Sistemas en paralelo

1

2

i

n

A B

Se calcula en base al principio de que la presin (cota piezomtrica) tiene un valor nico en los puntos de ramificacin.

Calcular la prdida de carga y la distribucin del flujo cuando se conoce el flujo total Q.

Este problema se resuelve mediante iteracin

i) Suponer un valor del flujo Q1 en la rama 1

ii) A parir de Q1, calcular (HAB)1 considerando la rama 1 como sistema en serie.

iii) Hacer: (HAB)i = (HAB)1 para i=2,3,4.n

iv) A partir de (HAB)i calcular Qi para i=2,3,.,n

v) Calcular Q=Qi. Si el valor es diferente al dato inicial, volver a (i) y corregir Q1

En caso simplificado, f se puede considerar constante.

Si se realiza en base de las resistencias hidrulicas

=

=

=====n

i

nniiAB

QQ

QRQRQRH

1

22211 ...................

Definiendo resistencia equivalente Req del sistema

2

1

1

1

=

=

n

i i

eq

R

R

Con lo que queda:

2QRH eqAB =

FLUJO EN CONDUCTOS ABIERTOS

b = ancho del canaly = altura del lquido, medida segn la perpendicular al fondoQ = Q/b = flujo por unidad de ancho

Jo= sen = pendiente del fondo

J = pendiente del eje de carga

h = cota geomtrica del fondo

S = distancia a lo largo del eje

= presin relativa del fondo cosyLa fuerza Fp

cos21 2y

Fp =

Ecuacin de continuidad: cteVbyQ ==

Flujo uniforme

Caractersticas:

- Altura lquido constante

la altura normal : y = yn=cte

velocidad media V=Vn=cte

la pendiente del fondo es igual a la pendiente de carga

oJdsdHJ ==

Evaluacin de prdidas de carga

- Tomar volumen de control entre 2 secciones normales al flujo a la distancia L

Luego la cantidad de movimiento proyectada sobre el eje S es:

0021 =+= wsenPLFFF ppsComo y = cte entonces Fp1 = Fp2

P = permetro mojado (contacto fluido con la pared)

SLw =

Como no es un ducto circular, se utiliza el concepto de radio hidrulico Rh

Radio hidrulico:yb

byPSRh 2+

==

S = superficie transversalL = largo

Se obtiene que:oho JR =

La analoga del radio hidrulico con ducto circular es:

44

2D

D

D

PSR h === pi

pi

En un ducto circular:hRD 4=

Si se define

friccin de ecoeficient 21 2

== ffo CVC

Se obtienef

oh

CJgRV 2=

La rugosidad es muy variable en canales abiertos, ya que se construyen incluso slo con excavaciones en terreno.

Una de las formas ms utilizadas para representar Cf es la de Manning

31

22

h

fR

gnC =

N=coeficiente de rugosidad de Manning, que reemplazado en la ecuacin de velocidad nos da la ecuacin de Manning

N=coeficiente de rugosidad de Manning, que reemplazado en la ecuacin de velocidad nos da la Ecuacin de Manning

21

321

oh JRn

V =

La ecuacin no es dimensionalmente homognea, por lo que n se da para ser usada con unidades de metros y segundos. Si se utilizan otras unidades, se deben introducir factores de conversin.

Tipo de pared n (Manning)

Metal pulido 0,010

Vidrio, Plstico 0,008-0,010

Acero remachado, Fierro galvanizado

0,013-0,017

Metal corrugado 0,017-0,030

Cemento 0,010-0,015

Concreto, madera 0,010-0,020

Albailera 0,011-0,017

Excavado en tierra 0,016-0,030

Excavado en roca 0,025-0,050

Canales enmalezados, causes naturales

0,040-0,150

FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES

Existe variacin de densidad

c

p d

dpp

dcc

+

+

+

c = velocidad (uniforme) de propagacin de la perturbacin

La ecuacin de continuidad a seccin constante

( )( ) ddccc ++=

Despreciando el producto de las diferenciales:

0=+ dccd

La ecuacin de cantidad de movimiento es:

( ) ( ) +=+= cdcccSSdpppSF x Que queda cdcdp =

*

**

Combinando * y **

ddp

c =2

Como las perturbaciones son pequeas, se puede considerar un proceso isoentrpico (sin friccin y sin transf. De calor)

Por lo que: En un flujo isoentrpico se tiene:

CvCpkcondk

pdp

==

pk

ddp

=

De la ecuacin de gases perfectos

RTP = Cpk

kCvCpm

RRcon o 1===

Ro = cte universal de los gases

m = peso molecular

Entonces:

kRTc

kRTcpkc

=

== 22

Esta ecuacin representa la velocidad del sonido

Si se define:

match de nmero el M siendo c

VM =

kRTVM =

Y se dice que:

M < 1 flujo subsnico

M = 1 flujo crtico

M > 1 flujo supersnico

En semejanza dinmica

N Mach medida de la relacin entre la fuerza de inercia y la fuerza elstica (compresibilidad) del fluido

Tomando un volumen cbico de arista D, el orden de magnitud de la fuerza de inercia se da como:

22DVFi

La fuerza elstica (tiende a expandir el fluido) est dada por la presin por el rea superficial

2PDFc

De estas dos relaciones se obtiene:

22

2

22

kMRTV

PDDV

FF

c

i===

Se puede interpretar como la relacin entre la energa cintica del fluido y la energa interna2V aT

Flujo isoentrpico

Adiabtico (sin intercambio de calor con el medio)

Reversible (sin friccin)

Con = 1, la ecuacin de energa en estado estacionario

cteVhVPU =+=++ 2221

21

Introduciendo las llamadas magnitudes de estancamiento

Temperatura de estancamiento o temperatura total To

Temperatura que se observara si el flujo fuera llevado a condiciones de velocidad nula por proceso adiabtico

Presin de estancamiento o presin total Po

Presin que se observara si el flujo fuera llevado a condiciones de velocidad nula por proceso isoentrpico

Flujo isoentrpico, To y Po son constantes para todo el flujo

Flujo adiabtico con friccin, Po vara de un punto a otro

Flujo NO adiabtico To y Po varan.

Aplicando la ecuacin de energa entre un punto de estancamiento y un punto cualquiera y h = CpT

2

21 VCpTCpT o +=

Como: kRTVMyCp

kkCvCpR === 1

La ecuacin queda:(*)

211

12MkT

T

o

+=

Con (*), la ecuacin de estado y

= RTP

ctePdk

PdP

kegrando

= =

int

Se obtiene:

( ) (*)

211

11

2

+

= kko Mk

PP

( )112

211

1

+

= ko Mk

Validez de la aproximacin incompresible

Suponer flujo de presin P y velocidad V

se calcular Po de 2 maneras

Po presin real de estancamientoPo presin aproximada calculada como si fuera incompresible

De la ecuacin (*), aplicando desarrollo en serie

( ) K++++=+< 32 )2)(1(!3

1)1(!2

1111 nnnnnnpara n

K++++= 642 )2(481

81

211 MkkkMkM

PPo

reordenando

De (*)

+++=

K422 )2(

241

411

21 MkkkMkM

PPPo

Calculando por el otro mtodo

PkcyVPPo =+= 22

'

21

(+)

Se tiene

2

21 kM

PPPo

=

(++)

Dividiendo (++) por (+)

K+++=

42 )2(241

211 MkM

PPPP

o

o

Este es la evaluacin del error que se comete al suponer flujo incompresible

Cul es el mximo M para que el error no exceda del 1%?

Considerando los dos primeros trminos de la ecuacin:

ii

i

ii

i

cVc

VMesestoM

2,0

2,0:01,02

2

=

=

Si se sabe que la velocidad del sonido en el aire es de aprox. 340 m/s

entonces

[ ] [ ] [ ]hkmsmsmV i 2527068 ==

FLUJO ISOTERMICO CON FRICCION EN CONDUCTOS UNIFORMES

Se supone ductos no aislados, con lo que la temperatura del gas es igual a la temperatura exterior.

La velocidad no es uniforme.

Vp d

dpp

dVV

+

+

+o

dxEcuacin de continuidad

( )( )0=+

++=

VddVdVVdV

Ec.de cantidad de movimiento

Sea P = permetro

[ ]

0

4

)()(

=++

==

+=+

VdVRdxdp

RDcircularductoenPSRcon

VdVVVSPdxdpppS

ho

hh

o

Esfuerzo en la pared

22

81

21 VfVC fo ==

Cf = coeficiente de Fanningf = coeficiente de Darcy

Para ducto circular:

VdV

kMdxkM

Df

pdp

pkMkRTMRTPV

como

VdVDdxVfdp

=

=

==

=++

12

021

2

2

222

2

Se obtiene combinando la ecuacin de continuidad y la ecuacin de estado

De aqu se puede ver:

Para kM2 < 1 : p decrece; V y M crecen con x

Para kM2 > 1 : p crece; V y M decrecen con x

Para kM2 = 1 : es singularidad lmite de factibilidad del flujo isotrmico

Para integrar la ecuacin anterior, se toma como referencia la seccin inicial.

022 21

21

=+Ddxf

pdp

pkMpdp

Integrando:

+

=

DLf

ppkM

ppp

2

1212

1

22

21 ln2

o bien:

+

=

DLf

pp

SpQ

ppp m

2

12

11

2

21

22

21 ln2

Su aplicacin es complicada

Si:

DLf

pp

TURBOMAQUINAS

Turbomquinas

Bombas

Turbinas

Centrfugas

Desplazamiento positivo

Mquina entrega potencia al fluido

Fluido entrega potencia a la mquina

CompresoresSopladoresVentiladores

Gases

Desplazamiento positivo:

Algunas caractersticas importantes:- Trabajan a volumen constante- Tericamente la altura de elevacin puede llegar a

cualquier valor. El lmite es la resistencia de los materiales

- flujos pequeos y cargas grandes.

Desplazamiento positivo(flujos pequeos cargas grandes)

Bomba Centrfuga(flujos grandes cargas pequeas)

Ecuacin de momento angular

amF rr

=

posicinvectorr

velocidadqdtqd

a

=

==

r

rr

r

= ddm ( )qd

dtd

dtqddF rr

r== Sobre la partcula

)( qddtd

rFr rrrr =

dtqd

rqdt

rdqrdtd rrrrrr

+= )(

Del clculo vectorial:

Pero: , por lo tanto:qdtrd rr =

dtqd

rqrdtd rrrr

= )(

Y la ecuacin de momento angular queda:

)( qdrdtdFr rr

rr = Realizando una suma de todos los momentos angulares, tenemos el torque o momento total que se ejerce sobre el fluido

+

==..

)(MS

SSdqqrdqr

tFrT

rrrrrrrrr (*)

u = R velocidad perifricadel rodete

v = velocidad absoluta del fluido

w = velocidad del fluido relativa al rodete (se supone tangencial al alabe)

= ngulo (u,v) = ngulo (u,w)

Se tiene que:

wuvrrr

+=

Como todos los vectores de la ecuacin (*) son normales al plano del dibujo, la ecuacin se reduce a la forma escalar, que en el caso estacionario, tenemos:

=2 1

111222 coscos S SSdqVRSdqVRTrrrr

2)( Sqrrr

1)( Sqrrr

Sdqrr

Representa el flujo volumtrico total Q

de aqu se obtiene la frmula de Euler para la potencia, la cual llamaremos potencia virtual o ideal Pv.

)coscos( 111222 VRVRQTPv ==

Al dividir esta potencia por el peso total del flujo, se obtiene la altura virtual de elevacin Hv

Ru =

)coscos(1 111222 VuVugQPH vv ==

adems

el diseo de labes ideales, ser el que produzca cos 1 = 0, lo quenos lleva a la mxima altura de elevacin Hv:

222 cos1

Vug

Hv = (cuando 1 = 90) (*)

El componente radial de la velocidad v2 es:

bRQ

senV2

22 2pi =

La ecuacin (*) se transforma trigonomtricamente para dar:

=

bRQ

gRH v 2

2

2122

2

2tan1

pi

R2, b, 2 y son constantes que caracterizan la geometra y la velocidadde giro del rodete\

2>90

2=90

2

FUNCIONAMIENTO REAL DE UNA BOMBA

Se ver mediante el mtodo de la semejanza dinmica, la cual requiere semejanza geomtrica

H

Q

Hv

He real

Se deben realizar las siguientes suposiciones:

La potencia efectiva por unidad de flujo Be es funcin de:

- flujo volumtrico Q- dimetro D del rodete- velocidad angular de rotacin N = (/2)

(revoluciones/unidad de tiempo)- propiedades del fluido ,

f(Be, Q, D, N, , )=0

3NDQ

=COEFICIENTE DE FLUJO

2Re ND=N DE REYNOLDS

Del anlisis dimensional, se obtiene:

COEFICIENTE MANOMTRICO(o de carga)

2222 DNgH

DNB ee

==

Juntando se obtiene una ecuacin de la forma Re),( =

Se tiene que la potencia efectiva es:

53DNQHP eE ==Se define un coeficiente de potencia E igual a:

== EE

E DNP

53

Para Re alto

)()()(

BB =

=

=Se debe tener siempre en cuenta que para fluidos de baja viscosidad, Re es siempre alto (agua, aire, etc.)No as para lquidos muy viscosos

Estas 3 curvas empricas se llaman curvas de operacin o de funcionamiento.

Constituyen un dato que ordinariamente es suministrado por el fabricante del equipo

B

ELECCIN DEL TIPO DE BOMBA (velocidad especfica)

El problema que se tiene es seleccionar el tipo y tamao de bomba para un flujo Q0 con una altura de elevacin He0

Para lo anterior= existirn muchas bombas de diversos tipos, capaces de

realizar la tarea

= Interesa escoger aquella que opere con un rendimiento mximo en el punto de diseo, con el fin de minimizar la potencia consumida

Con el fin de cuantificar, se define la velocidad especfica NS igual a:

( ) 432

1

43

21

m

m

m

mS

gHeNQN ==

m, m, Qm y Hem son las variables para el punto de la curva de funcionamiento en que el rendimiento es mximo = max

max

m Hem

m Qm

El problema tpico de aplicacin, se caracteriza por el par (Q0, He0) que junto con una velocidad N, definen lo que se podra llamar la velocidad especfica del problema NS0

FUNCIONAMIENTO DE UNA BOMBA EN UN SISTEMA

Se vio anteriormente como calcular la potencia en el eje necesaria en un determinado circuito.

Este valor calculado es el MINIMO requerido, o sea, lo mnimo que debe suministrar la bomba.

Normalmente se escoge una bomba con mayor capacidad a la calculada. Cuanto mayor es resorte del ingeniero que calcul, pero generalmente se basa tambin en que tan precisos son los datos que se tienen (caractersticas del fluido, configuracin del sistema de tuberas, rugosidad de la tubera, etc.)

QAB

C

IIII

II

Cierre parcial

Q0

He

He0

Se necesita impulsar un flujo Q0 con una altura efectiva He0

I = CURVA DE FUNCIONAMIENTO DE LA BOMBA

Para escoger una bomba no basta que su potencia total PE sea suficiente, sino adems, su curva de funcionamiento debe pasar por o por encima del punto requerido Q0, He0

HeC

Lo que se plantea es:

i) Cul es el flujo real que impulsa la bomba por el circuito dado?

ii) Cuando trabajo con flujo Q0 Cul es la potencia realmente entregada al fluido?

La respuesta a i) es la interseccin de las curvas I y II (punto B)

La curva II se construye en base al balance de energa

He = H1-H2-H

esto quiere decir que debemos conocer el circuito y dejar todo en funcin de Q

El punto B, representa el mximo flujo que la bomba puede impulsarpor el circuito

Por lo que para llegar al flujo requerido, se cierra parcialmente la vlvula, esto lleva a un aumento de He (aumento en la prdida de carga) (curva III). Con lo anterior, la bomba funciona a Q0, pero desarrolla HeC > He0, por lo que el clculo de la potencia realmente consumida por la bomba es el punto C.

Ejemplo:

D = 10 cm L = 27 mP5 = 1,5 atm (abs)

Coeficientes de prdidas singulares:

K1 = 1,5; K2=K4= 0,35K3 = 0,2 (completamente abierta)K5 = 1

=1000 [kgf/m3]; =10-6[m2/s]

En el circuito de la figura, se ha instalado la bomba cuyas curvas de funcionamiento se dan en el grfico anexo. El flujo de diseo es de 35 [l/s] de agua. Calcular: a) el mximo flujo que puede impulsar la bomba; b) la potencia consumida para el flujo de diseo

Solucin:En primer lugar, es necesario calcular la potencia requerida

por el circuito en funcin del flujo Q (curva II).

Para lo anterior, aplicamos He = H1-H2-H entre los puntos (0) y (5)

h0 = 0; p0 = 0; v0 = 0 H1 = 0

h5 = 5 m; p5 = 1,5 1 = 0,5 atm; v5 = 0

[ ][ ] [ ]mmN

mNphH 17,108,9100010013,15,05 3

255

52 =

+=+=

Se sabe de antes que: += g

VKDLfH i 2)(

2

=++++= 4,3135,02,035,05,1iK

gV

DLfH

2)4,3(

2

+=

HHHHHe +=+= 17,1012

Q V Re f H -He

[m3/s] [m/s] [m] [m]

0 0 0 0 0 10,2

0,01 1,27 127324 0,017 0,66 10,8

0,02 2,55 254648 0,015 2,46 12,6

0,03 3,82 381972 0,014 5,34 15,5

0,04 5,09 509296 0,013 9,14 19,3

0,05 6,37 636620 0,013 14,29 24,5

Se confecciona la tabla siguiente, y en base a estos datos se construye la curva II.

05

10

15

20

25

30

35

40

0 20 40 60

He[m]

Q[l/s]

(%)

60

50

70

He

I

II

4635

17,4

28

69

De todo lo anterior se puede obtener la siguiente informacin:

a) El mximo flujo se lee en el grfico en la interseccin de curvas I y II

Qmax = 46 [l/s]

es el flujo que impulsara la bomba con la vlvula completamente abierta

b) Para reducir el flujo al valor de diseo, 35 [l/s], es necesario cerrar parcialmente la vlvula. El punto de funcionamiento de la bomba da:

He = 28 [m]; = 0,69

Por lo tanto: (*)[ ]hpQHePE 1,137528035,01000 === [ ]hpPP EC 0,1969,01,13 ===

Al comparar estos valores con la potencia mnima que requerira el circuito, dada por la curva II, nos da el sobredimensionamiento de la bomba.

][4,170 mHe =

[ ]hpQHePE 1,8754,17035,0100000 === Por lo que

La diferencia entre PE y PE0 nos entrega el sobredimensionamiento de la bomba:

13,1 8,1 = 5 hp

SISTEMA DE BOMBAS.

Se tienen dos configuraciones:- en serie- en paralelo

Sistema de bombas en serie:

- para un mismo caudal, se aumenta la altura de carga

- se debe tener cuidado con la sincronizacin de las bombas(esto se evita construyendo bombas con de multietapas, o entre las bombas se construyen estanques pequeos para no tener el problema de sincronizado)

B B

En este caso:

Q = cteHeT = Hei

He

Q

2 bombas

1 bomba

Sistema en paralelo:

- en este sistema, se tiene una altura de carga constante y aumenta el caudal.

B

B

QT = QiHeT = cte

He

Q

CAVITACION

Uno de los puntos importantes en el diseo de sistemas de bombeo, o en la determinacin de la bomba a utilizar es la cavitacin

La cavitacin es cuando un fluido se evapora en un punto de un conducto debido a la baja presin que se produce, y luego al aumentar esta vuelve a su estado lquido produciendo vibraciones que deterioran tuberas, labes de bombas, etc.No es lo mismo que golpe de ariete.

Para evitar que se produzca cavitacin, se debe conocer la columna de aspiracin neta positiva (NPSH) mnima de la bomba, y si esta es menor a la calculada en el sistema diseado, no se producir cavitacin.

El NPSH se define como:

VB PPNPSH =

en que: PB = presin en la entrada de la bombaPV = presin de vapor del lquido a las condiciones del fluido

El NPSHmin lo entrega el fabricante de la bomba

y se debe cumplir que: NPSH > NPSHmin

Ejemplo:

Utilizando el ejercicio anterior, calcular la altura mxima que se puede instalar la bomba en el circuito, si NPSHmin = 2 m. A temperatura normal la presin de vapor es: (presin absoluta)( ) ][2,0 mPV =

Solucin:

Aqu lo que se busca es la distancia (2) (B), que viene siendo hB

De los clculos anteriores:

Flujo mximo 46 [l/s] y f = 0,013

Se realiza un balance entre (0) y (B)Se supone longitud (1) a (2) igual a 1,2 [m]

HHH B +=00;;0 000 === VPPh atm

VB PNPSHP +=

Se considera h0 = 0, debido a que es el mximo requerimiento que puede tener la bomba.

Longitud de la tubera: 1,2 + hB

gV

DhfKKH B

22,1 2

21

+++=

Reemplazando esta ecuaciones en el balance de energa:

+

+++=

gV

Dfh

gV

DfKKPPNPSH BVatm 212

2,1122

21

El valor mximo de la altura es cuando el NPSH es mnimo

( )

+

+++

=

gV

Df

NPSHg

VD

fKKPPh

Vatm

B

21

22,11

2

min

2

21

max

Reemplazando los valores:

( )

( )

+

+++

=

8,9286,5

1,0013,01

28,92

86,51,0013,02,135,05,112,032,10

2

2

maxBh

][58,3max mhb =