja: las cifras se nos

dan contadas, con lo que el orden de magnitud del

número es evidente. Esta

notación es útil, sobre todo, para expresar números

muy grandes o muy

pequeños.

1.4.2 DEFINICIÓN

4º Un número puesto en notación científica consta de

:

- Una parte entera formada por una sola cifra que no

es el cero(la de las unidades)

- El resto de las cifras significativas puestas como

parte decimal.

- Una potencia de base 10 que da el orden de

magnitud del número.

N = a , bcd...... x 10n

a = Parte entera (sólo una cifra)

bcd..... = Parte decimal

10n = Potencia entera de base 10

4º Si n es positivo, el número N es “grande”

Si n es negativo, el número N es “pequeño”

Aquí te proponemos una forma nemotécnica sencilla para aprender a

sumar y restar mediante dos reglas muy fáciles de recordar:

· Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman

(entendido como suma en números naturales) y se deja el mismo signo.

Ej: 3+5 = 8 esta es una suma común y corriente entre naturales, pero y si

fuera...

-3-5 = -8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta

vez es de signo negativo porque ambos números son negativos y en

realidad estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta real.

· Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan

(entendido como resta entre números naturales, el mayor menos el

menor) y se deja el signo de la magnitud mayor.

Ej: 5 – 3 = 2

-5 + 3 = -2

En el primer ejemplo es una resta común y corriente entre número

naturales. En el segundo caso tenemos dos enteros –5 y 3. la regla dice

que se restan como se haría entre números naturales 5-3 da 2, pero

como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda

negativo –2.

Esto no quiere decir que –5 sea mayor que 3. Si tengo 3 dólares en el

bolsillo estoy más contento que si me faltan 5 ( -5 ), sólo es una norma

nemotécnica para que aprendas a sumar y restar.

SUMA Y RESTA DE REALES

Mira estos otros ejemplos:

-7+10=3 que es lo mismo que 10 - 7=3

7-10 = -3 que es lo mismo que –10+7 = -3

-4-2-5-10= -21

4+2+5+10= 21

-4+5-10-20+15-7+9

Para estos ejercicios largos es buena idea agrupar por signos, así:

-4-10-20-7 = -41 ; 5+15+9=29

Y luego restar:

-41+29 = -12

Nótese que se operó entre los resultados anteriormente obtenidos y se

volvió a aplicar la regla. Número de signos diferentes “se restan” y el

resultado queda con el signo de la magnitud mayor, en este caso 41.

SUMA Y RESTA DE REALES

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Para estas operaciones es obvio que debes conocer las tablas de

multiplicación y además saber que:

+ x + = +

- x - = +

+ x - = -

- x + = -

Es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes negativo. Ejemplo:

-5*-3 = 15

-5*3 = -15

5*3 = 15

5*-3 = -15

15÷5 = 3

-15÷5 = -3

15÷-5 = -3

-15÷5 = -3

0

5. , 0

16. , 0

7. 1, 0

mm n

n

n

n

aa a

a

a aa

a a

1.

2.

3. ( )

4. , 0

m n m n

nm mn

n n n

n n

n

a a a

a a

ab a b

a ab

b b

1 22 1 2

1 2 2 14

7 7 5 25

5 7 75

3 3 6 632 2

1 1 1 1

1 x xx x

2

2 2

2 2

1 1 4 4 16

3 3 3 9344

1 1 13 1/3 1/23 6 4

3 3 21/3 6 4

93

3

a b ca b c

a b c

10 3 17 3 9 23a b c

Ejemplo 1

1 22

4

7

5

Ejemplo 23

2x

Ejemplo 3

23

4

Ejemplo 43 1/ 3 1 2

1 3 6 4

9

3

a b c

a b c

m m nn a a

Los radicales se rigen por las leyes de los

exponentes, porque:

1 3 1 31 31 3 1 3 1 33 1 1 1z z z

1 9

1 9

11 z

z

1 12 11 2

5 3 5 3 5 2 3 2 2 1 2 1 1 22 22 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3

1 222 3 2 3 12 6

232 32 33 2 3 23

3 3 3 3 13

8 8 2 2 2 4

64 4 4 4 4

Ejemplo 5 3 64

Ejemplo 6 864

Ejemplo 7 3 1 3z

1 32 2

3 3 6 4 3 3 6 4

32 2

3 4 3 4

2 10 2 10 2 10 2 10

2 10 2 10

1 312 10

1 36 18 2 6

6 8

2 102 10 2 10 0.000004

2 10

1 32 3 3 33 33 24 24 2 3 2 3 2 3

1 31 3 66 1 3 2 2

1 33 1 33

88 8 2

27 27 327

aa a a

b b bb

xx x x

y y yy

Ejemplo 86

33

8

27

a

b

x

y

Ejemplo 9

2

32

0.008 0.0064

80000

Ejemplo 10 3 576

Ejemplo 11 Si 1 ,2a 2 ,2 2a 3 ,2 2 2a 4 ,2 2 2 2a

exprese como potencia fraccionaria de 2 cada

uno de los términos de la sucesión anterior, y

obtenga en la misma forma el término an de la

sucesión, en donde n es un número entero positivo.

Solución Nótese

que:2 1

1 2 21 2 2 ,a

2

2 2

2 11 2

1 2 3 2 22 2 2 2 2 2 2a

3

3 3

2 11 21 2

1 2 7 2 23 2 2 2 2 2 2 2 2a

4

4 4

1 2 15 2 11 21 2

1 22 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a

Entonces:

2 1

22

n

n

na

Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar, y

tiene un diámetro aproximado de 142 880 000 m, y el

más pequeño es Plutón con un diámetro aproximado

de

3 500 000 m. ¿Cuántos plutones caben en Júpiter?

Solución Sea el volumen de Júpiter y sea el volumen de

Plutón, entonces:

JV PV

3 33 33 8 8

3 6 6

4 3 1.4288 10 1.4288 10

4 3 3.5 10 3.5 10

J

P

V R R

V r r

38 24

6 4

6 18

10 100.0680315 0.0680315 0.0680315 10 6.80315 10

10 10

Así que, caben aproximadamente 68,031 plutones en

Júpiter.

Podemos decir que la exponenciación es una operación que se define en

lo que es un álgebra sobre un cuerpo normada completa o álgebra de

Banach. Lo importante de esto es que se generaliza la función

exponencial de los números reales.

Cuando por ejemplo a y b corresponden a dos números enteros la

operación puede definirse en términos algebraicos elementales. Pero

ciertos números de problemas físicos llevaron a tratar de generalizar la

fórmula anterior a valores de b no siendo enteros. Cuando b = 1/2 la

operación es equivalente a lo que llamamos una raíz cuadrada.

De modo que la exponenciación trata de generalizar una operación

como:

Habitualmente dicha operación puede ser reducida al cálculo de la

siguiente operación:

Se generaliza entonces este tipo de operación a casos donde el exponente no

es precisamente un número real.

Para que sea mas sencillo entender lo que es una exponenciación y saber a

que nos referimos cuando hablamos de exponente, prestemos mucha

atención a lo siguiente. Tomemos como ejemplo una expresión matemática

que tenga incluidos dos términos, los cuales se denominan base a y exponente

n. Un exponente se utiliza para indicar la multiplicación repetida, elevando una

base a n. El proceso de elevar una base a un exponente se llama

potenciación. Entonces si a es un número real y n un número real se definirá

como:

Entonces:Esto varía según el conjunto numérico

al cual pertenezca dicho exponente.

Si a es un número real no nulo, se

define entonces como:

De lo anterior podemos deducir cuales

serían las reglas que habitualmente se

utilizan en la exponenciación, veamos

cuales serían:

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en

que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un

tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite.

Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.

La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un

número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b2 = a.

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.

Radicando = (Raíz exacta)2

Cuadrados perfectos

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...

Raíz cuadrada entera

Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.

Radicando = (Raíz entera)2 + Resto

Algoritmo de la raíz cuadrada

1Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos

de dos empezando por la derecha.

2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de

cifras por la izquierda.

¿Qué número elevado al cuadrado da 8?

8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos

cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raíz del cuadrada

del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casilla

correspondiente.

3El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que

aparecen en el radicando.

El cuadrado de 2 es 4. se lo restamos a 8 y obtenemos 4.

4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando,

separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el duplo de la raíz anterior.

Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.

49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.

5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz ,

multiplicando el número formado por él, y restándolo a la cantidad operable del radicando.

Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad

operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7...hasta

encontrar un valor inferior.

6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.

7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos

anteriores.

Como 5301 > 5125, probamos por 8.

Subimos el 8 a la raíz

8Prueba de la raíz cuadrada.

Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:

Radicando= (Raíz entera)2 + Resto

89 225= 2982 + 421

Números imaginarios

Definición

Un número que cuando se eleva al

cuadrado (se multiplica por sí mismo)

da un resultado negativo.

Intentos Vamos a probar a elevar algunos

números al cuadrado a ver si podemos

sacar un resultado negativo:

2 × 2 = 4

(-2) × (-2) = 4 (porque negativo por

negativo da positivo)

0 × 0 = 0

0.1 × 0.1 = 0.01

¡No hay suerte! Siempre positivo, o

cero.

Eso es porque estamos calculando el

cuadrado de números reales.

Pero imagina que hay un número (vamos a llamarlo i de imaginario) que

cumpliera esto:

i × i = -1

¿Sería útil, qué podríamos hacer con él?

Bueno, haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor

para la raíz cuadrada de -1:

Y eso es muy útil... simplemente

aceptando que exista i podemos

resolver muchos problemas donde nos

hace falta la raíz cuadrada de un

número negativo.Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9?

Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-1) = 3i

Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que hay que

multiplicar por √-1 no tendremos problemas con seguir calculando para

llegar a la solución.

Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de

los polinomios, cosa que con los reales no era posible.

Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad

imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:

Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con

esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada

lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no

confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas.

Representación binomial

Cada complejo se representa en forma binomial como:

z = a + ib

a es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se

expresa así:

a = Re (z)

b = Im (z)

Plano de los números complejos

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total

de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los

números complejos.

Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones

que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división

entre estos puntos.

Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó

(Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) • (c, d) = (ac - bd, bc + ad).

Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el

cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo

de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma

un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden

ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser

convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i

Propiedades de la Suma de Números ComplejosLa suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

· ConmutativaDados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:

(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )

Ejemplo:

(2 − 3i ) + (−3 + i ) = (2 − 3) + i (−3 + 1) = −1 − 2i

(−3 + i ) + (2 − 3i ) = (−3 + 2) + i (1 − 3) = −1 − 2i

· AsociativaDados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:

[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]

Ejemplo:

[(5 + 2i ) + (3 − 4i )] + (−9 + 8i ) = (8 − 2i ) + (−9 + 8i ) = −1 + 6i

(5 + 2i ) + [(3 − 4i ) + (−9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (−6 + 4i ) = −1 + 6i

· Elemento neutroEl elemento neutro es 0 + 0i , puesto que

(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi

El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».

· Elemento simétricoEl elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (− a − bi ):

(a + bi ) + (−a − bi) = 0 + 0i = 0

Ejemplo:

El simétrico de 2 − 3i es −2 + 3i pues (2 − 3i ) + (−2 + 3i ) = 0

Suma y resta de números complejos.

1.− ( 3+5i ) − ( 5−3i ) = −2+8i

2.− ( 9+7i ) − ( −9+7i )+( −18+i ) = ( 9+9−18 )+( 7−7+1 )i = i

Multiplicación de números complejos.

2 2

1.− ( 3+5i ) ( 5+3i ) ( 2−i ) = 15+9i+6−3i+25i+15i +10i−5t = 34+64i

2 2

2.− ( 3−2i ) ( 2+i ) ( 1−i ) = ( 6+3i−4i−2i ) ( 1−i ) = ( 8−i ) = 8−8i−i+i = 7−9i

División de números complejos.

2

1.− 3 − i − ( 3 − i ) ( 3 − 2i ) − 9 − 6i − 3i + 2i − 7 − 9i − 7 − 9i − 7 − 9i

3 +2i −( 3 + 2i ) ( 3 − 2i )− 9 + 4 − 9 + 4 − 13 − 13 13

2 2

2.− ( 3 + 4i ) ( 1 − 2i ) −3 − 6i + 4i − 8i − ( 11 − 2i ) ( 1 − i )− 11 − 11i − 2i + 2i −

1 + i − 1 + i − ( 1 + i ) ( 1 + i ) − 1 + i −

− 9 − 13i − 9 − 13i

− 2 − 2 2

12

Operaciones fundamentales con números

complejos. Ejemplos