Profesor: Mg. Oscar Romero Ayala

RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Comprender los fundamentos de sensibilidad en

problemas de programacin lineal.

Analizar la variabilidad en la solucin encontrada

para problemas de programacin lineal.

La solucin ptima de una programacin lineal se basa en

una toma instantnea de las condiciones que prevalecen

en el momento de formular y resolver el modelo.

En el mundo real rara vez permanecen estticos, y es

esencial determinar cmo cambia la solucin ptima

cuando cambian los parmetros del modelo.

Eso es lo que hace el anlisis de sensibilidad. Proporciona

tcnicas eficientes para estudiar el comportamiento

dinmico de la solucin ptima que resulta de hacer los

cambios en los parmetros.

El problema dual es un problema de programacin lineal

definida en forma directa y sistemtica a partir del modelo

original (o primal) de programacin lineal.

Los dos problemas estn relacionados en forma tan estrecha

que la resolucin ptima de un problema produce en forma

automtica la resolucin ptima del otro.

Nuestra definicin del problema dual requiere expresar el

problema primal en forma de ecuaciones; todas las

restricciones son ecuaciones, con lado derecho no

negativo y todas las variables son no negativo.

Este requisito es consistente con el formato de la tabla de

inicio simplex.

Se presenta la siguiente ecuacin para definir el problema

dual:

mjx

nibxasa

xcMaxoMin

j

n

j

ijij

n

j

jj

,...,2,10

,...,2,1:1

1

Las variables xj; incluyen las variables de excedentes, holguras y artificiales, si es que las hubiera de acuerdo al signo.

Se construye el problema dual a partir del problema primal.

1. Se define una variable dual para cada ecuacin primal(restriccin)

2. Se define una restriccin dual por cada variable primal.

3. Los coeficientes de restriccin (columna) de una variableprimal definen los coeficientes en el lado izquierdo de larestriccin dual, y su coeficiente objetivo define el ladoderecho.

4. Los coeficientes objetivos del dual son iguales al lado derechode las ecuaciones de restriccin primal.

Reglas para determinar el sentido de la optimizacin ylas restricciones.

Objetivo del Problema

Primal

Problema DualObjetivo Tipo de

RestriccinSigno de variables

Maximizacin Minimizacin No restringido

Minimizacin Maximizacin No restringido

EJEMPLO PROBLEMA DUALEJ: Se tiene:

Maximizar Z= 3x1 + 5x2

s/a x1 4

2x2 12

3x1 + 2x2 18

x1, x2 0

y1 = 0; Implica que existe un supervit de este recurso, yaque no esta ligado a la solucin ptima.

y2 = 3/2; Indica que si agregamos una hora ms al tiempode produccin a la semana en la planta 2 para estosnuevos productos, aumentara la ganancia total en$1500 a la semana. (solo para aumentos pequeos,topa con eje x1)

y3 = 1; Indica un aumento proporcional a medida queaumentamos 1 hora.

El anlisis de sensibilidad investiga el cambio de la

solucin ptima que resulta de hacer cambios en los

parmetros del modelo de programacin lineal.

Tarea: Puede Fmin(x) = - Fmax(x)?

EJEMPLO PROBLEMA DUALEJ: Se tiene: Maximizar Z= 5x1 + 4x2

s/a 6x1 + 4x2 24-x1 + x2 1x1 + 2x2 6x2 2

x1, x2 0

Rango de los coeficientes de la Funcin objetivo

Si c1 0, entonces

O bien

Si c2 0, entonces

1

2

6

4

1

2 c

c

4

6

2

1

2

1 c

c

Rango de los recursos de las restricciones que

tienen directa relacin con la solucin del

problema

Restriccin 1 : Puntos Extremos

Restriccin 2 : Puntos Extremos

Obtencin del precio sombra de las restricciones

asociadas a la solucin:

y1 :

y2 :

211

21

yextremopuntonrestricci

yextremopuntoz

432

43

yextremopuntonrestricci

yextremopuntoz

Rango de Optimalidad

Gradiente reducido

Precio sombra

Aumento y disminucin permisible.

El rango de optimalidad es vlido cuando un nicocoeficiente de la funcin objetivo cambia.

Cuando cambia ms de una variable se utiliza la regladel 100%.

Para cada aumento (disminucin) en un coeficiente dela funcin objetivo calcular (y expresar como unporcentaje) la relacin de cambio del coeficiente almximo aumento posible (disminucin) determinadapor los lmites del rango de optimalidad.

Sumar todos los cambios de porcentaje. Si el total esmenor que 100%, la solucin ptima no cambiar. Sieste total es mayor que 100%, la solucin ptimapuede cambiar.

1200

600

The Plastic constraint

Factible

Restriccin del plstico:

2X1+X2

600

800

1200

400 600 800

X2

X1

comenzar con una ganancia dada de = $2,000...

Utilid. = $ 0002,

Entonces aumente la ganancia...

3,4,

...y contine hasta que salga de la regin factible

Ganancia =$5040

600

800

1200

400 600 800

X2

X1

Se toma un valor cercano al punto

ptimo

FeasibleregionReginFactible

Regin no

factible

600

800

1200X2

X1

400 600 800

600

800

1200

400 600 800

X2

X1

Rango de optimalidad

1200

600

X2

Restriccin materiales

(plsticos)

Feasible

X1

600

800

Restriccin del

tiempo de

produccin

Ganancia mxima= 5040

Nueva restriccin materiales (plsticos)

Combinacin de restricciones

en la produccin

Puntos extremos