Clases Unidad 1

7/21/2019 Clases Unidad 1

http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 1/47

EspecificacionesEspecificaciones para elpara el disediseññoo

dede sistemassistemas de controlde control

Prof. Mariela CERRADA LOZADAProf. Mariela CERRADA LOZADA

Universidad de Los Andes

Facultad de Ingeniería

Departamento de Sistemas de ControlOpción Control y Automatización

Control 2



05/11/200705/11/2007 22

El problema de diseEl problema de diseññoo

SISTEMA

(Planta)

ALGORITMO DE

CONTROL

CONFIGURACION

ESQUEMA

Entradas Salidas

Señal de Referencia

Estados

Señal de Control



05/11/200705/11/2007 33

Modelo del SistemaModelo del Sistema

)),(),(()(

)( );),(),(()(

00

t t ut xht y

xt xt t ut x f dt

t xd

=

==

SISTEMA(Planta)

u(t) y(t)

x(t)

Modelo no lineal

Linealización

)()()(

)( );()()(

00

t u Dt xC t y

xt xt u Bt x Adt

t xd

+=

=+=

Modelo lineal mnq p pss

zsK

sU

sY sG q

j

i

p

m

i

i

<=++

+

==∏

∏

=

= ;)(

)(

)(

)()(

1

1

Sistemas invariantes en

el tiempo

(1)

(2)

(3)



05/11/200705/11/2007 44


G(s)u(t) y(t)

x(t)

Go(s)

r(t)

El comportamiento de un sistema de control depende únicamente de sufunción de transferencia global Go(s), y no depende explícitamente de laplanta G(s). Luego el problema de diseño es, en esencia, la búsqueda de

Go(s) estable, para alcanzar especificaciones de diseño

0

1

1

0

1

1

)(

)()(

α α α

β β β

++

++==

−−

−

−

n

n

n

n

m

m

m

mo

ss

ss

s R

sY sG (4)



05/11/200705/11/2007 55


Dos enfoques básicos de diseño usando configuraciones realimentadas:

- Menos sensibles a ruidos y perturbaciones de planta.

(a) Se escoge una configuración realimentada y un compensador con

parámetros a diseñar. El sistema resultante tiene las especificacionesdeseadas

(b) Se determina la función de transferencia Go(s) y luego se escoge la

configuración realimentada y se calculan los compensadores,

Se usan controladores (compensadores) descritos por funciones de

transferencia propias o estrictamente propias (físicamente realizables)

Se garantiza que el sistema de control tenga un “planteamiento

correcto” (para evitar la amplificación de ruidos a alta frecuencia)

El sistema debe ser “totalmente estable”

Pueden imponerse restricciones a la magnitud de las señales actuantes



05/11/200705/11/2007 66

Criterios de desempeCriterios de desempeññooEstabilidadEstabilidad: es el requerimiento fundamental.: es el requerimiento fundamental.

– – Estabilidad en SLIT:Estabilidad en SLIT:

a. Criterios de Estabilidad dea. Criterios de Estabilidad de RouthRouth--HurwitzHurwitz (estabilidad absoluta)(estabilidad absoluta)b. Estabilidad en el sentido deb. Estabilidad en el sentido de LyapunovLyapunov: Segundo M: Segundo Méétodo detodo de LyapunovLyapunov..

c. Mc. Méétodostodos frecuencialesfrecuenciales para el estudio de estabilidad relativa (MF y MG)para el estudio de estabilidad relativa (MF y MG)

-- Estabilidad en sistemas no lineales, invariantes en el tiempo:Estabilidad en sistemas no lineales, invariantes en el tiempo:

a. Estabilidad Local (aproximaciones lineales de los sistemas noa. Estabilidad Local (aproximaciones lineales de los sistemas nolineales)lineales)

b. Estabilidad Global (uso de funciones deb. Estabilidad Global (uso de funciones de LyapunovLyapunov))

DesempeDesempeñño en estado estacionarioo en estado estacionario

PrecisiPrecisióónn: se debe minimizar el error del sistema debido a entradas de: se debe minimizar el error del sistema debido a entradas dereferencia y perturbaciones. La precisireferencia y perturbaciones. La precisióón es definida en tn es definida en téérminos de constantesrminos de constantesde error (posicide error (posicióón, velocidad, aceleracin, velocidad, aceleracióón).n).

)()(

)()()(

0ssE Limet e Lime

t yt r t e

sss

t ss

→∞→=⇔=

−=

)()()( t yt yt y forzadanatural += (5)

(6)

Atención!! r(t) y y(t) tienen

las mismas unidades!!!



05/11/200705/11/2007 77

Criterios de desempeCriterios de desempeññooPrecisiPrecisióón (continuacin (continuacióón)n): En t: En téérminos de :rminos de :

– – SiSi r(tr(t) es un escal) es un escalóónn R(sR(s)=a/s. Entonces:)=a/s. Entonces:

)1(

)(a)(

0

0

0

0

0

0

00

α

β

α

β

α

β

−=−=

===⇒−=→→

aaae

asG LimssY Lim y yae

ss

oss

ssssss

Go(s)

Luego el error de precisiLuego el error de precisióón ser n ser áá ““cerocero”” cuandocuando GoGo(0)=1, (es decir(0)=1, (es decir ααoo==ββoo).).Supongamos que deseamos diseSupongamos que deseamos diseññarar Go(sGo(s) tal que el error de posici) tal que el error de posicióón sea finito,n sea finito,

acotado, entonces:acotado, entonces:

)()(

)(

)()1(

000

000000000

0

00

0

0

γ α β γ α

α γα β γα α γα β α γα

γ α

β α γ

α

β

−>>+

−<−<−−⇒<−<−

<−

⇒<−

aaa

aaaa

aa

Si consideramos el error relativo:Si consideramos el error relativo:

)0(1

)(

00

0

Ga

aa

ess −=

−

= α

β )1()1( 000 γ α β γ α −>>+ Atención α0 está definido porque Go(sGo(s) es) es

garantizado estable !!!garantizado estable !!!

(7)

(8)

(9)

(10)



05/11/200705/11/2007 88

Criterios de desempeCriterios de desempeññooPrecisiPrecisióón (continuacin (continuacióón)n): En t: En téérminos de :rminos de :

– – SiSi r(tr(t) es una rampa) es una rampa R(sR(s)=a/s)=a/s22. Entonces:. Entonces:

)((t) si 0 t r at y Lim yet

ssss ====∞→

Go(s)

0

)]([])([

])([

0

0

2

021

0

2022

=

==

=

=

=

s

saGds

d ssG

s

a

ds

d k

ssGsak

s

s

Calculando los coeficientes de la expansiCalculando los coeficientes de la expansióón:n:

Y dado queY dado que Go(sGo(s) es estable, entonces:) es estable, entonces:

t aGaGt k k t ys

k

s

k t y ssss )0()0(')()( 00212

21 +=+=⇒+=

Se puede encontrar que:Se puede encontrar que:

0

002

0

01100 )0(y)0('

α

β

α

β α β α =

−= GG

Entonces, retomando (11):Entonces, retomando (11):

(11)

(12)

(13)

(14)

110

000

0)0('

y

1)0(

si

β α

β α

=⇒=

=⇒=

=

G

G

at yss(15)

)(aasociadostérminos)()( 02

2102

sGs

k

s

k sG

s

asY ++==Consideremos:Consideremos:

(16)



05/11/200705/11/2007 99

Criterios de desempeCriterios de desempeññoo

1)0( 000 β α ≠⇒≠G

yyssss(t(t) y) y r(tr(t) tienen la misma) tienen la misma

pendientependiente

(17)

(18)

110

000

0)0('

y

1)0(

β α

β α

≠⇒≠

=⇒=

G

G

Por otro lado, notemos que se tendr Por otro lado, notemos que se tendr áá un error de velocidad finito si:un error de velocidad finito si:

y se tendr y se tendr áá un error de velocidad infinito si:un error de velocidad infinito si:

yyssss(t(t) y) y r(tr(t) NO tienen la misma) NO tienen la mismapendientependiente

Considerando en este caso el error relativo y asumiendoConsiderando en este caso el error relativo y asumiendo GoGo(0)=1, tenemos un(0)=1, tenemos un

inecuaciinecuacióón para determinar un error finito:n para determinar un error finito:

λ <⇒−−=−−

= )0(')0('))0(1())0(')0((

00000 GGt G

a

aGatGat ess

Problema de seguimiento (tracking): Cualquier entrada de referencia.

Problema de regulación (regulating): Entrada de referencia “cero”.

•• PrecisiPrecisióón (continuacin (continuacióón)n)::



05/11/200705/11/2007 1010

Criterios de desempeCriterios de desempeññooPrecisiPrecisióón (continuacin (continuacióón)n): CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION: CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION

– – DefiniciDefinicióón de las constantes de error para un SLIT realimentadon de las constantes de error para un SLIT realimentado

)()(1

)()()(0

sGsC

sGsC sG

+

=

R(s) Y(s)

C(s) G(s)+-

)(

)()()()(

s Ds

s N sGsC sG

l

q

ll ==donde:

Si C(s)G(s) es tipo 1, entonces el error de posición es “cero”

Si C(s)G(s) es tipo 2, entonces el error de velocidad es “cero”

Si C(s)G(s) es tipo 3, entonces el error de aceleración es “cero”

y G(0) es estable. Entonces:

Consideremos, que C(s)G(s) es tipo 1, luego:

!!! 1)0(

)0()0(

)()(

)()( 00 ==⇒

+=

l

l

ll

l

N

N G

s N ssD

s N sG

Observemos que aún si existenvariaciones en Nl(s) y/0 Dl(s) , el sistema

aún puede “ seguir” a la referencia!! ESUN DISEÑO ROBUSTO!!!



05/11/200705/11/2007 1111

Criterios de desempeCriterios de desempeññoo

PrecisiPrecisióón (continuacin (continuacióón)n)::

SupongamosSupongamos C(s)G(sC(s)G(s) de tipo 0 y la incorporaci) de tipo 0 y la incorporacióón de una ganancia K:n de una ganancia K:

R(s) Y(s)

C(s) G(s)+-

Si se elige

!!! 1)0(

)()(

)()( 00 ≠⇒

+

= G

s N s D

s N sG

ll

l

Observemos que si existen variaciones enNl(s) y/0 Dl(s) , el sistema NO puede“ seguir” a la referencia!! NO ES UNDISEÑO ROBUSTO!!!

R1(s)

K

)()(1)0()0(

)0()0( 10 t r t yG

N

N DK ss

l

ll =⇒=⇒+

=



05/11/200705/11/2007 1212

Criterios de desempeCriterios de desempeññooPrecisiPrecisióón (continuacin (continuacióón)n): CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION: CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION

– – DefiniciDefinicióón de las constantes de error para un SLIT realimentadon de las constantes de error para un SLIT realimentado

R(s) Y(s)

)( ;

)( ;

)( ;

1

2 sGs LimK K Ae

ssG LimK K

Ae

sG LimK

K

Ae

osa

a

ss

osv

v

ss

os

p

p

ss

→

→

→

==

==

=

+

=Si r(t) = A (entrada escalón)

Si r(t) = A t (entrada rampa)

Si r(t) = (A/2) t2 (entrada parábola)

(7)

C(s) G(s)+-



05/11/200705/11/2007 1313

Criterios de desempeCriterios de desempeññooRespuesta transitoriaRespuesta transitoria

– – SobredisparoSobredisparo

– – Tiempo de asentamiento o de respuestaTiempo de asentamiento o de respuesta

– – Tiempo picoTiempo pico

– – Tiempo de subidaTiempo de subida

Estas especificacionesEstas especificaciones

han sido derivadas delhan sido derivadas del

comportamientocomportamiento

transitorio de un SLITtransitorio de un SLITde segundo orden.de segundo orden.

En caso de sistema deEn caso de sistema de

orden superior,orden superior, ééstosstos

podr podr áán describirse conn describirse con

las especificacioneslas especificaciones

anteriores si existe unanteriores si existe un

par de polospar de polos

dominantesdominantes



05/11/200705/11/2007 1414

DiseDiseñño de Sistemas de Controlo de Sistemas de Control

Se refiere al proceso de modificación del sistema de control

realimentado, con el fin de alcanzar las especificaciones de estabilidad,

precisión y respuesta transitoria deseadas

¿Modificación? consiste en incorporar elementos al sistema

¿Para qué? permiten generar una señal de entrada al sistema, llamada “señal de

control”

Señal de Control que “estabiliza” al sistema (cumple requerimientos de

estabilidad) y lo “compensa” (incremento de la precisión y

velocidad de respuesta).

Compensar Compensar el sistemael sistema: a: aññadir polos y/o ceros adicionales.adir polos y/o ceros adicionales.

C fi i d C iC fi i d C ióó



05/11/200705/11/2007 1515

Configuraciones de CompensaciConfiguraciones de Compensacióón paran para

SLITSLIT

1. Compensación en cascada

Gp(s)+

-

R(s) Y(s)Gc(s)

Objetivo:Objetivo:Compensar el sistema, aCompensar el sistema, aññadiendo polos y/o cerosadiendo polos y/o ceros

adicionales en lazo abierto.adicionales en lazo abierto.

Efecto:Efecto:

--Permite mejorar la respuesta transitoria y laPermite mejorar la respuesta transitoria y la

estacionaria de maneraestacionaria de manera independienteindependiente..

--Pueden ser implementados con redes activasPueden ser implementados con redes activas

(amplificadores operacionales) o pasivas (redes(amplificadores operacionales) o pasivas (redes

RLC).RLC).

Los compensadores pueden ser ideales (Tipo PID)Los compensadores pueden ser ideales (Tipo PID)o no ideales (Tipo Adelantoo no ideales (Tipo Adelanto-- Atraso). Atraso).

Compensadores tipo:

adelanto de fase,

atraso de fase,

adelanto-atraso de fase,

PIPD

PID

C fi i d C iC fi i d C ióó



05/11/200705/11/2007 1616

Configuraciones de CompensaciConfiguraciones de Compensacióón paran para

SLITSLIT

2. Compensación realimentada (minor feedback loop)

Gp(s)+

-

R(s) Y(s)G1(s)

Objetivo:Objetivo:

Compensar el sistema, modificando los polos delCompensar el sistema, modificando los polos del

sistema en lazo cerrado sin aumentar el orden delsistema en lazo cerrado sin aumentar el orden del

sistema.sistema.Efecto:Efecto:

--Permite mejorar la respuesta transitoria, sinPermite mejorar la respuesta transitoria, sin

embargo usado sin compensaciembargo usado sin compensacióón en la cadenan en la cadena

directa aumenta el error en estado estacionario.directa aumenta el error en estado estacionario.

B(s)

+-

Realimentación de velocidad

bss B =)(



05/11/200705/11/2007 1717

RestriccionesRestriccionesRuido y perturbaciones:Ruido y perturbaciones:

y(t)r(t)

P1 P2 P3

G1(s) G2(s)+

+ +

+ +

+

-

Un buen sistema de control debe ser capaz de seguir la entrada de

referencia y rechazar el efecto de ruidos y perturbaciones!!

Planta nominal: Considera el peor caso en el cual puede estar la planta

Planta perturbada: Considera el estado actual de la planta

La función de transferencia nominal es usada en el diseño y la diferencia entrela planta nominal y la perturbada es considerada como una perturbación interna

e v u



05/11/200705/11/2007 1818

RestriccionesRestriccionesCompensadores propios y planteamiento correcto:Compensadores propios y planteamiento correcto:

– – Los compensadores usados en el diseLos compensadores usados en el diseñño deben tener funciones de transferenciao deben tener funciones de transferencia

propias:propias:

No se requieren operaciones puras de diferenciaciNo se requieren operaciones puras de diferenciacióónn

Son realizables f Son realizables f íísicamente (tienen asociada una ecuacisicamente (tienen asociada una ecuacióón diferencial de estado)n diferencial de estado)

– – Un sistema de control puede no tener una funciUn sistema de control puede no tener una funcióón de transferencian de transferencia Go(sGo(s) propia) propia

aaúún cuando todos sus componentes tengan funciones de transferencian cuando todos sus componentes tengan funciones de transferencia propiaspropias

(ver ejemplo 6.5.1)(ver ejemplo 6.5.1)

ssG 5.0)(0 −=Supongamos 1)(;2

)1(

)( 21 +=+

+−

= s

s

sGs

s

sG Es impropia!!

¿Implicaciones prácticas?

Supongamos la existencia de un ruido P1(t)=0.01sin(10000t) y r(t)=sin t. Entonces:

t t

t t dt d t y

10000cos50cos5.0

)10000sin01.0(sin5.0)(

−−=

+−=

Amplificación del ruido!!!



05/11/200705/11/2007 1919

RestriccionesRestriccionesCompensadores propios y planteamiento correcto (ContinuaciCompensadores propios y planteamiento correcto (Continuacióón...)n...)

DefiniciDefinicióón:n: Un sistema se diceUn sistema se dice bienbien--planteadoplanteado oo propio en lazo cerradopropio en lazo cerrado sisi

las funciones de transferencia de cada posible par entradalas funciones de transferencia de cada posible par entrada--salida delsalida del

sistema es propio.sistema es propio.

0)( ≠∞Δ

En el caso de un sistema realimentado, el sistema está bien-planteado si y solo si:

Δ Función característica

∞→+=∞Δ

ssGsG )()(1)( 21Para el caso del diagramas de bloques anterior

1)(;

2

)1()( 21

+=

+

+−=

s

ssG

s

ssG 011)( =−=∞Δ

1

2)(;

2

)1()( 21

+=

+

+−=

s

ssG

s

ssG 121)( −=−=∞Δ Bien-planteado!!!

Si

Si

Si G2(s) es estrictamente propia y G1(s) es propia la condición (8) se cumple!!!

(8)Determinante en

la fórmula

de Mason !!

Nota: si alguna F.T es impropia, (8) no puede ser usada.



05/11/200705/11/2007 2020

RestriccionesRestriccionesCompensadores propios y planteamiento correcto (ContinuaciCompensadores propios y planteamiento correcto (Continuacióón...)n...)

2

34)(;

1

1)(;

2

)2()( 321

+

+=

+

+=

+=

s

ssG

s

ssG

ssG

y(t)r(t)

P1 P2 P3

G1(s) G2(s)+

+ +

+ +

+

-

G3(s)

)54(

)2()(0

+

+=

s

ssG

Compensadores propios necesidad de evitar el uso de diferenciación!!

Sistemas bien planteados necesidad de evitar la amplificación de ruidosa altas frecuencias!!

Bien-planteado!!

PD



05/11/200705/11/2007 2121

RestriccionesRestriccionesEstabilidad Total:Estabilidad Total:

DefiniciDefinicióón:n: Un sistema se dice totalmente estable si y solo si la funciUn sistema se dice totalmente estable si y solo si la funcióón den de

transferencia en lazo cerrado de cada posible par entradatransferencia en lazo cerrado de cada posible par entrada--salida es estable.salida es estable.

0;1

1)(;

)1(

)1()(

21

=−

=+

−= P

ssG

s

ssG

)2(

1

)(0 += ssG Estable!!

¿Implicaciones?

1. Cancelación de polos y ceros inestables

y(t)r(t)

P

G1(s) G2(s)

+

++

-

)2)(1(

)1()(

+−

+=

ss

ssGPy Inestable!!

Una cancelación de polo-cero

inestable NO elimina el polo

inestable, sólo lo esconde!!



05/11/200705/11/2007 2222

RestriccionesRestriccionesEstabilidad Total (continuaciEstabilidad Total (continuacióón):n):

Un sistema es totalmente estable si y solo si los polos deUn sistema es totalmente estable si y solo si los polos de Go(sGo(s) y sus polos) y sus polos

escondidos son todos estables.escondidos son todos estables.

Un sistema no es totalmente estable si existe una cancelaciUn sistema no es totalmente estable si existe una cancelacióón polon polo--cero inestable!!cero inestable!!

CancelaciCancelacióón imperfecta: Una cancelacin imperfecta: Una cancelacióón exacta es imposible en la pr n exacta es imposible en la pr ááctica!!ctica!!

0;1

1)(;

)1.1(

)9.0()( 21 =

−=

+

−= P

ssG

s

ssG

)9674.0)(0674.2(

9.0)(0

−+

−=

ss

ssG Inestable!!

¿Implicaciones?

1. Cancelación imperfecta de polos y ceros inestable

y(t)r(t)P

G1(s) G2(s)+

++

-



05/11/200705/11/2007 2323

RestriccionesRestriccionesEstabilidad Total (continuaciEstabilidad Total (continuacióón):n):

¿Implicaciones?

2. Cancelación de polos y ceros estables

0;)1001.0(

3)(;

)2(

)1001.0()(

22

2

1 =++

=+

++= P

sssG

ss

sssG

)32(3)(

20++

=ss

sG

0;)2(

)9909.0()(

2

1 =+

++= P

ss

sssG

)29727.2002.1031.2(

29727.03)(

234

2

0

++++

++=

ssss

sssG

-0.05 +10.001i-0.05 -10.001i

-0.9996 + 1.404i

-0.9996- 1.404i

-0.045 + 9.95i

-0.045 - 9.95i

-1 + 1.414i-1 - 1.414i

polos

polos

ceros

Time (sec.)

A m p l i t u d e

Step Response

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4From: U(1)

T o : Y ( 1 )



05/11/200705/11/2007 2424

Cancelación de polos y ceros estables

Salida debida a la perturbación Efecto de la perturbación

Si ocurre una cancelación de polos-ceros estables muy cercanos al eje imaginario

O con partes imaginarias grandes los ruidos o perturbaciones pueden excitar una

salida de la planta oscilatoria y de respuesta lenta



05/11/200705/11/2007 2525

RestriccionesRestriccionesSaturaciSaturacióón:n:

¿Implicaciones?

0;)1(

)2()(;2)( 21 =−

+== Pss

ssGsG

)4(

)2(2)(

20++

+=

ss

ssG

1

-1

0.5-0.5

u

e

y(t)r(t)

P

G1(s) G2(s)

+

+

+

-

uu



05/11/200705/11/2007 2626

SensibilidadSensibilidad

)(sGΔ

)()(1

)()(

s H sG

sGsT

+=

+-

R(s) Y(s)

G(s)

H(s)

Consideremos:

1)()( >>s H sGSi para las frecuencias de interés, entonces)(

)()(

)(

1)(

s H

s RsY

s H

sT ≈⇒≈

Si H(s)=1, entonces , aún para variaciones en la planta!!!)()( s RsY ≈

Consideremos una perturbación en la planta, entonces sin realimentación:

)()()()()())()(()()()()( s RsGs RsGs RsGsGsY sGsGsG Δ+=Δ+=⇒Δ+≈

)()()( s RsGsY Δ=Δ⇒ Cambio en la salida es proporcional al

cambio en la planta, sin considerar la

realimentación !!



05/11/200705/11/2007 2727

SensibilidadSensibilidad¿Qué ocurre en lazo cerrado?

)()())()((1

))()(()(

)())()((1

))()(()( s R

s H sGsG

sGsGsY

s H sGsG

sGsGsT

Δ++

Δ+=⇒

Δ++

Δ+=

Considerando que entonces:)()()( sY sY sY Δ+=

)(

)()(1

)()(

)())()((1

))()(()( s R

s H sG

sGs R

s H sGsG

sGsGsY

+

−

Δ++

Δ+=Δ

)())()(1))(()()()(1(

))())()()(1)(())()(1))(()(()( s R

s H sGs H sGs H sG

s H sGs H sGsGs H sGsGsGsY

+Δ++

Δ++−+Δ+=Δ

)())()(1))(()()()(1(

)()( s Rs H sGs H sGs H sG

sGsY +Δ++

Δ=Δ

Considerando de nuevo la condición , entonces:)()(1)()( s H sGs H sG Δ>>>>

)())()(1(

)()(

2 s R

s H sG

sGsY

+

Δ=Δ En lazo cerrado, el cambio en la salida

se reduce por un factor !!!2))()(1( s H sG+



05/11/200705/11/2007 2828


Sin considerar la realimentación, entonces

El sistema el muy sensible !!!

La SENSIBILIDAD se define como el cambio porcentual en la FT del sistema

de control en LC respecto al cambio porcentual en algún parámetro ó FT del

sistema en LA.

+-

R(s) Y(s)

G(s)

H(s)

Consideremos:

)()(1

)()(

s H sG

sGsT

+

=

T

G

G

T

GG

T T

S T

G Δ

Δ=

Δ

Δ=

En el límite: T

G

G

T

S

T

G ∂

∂

=

Función de sensibilidad del

sistema !!

11)()( ==⇒=G

GS sGsT T

G



05/11/200705/11/2007 2929

SensibilidadSensibilidadCalculando se tiene que:

Observe el rol de la condición !!

T G

GT S T G∂∂=

GH

GH S

T

H

H

T S T

H

T

H +

−=⇒

∂

∂=

1

22 )1(1

)1()1(

GH GH GH GH

GT

+=

+−+=

∂∂

GH S

GH

GG

GH S T

GT G

+=⇒

+

+=

11

1

)1(1

2 1)()( >>s H sG

Atención: Recuerde las condiciones de estabilidad para un aumento considerablede la magnitud de GH !!!!

Por otro lado, haciendo cálculos similares se obtiene que:

Observe de nuevo el rol de la condición 1)()( >>s H sG

¿¿Qué se concluye??

El signo negativo indica que un cambio porcentual negativo deteriora el

comportamiento del sistema



05/11/200705/11/2007 3030


)(

1)(α +

=s

sG

1

1)(

++=

α ssT

+-

R(s) Y(s)G(s)

1)(

++

−=

α

α α

ssS

T

2)1(

1

++−=

∂

∂

α α s

T

??)( =sS T α

99.0−=α

Valor nominal crítico

(sistema inestable!!)



05/11/200705/11/2007 3131


)1()(

+=

ss

K sG

K ss

K sT

++=

2)(

+-

R(s) Y(s)G(s)

K ss

sssS

T

K ++

+=

2

)1()(

22

2

)(

)(

K ss

K K ssT

++

−++−=

∂

∂

α

??)( =sS T K

25.0=K

Valor nominal crítico

(salida criticamente amortiguada)



05/11/200705/11/2007 3232




05/11/200705/11/2007 3333

SensibilidadSensibilidadConsideremos:

)(1

1

sGS T

G+=

)(1

)()(

sG

sGsT

+=

Observemos que: 1

)(1

)(

)(1

1)( =

+

+

+

=+sG

sG

sGsT S

T

G

+-

R(s) Y(s)G(s)

T(s), FT en lazo cerrado, es la función de sensibilidad complementaria

S y T no pueden ser pequeñas

en magnitud al mismo tiempo !!

Si “S” es pequeña, entonces: )()(1)( s RsY sT ≈⇒≈

En general, es pequeña a altas frecuencias, en sistemas fisicamente

realizables (sistemas que se comportan como filtros pasa-bajo). Entonces:

)(sG

1≈T GS 0)( ≈sT 1=+T S

T

G



05/11/200705/11/2007 3434

SensibilidadSensibilidadConsideremos: y(t)r(t)

P

Gc(s) Gp(s)+

++

-

Entonces:

a. Se requiere en bajas frecuencias para disminución de la

sensibilidad del sistema en cuanto a cambios en Gp(s)

b. Aumentar la ganancia de lazo a través de Gc(s) para rechazo de ruidos(perturbaciones externas). Si entonces

pc

pc

GG

GG

s R

sY

+=

1)(

)(

pc

p

GG

G

sP

sY

+=

1)(

)(

1)()( >>sGsG pc

1)()( >>sGsG pc

cGsP )(

sY 1)(≈

S ibilid d



05/11/200705/11/2007 3535

SensibilidadSensibilidadConsideremos:

)()()()()()()( 12 s RsGsGs DsGs DsY pc p ++=

y(t)r(t)

D1(t)

Gc(s) Gp(s)+

++

-

D2(t)

D3(t)H(s)

++

++

Consideremos la ausencia del sensor (H(s)=0, Lazo abierto). Entonces:

a. La señal D2(s) no es rechazada

b. L señal D1(s) pasa a través de la planta

SS ibilid d



05/11/200705/11/2007 3636

SensibilidadSensibilidadConsideremos ahora el lazo cerrado:

)()()()(1

)()()()(

)()()(11)(

)()()(1

)()(

)()()(1

)()()( 321 s D

s H sGsG

s H sGsGs D

s H sGsGs D

s H sGsG

sGs R

s H sGsG

sGsGsY

pc

pc

pc pc

p

pc

pc

++

++

++

+=

y(t)r(t)

D1(t)

Gcs) Gp(s)+

++

-

D2(t)

D3(t)H(s)

++

++

Teniendo en cuenta que y , entonces:)()()(1

1

s H sGsGS

pc

T

G+

=

)()()(1

)()(

s H sGsG

GsGsT

pc

pc

+

=

)()()()()()()()()()()( 321 s Ds H sT s DsS s DsGsS s RsT sY p +++=

S ibilid dS ibilid d



05/11/200705/11/2007 3737


Ejemplo. Consideremos H(s)=1 y la existencia de la entrada (ruido) D1(s). Entonces,

analizando error E(s):

1)(1)()()( <<⇒>> sS s H sGsG pc

)(

1)(

s H sT ≈

)()()()()()()()()()()( 321 s Ds H sT s DsS s DsGsS s RsT sY p +++=

y dado que si , luego:

a. El ruido D2 es rechazado

b. , entonces el ruido D3 no es rechazado

c. La perturbación D1(s) pasa a través de Gp(s)

Teniendo en cuenta que

)()()(1

)()( 1)(1

s DsGsG

sGs E

pc

p

s D+

−=




05/11/200705/11/2007 3838

SensibilidadSensibilidadSi D1(s) es del tipo escalón, entonces:

Supongamos Gc(s)Gp(s) de tipo 1, por ejemplo:

Estudiando el error en estado estable:

ssGsG

sGs E

pc

p

s D

1

)()(1

)()()(1 +

−=

)()(1

)(1

)()(1

)( )(

00)(

0 1 sGsG

sG Lim

ssGsG

sGs LimssE Lim

pc

p

s pc

p

ss D

s +

−=

+

−=

→→→

)(

)()( 1

bs

asK sGc

+

+=

)(

)()( 2

β

α

+

+=

ss

sK sG p

Entonces:aK bK

bssE Lime s Ds

11

2

)(0

)( 1 −

−==→

∞ Es finito y sólo depende de los parámetrosde Gc(s)!!!

Observemos que

pc

p

s GG

G Lime

+=

→∞ 1

0




05/11/200705/11/2007 3939

SensibilidadSensibilidadObservemos que

pc

p

s GG

G Lime

+=

→∞

1

0

1)(1)()( <<⇒>> sS sGsG pc para , se tiene queEntonces, sicG

e1

≈∞0→s

Luego la entrada (ruido) D1 será rechazado si 1>>cG

Ejercicio: que ocurre si el integrador esta en Gp???




05/11/200705/11/2007 4040

SensibilidadSensibilidadEjemplo: Sistema de control de la dirección un barco

y(t)r(t)

P

Gc(s) Gp(s)+

++

-

)10*8624.6(

10*6847.4)(

3

4

−

−

+=

sssG p

)10*9648.4(

)10*0071.1(7498.1)(

2

2

−

−

+

+=

s

ssGc

Planta nominal

)10*8624.6(

10*6217.5)(

3

4

2 −

−

+=

sssG p Cambio del 20% en la ganancia

)10*2349.8(

10*6847.4)( 3

4

3 −

−

+= sssG p

)10*4899.5(

10*6847.4)(

3

4

3 −

−

+=

sssG p

Cambio del 20% en el polo LA

Cambio del 20% en el polo LA

gradost r 10)( =

Dinámica delbarco

u

Controlador del ángulo

del timón del barco

Angulo de

cabecera

S ibilid dSensibilidad



05/11/200705/11/2007 4141


S ibilid dSensibilidad



05/11/200705/11/2007 4242


Sensibilidadpara el

cambio en la

ganancia de la

planta




05/11/200705/11/2007 4343


Sensibilidad

para el

cambio en la

ganancia de laplanta,

considerando

un aumento

de la ganancia

de Gc (5

veces)

Observemos el

cambio en la

magnitud de la

sensibilidad !!

¿Qué significa?




05/11/200705/11/2007 4444


Sensibilidad

para el

cambio en la

ganancia de laplanta,

considerando

un aumento

de la ganancia

de Gc

¿Qué significa

este resultado

en relación conel cambio en la

función de

sensibilidad?




05/11/200705/11/2007 4545





05/11/200705/11/2007 4646


Rechazo al

ruido D1




05/11/200705/11/2007 4747


Rechazo al

ruido D1 y a

laperturbación

en la planta

Clases Unidad 1

Documents

Transcript of Clases Unidad 1