Clase+8_CE
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CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
TEMA 8
EL CAMPO MAGNÉTICO ESTABLE Y
CAMPOS VARIANTES CON EL TIEMPO
Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez
Ciclo Ene – Abr 2010San Cristóbal, RD
TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN2. LEY DE BIOT-SAVART3. LEY CIRCUITAL DE AMPERE4. FLUJO MAGNÉTICO, DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO Y LEY DE GAUSS5. EL ROTACIONAL6. POTENCIALES MAGNÉTICOS ESCALARES Y VECTORIALES7. LEY DE FARADAY8. TEOREMA DE STOKES9. CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO
INTRODUCCIÓN
Preliminar
Una carga eléctrica estática está asociada a un campo eléctrico, mientras que una carga móvil constituye una corriente y consecuentemente un campo magnético.
Fuentes de Campo Magnético
1.Imán Permanente.2.Campo Eléctrico Variable con el tiempo.3.Corriente Directa.
1
Las principales leyes que rigen los campos magnetostáticos son:
1.La Ley de Biot-Savart, y2.La Ley de los Circuitos de Ampere.
Recuerde que en la electrostática, el punto de partida es la ley de Coulomb, mientras que en la magnetostática lo es la ley de Biot-Savart; y como la ley de Gauss respecto a la de Coulomb, así es la ley de Ampere respecto a Biot-Savart.
Ley de Biot-Savart
Expresa que el campo magnético dH de una corta sección dL de un alambre que porta o conduce una corriente I está dado por :
[Am-1]
2
H entra al plano, esto es, normal al elemento diferencial dL y R, formando 3 vectores perpendiculares [Conjunto Dextrorsum o de Mano Derecha].
LEY DE BIOT-SAVART
3
2
R4π
Idd
R4π
Idd
RLH
aLH
R
Ley de Biot-Savart (Cont.)
Recuerde que el producto cruz de 2 vectores se define como un tercer vector de magnitud igual al producto de las magnitudes de los vectores por el seno del ángulo que forman. [Am-1]
Considerando que I es una corriente directa y que la densidad de carga no es f(t), se deduce la ecuación de continuidad:
3
LEY DE BIOT-SAVART (CONT.)
2R4π
sindId
LH
0t
ρv
J
J
Aplicando el Teorema de la Divergencia, se tiene:
Conclusión: La I que fluye en una superficie cerrada es 0, si el flujo sigue una trayectoria cerrada.
volS
volS
0dvd
dvd
JSJ
DSD
Ley de Biot-Savart (Cont.)
A continuación se muestra Biot-Savart en su forma integral:
En términos de fuentes distribuidas, consideremos una corriente total I dentro de una anchura transversal b en la que existe una densidad de corriente superficial uniforme K, como se muestra a continuación:
4
LEY DE BIOT-SAVART (CONT.)
R24π
Ida
LH
R
Sea J la densidad de corriente y K la densidad de corriente superficial, entonces, en el caso uniforme, I es: [m de ancho] [A/m]y en el caso no uniforme:
[Trayectoria Transversal]
KbI
KdNI
Ley de Biot-Savart (Cont.)
Como IdL = KdS = Jdv, se expresa la Ley de Biot-Savart en la forma:
5
LEY DE BIOT-SAVART (CONT.)
v
2R
S2
R
4π
dv
4π
dS
RR
aJH
aKH
Campo Magnético en un Alambre de Largo Infinito:
H hacia adentro
Campo Magnético en un Alambre de Largo Infinito (Cont.) :
De la figura se verifican las siguientes relaciones: [Cateto Opuesto] [Arco]
Como |dH | se define a partir de:
Integrando y sustituyendo :
6
LEY DE BIOT-SAVART (CONT.)
Rsinθρ
RdθdLsinθdL
COsinθ
2R4π
sindId
LH
2
cos4
sin44
sin
sin4π
Idθ
0
0 0
π
0
IH
IH
dIdI
H
H
02
02 44
sin
R
IRd
R
IdLH
φ2
IaH
Dirección
Circunferencial
7
LEY DE BIOT-SAVART (CONT.)
Campo Magnético en un Alambre de Largo Infinito (Cont.) :
En la siguiente figura se muestran las líneas de campo de la intensidad de campo magnético alrededor de un filamento recto de longitud infinita portador de una corriente directa I. La dirección de I está hacia adentro de la lámina.
Las líneas de campo magnético corresponden a las equipotenciales de campo eléctrico.
Recuerde la analogía entre : La Ley de Biot-Savart para determinar H, y la Ley de Coulomb para determinar E.
8
LEY DE BIOT-SAVART (CONT.)
Campo Magnético en una Espira :
En el centro de la espira :
y el campo magnético se define:
En un punto P del eje Z, se verifica:
90
z
2
0
2R
I
4
aH
dR
IH
ddLzr
rdHdHdH z
22
cos
9
LEY DE BIOT-SAVART (CONT.)
Campo Magnético en una Espira (Cont.) :
Recordemos que :
Como , entonces :
ρ24
Ida
LH
rcosαz HH
zρ2z cosα4π
Idaa
LH
r
02
4
44
cos4
cos4
2
322
2
2
03
22
02
22
z
IH
dr
I
rr
dIH
r
dLI
r
IdLH
z
z
z
z
2
322
2
z
2aH
z
I
Observe que si z = 0, entonces:
Por otro lado, a grandes distancias de la espira, esto es z>>ρ, se verifica que:
zz 2aH
I
Campo en el centro
z3
2
z 2aH
z
I
10
D8.1
Un alambre largo recto porta una corriente I=10A. ¿A qué distancia se encuentra el campo magnético H=1Am-1?
D8.2
a.¿Cuánta corriente debe fluir en una espira de radio 0.5 m para producir un campo magnético H=1mA/m?b.¿Cuál es el campo magnético H a una distancia de 2 m de la espira a lo largo de su eje?
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
D8.1 : 1.59 m
D8.2 :
a)1 mAb)14.26 μA/m
LEY DE BIOT-SAVART (CONT.)
11
P8.7
Dados los puntos C(5,-2,3) y P(4,-1,2), un elemento diferencial IdL = 10-4(4,-3,1)Am en C produce un campo dH en P.
a.Especificar la dirección de dH por medio de un vector unitario aH.
b.Encontrar | dH |.c.¿Qué dirección aL debe tener IdL en C para dH=0?
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)0.53 ax + 0.80 ay + 0.27 az
b)5.73 x 10-6 A/m
c)(- ax + ay – az)/sqrt(3).
LEY DE BIOT-SAVART (CONT.)
LEY CIRCUITAL DE AMPERE
Corriente para un alambre largo
En el caso uniforme se tiene : [A]
En forma más general, I es la integral de línea de H alrededor de cualquier trayectoria cerrada contenida por el alambre, esto es: [A]
12
HI 2
LH dI
S
SJLH ddI
Para un conductor de sección transversal A y densidad de corriente J, se tiene: I=JA, y para el caso más general (no uniforme), se tiene:
La integral de línea en H alrededor de las trayectorias cerradas son igual a I, como se muestra en las trayectorias a y b de la siguiente figura. En el caso de la trayectoria c, la integral es menor que I, debido a que no toda la corriente está encerrada por la trayectoria.
13
P8.8
Un filamento infinito sobre el eje z transporta una corriente de mA en la dirección az. También están presentes tres placas de corrientes cilíndricas uniformes: 400 mA/m en ρ=1cm, -250 mA/m en ρ=2cm y -300 mA/m en ρ=3cm. Calcular en:
a.ρ = 0.5b.ρ = 1.5c.ρ = 2.5d.ρ = 3.5
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)2 A/mb)933.33 mA/mc)360 mA/md)0 mA/m
LEY CIRCUITAL DE AMPERE (CONT.)
H
20
LEY CIRCUITAL DE AMPERE (CONT.)
Campo Magnético Cable Coaxial
En las siguientes figuras se describe el comportamiento de I y de H:
a.Una sección transversal de un cable coaxial portador de una corriente uniformemente distribuida I en el conductor interior y –I en el conductor exterior.b. Filamento de corriente en ρ=ρ1, φ= φ1, producen componentes Hρ que se cancelan. Para el campo total, H=Hφaφ.
14
LEY CIRCUITAL DE AMPERE (CONT.)
Campo Magnético Cable Coaxial (Cont.):
Ahora se demuestra que el campo magnético en cualquier punto se determina fácilmente por medio de la aplicación de la Ley Circuital de Ampere para una trayectoria cerrada.
Primero, apliquemos la definición de la Ley Circuital de Ampere a un filamento largo. Para determinar H en un punto P, aceptamos que P pasa por una trayectoria cerrada (trayectoria amperiana es análoga a superficie gaussiana). Como H es constante si ρ es constante, se verifica que: 15
22
0
HdHdLHI
Despejando se tiene:
aH
2
I
Igual al resultado determinado mediante Biot-Savart
Sigue
LEY CIRCUITAL DE AMPERE (CONT.)
Campo Magnético Cable Coaxial (Cont.):
Escenario a< ρ < b :
Escenario ρ < a:
Puesto que la corriente está uniformemente distribuida en la sección transversal, se verifica que:
16
2
IH
S
SJLH ddIenc
Cont. Escenario ρ < a:
Por tanto, el campo resultante es:
zz ddda
IaSaJ
2
2
22
2enc
2enc
I
dI
a
I
a
I
dda
I
S
SJ
2
2
2
2
2
a
IH
a
IHdLHIenc
Sigue
LEY CIRCUITAL DE AMPERE (CONT.)
Campo Magnético Cable Coaxial (Cont.):
Escenario ρ > c :
Si el radio ρ es mayor que el radio exterior del conductor externo, no se encierra corriente, por tanto :
Escenario b < ρ < c :
Puesto que la trayectoria amperiana ahora es:
[I. Cond. Ext.]
[I. Filamento] 17
Cont. Escenario b < ρ < c :
despejando se tiene:0H
S
SJ dIIenc
22
22
enc
S
2
IIdd
bc
bIIH
SJLH
22
22
2 bc
cIH
LEY CIRCUITAL DE AMPERE (CONT.)
Campo Magnético Solenoide
Si las vueltas son cintas planas y cercanas entre sí, el solenoide se convierte en una lámina de corriente continua con densidad K igual a: 18
zd
NIaH
Observe que la misma se deduce a partir de la Ley de Ampere. Esta aproximación es útil si se aplica a distancias interiores separadas al menos dos radios de los extremos abiertos, y distancias superficiales menores a dos veces la separación entre espiras.
KHd
NIK
Dentro de la Bobina
LEY CIRCUITAL DE AMPERE (CONT.)
Campo Magnético Toroide
En la gráfica a se muestra un toroide ideal portador de una corriente superficial K en la dirección que se muestra. Y en la gráfica b se muestra un toroide de N vueltas portador de una corriente filamentaria I.
19
FLUJO Y DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO ; LEY DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS
Flujo Magnético [Ф]
El flujo magnético a través de una superficie es la integral de la componente normal al campo magnético del medio, esto es:
[Webers, Wb]
donde μ es la permeabilidad del medio [H/m, Hm-1]Recordando Dimensiones:
SI: Wb → V.s → T.m2 → m2.kg.s-
2.A-1
Wb → Henry.A Henry → H → V.s.A-1
CGS: 1Maxwell = 10-8 Wb 20
HdSS
Si el campo es uniforme : [Wb]
La permeabilidad es la capacidad de dejar pasar flujo a través del medio, contrario a la reluctancia [R=L/(μS)], que es la resistencia al flujo.
Densidad de Flujo Magnético [B]
La densidad de flujo magnético B se obtiene dividiendo el flujo entre el área (flujo por unidad de área), esto es: [Wb/m2,Tesla,T]
HS
HB μ
S
dΦ SB
FLUJO Y DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO ; LEY DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS (CONT.)
Densidad de Flujo Magnético [B] (Cont.)
[H/m]
Ley de Gauss para Campos Magnéticos
Como las líneas de campo magnético son espiras cerradas, se concluye que el número de líneas que salen y entran a un volumen es igual, por tanto, la integral sobre una superficie cerrada es cero, como se muestra a continuación:
Y aplicando el Teorema de la Divergencia, se tiene:21
70
r0
r0
104πμ
μμμ
μμ
HB
S
0dSB
0 B
ROTACIONAL
Rotacional
Consideremos que la integral correspondiente a la Ley de Ampere
se realiza sobre una superficie ∆S= ∆y ∆z, entonces:
Al dividir entre ∆S se tiene:
22
LH dI
LH dΔIx
SS
LH
Δ
ΔI
Δ
dx
Evaluando la expresión anterior en el límite cuando ∆S → 0, resulta:
Esta evaluación se realiza alrededor de un punto P. Observe que cuando ∆S → 0, la corriente se concentra alrededor de un punto, la misma se transforma en una densidad de corriente J en dicho punto P.
El operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial H a inducir rotación alrededor de un punto P se llama rotacional y se mide en : A/m2.
S
LHJH
S Δ
dlimrotacional
0Δxx
ROTACIONAL (CONT.)
Rotacional (Cont.)
En el caso general :
también se expresa:
[A/m2]
23
zzyyxx
zxy
yzx
xyz
rotacional
y
H
x
H
x
H
z
H
z
H
y
Hrotacional
aJaJaJH
aaaH
JHHH
aaa
H
rotrotacional
HHHzyx
rotacional
zyx
zyxEl rotacional proporciona la densidad de corriente en un punto, mientras que la divergencia proporciona la densidad de carga en un punto.
ROTACIONAL (CONT.)
Rotacional (Cont.)
Ejercicio:Como un ejemplo de evaluación del rotacional H a partir de la definición y de la evaluación de otra integral de línea, supóngase que H=0.2z2ax para z>0, y H=0 en cualquier otra parte, como se muestra en la figura.
Calcular:
para una trayectoria cuadrada con los lados iguales a d, centrada en (0,0,z1) en el plano y=0, donde z1>d/2.
24
LH d
Sigue
ROTACIONAL (CONT.)
Rotacional (Cont.)
Solución Ejercicio:
1.Evaluación de la Ley de Ampere:
2.Aplicamos la definición. Por tanto, en el límite, aproximamos el área a cero:
3.Las componentes x, y son cero, por tanto:
24
21
2
1
2
1
4.0d
02
12.00
2
12.0d
dz
ddzddz
LH
LH
12
21
0d20dy 0.4z
d
d0.4zlim
d
dHlim
LH
y1y 0.4z aH
ROTACIONAL (CONT.)
Rotacional (Cont.)
Solución Ejercicio:
4. Ahora repetimos la evaluación sin recurrir a la definición. Veamos el resultado utilizando su forma de determinante:
24
yy2
2
zyx
zyx
zyx
4.02.0rotacional
000.2zzyx
HHHzyx
rotacional
aaHH
aaaaaa
H
zzz
LQQD
ROTACIONAL (CONT.)
Rotacional (Cont.)
Resumiendo algunas propiedades del Rotacional:
1.El rotacional de una campo vectorial es otro campo vectorial.2.El rotacional de un campo escalar V, , carece de sentido.3.La divergencia del rotacional de un campo vectorial tiende a cero, esto es:
4.El rotacional del gradiente de un campo escalar tiende a cero, esto es:
25
V
0 A
0V
26
D8.4
a) Evaluar la integral de línea cerrada de H alrededor de la trayectoria rectangular P1(2,3,4) a P2(4,3,4) a P3(4,3,1) a P4(2,3,1), dado H=3zax-2x3az A/m.
b) Determinar el cociente de la integral de línea cerrada y el área encerrada por la trayectoria como una aproximación a
c) Determinar en el centro del rectángulo.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)354 Ab)59 A/m2
c)57 A/m2
ROTACIONAL (CONT.)
yH yH
Condición
POTENCIALES MAGNÉTICOS ESCALARES Y VECTORIALES
Potencial Magnético Escalar
De igual modo que , la relación con H del potencial magnético escalar Vm se define de acuerdo con:
si J=0
Vm se mide en amperes.
La condición J=0 se explica considerando que :
La ecuación de Laplace se satisface considerando la misma condición, esto es: si J=0 27
mVH
VE
0V mHJ
0V2 m
Sí
A veces
POTENCIALES MAGNÉTICOS ESCALARES Y VECTORIALES (CONT.)
Potencial Magnético Vectorial
El potencial magnético vectorial A se relaciona de tal forma que:
Así como se definió :
Es posible definir :
28
AB
r
dQV
04
S vL R
dv
R
dS
R
Id
444000 J
AK
AL
A
POTENCIALES MAGNÉTICOS ESCALARES Y VECTORIALES (CONT.)
29
D8.8
Una placa de corriente K=2.5az A/m, está presente en la superficie ρ=1.2 pulgadas en el espacio libre.
a) Encontrar H para ρ>1.2.b) Encontrar Vm en P (ρ=1.5, ,z=1).c) Vm=0 en y hay una barrera en .d)Vm=0 en y hay una barrara en .e) Vm=5V en y hay una barrera en .
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)2.88/ρ aφ
b)-5.43 Ac)12.7 Ad)3.62 Ae)-9.48 A
6.00 2 0 8.0
LEY DE FARADAY
Ley de Faraday
Un flujo magnético Ф cambiante a través de una espira cerrada produce una fem o voltaje V dado por:
[V]
Si la trayectoria cerrada es un filamento conductor enrollado de N vueltas, entonces:
En su forma general:
30
dt
dVfem
dt
dNVfem
SB
LE ddt
dV
S
dBΦ S
LEY DE FARADAY (CONT.)
Ley de Faraday (Cont.)
Un ejemplo ilustrativo de la aplicación de la Ley de Faraday en el caso de una densidad de flujo magnético constante y una trayectoria variable. La barra transversal se mueve a la derecha con una velocidad v y el circuito se cierra a través de los dos rieles y un voltímetro muy pequeño con alta resistencia interna. La lectura del voltímetro es V12=-Bvd.
31
32
P10.7
Cada uno de los rieles de la figura tiene una resistencia de 2.2 Ω/m. La barra se mueve a la derecha a una velocidad constante de 9 m/s en un campo magnético uniforme de 0.8 T. Encontrar I(t), 0<t<1 s, si la barra está en x=2 en t=0 y
a)Una resistencia de 0.3 Ω se encuentra en el extremo izquierdo con el extremo derecho formando un circuito abierto.b)Una resistencia de 0.3 Ω se ubica en cada extremo.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas en el Apéndice E del texto
LEY DE FARADAY (CONT.)
TEOREMA DE STOKES
Teorema de Stokes
De la Ley de Faraday, verificamos que la integral de E alrededor de una espira de área incremental ∆S que contiene un flujo de densidad cambiante con el tiempo B, es igual al voltaje inducido en la espira:
Dividiendo entre ∆S y evaluando en el límite cuando ∆S →0, se tiene:
33
S
St
Bd
tdV S
BLE
tS
dLrotacional
S
BEE
0lim
En notación vectorial:
Por tanto, expresamos el Teorema de Stokes en la forma:
t
B
E
c S
dd SELE
TEOREMA DE STOKES (CONT.)
Teorema de Stokes (Cont.)
El Teorema de Stokes establece que la integral de línea de una función vectorial sobre un contorno c, es igual a la integral del rotacional de esa función vectorial sobre cualquier superficie que tiene c como su frontera.
Esta expresión es válida para cualquier campo vectorial, de manera que:
34
c S
dd SELE
c S
dd SHLH
35
P8.24
Evaluar ambos lados del Teorema de Stokes para el campo G=10sinθaφ y la superficie :
La superficie está en la dirección ar.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuesta
15π
900
900
3
r
TEOREMA DE STOKES (CONT.)
CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO
Corriente de Desplazamiento
Recuerde que:
Consideremos el siguiente artificio:
36
t
ρ-
0
0
t
v
J
J
H
JH
BE Faraday
Ampere
Divergencia del Rotacional
Ec. Continuidad
0 GJHGJH
Desconocido
Entonces:
No obstante, la continuidad de la corriente exige :
Siendo incompatible con la expresión:
Por tanto, el vector desconocido debe satisfacer la ecuación de continuidad, esto es:
0 GJ
0
tvJ
t
ρv
G
0 J
CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO (CONT.)
Corriente de Desplazamiento (Cont.)
Sustituyendo la densidad de carga volumétrica por la densidad por su equivalente en la ley de gauss para campos electrostáticos en forma puntual, se tiene:
Transformando, se tiene:
Esta ecuación resuelve el problema de la ecuación de continuidad.
36
La expresión
Resulta de una densidad de corriente de desplazamiento. Maxwell la nombró densidad de corriente de desplazamiento, y se denota:
En un medio no conductor J=0, por tanto:
t
DG
t
D
JH
t
D
JH
dJJH
DJ
td
t
D
H
CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO (CONT.)
Corriente de Desplazamiento (Cont.)
Por simetría, también se verifica que:
Evaluando la integral de superficie, la corriente total de desplazamiento que resulta es:
37
De ahí que:
Aplicando el Teorema de Stokes:
t
B
E
S
d
S SS
SS
dd
dt
IIId
dt
dd
dt
dI
SD
LH
SD
SJSH
SD
SJ
38
Ejercicio
Un voltaje de 50sin103t voltios se aplica a las placas paralelas de un capacitor, con área de 5 cm2 y 3 mm de separación. Calcule la corriente de desplazamiento suponiendo que ε=2 ε0.
Solución
CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO (CONT.)
dt
dV
dt
DJ
d
VED
d
Por tanto,
Lo que equivale a la corriente de conducción, dada por:
dt
dVC
dt
dV
d
SSJI dd
nAtI
tI
dt
dVC
dt
dV
d
S
dt
dESI
dt
dDS
dt
dS
dt
dQI
d
d
c
sc
3
333
49
10cos4.147
10cos5010103
105
36
102
39
E9.4
En el vacío, V/m.Calcule :a)Jd
b)Hc)ω
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuesta
a)-20ωε0sin(ωt-50x)ay A/m2
b)0.4ωε0cos(ωt-50x)az A/mc)1.5x1010 rad/s
CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO (CONT.)
y50xωt20cos aE
GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN