Clases Del 11 y 13 de Abril - Vibraciones

8/17/2019 Clases Del 11 y 13 de Abril - Vibraciones

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puede calcular la respuesta exacta y, en su lugar, se relacionan los valores estadísticos de la excitación con los de la respuestEjemplos de fuerzas aleatorias son las provocadas por los terremotos o las originadas por el viento.

Grados de libertad

Son los parámetros necesarios para definir de forma unívoca la configuración del sistema vibratorio. Por ejemplo, el sistema de lFigura 9.3 tiene 2 grados de libertad, que son las dos coordenadas x1 y x2 que definen la posición de cada uno de los bloques corespecto a sus posiciones de referencia.

De manera muy simple, el número de grados de libertad de un sistema vibratorio es el número mínimo y suficiente de variables ques necesario conocer para determinar el estado del sistema.

“Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel en que solo es posible un tipo de movimiento, o sea, la posi ción dsistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada”.

En el caso de sistemas mecánicos, conocer el estado del sistema es sinónimo de conocer la posición del sistema; es decir, la posicióde todos y cada uno de los elementos del sistema. Un sistema vibratorio continuo, como una viga, tiene un número infinito de gradode libertad, esto en virtud de que la posición de una viga se determina por una función continua y diferenciable, al menos hasta cuarta derivada, y esta función es equivalente a conocer la posición de un continuo de partículas de la viga.

A diferencia de los sistemas continuos, un sistema vibratorio discreto tiene un número finito, que en algunos casos, como aproximación mediante el método del elemento finito, puede ser muy elevado.

Grados de libertad en ingeniería: El número de grados de libertad en ingeniería se refiere al número mínimo de parámetros qunecesitamos especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones de una estructura

Grados de libertad de un sistema dinámico (física): El número de grados de libertad en un sistema físico se refiere al número mínimde números reales que es necesario especificar para determinar completamente el estado físico. El concepto aparece en mecánicclásica y en termodinámica.

Grados de libertad de un mecanismo (movilidad): Se denomina número de grados de libertad de un mecanismo o movilidad demismo, al número de parámetros de entrada que se debe controlar independientemente con el fin de llevar al mecanismo a unposición en particular.

Si un mecanismo plano posee n eslabones, cada uno de ellos, antes de conectarse, poseerá tres grados de libertad, excepto el eslabófijo o bancada. Luego antes de conectarse, el número de grados de libertad será de:

3 (n-1)

http://es.wikipedia.org/wiki/Estado_f%C3%ADsicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1micahttp://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1micahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estado_f%C3%ADsico


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A medida que se van conectando eslabones por medio de pares, se está restringiendo el movimiento relativo entre ellos por lo tantuna vez conectados todos los eslabones, el número de grados de libertad del mecanismo será:

m = 3 (n-1) j 1-j2Siendo:

- m: grados de libertad del mecanismo.n: número de eslabones del mecanismo.

j1: nº de pares con un grado de libertad (restringe otros dos). - j2: nº de pares con dos grados de libertad (restringe uno).

Esta ecuación se conoce como el criterio de KUTZBACH para movilidad de mecanismos planos.

En conclusión los grados de libertad de un mecanismo nos ayudan a definir los tipos de movimientos que puede tener cualquiobjeto tanto en los ejes x, y, z, como por ejemplo: un tren que tiene un grado libertad, un avión que tiene tres grados libertad y lomovimientos de la tierra que tienen dos grados libertad (rotación y translación). Los libros tratan que explicarnos con la definición dgrados de libertad de una manera más sencilla y digerible los movimientos que puede tener cualquier tipo de mecanismo.

Utilidad de los sistemas de un grado de libertad : Los sistemas de un grado de libertad son, por una parte, sencillos y, por otra, se daen la práctica en sistemas que son directamente asimilables a sistemas vibratorios de un grado de libertad. Además, otra propiedaimportante, es que los sistemas vibratorios de N grados de libertad se pueden estudiar como N sistemas de un grado de libertad.

Componentes del sistema discreto básico de 1 gdl: Se conoce como sistema discreto básico de un grado de libertad al sistema d

parámetros concentrados que puede observarse en la Figura 7. La energía cinética del sistema se almacena en la masa indeformabm, la energía potencial elástica en el resorte sin masa de constante k , y la capacidad de disipación de energía en el amortiguadviscoso que se mueve con velocidad proporcional a la fuerza, con constante de proporcionalidad c .

El sistema queda totalmente definido mediante la coordenada x (Figura 7). Para que el sistema sea lineal los parámetros k, m, y deben ser constantes y no depender de la variable x. Las fuerzas presentes sin la acción de una acción exterior son las de la Figura 8.

Si se aplica una fuerza f(t) sobre la masa m, en la dirección positiva de x, la ecuación del movimiento del sistema discreto básicocomún a todos los sistemas lineales con 1 gdl, puede establecerse aplicando D’Alembert , introduciendo la fuerza de inercia, estableciendo el equilibrio de fuerzas en la dirección x:

Vibraciones libres en sistemas de 1 gdl : Todos los sistemas lineales con 1gdl conducen a la ecuación diferencial ordinaria de orden2 vista en el apartado anterior:

Cuando se trata de un caso de vibraciones libres, en las que no existen acciones exteriores sobre el sistema, f(t) = 0, y sí unacondiciones iniciales distintas de la trivial nula, x0 = x(to), ẋ0 = ẋ(to) , se buscan soluciones en la forma: x(t) = Ce

st


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Derivando y sustituyendo en la ecuación diferencial resulta:C (ms

2 + cs + k) e

st = 0

La expresión x(t) = Cest

representará una solución para todos aquellos valores de s que satisfagan la ecuación anterior. Estos valoreson las raíces de la ecuación característica ms

2 + cs + k = 0

AmortiguamientoEl modelo de un oscilador mecánico sometido exclusivamente a la ley de Hooke no es realista pues desprecia la presencia derozamiento. La experiencia nos muestra que un oscilador se va frenando progresivamente hasta llegar a detenerse en la posición dequilibrio.

Esta disminución progresiva en la amplitud de las oscilaciones es debida a la presencia de rozamiento. Éste puede deberse a un roccon una superficie (rozamiento seco) o la fricción del aire o líquido que rodea al oscilador (rozamiento viscoso).

El caso del oscilador con rozamiento seco tiene un interesante análisis físico-matemático, pero no lo consideraremos aquí, sino en uproblema. En su lugar nos centraremos en el caso del rozamiento viscoso. La razón es que, aparte de ser un modelo de muchaaplicaciones, representa más adecuadamente lo que ocurre en un amortiguador mecánico.

Un amortiguador es un dispositivo como el que puede encontrarse en la suspensión de un automóvil o en una puerta con cierr

automático. Un amortiguador consta de un resorte mecánico, pero también, en el interior de éste, de un cilindro con un pistón. Si ucoche no tuviera suspensión (es decir, si el chasis estuviera unido rígidamente al eje de las ruedas), cada bache o irregularidad en suelo se notaría como un golpe en el interior del vehículo lo cual, además de incómodo, pone en peligro su integridad. Por otro ladosi la suspensión consistiera simplemente en un resorte casi sin rozamiento, cada bache produciría oscilaciones en el coche, inclusmucho después de haber superado el bache.

Oscilaciones amortiguadas

En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta detenerse por causa de la amortiguación, recibe nombre de oscilación libre. Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra. Si en el caso de una oscilaciólibre nada perturbara al sistema en oscilación, éste seguiría vibrando indefinidamente.

En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque de las partícula

(moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez más energía amovimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que se conoce como oscilacióamortiguada.

En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva exponencial), haciéndose cada vez mápequeña hasta llegar a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su posicióde reposo.

En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva exponencial), haciéndose cada vez mápequeña hasta llegar a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su posicióde reposo.

En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fricción o rozamiento, de forma qu

dejado libremente a sí mismo, un muelle o péndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se denomina amortiguado y scaracteriza porque tanto la amplitud como la energía mecánica disminuyen con el tiempo. La ecuación diferencial que describe movimiento es mx ''+cx '+kx = 0; la ecuación característica es mr2 + cr + k = 0, cuyas raíces son:

Se presentan tres casos posibles:


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* Amortiguamiento supercrítico:

Las raíces r1 y r2 son reales y distintas. La solución de esta ecuación, amortiguada pero no armónica, es de la forma:

Donde C1 y C2 son las constantes de integración. El sistema no oscila, simplemente vuelve a la posición de equilibrio, cuanto mayes el amortiguamiento, más tiempo tarda el sistema en alcanzar la posición de equilibrio.

*Amortiguamiento crítico:

La raíz de la ecuación característica es doble e igual a

La solución, amortiguada pero no armónica, es de la forma:

El sistema vuelve a la posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilación. El amortiguamiento crítico tiene unimportancia especial porque separa los movimientos aperiódicos (no oscilatorios) de los oscilatorios amortiguados. Es decir, el valocrítico es la menor cantidad de amortiguamiento para que el sistema no oscile. En muchas aplicaciones prácticas se utiliza uamortiguamiento crítico, o próximo al crítico, para evitar vibraciones y conseguir que el sistema alcance el equilibrio rápidamente.

* Amortiguamiento subcrítico:

y la frecuencia de la vibración amortiguada es:

La solución es de la forma:

Comparación de los tres casos

Supongamos, como ejemplo, una frecuencia propia de 1\,rad/s y que las condiciones iniciales son que liberamos la partícula desd

una cierta distancia de 10 cm, es x_0 decir y . Comparando los casos de β = 0.5s − 1

, β = 1.0s − 1

, y β1.5s

− 1 obtenemos las curvas siguientes:


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Vemos como la crítica y la sobre amortiguada decaen siendo la crítica más rápida en hacerlo, mientras que la sub amortiguadpresenta oscilaciones rápidamente decrecientes.

Si consideramos el caso de una masa que parte del equilibrio, pero con una cierta velocidad de 1m/s (es decir

obtenemos para los mismos valores

En este caso las curvas no se limitan a decaer, pues hay un alejamiento inicial. La partícula termina volviendo a la posición dequilibrio, siendo el camino más rápido el del amortiguamiento crítico. Vemos también que aunque en todos los casos parte con misma velocidad el máximo alejamiento es menor cuanto mayor sea el rozamiento.

Vibraciones forzadas en sistemas de 1 gdlLa cuestión de fondo que se plantea es cómo caracterizar o definir el comportamiento dinámico de un sistema mecánico. Si no stiene este problema resuelto, no será posible comprobar los resultados teóricos obtenidos sobre un modelo matemático, coresultados experimentales obtenidos sobre el modelo real. Lo ideal sería comprobar un modelo con las solicitaciones r eales a que vaestar sometido. Sin embargo, en la mayoría de los casos esto no es posible por lo variables y complejas que pueden llegar a ser. Lacondiciones que las solicitaciones de prueba o de test deben reunir son las de ser universales (servir para el mayor número y tipposible de sistemas), fáciles de realizar y de reproducir (en el laboratorio y sobre el papel) y representativas del comportamientdinámico del sistema en la práctica. Estas características deseables conducen a los casos siguientes:

_ Respuesta a una excitación armónica: Las fuerzas que varían armónicamente son fáciles de reproducir físicamente y destudiar teóricamente. Además, estudiando la respuesta del sistema para toda una gama de frecuencias de excitación, stiene caracterizado su comportamiento dinámico.

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Archivo:Exponenciales-10.pnghttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Archivo:Exponenciales-09.png


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_ Respuesta a una función impulso, a una función escalón y a una función rampa : Son las funciones más simples relativamente fáciles de reproducir en un laboratorio o taller. También caracterizan el comportamiento dinámico del sistemtotalmente.

_ Respuesta a una excitación aleatoria: Incluyen a todas las anteriores.

Las vibraciones forzadas están gobernadas por la ecuación diferencial:

La solución de esta ecuación diferencial se obtendrá sumando a la solución general de la ecuación homogénea (problema ya resuelt

en el apartado de vibraciones libres:

una solución particular de la ecuación completa (Fig. 12).

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